引用:
原帖由 小东妈妈 于 2010-7-11 17:32 发表 
求教：正整数N恰有12个正约数（包括1和N），将它们按递增顺序编号：d1 ＜d2 ＜---＜d12.已知下标为d4 － 1的正约数等于（ d1＋d2＋d4）×d8 , 试求正整数N.
三个事实：d1=1,d2是质数，
N正好有12个约数，12=2*2*3，故N最多有3个质因数,因为有4个质因数的合数至少有16个约数。
记m=d4-1, dm=(d1+d2+d4)*d8
所以，9<= m <= 12, d4=10,11,12,13，下面就分四中情况讨论。
1. d4=10,
10是N的约数，那么2,5也是N的约数，所以前四个约数是1,2,5,10
d9=(d1+d2+d4)*d8=13*d8,说明13也是N的约数。N的三个质因数2,5,13。
N=2*2*5*13,不合题意
N=2*5*5*13，d8=50，d9=65，不合题意
N=2*5*13*13，d8=130，d9=169，不合题意。
2. d4=11. 这种情况略复杂一些，但讨论方法一样的。
d10=(1+d2+11)*d8,其中d2为四个质数2,3,5,7之一。
一。d2=5,d10=17*d8,那么17也是N约数，N的三个质因数5,11,17。此时没有合题意的d3了。
二。d2=7,也不存在合题意的d3。
三。d2=2,d10=14*d8，那么7也是N约数，N的三个质因数为2,7,11。
若N=2*2*7*11那么4也是约数，前四个约数1,2,4,7，与d4=11矛盾。
若N=2*7*7*11,可验证，d8=77,d10=154,不合题意
若N=2*7*11*11,也可验证不合题意。
四。d2=3,d10=15*d8,那么5也是N约数，N的三个质因数为3,5,11。
读者可自己验证，
N=3*3*5*11不行，
N=3*5*5*11不行
N=3*5*11*11不行。
3. d4=12
12是N的约数，那么1,2,3,4,6都是N的约数，所以d4=12以内不止3个约数了。
4. d4=13, d12=(1+d2+13)*d8
d2为质数，2,3,5,7,11
d2=2,d12=16*d8,16是N约数，那4,8，都是约数，d4=13以内不止3个约数了
d2=3,d12=17*d8,N三个质因数3,13,17， N=3*3*13*17, d8=117，d12=17*117,符合题意！
d2=5, d12=19*d8, N三个质因数5,13,19， 则13以内没有3个约数。
d2=7,d12=21*d8,那么3也是N约数，与d2=7矛盾。
d2=11,d12=25*d8,那么5也是N约数，与d2=11矛盾。
最终结论，N=3*3*13*17
[
本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-7-12 08:23 编辑 ].
