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[数学] 从来不相信刻苦学习(题海战术、机械训练),畅谈亲子数学,兼谈数学的乐趣

本主题被作者加入到个人文集中

儿子睡了,我来证明幻方的中间是和的三分之一

0-8幻方的和是12,中间是4;
1-9幻方的和是15,中间是5;
2-10幻方和和是18,中间是6。

计算幻方的和是多少并不复杂,知道要填的数从哪里开始就可以了,累加的算法LS已经有了。
假设幻方为:
a              b                c
d              e                f
g              h                i
和为sum,那么
a + e + i = sum
g + e + c = sum
d + e + f = sum
b + e + h  = sum
那么夯不郎当加在一起,可以知道:
(a + d + g) + (b + e + h) + (c+ f + i) + 3 * e = 4 * sum
3 * sum + 3 * e = 4 * sum
3 * e = sum
e= sum / 3

不难讲,不过小二能找出这个算法恐怕不太可能,以后再说吧。.

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老子偷玩小子的幻方 回复 300#ccpaging 的帖子

  我家孩子一年级或二年级时也带幻方作业回来过,唤起了我这个老爸对初中时自制幻方、玩填数字游戏那段美好回忆。孩子睡了,偷偷拿出孩子的作业,把其中的幻方题统统做了一遍。就像ccpaging,吃饱了撑的,夜深了,还在搞什么数学证明!有什么用啊?我的回答是:虽然没有什么实际的用途,虽然这种游戏有点小儿科,却大大地满足了我们的智力活动需要,过了一把数学瘾。
  有一次出差,在机场曾见一台湾或香港商人捧着一本繁体字的口袋书,在大玩幻方。普天之下,竟然也有和我一样贪玩小孩子游戏的成年人,真让我有一种遇着知音的感动。多次冲动,想上前与之共同切磋。终因那份矜持没有玩成,等想到应该问一问哪里有这种书时买时,人家已经登机……不知大陆有没有这种书。

  下面也说说前头提到的一题:

X             X              X
0             4              X
X             5              X

  此题有解,但超出一般幻方的常规要求,也超出了小学生正常的知识水平。是一道失败的小学数学题,如果不是打印错误的话,那就说明老师没有用脑子出题或选题。此题的解为:

6.5  3   2.5
0           4             8
5.5  5   1.5

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-5 11:07 编辑 ].

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值得学习的好贴.

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回复 54#小龙人妈妈 的帖子

这是一道100%的数学题。
解题的关键在于对于题目的理解。
“你能用另一种方式来叙述这个问题吗?“
其实,这道题的精髓在于数学中我们怎么来对一个概念下定义。.

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回复 55#hxy007 的帖子

hxy007是一个懂数学的好爸爸。我特别行赏你可以用孩子听的懂的语言来表述你的意思。

你之所以举船长岁数的例子,是因为你这个例子也涉及到在数学中如何对一个概念下定义。这一点确实比较抽象,但正是你举的聪明蛙和船长岁数的题目的关键所在。

“几天爬出10深的井口”是定义为”向上移动的距离初次达到10米的那一天是第几天“还是定义为”在第几天结束的时候向上移动的距离达到或超过10米“是关键。

其次,对这道题目还可以进行展开。为什么”初次达到“的定义表述在这到题目中会那么重要呢?因为青蛙向上移动的距离反复地增加和减少,不是单调递增的,所以某一个高度青蛙可能会经过几次,故而有区别“初次”“第2次”的必要。”单调递增"的概念比较抽象,可以通过画图让孩子理解,并且可以让孩子发现对于某一个高度,青蛙可能会经过1次,2次,3次,但绝不会经过4次。然后还能继续扩展。。。。.

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回复 86#ccpaging 的帖子

不出所料,你之后的帖子也全都是围绕了“定义”这个解题技巧展开的。.

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回复 111#ccpaging 的帖子

其实这个帖子也间接说明了好老师的重要性。
BBMM们也不用因为自己没有能力像那两位对于数学非常有感觉的BB一样辅导孩子而苦恼,替代的方法还是有的。我想大多数爸爸妈妈都达不到他们的数学辅导水平的,还是进名校,看好书吧。.

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回复 136#hxy007 的帖子

这是一道物理题。
每个孩子天生都喜欢做实验,BBMM要多多鼓励孩子通过实验来认识这个世界。.

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孩子为什么偏爱更繁琐的解法?

引用:
原帖由 ccpaging 于 2008-12-4 17:11 发表
长短不一的筷子,从1厘米到10厘米的每样一根,怎么计算总长度?

脑子里边找把刀,中间来上一刀,把他们都削成一样长度,就可以容易地用乘法计算了。
  这是一个绝妙法子——用非常直观的方法展现了自然数列加和计算的公式及其生活原理。现在,我要是借用这个法子,孩子想必能够理解,而且会觉得这样算更加简捷。但在一二年级时,人家宁愿用更繁琐的算法。原因何在?

  1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=?

