周二的作业也有一道类似的题目，儿子做对了。LZ说的是周三（昨天）的题，儿子没有做对，答案填的是8。发现这个错误时，儿子已经睡下，所以不清楚他为什么第一天能够做对第二天又做错了，也不知道他是怎么思考这种问题的。据他妈妈说，他已经会用代数方程的方法解题了，第二次答案错了，是因为计算粗心。我不敢相信，儿子竟有如此聪明，无师自通琢磨出方程解法。今天准备早点回家，和儿子讨论一下这方面的问题。
　　但是，007觉得老师出的这几道题似乎都是超标超纲题。系统看过教材的人会明白，到了小学五年级才教简单的方程。现在布置做这种题，其实是在提前学习后面会学的东西。所以，孩子做不出来，007也不会紧张。

　　（一）错误

　　让007紧张的是儿子做错的另一道题：

　　若A+B=C，则B=？

　　儿子的答案是：B=减数。

　　（二）原因之一

　　儿子的错误，表面上看是因为没有理解题意，往深里看是因为孩子的基本概念不清楚，基础知识不扎实。因为，他费了好一番周折，才勉强得出B=C-A。但据他妈妈讲，儿子面对这个答案时还是满脸狐疑。
　　根本的原因，学得不扎实。小四数学的第一单元是“复习与提高”。复习的是前面三年所学加减乘除四则运算，提高之处在于对前面习得的数学经验进行概念化。这个单元将会以正规的标准化的语言引导孩子抽象地回答：什么是加法？什么是减法？加法和减法是什么关系？什么是乘法？乘法和加法是什么关系？什么是除法？除法和乘法、减法是什么关系？对于这些问题，孩子们已经积累了大量个案性质的直观经验，现在需要进一步提高的是用一般性的概念及其概念间的关系对自己的数学经验进行概括。这是有相当难度的，孩子们在这个学习过程遇到的困难，有的时候被他们自己以及我们这些做父母的察觉。例如，这两天他们学了：
　　（1）求两个数的和的运算，叫做加法。
　　（2）已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
　　（3）减法是加法的逆运算。其中：
　　　　A）一个加数=和—另一个加数
　　　　B）被减数=差—减数
　　　　C）减数=被减数—差
　　看上去孩子懂了，因为他们早有这方面的经验。实际上真是懂了吗？从儿子在“若A+B=C，则B=？”上的困惑上看，他并没有真正理解和掌握加减互逆运算中“一个加数=和—另一个加数”的运算规则及其原理，否则他应该轻易得出“B=C-A”。老师教得太快，急于让学生做题、做难题，心情可以理解。但从长远来看，孩子学得不扎实，基本概念、基本原理不清，是走不远的！

　　（三）原因之二

　　如果告诉孩子：A和B是两个加数，C是它们的和，题目意思是，已知这两个数的和，还知道其中一个数，求另外一个加数。我家孩子大概立即就会根据“一个加数=和—另一加数”得出“B=C-A”。问题是：为什么非得要作如此解释，孩子才能顺利思考并找到正确答案呢？
　　原因在于：思考和解决这个问题，不但要运用“加数”、“另一个加数”、“和”这样的一般化的抽象概念，而且要进一步用A、B、C这样的抽象符号表示和使用这些抽象概念。这等于是双重抽象！难度一下子就上升了许多。在小四之前，孩子的思维主要以“具体运算”为主，一下子难以应付这种双重抽象的问题。现在的教材设定小学生在四年级必须实现从“具体运算阶段”向“形式运算阶段”过渡。从认知发展上说，这是必要的，到小四也是可行的。但个人认为，这个转变对于习惯了具体运算思维方式的孩子来说是一个质的飞跃，其过程是艰难而漫长的，不应该急于同步实现“概念抽象化”、“抽象概念形式化（符号化）”。为了帮助小四生顺利地实现认知发展阶段的过渡，恰当的教学与辅导策略是，尽可能将有难度的学习内容分解成更小的学习单位，也就是多铺设几个学习台阶，形成一个孩子可以胜任的学习坡度，让孩子顺利地拾阶而上，最终达到发展目标。也就是说，“若A+B=C，则C=？”这种题目，可以放在稍后一些的学习阶段去探索。不要急，慢慢来！早熟的苹果，不好吃，也烂得快。

