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[数学] 从来不相信刻苦学习(题海战术、机械训练),畅谈亲子数学,兼谈数学的乐趣

本主题被作者加入到个人文集中

谁来解惑?

如何解释这道题

从理论上说“0.9……(循环小数)”不等于“1”,但我经过数学推理,“0.9……(循环小数)”就等于“1”。具体推理过程如下:
0.9……(循环小数)=0.3……(循环小数)×3=(1/3)×3=1
推理过程没错,但0.9……(循环小数)=1让我无法解释,特此请各位老师指导,谢谢!
福建省漳州市芗城小学五年级学生

二OO八年十一月十九日

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:36 编辑 ].

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找到命题也是能耐

引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-7 00:04 发表
实际上数学家希望证明某一个命题,也是一种解题,这本书中说的方法就是数学家的思想方法。对于孩子来说,在解每一道没有作过的数学题时,面临的工作和数学家是一样的。
谬也,数学家没想去证明某一个命题。因为已经被证明的命题,再去证明是多余的。未被证明的命题,想证明也难。而试图已经做过的题来证明未被证明的命题,那、、、好像自相矛盾了吧。

我的数学老师说,一个问题能讲清楚就已经证明了一半,而更加难的还在讲清楚问题前面,那就是找到问题。陈景润固然厉害,可是歌德巴赫也厉害。

而且做题多成不了数学家,因为一个数学家穷其一生,只要能提出一个问题或者解决一个问题就值了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:37 编辑 ].

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回复 352#ccpaging 的帖子

你说的固然不错,但你应该容许我避免在论坛上写论文吧。
我说的命题,你把它理解得包括猜想不就行了。
至于你说的表述问题,之前我提到的“定义”技巧也和这个有关。
最后你认为提出问题(命题也好猜想也好)很重要,这当然没错,但是提出问题的方法,老实说根本没人研究得清楚。
你是数学系的,应该知道拉马努金,你说他的那些不等式是怎么想出来的,天底下没人知道。
所以,能谈谈的只有解决问题的方法了。.

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引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-7 10:01 发表
你说的固然不错,但你应该容许我避免在论坛上写论文吧。
我说的命题,你把它理解得包括猜想不就行了。
至于你说的表述问题,之前我提到的“定义”技巧也和这个有关。
最后你认为提出问题(命题也好猜想也好)很重 ...
定义不是技巧.如物质和意识是哲学世界的2个基本定义,没人会认为这仅仅是一个技巧的问题.
我本人是大学三年级才开始写论文,可是我儿子目前已经写了2篇数学论文了.

至于怎么提出问题,这恰恰是大学数学教育或者说理科教育对学生的要求.而前贴可以看出,美国的教育是把解决问题的方法,即发现问题/提出问题/解决问题/验证,这样一个完整的研究过程贯穿于教学的始终,甚至从一年级数学就开始了.
即使不打算学数学专业,拟或根本就不上大学,但每个人不可避免地要在生活中/工作中遇到各种各样的问题,这个时候,数学就能提供与其他文科课程完全不同的基本方法/基本理念.
如果我们把数学教学的目的仅仅停留在解题的层面,那么学习的终结目标还是做题,这样的一个循环又有什么意义呢?不喜欢做题的同学,可以放假了.

将来我计划用这样步骤解决牛吃草的问题:
1. 在看到有关风沙袭击北京时,提出这个问题.
2. 让儿子搜集有关风沙的新闻,研究报告.
3. 寻找风沙的根源. 评价过渡放牧对风沙形成的影响.
4. 引入牧民一家的生活,提出牛吃草的问题. 如果有机会去一次内蒙就太好了.
5. 让儿子给这家牧民提出建议.

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-7 11:46 编辑 ].

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回复 354#ccpaging 的帖子

在解决数学问题时,有效准确地下定义确实是一种重要的技巧 。具体的分析我在青蛙爬井的例子中已经有比较详细的说明了。
我并没有说,所有的概念的定义,都是解决数学问题的某种技巧的体现,我想你误会我的意思了。
关于提出问题,首先我和你在之前帖子中谈的是数学研究范围内的“提出问题”,我们似乎并没有谈一般意义上的提出问题。其次即便就一般意义上的提出问题而言,我也不否认这是一种重要的能力,但是这里提出问题需要的不是技巧是想象力,所以我不准备谈什么提出问题的技巧。
至于对你通过客观世界来引导孩子学数学我不准备发表什么意见,但是就我所知,现代的数学特别是纯数学和客观世界确实没多大关系,不少著名的数学家都不是为了客观世界而进行思考的。如果是我的孩子的话,我可能会为他能够认识到“没有用”的数学的价值而欣慰。.

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放轻松!——让数学显得可爱些

  看着两位大师切磋来切磋去,激动得差一点流鼻血,直想也插一杆子进来。
  找出多年前买来的那本《数学教育哲学》(Paul Ernest 著),心下顿生惭愧。得到这本书时,翻看了一下,就晾在一边,现在书脊上都沾满了尘埃。要不是企图说点超越两位观点的想法,不知猴年马月才会看这本书了。
  看了小半天,越看越失望。一是因为它太难读了——这本书写得过于晦涩,我都有点原谅自己以前没有把它读完了;二是因为它偏心眼——光支持ccpaging式的数学教育观,对jyuntoku式的数学观没有给予足够的重视。
  在下非常赞同数学即使没有用也值得去学习、钻研、把玩的观点,可同时也反对在数学启蒙阶段脱离生活、游戏以及孩子认知方式去教授纯粹的数学。这种数学对于孩子,一如 Ernest 的《数学教育哲学》之于我,面目可憎。要是我们脑子里的数学都不可爱了,我们的孩子怎么会觉得她可爱呢?
  本帖是在交流亲子数学的经验教训,还是放轻松些吧!不必吊书袋子,我们就可以证明数学不仅是让孩子心智快活的玩具,也是让我们成年人精神愉悦的情侣。她/他可爱着呢!

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-7 16:18 编辑 ].

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2008-12-7 11:31 发表
将来我计划用这样步骤解决牛吃草的问题:
1. 在看到有关风沙袭击北京时,提出这个问题.
2. 让儿子搜集有关风沙的新闻,研究报告.
3. 寻找风沙的根源. 评价过渡放牧对风沙形成的影响.
4. 引入牧民一家的生活,提出牛吃草的问题. 如果有机会去一次内蒙就太好了.
5. 让儿子给这家牧民提出建议.
有这个想法的话可以看看这个帖子:
http://ww123.net/baby/thread-4587999-1-1.html

很好的一个题目。.

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2008-12-7 00:36 发表
如何解释这道题

从理论上说“0.9……(循环小数)”不等于“1”,但我经过数学推理,“0.9……(循环小数)”就等于“1”。具体推理过程如下:
0.9……(循环小数)=0.3……(循环小数)×3=(1/3)×3=1
推理 ...
这里有过讨论的:
http://ww123.net/baby/thread-4553725-1-1.html.