  我也曾经启发过孩子:从9里借4个给1,从8里借3个给2,从7里借2个给3,从6里借1个给4,还剩下5,再把10折成2个5,可以得到几个5?
  答:11个5.
  问:11个5是多少?
  儿子开始做连加,虽然他用了一点心计偷懒——先两个5两个5加,然后再把5个10和1个5加起来,得到了55,但他还在觉得累人,边做边抱怨:还不如一开始就把9和1合起来、8和2合起来……这样做更快,还不容易出错!

  我终于明白了,孩子还没有学乘法,所以不能理解我的建议——他只能用连加的方法解决“11个5等于多少”这个问题。到了二年级,孩子是学过九九乘法表。可是,依靠这点知识,他依然不会用乘法去解决“11个5等于多少”。只有到了现在三年级,学了一位数乘多位数的知识与技能以后,他才能理解、接受用乘法去解决“11个5等于多少”的建议,才能理解、欣赏像ccpaging设计的那种形象直观的解决方案。
  奥数班不就是这样吗?我们以为想到了一个巧妙的算术办法,孩子一定能够理解。殊不知,孩子并没有这方面的知识准备。或者说,他才刚刚学到一种基础知识,我们就指望着他立马能够灵活运用于奥数。殊不知,一种知识能够被学习者灵活运用,需要学习者对其内涵、结构、功能反复玩味,体味到相当的程度,才有可能。
  当然,孩子与孩子不同。我家孩子在入小学之前,虽然不缺数学方面的启蒙,但没有提前受过正式的四则运算训练,根本不知乘法为何物。所以,他比他多数同学都要无知,学得吃力,进步得慢。老师还没有教的,他就不懂。人家却早在幼儿园就学过了,现在又在提前学习更加深奥的东西。我家孩子每到一个新知识点,只能靠当下的努力,迅速赶上他那些早学的同学。这也逼得他上课要专心听讲,作业要认真完成。我们也不断地教唆孩子,不懂就要问BBMM,还要让老师知道,拖住老师的后腿,不让老师把上课的步伐迈得太快。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-5 11:00 编辑 ].

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回复 210#hxy007 的帖子

这个帖子看到这里,终于发现原来两位都是得到过名师指点的。
呵呵,BBMM们知道怎么办了吧。.

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回复 227#hxy007 的帖子

孩子问你一个问题,既然老草每天都被牛爸爸吃掉6份,那么为什么每天长出来的新草还是一样多呢?

哈哈哈。.

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给聪明孩子的答复

引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-5 11:16 发表
孩子问你一个问题:既然老草每天都被牛爸爸吃掉6份,那么为什么每天长出来的新草还是一样多呢?

哈哈哈。
  孩子,说老实话,我也觉得这道题目出得特别弱智。有人要是出这种题目考你,你可以拒绝回答。爸爸只不过担心金融海啸中失去工作,硬着头皮去考奥数家教,才做了这道无聊的烂题。放心!我不会用小孩子可以理解方法教别人家的孩子。我就教他们最正规的数学,我把他们都教傻了,你就不用跟他们比奥数了。.

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我小时候也做过这道牛吃草的题目,不过我就是没做出来,答案我也看了,当时也没理解。为什么呢,因为我第一次读题目,就认为“草每天都在长”不是一个不变的量,而是随着草的不断减少而减少的量。
当然,这个假设也仅仅是一个假设而已。也可以假设草的增长量是定量。比如说,可以假设只要草的根还在,它就每天能长高一定的量,而牛不会把草的根也吃下去。但是这样一来爸爸的算术思路又会有一个新问题,那些牛妈妈,牛妹妹是只吃新草的,所以就得认为他们在每棵草上都咬固定长度的一段,这种吃法实在太累了。
后来我发现,按照这个思路来考虑应用题,就快接近语义分析了。
把数学用应用题来教实在不是一件容易的事情。.

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回复 312#hxy007 的帖子

其实如果要正面回答这个孩子的提问,就要涉及到数学模型的设计,以及模型复杂程度等问题了。假设每天长出的新草是一个定量,这也是一种“估算”。.

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回复 283#火车是运茶的 的帖子

用一道类似的已知解法的问题来解决未知解法的题目,这也是重要的解题技巧之一。.

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回复 309#hxy007 的帖子

其实整数域里面的乘法是用加法定义的。代数中所谓的乘法在整数域中是不完备的,因为对于所有非零整数x,1/x并非也是整数。正因为如此,才需要把整数扩大。

上面的表述可能不太地道,因为我是学文科的。.

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佩服.

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回复 309#hxy007 的帖子

家长可以启发他,让他发现规律。.

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回复 315#jyuntoku 的帖子

这不仅是一个技巧,更是一个很重要的数学思想。具体的讲,是一种抽象思维能力,就是说一个东西我不用管它里面是什么,我拿它和另外一个东西组合一下就可以得到我所要的东西,解决我的问题。等我有时间了再来慢慢玩味里面的弯弯绕。.

