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[数学] 竞赛中的不等式

1楼ji23 ji23 (......) 发表于 2007-12-28 12:43  只看此人

竞赛中的不等式

“不等式最能反映出选手的创造能力. 很多不等式无法搬用固定的陈法, 必须自出机杼, 给出新颖的解法”(单墫语录).

现在, 在mathlinks的Olympiad Section上, 每18帖中, 6个分支的分布大致是——

Algebra:3
Combinatorics:2
Geometry:3
Inequalities:5
Number Theory:4
High-School Contests:1

这里我将挂一些最近新编的不等式题, 适合于高二以上同学..

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2楼ji23 ji23 (......) 发表于 2007-12-28 12:58  只看此人

一个4元循环对称不等式

对非负数a、b、c、d, 有

[ 本帖最后由 ji23 于 2008-1-7 11:52 编辑 ].

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3楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-12-28 17:53  只看此人
额
计大侠也来了。.

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4楼老封 老封 (......) 发表于 2007-12-30 23:43  只看此人
欢迎ji23，不等式专家！http://forum.cnool.net/thesis.jsp?thesisid=494的版主。.

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5楼ji23 ji23 (......) 发表于 2008-1-7 11:51  只看此人

一个3元条件不等式

设正数x、y、z满足x + y + z = 1, 则
.

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6楼ji23 ji23 (......) 发表于 2008-2-25 00:31  只看此人

三实元的一个齐次对称不等式

对实数a、b、c, 有



当a = b = c时等号成立.

[ 本帖最后由 ji23 于 2008-2-25 01:56 编辑 ].

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7楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2008-2-28 01:14  只看此人
搬个凳子慢慢看，
...
看得懂，做不出。.

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8楼wood wood (......) 发表于 2008-2-28 08:45  只看此人
呵呵，什么时候希望能请计大师给奥数老师和奥数家长上上不等式。.

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9楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2008-2-29 11:18  只看此人
不等式玩的就是技巧，特别是配方功夫一定要到位；
就俺这老胳膊老腿，还拿大顶？能做俯卧撑就不错啦。.

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10楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2008-2-29 11:38  只看此人
改天弄本书瞅瞅，再练练。.

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11楼ji23 ji23 (......) 发表于 2008-3-18 14:59  只看此人

俯卧撑

引用:
原帖由 echooooo 于 2008-2-29 11:18 发表
就俺这老胳膊老腿，还拿大顶？能做俯卧撑就不错啦。
对正数x、y、z, 有



当x = y = z时等号成立.

[ 本帖最后由 ji23 于 2008-3-18 15:06 编辑 ].

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12楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2008-3-18 15:44  只看此人
俯卧撑也 ，改仰卧起坐吧。.

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13楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2008-3-18 17:01  只看此人
引用:
原帖由 echooooo 于 2008-3-18 15:44 发表
俯卧撑也 ，改仰卧起坐吧。
在你眼中的“俯卧撑”或者“仰卧起坐”，在ji大侠心中只够“坐”或者“卧”。.

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14楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2008-3-18 17:32  只看此人
算啦，俺还是缩在墙角吧。
站着都不够格。
不过，重在参和嘛，瞅瞅总可以。.

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15楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2008-3-18 21:04  只看此人
你看到的啊，我也缩在角落里面嘛。.

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16楼dudu19668 dudu19668 (......) 发表于 2008-3-19 14:17  只看此人
大侠真多阿
俺缩在窗外瞅一瞅，也算参与.

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17楼nancyhong2007 nancyhong2007 (......) 发表于 2008-3-19 18:54  只看此人
.

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18楼nancyhong2007 nancyhong2007 (......) 发表于 2008-3-19 18:55  只看此人
难.

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19楼nancyhong2007 nancyhong2007 (......) 发表于 2008-3-19 18:55  只看此人
GAME     OVER.

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20楼ITmeansit ITmeansit (......) 发表于 2008-3-20 13:10  只看此人

请教一题。

已知a+b+c=1，求证：.

附件

c18d1712c3aef073739b86b1298012e9d55b20d1.gif (941 Bytes)

2008-3-20 13:10

c18d1712c3aef073739b86b1298012e9d55b20d1.gif

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21楼ji23 ji23 (......) 发表于 2008-3-20 23:15  只看此人
反例
当a = -1, b = c = 1时,
a + b + c = 1,但
6(a³ + b³ + c³) + 1 = 7;
5(a² + b² + c²) = 15..

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22楼ITmeansit ITmeansit (......) 发表于 2008-3-20 23:21  只看此人

回复 21#ji23 的帖子

不好意思，漏了一个条件：对非负数a、b、c.

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23楼ji23 ji23 (......) 发表于 2008-3-21 09:32  只看此人

齐次化 & 增量代换

6(x³ + y³ + z³) + (x + y + z)³ - 5(x + y + z)(x² + y² + z²)

≡ F(x, y, z) = F(x, x + s, x + s + t)

= 2x(s² + st +t²) + 2t²(2s + t) ≥ 0,

这对0≤x≤y≤z是显然成立的..

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24楼wood wood (......) 发表于 2008-3-21 10:16  只看此人
欣赏了！
ji23老师实际上是推广了结论为：当x，y，z是非负实数时，都有6(x³ + y³ + z³) + (x + y + z)³ ≥5(x + y + z)(x² + y² + z²)
因为这个式子中x，y，z是对称的，所以可以不失一般性地假设x≤y≤z。.

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25楼ITmeansit ITmeansit (......) 发表于 2008-3-21 10:34  只看此人
解得很精彩！谢谢.

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26楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2008-3-21 12:53  只看此人
眼花缭乱.

