直角三角形的直边长度分别为a和b，斜边长度为c。.

嗯。第一步可以先从剪纸开始。画一个直角三角形，剪下来。另照样剪三个同样大小的直角三角形。然后，拼图。.

直角三角形的斜边长度为c，两条直边的长度分别为a和b。

1.jpg (31.96 KB)

2012-2-4 20:10

作图软件使用几何画板5.03单文件增强板。下载地址：
http://www.kejianyuan.com/Soft/201005/20100519164552.html

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-4 20:10 编辑 ].

父：先恭喜你，终于拼出一个正方形了。
子：是啊。原来我花了许多时间，因为你没说中间可以有个“洞”。
父：哦，那是我的错。
子：但，我还有个问题。
父：肿么啦？
子：我剪出了好几组这样的直角三角形，但拼起来，总是有缝隙。
父：那当然啦。事实上，根本没有那样的剪刀，没有那样的人，可以剪出两个一模一样的直角三角形。也就是说两个“全等”的三角形，在我们的现实生活中是不存在的。
子：我明白你的意思。但是，这样的话，你凭什么说，这四个三角形拼出来的就是一个大正方形和一个小正方形呢？
父：什么意思啊？
子：上次，我们研究过一个差不多的问题。在我们班上争论了一学期呢。

e1b0c9660e7a45e1e850cdbb.jpg (213.55 KB)

2012-2-12 17:40

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-13 11:30 编辑 ].

还能记起进行过怎样的争论吗？.

引用:

原帖由 rhealu 于 2012-2-13 14:43 发表
请容我汗一个。。。
我直接想到的是４个b=2a的直角三角形

不必汗，其实，这是一个好问题。按照正规的说法，题目应该是：
任意的直角三角形的直边长度分别为a和b，斜边长度为c。

出题目时，对是否加“任意的”三个字，我是踌躇过的。对于大人来说，看到“任意的”，立刻就会明白，这是在研究一个带有普遍性的问题。但当我们的对象是小学生时，就要慎重了。因为他们可能对“任意的”手足无措。
这让我想起一个软件业者中流传的一个笑话。一个IT工程师对客户进行操作指导，“请按任意键进入下一步。”过了十几分钟，客户回答：“大哥，俺的键盘上肿么没有‘任意’键啊！”所以，Windows以及其它的许多软件的操作手册，都将“请按任意键进入下一步”改成“请按回车键进入下一步”。

所以，我觉得，在出这道题时，不必加入“任意的”三个字。而是耐心等待小童鞋提出问题来，再做讨论。另外，要凑出一个大的正方形没有中间的空洞，应该用等腰直角三角形吧？

你看，家长不需要预先把一个数学难题想的面面俱到，反而可以为质疑和讨论提供更多的空间。这样，家长有更多的机会去肯定童鞋，而不是反过来，让童鞋对家长的敬仰之情如滔滔江水连绵不绝。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-13 15:50 编辑 ].

E、F所在的边是邻边还是对边？另外，提示下，做几何问题，要从画图开始。尺规作图非常重要。.

图形结合面积公式看看：

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2012-2-16 16:01

纯几何的方式：

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2012-2-16 16:01

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建议让孩子画图。如果孩子不会画，或者画不好，家长可以慢慢教他。
1、学会基本的尺规作图。如画中点（不能用尺量）、平行线、垂线（不用三角板上的直角）等。
2、注意标注的标准化。
3、辅助线一定要画出来。

几何学习中最难的就是加辅助线。不要教，因为那没法教。其实，要学会怎么加辅助线，很简单，大量地尺规作图。在作图的过程中，自然能体会到。在一个标准的作图上，有的，一眼就能看出来。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-16 16:11 编辑 ].

如果没有学sin，设AEF的高为h，AF的长度为a、、、.

可以尝试以动态的方式，即一个更为简单的正方形，通过拉伸两个对角，逐渐变成了平行四边形，而三角形AEF的面积与四边形ABCD的比例关系保持不变。

在这个拉伸过程中，再观察四边形ABCD，边长为1保持不变，随夹角c的变小，面积逐渐变小，它的面积据说就是sin(c)。

用 4# 介绍的几何画板，可以制作动态图形。.

引用:

原帖由 nyp695 于 2012-2-17 08:34 发表
这个要怎么下载，我点进去没看到要下的软件？

注意链接中页面的下载地址一项：

1.jpg (4.27 KB)

2012-2-17 10:37

一般说来，为尊重作者的工作，不好意思直接给出链接地址。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-17 10:39 编辑 ].

引用:

原帖由 nyp695 于 2012-2-17 08:30 发表
不好意思原题E,F是边CD和CB上的中点，在你这个图中应该是连接CE和CF组成三角形CEF,已知的是三角形CEF的面积是18平方厘米，求平行四边形ABCD的面积？

平行四边形是中心对称的。你转到计算机屏幕的后面，从上往下看，就是你所需要的图形了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-17 15:45 编辑 ].

