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[数学] 从来不相信刻苦学习(题海战术、机械训练),畅谈亲子数学,兼谈数学的乐趣

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引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-12 23:12 发表
据我所知上外附中早有这样上课的。
当然不是节节课这样,因为有些课不适宜用这种方法。
老实说,我也不知道上外附中在上海的哪个地方,一如我不认识汉密尔顿。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-13 14:18 编辑 ].

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回复 451#ccpaging 的帖子

我说的就是十几年前的事情。.

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回复 451#ccpaging 的帖子

上外附中在虹口区。.

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晕倒,怎么像是遇到了 Troll ?.

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回复 451#ccpaging 的帖子

既然是大三的课,那么应该是统计系或数学系了。
汉密尔顿的书一般是研究生用的,我猜错了。我以为你说的是研究生的讨论班,因为人数的关系。.

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回复 454#ccpaging 的帖子

帖子是大家看的,我回你的帖子也是给大家看的。
所以我才不在乎你个人的态度。.

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引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-12 23:21 发表
既然是大三的课,那么应该是统计系或数学系了。
汉密尔顿的书一般是研究生用的,我猜错了。我以为你说的是研究生的讨论班,因为人数的关系。
您阅读的不仔细啊!

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-13 14:19 编辑 ].

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回复 457#ccpaging 的帖子

你这种侮辱性的帖子回得越多,对你自己的打击就越大。.

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回复 415#jyuntoku 的帖子

OK,让我们在思想上碰撞一次吧。

这个帖子是您的思维的典型反应。这个帖子的内容显示出您是形式逻辑的高手,因为形式逻辑更注重字词的表达和其真实含义,所以形式逻辑更多地被视为是一种辩论的技巧。

形式逻辑的高手都很聪明,喜欢断言在前,对错不论,反正以后总可以在所谓的定义上找补回来。即是不能找补回来,定义越多,对方辩手就越被动。而定义权总是掌握在首先定义的那个人手里。

从这个角度说,玩形式逻辑的高手一旦走入歧途,往往会演绎成语言的巨人。但是,即使是语言的巨人毕竟还是依赖于语言,所以往往只适用于一地或者某一种语言,在中国吃的开的形式逻辑高手,到了美国就不行了。

而数学逻辑跟形式逻辑是完全不同的两码事了,因为数学语言是超越形式的,我儿子从他的数学论文里边就能体会到,”数学语言很简单“,一个简单的算式,寥寥几个符号,还不需要任何附加的解释,如果用中文写要好几十个字。无穷大,不管在中国还是美国,俄罗斯,或者欧洲的数学家,不管用任何一种文字,到最后,它的意思都是一样。这也是数学能供全世界的数学家和数学爱好者一起来讨论的原因。

另外,还要特别指出的是,您甚至都不能被称之为”形式逻辑的高手“,因为您对别人的回帖内容视而不见,只停留在自己的想象中。而真正形式逻辑高手是绝对不会忽视对方辩手的内容的。换句话说,您只是在空舞一把自以为锋利的剑,其实连对方的位置在哪里都不知道?

我曾经在跟帖里边说”我很卑鄙“,这不是自谦之词。因为我遇到过这种形式逻辑的高手,而且最喜欢逗他们的方式是:鼓励他释放出各种各样自以为是的断言,令人眼花缭乱的定义,再看他们为了自圆其说,用更多的断言,用更多的定义去解释原来的定义。从头到尾,我都不需要动,就只看那人兜圈子,眼睁睁看那人把一新锅子补成漏勺。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-13 01:11 编辑 ].

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2008-12-12 14:09 发表
有没可能搞个交流会?

不定期举行。主角是孩子,让孩子们各自准备一个小题目来讲。

也可以交流他们之间学到的小故事,比如,可怕的科学。
这个主意太好了!我先报名!.

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回复 459#ccpaging 的帖子

这个帖子的主题是怎么和孩子一起“玩”数学。并且,把家长放在一个教授或者点拨孩子数学知识和能力的立场上。
所以,我写的东西并不是命题和证明,更不是没有漏洞的论文。
我只是写了我会选择哪个角度和孩子说,并且表达了我对某些家长的教授点拨方式的一些担忧。
不相信的话,你可以再看一遍我之前的帖子。.

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父与子:正四面体

正四面体

父:今天晚上我们家三个人要做一个智力测试,需要一个正四面体,你会做吗?
子:我会做长方体和正方体,四面体没做过,试试吧。

儿子拿出了他的宝贝磁力棒,一通折腾总算找到了诀窍,先搭底面,再搭出正四面体。在想办法把上面的3个面,像剥香蕉一样剥下来,得到了正四面体躺着的样子。按此画样,应该可以做正四面体了。
做完这些已届中午,于是出去吃饭。席间父子言谈甚欢。

子:你说晚上我们要做测试,是不是每个都要做个四面体,看谁做的好?
父:不是,你肯定想不到。
子:哦。(搞得神秘兮兮地)
父:其实这个试验与昨天你说的一句话有关。昨天我们做完9 + 99 + 999 = ? 这道题以后,你说:“妈妈的智力是9分,我是99分,爸爸是999分。”我认为不对。
子:你知道我们平时都是看考试分数的。(这个爸爸真不识抬举,拍马屁还拍错了)
父:是的,但是我认为一个人的智慧是无法打分的,因为各人有各人的智慧。这就像罗卜和白菜,你能说罗卜比白菜好吗?
子:那到是,罗卜有罗卜的好,白菜有白菜的好。可是这跟正四面体有关系吗?
父:有关系啊,等晚上做测试的时候你就知道了。
子:、、、(嘴还真紧)
父:吃完饭,你要去画素描,是吧?
子:是的。
父:也许你的素描老师可以猜到测试的内容。数学也跟美术老师有关,你没想到吧?
子:等等,我想想:四面体,三个面,三个人。不会是让我们三个人观察正四面体的三个面吧?
父:这你也能猜到。(惊讶,不是装的)你猜对了,我打算在正四面体的每个面上写一个字,放在我们三个人中间,每人观察一个面。
子:(插嘴到)我能看到面对我的那个面。
父:对啊,你得了一分。每个人都能得到一分,你看,我们的智慧是一样的。
子:那我到妈妈那里去看看,不就能多看到一个面了吗?
父:对啊,你现在得了两分了。
子:(喜不自禁)
父:你们美术老师把这称为什么?
子:换个角度呗
父:对了。数学也经常需要换个角度,例如我们昨天做过的
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ?
子:25
父:你看到的是什么?
子:数字,算式
父:换个角度想想?
子:还是算式,25 - (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 0 ?
父:不是。我看到的是一个5X5的方块组成的正方形。
子:这样换角度也可以啊。
父:是啊。那么你还想再多得一分嘛?
子:再换个角度?
父:重复,没劲
子:那我可以问你吗?你来告诉我看到了什么?这样不就又可以得一分了吗?
父:对。这叫学习,你不知道我看到的那一面,向我学习。

(不知不觉中,饭毕。父子俩起身准备走出餐厅)
父:我们是不是还可以得一分?
子:对对对,下面还有一个面,翻过来就看到了、、、
父:所以啊,每次做题我都叫你反过来想想。(臭小子,都会抢答了)
子:嘿嘿
(快走出餐厅了)
父:如果你叫一个数学家来看看这个餐厅怎么样,你猜数学家会怎么做?
子:、、、(思考状)
父:数学家会先围着这个房子转一圈,再里边四处走走,最后回去告诉你怎么样。
子:我还以为数学家会把这个房子拆了呢!
父:、、、(晕,数学家有这么变态吗?)

====================
还是讲故事比较轻松.

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再来做个记号,每日一读,呵呵。.

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苏格拉底和柏拉图的对话

引用:
原帖由 ccpaging 于 2008-12-13 19:41 发表
正四面体

父:今天晚上我们家三个人要做一个智力测试,需要一个正四面体,你会做吗?
子:我会做长方体和正方体,四面体没做过,试试吧。

儿子拿出了他的宝贝磁力棒,一通折腾总算找到了诀窍,先搭底面,再搭 ...
领教了!真夹棍!
这样的交谈,让我联想起两千多前苏格拉底与柏拉图等众多哈苏少年的对话。.

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孩子是上帝给我们的礼物

引用:
原帖由 hxy007 于 2008-12-14 11:09 发表

领教了!真夹棍!
这样的交谈,让我联想起两千多前苏格拉底与柏拉图等众多哈苏少年的对话。
惭愧,偶有小得。孩子真的是上帝给我们的礼物。

出了餐厅取车子的时候,我发现地上有一个“哈”字,好像是摩托车上的字牌。
于是,给儿子讲了一个刚看来的“小学生作文错误”,逗的儿子哈哈大笑。
然后,指着地上说:“儿子,看你笑的,都掉出一个哈字来了”
儿子捡起来研究了好半天,“这真是我笑出来的吗?”

到了晚上,儿子跟我说:
“我知道哈尔滨是怎么来的了?因为那个地方特别冷,大家哈哈笑,地上就掉了好多结冰的哈字”

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:52 编辑 ].

