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[求助] 预初数学题

预初数学题

在小于10000的奇自然数n中,是使由n^9的后4个数吗组成的数大于n的奇数n多,还是使由n^9的后4个数吗组成的数小于n的奇数n多?.

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不要扁我哦。

我穷举了一下,一共有2480个大于0的,2480个小于0的。所以一样多。
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回复 #2 老猫 的帖子

能否说说思路及本题要点?.

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穷举啊,就是把每一个都算出来,然后比较一下。
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回复 #4 老猫 的帖子

9次方耶,哥哥!
“穷举”不把我给举穷了?.

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还可以啊。
反正我穷举出来了。
当然考试时候不能这样。

问题是如果解最终是一样多,那么一定可以通过对应,做出来。也就是说如果有一个大于0的就对应了一个小于0的。
只是如何对应,我还不知道。.

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初看题目
硬是没看懂!
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我们观察小于10000的奇自然数i(i<5000)和10000-i
  i                k=i^9(mod10000)
10000-i       (10000-i)^9(mod10000)=-i^9 (mod10000)=10000-k (mod10000)
如果i>k 那么10000-i<10000-k
如果i<k 那么10000-i>10000-k
如果i=k 那么10000-i=10000-k
i和10000-i 可以一一对应,因此一样多.

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好简单的对应,就是没有想到。

有个小疑问,证明里面没有提起奇数,是不是奇数是个多余条件?.

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5000是个例外,5000^9的后四位数是0,所以去掉奇数这个条件,后者多1.

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这是一个非本质的例外啊。多这一个对解题没有什么问题的。.

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没完全看懂。
思路是清楚了,关键在于9次方的性质不清楚。

如果题目换成7次方、8次方、......怎么解?.

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想错了,被10整除的9次方后四位数都是0,所以去掉奇数这个条件,后者多999个.

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哦,原来偶数有太多的问题。.

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这个问题用到了数的同余和二项式理论(应该是高中的知识)

这里a=10000,b=i和10000-i
例如 3^9=19683 = 9683 (mod10000)
9997^9=(10000-3)^9=(-3)^9=-19683 =20000-19683=317(mod10000)
3+9997=9683+317
这个结果对于9,7,5,3等奇数次方都成立,
而对于8等偶数次方不成立.

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这个同余的知识初中应该没有问题。二项式的内容如果只用到前面部分是a的倍数,不要详细的内容,初中也能解决。.

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嗯,这下明白了。.

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结论性的:
若a、b为正整数,m为奇数,n为偶数
则(a+b)^m+(a-b)^m=0 (mod a)
(a+b)^n=(a-b)^n (mod a)or(mod b)

对吗?

[ 本帖最后由 echooooo 于 2007-8-29 17:36 编辑 ].

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有没有a、b互质的要求?.

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回复 #19 老猫 的帖子

貌似不必。.

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引用:
原帖由 echooooo 于 2007-8-29 17:27 发表
结论性的:
若a、b为正整数,m为奇数,n为偶数
则(a+b)^m+(a-b)^m=0 (mod a)
(a+b)^n=(a-b)^n (mod a)or(mod b)

对吗?
稳妥起见,加个限定条件,a>b.

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回复 #21 echooooo 的帖子

这个倒肯定没有什么关系。.

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