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标题: [生活] 老封：平面几何热线 [打印本页]

作者: 老封 时间: 2007-3-2 12:16 标题: 老封：平面几何热线

这里我再挂一道最近新编的平面几何题，适合于初二同学。供大家思考，到公开课时从正确解答者中抽奖。当然对奖品的期望可不能过高：）一切还是以兴趣为重。

[ 本帖最后由老封于 2010-3-10 13:35 编辑 ].

作者: 老封 时间: 2007-3-2 12:22

已知：有两个直角三角形，其一两直角边长分别为a，b（a＞b）；另一两直角边长分别为a＋b，a－b。∠1和∠2分别是这两个直角三角形中较小的内角。
求证：∠1＋∠2 ＝ 45°。.

图片附件: 有奖征解.JPG (2007-3-2 12:22, 74.96 KB) / 该附件被下载次数 111
http://ww123.net/attachment.php?aid=45425

作者: 老封 时间: 2007-3-2 12:38

请有兴趣参加征解的初二同学（其它年级也可）将解答过程或解题思路写在自备纸上，公开课那天带来即可。.

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-2 13:17

tg(∠1+∠2)＝（tg∠1+tg∠2)/(1-tg∠1tg∠2)

=(b/a+(a-b)/(a+b))/(1-(b/a)*((a-b)/(a+b)))=1

tg∠1=b/a

tg∠2=(a-b)/(a+b)

tg(∠1+∠2）＝1

∠1＋∠2＝45°

[ 本帖最后由炫炫爸于 2007-3-2 16:08 编辑 ].

作者: 老封 时间: 2007-3-2 13:20

引用:

原帖由 炫炫爸 于 2007-3-2 13:17 发表
tan(∠1+∠2)＝（tan∠1+tan∠2)/(1-tan∠1tan∠2)

=(b/a+(a-b)/(a+b))/(1-(b/a)*((a-b)/(a+b)))=1

tan∠1=b/a

tan∠2=(a-b)/(a+b)

tan(∠1+∠2）＝1

∠1＋∠2＝45°

果然身手不凡！
你是动用了秘密武器，呵呵.

作者: 都都妈 时间: 2007-3-2 13:23

tan是什么?看不懂

作者: 都都妈 时间: 2007-3-2 13:25 标题: 回复 #5老封的帖子

看到了吧,开始搞破坏了
炫炫爸就是F4之一,厉害吧.

作者: 老封 时间: 2007-3-2 13:31

引用:

原帖由 都都妈 于 2007-3-2 13:25 发表
看到了吧,开始搞破坏了
炫炫爸就是F4之一,厉害吧

没关系的，
他的思路似乎还不会影响到初二同学的革命干劲。
加油干吧！会有绝顶精彩的方法。.

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-2 14:15

老封是要大家用几何方法，我这个只能算一题多解。

[ 本帖最后由炫炫爸于 2007-3-2 16:13 编辑 ].

作者: yyabcyy 时间: 2007-3-2 15:25

厉害.

作者: xuping 时间: 2007-3-2 15:33

这是几何，还是解三角。

都还给老师了.

作者: shumi1 时间: 2007-3-2 15:38 标题: 回复 #6都都妈的帖子

Excel告诉我: tan(number)是"返回给定角度的正切值".
我们在中学里学过这个吗?没印象..

作者: 老封 时间: 2007-3-2 16:05

这题会有简便方法的。
解答中尽量不要用到高级的工具和概念。.

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-2 16:11

引用:

原帖由 都都妈 于 2007-3-2 13:23 发表
tan是什么?看不懂

tan是计算机语言里的写法，数学上是tg，我改了。

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-2 16:12 标题: 回复 #13老封的帖子

老封，不要急，才半天，我担心你就挂出解题方法了。

作者: 老封 时间: 2007-3-2 16:17

引用:

原帖由 炫炫爸 于 2007-3-2 16:11 发表

tan是计算机语言里的写法，数学上是tg，我改了。

不用改，现在新的课本已统一为tan了。.

作者: 春笋逢春雨 时间: 2007-3-2 16:18

遵照老封的建议，将解法隐藏。

不过，老封你也应将“引用”隐藏啊！

[ 本帖最后由春笋逢春雨于 2007-3-2 16:33 编辑 ].