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再说我的老师

引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-5 11:05 发表
这个帖子看到这里,终于发现原来两位都是得到过名师指点的。
呵呵,BBMM们知道怎么办了吧。
  这组帖子是在谈亲子之间的快乐数学,确实也经常涉及对当前小学数学的批评。但恳请不要误解,我们不是不要老师来教孩子数学,我们也没有能力代替老师来教导我们的孩子。事实上,我们孩子在学业、品行上的进步主要靠的是专职的老师。没有老师的精心教导,我们的孩子将难以胜任学习,未来将一事无成。我们对自己有要求,对老师有期待,但并不是高不可攀。我们并没有指望自己孩子的老师必须是名师,也没有指望孩子一定要上名校,但我们希望教导孩子的老师是对知识有内在乐趣的成年人,孩子天天去的学校是学习的乐园、文明的殿堂,而不是魔鬼训练营、受苦受难的炼狱。
  还要更正一个误解。在下并非出自名校,在下中小学的老师个个都不是名师。我小学一二年级的老师是个小学毕业生,不但教我们数学,还教我们语文、唱歌、画画、体育。在我幼小的记忆里,她整天和我们在一起,好像无所不知,无所不能。我的初中老师里有的是中学毕业来到山乡“接受贫下中农再教育”的城市知识青年,也有的是各行各业中说错话、站错队来乡村接受改造的“牛鬼蛇神”。我的高中老师年轻一些的确有大专毕业的,但更多是中师毕业生,前面提到那位伍老先生就是一位50年代的中师生。当年那些非常普通的山村教师,文化水平参差,际遇各异,但他们在教学中表现出惊人的相似。
  ——他们对自己教授的学科充满了感情,对知识既敬畏又喜爱,把知识教得有滋有味。或许他们内心徬徨,精神苦闷,但是他们从知识和真理中找到了灵魂栖息的地方。他们是真正的知识分子!
  ——他们对自己的工作充满了激情,不但把课上得精益求精,而且以工作的精致优雅为乐。或许他们受到污蔑,被视为“臭老九”,但是他们站在三尺讲台,口若悬河,指点江山,激扬文字,从质朴的山村学子们的无限敬仰中找回了做人的尊严。他们是真正的知识分子!!
  ——他们对学生饱含深情,为山村孩子的无知而痛心,为山村孩子的点滴进步而欢欣。或许他们一生都不会有什么丰功伟绩,他们的学生中走出山村、考上大学的廖廖无几,但是他们鬓发苍苍时看着自己的学生一个个长大成人、生儿育女、成为斯文而快乐的普通劳动者,成就感、自豪感、欣慰感油然而生。当他们去世时,景仰他们的学生们纷纷离开耕作的农田,赤着脚,带着儿孙,参加他们的葬礼。他们含笑九泉,灵魂得以安息。他们是真正的知识分子!!!
  我们也希望自己孩子的老师是真正的知识分子。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-5 13:10 编辑 ].

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回复 319#火车是运茶的 的帖子

我说的解题技巧就是你说的重要的数学思想,只是你可能对我的用词不太满意。.

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回复 320#hxy007 的帖子

我说的名师,你也可以理解成是“好老师”,这和名校可以理解成“好学校”一样。.

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回复 322#jyuntoku 的帖子

你有今天离不开好老师的栽培教育之功,这一点从你的帖子里就完全可以证明。
通过你这个例子我想说明的是,教育这两个字无法脱离”师“,没有”师“,学不好,”师“具有决定性的作用。
我们把学东西称作”拜师“是很有道理的。.

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做个名副其实的老师

引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-5 14:32 发表
你有今天离不开好老师的栽培教育之功,这一点从你的帖子里就完全可以证明。
通过你这个例子我想说明的是,教育这两个字无法脱离”师“,没有”师“,学不好,”师“具有决定性的作用。
我们把学东西称作”拜师“是 ...
  我理解你的意思,并且赞同你的观点。我能够在这里发言,要感谢我的父母,我的老师。但是,我真地不愿意称我所描述的那些老师为“好老师”,他们就是当年最普通的老师。如果我说的那些品质只是“好老师”的高尚品质,那么,普通老师似乎就可以不这样要求自己。其实,我想说的普通老师的正常标准,就是把自己看成是真正的知识分子。.

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“好老师”的三热爱

引用:
原帖由 hxy007 于 2008-12-5 14:48 发表

  我理解你的意思,并且赞同你的观点。我能够在这里发言,要感谢我的父母,我的老师。但是,我真地不愿意称我所描述的那些老师为“好老师”,他们就是当年最普通的老师。如果我说的那些品质只是“好老师”的高尚 ...
哈哈,快跑到范老师的普世价值与实践标准的讨论上了。

其实我认为的“好老师”很简单,热爱数学、热爱孩子、热爱教学。

我碰到过的第一个好老师,是我老爸,他带我到初中毕业,把我交给第二个好老师,然后我混进了大学,掉到一窝好老师中间。

我没法代替我老爸,因为现在已经不是文革末期那样的形势了,所以要想办法给儿子找个好老师。在找到之前,我儿子只好暂时用用我这个“代课老师”了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:32 编辑 ].

