20楼炫炫爸
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发表于 2006-7-5 17:15
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一、整除的定义:
当两个整数a和b(b≠0),a被b除的余数为零时(商为整数),则称a被b整除或b整除a,也把a叫做b的倍数,b叫a的约数,记作b|a,如果a被b除所得的余数不为零,则称a不能被b整除,或b不整除a,记作b a.
二、数的整除性质:
(1)对称性:若甲数能被乙数整除,乙数也能被甲数整除,那么甲、乙两数相等。记作:a|b,b|a,则a=b。
(2)传递性:若甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除。记作:若a|b,b|c,则a|c。
(2) 若两个数能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能该自然数整除。
记作:若a|b,a|c,则a|(b c)。
(3) 几个数相乘,若其中有一个因子能被某一个数整除,那么它们的积也能被该数整除。
(4) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除,那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。记作:若a|b,c|b,(a,c)=1, 则ac|b。
(5) 若一个数能被两个互质数的积整除,那么,这个数也能分别被这两个互质数整除。记作:若ac|b,(a,c)=1, 则a|b,c|b。
(6) 若一个质数能整除两个自然数的乘积,那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
(7) 若a|b,m≠0,则am|bm。
(8) 若am|bm,m≠0,则a|b。
(9)若c|a,c|b,则c|(ma+nb),其中m、n为任意整数(这一性质还可以推广到更多项的和)
三、整除特征
(1)1与0的特性:
1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a.
0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.
(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。
(3)若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。
(5)若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。
(6)若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。
(7)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13-3×2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595 , 59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
(8)若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。
(9)若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。
(10)若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。
(11)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而是1!
(12)若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。
(13)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(14)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(15)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(16)若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。
(17)若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。
(18)若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除。
四、其他重要结论
1、能被2和5,4和25,8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。我们可以概括成一个性质:未n位数能被 (或 )整除的数,本身必能被 (或 )整除;反过来,末n位数不能被 (或 )整除的数,本身必不能被 (或 )整除。例如,判断19973216、91688169能否能被16整除,只需考虑未四位数能否被16整除便可﹝因为16 = ﹞,这样便可以举一反三,运用自如。
2、利用连续整数之积的性质: 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积,因此一定可被2整除; 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数,所以它们之积一定可以被2整除,也可被3整除,所以也可以被2×3=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2006-7-5 17:17 编辑 ].