谈谈数学奥林匹克教学（冯志刚）
冯志刚
(上海市上海中学 200231)
摘要：谈三个方面的问题：(1) 上海中学数学班的办班情况 (2) 教学模式与一些教学理念 (3) 一些具体做法.
本文结合上海中学高中数学班的情况对数学奥林匹克的教学理念和教学方法上的一些问题进行探讨,并结合笔者的教学实践和经验谈一些体会.
一．上海中学数学班情况简介
上海中学高中数学班从1990年开办,至今已有13年的实践了.其生源是上海市初中数学竞赛、物理竞赛、化学竞赛及计算机竞赛中获得等第奖的同学.1990年至1992年该班是上海市业余数学学校和上海中学联办的,1993年获得IMO金牌的学生冯炯就是这个班毕业的学生.1992年9月起,转为由上海中学独自承办.我是1990年从华东师大毕业,分配到上海中学教数学班的数学课,开始接触数学奥林匹克.最初两年我可以说仍然在当学生,有机会认真听上海市业余数学学校的老师上的数学竞赛课,拥有向上海市最好的一批中教界的前辈学习和取经的机会,在数学奥林匹克教学方面走了一条捷径.1992年9月起,才开始独当一面.
13年来,我校拥有了一只非常有实力的师资队伍,尽管他们不太有机会接触全国的一些教练员,但他们都已经成为上海市徐汇区乃至上海市的中学骨干教师.他们是况亦军、顾滨、柯新立、王永庆以及最近调入我校的周建新老师和我.这只队伍不仅要承担数学班的教学工作,还需为我校的私立初中―华育中学上初中数学竞赛课.
1993年起上海中学开始每年有学生进入冬令营,最近4年每年都有学生进入集训队,在2000年,吴忠涛同学入选国家队,并为上海中学赢得了第一块学科竞赛的国际金牌.
二．教学模式与教学理念
1.数学班教学模式
1996年起数学班采取分班教学,在上数学课时将数学班一分为二,其中数学班中最好的10余名学生抽出来,另外上课.我承担了高一到高三所有数学小班的数学课.
首先,这样教学的必要性在于如下的观点：在数学学习上,每一个群体中都存在个体上的差异,特别是优秀学生,同为一等奖的学生之间水平和资质可能有天壤之别.应该说数学班(共40余人)的学生都是数学学习方面的优秀生,但真正能够走到底(哪怕是到冬令营级别)的人是非常少的.因此,对其中的优秀生应该区别对待,提出比其他学生更高的要求.当然,对优秀生采取小班教学也可以使更多的人脱离陪练的苦海.
其次,采取分班教学必须有其可行性,每个学校的实际情况不同,不是每个学校都具备分班教学的条件.我想师资准备必须充分,尽管每个数学班的数学老师平均为1.3个(我上3个年级的数学小班),但是需要有一个敢于“牺牲”的老师,承担3个高中小班的课是非常辛苦的.另外,小班教学的老师应该与大班老师相互之间配合良好,成绩共享、责任同当.
最后,在符合上述条件后,校领导必须有这个意识,对这样的教学模式给予肯定与支持,当然,还要平衡与其它学科之间的竞争和矛盾.
2.数学小班教学的一些理念
(1) 教的角度：强调观点要高
科研总是一种灵感升华后的产物,竞赛问题的解决也是类似的,我把它形象的描述为：在一座大山上寻找一个宝藏.如果这个宝藏在山顶,那么沿任何方向,只要上到山顶即可.最难的情况是宝藏在山腰,并且在山脚下不知道方向,寻找这样的宝藏不大可能一蹴而就,因此采用从山下往上爬的方法解决这类问题就会有相当大的偶然性.
教学上,我尽量提高学生的观点,以期让小班的学生能够站得高、看得远.希望他们能够一步上到山顶,看清山腰的宝藏处,然后在山脚下找到一条通往宝藏得上山之路.这要求向学生不断渗透高等数学的观点,灌输一些数学思想.后面我们将结合数学奥林匹克得内容讨论一些具体做法.
(2) 学的角度：强调独立思考、自觉学习
教的目的是为了不教,数学奥林匹克教学的不是要给学生多少知识,而是以数学奥林匹克问题为载体,教给学生一些方法和思想.在参与该项活动的过程中,使学生具有良好的学习方法、学习习惯和意志品质显得尤为重要.我总是有意识地强调学生自学,提高他们上课的效率.
(3) 参与竞赛：强调首先是做人,其次才是做学问
每一位参与学科竞赛学习的学生都希望得奖,这是不容回避的.竞赛老师也希望自己的学生多得奖,以期功成名就.但是我们应该对学生灌输正确的胜负观,要求他们撇开胜负,只要刻苦认真的做了,无论得到的成绩大或小都是一种回报.努力了不一定能够成功,但是不努力是肯定不会成功的.努力过就不会后悔,应该相信只要将这种精神一直保持下去,就必定会获得成功.
在小班中,我强调公平竞争、相互协作.作为一个集体,无论谁取得了成绩都是集体的荣耀,其他同学都应该衷心的表示祝贺,保持良好的心态,以他为榜样继续努力,要做一个既有进取心,而又大度的人.
三．教学上的一些具体处理
我们通常将数学奥林匹克的内容分为四个大块：平面几何、代数、数论和组合,数学奥林匹克教学一般都有一些侧重,再强老师都必定有某个方面是弱项,当然我们又都期望培养的学生在每个方面都很强,这是一个矛盾.如何解决是一个难题.
我想每个教师都会依据自身的特点来处理教学,我个人的做法是把某一块做的比较强,真正优秀的学生不是教出来的,他往往能够举一反三、融会贯通,从而使自己没有特别弱的项.