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引用:
原帖由 hxy007 于 2008-12-7 15:26 发表
在下非常赞同数学即使没有用也值得去学习、钻研、把玩的观点,可同时也反对在数学启蒙阶段脱离生活、游戏以及孩子认知方式去教授纯粹的数学。
赞同。数学不仅仅是一堆定义和公式,更要了解后面的来龙去脉。.

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给大家推荐一位才女MM及其育儿故事,兼议“谁是数学白痴?”

  YANGXIMI者,才女也,茄妈也。蕃茄者,蓬莱路第二小学一年级生也。传说中该校作业量正常,老师心态正常,加之父母育子有方,此子极其阳光灿烂,极尽搞笑搞怪之能事,每天的学习生活皆成传奇。茄妈有神笔一支,顺手拈来,皆成趣事,记录在案,贴之WW。读来令人喷饭,令人神住。
  近日,茄妈有一则涉及数学作业的帖子。转载如下,感慨系之。

蕃茄故事——心态
(源自http://ww123.net/baby/viewthread ... %3D1%26cycleid%3D49

  昨天蕃茄拿回来一张数学卷,躲躲闪闪地,可又不得不拿出来让偶签名。一看,怪不得,看图列式居然错了两题!
  茄妈正想批评,可仔细看看题目,瀑布汗,这鸟儿飞进飞出的,偶也看不懂。再看看蕃茄订正的式子,这汗就算是发大水了,因为,因为偶看了答案也不明所以啊!
  蕃茄先是满脸小心地问:“妈妈,这道题其实我还是不大理解的,到底什么意思啊?”
  茄妈满脸迷茫地回问:“你确定这个答案是对的么?”
  “是啊,这个是老师说的。可我还是不大理解。”
  完蛋了,答案是定论,可娘儿俩一对满不懂啊!茄妈只好非常非常诚恳地向儿子道歉:“妈妈和你一样,也不理解。”
  “啊?”蕃茄错愕地张大嘴巴:“你也不懂?那我怎么办啊?”
  “介妈妈是不懂啊。你想想看,妈妈没有爸爸聪明,爸爸没有你聪明,你都不懂,我们怎么会懂呢?还是明天去问老师为什么吧。”
  蕃茄想想,也没别的办法,但对于偶滴答案很满意,因为无论他在班里怎么样,至少在这个家里,他是最聪明滴人。于是收起卷子决定明天去问老师,把自己的聪明指数再提高一个层次:)
  茄妈心里嘀咕:这低年级数学么把四则运算搞搞明白就可以了喽,聪明点的,还可以做做附加题,介没事儿老画两只鸟飞进飞出的有啥意思啊?不懂就不懂,没关系。心态要好哈,心态一定要好!
  于是偶摆正心态对牢儿子补充:“妈妈比爸爸大十五天,爸爸比你大三十岁,生得越晚越聪明,这个就叫青出于蓝而胜于蓝,明白了?”
  蕃茄点点头,去踢足球了。茄妈对自己的教育成果非常满意啊:虽然偶没教会他数学,至少,至少还教了个成语不是?

小子故事——另一种心态

  记得孩子小一时也做过类似的题目,也被老师判为做错。周末卷大概是用一体机复制的,不是很清晰。经孩子讲解,我算是明白了。原来,图中是一棵树,树上有3只小鸟,天上还飞着3只小鸟。题目要求学生根据图意列式计算。我孩子列出的式子是:

  3+3=6

  孩子说,这题做错了。老师告诉他们,正确的答案是:6-3=3.
  我不明白。
  孩子说:这幅图的意思是——树上本来有6只小鸟,飞走了3只,还有几只?要用减法。我用的是加法,所以错了。
  我倒。凭什么说孩子错了?凭什么就不可以这样想?——春天来了,万物复苏。有3只可爱的小鸟在枝头低呤轻唱,还有3只轻盈的小鸟在低空飞翔,问共有几只小鸟?
  当时我心里就这么想的,可是不敢这么对孩子说。我对孩子说的,让我至今感到羞愧,尤其是在读完《蕃茄的故事》之后。我说:老师这么说,那就照老师说的去理解,去列式子。

  茄妈也光顾过这里,并留有佳作(见第93楼)。人家自称“数学白痴”,可是人家对待孩子的数学学习的心态,让人觉得包括我在内的许多人才是“数学白痴”。
  其实,数学白痴有两种。一种是怎么学也学不会数学,一种是心智异常的“数字天才”。这种“天才”经过训练之后,做加减乘除,速度比算盘和电脑还快。因为,算盘也好,电脑也好,毕竟还要正常人去操作。曾经一段时间盛传过“数字天才”打败算盘和电脑的传奇故事。请注意哦,我们可没有说他们是“数学天才”,只是说他们是“数字天才”。他们脑子里的数字以一种我们难以理解的方式数在高速而准确地运作,但是这些数字以及它们的运算在这些人头脑里没有生成任何意义。所以,他们是“数学白痴”。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-14 10:09 编辑 ].

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引用:
原帖由 hxy007 于 2008-12-7 15:26 发表
  在下非常赞同数学即使没有用也值得去学习、钻研、把玩的观点,可同时也反对在数学启蒙阶段脱离生活、游戏以及孩子认知方式去教授纯粹的数学。这种数学对于孩子,一如 Ernest 的《数学教育哲学》之于我,面目可憎。要是我们脑子里的数学都不可爱了,我们的孩子怎么会觉得她可爱呢?
  
我好奇的是:孩子是怎么看数学的呢?又,数字的可爱在哪里?

我的专业不是数学,我的逻辑思考还行,解题没问题,可是对数字的掌握有点障碍。我知道有些人有认字障碍,就是智商没问题,可是就是难以认字;我对数字也有点这样,看过以后,进不了脑。我对数字,没有感觉。

我的大儿子刚好相反。他打从很小,就喜欢数字。两岁,教会他认数字后,他发现书上有页数,就找了最厚的书--字典,要我教他读页数。过了几个月,他问我:数字越数越大,是不是没有尽头的?也曾问我:往下数,是不是零下?(这里冬天很冷,所以他很熟悉零下这个词。)

他能够摸索出这些数学概念,我当然很高兴。可是,我不太能理解,为什么他会对数字着迷。

他和我可说是话不投机。看了关于铁坦尼的书,他津津乐道的是:船上载了多少鸡蛋,船有多重,有几層,多少船员,头等二等三等搭客有几人,头等舱面积多大。

小儿子哭了,待续.

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数字不可爱 数学可爱 数字背后的意义可爱  回复 2#sask 的帖子

  记得ccpaging在前面某个帖子里说过,他不怕数学,但怕数字。对数字感冒,并不表示对数学反感。
  如果你对数学没有好感,那么,你家大公子对数学的好感大概很难归功于你。但是,他身边总有人,总有某种特殊的际遇,使他迷上数学。
  要理解别人的爱好其实也不难。想一想,你认为什么可爱?再想一想,它为什么可爱?再想一想,它在你眼、脑里、心里是怎么变得可爱的?最后,你就可以用类似的方式,试着去理解孩子认为可爱可乐但你一直并不觉得可爱可乐的事物。
  我还是等着你讲完孩子的故事吧!期待中!!