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儿子发明的“负数”

  刚刚从体育公园回来。在那里,和儿子玩了两小时左右的飞碟,顺便把负数也给发明出来了。
  事情的起因是父子两人各不相让,在玩法上出现了分歧。起初的玩法是,接住飞碟得1分,谁先得20分算谁赢。我是想尽办法发出好的飞碟,让儿子接住。儿子则争强好胜,想方设法不让我接住。我跑累了,就不高兴,不想玩了。
  儿子便想出一个办法,规定打出的飞碟必须落在规定的区域,没有落在这个范围的就扣1分。这很公平!我接受,并且补充说:接住飞碟可以得2分,碰到但没有接住的得1分。儿子也觉得这样计分公平,他还提议5分算一局,谁先得5分谁赢。
  比赛重新开始。今天风大,我一出手就把飞碟扔到了界外。儿子激动得大喊:“老爸扣1分!”
  我说:“我还没有得分呢,怎么扣呀?现在就不扣吧。”
  儿子:“不行,你欠着,等一下得了分,再扣。现在算欠1分。”
  我连忙说:“欠1分,就是负1分。”
  儿子发出飞碟,我接住了,高声宣布:“我接住了,得2分,比分2:0!”
  儿子急了:“不对,你刚才的得分是负1,现在应该是1:0!”
  我激他:“我现在得2分,刚才得负1分,加起来应该得3分,比分3:0才对。”
  儿子说我赖皮:“2分加负1分,就是2分减1分,所以现在的比分应该是1:0!”
  既然蒙不了儿子,只好另想办法损他了。我故意不把飞碟发向儿子的接碟区域,这样一来,我虽然负分越来越多,但儿子始终得不到5分,难以取胜。儿子赶紧提议修订规则,除了规定谁先得5分算谁赢之外,还规定谁先到负5分就算谁输。
  就这样正正负负地计分算分,儿子最初还算得比较慢,但逐渐就能够应付自如了。
  在回家的路上,我问:“今天我们好像发明了负数。现在你说说看,什么是负数?”
  儿答曰:“负数就是零后面的数。”

  各位纯数学家,你们是不是又要批评,说我这小学三年级的孩子发明的“负数”是错误的负数概念呢?

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-14 14:32 编辑 ].

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啊噗,看得我个累死,总算明白一点,这些爸爸把教育儿子当作事业和人生乐趣和。。。反正是尽简单问题复杂化之能事。
玩吧,接着玩,陪着他们一起玩到解析几何线性代数常微分方程复变函数。。。我服了。.

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回复 466#hxy007 的帖子

现在的孩子理解负数的概念确实比200多年前容易多了。
因为我们的生活里有温度计(早些时候还没发明温度计,温度计量也不是用一个科学的度量系统),有借贷(资本主义在今天的势力更加庞大了),最重要的是在周围媒体以及生活语言中已经广泛的运用了负数的概念。
这些都使得现在的孩子对于负数的理解必然要强于古人。甚至于负数的概念已经部分地进入了我们的基因,就像1岁不到的孩子能理解自然数以及加减关系一样了(这是有实验支持的)。
为了能使负数的概念进入我们的基因,人类估计花了有几千年了吧。.

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回复 468#jyuntoku 的帖子

你这个“基因”是生物学意义上的那个基因吗?我看你用了好几次这个词了,一直没有搞明白,故有此问。.

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终于有一次欣慰滴发现,蕃茄早就有负数的概念了,吼吼吼,自豪也自豪!!!.

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回复 469#火车是运茶的 的帖子

是指生物学上的基因。
实验发现,刚出生的婴儿对于数量以及数量的加减变化就有本能的反应。
理论认为,对于正整数的概念以及加减(特别是加法)的理解是人类生存所必须的能力,所以这种能力在进化过程中进入了我们的基因。对于这种能力,我们无需依靠后天学习去习得,而是天生就掌握的(其实现在学校里教授较小的正整数以及加法时必须依靠人类的本能,正是有这种本能存在,小学老师才可以不做严格的证明来教授这些数学知识。)。
当然对于另外一些数学知识(比如微积分),就过去和目前来看是人类生存所不必须的,我们也无法依靠基因天生就掌握它。
在这个理论下,就有理由认为,人类基因中包含的数学能力有可能是根据人类的生存环境变化的。.

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给你一瓢冷水,在这寒冬里

引用:
原帖由 YANGXIMI 于 2008-12-15 09:16 发表
终于有一次欣慰滴发现,蕃茄早就有负数的概念了,吼吼吼,自豪也自豪!!!
  没有什么可得意的!人家生物学家都说了,这是因为你儿子的基因有这东东。
  其实,早在两千年前哲学家柏拉图也说过类似的话。他说:人的知识和美德为灵魂本身所具备。人的肉身是会死的,但人的灵魂不死。在现世的生活中,由于灵魂受到物质世界的遮蔽,我们仿佛缺乏知识和美德。但是通过适当的方法去蔽,我们就可以回忆出灵魂所保留的、前生前世就有的美德和知识。哈哈,我们的灵魂不但具有负数概念,而且具有微积分概念,具有一切知识和美德。真是令人振奋!
  不过,这是一种信念,可不是知识哟!你可以无根据地相信某种东东,但你不能把它打扮成知识。知识可是要讲根据滴,是不能胡说八道滴。.

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偶不懂那么高深咯东东,还要前生今世咯,复杂得咧。偶只知道,蕃茄是财迷,财迷天生就会懂负数,哈哈哈。

星期六,他问偶借两块钱,据说要去买彩票,然后走到门口又舍不得了,因为这样子他就要“欠债的”!!!.

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2008-11-26 09:25 发表


”抱抱这位MM,老理解的。常常在外奔波一天,受一肚皮冤枉气,“,这个认同,后面的想改改,“回家可以跟我的儿子一起玩了!儿子大一点了,还可以跟我一起看《我们的地球》”
恩,我也有同感,哈哈~~~~。不过没次狮吼之后对会后悔,孩子还小还要慢慢教,还是寓教于乐比较好,不要太急功。.

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大家都可以学微积分

引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-15 09:41 发表
是指生物学上的基因。
实验发现,刚出生的婴儿对于数量以及数量的加减变化就有本能的反应。
理论认为,对于正整数的概念以及加减(特别是加法)的理解是人类生存所必须的能力,所以这种能力在进化过程中进入了我们 ...
微积分老师告诉我们:“微分就是切苹果,把苹果分成一片又一片的;积分就是把切好的一片片苹果合起来。”
这么说的话,我们的基因里边还是有微积分的,因为谁都会分苹果。而切这种片,更是MM们的拿手好戏,她们的基因里边微积分绝对是海量。

如果不是高考把人分成了369等,大家都可以学习微积分的,只不过“闻道有先后”罢了。
现在也有大把人自学高等数学,令精英们沮丧的是,不能通过高考的人居然也看明白了,尤其是MM们,她们对微积分的理解能力绝对令人诧异、、、

今天我要切萝卜片、、、(微积分老师悄悄告诉我,他们家切片切丝的工作,都是他包了的,请勿外传)
(妈妈们在偷笑,不就是一把弯刀吗?值得你们搞的这么神神秘秘的)

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:53 编辑 ].

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引用:
原帖由 YANGXIMI 于 2008-12-15 11:07 发表
偶不懂那么高深咯东东,还要前生今世咯,复杂得咧。偶只知道,蕃茄是财迷,财迷天生就会懂负数,哈哈哈。

星期六,他问偶借两块钱,据说要去买彩票,然后走到门口又舍不得了,因为这样子他就要“欠债的”!!!
欠债好呀,通货膨胀,欠债的是大爷。.

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引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-15 09:41 发表
是指生物学上的基因。
实验发现,刚出生的婴儿对于数量以及数量的加减变化就有本能的反应。
理论认为,对于正整数的概念以及加减(特别是加法)的理解是人类生存所必须的能力,所以这种能力在进化过程中进入了我们 ...
你这个说法太雷人了。如果真有此事,请列出是哪个实验室做的,结果发表在什么刊物上,实验方法是什么。.

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确有其事

引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2008-12-15 13:16 发表

你这个说法太雷人了。如果真有此事,请列出是哪个实验室做的,结果发表在什么刊物上,实验方法是什么。
  好几年前,我旁听过由哲学、社会学、教育学、生物学等领域青年才俊举行的一次学术沙龙。他们极其兴奋地在谈论生物分子学(不知有没有听错,错了请指正,哦——“分子生物学”)中的一个重大发现——罪犯的基因在某个部位不同于常人。学者们为什么这么兴奋呢?因为,他们认为,找到了犯罪的生物学基础,接下来就有可能找到预防乃至消灭犯罪的生物学办法。他们的构想是,发明某种基因药品,让有犯罪基因的孩子就像接种疫苗那样去服用这种抗犯罪药物。从此,他们就不会犯罪,甚至不会有犯错的念头;从此,天下太平。
  我当时的感想是:我就有过犯罪的念头,我大概就有犯罪的基因吧?!假使让我吃了生物学家发明的基因干预药品,我连犯罪的念头都不会有了。可是,如果连犯罪的想法都不可以有了,活着还没有多大意思。姥姥,我不吃!
  据学者们说,上述证据来自于《自私的基因》一书。我虽然对学者的反犯罪的生物学构想非常反感,但还是克制不住好奇心,偷偷地下载了这本书来翻看。读过之后,心情极其糟糕。此书说:我们人和动物一样,不过是基因的载体,是基因实现自我复制的工具。父母护犊之情,看似无私高尚,实则是自私的基因企图保证自身无限复制下去的一种分子生物学表现。我倒,我读不下去了。
  好在后来又有人推荐我读《美德的起源》。这本书也以基因说事,但说法跟《自私的基因》相反。此书的大意是:基因固然会自私地自我复制,但同时受到其它基因的牵制。在漫长的进化过程中,那些极其自私的基因都会逐渐被淘汰,能够生存保留下来的基因都是有合作的倾向的基因。这正是人类美德的起源。这个听起来受用,不过,我怎么觉得这不是在说基因,而是在说人和动物。
  再后来,真正从事基因研究的学者透露,上述两本书的作者并没有研究过基因,他们只不过是博学的科普读物作者。真正研究基因的学者倒是非常谦逊,他们告诉大众,人类对基因的了解才刚刚开始,已知的部分还不及冰山之一角。
  这让我舒了一口气。否则,遗传决定论这种陈辞滥调,打扮成基因决定论,又要粉墨登场了!
  还是如下假设可能比较可靠:人有学习和探究复杂事物的遗传素质,人的这种潜在素质是通过适当的环境逐渐表现出来的,并且在现实的活动中被不断赋予具体内涵(如负数概念)的;人的学习成就和发展水平,是人的内部状态与外部环境交互作用的产物。这种理论假设,会让各位BBMM在促进孩子的学习与成长上,既不会过于悲观和消极,也不会过于乐观和一意孤行。遗传的事从MM怀孕时就搞定了,剩下的可为空间就是环境了。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-15 23:05 编辑 ].

