[数学] 2008-3-6

若多项式x^3+b x^2+cx+1与多项式x^3+c x^2+bx +1有关于x的一次公因式，则b与 c的关系为
。.

b + c = -2
解法如下:
设x^3+b x^2+cx+1 ----- (1)
　x^3+c x^2+bx+1 ----- (2)
∵(1)式与(2)式都含有某个关于x的一次公因式
∴(1)-(2)=(b-c)x^2-(b-c)x=(b-c)x(x-1)必含有该x的一次公因式
由此可知,该x的一次公因式的最简形式为 x-1
再将(1)式整理得,(1)=x^3+b x^2+cx+1
                              =x^3-x^2+(b+1)x^2-(b+1)x+(b+c+1)x-(b+c+1)+(b+c+2)
                              =(x-1)[x^2+(b+1)x+(b+c+1)]+(b+c+2)
∵由题意可知(1)式含有(x-1)因式
∴b+c+2=0,即b+c=-2

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-3-6 08:44 编辑 ].

已知有一次因式(x-a) 可用余数定理:
知a^3+a^2b+ac+1=a^3+a^2c+ab+1=0
得(b-c)a(a-1)=0
因a有非零的一个有理根.b-c不等于0,a=1
把a=1代入多项式:1+b+c+1=0
b+c=-2.

比我简单!
感觉我的思维还局限在我儿子小学五年级的水平上 .