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 10:01 编辑 ].

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茄妈幽默的。.

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回复 361#sask 的帖子

有些人对于数字的喜爱是不需要背后的意义的。
或者说再他们眼中的“意义”在其他人(甚至包括一部分其他数学家)眼中根本不是“意义”。
比如说奥数一定涉及的整除,余数,素数等知识吧,这些的全部意义就是数字上的意义,任何超出数字的解释都是画蛇添足。
你的孩子喜欢数字,可能每个数字在他眼中都是一个精灵,都是他的一个特别的朋友吧。
这没什么好奇怪的,有的孩子喜欢昆虫,每种昆虫都分得清清楚楚,津津乐道;有的喜欢恐龙,有的喜欢兵器,有的喜欢奥特曼,有的喜欢动漫游戏,有的喜欢。。。所以喜欢数字也一样。.

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引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-8 09:50 发表
有些人对于数字的喜爱是不需要背后的意义的。
或者说再他们眼中的“意义”在其他人(甚至包括一部分其他数学家)眼中根本不是“意义”。
比如说奥数一定涉及的整除,余数,素数等知识吧,这些的全部意义就是数字上 ...
我只好这么想。

我虽然不能理解,可是他在生活中表现出来的那股劲,我是蛮感动的。他学溜冰,教练要大家溜十圈,他就一定要溜完十圈。到第五圈时,其他学生都走光了,因为他溜得非常差,基本上是一步一步走,可是他就是坚持到底,一定要达到“十”。说要跑一公里,就估计一下客厅范围多大,应该跑几圈,就一定要跑完。跑完后,觉得还有余力,想跑10公里,我马上阻止。折一百架纸飞机,写一千个字,在水底翻跟斗等。。。

他的乐趣仅停留在数字,没跨越到数学的其他方面,小时候让我惊喜的灵思,也很久不再重现。看到你们雀跃的谈数学的乐趣,我有点内疚。

小王子在某个星球上遇到一个对数字着迷的老者,我看书时一笑就置之脑后。现实生活中,我要是不能稍微理解的话,对他对我都是蛮悲哀的。.

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上周小女的数学周末卷:有两种水果,芒果每箱6千克,共72元,苹果每箱4千克,共52元。哪种水果便宜?便宜多少?小女答卷:72-52=20,答:苹果比芒果便宜20元。我没晕过去算万幸。
我拿了6粒德芙巧克力,6粒吉百利巧克力,然后各写了2张纸条,德芙是妈妈生产的,6粒卖12元;吉百利是爸爸生产的,6粒12元。
我:哪个便宜?
女:一样便宜。
我:为什么?
女:因为大家都是6粒,而且都是12元,所以一样便宜。
然后我从德芙那拿走了3粒。
我:现在哪个便宜?
女:爸爸生产的便宜
我:为什么?
女:因为你的每粒要3元,而爸爸的只要2元
我:OK,那周末卷的题目错哪,知道了吗?
女:嘻嘻
我:知道爸爸的为什么便宜吗?
女:不知道
我:因为爸爸是开黑心工厂的,他做的巧克力都是用水兑的,而妈妈都是用正宗的巧克力酱制作的,所以我们生产花的钱不一样,也就是成本不一样,所以即使我和老爸卖的价格一样,但妈妈赚的钱少。(顺便引入市场规律)
女:(大笑)我爸爸是开黑心工厂的
我:如果妈妈要赚的钱多,但我还是要用巧克力酱生产,那该怎么办
女:卖的贵点
我:太聪明了,未来的生意人。为什么都是用同样的巧克力酱生产,有的巧克力就卖的贵,有的就便宜
女:无语
我:因为品牌,因为哈根达斯的名气响,所以同样是冰淇淋,它就是卖的比别人贵。
我:如果是你,你会选择降低成本还是提高售价
女:提高售价,那妈妈你呢?
我:哈哈,我是两者都要,不过不能向老爸那样,开黑心工厂,因为那样迟早要被抓去坐牢.

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谁适合做郭靖的师傅? 回复 365#sask 的帖子

  哈,你家大公子是郭靖耶,不是黄蓉,不是令狐冲哟!
  请谁当他的师傅比较合适?
  请黄药师?请风清扬?那就惨了!不光师傅会气得吐血,孩子也会教坏,教傻。
  还是请洪七公吧!或请少林方丈!亢龙有悔,见龙在田,一招一招地教,领会一招再教一招。慢慢来,不要贪多,多教了对这孩子有害无利。但这种孩子有一种可贵的素质,一旦真正掌握一招,他就能够把这一招的威力发挥到极致。好好培养!这种孩子适合学内功型的本事。别让孩子去学凌波微步、剑宗之类的华丽、飘逸的武功!也别羡慕身边那些常被人夸的聪明伶俐的令狐冲哥哥、黄蓉妹妹!让郭靖走他们的成长道路,就会毁一个可能的大师!
  不过,现在的学校教学、考试好像更适合令狐冲和黄蓉。因此,对郭靖就需要格外的呵护、耐心、鼓励。在今天这种急功近利的浮躁环境中,郭靖能成人成才,简直就是奇迹!那太需要抚养者、教导者的定力和智慧了。
  遥想郭靖当年,有多难呀!不仅常受黄蓉善意的戏弄,还被杨康这瘪三追打得如丧家之犬。好在郭靖运气好!启蒙时遇着品学端庄、重视内功修为的江南七怪,读小学中学上提高班时遇着全真七子,读大学时又掉进洪七公、少林方丈等一窝大师中,大学毕业之后各处游学还不停地遇着欣赏他的奇人异士,其中就有武功盖世却把武功当儿戏的老顽童周伯通。天性善良、敦厚、心思简单、做事专心、极有毅力却从不想到当武学大师的郭靖,就这样一不小心成了大师。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 20:03 编辑 ].

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引用:
原帖由 qiaoyingq 于 2008-12-8 11:19 发表
上周小女的数学周末卷:有两种水果,芒果每箱6千克,共72元,苹果每箱4千克,共52元。哪种水果便宜?便宜多少?小女答卷:72-52=20,答:苹果比芒果便宜20元。我没晕过去算万幸。
我拿了6粒德芙巧克力,6粒吉百利巧 ...
没错啊,一箱苹果比一箱芒果便宜20元。你又没有问单价。

再次印证楼主前面说的“其实就是考语文”的观点。.

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回复 368#火车是运茶的 的帖子

正想说这事呢!想到一块了!!.

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轻松学数学:毕达哥拉斯学派真相

http://songshuhui.net/archives/5553.html
(强烈推荐“松鼠会”!)

  



  



[ 本帖最后由 shumi1 于 2008-12-8 14:17 编辑 ].