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Pull & Push

引用:
原帖由 hxy007 于 2008-12-5 10:49 发表


  这是一个绝妙法子——用非常直观的方法展现了自然数列加和计算的公式及其生活原理。现在,我要是借用这个法子,孩子想必能够理解,而且会觉得这样算更加简捷。但在一二年级时,人家宁愿用更繁琐的算法。原因 ...
hxy007的公子归纳能力比较强,我给我儿子的评价是接受能力比较强。

在此,还是建议hxy007可以象yiyilaoba说的那样,围绕着某个problem适当地pull/push一下,在合适的条件,确有把握的情况下,所谓点拨是也。

教学大纲毕竟还是根据一种普遍的情况下设置的,不同的孩子各有其特点,而家长更善于捕捉这些。

在小数论坛上,老师们讨论过这样一个例子:
在学习了长方形以后,老师要求学生们各自画出几个长方形。有个女孩子,画了2个长方形,然后画了一个正方形,画完以后,瞄了一眼周围别的同学,犹豫了一下,迅速地把正方形擦掉,补上了另一个长方形。
老师的问题是:教学大纲并没有在这一课要求同学们理解,“正方形是一种特殊的长方形”,可是现在出现这种情况,老师应不应该把以后要学习的内容,作为今天上课的补充呢?

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:33 编辑 ].

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怎样才能回归明强小学圈

  姥姥!——不知哪个牛人(不会是W爸吧),把本帖移出了明强小学圈。“小学6-12岁”,圈子太大了,找到自己的帖都难。还有啊,林子大了,什么鸟都有,特别不习惯!
  有什么办法把这个帖子弄回明强小学圈里?
  恳请高人不吝指教!.

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回复 327#hxy007 的帖子

移动帖子要权限的。肯定是版主或者谁觉得这个帖子特别好才移出来的,不要移回去了。

你可以在“我的话题”里面找到自己发过的所有帖子。.

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从别人的眼里寻找真正的自己

我把这贴放在我的收藏夹里边。同时想念明强小学的圈子。

百家争鸣是好事。根据“怪圈”理论,人永远不可能真正了解自己,所以我们了解自己的途径之一是找一面镜子,从别人的眼里寻找真正的自己。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:33 编辑 ].

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不过一念间

引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-5 10:28 发表
不出所料,你之后的帖子也全都是围绕了“定义”这个解题技巧展开的。
转一个网络上流传的段子,轻松一下:

不过一碗饭

两个不如意的年轻人,一起去拜望师父:“师父,我们在办公室被欺负,太痛苦了,求您开示,我们是不是该辞掉工作?”两个人一起问。

师父闭着眼睛,隔半天,吐出五个字:“不过一碗饭。”就挥挥手,示意年轻人退下了。才回到公司,一个人就递上辞呈,回家种田,另一个却没动。

日于真快,转眼十年过去。

回家种田的,以现代方法经营,加上品种改良,居然成了农业专家。另一个留在公司里的,也不差。他忍着气、努力学,渐渐受到器重,己经成为经理。

有一天两个人遇到了。

“奇怪!师父给我们同样‘不过一碗饭’这五个字,我一听就懂了,不过一碗饭嘛!日于有什么难过?何必硬赖在公司?所以辞职。”农业专家问另一个人:“你当时为什么没听师父的话呢?”

“我听了啊!”那经理笑道:“师父说‘不过一碗饭’,多受气、多受累,我只要想‘不过为了混碗饭吃’,老板说什么是什么,少赌气、少计较,就成了!师父不是这个意思吗?”

两个人又去拜望师父,师父已经很老了,仍然闭着眼睛,隔半天,答了五个字:“不过一念间。”然后,挥挥手……

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:34 编辑 ].

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回复 330#ccpaging 的帖子

阁下就是我师傅.

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只比我儿子大若干岁而已

引用:
原帖由 hxy007 于 2008-12-5 22:52 发表
阁下就是我师傅
我没这么老,只比我儿子大若干岁而已。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-17 21:45 编辑 ].

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我们不过是比儿女大些年岁的孩子

引用:
原帖由 ccpaging 于 2008-12-6 01:20 发表


我没这么老,只比我儿子大若干岁而已。
  从大师这句带有禅意的话中,在下受到的启示是:

  宇宙的空间无穷大,跟它相比,我们是如此的渺小;宇宙的时间无穷大,跟它相比,生命是如此的短暂。确实不必在某一处为“一碗饭”而计较,为“一个是非”而争吵。宇宙、自然、人有那么多奥秘,等待我们及我们的孩子去认识,去发现。面对自然和宇宙,我们和我们的世代儿女,不过是一群快乐的、充满好奇的孩子。

  呵呵,阁下还是师傅!.

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昨晚接孩子路上我把船长题目和笨青蛙题目问女儿,她一路上特别开心,然后又自发出了几道题目给我呢,谢谢LZ好贴。
女儿小二,老师有时会和小朋友说有些人适合学数学有人不适合,老师这个话真是有点说的早了,小学真是启蒙启发兴趣的时间呢.