作者: 老封 时间: 2007-3-2 16:26

恭喜了。建议您尽早将此帖暂且隐藏，天机不可泄漏！

[ 本帖最后由老封于 2007-3-2 16:38 编辑 ].

作者: 春笋逢春雨 时间: 2007-3-2 16:36 标题: 回复 #18老封的帖子

解法已隐藏，引用也应隐藏啊。.

作者: 老封 时间: 2007-3-2 16:38

引用:

原帖由 春笋逢春雨 于 2007-3-2 16:36 发表
解法已隐藏，引用也应隐藏啊。

呵呵.

作者: 都都妈 时间: 2007-3-2 16:42 标题: 回复 #14炫炫爸的帖子

全还老师了

老封老师收大点老点的脑子已经不灵的学生吗?.

作者: 老封 时间: 2007-3-2 16:45 标题: 回复 #21都都妈的帖子

不敢当。不过几何是所有人都可以去学的有趣学问，我们对美的追求应该都是共同的！.

作者: 都都妈 时间: 2007-3-2 16:50 标题: 回复 #22老封的帖子

是的,还好记得黄金分割点,好象是0.618

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-2 16:58

引用:

原帖由老封于 2007-3-2 16:17 发表

不用改，现在新的课本已统一为tan了。

看来我是东西没有还给老师，只是没有及时了解最新行情。

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-2 17:00

引用:

原帖由 都都妈 于 2007-3-2 16:50 发表
是的,还好记得黄金分割点,好象是0.618

那个都妈你是不会忘的，因为你当初选男朋友就是按上身和下身黄金分割选的。

作者: 上海的考拉 时间: 2007-3-2 17:03 标题: 回复 #1老封的帖子

建议封老师将公布答案的时间设置为2天，

！.

作者: 都都妈 时间: 2007-3-2 17:04 标题: 回复 #25炫炫爸的帖子

这个你怎么知道的?还真是.你是苏联的KKB吧

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-2 17:20

报告封老师，我几何法也有了。

另外我还用坐标法做了。

作者: 红眉 时间: 2007-3-2 17:21 标题: 回复 #27都都妈的帖子

他自己有切身体会,所以特别理解都都爸

作者: daifangsandy 时间: 2007-3-2 17:39 标题: 好久没做几何题了

延长AC至F点，使CF=BC=a-b
AF=(a+b)+(a-b)=2a
取AF中点D，则DC=b,AD=a
延长BC至G,使CG=CD=b,从D点作CG的平行线DE,并使DE=b，则DEGC为边长=b的正方形，连AE
在三角形ADE中，AD=a,DE=b，且角ADE是直角，则角DAE为图1中的角，且AE=a^2+b^2(开根）
连BE，在三角形BEG中，BG=(a-b)+b=a,EG=b，则BE=a^2+b^2(开根）
在三角形ABC中，AB^2=AC^2+BC^2=(a+b)^2+(a-b)^2,所以AB=2（a^2+b^2) (开根）

所以在三角形ABE中，由于AE^2+BE^2=AB^2,且AE=BE
所以可以得出角BAE=45
角BAE=角BAC+角EAC
也就得出两个角的和=45

炫炫爸的方法最好了，如果学过tan的公式，首选炫炫爸的方法。

[ 本帖最后由 daifangsandy 于 2007-3-2 18:05 编辑 ].

图片附件: 1.JPG (2007-3-2 17:47, 15.61 KB) / 该附件被下载次数 61
http://ww123.net/attachment.php?aid=45482

作者: 老姜 时间: 2007-3-2 17:59

引用:

原帖由老封于 2007-3-2 12:16 发表
这里我再挂一道最近新编的平面几何题，适合于初二同学。供大家思考，到公开课时从正确解答者中抽奖。当然对奖品的期望可不能过高：）一切还是以兴趣为重。

我倒，题目太难了，想破脑袋也想不出，强烈要求冯先生（啊，什么时候封先生成黑社会头目了，浪本浪流……）收我为徒弟，我学费加倍奉上。

作者: 老姜 时间: 2007-3-2 19:15

夜饭漆好了，丁丁星星做题目，港老石咸画，题目并8奶的，8过妹有米道格。

进糟夜饭漆对下，高蛋白，到底游泳场，漆了6只对下，响彻来6中板法，铁上来2中，娘冯先生过木，阿拉8大有文化的，错别子妹多格，8号一丝。

[ 本帖最后由老姜于 2007-3-2 20:12 编辑 ].