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2008-12-7 00:36 发表
如何解释这道题

从理论上说“0.9……(循环小数)”不等于“1”,但我经过数学推理,“0.9……(循环小数)”就等于“1”。具体推理过程如下:
0.9……(循环小数)=0.3……(循环小数)×3=(1/3)×3=1
推理 ...
“0.9……(循环小数)”等于“1”,推理和结论都正确。“0.9……(循环小数)”不等于“1”才是错的。我们经常犯的错误是用一个范畴里的知识来解释另一个范畴里的问题。

0.9……是初等数学里的一个数,一种现象(循环小数);0.9……=1,是数学分析里的一个结论,一种现象(极限);用初等数学里的知识(和不属于数学范畴的想象力)来看数学分析里的问题,难免就会有很多疑问。

也说个关于极限的问题,比0.9......=1更隐蔽

甲乙两个人,一顶帽子,开始甲戴,过一分钟,给乙,过半分钟,给甲,这样间隔一直一半一半下去,最后帽子在谁头上?

在数学分析的范畴里,这顶帽子既在甲上,又在乙上。

前面老兄说到吃不完的蛋糕问题,其实也是用初等数学(或者更确切的说,生活经验)来观察数学分析里的极限问题。蛋糕被无限对分之后,并不会有想象中的那么一丁点,而是0(没有)。但是,老兄也没有说错,蛋糕的确是吃不完的,只是,有一个前提被隐藏起来了,完整的论断是:在蛋糕没有被吃完之前,蛋糕是吃不完的(可以一直对分下去)。这其实是历史上很著名的一个悖论。

话匣子被打开了 再说下LZ前面提到的父子变兄弟的问题,探讨下,希望LZ不要介意。

父子变兄弟,也范了类似的错误:用一个范畴里的知识来解释另一个范畴里的问题。

父子,兄弟,这些概念的存在依赖于“代”(generation) 的概念,而“代”的概念依赖于“生命期”(life cycle)的概念,而一个生物体,如果有“生命期”,那必定是有限生命的。当我们讨论无限生命(长生不老)的时候,也就没有了生命期,代,父子,兄弟这些概念。父子变兄弟,其实是偷换了一个前提,完整的论断是:如果父子能变兄弟(按照LZ的说法是,如果人的生命无限),那么父子能变兄弟。至于因此来讨论三位一体,更是关公战秦琼了。

谢谢LZ开了个好贴,WW上难得看见这么求同存异的帖子。.

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引用:
原帖由 shumi1 于 2008-12-8 14:14 发表
http://songshuhui.net/archives/5553.html
(强烈推荐“松鼠会”!)

226036  

226037

226038  

226039
很不错,谢谢分享。.

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回复 368#火车是运茶的 的帖子

可是每个水果的含金量是苹果贵呀?!这两种水果的价格所包含的重量应不计吗?.

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谈父子教学无穷大 兼接受yiyilaoba 的批评

   yiyilaoshi 批评得对。我接受,并请各位BBMM注意:hxy007说数学教育兴许还有几分可信,说数学本身的问题时,就不要太当真了。
  偶是一觉得数学好玩,就会胡扯的。偶越胡扯,就越觉得数学好玩。不但数学好玩,跟数学扯到一块的万事万物也好玩。偶有时也不胡扯,那时一般就不好玩。试举一列说明之。
  前面ccpaging报道了他们家父子俩探讨无穷小的经历,其实他们还探讨过无穷大的概念。我们家东施效颦,也试过一回,但办法不同。请各位来观察和评价一下:哪个更有趣?哪个更具教学效果?

下面引自“明强小学”圏http://ww123.net/baby/viewthread ... %3D1%26cycleid%3D52

二年级:除数为什么不能为0?
ccpaging 发表于2008-10-16 23:16:00

  先准备一个20厘米的尺子。
  父:当我们要把尺子分成2厘米的小节时,能分成几个小节?
  子:10小节,写成算式就是 20 / 2 = 10,在这个算式里,20是被除数,2是除数,10是商。
  父:当我们要把尺子分成1厘米的小节时,能分成几个小节?
  子:20小节,写成算式就是 20 / 1 = 20,在这个算式里,20是被除数,1是除数,20是商。
  父:当我们要把尺子分成0厘米的小节时,能分成几个小节?
  子:没法分了。
  父:原来我们学过乌龟和兔子过沼泽地的故事。兔子的腿长,一次可以跳2个树桩的距离,需要跳10次。乌龟的腿短,一次只能跳一个树桩的距离,同样的距离跳20次。如果来了一个腿更短的小动物,那么它就需要爬更多次,才能走过沼泽地。
  子:如果是小蚂蚁,就需要走很多步。
  父:所以,我们发现,腿越来越短,每次爬的距离越来越小,需要爬的次数也就越来越多。如此反复,直到无穷大。也就是说,当除数为0时,商是无穷大。
  子:如果是一片树叶掉在沼泽地里,一步也走不动,那它就永远也不可能走出沼泽地了。

三年级可以理解无穷大了
hxy007表于2008-11-4 17:55

  今天早上不知什么原因,儿子说起老师告诉他0÷1=0,1除以0也等于0.估计孩子是听错了,但他坚持说就是老师教的。不管怎样,不能让孩子坚持一种错误。于是想到ccpaging这个帖子,既然人家的孩子二年级都能够理解“无穷大”概念,俺家孩子三年级了,应该也没有问题吧。况且,俺家孩子已经开始学小数。和他讨论“无穷大”,有利条件多了。下面是今天早上的父子对话:

  父:1÷0.1等于多少?
  子:10.
  父:行啊!你怎么算出来的?
  子:因为10×0.1=1.
  父:我知道你怎么算的了。那么,1÷0.01呢?
  子:100.
  父:1÷0.001呢?
  子:1000.
  父:1÷0.0001呢?
  子:10000.
  ……
  父:我的除数就这样一直小下去,你的商呢?
  子:我的商就一直大下去。
  父:我的除数小小小,小到0,小得不能再小了。(其实还可以小下去,但孩子没有学负数,就这样说吧)
  子:我的商就大大大,大到不能再大。
  父:对!大得不能再大的数叫“无穷大”。那你说,1÷0=0对不对?
  子:不对。1÷0应该等于无穷大。
  看来,学了小数,理解“无穷大”概念更加方便。

  也许有人会说,hxy007父子的证明更严密,更数学!我倒由衷地认为ccpaging父子的方法更可取,因为它更直观,更有趣,更自由,更具想象力,小孩子的印象更深,而且把握得住。就是说,效果更好!只是我家孩子的问题有所不同,且因学单位换算而开始接触小数,我想知道孩子究竟能否理解小数,才使用了这个法子。否则,光和孩子讨论无穷大概念的话,还是用ccpaging的法子更为恰当。那可是一种富有诗意的数学!

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 22:52 编辑 ].

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呵呵,花了一个下午的时间,看这个帖子。

果断地评选本贴,为我在旺旺上看到的最好的帖子!

理智又不乏激情,俺喜欢!.

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引用:
原帖由 qiaoyingq 于 2008-12-8 15:06 发表
可是每个水果的含金量是苹果贵呀?!这两种水果的价格所包含的重量应不计吗?
大人会假定题目问的是单价,可能题目的本意也是如此,但是应该允许小孩理解为总价。
不管怎么样,这里的问题已经跟数学没有关系了。这完全是一个生活常识或者交流沟通的问题。
考试最好不要出这种模棱两可的题目。.

