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[数学] 求教04年新知杯的一道几何题

1楼sbhan sbhan (......) 发表于 2010-10-11 17:53  只看此人

求教04年新知杯的一道几何题

在三角形ABC中，AB=AC，点P、Q分别在AC、AB上，且AP=PQ=QB=BC，则∠A的大小是？
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2楼老姜 老姜 (热烈欢呼旺网五条杠委员会成立！) 发表于 2010-10-11 18:21  只看此人
帮顶。.

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3楼家有爱女心切切 家有爱女心切切 (......) 发表于 2010-10-11 19:50  只看此人
是不是繁琐了



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4楼wip老爸 wip老爸 (......) 发表于 2010-10-12 07:23  只看此人
又解:


过P作AB平行线, 过B作PQ平行线, 两线交于D, 连接CD
∵AP=QB=PD,  AQ=AB－QB=AC－AP=PC,  ∠A=∠DPC
∴⊿APQ≌⊿PDC  ∴ PQ=DC,   ∠AQP=∠PCD
∵BC=PQ =DC= DB ∴⊿BCD为等边三角形
∴∠A=∠AQP=∠QBD=∠PCD=(180°－60°×2)/3=20°


[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-10-12 07:27 编辑 ].

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5楼冬瓜爸爸 冬瓜爸爸 (......) 发表于 2010-10-12 08:47  只看此人

回复 4#wip老爸 的帖子

此题有多种解法，据说有近10中解法。
我个人比较偏好wip老爸的平移法：既然题目中给了4根等长的线，把上面的两根平移下来，不就肯定构成正三角形了嘛。看到这个正三角形，题目立即得解。
顶角为20度的等腰三角形是一个著名的等腰三角形，里面含有不少有趣的结论，我再给大家出一题：
△ABC中，AB=AC，∠A=20度，D在AB上且AD等于底边长，求∠BDC。.

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6楼sbhan sbhan (......) 发表于 2010-10-12 09:28  只看此人
真厉害，谢谢各位BBMM.

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7楼sbhan sbhan (......) 发表于 2010-10-12 09:37  只看此人
引用:
原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-10-12 08:47 发表
此题有多种解法，据说有近10中解法。
我个人比较偏好wip老爸的平移法：既然题目中给了4根等长的线，把上面的两根平移下来，不就肯定构成正三角形了嘛。看到这个正三角形，题目立即得解。
顶角为20度的等腰三角形是 ...
由wip老爸的做法可以直接得出是30°.

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8楼wip老爸 wip老爸 (......) 发表于 2010-10-12 09:59  只看此人

回复 5#冬瓜爸爸 的帖子


作等边三角形BEC, 连按EA,  易证⊿ECA ≌⊿DAC
∠BDC=∠A+∠DCA=20°+10°=30°.

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9楼wip老爸 wip老爸 (......) 发表于 2010-10-12 18:08  只看此人
再可简单些:

在AC上取一点D, 使QD=QP,  令∠A=2x
∠AQP=2x
∠QPD=∠A+∠AQP=4x
∠QDP=4x
∠BQD=∠A+∠QDA=6x
∠QBD=(180°-∠BQD)/2=90°-3x
∠BDC=∠A+∠QBD=90°-x=(180°-∠A)/2=∠C
∴BD=BC=QB=QD, ⊿QBD为等边三角形
6x=60° ∠A=2x=20°.

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10楼GerryBB GerryBB ( ) 发表于 2010-10-12 18:18  只看此人
大家奥了节棍噢！！！
佩服.

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11楼一滴清水 一滴清水 (云在青天水在瓶) 发表于 2010-10-12 18:21  只看此人
还有伐 多发点备用 呵呵.

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12楼老姜 老姜 (热烈欢呼旺网五条杠委员会成立！) 发表于 2010-10-12 18:26  只看此人
至少有10种做法。.

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