图片附件: 答案2.GIF (2007-3-2 19:15, 13.37 KB) / 该附件被下载次数 68
http://ww123.net/attachment.php?aid=45490

图片附件: 答案1.GIF (2007-3-2 20:12, 12.07 KB) / 该附件被下载次数 59
http://ww123.net/attachment.php?aid=45497

作者: 上海的考拉 时间: 2007-3-2 19:24 标题: 回复 #2老封的帖子

奖没了！.

作者: 老姜 时间: 2007-3-2 19:44

引用:

原帖由 上海的考拉 于 2007-3-2 19:24 发表
奖没了！

我用骗来的奖金交学费，哥哥姐姐叔叔阿姨大嘎苦里我，我一接动，又开水写错别子了。.

作者: 老姜 时间: 2007-3-2 19:48

引用:

原帖由 炫炫爸 于 2007-3-2 13:17 发表
tg(∠1+∠2)＝（tg∠1+tg∠2)/(1-tg∠1tg∠2)

=(b/a+(a-b)/(a+b))/(1-(b/a)*((a-b)/(a+b)))=1

tg∠1=b/a

tg∠2=(a-b)/(a+b)

tg(∠1+∠2）＝1

∠1＋∠2＝45°

炫炫爸像黑社会的打手，打相打不讲规矩的，打法打法，眼看自己要吃亏了，就撒一把石灰，别人眼睛看8见了，炫炫爸一用力，就把敌人推到黄浦江里“氽馄饨”了。

初二学生8好用两角和的正切公式的，一定要用3角，74用余弦定理也4可以的。

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-2 19:59

初二参加高中全国数学竞赛的都有。

作者: 天天MUM 时间: 2007-3-2 21:02

看得偶昏头六冲,七荤八素.

学习,学习,再学习!.

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-2 21:08 标题: 也出一题

平面上有11条直线互不平行，试说明，在所有的交角中，至少有一个角小于17度。.

作者: 老姜 时间: 2007-3-2 21:49

上海滩结束了，再跑上来看看，奖金是不是开始发放了。生活中的封先生，比电视里的冯先生要可爱多了。

炫爸爸的题目好像满简单的，用反证法：

将所有直线平移到过同一点，就相当于得到22条射线，若每相邻两条射线所夹的角均>=17度，则周角>=17*22=374度，矛盾了。.

作者: 都都妈 时间: 2007-3-3 09:48 标题: 回复 #39老姜的帖子

要从头补起来了
以后孩子真要学起几何来，问我，我可是一问三不知啊。汗哒哒滴，哒哒滴，哒哒滴…….

作者: kecy 时间: 2007-3-3 10:29

偶电脑技术实在太差了，根号2愣是不会写，所有画图都是 word上拼的，最后还得图片形式上来
十多年没接触几何了.

图片附件: JIHE.JPG (2007-3-3 10:29, 59.22 KB) / 该附件被下载次数 71
http://ww123.net/attachment.php?aid=45561

作者: 心悦妈 时间: 2007-3-3 21:03

虽然知道tan是什么意思，但是证明除两个角相加等于45度有意义吗？对大多数人来说还是没有意义的。

作者: 老姜 时间: 2007-3-4 07:51

引用:

原帖由 kecy 于 2007-3-3 10:29 发表
偶电脑技术实在太差了，根号2愣是不会写，所有画图都是 word上拼的，最后还得图片形式上来
十多年没接触几何了

方法不错。.

作者: 都都妈 时间: 2007-3-4 09:10 标题: 回复 #41kecy 的帖子

这个方法稀饭的.

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-5 11:58 标题: 再来一题

一张长方形ABCD的纸片，把C角顶点折到AD边上，包括A点和D点，问C点在AD边什么位置时，其折痕最短，在什么位置时，其折痕最长。

[ 本帖最后由炫炫爸于 2007-3-5 12:00 编辑 ].

