火车大师，还没有看完，满脑子就是问题了。请允许我用提问的方式，向你表示敬意。有一个问题，好象是在我学习有理数和无理数之后就一直困扰着我。现在又被你这帖子勾出来了。我的问题是：

　　果真存在无理数吗？谁可以或有什么办法可以证明确实存在无限不循环小数？

　　在我有限的数学知识和想象中，无限小数总是会循环的！如果我们没有发现某个无限小数的循环规律（进而说它是“无理数”），那也不过是因为，我们只是看到、想到、算到了这个无限小数的有限部分。不是吗？
　　数字是有限的10个（从0到9），它们的排列总会有穷尽的！再无限小数下去，就会重复以前的排列，这不就是开始循环了吗？
　　我这种想法，在数学可以证实或证伪吗？.

　　学过中学数学的人，都有无理数的常识。我也有，而且知道一些证明无理数存在的方法。但是我又喜欢想象，还不见棺材不掉泪。
　　例如：√2=1.414213562…………，确实有办法证明它是无理数。但我想象的翅膀早已经顺着小数点所指的方向，飞向了无穷远的地方。看着小数点之后这串没有终结的数字，我就在想，总会有出现后面数字排列重复前面数字排列（循环）这种情况吧？那是无穷多的数字，什么情况都可能发生，谁又能保证说它们不循环呢？
　　我想说的是：如果我们没有发现某个无限小数的循环规律，那也不过是因为，我们只是看到、想到、算到了这个无限小数的有限部分。
　　又如：0.1010010001……（两个1之间依次多一个0），被认为是典型的无限不循环小数（即无理数）。可是，当我想象到小数点之后的某个1之后有无限多个0时，我就会觉得它并不是一个无限小数。数学家好像杜撰出了一个概念上自相矛盾“数据”。

　　数学学得多的人可能会笑话我无知的想象。可是，既然是无限小数，我的想象也是无限的。所以禁不住要怀疑那些严密的论证。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 13:23 编辑 ].

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2008-12-8 12:50 发表
再回到你的疑问，“当我想象到小数点之后的某个1之后有无限多个0时，我就会觉得它并不是一个无限小数”，实际上，按照这个数的定义，任何一个1后面都只能有有限个连续的0。所以这里并没有矛盾。

您这样说，还是不能禁止我合理地想象：在这个无限小数出现了无穷多个1之后的那个1，它的背后必然跟随着无穷多个0。然后，我就会进一步合理推断：既然这个无限小数中的某个1之后有无穷多个0，那么这个“无限小数”就是有限小数。这种从无限中看到有限，看到经典数学中的矛盾或不完备，会不会让经典数学感到尴尬？
火车大师，我跟您抬杠，可不是故意作对哟！我是觉得数学实在是太有意思了。在我看来，数学不完备，是人类的幸事。如果现行数学穷尽了真理，那就太没有意思了！
　　就说圆周率吧。当然可以用别的数学方式表达它，以避免用小数表达的尴尬。但是，如果一定要用小数表达它，谁能保证在3.1415……这个“无限小数”中不会出现从某一点开始又循环重复前面的数列这种情况呢？它可是一个无穷多的数列啊！用别的方法当然可以证明，可是，就用小数本身能够证明吗？我就要直接的证据，我不见棺材不掉泪。有直接的证据证明存在无限循环小数，有同样的直接证据证明存在无限不循环小数吗？在没有充分的直接证据之前，任何结论都是暂时的结论，有待进一步证实或证伪的假设。数学上说的那些“无限不循环小数”说不定在无限之中就循环了呢？
　　这好像是在说，用小数的特点来定义有理数、无理数存在缺陷。可是，这本来就是在说无限小数呀！不说小数，有理数和无理数的区别就没有意义了！这是不是经典数学中的缺陷呢？不知道元数学怎么解释这个问题？据说自从希尔伯特以来，数学家们发现了数学中的一些不完备的地方，不知道有没有提及无理数？
　　我的想象不能停止下来。我在想，所谓无限小数问题，好像是以十进位制为基础的代数体系中的问题，有理数、无理数之别是这种数学体系中的一种创制。如果以十进制中的1/3或2的开方作为另一种进位制中的基本单位，是不是就可以避免无限小数的问题（毕达哥拉斯的问题）呢？用十进位制表示的直角三角形三边的关系是c^2=a^2+b^2，多麻烦啊！能不能发明一种新的进位制，以合理表示c=a+b?十进位制统治了太长时间，让它弄得十分麻烦那部分数学，可不可以交给其它进位制来解决呢？计算机软件，好像就不用十进位来编码嘛！
　　这是一个数学知识不怎好的数学迷的问题。无知才会无畏。贻笑大方了！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 14:55 编辑 ].