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回复 477#火车是运茶的 的帖子

这是对于婴儿的认知能力的心理学实验。我会尽量找一下严谨的出处。
实验的内容大致是这样的,重复很简单的。
比如说把一个娃娃给婴儿看过后放在一块板后,然后把板拿掉娃娃露出来,记录婴儿对露出来的娃娃的关注时间。
然后重复,但是偷偷地再加一个娃娃,然后把板拿掉露出2个娃娃。记录婴儿对露出来的娃娃的关注时间。
诸如此类(比如设计1+1=2和1+1=1的同类实验),可以发现,对于符合数学规律的变化的结果,婴儿基本提不起什么兴趣,往往看一眼就转移注意力了;但如果结果不符合数学规律,则可以引起婴儿的明显注意,会盯着看很长是时间并且表情也会发生变化。
从而可以解释认为婴儿具有自然数的概念以及基本计算的能力。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2008-12-15 16:51 编辑 ].

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回复 478#hxy007 的帖子

我说的不是基因决定论,而是说有些能力是我们的本能(人类有自己的一些本能,这一点你不会反对吧),而这些本能中包括一些数学能力。

另外,关于罪犯的基因研究,这不是什么新的理论,龙博罗索的《天生犯罪人》在几百年前就出版了。当然,这个理论有其局限性,不过也有有用的地方。
作为犯罪论而言,仅仅凭借这一个理论是不够的。如果讨论刑事政策,那么光凭这个理论更是要犯大错。.

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我找了一篇综述,有兴趣的可以看一下:
http://journal.psych.ac.cn/jinzh ... wenzhang/060503.pdf

语言与数量认知关系的新认识
《心理科学进展》> 2006年10月14卷5期>文章> 文章详情
作者:刘东台 李小建    作者单位:华南师范大学心理咨询研究中心,广州 510631
【摘要】  数量认知研究近年有长足发展。文章从新近提出的独立于语言的两个数量表征核心系统,语言与精确数量运算,语言与算术事实的储存,语言对儿童早期数概念发展的影响,语言与数量认知关系的最新脑科学证据,以及语言在数量认知模型中的角色等方面,介绍和评述了人类存在依赖和不依赖语言的两级数量能力的新认识。对于是否还存在其它不依赖语言的理解数量的系统,以及这些非语言数量表征系统的认知机制,文章认为有待进一步研究。
【关键词】  语言,数量认知,数量表征,脑机制,儿童。

  New Understanding on the Relationship between Language and Numerical Cognition

  Liu Dongtai  Li Xiaojian
  ( 1 Counseling & Research Center, South China Normal University, Guangzhou, 510631, China)
  ( 2 Research Center of Psychological Application, South China Normal University, Guangzhou, 510631, China)

  Abstract: Studies of numerical cognition have made significant advance in recent years. This review comments on the two numerical representation systems of different underlying language dependency. The review includes the newly proposed dual core-systems of non-verbal numerical representations, evidence of language dependence of the exact numerical operations and the storage of arithmetic facts, the study series of language influence on the development of numerical ability in early childhood, the new evidence from brain science on the relationship between language and numerical cognition. Proposed issues for further studies include the cognitive mechanism of non-verbal numerical representations, as well as the existence of other numerical representations of language independence.
  Key words: Language, Numerical cognition, Numerical representation, Brain mechanism, Children.

