以数字1开头的自然数占全体自然数的百分之多少？

[ 本帖最后由 echooooo 于 2007-7-17 15:32 编辑 ].

正如炫爸所说，这道题目是我在一本书（500个最新世界著名数学智力趣题，刘培杰，哈尔滨工业大学出版社,序言 page8）上看到后觉得蛮有意思，剽窃下来的。 后来贴到雅虎知识堂——

首数为1的自然数约占全体自然数的1/3，
准确地说，是lg2，约=0.3010，即30.10%

详细可见P.Diuconis.The distribution of leadingdiglts and kniform distribution modl,prod,s(1997)72~81
Persi Diacois珀西.迪亚科尼斯是斯坦福大学的统计学家，于1974年证明。

想当然的答案好像应该是1/9，因为自然数开头的无非是1~9这九个数字。
但仔细想想，好像标准答案（lg2）是有道理的——当然我也不知如何正确证明，或许想法还是错的，只不过是想用有限的数学知识来直观地理解：

撇开无限这个概念，可否把本题理解为：任给一个足够大的自然数n，其中以1开头、且<n的自然数的数量m占的百分比p？

比方说，为方便讨论，任给一个5位的自然数。那么，任给的这个自然数就大有讲究：
最有利状况：n=19999时，m=11111，p=11111/19999=55%
一般状况：如n=34567时，m=11111，p=11111/34567=33%
最不利状况：n=99999时，m=11111，p=11111/99999=11%
所以，窃以为11%<p<55%，得出答案=lg2是可以理解的，而且是美妙的。.

这样理解的明显缺点在于：
以2、3、4、5、6、7、8、9开头的自然数占全体自然数的百分比就各不一样了，而且依次减少。不知事实是否如此？
哎，碰到无限就真的"无限”了！
炫爸、老姜、老猫、考拉、helen...呢？.

不过，还是 。
不知这个定律（or定理）是统计规律呢，还是？
看样子我的理解还是有可取之处的 ，至少可以推导出百分比越来越小。
疑问是根据公式，加起来的和等于1吗？算不来。.

发现问题比解决问题更难。.

一根细直筷子，任意折成3段，能拼成一个三角形的概率是多少？.

难得看到猫兄的“几何画板”，果然正宗。
只是貌似中间的那个三角形加点阴影或颜色就更了然了。

说到那题“以数字1开头的自然数占全体自然数的百分之多少？”，也觉着玄乎，只是题目尚有出处，且已明示，故不敢妄加评论。
只是类似题目，如“在自然数中，是偶数多还是自然数多？”究竟怎么回答算对？目前较公认的答案好像是“一样多"，理由是“它们可以一一对应”，真的是有点迷糊。能否提供一个权威答案？.