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孩子是待开启的宝瓶

记得看过一个讲英国城堡时代的电影。

主人公的妈妈因为在教堂当过仆人,学会了一些粗浅的医术,但他妈妈不愿意一辈子伺候主,也就是不愿意成为教徒,被教堂驱逐出去。片中所讲的那个时代是野蛮的,在城堡之外,游荡着各种各样的强盗,所谓力大者胜。但是,即使是最强大、最野蛮的强盗都不敢惹主人公的妈妈,因为这个妈妈在教堂里边学会了怎么治病。强盗也会生病,受伤更是家常便饭,经常有强盗跋涉几十公里,找他妈妈看病、

直到这个妈妈死去,主人公丧失了依赖,家里的其他人都被强盗杀了,家也没强盗们给烧了。主人公只好四处流浪。他离开家时想起妈妈曾经告诉他的一件事:“在我曾经服务过的那个教堂里边有一本书,这本书里边的力量可以保护你和你的家庭。”于是,主人公来到了教堂,并且混进去做了一个普通的杂役。借助一个漂亮女孩的帮助,偷到了这本书。原来,这本书是本医书,妈妈治疗病人的方法就来自这本书。可是这本书是拉丁文写的,主人公看不懂,只好把书里的文字拆散,请教其他的嬷嬷。待他学会了这本书,就开始了翻译的工作,把这本书的内容翻译成当地的语言--英语。主教听说了这件事找到他,说:“你不能这么干。你看教堂处在这么一个野蛮的世界,周围全是各种各样的强盗,你知道为什么这些强盗从来没有抢劫过教堂吗?就是因为教堂掌握了这本书里的知识。如果这本书被翻译成英文,老百姓看得懂,强盗也学会了,那么教堂靠什么来保护自己的安全呢?”
、、、、、、、

很可惜,我忘记了电影的名字。这部电影里边还有一个意思,那就是主教认为,如果这本书用英语(当地老百姓的语言)来写的话,那么这本书就可能被老百姓学习到。所以,我不认为人天生的智力存在很大的差异。至少在小学低年级,有人去评论这个孩子聪明,那个孩子笨,是不合适。孩子之间存在差异是事实,但简单地把差异归结于孩子天生愚笨,更多地是老师或者家长的托词,是不负责任的做法。

已有的教育研究已经表明,人类的语言学习能力是有阶段性的,如果一个孩子在应该学习语言的时候,给其他人或者社会失去了联系,那么他语言能力的发展就会停滞。等这个孩子长大了,错过了最佳地学习语言的阶段,再想学习语言就会变得非常困难。所以,请停止评论孩子的聪明和笨,否则,可能正在我们做这些评论的时候,孩子智力开发最关键的时期就这样错过了。

希望低年级的数学老师和BBMM们把每个孩子看成是待开启的宝瓶,更多地去考虑如何开启她,看看这个宝瓶里装有怎样的惊喜!

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:34 编辑 ].

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再请教下,怎么给小二学生讲数学的相遇问题呢.

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一边游泳一边学数学

引用:
原帖由 咖啡豆 于 2008-12-6 16:58 发表
再请教下,怎么给小二学生讲数学的相遇问题呢
我的儿子喜欢游泳,所以一年级暑假的时候,我就经常在游泳池里边,跟儿子玩追赶和相遇的游戏。游戏前,先讲清楚条件,同时出发或者领先多少米等,估计什么地方相遇。

当时最后的一道题是:
游泳池长25米,Alex入水时,Tony领先10米,Tony到达对岸的时候,Tony还领先5米,问折返后到达终点(25米 + 25米)时,Alex能领先吗?领先多少?

当时研究这道题的原因是,他们训练时是追赶赛,即稍慢的人先入水,其他小朋友依次入水,儿子总是排在第3个,游一个来回以后,他总是不能领先,回家的路上老嘀咕:“我今天还是没谁谁游的快”,其实儿子已经游的是最快的了,因为他跟第一个入水的人的差距缩小了。

今年奥运的时候,我看到过一篇讲菲尔普斯的文章。菲尔普斯在感叹,“如果当年的数学老师用游泳举例教我数学的话,我的数学成绩就不会那么差了。“

闲来无事,google 菲尔普斯 数学,偶得美文2篇,共赏之。
“菲尔普斯”告诉我们什么是素质教育?
http://eblog.cersp.com/userlog18/39877/archives/2008/987121.shtml
从菲尔普斯的数学说起
http://www.jysx.cn/blogt/user1/8/archives/2008/200883115241.html

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:35 编辑 ].

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回复 337#ccpaging 的帖子

好文章,顺藤摸瓜又找到一篇:

美国老师怎样教数学
http://eblog.cersp.com/userlog/408/archives/2008/987682.shtml.