让孩子看看先。也许他有感觉，也说不定哦。.

是的。当然，还要注意，这些问题，或者说相关的问题都应该由孩子提出来。如果他不提，那么，说明体验还不够，或者有其它的原因，一般不能因为着急，就强制他做下去，而是要另外想办法，促使他产生问题。

一旦孩子提出了问题，家长或者老师所要做的是跟着孩子的问题的思路走。因为这样，才是孩子在自主学习。让孩子走在前面，他的眼界和思考问题的起点，与让他跟在你后面，两者是大不相同的。根据我的经验，这么跟着走，小学生的思路经常能走到中学，在某些问题上，甚至能提出大学才能解决的问题。当然，以他们现在的能力，未必能解决，那么，就让这样的问题悬而未决。

正是不断地产生新的疑问，才是驱使他们自主学习的动力。.

引用:

原帖由 小点点宝宝123 于 2012-2-17 19:08 发表
不好意思，可能没讲清楚。我的意思是指用CC老师21楼讲的三角形和平行四边形面积的比例关系来推导答案。
当然CC老师的纯几何法更高明，呵呵。

说不上高明。不同的孩子对同一个问题的观察角度是不同的。像我们家的，喜欢折纸，那么，就很可能倾向于产生后一种方法。前一种方法，跟代数有关。有的孩子会比较精于计算。如果是小组讨论的话，很可能看到不只这两种。理解其他人的解法，检查和讨论，对每个人的学习都有很好的促进。.

回错了，删。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-17 19:40 编辑 ].

注意对照16#的图。
1、EF在哪个角上并不重要。因为平行四边形的中心对称的，换个角度，道理仍然是一样的。
2、在三角形AEF中，过E点做AF的高。因为E是AB的重点，所以，刚才说的这个高，是平行四边形ABCD的高的一半。
3、F是AD的重点，AF＝平行四边形ABCD的底边的一半。
4、三角形AEF的面积＝过E的高 x AF ÷ 2。平行四边行ABCD的面积＝(过E的高 x 2) x (AF x 2)。

所以，平行四边行ABCD的面积 ＝ 8 x 三角形AEF的面积。

再对照图2。
1、平行四边形被过中心的两条中线分成了4块全等的小平行四边形。
2、三角形AEF是小平行四边形的面积的一半，即小平行四边形的面积 ＝ 2 x 三角形AEF 的面积。

所以，平行四边行ABCD的面积 ＝ 8 x 三角形AEF的面积。.

明白了，原题是这样的，对不？

1.jpg (26.21 KB)

2012-2-18 20:33

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根据37#的分析，假设S(△AEF)=x，那么，能把S(□ABCD)=8x。除此之外，我们还能推算出哪些三角形或者四边形的面积呢？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-19 10:30 编辑 ].

能否描述下，你在前面的研究中发现了什么？.

非常棒，你对这个题目所涉及到的图形已经非常了解了。

你是否研究过△EFC的面积呢？三角形的面积，主要的就是高和底边。研究过后发现，△EFC的三条高和其对应的底边，似乎跟平行四边形ABCD都没什么关系。怎么办呢？看来，我们要把眼光从△EFC移开，看看能不能从其他的三角形和四边形上进行突破。

假设S(△AEF)=x，那么，能把S(□ABCD)=8x。请问，S(△EBC)和S(△DFC)的面积等于多少呢？.

对的。简单说，直接研究△EFC的底边和高，没搞头。那么，我们把它抠掉，把周围的三个三角形研究清楚了，用目标，□ABCD的面积，可以得到一个等量关系：
设 s=S(△EFC)
8s-1s-2s-2s=18
3s=18
s=6

那么，S(□ABCD)=8s=8x6=48。

但是，你说的蝴蝶原理里边的蝴蝶在哪里，能详细说说吗？.

哦，那，可能是我没问清楚。你说在蝴蝶原理，在这个问题中，指的是哪一对平行线？.

请根据下图，详细解释下，为什么“通过蝴蝶原理可以得到三角形EBC的面积是三角形AEF 的2倍”？

1.jpg (27.28 KB)

2012-2-20 13:54

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-20 13:54 编辑 ].

引用:

原帖由 nyp695 于 2012-2-20 15:28 发表
可是a和b都不知道啊，怎么能算出呢？

条条大路通罗马，家长可以有很多解法，先讲哪个呢？颇费思量。其实啊，不用思量。先把题目给孩子看，画图，这是必须做的。然后呢，等着、、、“嘿，你总有个想法吧？猜一个，总猜的出吧。”是的。画了图，想过了，只要这个问题不是太变态，超出他已有的知识一大截，他总是有想法的。实在是没想法，干脆搁置一段时间，再来提起，再画图，如果确认是适合这个年龄段的孩子。只要他有想法，那么，跟着孩子的思路走，不管这个思路对还是不对，家长懂还是不懂，就跟在后面，顺着这个思路一起走下去。即便是错了，也是有意义的，因为至少，可以知道错在哪里，然后校正。.