在教学中,我们选择从数论开始,高一一年的竞赛课教学都是围绕数论与组合展开,这样做是基于如下的一些思考.
(1) 数论是代数的基础,学起来容意上手,不需要太多的准备知识,教起来素材又比较丰富,各国竞赛中都有数论问题,在Inter网上随便就可以找到一些合适的素材.例如IMO的试题中就有许多数论问题,潘承彪教授的书《初等数论》第二版的附录4中列举了从第一届IMO到第43届IMO中出现的数论问题,共82题,它们都是教学中的好素材.
(2) 数论是一门充满挑战性的学科,要学好非常困难.每一个章节都可以宣讲一些朴实的数学思想,都可以提出许多问题,因此容易提起学生的兴趣,引导学生主动提问并解决问题.
例如：我们教了完系的一些概念和性质后,可以讨论
问题1 对模m的两个完系a1,a2,…,am和b1,b2,…,bm,是否总有a1+b1,…,am+bm都构成模m的完系？都不构成模m的完系？对a1b1,…,ambm思考同样的问题.
结论：当m为偶数时,a1+b1,…,am+bm都不构成模m的完系(证明比较简单)；当m>2时,a1b1,…,ambm都不构成模m的完系(证明相当难).
问题2 设m,n为正整数,是否存在模m的完系a1,a2,…,am和模n的完系b1,b2,…,bn,使得{aibj}构成模mn的完系?
结论：当(m,n)＝1时,存在(举例并不困难)；当(m,n)>1时,不存在(证明相当难).
这些问题在讨论和宣讲的时候都有许多可以评述的地方，可以拓展得非常开,经常这样讨论学生水平会大幅度提高.
又例如：在学习过Fermat小定理后,可以讨论如下问题
问题1: 注意到,由Fermat小定理,对任意奇质数n,均有n|(2n-2),问是否存在奇合数n,使得n|(2n-2),若存在,这样的n有多少个？
结论：有无穷多个这样的奇合数n.
问题2: 是否存在无穷多个正整数n,使得n|2n-1?
结论：只有n=1成立.
问题3 是否存在无穷多个正整数n,使得n|(2n+1)？
是否存在无穷多个正整数n,使得n|(2n+2)？
结论：两个问题都是存在无穷多个,都可以用递推方法处理,难度上差异很大.
(3) 数论的问题大都充满智巧,看到解答后,往往会有“这么容易,我怎么没想到”的感慨.我相信教数论可以使聪明的中学生越变越聪明,想想如果参加竞赛培训后,学生变笨了,这个责任谁担负得起？当然,解决一个数论问题又可以有不同得出发点,因此又会得到一些妙解.学生解决的问题越多就越有信心,方法与书本和老师不同就会有成就感。
例如：Dirichlet定理的结论中的一些特殊情形经常被用来作为竞赛题
问题1 证明：数列{4n-1}中有无穷多个数为质数.
问题2 证明：数列{4n+1}中有无穷多个数为质数.
评述：两个问题都可以用反证法处理,若命题不成立,设只有有限个,它们是p1,p2,…,pn,问题1只需考虑x=4p1p2…pn-1中模4余3的质因子，就可得到矛盾.
对问题2,考虑数x=(2p1p2…pn)2+1的质因子q,利用：若－1是模q的二次剩余,则qº1(mod 4),由此可以推出矛盾.
由于二次剩余在中学阶段一般不讲,问题2很少在数学竞赛书中出现.其实要证明数y2+1的奇质因子qº1(mod 4),可以有很多方式处理,例如利用指数的性质就可以证明：对任意正整数k,数 +1的质因子qº1（mod 2k）,因此,有下面的结论：设k为正整数,则数列{2kn+1}中有无穷多个质数.顺便提一句,今年全国高中数学联赛二试第2题本质上就是求3对模104的指数.
数论与组合、数论与多项式、数论与许多代数问题之间都有联系,在教数论时可以兼顾其它分支.例如
问题1 已知正整数a,b满足(a,b)=1.证明:
.
它可以利用首尾相加的方法予以证明,这个方法在数列求和中经常出现；还可以利用几何方法处理,转为求一个直角三角形中的整点个数,可以对比下述问题
问题： 有多少对整数对(x,y)满足不等式组 ？
如果教师能对许多竞赛问题都比较熟悉,就能做出许多问题之间的链接.
问题2 设m为正整数,证明: =m,其中j(n)为Euler函数.
本质上可以考虑将按行求和改为按列求和,这与代数中的交换求和号是相同的.
问题3 对任意整数n>1,定义 ,这里 是n的不同质因子.证明:对任意正整数N>1,均有:a2+a2a3+…+a2a3…aN<1.
此题第一步就要对每一项进行估计,要用到均值不等式,当然求和过程中也会涉及到交换求和号的思路.
四．结束语
我开始教中学的时候,老教师就指点过我：教书要由浅入深,逐步递进,同时要善于提炼,总结规律.这是非常正确的,对中等程度的学生提高成绩非常有效.后来，在数学小班教学中,我多加了几个字：教书要由浅入深,逐步递进,同时要善于引导学生去提炼,去总结规律.不要轻易将规律性的东西交给学生,有时这样做会剥夺学生思考的机会.当然最初的时候多教一些,有利于打开学生的思路,到一定水平后,就要多创造一些机会让学生去提炼.
一个优秀的学生在学问上,应该具有很强的“反叛”意识,对问题提出自己的意见和想法.我想一个好的教师是否也要有一些不同于前辈的、属于自己的想法呢？罗嗦了很多,不对和不足之处,敬请指正..