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回复 367#hxy007 的帖子

挑个刺, 杨过是后辈,和郭靖同时的是杨康。.

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回复 377#火车是运茶的 的帖子

谢啦!改过来了。我可不想骂杨过。.

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嘻嘻,茄妈是我的偶像.....

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回复 366#qiaoyingq 的帖子

LS说的都挺有道理的,问题并没有明确到底是以箱作为单位还是以公斤作为单位来比较。两种做法都应该得到老师的认可。不过我估计老师只会认可这位妈妈的做法。因为我们现在解题往往是先要揣测老师究竟要我们回答啥,才敢去回答的。常常是:题目是灵活的,答案却是死的。.

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真不舍得这个帖子离开明强的圈子。前一阵碰到老邻居,她儿子就读在其他小学。她无比羡慕地对我说:旺旺上你们明强的圈子真好呀,讨论的内容那么有深度,又宽泛,不是一天到晚什么分,什么班,什么证。。。看着就让人紧张让人烦。。。 我听得那个美啊,得意啊,轻飘飘啊。希望没有了这个帖子的明强圈子继续把这种精神发扬光大下去。.

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弱弱的问一句,明强小学在哪?.

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回复 371#yiyilaoba 的帖子

如果是我的话,我会这样来讲。
你需要理解,“数值”和“数值的表达形式”是2回事。
比如说0.3333.....和1/3的值相等,但是表达形式很不一样。
其实,小数这种表达形式是人们为了书写简便而创造的。
比如说一个小数0.123其实它在10进制下的值就是表示(1/10+2/100+3/1000)的和。
而0.999999.....的值就是(9/10+9/100+9/1000+9/1000+......)的和。这个和可以用你掌握的方法来计算,等于1。
所以说,1和0.9999....的值是一样的,但他们的表达形式不一样。以后你还会遇到很多表达形式不一样但是值一样的数,这一点都不奇怪,就像同一个人穿了不同的衣服一样。

再扩展一下,你可能会问,我知道0.3333....等于1/3是因为我会列触除法的算式,1除3算出来就是0.3333.....。可是,我用1除1,算式列不出0.99999......,这是怎么回事呢?
我告诉你,用1除1,算式也可以列出0.99999......。
诀窍就在于你的第一位不要马上写出1来,而是写一个零(现在我们的除法还没做完呢,只要最后没有余数,我们就除好了,不是吗?)。然后,被除数是1.0,除数是1,商现在是0.,接下来你试着写一个9(你未必知道10除以1等于10的,我们试一下,只要最后能够除尽,不就行了吗?)。继续下去,你发现什么了,你除出来了,1除1的商是0.99999........。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2008-12-9 16:57 编辑 ].

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回复 382#yiyilaoba 的帖子

弱弱地回答:明强在闵行的。不过我上面的回复主要是针对旺旺上的明强圈子的,更精确一点:主要是指旺旺上的明强圈子里的几个牛BB引发的一系列经典讨论。.

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回复 374#hxy007 的帖子

按这样教无穷大的概念确实比较形象,但会有以下缺点。
因为老师可能教过,任何数乘以0等于零。
而除法是用乘法的逆运算来定义的,求一个数除另一个数的商,其实就是求除数乘以多少的结果等于被除数。
那么,如果1除0等于无穷大的话,就意味着无穷大乘以0等于1。这和老师教的任何数乘以零等于零就有矛盾了。

我认为有必要从一开始就告诉孩子,无穷大不是一个数。是为了能够让零做除数,我们才特别造出一个新的概念叫无穷大。它和其它的数很不一样。不一样在哪里呢?我们可以讲很多小故事。比如说有名的旅店排房间问题。

如果有BBMM认为没有必要给孩子讲得那么深,那么我建议,索性就和孩子说我们现在手头的数里找不到任何一个和零乘起来等于1的,所以我们写不出1除零等于几,我们现在手头的数并不完美,不够用。这样的困惑是符合人类认知数学探索数学的历史规律的。以后,让孩子带着这个“无法解决”的问题接触无穷大的概念,他会得到更多东西。.

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引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-9 16:52 发表
如果是我的话,我会这样来讲。
你需要理解,“数值”和“数值的表达形式”是2回事。
比如说0.3333.....和1/3的值相等,但是表达形式很不一样。
其实,小数这种表达形式是人们为了书写简便而创造的。
比如说一个小 ...
嗯,不过,这和初等数学里“余数<除数”的规则相左,可能会引起混淆。.

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引用:
原帖由 有你乐无穷 于 2008-12-9 17:08 发表
弱弱地回答:明强在闵行的。不过我上面的回复主要是针对旺旺上的明强圈子的,更精确一点:主要是指旺旺上的明强圈子里的几个牛BB引发的一系列经典讨论。
知道了,谢谢。.

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回复 385#jyuntoku 的帖子

下面我想写为什么我们需要有一个零,以及为什么任何数乘以零等于零。

我先有了自然数(从1开始,可以和我们看到的客观世界的物体的数量对应)。自然数是建立在“1”之上的。我有了1,意味着我们可以把某样东西认识为“一个”对象。然后我们会数几次“1”,就有了所有的自然数。每个自然数意味着我们数了若干次的“1”。

然后我们发明了加法。2加3,意味着我们数了二次”1“以后又继续数了三次”1“,我们发现这和我们从一开始数五次”1“的结果总是一样的。所以我们把数了二次'"1"写作2,数了三次”1“写作3,数了五次”1“写做5,而且我们用+来写加法的话,就有2+3等于5。我们惊讶地发现,我们总能找到任何两个数的和,因为只要我们数下去就能数到那个数。我们非常高兴,因为我们有一座数字组成的完美的宫殿。

我们有了加法还不满足,我们还想知道哪个数加上3等于5之类的问题的答案。我们把这个答案写作5-3,根据我们做加法的经验,我们知道5-3等于2。

但是我们很快就遇到麻烦了,我们找不到3-3,或者3-5的问题的答案。在我们已经有的数里找不到这些问题的答案。我们很犯愁,觉得之前的数字宫殿一下子就变成了一栋破屋。

我们绞尽脑汁想解决这些让我们束手无策的问题。我们开始尝试,我们假定我们找到了3-3的答案,我们把它叫做零,根据我们做加法的经验,零+3应该等于3。迄今为止似乎没什么可抱怨的,只是,难道我们要给之前的每个数(暂且称为“老数”)都配一个新的数来表示那个老数自己减去自己吗?那可太麻烦了。

让我们走得再远一点,我们知道2+3=5,你猜我们发现了什么,我们发现,既然零+3=3,那么零+3+2=零+(3+2)=零+5,同时零+3+2=(零+3)+2=3+2=5,啊哈,原来零+5=5。看来,任何一个我们之前用的数(暂且叫“老数”)-同样一个老数,也都等于零。我们不用找那么多个零了,我们只需要一个零,就能写出所有老数减自己的答案了!我们把零写作”0“。

今天暂时写到这里,我们把零给发明出来了。其余部分以后有时间,我会接着写的。.

