求证：11,111,1111,…这串数中没有完全平方数。.

反证法：
如果有某数p的平方形如11,111,111,……1，则p的个位数必为1。
可设此数p 为10a+1，即p^2=(10a+1)^2=11,……1。
p^2=(10a+1)^2
      =100a^2+20a+1
      =20a(5a+1)+1
      =2*10*a(5a+1)+1
可见p^2的十位数是偶数，与题意矛盾，题目得证。.

上述证法有误。p也可为10a-1；
设这些数为100a+11；
即除4余3，
完全平方数除4余1，0
所以不是完全平方数.

引用:

原帖由 MALIDOU 于 2007-10-28 20:21 发表
上述证法有误。p也可为10a-1；
设这些数为100a+11；
即除4余3，
完全平方数除4余1，0
所以不是完全平方数

嗯，是漏了一种情况
个位数为9时，可设p=10a+9, p^2=(10a+9)^2=20(5a^2+9a)+81
同样可见p^2的十位数是偶数，11……11也不满足条件.