作者: 老姜 时间: 2007-3-5 12:28

引用:

原帖由 炫炫爸 于 2007-3-5 11:58 发表
一张长方形ABCD的纸片，把C角顶点折到AD边上，包括A点和D点，问C点在AD边什么位置时，其折痕最短，在什么位置时，其折痕最长。

为避免混淆，我们把线段AD上的C叫做C1，原来的C还是叫做C，又称折痕为线段EF（E，F分别在线段AB，CD上）。

显然，直线EF为线段CC1中垂线，则容易证明：EF=CC1（利用全等三角形）。当C1与A重合，CC1最长，EF也最长；当C1与D重合，CC1最短，EF也最短。.

作者: dudu19668 时间: 2007-3-5 12:55

接棍额.

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-5 13:32 标题: 回复 #46老姜的帖子

折了一下，感觉不大对，AB>AD和AB<AD也一样吗？我试试。.

作者: 老封 时间: 2007-3-5 13:57

这两天有事没能上网，今天一看大出意料。
没想到我公布的这个题引起了大家热烈的讨论,而且真的涌现出不少漂亮的证法，真是高手如云啊！
不过我要补充一下，这题最早的正确解答是由春笋逢春雨于 2007-3-2 16:18 发表的：

将二个直角三角形画在一个长为a+b 宽为a 的长方形内，然后添加辅助线，得到一个边长为b的直角等腰三角形，一个边长为a的正方形，一个直角边分别为根号2a、根号2b的直角三角形，这样就可证出角1加角2等于45度了。

我打算再编一个新题，来替代这个已被大家解秘的题，作为公开征解。不过还得过两天才发表，到了周日公开课时，我希望看到像这题一样的热烈的局面。

不过这个新题的难度该如何把握呢？应该也不能太难吧，因为要适合初二的小同学们。所以我正在绞尽脑汁呢。

让大家拭目以待吧！.

作者: 老姜 时间: 2007-3-5 14:35

引用:

原帖由 炫炫爸 于 2007-3-5 13:32 发表
折了一下，感觉不大对，AB>AD和AB<AD也一样吗？我试试。

hehe，中午看得匆忙，要吃饭了，看成正方形了。.

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-5 14:41 标题: 回复 #50老姜的帖子

感觉这题不包括A点和D点更有意思一些。.

作者: 老姜 时间: 2007-3-5 14:54

引用:

原帖由 炫炫爸 于 2007-3-5 14:41 发表
感觉这题不包括A点和D点更有意思一些。

这个问题需要简单讨论一下，还是不难的。不含有A，D，折痕的取值范围就有可能是个开区间。.

作者: 老封 时间: 2007-3-5 15:47

刚刚我又新编了个几何题！奉献给大家思考。不过还不算是我说的那个征解题，这还要过两天才公布。
题目如下：

如图：ABE和CDF是夹在两条平行线之间的两个等腰直角三角形，而且线段EF也平行于这两条线。
求证：BD±AC=MN（即平行线之间的距离）。

注：其中+、－号根据图形不同而选取。

（刚才字母有点错，现已纠正）

[ 本帖最后由老封于 2007-3-5 16:03 编辑 ].

图片附件: 1.JPG (2007-3-5 16:01, 54.77 KB) / 该附件被下载次数 63
http://ww123.net/attachment.php?aid=45768

作者: 老姜 时间: 2007-3-5 16:45

题目不难，但却很优雅，符合冯先生一贯的处世风格。.

图片附件: 1112.GIF (2007-3-5 16:45, 8.16 KB) / 该附件被下载次数 48
http://ww123.net/attachment.php?aid=45772

作者: 春笋逢春雨 时间: 2007-3-5 16:59

看懂了。

[ 本帖最后由春笋逢春雨于 2007-3-5 17:03 编辑 ].

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-6 17:05

顶，不要让温度下降，要想大跃进那样火热。

作者: 上海的考拉 时间: 2007-3-6 21:00 标题: 回复 #56炫炫爸的帖子

是啊，而且要像大跃进那样——速度越快，功绩越大！

作者: 老封 时间: 2007-3-7 14:42

不好意思，新题还在改编中。不要期望过高，能够给大家带来快乐就好。
昨天与老姜在讨论这样一个题：

已知△ABC中，∠A＝120，在AB、AC两边上分别取点E、F，满足BE＝CF，设BF与CE相交于D点。再以BC为一边上下各作正三角形QBC、PBC。求证：AP∥QD。

虽是新鲜出炉的趣题，但恐怕用它作为征解题会太难一些。

[ 本帖最后由老封于 2007-3-7 14:45 编辑 ].

