“玫瑰数”看上去只是出题人随意定义的一个名词。
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[标题] 数学竞赛中的“新数”
[出处]
[作者] 彭林
[内容]
数学竞赛试题中，经常定义一些“新数”，这些“新数”一般都是整数，解答这类问题，
就要利用数论中 的一些基本知识和所定义的“新数”的性质。
例1 将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果得到的新数都能被N整除，那么称
N为“魔术数”，在小 于130的自然数中， “魔术数”的个数是多少？
分析与解 设a是“魔术数”，把a接写在任意一个自然数x 右面得新数＠①。
（1）若a是一位数，则＠①＝10x＋a能被a整除， 即对任何一个自然数x，10x都能
被a整除，就是10应是a 的倍数，则a只能是1，2，5，共3个。
（2）若a是两位数，则＠①＝100x＋a能被a整除，100应是a的倍数，a只能是10，
20，25，50，共4个。
（3）若a是三位数，则＠①＝1000x＋a能被a整除，1000应是a的倍数，而a＜130，
只有125，100，共2个。
所以小于130的“魔术数”有9个。
例2 具有下列性质的自然数称为“玫瑰数”：
（1）它能被3整除；
（2）它的数码只限于1，2，3，（1，2，3，可以不全部用到）。
问300000以内的不同的“玫瑰数”共多少个？
分析与解 一位“玫瑰数”只有一个3。
两位“玫瑰数”的求法：十位上任意写上1，2，3中任意一个， 然后按十位上的数码
除以3的余数配个位数 ，余数是0，个位写3；余数是1，个位写2；余数是2，个位写1。
所以两位“玫瑰数”有3个。
三位“玫瑰数”的求法：百位上有3种添法，十位上有3种添法，然后按百位、十位数
字之和除以3的余数配 个位数， 个位数只有一种添法。
所以三位“玫瑰数”有（3×3＝）3[2]个。
同理，四位、五位“玫瑰数”有3[3]，3[4]个。
六位“玫瑰数”首位是1时，有3[4]个，首位是2时，又有3[4]个。
所以300000以内的“玫瑰数”共有1＋3＋3[2]＋3[3]＋3[4]＋3[4]＋3[4]＝283个。
例3 定义：如果n个不同的自然数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个
数的和整除，那么， 称这组数是n 个数的“祖冲之数组”。例如60，120，180这三个数就
构成一个三个数的“祖冲之数组”。请写 出一组四个数的“祖冲之数组”。
分析与解 受例子的启示：可设这四个自然数是a，2a，3a，4a。
2a[2] 2
由定义知，───，2a＝─a是整数，由此可知3│a，同理可知，5
a＋2a 3
│a，4│a，7│a，即a应是3、4、5、7的倍数，所以
a最小＝3×4×5×7＝420。
符合要求的“祖冲之数组”是（420，840，1260，1680）。
想想练练
1.设某个n位自然数的n个数字是｛1，2，3，……，n｝的一个排列，如果它的前k个
数字所组成的整数能被 k整除，其中k＝1，2，……，n，那么就称这个n位数是一个“好
数”，问六位“好数”共多少个？
2.如果一个自然数的每个质因数都至少是二重的（即每个质因数乘方次数都大于或等于
2），那么这个自然 数称为“漂亮数”， 如果两个相邻的自然数都是“漂亮数”，那么称这两
个数为“孪生漂亮数”，例如相邻的 自然数8，9是一对“孪生漂亮数”。请你再找出两对“孪
生漂亮数”来。
字库未存字注释：
＠①原字为xa上加一横.
