如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60° ，D是AC上的一个动点（D与A、C不重合），过D作DE//AB交BC于E，过A作AF//BC交ED的延长线于F，联结AE、CF，取AE、CF的中点G、H，联结G、H，在点D移动的过程中，下列结论是否成立，如果成立，请指出点D的位置，并加以证明，如果不成立，请说明理由。
1.四边形AECF是直角梯形、菱形？
2.四边形AECF是等腰梯形、矩形？

谢谢大家了！.

直角梯形：（1）∠AEC=90°
                   ∵DE//AB      ∴∠BAC=∠CDE
                   又∵∠ACB为△ACE，△CDE公共角
           ∴△CDE∽△CEA，且为一个内角等于30°的直角三角形
           ∴AC=2CE=4CD，D为AC四等分点
           （2）∠AFC=90°
                    同（1）可证△AFD∽△ACF
                    AC=2AF=4AD，D为AC四等分点
菱形：由菱形AECF得AE=CE     ∴∠EAC=∠ACB=60°
          ∵∠BAC=90° ，DE//AB   ∴∠CDE=90°
          ∵DE为Rt△ADE与Rt△CDE公共边，AE=CE
      ∴Rt△ADE≌Rt△CDE       ∴AD=CD，即D为AC中点
等腰梯形：若AECF为等腰梯形，则∠AEC=∠FCE,AE=CF
          ∴△ACE≌△FEC，∴AC=EF=AB，矛盾，∴AECF不是等腰梯形
矩形：若AECF为矩形，则AF=CE
          ∵AF∥CE      ∴∠AFD=∠CED
         又∵∠ADF=∠CDE        ∴△ADF∽△CDE，相似比1:1
         此时D为AC中点，但由“菱形”一题，知∠AEC≠90°   矛盾
     ∴AECF不是矩形.

谢谢谢谢，但是因为相似还没有教，不知还有没有别的方法呢？.

不好意思，儿子出去玩了，我也不懂。.

1.四边形AECF是直角梯形、菱形？
如果是直角梯形、菱形需要满足什么条件。
2.四边形AECF是等腰梯形、矩形？
如果是等腰梯形、矩形需要满足什么条件。


这里面用到了平行线的性质.

补充5楼，还有直角三角形的相关性质，60度角。.

这是一道非常好的题目。看似是学过四边形问题后的综合题目，其实把前面学过的平面几何问题很好的融合到了一起。
建议做之前，首先把教材上四边形部分很好的再理解一下。有可能的话，再看看三解形以及平行等章节。然后再解决这道题目，收获会很大的。.

1.四边形AECF是直角梯形、菱形？可以。
如果是直角梯形、菱形需要满足的：直角梯形的时候，CE等于四分之一BC；菱形时，CE等于二分之一BC。
与直角三角形的角有关，直角三角形BAC中，角ABC是30度，
所以AC等于BC的一半，
如果是等腰梯形，那么角ACF也是30度，所以AF等于二分之一的AC。
所以AF等于四分之一的BC。
AF平行BC是已知的。
如果是菱形，只要证明是一组邻边相等的平行四边形就可以了。
也就是证明AF=AE
E为BC的中点，所以BE=EC=AE，而AF=BE，所以AF=AE
因此如果是直角梯形、菱形需要满足的：直角梯形的时候，CE等于四分之一BC；菱形时，CE等于二分之一BC。

再整理整理就可以了。.

2.四边形AECF是等腰梯形、矩形？不可以，用假设法
如果是等腰梯形、矩形需要满足：都要满足对角线相等。也就是说AC等于EF，AB等于EF，也就是说要AB等于AC，由已知的条件AB和等AC的（一个三角形中等角对等边，30度对的角和60度对的解角是不等的）


再整理整理就可以了。

转化为对角线的问题。.

好题，参与一下，junhuayang2005的（2）解比较巧；但是（1）直角梯形应有两解，即D位于AC的1/4和3/4两种情况。至于菱形，D是中点证明较简单。.

引用:

原帖由 哈哈老六 于 2012-5-1 09:28 发表
好题，参与一下，junhuayang2005的（2）解比较巧；但是（1）直角梯形应有两解，即D位于AC的1/4和3/4两种情况。至于菱形，D是中点证明较简单。

菱形也可以转化为对角线垂直平分。.

谢谢网上的老师，女儿经点拨已经作出来了。.

引用:

原帖由 哈哈老六 于 2012-5-1 09:28 发表
好题，参与一下，junhuayang2005的（2）解比较巧；但是（1）直角梯形应有两解，即D位于AC的1/4和3/4两种情况。至于菱形，D是中点证明较简单。

但是（1）直角梯形应有两解，即D位于AC的1/4和3/4两种情况。对的，是两种情况。

第一题从中位线的角度考虑比较方便、直观。
此题把直角三角形以及四边形的相关内容都考查到了，真是好题。
再换个角度去想，可以用中位线来考虑。在三角形中中位线和中线的关系是互相平分。（平行于第三边和第三边的中线是互相平分）
四边形的对角线的交点在四边形的中位线上的时候意味着什么，如果对角线垂直平分相等是正方形，对角线垂直平分是菱形，对角线平分相等是矩形，对角线平分的是平行四边形。
一个梯形的对角线的交点不在这个梯形的中位线上。

如果这个直角三角形换成是等腰直角三角形呢，接下的条件不变，要求的两个问题也不变，会得到什么结论呢？.

"在三角形中中位线和的关系是互相平分。（平行于第三边和第三边的中线是互相平分）
四边形对角线垂直平分相等是正方形，对角线垂直平分是菱形，对角线平分相等是矩形，对角线平分的是平行四边形。"这些知识点归纳总结的好。
       不过上述（1）解直角梯形时，我认为应用60度的条件，用“一个含60（或30）度的直角三角形，短边是斜边的一半”解题比较简单。中点G、H的条件反而多余（或成陷阱）。.

引用:

原帖由 哈哈老六 于 2012-5-2 19:38 发表
"在三角形中中位线和的关系是互相平分。（平行于第三边和第三边的中线是互相平分）
四边形对角线垂直平分相等是正方形，对角线垂直平分是菱形，对角线平分相等是矩形，对角线平分的是平行四边形。"这些知识点归纳总 ...

我的理解是练习中位线相关的知识吧。.

我正在课本上找这道题目的雏形，已经找到一些，等我有时间慢慢写下来。.

此题对于现在八下的学生不错。.