图片附件: 1.GIF (2007-3-7 14:42, 5.36 KB) / 该附件被下载次数 48
http://ww123.net/attachment.php?aid=45989

作者: 老姜 时间: 2007-3-7 15:21 标题: 回复 #58老封的帖子

昨晚在饭店里FB，冯先生坐在我的边上，眼睛定洋洋的，一直在考虑一道新出炉的平面几何问题，嘴里念念有词。

哎呀呀，冯先生对几何的痴迷，已到了废寝忘食的地步，赞一记！

补充一句：乘冯先生在几何王国里流连忘返、无法自拔之际，老姜张开血盆大口，风卷残云，把一个个菜盆吃成底朝天。.

作者: 炫炫爸 时间: 2007-3-7 16:55

不是冯先生买单，你当然要多吃一些，要不冯先生打包走了，你回家怎么跟LP报账

[ 本帖最后由炫炫爸于 2007-3-7 16:57 编辑 ].

作者: 黑发侠女 时间: 2007-3-11 15:32

奖，奖，奖，我也想要奖！.

作者: 老封 时间: 2007-4-16 16:39

单墫教授的一个题：
（录自新著《我怎样解题》）
可参见：
www.jw-edu.cn/Shownews.asp?ArticleID=25082.

图片附件: 07041601.GIF (2007-4-16 16:39, 4.98 KB) / 该附件被下载次数 35
http://ww123.net/attachment.php?aid=50898

作者: echooooo 时间: 2007-4-17 10:42 标题: 回复 #2老封的帖子

如图：

AB=CD=a，BC=DE=b，∠ABC=∠CDE=90°
显然⊿ACE为等腰直角三角形（直角⊿ABC≌直角⊿CDE），即∠CAE=45°
∵⊿ABF∽⊿EDF ∴DF/FB=DE/AB=b/a
∵DB=a-b ∴FB=(a-b)a/(a+b)
∴FB/AB=(a-b)/(a+b)
即∠EAB=∠2 （∠1和∠2为原图所示）
∴∠1+∠2=∠BAC+∠EAB=∠CAE=45°
得证

[ 本帖最后由秦博他爸秦革于 2007-4-17 10:50 编辑 ].

图片附件: [T1] T1.jpg (2007-4-17 10:42, 16.26 KB) / 该附件被下载次数 35
http://ww123.net/attachment.php?aid=50985

作者: 老封 时间: 2007-4-17 14:08 标题: 回复 #63秦博他爸秦革的帖子

这和前面春笋逢春雨的解法基本一样，但图形更简洁了些

[ 本帖最后由老封于 2007-4-17 14:30 编辑 ].

作者: 老封 时间: 2007-4-27 11:56 标题: 悬赏一道平面几何题

悬赏一道平面几何题（奖励最先给出有效证明者精美图书一套！）
“设D是△ABC内任一点，过动点P作AD、BD、CD的平行线，在△ABC相应两边所在直线之间截得三条线段，其长度分别记为x、y、z。求证：x/AD、y/BD、z/CD这三个比值中，一定有一个等于另外两个之和。”.

图片附件: 07042601.GIF (2007-4-27 11:56, 8.3 KB) / 该附件被下载次数 31
http://ww123.net/attachment.php?aid=52663

作者: 炫炫爸 时间: 2007-4-27 13:25

老封，大家都忙小升初去了，那里打得火爆，看来你悬赏签名书会有效一些。

作者: 老姜 时间: 2007-4-28 00:04 标题: 证明来也

下午监考，晚上阅卷，一个字：累。

看到冯先生有书奖励，思考半小时，终有良策，还是一个字：爽。.

