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[数学] 2008-8-10

1楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2008-8-10 09:27  只看此人

2008-8-10

有n个数x1,x2,…xn,它们中的每一个数或者为1,或者为-1.如果x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1=0,求证：n是4的倍数。.

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2楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2008-8-11 16:10  只看此人
试试看（三十年没做这类题目了，做错了请原谅。。。）

按题意，x1x2+x2x3+x3x4...xnx1=0中任一乘积项必为1或-1。如有m项乘积为1，则必另有m项乘积为-1，故n=2m。

将上式重排，使前m项乘积为1，后m项乘积为-1，序号也相应重排。

设m为奇数：若第一项的第一个数为1，可推知前m项乘积中任一数均为1，则x(m+1)为1；因后m项为-1 ，可推得x(m+2)必为-1，x(m+3)为1，。。。
直至xn为1（n为偶数）。由于xnx1为-1，则x1必须为-1，与前述假设矛盾。同理，若第一项的第一个数为-1，可推至x1必须为1，亦为矛盾，故m不可能为奇数。

因n=2m,则n必能为4整除，为4的倍数。

汗嗒嗒滴啊。。。.

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3楼老猫
每周一星 
老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2008-8-11 20:18  只看此人
前一半干净利落。
后一半也没有错，只是这种描述法感觉不太舒服。：）.

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4楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2008-8-11 20:43  只看此人
非常感谢老猫老师的评语!看来自己是该回学校回炉啦!.

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5楼老姜 老姜 (热烈欢呼旺网五条杠委员会成立！) 发表于 2008-8-13 12:32  只看此人
引用:
原帖由 greenjyz 于 2008-8-11 20:43 发表
非常感谢老猫老师的评语!看来自己是该回学校回炉啦!
说清楚x1x2*x2x3*…*xn-1xn*xnx1=（x1x2…xn）^2=1就可以了么。



欢迎访问我的博客选：http://ww123.net/baby/viewthread ... ;extra=&page=11。.

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6楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2008-8-13 14:41  只看此人

回复 5#老姜 的帖子

谢啦！唉，现在脑筋不好使，献丑了！.

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7楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2008-8-13 15:14  只看此人
引用:
原帖由 老姜 于 2008-8-13 12:32 发表

说清楚x1x2*x2x3*…*xn-1xn*xnx1=（x1x2…xn）^2=1就可以了么。

174263

欢迎访问我的博客选：http://ww123.net/baby/viewthread ... ;extra=&page=11。
博客尽是妙文啊！.

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8楼GerryBB GerryBB ( ) 发表于 2008-8-14 00:04  只看此人
引用:
原帖由 greenjyz 于 2008-8-13 14:41 发表
谢啦！唉，现在脑筋不好使，献丑了！
老前辈功夫不错，都三十年没练功了，还能宝刀不老，令我等后生敬畏。.

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9楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2008-8-14 09:18  只看此人
过誉啦！汗颜中！
也是逼上梁山，小儿刚上初中，为激励他学好数学，提高兴趣，有时和他“内部比赛”（老猫老师的题目就是很好的赛题），只能重拾旧焰啊。。。.

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