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上面那篇值得转贴过来

中国孩子在美国中小学“玩算术”是出了名的。

我儿子矿矿在同班的美国小朋友只会掰手指算简单加减法时,已会多位数乘除法。老师问:4+3=?大家还没反应,他答:4+3=21÷3。全班都傻了眼,就他得意洋洋。美国孩子和家长见到矿矿都竖拇指赞叹“聪明!”我们当然自以为是。在我眼里,美国小学数学太浅,整个一个“磨洋工”。一年级时,我借来六年级的数学课本,矿矿一样应付自如。

第一学期结束后,我们向学校提出,能否让矿矿插班到三年级上数学?我心里想,只要求上三年级,已经很谦虚了。谁知,在我们很“谦虚”地提出让矿矿每星期跳级到三年级去上一节数学课时,美国学校竟然不同意,并指出:矿矿擅长的是中国学校教的“算术”技巧,美国学校教的则是“数学”……

读了那封矿矿的老师代表校长和学区(相当于国内的教育局)写的信,我们非常不服气,不屑地扔到一边。直到后来对美国教育有更多了解时,我才重新冷静地阅读了这封信(节录):

关于矿矿的数学学习问题,我已和校长罗伯特博士说过了。她也跟学区主管教学和课程的助理督导迈克·威廉斯博士谈了……

附上一年级数学课15个单元的学习内容和教学目标……我们更强调的是孩子对那些隐藏在数学后面的概念的理解,从而在口头上和书写中能够运用他们所学的东西进行交流,而不是对算术的死记硬背。我们的目标是培养孩子成为解决问题的能手,学会思考,让孩子把自信建立在自己的能力之上,从而去珍视数学。我们的课程是让孩子积极参与到学习中,通过循序渐进、适当的教学活动去学习具体的操作计算。矿矿在中国学校学到的一些算术技巧,例如乘法和除法,对美国一年级小学生来说,不是循序渐进的适当的活动。我们运用的是绝对具有乘除法功能的组合法教学,从而使孩子在记住计算的数字之前已能理解乘除法的实际意义。

矿矿当然是一个具有计算技巧的优秀学生。然而,算术仅仅是整个数学课程中的一个部分。我们在数学课里,会运用许多教学活动来挑战矿矿的思维,从而也对他本身形成一种挑战。

我们觉得,派一个迈阿密大学的在校生一对一地帮矿矿,将比到三年级上数学更适当。如果你们想借三年级的数学教材在家里使用,我将乐意作出安排……

重读此信,我多了一份思考:这封信非常讲究遣词造句。比如,在讲到矿矿及中国学校时,她始终用“算术”这个概念,而说到美国学校时,她都说“数学 ”。所谓“算术”,计“算”之技“术”也,似属雕虫小技。数学,是关于“数”的学问,是研究符号和数字之间的关系,以及如何用这些符号和数字来解释世间与之有关的现象。因此,数学是学术中的极品。

到底美国小学的数学教学是“磨洋工”,抑或是我们把数学这门大学问当成了计算的技巧?我在潜心研究美国教育时,终于有了一些感悟。比如关于《鸡兔同笼》的计算:

笼里有5个头和14只脚,一共几只兔几只鸡?在许多人眼里,这完全是一个计算问题。设兔为X,鸡为Y,x+y=5;4(x)+2(y)=14。

到底我们该把它看作算术教学,还是数学教学?让我们来看美国的数学教育是怎样处理类似问题的:

某个住在湖边的老人养有狗和鸭子。某天,老人看到5个头和14只脚。老人看到的是多少条狗?多少只鸭?

老师:能不能找到解决问题的方法?

学生们纷纷要求回答问题。

学生A:要找到答案并不难,只要两个公式:一个解决脚的问题,另一个解决头的问题……

老师制止学生A继续往下讲,说道:“很好!谁来设计这两个公式?”

学生B:设狗为X,设鸭为Y;4(x)+2(y)=14。

学生C写道:x+y=5。

老师:这两个公式对不对?

学生七嘴八舌:“对啦!”

老师:现在我们不要去计算答案。我们按照这两个公式来推理,看看答案是否合理……

大家你望我,我望你。不让计算,却去猜答案。老师葫芦里卖的什么药?

老师:犯愁了?不错!我们现在不打算去计算准确的答案,我们只是去猜测大致的答案。

学生仍然丈二和尚摸不着头脑……

老师:既然你们不回答,那我就来问你们,5条狗和4只鸭,对不对?

学生哄然:不对!5条狗和4只鸭,一共是9个头,老人只看到5个头。

老师:那么,谁能告诉我,狗脚和鸭脚的数目?

学生们又是你望我,我望你,不知所措……

老师:如果我告诉你们,狗不少于4条。你们认为怎么样?

学生B:不对,请看看我设计的公式:脚的总数是14,而4条狗就有16条腿。除非老人喝醉了,把自己的脚也数进去了!

哄堂大笑!

老师:非常好!那能不能是3条狗呢?

学生们陷入思考……

学生C:那也不对!

老师很感兴趣地问:“为什么?”

学生C:除非有1只鸭子,少了两条腿。您看我设计的公式,总共有5个头。3条狗有12只脚。要符合5个头,14只脚的条件,就只剩两个鸭头,两只鸭脚。因此,除非有1只鸭没有脚……

又是一阵哄堂大笑!

老师:好吧,让我们假设所有的狗和鸭子都是进化完整的,没有缺胳膊少腿的。那么,该有多少只鸭子呢?

学生再没有像前面那样沉默,而是议论纷纷。

学生D:不管怎么说,前提是不能超过5个头,14只脚。

老师:如果狗少于3只,我们能在鸭子的数量上做什么文章呢?