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回复 386#yiyilaoba 的帖子

我在列除式的时候没有用到你说的余数的概念。
我只是说,只要我们最后除法算式能减出零来,我们就除完了。

另外,余数的概念是基于整除的概念产生的,我们讨论商是小数的时候,根本不会有整除,所以也不会有余数。.

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回复 386#yiyilaoba 的帖子

我又想了一下,提到余数反而更容易说明。

7/3=2余1。余数的概念是这个意思 :
7/3=2余1=2*3+1。
同时,我们也可以写出这样的等式:(只不过这里加号后面不再是余数了,但不妨碍等式成立)
7/3=1*3+4=0*3+7

我们在做那个除式的时候就是想通过算式算出,1/1=0*1加几?
我们除出来,1/1=0*1+0.999.......。所以0.999......=1.

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重要地是你的感受

当我们对数学问题不断的深入讨论下去的时候。我的儿子在不断的打哈欠,那么我是不是应该把儿子拎出去教育一顿:"你怎么能对学习这么没有兴趣,你看这里多少BBMM都在刻苦地专研数学问题."

昨天看了《死亡诗社》,老师说:“你们不要去分析诗人在诗歌里边讲什么,重要地是你的感受是什么?”

数学是不是有类似的东西在里边呢?

说到系统范畴的问题,在一个解题系统里边,只有三个组成老师、学生、教科书,题目是从天上掉下来的,答案是标准的。也难怪在这个系统里边,无论我们多么深入,永远也无法找到关于如何发现问题、如何解决问题、如何验证问题的答案,因为这个系统里边本就不存在这些东西。

但是,数学真的就是这么狭隘吗?如果这的是这样,那数学真的是无趣的。不喜欢做题的同学可以放假了、、、

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:42 编辑 ].

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质疑是自然科学的本质

谁来答惑?
如何解释这道题

从理论上说“0.9……(循环小数)”不等于“1”,但我经过数学推理,“0.9……(循环小数)”就等于“1”。具体推理过程如下:
0.9……(循环小数)=0.3……(循环小数)×3=(1/3)×3=1
推理过程没错,但0.9……(循环小数)=1让我无法解释,特此请各位老师指导,谢谢!
福建省漳州市芗城小学五年级学生

二OO八年十一月十九日
=============================================
这道题是一个good question,我认为真正的问题出现在:
0.9……(循环小数)=0.3……(循环小数)×3

在不涉及到无限循环小数前,这个等式的成立的。这个在我们做的所有的算术中,都得到了证明。

可是这些算术中的金科玉律真的能应用于无限不循环小数吗?我们的学生能在这个问题上打上个大大的问号吗?

从这道题的计算过程来看,事实非常不能令人乐观的。甚至在一个明显的错误出现时,我们甚至都没有想到过,或者说敢于去质疑一个算术教科书上的金科玉律。说到底,在一个解题系统里边,仅仅是顺从和接受,原来根本没有质疑的空间。

令我想起儿子一年级语文老师给儿子的评语:“希望Alex能够质疑问难”。

这是一个好老师。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:43 编辑 ].

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懒汉试算法

引用:
原帖由 ccpaging 于 2008-12-9 19:57 发表
  当我们对数学问题不断的深入讨论下去的时候。我的儿子在不断的打哈欠,那么我是不是应该把儿子拎出去教育一顿:"你怎么能对学习这么没有兴趣,你看这里多少BBMM都在刻苦地专研数学问题."
  ……
  但是,数学真的就是这么狭隘吗?如果这的是这样,那数学真的是无趣的。不喜欢做题的同学可以放假了……
   深有同感! 严重同意!

回归“亲子数学”

  最近的帖子由于几个大虾的加入,讨论越来越深入,也越来越热闹了。其中的许多讨论,唤起了我学过的许多曾经让我会心一笑的数学知识,也让我增长了许多新的数学知识。可是,怎么说呢?好像我们这些BBMM自己玩起了数学,却忘记我们的孩子。个人认为,让孩子喜爱数学的BBMM一定也是数学迷。各位迷到在此开数学学术讨论会的程度,令我感动。只是本帖是想一起来谈“亲子数学”,尤其是“快乐的亲子数学”。因此,请各位发表了数学方面的高见之后,也谈谈如何让孩子们领会这些高见,并且像我们一样享受其中的乐趣。
  我带个头吧!——回到亲子数学上来。

  今天下完班上来看,觉得这个帖不怎么好玩了。就翻墙到蓬莱路第二小学里,找好看好玩的东东。在这里,茄妈YANGXIMI几乎每隔一天,就会说个蕃茄小子的传奇故事。今天我又看到一则数学方面的帖子。转述如下:

恼人的小一数学
YANGXIMI 2008-12-9 14:02
(引自http://ww123.net/baby/viewthread ... p;page=1#pid4061655

  昨天被这个看图列式真得搞死,周练上又有一道偶看不懂的,或者说偶看不清的,所幸蕃茄做对了。就是有只笼子,里面有五只,外面有七只,介我想要么是5+7,那么就是求有几只鸟,要么是12-7,笼子里还有几只鸟,再不济12-5,飞走了几只鸟。结果真晕死,统统不是,答案是8-3+4,偶怎么看都看不明白,后来蕃茄告诉偶,故事是酱紫滴:本来笼子里有8只鸟,飞走了3只,所以还有5只,但还有4只想进来,所以答案是9.真真彻底晕厥咯!我问他怎么知道外面七只鸟里有逃出去的,有作死要进来的,他说看鸟的嘴巴,朝笼子外的说明是逃走,朝笼子里说明要进来。偶,偶,偶,让偶死了吧!
  还有一道附加题:A+B=15,A-B=5,问A=?,B=?。
  蕃茄的确会做,但他的算法和我们的代数完全不是,在我看来那就是凑数,他看了题目就告诉我:其实就是有两个数,它们加起来的和是15,它们相减的差是5,问我们这两个数是几。然后他就自己凑15的分与合,一下下就凑出了10和5.但如果数字再大些,这种方法肯定就不行了。
  我觉得这种方法太“低级”,但在旺网上得到人家肯定,说是数学的一种很重要的演算方法,叫“试算法”,介么我也呒没想法咧,人家搞数学的人都肯定的说,呵呵。
  我试着教他把两等式相加或者相减,可蕃茄不是很明白等式的意义,所以并不能运用。
  我再试着教他代入法,把式二代入式一,一开始很难理解,但后来通俗地讲了一下,终于明白了。我是这样解释的:式二表明什么呢,表明A比B大5,那么我们是不是就可以把B写成A-5?蕃茄不理解,但他认同A比B大5,经过自己的反复凑数演算,终于认可一个数比另一个数小五的话,的确可以写成另一个数减5,(晕死!)。然后他自己就把A-5代入了式A,然后求出了A。
  但是偶换了两个数字给他做,可能比较大,和都出到64了,想当然以为蕃茄还会做咯,结果不会了。我估计是自己教的方法不对头,想向大家求助,到底哪能解释比较好懂些???
  偶是真的白痴咯。或者说偶以前解题是只知其然,不知其所以然咯,比如这个等式互加减什么的,偶真是昨天才明白为什么可以滴。所以现在很怕教错蕃茄了,我不知道让他怎么理解这个“代入”的概念。现在他可以把式2化解成A=5+B,但就是想不通代入这一层,一定要我帮他代好了,他才会作下去。是不是偶教的方法本来就不对头呢?不应该教他代入什么的?