　　（三）原因之三

　　根据皮亚杰的研究，与我国小一生年龄大致相当的孩子，其认知发展处于从“前运算阶段”向“具体运算阶段”过渡时期，大部分小二小三生都会顺利地进入“具体运算阶段”。在这个阶段的孩子，其思维具有了守恒性、可逆性和去自我中心化等特点，这是学习真正的数学的认知发展基础。但是这个阶段的学生，守恒和可逆的思维必须借助具体或形成的事物才能顺利进行。这决定了中低年级的学生对于“=”的理解，只能达到上面ccpaging所描述的那种水平，把“等于”理解这
成“计算结果是……”就是其中一例。他们还不能脱离具体的数据和运算去理解“=”的数学意义，难以抽象地理解运算中的守恒和可逆规则，例如：
　　（1）如果左边的算式等于右边的算式的话，也可以反过来说，右边的算式等于左边的算式，它们的位置可以对调；
　　（2）等式两边加上或减去或乘以或除以（零除外）的一个数或一个算式，等式依然成立；
　　（3）等式左边某个的数或算式移到右边并变号，等式依然成立；
　　（4）如果一个等式里包含了另一个等式的中的一个部分，可以用代入法解题；
　　（5）两个等式，左边的算式相加（或减或乘）等于右边算式相边加（或减或乘）；两个等式两边的算式交叉相加（减乘），等式也成立；
　　……
　　有人通过灌输和机械训练的方式，可以让低年级学生学会使用上述规则解决比较复杂的数学问题，但实际上孩子并不理解其中的道理，只是在机械执行一些教条而已。因此，小一小二生会代数方程，未必是一件值得骄傲的事（个别极其聪慧的孩子除外）。看到这种孩子，不必羡慕，更不必逼自己的孩子东施效颦。上述运算规则以前是到了初中才正式探究和学习，现在下放到了小学高年级，已经要求很高了，再提前到小学中低年级学习，那可真是为难孩子，为难老师，为难家长了！
　　小四数学第一章的“复习和提高”以及后面还将进一步总结的运算规律（交换律、结合律、分配律等），会比较正式涉及和使用上述一些规则。他们中的一些人会遇到认知发展水平未及所造成的学习困难。解决问题的办法之一，就是ccpaging总结和推荐的“大妈天平秤量法”。007准备一试，让孩子对等号的理解上一个台阶！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-3 15:39 编辑 ].

引用:

原帖由 杨小兔的妈妈 于 2009-9-2 22:43 发表
昨天回家看到兔哥已经完成了数学作业，我特别针对这道题，我装作弄不懂题，就让兔哥教解题过程，小家伙也利用了列算式的方法，他说用这种方法最清楚，被减数、减数和差之间的关系非常清楚。就在我暗暗窃喜的时候，他 ...

　　向苏格拉底学习！
　　苏格拉底有许多名言，用007的话转述一下：我没有知识，我唯一的知识就是知道自己无知。我虽然没有知识，但我会请教，我请教的方式就是系统地追问。我就像我妈，她给别人接生。孩子是别人的，却是她接生的。我也是一个接生婆，是知识的助产婆！你的知识和美德不是我教的，而是你天性和灵魂中就有的，我只不过用系统的诘问将它们接生出来而已。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-3 15:50 编辑 ].

引用:

原帖由 yvonne_tina 于 2009-9-3 10:47 发表
你家儿子真可爱，我感觉绝对是认真的听了老师讲的被减数减数差的关系，我家女儿这两天经常问我哪一个是被减数？

　　哪里啊，人家关心的是合唱队和团体操的集训，每天下午不上课就干这两件事。回到家里做作业，不重视也不认真。开学第一天的作业做得一踏糊涂，连累着我这个做爹的正在给英语老师写检查呢！.

引用:

原帖由 yvonne_tina 于 2009-9-2 22:16 发表
题目： 在一个减法算式里，如果被减数，减数与差相加的和是360，其中差是122，那么减数是 （   ）

　　今晚回家请教儿子，终于弄清楚了他是怎么解题的。总的来说，他的思路是正确的，也是对没有学过方程的小四生合用的。可惜他计算粗心，算错了答案。先以前一天那道他完全做对了超纲题为例，来透视他的解题思路吧。