学生E:这就是说,鸭子必须是3只以上。因为,头的总数是5个,狗少于3只,鸭子没有3只以上凑不够5只。

老师:有道理。狗只能少于3只,鸭不能少于3只。那么,我们应该寻找的下一个线索是什么呢?

学生思索……

老师:如果是3只鸭子,鸭脚应该是……

学生们:6只鸭脚。

老师:对!如果是3只鸭子,6只鸭脚,狗的数目又该怎么算呢?

学生A:如果狗脚不能多于12只,这就是说,狗不能多于3条,鸭子至少得有3只才能凑够5个头。3只鸭,鸭脚就是6只。于是,狗只能是2条,狗脚……

老师高兴地大笑:“好!不要往下说了。请大家用公式计算吧。”

到了这一步,再用公式计算,简直是吃豆腐:狗是2条,鸭是3只。

学生B有些不太高兴:“老师,看到您那么高兴,我倒有些费解了。这2条狗、3只鸭的答案,我们推理来推理去,花了快一节课的时间。其实,一开始就让我们拿公式来算,早就该做完了……”

老师微笑着点头:“你提出了一个非常好的问题,甚至超过了‘2条狗,3只鸭’的答案。请大家想一想,为什么我们没有一开始就用公式来计算,而是花了一节课的时间来走完整个推理的过程?”

学生E:我们浪费了不少时间去推论那些不正确的答案。

学生C:我不同意“浪费”的说法。有时候,你不能证实一个答案是错的,你就不能证实另一个答案是对的。

学生F:但是,值不值得花那么多时间?

学生们七嘴八舌……

老师会心地笑了:“谢谢大家!数学课不是算术,更不是用一个似懂非懂的公式去计算一个只有公式才能告诉你的答案。公式告诉你做什么?怎么做?我们充其量像个计算器。要真正理解:为什么这么做是对的?为什么那么做是不对的?问题就不那么简单了。就像知道点击电脑的什么键,电脑会怎么反应一样,那是电脑操作员的工作。只有理解:为什么点击电脑的这里会产生这个结果?为什么点击那里会产生那个结果?那才能成为电脑程序员。我们要的是通过演绎推理和归纳推理来证实和证伪某些答案,以及在这个过程中所培养和锻炼的推理能力。”

数学的实质是一种思维方式

其实,美国的数学教学是在企图回答学数学的目的问题:数学不仅仅是计算和应用公式。数学的实质是一种思维方式,是演绎推理和归纳推理的逻辑思维方式。对许多美国人来说,学数学并不一定是目的,而是通过学数学来培养自己的能力。同时,通过学数学来理解世界、理解世间与之有关的各种现象。

许多美国人相信,学数学的目的是掌握一种思维方式,是一种解释世间许多现象的工具,是训练思维能力的手段。

我到过国内不少地方听数学课,情况却刚好相反。老师总是“赶集”式地、急急忙忙地直奔最简单的方式和答案。有一次,我到某重点小学去听数学课,老师踩着步点赶时间,课上得似乎挺活,但只给答对问题的学生一颗糖,答不对的,不给糖。没得到糖的孩子,心思都在别人的糖上。更要命的是,老师也不解释为什么不对。

课后,我问老师,为什么不向学生解释错的原因?这位年轻的老师很不好意思,但又颇有些理直气壮地说:“根据教学大纲的进度,时间不够。”我建议道:能不能在课后,由知道的同学给不知道的同学解释为什么错。后来,她给我来电话,说是我的建议收到了很好的效果。

我发现,国内的一些老师总是争分夺秒地“赶”教学内容,像上了发条似地踩着步点上课,“好”的老师可以按照设计好的教案在刚讲完课、对学生说“下课 ”时,铃声正好响起。已经有好几个美国老师跟我说到这种让他们叹为观止的现象:“怎么上课可以像发射宇宙飞船一样精确?好像遥控一样。”其实,“以老师为中心”和“以内容为中心”的教学,是完全可以做到的。该讲的内容讲完了,至于结果怎么样就无法顾及了。正像美国老师无法理解中国老师可以踩点下课一样,中国老师在听了我介绍美国的教学以后,也摇着头说:“好是好啦,可是他们怎么能完成教学内容呢?”

然而,只讲已知的正确的东西,忽略让学生去证实或证伪自己的假设,就是忽略了学生的怀疑精神的培养。鼓励学生去证实或证伪某个假设,强调的是自我教育。上面那位美国老师,通过证实和证伪的过程培养学生演绎推理和归纳推理的能力,可谓用心良苦!

“聪明”的孩子与“智慧”的学生

为什么年龄越小时,中国孩子领先美国孩子越多,随着年龄的增长这种差距却越来越小,到高中以后,中国孩子与优秀的美国孩子就基本没有差距了?

经过多年的观察与研究,我发现,中国教育培养的是聪明的孩子,美国教育培养的是智慧的学生。聪明的孩子和智慧的孩子有什么本质的区别?