图片附件: 图一.GIF (2007-4-28 00:04, 9.8 KB) / 该附件被下载次数 36
http://ww123.net/attachment.php?aid=52736

图片附件: 图二.GIF (2007-4-28 00:04, 10.15 KB) / 该附件被下载次数 39
http://ww123.net/attachment.php?aid=52737

图片附件: 图三.GIF (2007-4-28 00:04, 3.82 KB) / 该附件被下载次数 28
http://ww123.net/attachment.php?aid=52738

作者: 老姜 时间: 2007-4-28 06:40

补充一句：如果DE//AC，x2/y2=1，结论是显然的（图四）。如果E与A重合，那就更显然了，这些话俺就不罗嗦了。.

图片附件: 图四.GIF (2007-4-28 06:40, 9.72 KB) / 该附件被下载次数 31
http://ww123.net/attachment.php?aid=52740

作者: 老封 时间: 2007-4-28 10:52

老封向老姜奖励科普名家谈祥柏先生所译的《稳操胜券》（上、下）一套！.

作者: 老封 时间: 2007-4-29 10:33

鉴于市北初级中学邓博文同学给出了新的证法：
http://ww123.net/baby/thread-4419802-8-1.html
他也获得了老封的赠品：
“通俗数学名著译丛”中的《奇妙而有趣的几何》一册！
上面两位可到指定地点领取奖品：http://www.jw-edu.cn/.

作者: 老姜 时间: 2007-4-29 13:19

引用:

原帖由老封于 2007-4-29 10:33 发表
鉴于市北初级中学邓博文同学给出了新的证法：
http://ww123.net/baby/thread-4419802-8-1.html
他也获得了老封的赠品：
“通俗数学名著译丛”中的《奇妙而有趣的几何》一册！
上面两位可到指定地点领取奖品 ...

邓的书我带给他，可以吗？5月5日我会遇到他的，我先把我的那本给他（我好像有两本哦，一本你以前给你，还有一本数学学校发的），然后5月11日你给我。请指示。.

作者: 老封 时间: 2007-4-29 15:05

引用:

原帖由老姜于 2007-4-29 13:19 发表

邓的书我带给他，可以吗？5月5日我会遇到他的，我先把我的那本给他（我好像有两本哦，一本你以前给你，还有一本数学学校发的），然后5月11日你给我。请指示。

那最好不过。其实我身边已经没有这本书了，上次的已全被抢购一空。.

作者: 老封 时间: 2007-4-29 16:14 标题: 请教老姜一个问题

老姜上次在另一帖子（http://ww123.net/baby/thread-4419808-1-1.html）中提到：
“下图中，求证：EI=FJ。”
我也对同一图形作了探索，没想到获得了一个意外的结论：
同一图中还成立“BK平方+CL平方=2×EI平方！”
不知道其难度如何？你有兴趣想一想吗
看来老封又要继续设奖了：）.

图片附件: 07042901.GIF (2007-4-29 16:14, 6.13 KB) / 该附件被下载次数 29
http://ww123.net/attachment.php?aid=52914

作者: 老封 时间: 2007-4-29 16:44 标题: 更一般的关系也找到了！

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http://ww123.net/attachment.php?aid=52917

作者: 老猫 时间: 2007-4-29 17:18 标题: 有奖品，赶紧来。

说穿了，并不难。

首先要想清楚里面的两个正方形是怎么作出来的，很多解题者应该卡在这里，连图也画不出。
其实只要以M点为旋转中心，将底边BC旋转90度。交FG分别于L、P两点。这两点一定是里面两个正方形的上面的两个顶点。（假如这步都没有理解，那么赶紧向封老师学习几何作图。我水平不够，解释不清楚。）
一不小心B、C两点就转到了B‘和C’。于是有BJ＝B‘L，CN＝C'P。由于旋转所得，FQB’R和GTC‘S都是正方形。剩下就是计算了。
FL^2+PG^2=FQ^2+QL^2+GS^2+PS^2=B'L^2+QL^2+C'S^2+PS^2=B'L^2+2B'L*QL+QL^2+C'S^2-2C'S*PS+PS^2=(B'L+QL)^2+(C'S-SP)^2=B'L^2+C'P^2=BJ^2+CP^2
得证。

奖品到手咯。.

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http://ww123.net/attachment.php?aid=52918

作者: 老猫 时间: 2007-4-29 17:19

引用:

原帖由老封于 2007-4-29 16:44 发表

哇哇哇。梯形的刚解决，又来新的了。继续。.