  数量认知(Numerical cognition)是心理学研究人类数学能力的焦点与核心部分之一。人的数量能力(Numerical ability)的最初来源是什么?这里一度存在两种相反的观点,其一认为由语言决定,其二认为是独立于语言的专门能力。乔姆斯基(Chomsky)认为,人类的数学思维本质上是从人类语言中抽象来的;沃夫(Whorf )还提出了思维性质和内容由语言决定(Linguistic determinism)的强势假设。与此相反,Gelman和Gallistal等人提出,人类对数的认识是与语言相互独立的。近年来在传统认知心理学研究的基础上,从跨文化比较、神经心理学个案、动物心理学、脑成像等方面积累了大量的新发现,产生了新认识。目前为止的许多研究发现,人具有与其它动物共享的生物学意义的初始数量能力,在这个基础上通过使用符号化语言,人类发展出独特的高超于其它物种的数量能力。以下对近期这方面的研究进展作一个回顾和述评。
  1 独立于语言的数量能力
  大量的婴儿、脑损伤病人及动物的数量能力研究提供证据,认为人与其它动物共享一些基本的非词语的(Nonverbal)数量能力,即不仅能区分物体的物理属性,如大小、长度、时间、颜色、移动、声音,还能按物体的某种属性作个体分离,对个体的多少作出反应。这种最基本的数量能力具有进化来的生物学特征,是物种生存所需要的。比如,猴子观看一片一片放进不透明盒子里的苹果片后,能选择较多苹果片的盒子[1]。狮子通过吼声判断来犯狮群的多寡,敌众我寡,采取躲避行动;敌寡我众,便采取反击行动[2]。
  Geary称这种非词语数量能力为生物学意义的初始数学能力(Biologically primary mathematical abilities)[3]。它反映的是神经认知系统(Neurocognitive system)具有的内隐属性。这一认识成为数量能力研究的新基点。Feigenson,Dehaene等人以最近几年的一批研究发现为依据,提出生物初始数学能力包含两个数量表征(Numerical representation)的核心系统——大数量的近似表征系统和小数量个数的精确表征系统[4],即双系统假设。
  1.1 大数量的近似表征
  第一个数量表征核心系统是大数量的近似表征(Approximate representations),在无须语言参与的条件下,它对较大数量的集合加以区分和近似比较大小。根据研究结果,人类这个数量系统的发展显示出一定的年龄差异。
  遵循韦伯律(Weber’s Law)区分数量的现象曾在很多种类的动物身上发现,如鸽子,鼠,鹦鹉,猴子,海豚等。鸽子准确区分啄食次数35次与50次的比率可达90%,区分45次与50次达到70%准确[5]。最近,Nieder等人专门测量数量辨认时的最小可觉差(Just noticeable difference),发现未经训练的短尾猴对较大数量的辨认遵循韦伯律[6]。
  近来,一些严格控制实验条件的研究证实,人类婴儿能够对物体的个数遵循韦伯律作近似区分。在6个月婴儿的去习惯化实验中,对视觉呈现的两个黑点集合分别控制了总面积、轮廓线长等连续量的因素后,Fei Xu等人[7]发现,婴儿可以区分4和8,即能从总量上区别4个黑点和8个黑点的两个集合(并非分别认出个数4和8),也能区别8和16[8],以及16和32[9]。这些点集的点数比例都是1:2,而且单个点集的个数大于等于4。两个点集若小于这个比例,如8和12,或者其中某个点集的个数太少,如2和4,6个月的婴儿就不能区分[7]。随着年龄增大,可区分的个数的比例可以更接近,比如9个月大的婴儿可以区分个数大于4的比例为2:3的两个集合的差异[4]。到成人,这种无须语言的对大数量作近似估计的能力主要用在不经过数数而想得知数量的时候[4]。对呈现(或播放)的两个点集(或声音序列),成人可以不需数数而进行数量比较,可分辩的数量比例可以达到7:8,例如14比16[10]。
  缺乏数词帮助,成人也能够采用近似表征进行大数量的区分。Pica考察了巴西的亚马逊河流域原始部落,发现Munduruku人只有表示1至5的数词和“一些”,“很多”,“很少”的模糊量描述。当要求指出20和80两个点集哪个较大时,他们的正确反应率达70%[11]。这说明近似表征系统不依赖语言文化。
  区分数量的能力不依赖于特定感觉通道(视觉或听觉等)。
Lipton等人发现6个月婴儿能够区分8响和16响两个声音序列,但不能区分8响和12响两个差别较小的声音序列;而9个月婴儿两者都能区分[12]。Wood等人发现6个月的婴儿能够区分木偶跳跃次数4次和8次的区别,但不能区分2次和4次、4次和6次;到9个月才能区分4次和6次[13]。
  近似表征系统是如何工作的?Barth等人给成人快速呈现(或播放)两个点集(或声音序列),发现反应时与个数增长无关,而与相比较的两个量的比例有关,数量越接近,反应时越长。例如,区分14个和16个(7:8)要比区分24个和32个(3:4)反应慢。Barth由此推测,这个数量加工的方式是并行的[10],即同时对所有外在个体进行加工,获得一个总估计量,用一个内在表征符号对应这个总估计量(而不是对目标逐个先后加工,不是序列方式)。有的研究把该并行加工模式称为类比模型(Analog model)[14]。
  1.2 小数量个数的精确表征
  第二个核心系统是小数量个数的精确表征(Precise representations),它在小数量范围内(3及3以内)逐个区分个体并对个数作出反应,也无须涉及语言。
  Hauser以半自由生活状态的猴子为被试,在未经训练的条件下,让猴子观察实验员把数目不等的苹果片分别逐个放进两个不透明的容器里。它们能选择对比组1和2,2和3,3和4,3和5中的较多者;但对4和5,4和6,4和8以及3和8等对比组,其选择是随机的[1]。猴子在这种条件下对数量的辨认是逐个进行的,因为它们看完一个实验员逐片放入苹果后再看另一个实验员做同样的动作,并没有看到容器中苹果片的总数。比较的两个量超过4,猴子就没有精确辨认的表现。关于动物精确数量能力的其它报告可见Dehaene的综述[5]。近期的一个重大进展是,Nieder等人在经过训练的短尾猴作1至5个分离点的辨认时,从它们的前额叶边侧皮层直接探测到对数量1至5专门反应的神经元,这些神经元被称为“数字神经元”(Number neuron)[15]。这是首次揭示了数量精确表征的神经元基础,类似的神经元也由Sawamura等人在猴子的顶叶找到[16]。
  未受语言影响的新生儿会如何对数量反应呢?Antell和她的同事早在1983年用去习惯法研究了40个新生儿(出生1~6天)对2至6个排列整齐的小黑点的数量反应。在建立习惯阶段,他们突出了数量特征(即黑点个数),控制了其它变量(如黑点排列的疏密和范围),使新生儿习惯的是黑点的数量。结果发现,对2习惯化的新生儿能对3产生显著的去习惯反应(即注视时间增加),对3习惯化的新生儿能对2产生显著的去习惯反应;对4和6或6和4的比较则没有显著的差异反应[17]。
  Wynn用背离期望法(Violation of expectation)让5个月婴儿看见一个玩具被遮挡后再添加一个玩具的过程,发现5个月婴儿对最后拿开遮挡时只出现一个玩具的背离期望结果(1+1=“1”)会增加注视时间。类似地,对两个玩具被拿开一个后仍出现两个玩具的背离期望结果(2-1=“2”)同样会增加注视时间。Wynn由此判断婴儿有个数增加一和减少一的识别[18]。
  Feigenson用选择饼干实验研究10~12个月大的婴儿,在婴儿注视下把大小相同的饼干分别逐个放进两个不透明罐子里,让婴儿进行选择。当数量分别是1和2,或者2和3时,婴儿会选择(爬向并取出)数量较多的罐子,选择频率达80%[14]。当用搜寻实验法向14个月大的婴儿显示1~3个物体,然后放进一个掩盖的容器里时,婴儿能根据显示的个数取出同样数量的物体[19]。
  这种区分小数量个体的能力并不限于对视觉空间刺激物。婴儿对多感觉通道、对运动节奏的刺激也能作类似的反应[20、21]。例如,6个月大的婴儿可以区分木偶跳2次和3次。
  婴儿这种无词语支持的精确数量能力在成人的一些特别的群体里也曾被发现。在非洲尼日利亚,从缺乏教育的Kpelle部落人身上观察到对个数3的分辩能力,其准确率和反应时与美国受过教育的人没有太大差异;但是对个数超过3的分辩能力则有显著差异[25]。最近,Gordon对巴西亚马逊河流域的原始部落Piraha人作了较为严格的考察和实验,发现在缺乏数字语言的部落环境中,他们能精确辨认的数量也是在3以内[26]。
  精确表征系统与近似表征系统的工作机理是不同的。在视觉加工的前注意阶段,人能够同时对4个以内的客体进行分离,形成标记,这些标记在后继加工阶段能够被逐个跟踪[22]。有些研究报告将一个标记称为一个“客体档案”(Object file)。婴儿在背离期望法实验中能够准确跟踪几个客体的数量,因此可以用客体档案跟踪模型来描述其加工机理[14、19]。可见,精确表征系统的加工方式是基于并行(获得分离标记)并兼有序列(跟踪客体),与前面提到的近似表征系统以并行方式加工有所区别。
  根据上述机理,被跟踪的标记储存在短时记忆中,而短时记忆的储存限度是3至4个客体[23、24],所以能同时维持的标记只有3至4个,婴儿的精确表征限度也就不会超过3个。一些研究结果,如婴儿在背离期望实验中的表现符合这一解释。再如,前述Feigenson研究的10~14个月大的婴儿能辨认3以内的数量,但当数量超过3,比如4时,婴儿的辨认具有随机性,正确选择不超过50%;又如,14个月大的婴儿目睹4个物件被放进掩盖的容器里,却只会取出一个就停止寻找其它物件[14、4]。这是因为当婴儿注意最后一个(例如第四个)物件时,前面的记忆就被覆盖和遗忘了。
  综上所述,人类与许多动物共同享有的初始数学能力包含一个对大数量的近似表征系统和一个对小数量个数的精确表征系统。近似表征系统按韦伯律分辩数量大小,其加工过程按并行类比的方式在个数4以上工作。随着成熟,人的最小可觉差的韦伯常数(增量与原量之比)趋于更小。精确表征系统能够分离目标中4个以内的个体并对目标的个数作出反应,对增加一个、减少一个、累加几个个体(4以内)进行序列加工并给出精确判断。
  2 语言对整合与发展人类数量能力的作用
  非词语的数量能力的上述新认识,给长期争论的语言与数量认知关系提供了一个部分回答。然而,语言与大数量的精确表征的关系是怎样的?
  人类需要进行任何数量的精确计算,为此使用了数词、字符(如阿拉伯数字)、运算符号(如加减号、分数线、根号)等组成的符号化系统,它们大都是可说明(有语义)、可读写(有语音有书写有句法)、可回忆(外显性)的,能对数量思维作明确判断、表达和交流,其中的符号化系统也具备了语言的基本要素。对精确数概念、运算与语言的关系有没有新的研究发现和新的认识呢?
  2.1 精确的数概念和四则运算与语言密切相关
  Geary认为,人类通过语言和文化可以整合多种生物初始数学能力,进一步发展出生物次级数学能力(Biologically secondary mathematical abilities)。生物次级数学能力是社会文化对内隐的初始数学能力的意识(Awareness),和对这种内隐能力的外显形式化(Explicit formalization)。它通常表达为数学概念和计算方法等数学知识,需要传授学习才能获得,因而不是每个社会文化都发展出相同的数学思维。所以,生物次级数学能力与语言和文化有关[3]。
  较大数量的精确辨认和计算能力是否可以脱离语言而存在呢?Gordon对巴西亚马逊河流域一个目前所知最原始的部落Piraha的观察研究显示[26],Piraha人只有有限几个词用来表示“一”、“二”和“许多”。在简单的一一对应任务中,要求他们根据目标物体(如小棍子、核桃)的个数摆上相应个数的电池。在个数三以内,他们可以达到75%以上的准确率,大于三时准确率迅速下降,超过八九个物体时任务无法完成。在需要数量表征的比较任务中,向被试显示一个罐子A,放进糖果,然后移开。拿出另两个罐子,其中一个罐子糖果的数目与A相同,另一个数目比A多一或少一。要求被试选出与A有相同数目糖果的罐子。对于个数1与2,他们的选择准确率达到75%以上;个数2与3则不到75%,个数3与4不到50%,说明Piraha人能准确分辩的数量范围不超过三,与数量语言的缺乏密切相关。
  前述Munduruku部落人虽然有数词表示1至5,但这五个词并不稳定对应个数1至5。他们并不常用这些词来数数和表示精确量。要求数一个集合中的点,他们很少使用这些数词,而是用手指和脚趾的个数去表示被数的点。用他们语言的“一”来表示数量1的使用率不到100%,“三”表示数量3不到80%,“五”表示5不到30%。对一个大于4的数量n,他们不能准确地分辩n与n+1。Pica认为,有限的五个词还不足以使Munduruku部落人产生精确数量的心理表征[11]。这两个部落考察都说明,较大数量的精确辨认和计算能力不能脱离语言而存在。
  Dehaene[27]和Spelke等人[28]发现母语与非母语对精确计算与近似估计的影响不同。他们让母语为俄语且熟练掌握英语的双语大学生做被试,以俄、英两种语言分别进行精确计算或近似估计的训练,然后以相同或不同于训练的语言对同类问题进行测试。测试题包括两位数加法、乘法、开方、非十进位制加法等,要求指出准确答案(精确计算)或指出较接近的答案(近似估计)。结果显示,当进行精确计算,且测试使用的语言与训练使用的语言一致时,其反应快于测试与训练语言不一致的反应。而估计近似值时,测试的反应时与训练语言无关。研究者由此推测,在学习期间获得的算术事实(Arithmetic facts)是以学习所用的语言储存的,当使用另一种语言进行精确计算时,需要语言转换,因而反应时延长。做近似估计使用的是内在表象对总量的类比,可以是非词语的,不需语言转换,因此反应时与训练语言无关。
  2.2 算术事实记忆的使用与语言密切关联
  有许多熟悉的算术运算过程和结果是以语言形式表达的,比如乘法九九表,储存在头脑里,形成词语的说明性记忆,即算术事实的词语记忆。近年来的研究表明,由于要提取记忆中的算术事实,因此算术运算会不同程度地以语言形式进行操作。