懒汉试算法:hxy007回复YANGXIMI 的帖子

  是的,教早了。一般效果不好。
  就让他试算吧!你想啊——因为这道题,蕃茄公子不得不一个数一个数、一组数一组数地试算下去。他最终总能找到答案,而且顺便做了许多道加法、减法题目,还不会觉得累,不觉得烦,多合算啊!  
  但是,有四个建议:
  第一,在试算之前,可以和蕃茄公子讨论和估计一下试算的范围,可以这么启发:A最大可能是多少?(从式一中可知是15)A最小可能是多少?(从式二中可知是5)这既是在确定试算范围,也是在让孩子明白试算并不是瞎猜。就他目前所知的自然数范围而言,他要是用A=16或A=4去试算,就是瞎猜。
  第二,试算时要阻止蕃茄公子不要无规律地、跳跃性地乱猜,要求他或建议他,在既定的试算范围内有序地试算。可以从“A为15时,B在一式中和在二式中是多少,是不是一样”开始,然后试算“A为14时,B在一式中和在二式中是多少,是不是一样”,降序试算,直到找到答案;也可以从“A为5时,B在一式中和在二式中是多少,是不是一样”开始,升序试算,直至找到答案。这么有序试算的过程中,一定要让孩子去体会为什么要这样做——乱猜可能会漏算了正确选项!
  第三,如果蕃茄公子有兴趣探讨这个话题,还可以进一步鼓励和启发孩子:能不能想个法子,少试算几次就找到答案?其中有一个法子是:先试算一头一尾(A=5和A=15),在没有找到答案的情况下,再试算中间那个数(A=10),这下恰好就找到了答案。在别的题目中,中间数可能还不是答案。这种情况下,可以根据实际情况,判断正确答案是在前半部分(如5~10),还是在后半部分(如10~15)。这等于是减掉了一半试算量。反复用这个法子,就能够以一种严谨的但试算次数少的方法,找到答案。有了这个思路,你会发现数大的方程式,用试算的方法也可解答。如果蕃茄公子对想出一个如此巧妙、合理的偷懒办法有兴趣,一定要加以鼓励和促进。
  第四,即使孩子对上述“懒汉试算法”没有兴趣,或者不理解,也没有关系。让他老老实实从5到15(或从15到5)有序地试算,可能会另有一番作用。因为,这种一个不漏的有序试算,会在试算的孩子面前,呈现A和B在两个方程式中的变化规律。适当提示和引导,孩子就可能发现这种规律,甚至就会觉察到两个式子中有一种神奇的联系。他要是再灵机一动,一不小心就“发明”了代入法,或者说,突然领悟了代入法——成功的教例见本帖第16楼(有人批评hxy007把事情弄繁琐了,可能是因为没有理解俺的深意)。就算一时领会不到,也可以为初中正式学习二元一次方程作一次初步的启蒙。
  总之,这个题目本来就不应该让小学生做。在小学的任何考试、测试中,都不应该出现这样的题(奥数除外,它太牛了)。如果出现的话,将是千夫所指、万妇所骂。如果作为小学生平时练习中的附加题-选做题-提高题,让某些小学生自愿选做、试做,做着玩,似无不可,惟试算法可取。让孩子试算这道题,不是为了检查孩子有多聪明,也不是为了让孩子仅仅解决这个具体的问题,甚至不是为了使孩子的试算技巧更加熟练,而是为了让孩子经历一段富有挑战性的、愉快的数学旅程,顺便感受一下数学精巧的思维方式。

教学相长

  顺便说一说“教学相长”。
  茄妈自晒:“以前解题是只知其然,不知其所以然咯,比如这个等式互加减什么的,偶真是昨天才明白为什么可以滴。”这很正常。许多学识,我们自以为懂了,其实不然,可能还是夹生饭,或者说,可能还没有完全消化。这种知识上的隐性不足,在正常的学习中本人不易觉察到,但会在教孩子的过程中暴露出来,也会在教孩子的过程中得以弥补。所以,古人说:“教学相长!”
  《学记》云:“学然后 知不足,教然后知困。知不足,然后能自反也;知困,然后能自强也。故曰:教 学相长也。”
  今天许多人把这里的“教学相长”解释为:老师或家长的教,学生或孩子的学,相互促进。谬也!古人的意思要深刻得多了,人家说的是:教学生、教孩子,可以发现自己的困惑,进而促使自己不断学习,不断提高,自强不息。简单地说,教是一种再好不过的学。
  所以,不要把教学生、辅导孩子,仅仅看成是一项促进孩子学习的义务或责任,这种事情也是促进我们自己成长的一种方式。教不仅仅使学生或孩子受益,也使我们自己受益。让孩子快乐学习数学,我们也能从中分享快乐。
  广而言之,为了检查孩子的学习情况,或者为了帮助孩子巩固和补差,让孩子做题仅仅是一种选择。还可以让孩子出题来考我们,或者让孩子来教我们。教别人,不仅是我们成年人的一种学习方式,也可以成为孩子们的一种特别学习方式。如果我的孩子喜欢教他的同学,我会万分欣喜。那不是在浪费他的时间,而是在真正地学习和提高。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-10 10:33 编辑 ].

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看图列式题老搞的。.

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为什么要看图列式?怎样处理这类习题?

引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2008-12-10 09:19 发表
看图列式题老搞的。
  我非常理解学校为什么要在一年级出看图列式的习题、试题。
  本轮的数学课改,一个改革目标,就是转变启蒙数学抽象化、去意义化的纯粹数学取向,努力引导孩子利用其生活经验学习数学,并且领会数学的生活意义,简单地说,就是“数学生活化”或“生活数学化”。出于这样的考虑,让孩子做的习题、试题,就应该尽可能地是情境性的数学题。照理,用文字去叙述这种情境性的数学题,已知条件和问题就会比较清晰,不致由引起看不懂或误读的情况。可是,一年级的孩子识字量有限,文字理解力有限,想来想去,似乎只有看图列式可以做到“数学生活化”了。
  问题就在于:用图画的方式出题,因为种种原因也会引起看不懂或误读的情况。原因包括:图片不清楚;图意不清晰,或可作多种理解,而出题的老师只认其中一种理解,只认一种答案;有的孩子读图能力不过关,老师以为都是图片了,学生个个都应该看得懂,其实是一厢情愿。因此,处理这类题目,至少有如下要求:
  第一,图片要画得像样一些,要足够清晰。学校出于节约的考虑,使用质量比较差的纸张印制习题、试题,可以理解,完全赞同。但是,最好把图片放大、印大一些。
  第二,图意要清晰,如果可作多种理解,老师判卷、批阅作业,不能一根筋,只认可一种理解,只认可一种答案。
  第三,要训练孩子的读图能力。孩子因不懂图意而做不出作业,或做错作业,不得作“数学不好”的评价。人家并非数学不好,而是看图理解意思的能力不够。.

