真热闹呀，报个到。.

板迷属实，高手不敢当。 能和老封成为知交，更是人生一大快事。
初次登场，也没有什么准备，我弱于竟赛，最喜欢使用画板研究数学问题，就将给同学的数学研究课题贡献出来（可惜适合初中生研究的课题屈指可数，权作引玉之砖）吧，也不知道是否与论坛主旨是否相符，请大家垂教：
1、初二学生已经熟悉平移、旋转、对称变换，孤立看来三者之间是相互独立的。试研究三者之间的关系。（提示，可以从研究复合变换入手，例如，两次连续对称变换与平移、旋转之间的关系，完成后，讨论再逆命题）
2、初三学生熟悉二次函数图像，试讨论三个系数对抛物线顶点的影响，发现一些新轨迹。.

我离得太远了，孩子没机会参加了。有电子版试卷吗？如果有（适合初一学生的）试卷请寄来一份。.

这么晚了，还在线。 你那么忙，不用着急发信件。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-3-30 09:19 发表

想必老殿也忙的。

是啊，为一些琐事忙得不可开交，很烦，只有坐下来讨论几何问题时才得安稳。对了，数学公开测试结束了吧？效果不错吧。
对了，老封，Ceva定理构形的三个完全四线形的外心圆共点问题，所共之点如何作出（类似Miquel点作图，三个圆的四个交点拖动时会互换）.

这是个新结论，但我没看到它的重要性，本来想研究一个点列对应的轨迹，只是这个点不好确定，才提出这个作图问题的，看来暂时还真不好处理。.

这些孩子真有福气。单教授一定还很健壮吧。

[ 本帖最后由 老殿 于 2007-5-6 10:09 编辑 ].

祝贺单教授又新著将面世，单老的书我是必看的，读单老的书可谓是一种享受，期盼《我怎样解题》早日问世。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-12 16:39 发表
三个Miquel点所决定的圆也许比那四个圆的所共点更重要些。但目前也没找到其性质。当中间一点取垂心时，这四个圆全都重合于九点圆——这是一种比较特殊的情况。

哈哈！你果然在线，在你的提示下，我终于把那个点确定下来了，如下图所示，画板文件马上寄到你的邮箱里。

红色为圆及其对应曲线，绿色为直线及其对应曲线。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-12 16:57 发表
刚刚发现，每个点和对面那个Miquel点的连线是共点的！
这可算是个很漂亮的结论啊！
（注：所谓Miquel点M1，指的是△BPF和△CPE外接圆的第二个交点；M2和M2依此类推。）

真是漂亮！再考虑一下动点对所共之点的影响吧。.

点列对应三角形的一条外接圆锥曲线！.

引用老封的新发现。


[ 本帖最后由 老殿 于 2007-4-12 17:29 编辑 ].

当点P在在直线上运动时，AM1、BM2、CM3所共之点轨迹为三角形ABC的一条外接圆锥曲线！有点类似等角共轭性质。.

.

我已经用画板验证过了，猜想没有问题，证明留待后续完成吧。.

对，一个好的问题往往就是一个良好的开端！

咳，时间真快，我得去接孩子了，明天再聊。byebye！.

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-13 09:42 发表
我昨天的思路是：从研究这条圆锥曲线的特点入手，挖掘这个图形的性质。
不过，后来觉得，D、E、F和D′、E′、F′并不处在对偶的地位；也就是说，由D′、E′、F′倒回去确定的并不是D、E、F，从而这条圆锥曲线也 ...

终于找到了本质联系了！祝贺

被重心以1：2的比分割点对的规律很多，建议定义为一种几何关系，例如Euler关系，以后就可以方便运用了，P到Q的关系就是Euler关系与等角共轭关系的复合，这样，点列对应的Q点曲线为圆锥曲线就是自然而然的了。你以为呢？

[ 本帖最后由 老殿 于 2007-5-6 10:13 编辑 ].

能否进一步讨论一下P、Q、R与三（四）圆所共点（设为M'吧）的关系呢.

我也没有找到更好的结论，看来你的看法是对的，以后有时间再讨论吧。.

