[数学] 2007-10-30 初三

设p和q都是大于3的质数，求证：24｜(p^2-q^2)．.

大于3的质数必不能被2及3整除，即p、q除以2余1，除以3余1或2

不妨先设
p=2m+1，q=2n+1,且m、n要么是偶数，要么是奇数
则p^2-q^2=（p+q)(p-q)=(2m+1+2n+1)(2m+1-2n-1)=4(m+n+1)(m-n)
若m、n都是偶数或奇数，则（m-n)是偶数，可设m-n=2k,k为自然数
p^2-q^2=4(m+n+1)(m-n)=8（m+n+1)k
若m、n一奇一偶，则（m+n+1)是偶数，可设m+n+1=2k,k为自然数
p^2-q^2=4(m+n+1)(m-n)=8k（m-n)
所以，p^2-q^2能被8整除

同时，再设
若p=3m+1，q=3n+1,m、n为自然数
p^2-q^2=(3m+1+3n+1)(3m+1-3n-1)=3(3m+3n+2)(m-n)
若p=3m+1，q=3n+2,m、n为自然数
p^2-q^2=(3m+1+3n+2)(3m+1-3n-2)=3(m+n+1)(3m-3n-1)
若p=3m+2，q=3n+1,m、n为自然数
p^2-q^2=(3m+2+3n+1)(3m+2-3n-1)=3(m+n+1)(3m-3n+1)
若p=3m+2，q=3n+2,m、n为自然数
p^2-q^2=(3m+2+3n+2)(3m+2-3n-2)=3(3m+3n+4)(m-n)
所以，p^2-q^2能被3整除

3、8互质，
所以，p^2-q^2能被24整除，
即24｜(p^2-q^2)
得证

[ 本帖最后由 echooooo 于 2007-10-30 22:04 编辑 ].