我们以“西安事变”的教学为例子,可清晰地看出两者的巨大差别:

中国的大多数学校,老师讲完史实后,要求学生记时间、地点、人物、事件等,以“学会”为目的,满足于考试结果。

美国的教育则是八仙过海:比如,可能什么都不教,让孩子们分成几组,分别制做一份当时各党各派报纸,或者只给几个辩论题,让孩子组成正反方进行辩论。即便是常规教学,老师也会启发孩子的发散性思维:如果蒋不妥协?如果张、杨不和共产党合作?如果张、杨把蒋处死?如果蒋逃出西安……甚至让学生自己设想发散性的问题。无论哪种方式,学生都在收集材料、研究材料、组织观点的过程中,培养了“会学”的能力。

美国学者贾尼丝·萨博把培养“聪明的孩子”还是培养“智慧的学生”概括为两种教育:

聪明的孩子 智慧的学生

1.能够知道答案 1.能够提出问题

2.带着兴趣去听 2.表达有力的观点

3.能理解他人的意思 3.能抽象概括

4.能抓住要领 4.能演绎推理

5.完成作业 5.寻找课题

6.乐于接受 6.长于出击

7.吸收知识 7.运用知识

8.善于操作 8.善于发明

9.长于记忆 9.长于猜想

10.喜欢自己学习 10.善于反思

从很多教学的比较看,中国教育培养的学生包揽了“聪明的孩子”的所有特点;美国教育培养的学生囊括了“智慧的学生”的所有表现。

(原载:黄全愈 本文摘自《透视美国教育——20位旅美留美博士的体验与思考》,王定华主编,北京大学出版社2008年6月出版)

作者简介:

本文作者系美国迈阿密大学孔子学院院长、教育学院兼职教授、中山大学客座教授。著有中美教育比较系列《中国教育的哲理困惑》(英文)、《素质教育在美国》、《家庭教育在美国》、《生存教育在美国》、《玩的教育在美国》、《高考在美国》。.

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回复 1#hxy007 的帖子

诸如99X2这样题目的拓展算法
我也是才刚刚才领悟到的
在看到孩子的课本时  已经知道老师就是这样教导的了
佩服佩服啊.

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感动中

当年那些非常普通的山村教师,文化水平参差,际遇各异,但他们在教学中表现出惊人的相似。
  ——他们对自己教授的学科充满了感情,对知识既敬畏又喜爱,把知识教得有滋有味。或许他们内心徬徨,精神苦闷,但是他们从知识和真理中找到了灵魂栖息的地方。他们是真正的知识分子!
  ——他们对自己的工作充满了激情,不但把课上得精益求精,而且以工作的精致优雅为乐。或许他们受到污蔑,被视为“臭老九”,但是他们站在三尺讲台,口若悬河,指点江山,激扬文字,从质朴的山村学子们的无限敬仰中找回了做人的尊严。他们是真正的知识分子!!
  ——他们对学生饱含深情,为山村孩子的无知而痛心,为山村孩子的点滴进步而欢欣。或许他们一生都不会有什么丰功伟绩,他们的学生中走出山村、考上大学的廖廖无几,但是他们鬓发苍苍时看着自己的学生一个个长大成人、生儿育女、成为斯文而快乐的普通劳动者,成就感、自豪感、欣慰感油然而生。当他们去世时,景仰他们的学生们纷纷离开耕作的农田,赤着脚,带着儿孙,参加他们的葬礼。他们含笑九泉,灵魂得以安息。他们是真正的知识分子!!!
  我们也希望自己孩子的老师是真正的知识分子。

这些老师才是精英,才是民族的脊梁
很为楼主的这段话所感动.

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我一直很想买一本《数学思想方式》(大意)。去年年初,我在第一人民医院牙科排队看病,看牙科排队2、3个小时是不稀罕的。有一个女孩排在我前面,手里拿的就是这本书。我不好意思伸长脖子看,也不好意思多问,就说了句:这本书很有意思。她回答:这是给师大的学生和小学老师看的。.

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回复 340#waiwaimeimei 的帖子

社会是不断进步的,我敢肯定,就义务教育阶段的教材水平以及平均教师水平而言,现在绝对远远领先于20,30年前。BBMM真的不必太过担心。觉得学校里教的就全都是应试全都没用还全都会摧残孩子。
我就亲眼看到ww上不少父母对自己孩子的小学作业的目的所在根本不能正确领会。.

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回复 342#家有考王 的帖子

波利亚的《怎样解题》应该是你想找的书。.

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回复 344#jyuntoku 的帖子

谢谢!
不过我不是要寻求怎样解题,而是要了解数学这门学科在思想方法上能给我什么启示。.

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回复 345#家有考王 的帖子

你被书名误导了。.

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回复 345#家有考王 的帖子

实际上数学家希望证明某一个命题,也是一种解题,这本书中说的方法就是数学家的思想方法。对于孩子来说,在解每一道没有作过的数学题时,面临的工作和数学家是一样的。.

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回复 347#jyuntoku 的帖子

哦。
我是想找来自己看的,不为孩子,为自己。.

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回复 348#家有考王 的帖子

所以我给你推荐了这本不需要多少数学知识就能完全看懂,又能达到你的目的的书。
多说无益,有空可以到书店翻翻,我想你会改变现在的看法的。.

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回复 349#jyuntoku 的帖子

再次谢谢!.

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