引用:

原帖由 nyp695 于 2012-2-20 14:24 发表
老师再加几个字母，把交叉的点都标出吧。

1.jpg (28.37 KB)

2012-2-20 16:10

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引用:

原帖由 nyp695 于 2012-2-20 08:41 发表
大的平行四边形分成了4个小的平行四边形，三角形AEF是小平行四边形的一半，这样大的平行四边形的面积就等于8个三角形AEF的面积。三角形AEF是三角形AFB的一半，如果BC边的中的为G，DC边的中的为H的话，那么同理推出三角形HGC是三角形DGC的一半，且三角形DGC和三角形AFB都是平行四边形FBDG的一半。但我还是不知道如何利用已知的条件？

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2012-2-20 16:15

那么，三角形CEF的面积呢？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-20 16:17 编辑 ].

引用:

原帖由 nyp695 于 2012-2-21 09:19 发表
老师还是你的方法最简单易懂。
我是连接OC，三角形OPC=三角形EPH，三角形OQC＝FQG 那么四边形QOPC＝S，三角形EOP＝三角形PHC，三角形FOQ＝QCG，所以三角形FOQ+EOP=S，那么三角形EFC=3S。

1.jpg (28.65 KB)

2012-2-21 11:04

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-21 11:04 编辑 ].

表老师老师的，我不是老师，一个对数学有兴趣的老童鞋而已。

在总结这道题之前，我想问问，你是作为家长在做这道题，还是让孩子去做，你把孩子的做法写上来的？.

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2012-2-21 10:45 发表
這個5年級的題目怎麽這么難？

其实不能这么说。这里至少演示了三种不同的解法，各自有不同的着眼点。只要那是他的思路，他就不觉得复杂。换一种思路来讲，他可能就会觉得复杂，不可思议，难以接受。

正因为如此，我反对这样一种做法，碰到难题，家长先自己做，然后巴拉巴拉讲给孩子听。在我看来，这就是在“秒杀”孩子。

正确的做法是：
1、通过讲解题意，让孩子进入情景。
2、给孩子提供实践的方法和机会，例如作图、剪纸、分糖等，积累体验。
3、鼓励孩子提出自己的想法或者猜想，顺着孩子的思路去进行研究。
4、当孩子累了或者兴趣索然了，歇一歇，留下空白。
5、在适当的时机，重启话题，推动孩子解决问题。
6、总结和反思解题过程。
7、对别人的做题思路进行质疑。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-21 11:20 编辑 ].

我原来也干过这事儿，把难题解出来讲给儿子听。同样的问题，听的时候似乎懂了，过2天就忘了。所以，这种方法，家长累不说，根本就没用。
问题出在哪儿呢？因为没有让孩子思考。我们讲的天花乱坠，但那是我们的，不是他的。只有他经过努力，自己想出来的，才是他的。即使没想出来，失败了，他也有失败的经验。想通了，我们希望孩子怎么样？会解题而已。而不是说，知道这道题的答案。所以，我们要把着重点放在如何引发孩子进行思考。只要孩子思考了，总是好的。.

不用担心坚持的问题。
1. 从简单的难题开始，就要注意这一点。把65#的这个过程，养成习惯。家长和孩子共同的习惯。
2. 在有时间的时候，例如假期，要舍得花时间，要忍得住。
3. 随时提醒自己，我们要的是孩子的思考，而不是解题的结果。
4. 经常反思，在这个过程中，我们让孩子思考了吗？.

基础不基础的，既然上学了，就不要再去想了。俺上次碰到一家长，都五年级了，还在那缺少学前教育说事。其实，早无所谓了。抓住现在最重要。

加减法的速度，本来是不要紧的。现在的教学重点是算理。例如，7+2+3，孩子问，可以 7+3+2 这样算吗？这就是现在要研究的重点。你可以用糖果讲个故事，然后让孩子自己来体会其中的道理。这样，碰到类似的问题，孩子就可能多扪心自问一次，自己编个故事来明白其中的道理。

不过，话有说回来。考试那道杠在那里，总不能因为速度而吃亏吧。要提高速度，无它，唯熟而已。儿子1－3年级的时候，我去接孩子的，在路上，10多分钟吧，经常性地，我们会比一比谁算得快。例如，前面停了一辆轿车，我们慢慢地走过去，看看谁先算出前两个数字之和。晚上，吃晚饭，作业不多的话，我们还经常在小区里边散步，算车牌。举这两个栗子，不是说要照搬。既然考试的要求是熟，又只能练，那么，家长就多掉点花头，使这种不得已的训练不枯燥。当然，妈妈知道的，为了保持兴趣，经常有意地输上几次，故意用些笨办法，无需我冗言了。.

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2012-3-30 11:29

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