  数字对分任务(找出两个数的中间数)曾被认为只涉及量的比较,由非词语的数量表征系统进行。Nuerk的研究却发现[29],词语的算术事实如乘法表、奇偶数概念也影响数字对分任务的操作。所有实验参加者(德国大学生)做可倍增的两数的对分任务,比如指出6与18的中间数12(记为6_12_18),都比不可倍增的两数的对分(如7_10_13)反应速度快。因此有理由认为,完成数字对分任务是由量的大小表征和词语的表达双向交互作用实现的,说明由语言形式储存的算术事实参与到计算中去。
  上一节介绍的Spelke等人对双语大学生的研究[28]还发现,进行精确计算,凡训练过的题都比未训练过的题反应时短,而做近似估计题,训练题与未训练题反应时无差异。研究认为这是因为精确计算经训练后成为记忆,以语言形式储存,可以直接提取,反应时因而缩短。近似题不论训练过还是未训练过都是进行量的估计比较,较少利用事实记忆,因而反应时无差异。
  Lee和Kang报告了一项实验,被试在进行算术运算的同时进行空间属性判断或者语言判断。他们发现,空间属性判断只干扰减法运算而不影响乘法运算;语言判断只干扰乘法运算而不影响减法运算[30]。这种相分离的任务干扰现象说明,乘法事实的记忆提取过程更多与语言判断过程相一致。
  2.3 儿童算术能力发展过程中语言起显著作用
  Butterworth在算术能力发展的最新综述报告中,概括了0至7岁儿童早期发展的若干个发展里程碑[31]:儿童从2岁开始学习数词序列;3岁能数小的数;3.5岁左右能用实物和数词进行简单的加减运算,并能用基数原则建立数集;5.5岁能理解加法交换律,还能由大到小数数;7岁能从记忆中提取已掌握的算术事实。从Butterworth的总结可见,儿童算术能力的发展在两三岁就借助了语言来学习数字序列,形成最初的数概念,然后借助语言来记忆和提取四则运算事实、扩大数的概念。Butterworth还特别指出,他总结的儿童早期算术能力发展里程碑是建立在欧美国家研究的基础上的,而各种不同语言的数词结构可以加速或减慢算术概念的获得。比如在中文语言环境下,儿童可以较早获得一些算术概念[31]。跨语言的数学认知发展研究确实是探讨语言与数学能力关系的重要途径,相当一批跨文化研究结果发现,数词的结构及其语义、语音对儿童理解数的概念和进行计算有不可忽视的影响。
  以中英文数词的差异为例,对两位阿拉伯数字的语言表达,中英文的数词在结构上有不同。中文表示十位上的数同样用数词1至9,表示十位的发音放在前(书写在左),表示个位的发音放在后(书写在右),这与阿拉伯数字的进位制和位值制表示完全一致。英文的数词残留了12进位的构词法,数词11至19与十进位值制结构不匹配。eleven(11)和twelve(12)与前十个数词在结构上相互独立,与十(ten)和一(one),十和二(two)没有构词关系。从13到19,英文把表示个位的发音放在前(书写在左),把表示十位的发音放在后(书写在右)。如“thir-teen”先说出三后说出十,与阿拉伯数字先读十位后读个位的顺序正好相反,因而其数词在语义上缺乏对十进位值制的明确表达。中英文数词结构这种差异对儿童数概念、数位和位值的理解和掌握能够产生内隐性学习差异。
  Miller在比较中美儿童数数能力时发现[32],掌握1至10的口头数数和一一对应按物数数,中美学龄前儿童没有差异。这是因为1至10的数词无论中英文都是相互独立的十个发音,都需要儿童一一记住。从两位数开始,中国儿童对10至20的理解和掌握显著好于和快于美国儿童。从美国儿童口头数数常犯的错误是构词错误这一现象,可以看出他们把11、12看作和一位数一样相互独立的数,不容易从英语的构词上获得对多位数的数位和位值的理解。如他们把28至32数作“28、29、20_10、20_11、20_12”(twenty-eight,twenty-nine,twenty-ten,twenty-eleven,twenty-twelve)。究其原因,英语11至19的数词缺乏与阿拉伯数字匹配的十位_个位结构,不利于儿童对构数法的归纳和对数的理解。
  Miura对美、法、瑞、日、韩的一年级儿童进行过语言与数概念关系的跨文化研究[33]。瑞典语和英语同属日耳曼语系,数词构词法基本相同。日、韩语的数词从汉语引进,数词的构词法与中文完全相同[34]。Miura的实验用表示单位十的积木和表示单位一的积木表示数字“42”。能够理解42是由四个单位十和两个单位一组成的日、韩一年级儿童人数分别达到72.3%和96.7%,而美、瑞同龄儿童只有8.3%和11.3%,差异非常显著。90.8%的美国被试和88.7%的瑞典被试把42理解为四十二个单位一。
  Fuson研究韩国小学二三年级学生的算术水平[35],发现94%的二年级学生能正确进行两位数和三位数加法中的进位,94%和78%能正确进行两位数和三位数减法中的借位,虽然当时他们还未学三位数加减法;三年级学生正确解决三位数加、减法更分别达到98%和93%。韩国小学生加减法计算的正确率如此之高,得益于他们对数位的正确理解。所有二年级被试都能正确认出两位数的第二位是十位,如“52”的“5”表示五个10;所有三年级被试都能正确认识第三位是百位。相比之下,在美国“教育进步全国测评”中,50%的美国三年级学生不能正确使用三位数减法中的借位,超过50%不能正确认识百位数上的“1”表示100。不少二、三年级美国学生在减法借位时把十位上的单位“1”错当作1。
  语言还有一个语音要素可以对数学加工过程产生重要影响。数词的语音长短可以影响数字记忆广度,从而可以影响儿童的算术运算能力。根据Baddeley的工作记忆模型,一个人的语音储存大约自动维持2秒左右,词的发音时间越短,被保持和回忆的词越多[36]。有研究测出[37],汉语发音平均每个数词需时406ms,英语需时527ms,两者发音时间差异显著。中国成人数字记忆广度平均为9.2,美国为7.2,两者也有显著差异。Geary和刘范的合作研究显示[38]:5~6岁中国儿童的记忆广度是6.7,同龄美国儿童是4.1,中国儿童正确解答10以内加法的人数大约是同龄美国儿童的3倍。还有研究指出,儿童计算策略的使用和他们的数字记忆广度有一定的关系,记忆广度越短,越有可能利用数手指来帮助计算[39]。
  欧美儿童的数学成绩在国际比较中长期落后于东亚儿童已是不争的事实,许多研究将此归结为学校教学时间和社会期望等因素,都忽略心理语言学因素。但是,上述发现指出的数学词语表达对儿童数概念和算术学习的影响,由Fuson1997年进行的教学实验研究结果得到进一步的肯定。在中文里,“五十”是五和十的复合词,容易被理解和反应为五个10。但是在美国通常教学中,低年级儿童很容易把数词“fifty-three”(“53”)与503等同,因为字面上fifty缺乏“五个十”的信息提示,容易被年幼儿童理解为整体50而不是分解为五个10。Fuson按东亚语言表达数位的方式在美国经济落后区域的小学(通常教学质量较低)对一年级新生进行日常数学教学,包括使用“五个十和三个一(five tens and three ones)”的方式表达53(fifty-three)。一学年实验结束时,88%参加实验的学生能够在前述Miura(1993)的积木实验中使用正确方法回答,接近东亚儿童的平均水平,在其它项目上给出正确回答的人数也两倍高出接受美国通常教学方法的同年级学生,并且与六年级的正确人数略同[40]。这一结果不能用学校教学时间和社会期望等因素解释,证实了数词的语言表达确实影响儿童早期能否更快更好地掌握数概念。
  2.4 数量能力具有文化和语言的独特性
  人类社群的数学语言和数学思维的发展是互为因果的。Geary认为不是每个文化都发展出相同的数学语言和相同的数学思维[3]。中国商殷时代(公元前1400年)就独立发展出十进制和位值制,用类似现今阿拉伯数字的记法来表示数,有记录千、万的数字。到春秋末期,创造了一种简便的计算工具——算筹[41]。最早发现的阿拉伯数字符号(不包括零,也没有数位表示)出现在公元前250年印度的石刻上。最早使用现代阿拉伯数字记法出现在公元825年波斯大数学家Khowarizmi的著作里[34]。然而世界一些与世隔绝的原始部落至今仍用身体的部位来表示数,停留在前语言的具体数量阶段。虽然现代社会由于频繁的交往使得数量的概念和知识能够被全世界共享,但是,许多痕迹仍然可以说明数量能力具有文化和语言的独特性。
  习俗时间的语言表示和心理表征各国都不一样。中文无论阴历还是阳历都以数字来排序,即使对外来的星期记法,也用数字排列(星期天除外)。这或许反应了中国文化对数字的敏锐和偏爱。英文与中文不同,用罗马诸神和罗马大帝的名字来命名十二个月,用星体的名字命名一周七日。这种文化和语言的不同带来习俗时间表征的不同,中国人头脑中的习俗时间表征是基数数列,而英美人是名称排列。两者计算习俗时间的方法就会不同。Kelly进行了一项实验[42],要中美儿童和成人回答“星期一的三天之后是哪天?”,“七月之前的五个月是那个月?”这类问题。美国儿童和成人最通常采用的方法是列数周日或月份的名称来求得答案,即使是美国大学生也有90%以上采用此法。中国被试最通常采用计算法,即使二年级学生也有81%用计算法解决月份问题,63%用计算法解决周日问题。中国被试解决此类问题的速度大大超过同龄美国被试,中国四年级学生解决月份问题的速度甚至已略快于美国成年人。
  数量能力的语言文化独特性说明了人类的数量能力是在文明的创造与发明中积累起来的,因此个体的生物次级数学能力与语言的运用和发展息息相关。
  3 语言与数量认知密切关联的脑神经证据
  Dehaene等人在功能磁共振脑成像(fMRI)和事件相关电位(ERP)的实验发现,简单算术会激活两个不同的脑神经网络:近似量的判断更多地激活负责空间表象的大脑双侧顶内沟(Intraparietal Sulcus)及其周边脑区,精确量的判断则更多激活负责言语的左侧额下回(Left inferior frontal gyrus)等词语加工区[27]。这些发现为精确数量加工与语言使用的密切关联提供了脑神经证据。
  对于精确数量与近似数量加工的大脑基础,Lemer等人考察了计算不能(Acalculia)病人BRI和LEC[43]。LEC的非词语数量能力因左内侧顶叶萎缩而受损,但大脑的语言区相对完好。她不能快速认出两个或三个分离物体的个数,也不能区别数量比例为1:2的两个较大的点集(如36和72)。BRI的左侧额叶和颞叶萎缩,左侧海马回萎缩,造成了失语和工作记忆受损,但顶叶完好。她与LEC相反,能较快认出两三个分离物体的个数,也能区别大数量的点集,说明她具有基本正常的非词语数量能力。但是,BRI和LEC都只能缓慢地数较大的数量(5至8)并且错误较多[43]。这说明了精确数量能力会同时受语言和非词语数量能力影响。
对于四则运算,Lemer等人发现,BRI的乘法和除法的错误率高达77.8%和94.4%,但是她的加法和减法的错误率却相对低得多,只有9.3%和16.7%。LEC进行四则运算的错误率显著低于失语症病人BRI,乘法和除法的错误率为5.6%和33.3%,加法和减法约1%和18.5%。分析认为,乘法运算更多地依靠对记忆中的乘法表的提取,除法是乘法的逆运算,也依靠乘法表进行运算。这些算术事实的提取以言语进行。BRI的语言区受损,乘除法知识难以提取,运算便严重受阻。但加减法对记忆的提取相对较少,更多的是对数量进行操作性运算,它主要由大脑的顶内沟区域负责,因此BRI能够相对顺利地进行。LEC的非词语数量能力受损,语言区相对完好,算术事实基本能保留和使用,所以乘除运算显著优于失语的BRI。LEC的减法和除法表现差于自己的加法和乘法表现,这是由于逆运算需要对数量进行更多操作性运算,恰好与她顶叶受损有关。
  Dehaene概括了有关的研究[44],认为顶叶有3个神经回路与数量加工有关:顶内沟水平节(Horizontal segment of the intraparietal sulcus,简写HIPS),左侧角回(Left angular gyrus,AG)和后顶上小叶(Posterior superior parietal lobule,PSPL)。