　　（一）

　　9月1日（周二）小四生第一次面对这样的题目：在一个减法算式里，如果被减数、减数与差相加的和是60，其中差是24，那么减数是（　　）。儿子填写的答案是6，对的！
　　007问：这道题很难的，我没有弄清楚你是怎么做出来的。
　　儿子轻描淡写地说：不就是x和y相加再相减吗！
　　父：呵呵，你都会xy了。那么设被减数、减数与差分别是x、y、z，你是怎么算出来的呢？
　　子：差已经知道是24，不要设z了。只要设被减数是x,减数是y,就可以了！
　　父：好的，完全可以这样。接下来你怎么想的呢？
　　子：x+y+24=60,所以x+y=36.
　　父：我不明白，为什么x+y=36？这个36是从哪里来的？
　　子：60-24=36.
　　父：可是为什么x+y=60-24？
　　子：因为两个数加24的和是60，所以这两个数等于和减去24.
　　父：我懂了，减法是加法的逆运算。我还有一个办法，你看x+y+24=60，我在等号两边都减去24，这个等式还成立吗？
　　子：成立。
　　父：左边x+y+24-24等于多少？
　　子：等于x+y.
　　父：右边60-24就是你刚才算出的36了，所以x+y=36，对不对？
　　子：对的。
　　父：现在你靠x+y=36能够算出x和y各是多少吗？
　　子：不能。还有x-y=24.
　　父：现在我们知道了x+y=36，还知道x-y=24，就可以算出x和y各是多少吗？
　　子：我算不出来，我是猜出来的。
　　父：说说看，你是怎么猜出来的？
　　子：我知道x最小是24，最大是36。
　　父：你凭什么说得这么肯定？难道它不可以等于20，不可以等于60吗？
　　子：因为x减去一个数还等于24，所以x肯定不会比24小。因为x加上一个数等于36，所以它肯定不会比36大。
　　父：你的想法有道理！因为我们现在还没有学负数，只学了正数，所以你的这猜想是对的。那么，x到底是多少？
　　子：我先猜它是27，验算了一下猜得不对。后来我就去找24-36中间那个数，找到了30，一试就证明我猜对了，x=30,y=6,减数是6.　　
　　父：原来是这样。你这叫试算。试算是个笨办法，也是一个可靠的办法。为了试算的时候不漏算，要从大到小，或者从小到大有序地试算。可是从1开始试算没有必要，因为你已经知道x不会小于24；从60开始往小一点的数试算也没有必要，因为你已经知道y不会大于36.你把试算的范围缩小在24-36，这是一个聪明的试算。你还想到找到中间数试算，那就更是一种聪明的试算。这个懒偷得好！

　　（二）

　　父：你会做星期二这道的题，为什么星期三那道题又不会做了？
　　子：我会做，是算数了。
　　父：到底哪里算错了？
　　子：x+y=360-122,我算成了138，少算了100，结果算出x=130, y=130-122=8.
　　父：解决的办法都是对的，你却粗枝大叶，计算出错，写出错误答案，多可惜呀！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-4 00:43 编辑 ].

　　楼主，你可能搞错了，我家孩子和你家孩子一样不会方程。当他列出

　　x+y=36
　　x-y=24

　　之后，就不会用解方程的方法求出x和y。他是用试算的方法求出x和y的。“试算”是一个好听的名称，说得难听一些就是“猜”，就是“蒙”。不过，话要说回来，一个没有学过奥数的小四生，能用这种方法解决问题，算是动了脑筋的。.

　　用我家小子的有序试算方法，不难解决这个问题。你说的倒推的方法是什么样子？能不能详细描述一下？让我们也来学习学习。.

　　amy0202第二次提供的题目跟第一次有点不一样，第一次更加简单。用试算法，也不难。　

　　（一）有序试算

引用:

原帖由 amy0202 于 2009-9-4 09:22 发表
被减数除以减数为8，被减数加上减数的和是18，求被减数和减数？

　　x(被减数)÷y（减数）=8…………………………（1）
　　x(被减数)+y（减数）=18………………………（2）

　　试算开始了。可以x为中心试算，也可以y为中心试算。就这题而言，y作过除数，肯定比x小，因此以y为中心试算比较方便。
　　假如y=1，那么根据（1）式，x=8；把x=8,y=1,代入（2）式检验，x+y不等于18。第一次试算失败。
　　假如y=2，那么根据（1）式，x=16；把x=16,y=2,代入（2）式检验，正好x+y=18。呵呵，第二次试算就成功了！