作者: 老猫 时间: 2007-4-29 17:28

不高兴重新画图了，借用原来的那张图。
前面的全部照旧，唯一的问题是由于不是梯形，所以画出来的两个不是正方形了。
容易证明△FQB’全等于△C‘SG。剩下的就是一样的计算了吧。.

作者: 老猫 时间: 2007-4-29 20:42

严重同意：
发现一个问题远远比解决一个问题来的重要。

这种简单的题目，姜老师就让让我们小字辈的出出风头嘛。
等到出来一些需要本事才能解决的题目，自然就是你们出风头了。.

作者: 老姜 时间: 2007-4-30 07:00

LS太谦虚了，84姜老头高姿态，24姜老头手脚慢，郁闷啊，书没了。

忽报老猫已伏虎，泪飞顿作倾盆雨。

给一个更强的结论：2(a^2-d^2)=2(b^2-c^2)=e^-f^2。.

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http://ww123.net/attachment.php?aid=52955

作者: 老猫 时间: 2007-4-30 07:33

引用:

原帖由老姜于 2007-4-30 07:00 发表

给一个更强的结论：2(a^2-d^2)=2(b^2-c^2)=e^-f^2。

个人认为这个结论写成：(a^2+b^2)-(c^2+d^2)=e^-f^2是不是更好看。.

作者: 老封 时间: 2007-4-30 10:23

晚上不能上网，痛苦。
上午登录一看，惊喜！老猫真是高手啊，抽刀断水功夫非凡。老姜的新结论也让人欣喜。说明这个图形奥妙非凡，还有待发掘。
老猫指出了一条正确的思路：把一侧的图形旋转过去！只有这样，才能建立图形的内在联系。
不过说实话，老猫的证法我还没有完全消化，有些细节还未想通：在一般情形中，为什么旋转后，线段C′E和D′F必相等？——这是保证全等的基础。.

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http://ww123.net/attachment.php?aid=52966

作者: 老封 时间: 2007-4-30 10:33

昨晚我还考虑了一种推广：
当M不是中点，而是AB联线上的任意一点，结论也有效，只不过前面需要加权的系数。
具体说来，就是：两者平方差之比，与P点分线段AB的比的平方相等！
（这一情形还没给予证明呢。有待大家努力！）

[ 本帖最后由老封于 2007-4-30 10:52 编辑 ].

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http://ww123.net/attachment.php?aid=52967

作者: 老封 时间: 2007-4-30 10:37

但是我试过另外两种推广思路，却失败了：
推广至正三角形不行；推广至普通的直角三角形也不行；只有等腰直角三角形才行。
说明其中肯定还有奥秘没被完全搞清楚。

[ 本帖最后由老封于 2007-4-30 10:48 编辑 ].

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http://ww123.net/attachment.php?aid=52969

图片附件: 07042904.GIF (2007-4-30 10:48, 7.38 KB) / 该附件被下载次数 38
http://ww123.net/attachment.php?aid=52970

作者: 老封 时间: 2007-4-30 10:42 标题: 向老猫致意

为了奖励老猫昨晚出色的工作，现向你赠送最新出炉的新书——单教授刚修订出版的《解题研究》一册！
凡是对这题讨论有贡献者，还可继续获取老封提供的新奖励：）

[ 本帖最后由老封于 2007-4-30 10:50 编辑 ].

作者: 老封 时间: 2007-4-30 12:26

老姜的结论好像也不容易推广至加权的情形，我正在伤脑筋呢。
谁有锦囊妙计没有？.

图片附件: 07042905.GIF (2007-4-30 12:26, 13.13 KB) / 该附件被下载次数 26
http://ww123.net/attachment.php?aid=52982

作者: 老封 时间: 2007-4-30 13:14

我又发现了证明细节的一些新的线索：
图中EC′＝FD′＝AB/根号2，
两条垂线EP、FQ的长度分别为x＋y、x－y，其中x、y是图中所构造的水平和垂直距离（以CD方向为准）。
也就是说，老猫所构造的这对全等的直角三角形的三边长度，仅跟线段AB的长度和方向有关！
这些细节也许对证明有至关的作用，供大家参考。

[ 本帖最后由老封于 2007-4-30 13:40 编辑 ].