  首先,大脑双侧顶内沟是数量加工主要激活的区域。当任务涉及数量比较(如对分数字、比较数字大小),估计(如估计两位数加减法的结果),数量归类(如区别数量与方位),甚至在心算中提取一个数字的数量表征等等,这个区域是主要激活的大脑部位。Dehaene等人推测,数量的非语言表征可以类比成一个空间图(Spatial map)或者心理数轴(Mental number line),呈现在双侧顶内沟,这是人类数量直觉的基础[44]。
  其次,脑成像显示,精确计算比近似计算更多激活左侧角回。Dehaene[27]和Spelke[28]根据双语大学生实验的结果认为,进行两到三位数计算和用不熟悉的进位制计算时要依赖语言。基数和分数的表征是语言特定的(language-specific)。时间和空间信息编码以第一语言为优。多位数乘法任务比数字匹配任务,10以内加法比10以上加法,都更多激活左侧角回。由于乘法表和10以内加法已成为熟练计算的人头脑中的算术事实,由此推测,左侧角回是算术事实以语言形式储存的地方,是语言参与数量加工的区域。
  再次,数字加工也会激活后顶上小叶。进行数字比较、求近似值、两位数运算、数数等任务都会激活这个区域。这个区域并不是数字加工的特定区域,它在涉及视觉-空间的任务中起中心作用。上述计算任务都含有注意指向的成分,可以推测,在“心理数轴”上作空间移动与在大小数量之间作注意转移是相对应的。
  来自不同国家、具有不同教育背景、使用不同语言、取得不同数学成绩的被试都会在数字加工时系统地激活顶叶的这三个部位。Dehaene认为这个显著的解剖学事实在一定程度上与算术是文化的产物这一明显的事实相一致。算术普遍地由数词或数学符号表示,空间刺激的输入也常常以文字信息的形式,计算常常不能脱离语言进行。在数量加工过程中,数量的比较、分类、数量表征的提取以及近似类比主要涉及顶内沟;精确数量加工主要涉及左侧角回;注意的指向、控制、空间转移主要涉及后顶上小叶;它们连成一个数字加工的网络[44]。
  4 语言在数量认知模型中的角色
  数量认知模型力图把实验和观察中得到的局部认识加以汇总,形成对数量认知机理的整体认识并使之具有预测能力。其中,数字加工模型的对象是已经符号化的数字系统,常与阿拉伯数字的编码有关。数量化模型反映我们对客体的数量特征所作的感知、辨认和数量的符号化过程。语言在这些数量认知模型中担当什么角色?
  4.1 数字加工模型
  数字加工反映我们运用符号化的数概念进行量的运算。数字符号化系统就是一种语言。问题是如何将非词语的数量能力与语言使用联系起来,将各个方面协调为一个整体的模型。近年来出现的较受关注的数字加工模型有以下3个。
  McCloskey等人于1992年从认知心理学的视角提出了“抽象编码模型”(Abstract-code model)。它由3个数量认知系统构成:数字编码输入的理解系统,计算过程系统和反应发生系统。模型的中心关键是通过一个单一形式的语义编码来加工数量,实现3个系统的联系。数量理解系统把数量的不同表面形式转换成一个共同的抽象代码,输入到计算过程;计算系统包括基本数字事实和规则的记忆,数字事实假定以抽象形式储存;反应发生系统再把抽象数量编码还原成具体的阿拉伯数字或口语和书面的词语形式[45]。
  Dehaene和Cohen于1995年以神经心理学的研究为基础,提出了“三联编码模型”(Triple-code model)[44]。他们强调数量的表征而不是表面功能,提出数字加工有3个不同的表征系统:一个是类比量表征(Analog magnitude representation),支持非词语的数量分析,提供近似、大小和距离等类比判断;一个是视觉-阿拉伯数字表示(Visual-Arabic number form),支持阿拉伯数字的视觉输入和输出;还有一个是听觉-词语编码系统(Auditory-verbal code system),支持对听、说信息的输入和输出,以词语形式提供简单加法和乘法事实。这3种形式的编码可以互相转换,但各自都能将表面形式(Surface form)转换为数量表征,因此运算和判断不依赖表面形式。模型假定算术事实是通过语言来表征和储存的,词语在精确计算中起关键作用,而量的近似表征在简单计算中起关键作用[44]。
  最近,Campbell从行为实验的大量观察出发,吸取三联编码模型的一些要素,提出“复合编码模型”(Encoding-complex model)[45]。她认为实际的数字加工过程会激起一个联系丰富的网络,各种编码相互作用,包括相互干扰(比如9×6=36)。该模型根据算术和词语表示之间的密切关系,采纳以语言形式存储算术事实的观点。该模型包含视觉编码-数量编码-词语编码转换,其中心是数量编码(Magnitude code)[45]。复合编码模型比三联编码模型更强调各种算术知识和技能的相互影响,强调词语的记忆编码和语言对算术事实的提取作用。
  4.2 数量化模型
  对于非词语数量能力,例如在婴幼儿、在缺乏数词的社会群体里,精确数量表征与近似类比表征似乎是在小数量(3、4以内)与大数量(4以上)之间被区分开来的[4]。对于一般受过教育的成人,这两个数量表征的关系还是这样吗?关于数量化(Quantification,也称为Enumeration)的研究一直在探讨这个问题。
  人类如何对具体物体作数量化反应,即如何辨认分离客体的个数,在实验方法进入心理学初期就有人研究了(见Mandler等人的回顾[46])。早期的数量化研究与识别广度(Span of Apprehension)的研究结合在一起。Kaufman等人在1949年的实验中给被试呈现含有1至210个点的图,要求迅速准确地说出点的个数。根据反应时和准确率的特征,他们首次把数量化区分为两类不同的机制:在1至6的范围里,人们可以不经过数数(Counting)而迅速准确地辨认出分离客体的个数,并把这个过程命名为Subitizing,意为“顿然识别”(顿识)。在大于6的范围里,人们也可以不经过数数而迅速地近似估计(Estimating)客体的个数。对于数数,其操作性定义是“从1开始,为每个客体配给数字序列中的一个数”[47]。顿识和估计不同于数数,它们只提供一个数字作为数量化的快速反应结果,而数数是一个较慢的序列过程,它对每个客体作出一次反应,最后累计得到总数,结果精确。只要时间允许和目标稳定,数数就可以进行。可以说,Kaufman等人给出了第一个数量化模型。如果我们把顿识和估计概括为“感数”(相对于数数),本文称Kaufman等人的模型为(感数-数数)双机制数量化模型。
  自从Kaufman等人的研究,顿识、估计和数数就成为数量化研究的明确对象,其中一个焦点就是三者的关系。目前较多研究趋向于认为,在刺激呈现短暂或者要求快速判断的实验条件下,数量化在以下三个数量段上各呈现一种机制:顿识在数量1至3、4内进行,高度准确;数数在数量5至8、9内进行,精确度随数量增多而下降;估计在数量9以上进行,误差服从韦伯律。本文称此为三机制数量化模型。也有少数研究持不同观点,认为数量化从小数量到大数量用的是同一个机制,例如,顿识只是快速数数。本文称此为单机制数量化模型。顿识、估计和数数的详尽关系,可参见Trick[22],Mandler[46]和Pirzza[48]等人的回顾。
  数量化模型中与语言关系最密切的部分是数数。数数的基础是什么?Dehaene等人考察了顶叶受损导致不能在数数中进行序列加工的病人[49]。这些病人能够迅速准确说出图中2、3个点的个数,但是,当图中的点多于2、3个时,他们的错误率超过90%,例如会重复数那些已经数过的点。这说明顿识是并行加工,数数是序列加工的。Sathian等人的脑成像研究支持这一看法,并进一步发现,顿识在视觉的前注意(Pre-attentive)阶段发生,数数则与视觉注意的转移相关联[50]。前面提及的因失语症导致计算不能的病人BRI,因顶叶保留完好,能作顿识,也能估计,说明她具有基本正常的非词语数量能力。但是,她只能缓慢地数较大的数量(5至8)并且错误较多[43],说明是她的失语影响了数数。而病人LEC的非词语数量能力因顶叶萎缩而受损,语言区相对完好,她也不能正常数数。这说明数数不能缺少非词语数量能力和语言能力两者中的任何一个。Pirzza等人的脑成像研究证实了这点:非词语数量表征关联的脑区和语言加工关联的脑区在数数时是协同激活的[51]。他们的研究还发现,顿识与数数可以有共同激活的枕叶-顶叶网络,包括左侧顶内沟。数数比起顿识在枕叶-顶叶网络有更广的激活并会随着客体数量增加而扩展,但是顿识并没有比数数激活更多的脑区。由于顶内沟是非词语数量加工的关联区,枕叶-顶叶网络则跟视觉模式辨认关联,顿识和数数共同激活这个网络说明了快速数数中采用了分组策略,对各组作顿识并累计总数[48]。
  概括上述:感数(顿识和估计)是在前注意并行加工的基础上进行的非词语数量认知;数数则要在注意下进行,离不开语言(数字或任何其它符号化系统)。数数是语言化的数量表征的序列加工。
  5 争论和待研究的问题
  即使有新的发现和认识,对于人类数量认知是否与语言相互独立,仍有未解的争论。数量认知与语言相互独立的主要坚持者是Gelman、Gallistal等人[52~54]。
  数量的知觉若没有符号化系统(乃至语言)表示,是否就只能停留在近似估计或者有限几个量的辨认上?如果这的确反映了目前为止的主要研究结果,是否就能说数量认知发展依赖语言,甚至,数概念形成是由语言决定的?Gelman对这些都持否定观点[52],她对新发现的事实有不同的解读,并指出一些她掌握的但没有被广泛注意的研究结果。她的主要观点是:数学能力独立于语言。她不同意以Carey为代表的“自然数概念源于数词”的观点,该观点认为,3以内的自然数是在“客体档案”(见1.2)与数词“一”、“二”、“三”对应的意义上获得,但对4以上的自然数,则靠顺序读数词获得。Gelman指出,儿童在学会较大的自然数之前已能理解一一对应,能理解当一个集合的量被改变(增加或减少客体)后会产生的结果,并理解有另一个数对应这种改变。Gelman还指出,缺乏数词的一些非洲部落人一旦需要并接触数字(如数钱),其获得自然数概念的速度比儿童学数要快得多,认为他们在接触数词之前应当已经在一定程度上理解数量的关系。Gelman也举出例子,说明大脑损伤的失语症病人其数学能力未必受严重影响[52]。
  可以看到,一个隐含的争论点是:生物的初始数学能力除了包含两个已知的数量系统——近似表征系统和精确表征系统,是否还存在其它不依赖语言的理解数量的系统?这些未知系统如何帮助获得大于3的精确自然数概念?在前语言条件下,还有哪些认知机制支持数量的理解?这些的确有待进一步研究。
  此外,前面介绍过,6个月的婴儿能精确辩认2和3,也能近似区分4和8的不同,但是就不能区分2和4的不同。目前还没有研究报告说明这个现象。我们提供一个可能的解释:对婴儿来说,2和4跨越了精确和近似两个系统,他们还无法同时采用和协调两种加工方式,他们的工作记忆、注意协调能力都可能没有达到应有的成熟。是否如此,仍待研究。
  最后应当说明:本文涉及的数量认知只是数学认知的一个部分。国际上许多文献虽然使用数字、数量、甚至数学等一般说法,但他们目前更多还是反映对自然数、小学算术等最初等的数量认知。数学思维有更广阔的领域,如几何、函数、概率,也反映更抽象的概念和运算,如代数、集合、数理逻辑。那些方面的研究相对较少,原因是初等领域还有许多不清楚和值得研究的问题,如本文概括的语言与数量认知的关系。复杂的问题就自然被留到今后了。
【参考文献】
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481楼太长,还没有读完。先回复前面几个帖子。