　　（二）逐步缩小试算范围的聚焦式试算

　　楼上的题稍有不同：

　　x(被减数)÷y（减数）=8…………………………（1）
　　x(被减数)+y（减数）=108………………………（2）

　　两者之和数字大多了，试算的难度也就随之加大。再完全按照上面的思路老老实实从y=1,2,3……这样试算下去，就太死板了！快速有效的试算需要另外一个策略——逐渐缩小试算范围。和孩子一起探讨，可能会出现如下精彩的场面：
　　首先，假定y=1，根据（1）式得x=8；把x=8,y=1代入（2）式进行检验，x+y＝9，离108远着呢，可以狠狠地往大里猜，那就看看y=10吧。
　　接着，假定y=10，根据（1）式得x=80；把x=80,y=10代入（2）式进行检验，x+y=90，比较接近108了，x和y还要大些！
　　然后，假定y=15，根据（1）式得x=120；不把x=8,y=1代入（2）式进行检验，都可以知道x+y比108大了。可见，10＜y＜15，或者说y有可能是11、12、13、14。为了方便进一步缩小试算范围，接下来选一个中间一些的数试算吧。说不定，运气好，一下子就找中了。
　　最后，果真很幸运。假定y=12，根据（1）式得x=96；把它们代入（2）进行检验，呵呵，x+y正好等于108。成功了，被减数是96，减数是12.

　　（三）数学直觉在试算中的作用

　　我家11经常使用试算的笨办法解决一些有难度的数学问题，逐渐形成了一些试算经验。在实战中，他不时能够靠着数学方面的直觉，比较快地限定一个比较小的试算范围，甚至三下五除二就蒙到正确答案。例如上面一题，他很可能在一开始不试算y=1，凭着直觉就会判断y不可能这么小，他最有可能是一开始就试算y=10。等他确认y肯定比10大时，他不会去试算y=15，甚至会根据（2）式猜想到y不可能是一个奇数。由于y=10时已经接近答案，他的第二步最有可能就猜y=12.
　　对于没有受过奥数训练没有方程知识的小四生来说，试算也许是对付本帖提及的数学问题的唯一可用、可理解的方法了。这些问题到了小五学过解方程之后，孩子们能够轻易解决。所以，007非常反感逼着孩子们提前学习这些东西。好在，我家小四生对此并未心生畏惧和反感，还能够动用自己已有的学识，用试算的方法解决问题。这种试算非常考验孩子的严谨而灵活的思维。做一道题实际上等于做了一连串的运算练习，孩子浑然不觉。仅从这些方面来说，老师出这种变态题有一些积极的意义。但是，这种意义仅仅是对我家孩子而言，是否具有广泛性，还有待检验。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-4 14:51 编辑 ].

　　正当007为自己孩子用试算法对付老师出的变态奥题而暗自庆幸时，ccpaging给了当头棒喝：

引用:

原帖由 ccpaging 于 2009-9-4 17:37 发表
　　“试算法”有它的积极意义，但是我们即不能老局限在这一种方法中，尝试用多种思路、多种角度去看待问题，不能满足于仅仅得出一个结果，而应尝试寻找其规律等更基本的东西。
　　同时，也不能把试算法本身停留在目前的程度，在脑子里边试算可以过渡到用表格试算，表格试算可以过渡到笛卡尔坐标。那种认为，“我只要脑子想想，就能得出结果，我多聪明”的想法尤其要不得。

　　是啊，孩子从一年级就经常用试算法解题，总不能过了三年还是这种水平吧！何况，试算起来是很花时间的。应该像CC说的那样，更上一层楼了。孩子到了四年级，其认知发展应该到了可以更加一般地探索和总结数学思维的层次了。试试看吧，表格法、坐标法、代数法都可以试试了。007花了那么多精力去反对小奥，何不也花点精力引导孩子学几套正宗的武功去对付小奥（万一碰到的话）？.

引用:

原帖由 yvonne_tina 于 2009-9-2 22:16 发表
今天和昨天的作业都有一道这样类型的题，我不知道该怎样用女儿明白的方法教会她这道题，老师的方法是什么呢？
题目： 在一个减法算式里，如果被减数，减数与差相加的和是360，其中差是122，那么减数是 （   ）

　　昨天晚上，儿子说了老师的解法：

　　被减数+减数+差=360

　　根据小四生刚刚学过的“减法是加法的逆运算”一个规则“减数+差=被减数”，上面的等式可以化为

　　被减数+被减数=360

　　因此，

　　被减数=180
　　减数=被减数—差=180-122=58

　　哈哈，老师出的这道题是要求孩子巧妙地利用第一单元“复习与提高”上所总结的规则。难是难了点，但说是超纲超标，人家可能不同意。007前面的评论过于狂妄无知了！
　　实际上，2楼漂漂妈提到了这种方法，可是007没有注意，也没有联系到孩子正在学习的内容。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-9 17:35 编辑 ].