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http://ww123.net/attachment.php?aid=52983

作者: 老猫 时间: 2007-4-30 17:04

引用:

原帖由老封于 2007-4-30 10:23 发表
为什么旋转后，线段C′E和D′F必相等？——这是保证全等的基础。

忽然发现此处的证明证不出来了，是不是当时没有仔细推敲这个地方的证明？

作者: 老封 时间: 2007-4-30 17:47

引用:

原帖由老猫于 2007-4-30 17:04 发表

忽然发现此处的证明证不出来了，是不是当时没有仔细推敲这个地方的证明？

证明的确是有点过不去，我晚上也会再想想。.

作者: 老封 时间: 2007-5-1 13:27

老猫：昨晚想过了，你的证法好像是有问题。线段EC′和线段FD′的相等不成问题，我已给出了证明，而且还证明了这对全等的直角三角形：Rt△PEC′和Rt△QFD′的两条直角边确实分别为x＋y和x－y。
但接下去的论证却走不下去，不能得到平方和成立的有效结论，只能得到如下的关系：.

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http://ww123.net/attachment.php?aid=53025

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http://ww123.net/attachment.php?aid=53026

作者: 老封 时间: 2007-5-1 15:44

已彻底弄明白了！
老猫的证明是有效的。
而且用老猫所添的辅助线，还可以对梯形的情形得到额外的结论：
“BK+CL=AD。”
而这也并非是平凡的。.

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http://ww123.net/attachment.php?aid=53040

作者: 老封 时间: 2007-5-7 00:31 标题: 推广终于找到了！

设P、Q是线段AB上的任意两点，图中四个正方形共有三组顶点各四点共线，那么六条线段a，b，c，d，e，f的长度成立如下关系：.

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http://ww123.net/attachment.php?aid=53556

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http://ww123.net/attachment.php?aid=53557

作者: 老封 时间: 2007-5-7 00:32

现在的问题是，不知正方形是否还能推广为其它的图形？.

作者: 老封 时间: 2007-5-7 01:56 标题: 又推广到了矩形！

（不过结论不如正方形强，只能写出一个等式。）
设P、Q是线段AB上的任意两点，图中四个形状相似的矩形共有三组顶点共线，那么六条线段a，b，c，d，e，f的长度成立如下关系：.

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http://ww123.net/attachment.php?aid=53589

图片附件: 070507-4.GIF (2007-5-7 01:56, 8.31 KB) / 该附件被下载次数 34
http://ww123.net/attachment.php?aid=53590

作者: 老姜 时间: 2007-5-7 08:16

http://ww123.net/baby/thread-4419808-2-1.html.

作者: 老封 时间: 2007-5-7 12:36

http://ww123.net/baby/thread-4419808-2-1.html.

作者: 老封 时间: 2007-5-7 15:03

设ABCD和A′B′C′D′是平面上任意两个顺相似四边形，则一定成立如下关系：.

图片附件: 070507-11.gif (2007-5-7 15:03, 4.25 KB) / 该附件被下载次数 26
http://ww123.net/attachment.php?aid=53621

图片附件: 070507-12.gif (2007-5-7 15:03, 8.37 KB) / 该附件被下载次数 22
http://ww123.net/attachment.php?aid=53622

作者: 老封 时间: 2007-5-7 15:33

刚才犯了点错误，请见

http://ww123.net/baby/thread-4419808-2-1.html

[ 本帖最后由老封于 2007-5-7 16:22 编辑 ].

作者: 老封 时间: 2007-5-9 09:01 标题: 终于克服了错误，找到了预期中的好结果！

设ABCD和A′B′C′D′是平面上任意两个顺相似的圆内接四边形，则一定成立如下关系：.

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http://ww123.net/attachment.php?aid=53892

图片附件: 070509-2.GIF (2007-5-9 09:01, 8.95 KB) / 该附件被下载次数 21
http://ww123.net/attachment.php?aid=53893

作者: 老封 时间: 2007-5-9 12:31

如果去掉圆内接的条件,结论就比较繁,这里就不写出来了.
如果两个四边形不相似,那我想什么关系也都没有了.谁能找出来,我服了他!

作者: 老姜 时间: 2007-5-9 13:03

：）.

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http://ww123.net/attachment.php?aid=53926

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