“负数的概念进入我们的基因”的这个说法意味着人类DNA里面有一个专门管理负数的基因。如果说有实验支持,那就意味着通过生物工程手段把这个基因分离了出来,敲掉这个基因的人无法理解负数,而拥有这个基因的人不需要教就可以掌握负数。如果真有这样的实验,应该会宣传得满城皆知,这并不是事实,所以我觉得这个说法很雷人。

认知心理学上的能力跟分子、基因水平上的质素,还是大相径庭的。天生具有自然数的概念,也不能就说是拥有计数的基因。.

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长篇大论、专有名词等可能要吓倒不少BBMM,其实删繁就简,只要记住两句话:

要尊重自然规律,不可拔苗助长,也不可放任自流。
自己不清楚的,要尊重老师和教育专家的意见。

有兴趣的可以了解一点认知心理学和儿童心理学。.

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引用:
原帖由 hxy007 于 2008-12-15 16:20 发表


  好几年前,我旁听过由哲学、社会学、教育学、生物学等领域青年才俊举行的一次学术沙龙。他们极其兴奋地在谈论生物分子学(不知不有没有听错,错了请指正)中的一个重大发现——罪犯的基因在某个部位不同于常 ...
分子生物学.

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哈欠!

专家有没证明对微积分的认知?因为大家都知道:无论你把一个罗卜切的有多么薄,叠起来还是一个罗卜。.

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回复 485#ccpaging 的帖子

这个文章是应火车的要求贴的。我印象中的实验应该是这个:

Wynn用背离期望法(Violation of expectation)让5个月婴儿看见一个玩具被遮挡后再添加一个玩具的过程,发现5个月婴儿对最后拿开遮挡时只出现一个玩具的背离期望结果(1+1=“1”)会增加注视时间。类似地,对两个玩具被拿开一个后仍出现两个玩具的背离期望结果(2-1=“2”)同样会增加注视时间。Wynn由此判断婴儿有个数增加一和减少一的识别[18]。


关于微积分,文章里倒没有提到,不过关于切苹果文章里确实提到了。

  1 独立于语言的数量能力
  大量的婴儿、脑损伤病人及动物的数量能力研究提供证据,认为人与其它动物共享一些基本的非词语的(Nonverbal)数量能力,即不仅能区分物体的物理属性,如大小、长度、时间、颜色、移动、声音,还能按物体的某种属性作个体分离,对个体的多少作出反应。这种最基本的数量能力具有进化来的生物学特征,是物种生存所需要的。比如,猴子观看一片一片放进不透明盒子里的苹果片后,能选择较多苹果片的盒子[1]。狮子通过吼声判断来犯狮群的多寡,敌众我寡,采取躲避行动;敌寡我众,便采取反击行动[2]。

另外还有:

Hauser以半自由生活状态的猴子为被试,在未经训练的条件下,让猴子观察实验员把数目不等的苹果片分别逐个放进两个不透明的容器里。它们能选择对比组1和2,2和3,3和4,3和5中的较多者;但对4和5,4和6,4和8以及3和8等对比组,其选择是随机的[1]。猴子在这种条件下对数量的辨认是逐个进行的,因为它们看完一个实验员逐片放入苹果后再看另一个实验员做同样的动作,并没有看到容器中苹果片的总数。比较的两个量超过4,猴子就没有精确辨认的表现。关于动物精确数量能力的其它报告可见Dehaene的综述[5]。近期的一个重大进展是,Nieder等人在经过训练的短尾猴作1至5个分离点的辨认时,从它们的前额叶边侧皮层直接探测到对数量1至5专门反应的神经元,这些神经元被称为“数字神经元”(Number neuron)[15]。这是首次揭示了数量精确表征的神经元基础,类似的神经元也由Sawamura等人在猴子的顶叶找到[16]。.

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回复 483#火车是运茶的 的帖子

”自己不清楚的,要尊重老师和教育专家的意见。"这句话也是我想说的。
我认为父母一定要认识到自己的局限性。不要认为自己的教育思路就是正确的或者较优的。这种不自觉的预设往往会好心办坏事。.

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回复 482#火车是运茶的 的帖子

关于你的这个问题,那篇论文的一开始就有相关的观点介绍。
归纳而言,就是认为人具有生物学意义的初始数学能力,而这种最基本的数量能力具有进化来的生物学特征,是物种生存所需要的。
所以我才说是基因带给我们这些能力。

1 独立于语言的数量能力
  大量的婴儿、脑损伤病人及动物的数量能力研究提供证据,认为人与其它动物共享一些基本的非词语的(Nonverbal)数量能力,即不仅能区分物体的物理属性,如大小、长度、时间、颜色、移动、声音,还能按物体的某种属性作个体分离,对个体的多少作出反应。这种最基本的数量能力具有进化来的生物学特征,是物种生存所需要的。比如,猴子观看一片一片放进不透明盒子里的苹果片后,能选择较多苹果片的盒子[1]。狮子通过吼声判断来犯狮群的多寡,敌众我寡,采取躲避行动;敌寡我众,便采取反击行动[2]。
  Geary称这种非词语数量能力为生物学意义的初始数学能力(Biologically primary mathematical abilities)[3]。它反映的是神经认知系统(Neurocognitive system)具有的内隐属性。这一认识成为数量能力研究的新基点。Feigenson,Dehaene等人以最近几年的一批研究发现为依据,提出生物初始数学能力包含两个数量表征(Numerical representation)的核心系统——大数量的近似表征系统和小数量个数的精确表征系统[4],即双系统假设。.