咳，终于忙得差不多了。
老封又对竞赛题进行了研究和推广，看来现在的竞赛题越来越注重出背景深刻的题目，我觉得这也是竞赛的目标，对参赛者的知识全面性和深刻性都能作出考核，只是对参赛者来说要求就更高了。.

老封，我最近在想讨论三角形的一个特殊点的性质，还没找到该点的尺规作图方法，目前尚不知道研究的意义有多大，也不知道你是否感兴趣：从该点向三角形三边所在直线作垂线，每条垂线被另外两边截得一条线段，这样的三条线段等长。满足这样条件的点应该是唯一的。.

另外，小女参加的华杯赛已经结束，成绩还没出来，估计还可以。请把你的数学公开测试题寄来吧，看看小女能作得怎样。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-26 10:19 发表

老殿，我思考过了，这个问题是退化的，满足条件的点只有一个，那就是垂心，而此时三条线段长都等于0。其余情况不可能同时相等。

看来你是对的。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-26 14:24 发表
告诉老殿一个好消息：
昨天老殿提出这个有趣的思路，我终于获得进展。现已得到一个关于正三角形的结论：
“从正三角形内任意一点，向三边作垂线，每条垂线被另外两边截得的线段，其中长的一条必等于短的两条之 ...

祝贺获得新进展！期待更多好消息。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-26 14:53 发表
我有一个思路——
能否把下面两个问题有机联系起来：
一是“正三角形外接圆上任意点，到远的那个顶点的距离，一定等于到两个近的顶点距离之和。”这是一道常见的题；
二是“由任一点向正三角形的三条高线作垂 ...

也不知道怎么了， 编辑回帖总是出故障。

[ 本帖最后由 老殿 于 2007-4-26 15:27 编辑 ].

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-26 14:53 发表
我有一个思路——
能否把下面两个问题有机联系起来：
一是“正三角形外接圆上任意点，到远的那个顶点的距离，一定等于到两个近的顶点距离之和。”这是一道常见的题；
二是“由任一点向正三角形的三条高线作垂 ...

真是漂亮！ 也只有你能找到这么漂亮的结论。监考（期中考试）后我也试试。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-5-3 20:33 发表
挂一个问题供大家思考：
设△ABC中，A点关于BC边的对称点为A′，B点关于CA边的对称点为B′，C点关于AB边的对称点为C′。
经探索发现，对某些三角形来说，A′、B′、C′可能位于同一条直线上！
谁能把这样的三 ...

经过探索，我得到的结论是，满足A′、B′、C′位于同一条直线上的点的轨迹是比较复杂的方程曲线，每条边上下各有一条，共三条曲线，附图中点B、C的坐标分别为（-a,0）、（a,0）。

[ 本帖最后由 老殿 于 2007-5-5 13:34 编辑 ].

这是用画板画的，而且已经验证你的猜想没有问题，文档马上发到你的邮箱中。

[ 本帖最后由 老殿 于 2007-5-6 08:27 编辑 ].

关于对边对称的顶点三角形反复迭代最终得到一个正三角形，能够简单证明吗？.

是要这几种情形吗？.

画板文件已经发送到你的邮箱。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-5-14 10:34 发表
承老殿指出，我上面说的“当△ABC是直角三角形时，△A′B′C′的面积是其三倍，其实这也是充要的”这句话有漏洞。
其实除了直角三角形外，当顶点A在另外两支曲线上运动时，仍能使△A′B′C′的面积是△ABC的三 ...

正如老封所言，采取有向面积，上述解是一组的，如果不考虑面积符号，一般情况下都应该有两组解，只有共线时解是一组的，但当面积比为4时，另一个解已经退化为一点，即正三角形一个顶点，面积比为（4，5）之间的解已经为“虚的”曲线。

[ 本帖最后由 老殿 于 2007-5-14 14:40 编辑 ].

3倍面积比的另一种情形正是以BC为直径的圆及该圆在B、C两点处的切线。.

老封过誉了，你那渊博的知识和深刻的洞察力才更令人佩服。
正如你所说有些问题比外表看来的更复杂，也许是这种复杂性里蕴涵着迷人的数学美，才令人流连于其中不忍离去。
愿更多的人能和我们一起畅游。.