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回复 374#hxy007 的帖子

昨天也想试着给小女灌输些无穷大的的概念,可问了她1/0.1等于多少,她根本不知道乍做,本想让她用竖式计算,可觉得有点难度,帕教的不好,不如不教,不知LZ是如何开发的,学习中!!!.

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提出问题有多重要?兼论数学探究及其知识准备 回复 396#qiaoyingq 的帖子

  我孩子相信1除以0等于0,所以我不得不跟他讨论,使他认识到这是一个错误(详见第374楼)。我同时又认为,老师跟孩子说的“1除以0没有意义”也是一个错误,而且我很难用老师这句话让孩子放弃“1除以0也等于0”这个臆断。我该怎么办呢?恰好看到ccpaging用直观诗意的方法成功地教二年级生Alex理解“无穷大”的概念,我也就看到了希望。
  hxy007比较成功地帮助孩子建立“无穷大”概念,进而认到“1除以0也等于0”是一个错误,是建立在孩子具备如下知识准备的基础上:
  (1)孩子真正领会到了除法是乘法的逆运算,在他脑里能够非常自如或至少比较自如地这么操作:如果ab=c,那么,a=b/c, b=a/c;或者,要想知道b/c是多少,只要搞清楚b乘以几会等于c就行。当然,这是我的表述。孩子脑子里的也许不会是抽象符号,但类似的可逆性运算,一定会发生在一个“真正领会到了除法是乘法的逆运算”的孩子的脑子里。这是孩子能够与我一起证明无穷大的数学基础。
  (2)孩子已经有初步的却是正确的小数概念,或者说,已经有支持小数概念的健全生活常识。孩子在前一天的晚上,拿着尺子跟他妈妈比划过、验证过老师刚刚教过的单位换算知识:1m=10dm=100cm=1000mm, 倒过来说,1mm=0.1cm=0.01dm=0.001m。在他脑子里会有这样的想法:1米的长度,用分米去分,可以分成10份(10分米);用厘米去分,可以分成100份(100厘米);用毫米去分,可以分成1000份(1000毫米)。这使得孩子在次日早上与我讨论时,能够回答1/0.1=? 1/0.01=?  1/0.001=?这是孩子能够与我一起证明无穷大的生活常识基础。
  就算是有这两个知识准备,孩子也未必能够理解这种无穷大的证明过程。我的孩子能够幸运地初步理解这个概念,是因为他有“为什么1除以0不可以等于0?”的困惑。这个困惑或问题,引导着他去思考,刺激他去探索。这大概就是ccpaging老爹如此重视问题意识和强调培养孩子提问能力的原因吧!(换句话说,如果你孩子没有类似的困惑,你确实只能“灌输”了,效果自然不会如意。学习的时机很重要哦!晚些讨论这个问题,到中学再讨论这个问题,完全是正常的,不要急嘛!现在要教的话,那得有类似上面的那样的准备,包括MM和宝宝比划长度单位那样的铺垫。)
  人有追求快乐和安逸的天性,一旦发觉自己在某个方面无知和困惑,心智上就会有一种失衡感和不适感,就会想办法为自己的心智世界寻求一种新的平衡。办法很多:一种是设法欺骗自己,让自己觉得自己是懂的;一种是构建一种迷信,用它来安慰自己不安的灵魂;一种是去探索,去求教,通过弄明白其中的道理,来满足自己。对于孩子,我们成年人的责任,便是引导孩子用最后一种办法,即用理性的方法,去面对充满奥秘的自然和社会,去解释和解决所遇到问题。这就是学习,这就是探究!
  但是,仅仅这样做是不够的。因为,没有问题,没有困惑,就不会主动去思考,就不会主动去探索,就不会有真正的学习。因此,提出问题永远是第一位的学习。不但我们要提出问题刺激孩子去学习和探索,更要鼓励孩子提问,重视孩子提出的问题,充分利用孩子提出的问题,以促进孩子主动学习和探究。有人说,人类对提问的方法缺乏研究,甚至认为促进提问的方法不可研究。这太武断了!在我所知的范围内,真正的哲学、自然科学、社会科学,至少有一半的篇幅是在提出问题,是在谈问题,在谈如何提问,仅有一小半篇幅在非常谨慎、非常谦逊地试着去解答某些问题。这不是人类的悲哀,恰恰相反,这是人类的幸运!正是因为人类有许许多多的问题和困惑,人类的理性生活才充满挑战,充满乐趣!
  数学是那么的精巧,是那么的完备!我们学得越多,就越有体会。这就容易使我们除了崇拜和学习之外,就不敢有质疑问难的非分之想。也容易使我们觉得:屁大的孩子嘛,懂什么,能提出什么数学问题?他们的任务就是学习,学习怎么解题,简单地说,就是做题!我想说的是:就算已有的数学已经发展到了极致,根本不存在没有解决的难题了,我们也不能忽视孩子在数学上提出的问题,我们也不得不让孩子重新走一遍(至少是部分地重走)人类经历过的探索之路。前面不是证明了吗?——要让孩子明白为什么有十进位,为什么还有别的进位,我们就不得不回到遥远的原始社会。我们可以疏忽轻视孩子提出的这种问题吗?我们可以禁止孩子提出这种问题吗?或者,像毕达哥拉斯那样把希帕索斯们统统扔进海里?

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-10 13:55 编辑 ].

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回复 4#ccpaging 的帖子

两位学者,不如开个学习班吧, 我女儿一年级,好象数学方面不太开窍,自己也不太懂怎么教,得好好学习一下。
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现在的问题是,好的,开放性思维的老师太少,少也就算了。这些老师往往会把孩子的兴趣灭掉,一定让孩子回归教条中公式中,这才是我最郁闷的地方。楼上家长举例算比较复杂的。我们一年级在5个数中选3个做算式,这么简单,开放的题,老师居然给孩子标准算式。我在家鼓励孩子写的越多越好,还有奖励,结果卷子拿回来一看,全部擦掉,只剩下4个标准答案。真是一群狗屁不通的老师,误人子弟啊!.

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“1除以0等于无穷大”是一个约定,而不是一个证明。既然是约定,只要大家都认可,而且不会在现实中造成麻烦就可以了。当然有些约定可能比其它约定在某些方面更合理一些。

“1除以0没有意义”也是一种约定,比如在计算机中用0去做除法,计算机就会报告错误。

“1除以0等于0”也可以是一个约定,但是这个约定很不好,跟我们已有的数学相矛盾。

这个问题不必下结论,关键是让孩子了解为什么1除以0的结果不能是一个确定的数。.

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