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回复 485#ccpaging 的帖子

我认为大家都知道的一个事实是:如果你试图把萝卜切得很薄,那么你可能最终得到的是一堆萝卜泥,你绝不可能把一堆萝卜泥堆成一个萝卜。.

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引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-15 22:12 发表
关于你的这个问题,那篇论文的一开始就有相关的观点介绍。
归纳而言,就是认为人具有生物学意义的初始数学能力,而这种最基本的数量能力具有进化来的生物学特征,是物种生存所需要的。
所以我才说是基因带给我们这些能力。
但是你最初的说法是“为了能使负数的概念进入我们的基因,人类估计花了有几千年了吧。”

你的意思是这几千年通过生物学意义上的进化,不具有负数认知基因的人被淘汰了,没有留下后代,现存的人都是具有这种基因的。

这就没有什么根据。你下的是一个很强的断言,虽然这个断言经过弱化能够自圆其说,但是说出来的话,泼出去的水,是改不了的。

我们的确不必纠缠于这些太远离“亲子数学”的话题。关键是怎么样激发孩子的想象力、创造力和兴趣,变“单边灌输”为“以孩子为主体”。这方面我觉得楼主和ccpaging做得很成功,很值得ww上的家长们借鉴。我也向很多人推荐过这个帖子。

一些具体的问题,当然我也希望看到更多的具体分析观点。讲得太抽象太严谨就不是亲子数学了。

如果想了解初等数学背后更多的数学背景,建议去读《高观点下的初等数学》一书。似乎大陆这边没有出版,台版的在九章数学书店有售:

http://www.jzbook.net.cn/list/bookdetail.asp?prodid=P1239

可办理网上邮购。.

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引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2008-12-15 22:35 发表


但是你最初的说法是“为了能使负数的概念进入我们的基因,人类估计花了有几千年了吧。”

你的意思是这几千年通过生物学意义上的进化,不具有负数认知基因的人被淘汰了,没有留下后代,现存的人都是具有这种基 ...
感谢理解和支持!
盛赞不敢当!接受中肯批评,在本帖少说远离“亲子数学”的话!这一回是我惹起的,惭愧!

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-15 23:26 编辑 ].

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引用:
原帖由 hxy007 于 2008-9-22 20:29 发表
ccpaging 辅导孩子数学的方法表明此君深得数学之妙处,俺也试着用类似的方法辅导孩子。但我觉得这类方法在今天太奢侈,难以坚持,可行性很成问题。试以一例说明之(这是两年前的一篇育儿日记)。

  儿子一年级学 ...
真妙
看到这里就忍不住回复了,我儿子还没有上小学但是一直在关注孩子教育这块。
我和我老公都是从小数理化特别好,我的数理化基本都是满分包括高考。我老公也是,他在小学里就喜欢上数学并且继而迷上了电子,虽然没有家长的引导,老师的灌输,不过他还是蛮有成就感的。
看到现在很多小学的孩子被灌输的太多,没有自己去领悟。就像老师给吃的就关心你吃的量和长了多胖但是不关心孩子真正的身体素质。.

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回复 490#火车是运茶的 的帖子

我认为导致现代人对负数的认识能力超过古人的“最重要的是在周围媒体以及生活语言中已经广泛的运用了负数的概念。”,即基于语言的数学能力。
而且根据人类具有初始的数学能力这一事实,以及我相信该能力不是永远不变的,所以我认为,将来负数概念很有可能成为我们初始的数学能力的一部分,所以我说“甚至于负数的概念已经部分地进入了我们的基因,就像1岁不到的孩子能理解自然数以及加减关系一样了(这是有实验支持的)。”
结合上文,可以看出我认为负数正在变成人类初始能力的一部分,但还没有完全成为初始能力。所以我说“为了能使负数的概念进入我们的基因,人类估计花了有几千年了吧。”

另,克莱因的这本书我读过,很不错。并且最近复旦大学出版社出了一个新版,以前好像别的出版社也出过旧版。

最近我发现陶哲轩的实分析教程中的开头几章(讲自然数,整数,比例数和实数。后面的我还看不懂)和几个附录(特别有一个讲十进制的附录)对于这个帖子里讨论的一些问题而言是很好的参考资料,这些内容也是这本书的特色所在。.

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天啊,刚回复完随便扫描了下上面发现这个帖子真的好强。
需要蛮久的时间慢慢看了。.

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看得头晕.

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回复 481#jyuntoku 的帖子

拜托,这已经不是亲子数学啦, 看一眼就晕死.

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回复 496#shumi1 的帖子

不是开头就写了有兴趣看嘛。

不过,这篇综述信息量还是蛮大的,有兴趣看看蛮有意思的。
特别是数量认知是来自于语言还是独立于语言的观点碰撞和实验结果的比较很吸引人。.

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引用:
原帖由 shumi1 于 2008-12-16 11:50 发表
拜托,这已经不是亲子数学啦, 看一眼就晕死
同感,不好意思,爸爸们正在继续努力、、、.

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找到个孔子版“鸡兔同笼”

http://songshuhui.net/archives/5989.html

阳春三月,正是郊游的好时候,孔老师和我们共同外出游玩,大伙儿边走边看,说说笑笑,不知不觉来到了一个小村庄旁。听着村里传来的鸡鸣狗叫声,孔老师感慨地说:“老子说过,他理想中的社会是‘邻邦相望,鸡犬之声相闻,民至老死不相往来’,我实在是无法赞同呀!要是人们都这样的话,那怎么能互相取长补短,传播知识呢?!”
同学们恭恭敬敬地围着他,听他抒发感慨。
“我给你们举个例子吧,‘鸡兔同笼’问题,你们听说过没有?”
大伙儿都点了点头,颜回说:“就是知道鸡和兔子的总头数和总脚数,求鸡和兔子各多少只,可以用假设法来求,也可以列出方程来解决。”
孔老师赞许地说:“颜回说得很好,可以看出他平时经常读数学的书籍。解法确实是非常多的,但是前几天我听一个南方的客人介绍了一种新的思路,非常有趣呢!我们刚才说到鸡犬之声,那我就改一改,用鸡犬来出题吧……嗯,村里李大伯家养了鸡和狗,按头数一共有25只,数脚一共有56只,那么鸡和狗各有多少只呢?”
同学们都叽里咕噜地开始在心里默算,性急的子路已经蹲下来,在地上画开了。
孔老师微微笑起来,说:“不用急,我刚才说过了,我们换一种算法,你们先闭上眼睛吧。”
大伙儿安静下来,微闭双眼,听孔老师的下一步指令。
“让所有的鸡和狗排成一队。”
“好了。”
“让它们各举起一只脚来!”
孔老师的儿子孔鲤“扑哧”一声笑出来,说:“那鸡都变成金鸡独立了!”
“呵呵,这个成语用得好。”孔老师摸摸他的头,高兴地说。
孔鲤又调皮地说:“不过,小狗狗翘起一条脚,可就有些难看了,那不是在‘嘘嘘’吗?”
同学们都哈哈大笑起来,孔老师也笑着说:“好了,只可意会,不可言传……来,再让鸡和狗再举起一只脚来!”
“啊?!”孔鲤叫起来,“再举起一只脚,那鸡就变成浮在半空中了,狗变成象人一样站起来了。”
“对,现实中,要让鸡和狗这样做到是很难的。但是我们人类号称万物灵长,只要靠思想,就可以在想象中实现这种巧妙的画面。”听了孔老师的话,同学们都若有所思。
“现在,站在地上的还有几只脚?”
子路抢着说:“从56里两次减去25,剩下6只脚,都是狗腿。”我怎么觉得这个词有些难听……
又听孔老师问:“准确,刚才说每只狗都象人一样用两只脚站着,那么一共有几只狗呢?”
“三只!”同学们异口同声地说。
“鸡呢?”“二十二只!”
这次郊游之后一段时间内,同学们见面时,都爱这样打招呼:“你好,举起脚来!”.

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坐上坦克去郊游

引用:
原帖由 shumi1 于 2008-12-16 12:05 发表
http://songshuhui.net/archives/5989.html

阳春三月,正是郊游的好时候,孔老师和我们共同外出游玩,大伙儿边走边看,说说笑笑,不知不觉来到了一个小村庄旁。听着村里传来的鸡鸣狗叫声,孔老师感慨地说:“老子 ...
看的汗毛林立,这才是数学,这才是老师。
老师心中有一团火,才能温暖学生的心,才能照亮学生的心。

刚跟同事讨论,现在有些教学更像是:
一群孩子背着手、表情严肃地坐着坦克去郊游,老师探个头在外面:
“同学们,我们现在正在经过一片树林,树叶的颜色是绿的、、、”
“同学们,我们现在正在经过一片油菜地,油菜花是黄的、、、”
郊游结束,老师发给同学们一张考卷,“请写出你郊游的感想,题目叫:我的一次郊游”
于是,同学们找老师要了一堆别人写的东西,抄啊抄、、、

听起来,这哪是什么郊游,是行军打仗吧?这还不仅仅是指语文教学,数学教学其实也是这么回事。
结果呢?
老师很累:你想想,老师也是人,伸长脖子在车子外面吹风,还要讲解,还要维持车上的纪律,能不累吗?
同学们无趣:到也是,好不容易盼到一次郊游,本充满了各种稀奇古怪的幻想,结果还是跟坐在教室里边一样。有的同学选择打瞌睡,有的在座位上扭来扭去,有的在拉女孩子的小辫,有的在叽叽喳喳讲小话,有的在认真思考:“油菜花黄,像什么一样黄?”

出现这样的状况,老师也很无奈,被体制逼的。希望BBMM们能认识到这一点,在学习的趣味性上多下功夫,在一定程度上对孩子有所补益。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-16 12:38 编辑 ].

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