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27楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2008-3-21 12:56  只看此人
先学一招：
齐次化 & 增量代换

看看以后有没有机会照葫芦画瓢.

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28楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2008-3-21 13:00  只看此人
要不ji大虾再把前面的几题也给解了，
再寻摸寻摸有啥招数可...
.

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29楼ji23 ji23 (......) 发表于 2008-4-9 00:49  只看此人
设实数x、y、z满足x² + y² + z² = 1, 则

,

等号成立仅当x = y = z.

[ 本帖最后由 ji23 于 2008-4-9 14:37 编辑 ].

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30楼ji23 ji23 (......) 发表于 2008-4-21 15:41  只看此人

1996年2月23日第47届波兰数学竞赛第2试第3题的一个类似

设实数a、b、c满足a + b + c = 3, 则

.

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31楼wood wood (......) 发表于 2008-4-21 17:43  只看此人
“不等式最能反映出选手的创造能力. 很多不等式无法搬用固定的陈法, 必须自出机杼, 给出新颖的解法”(单墫语录).
单老师说的“陈法”是指“陈大师的方法”？.

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32楼ji23 ji23 (......) 发表于 2008-4-26 00:49  只看此人
设非负数x、y、z满足x + y + z = 1, 则



[ 本帖最后由 ji23 于 2008-4-26 00:53 编辑 ].

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33楼ji23 ji23 (......) 发表于 2008-5-20 23:24  只看此人
对正数x、y、z, 有

x³ + 4y³ + 4z³ + xy² + 5yz² + 2xyz ≥ 2x²y + 3x²z + 3y²z,

等号成立当且仅当x : y : z = 5 : 1 : 2.

[ 本帖最后由 ji23 于 2008-5-21 21:29 编辑 ].

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34楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2008-5-21 07:26  只看此人
天那，又来一个。是不是这种不等式，你随便构造的啊。.

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35楼ji23 ji23 (......) 发表于 2009-1-24 13:13  只看此人
对实数a、b、c, 有

(a² + b² + c² + 5bc + 5ca + 5ab)² ≥ 12(a + b + c)²(bc + ca + ab),

等号成立当且仅当a = b = c..

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36楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2009-1-24 13:40  只看此人
计大师好久没来啦！
俺接着再看，
依旧缩在墙角落里偷偷地。.

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37楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-24 15:42  只看此人

回复 35#ji23 的帖子

设u=a2+b2+c2，v=ab+bc+ac
化简原题即相当于证明：
u2+v2>=2uv.

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38楼ji23 ji23 (......) 发表于 2009-1-24 17:14  只看此人
对正数a、b、c, 有

.

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39楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-25 09:22  只看此人

回复 34#老猫 的帖子

这是"齐次化 & 增量代换"逆过程........

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40楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-25 09:23  只看此人

回复 37#jyuntoku 的帖子

妙!.

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41楼ji23 ji23 (......) 发表于 2009-1-25 11:50  只看此人
设0 < x < 1, 则

.

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42楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2009-1-25 12:50  只看此人
引用:
原帖由 greenjyz 于 2009-1-25 09:22 发表
这是"齐次化 & 增量代换"逆过程.......
逆过程也并非每个都很容易。.

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43楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-25 21:14  只看此人

回复 42#老猫 的帖子

是滴........ .....
像41楼这一题俺到现在也"想"不出"逆过程"该是如何滴.......唉........缩在墙角吧..........

恭祝猫老师、Ji大侠和各位大师新春快乐，牛年大吉！.

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44楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-1-26 02:19  只看此人

回复 41#ji23 的帖子

这! 块! 硬! 骨! 头!
俺决定采用无赖招数了!

考察 (2-x)*x^x  是否大于1;
当x=1,两边相等;
两边求导,然后考察x^x*[(2-x)*(Lnx+1)-1]是否小于0;
考察Lnx+1 和 1/(2-x), 易证当x<1, Lnx+1 < 1/(2-x), 所以x^x*[(2-x)*(Lnx+1)-1]<0, 可推得(2-x)*x^x <1 !!!.

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45楼ji23 ji23 (......) 发表于 2009-1-29 23:05  只看此人

回复 44#greenjyz 的帖子

用加权的算术平均——几何平均不等式:

祝greenjyz 新年牛气十足~.

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46楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-2-1 10:04  只看此人

回复 45#ji23 的帖子

非常感谢Ji大师！绝妙之解！
外出数日，迟复，歉甚！.

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47楼ji23 ji23 (......) 发表于 2009-2-2 00:21  只看此人
设　则



[ 本帖最后由 ji23 于 2011-12-11 10:41 编辑 ].

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48楼ji23 ji23 (......) 发表于 2009-2-4 02:45  只看此人
证明:|sin(x - 1)| + |sin x| + |sin(x + 1)|≥ 2 sin1对所有实数x都成立..

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49楼ji23 ji23 (......) 发表于 2009-2-6 00:11  只看此人

葛之给我的不等式

..

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50楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-2-6 13:42  只看此人

回复 47#ji23 的帖子

Ji大侠老是弄一些难啃的硬骨头搁在俺们喉咙里，很不爽！先做一半：

据题设，有(xi+1/2)^2=x(i-1)^2+5/4。

当i=1，x1=sqrt(5/4)-1/2<1-1/3;
设i=n时不等式成立，考察i=n+1;
因[x(n+1)+1/2]^2 =xn^2+5/4<=(1-1/3^n)^2+5/4=[3/2 - 1/3^(n+1)]^2 - [3^(n+2)-8]/3^(2*n+2)< [3/2 - 1/3^(n+1)]^2，
有x(n+1)<=1 - 1/3^(n+1)。
证毕。.

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