　　我的理解是：你们虽然是在说“任何一个1后面都只能存在有限个连续的0”，但心里想的却是“任何一个1前面都只能存在有限个连续的0”。而我想的是，前面有了无限个1之后，接下来那个1的后面跟着的是无限个连续的0。难道我想错了吗？不过，经过这么多人教导之后，我也开始怀疑自中学以来怀揣的这个问题是不是一个假问题，怀疑自己想入非非，误入歧途。
　　我还有想不通的地方：虽然在不同的进位制中都有1，但它们的意义是不一样的。假如《圣经》里编的那个故事，上帝造物不是工作6天休息1天，而是2天打渔1天晒网，那么，现在的星期进位制就不是七进位，而是三进位。在这种情况下，10天算是几个星期？3.333333333……个星期！又假如那个故事里上帝工作8天休息2天，那星期计算就会是十进位制。10天就正好是1星期，就不会出现无限循环小数。
　　唉，我本事不够。想出一个例子倒是在证明十进位制更合理。谁能帮我想个例子证明十进位很垃圾？反正这是休闲数学，玩一玩不会亵渎数学吧！
　　一直觉得：这种证明很难，是因为这种证明本身用的就是十进位制中发展出来的精致数学，要用它证明它自己有缺陷，似乎不可能！要是谁能发明一种以1见方的正方形的对角线（或别的什么）为单位（或者把圆周率当成1）的计算系统，说不定就会有一片新的数学天地。哦，我又在遐想了。这是瞎想吗？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-9 01:10 编辑 ].

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2008-12-9 13:16 发表
在第几个1后面有几个连续的0，是可以根据规律计算出来的呀。

十进制不一定是最好的，但是大家已经习惯了。

你最后那段确实是瞎想。 改变进位制不会改变任何数学（除了一些数字游戏）。数学的理论和方法都 ...

　　 火车老师，您这么说，会不会扼杀一个数学奇才呀？
　　还有：根据规律计算，第无穷大个1后面，似乎就应该有无穷大个连续的0吧！我想错了吗？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-9 15:21 编辑 ].

引用:

原帖由 greenjyz 于 2008-12-24 22:13 发表
至少可从直观的方法证明无限不循环小数是存在的:
任取一个小数,比如: 0.153497826, 将小数点后的数字接在后面再写一次, 但任取两个不相同的数字交换位子, 于是虽然数字是"重复"了,但小数并未"循环"; 再将小数点后的 ...

　　我理解您的这种设计。但是，您觉得这种一段数字之后再累积叠加另一段更长的数字，如此进行下去，就不会循环重复，那是因为您作了分段式的理解或想象。可是，就只有0~9这十个数字，它们排列和组合都是有限的。如果我不从那些叠加点去想象小数点后的数字排列，而是任取一点去观察和想象，结果会是什么呢？我不知道，但不敢断定在一个无限小数中的某个节点其前与其后的数字排列永远不会出现重复，因为它是无限的，这种情况难道不可能出现吗？
　　此外，您例举的是 0.153497826……，您那个法子似乎可以进行下去。如果我例举一个0.111111……，那你依法炮制一个无限不循环小数出来看看！
　　我是在抬杠吗？如果是，那就当我用这种方式让您在平安夜里取个乐子吧！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-24 23:06 编辑 ].

讨论这样的问题，我没有这个功力。但它确实是我自学无理数以来的一个困惑。思想陷入了一个怪圈里：如果有无理数（无限不循环小数），那么在小数点之后的无限多个数中就有一种可能，即从某个数字起，后面的数字排列重复此前的数字排列；如果有重复，它就成了无限循环小数。换句话说，无理数是不存在的。或者说，无理数本身就是一个有内在矛盾的概念。
　　我一直希望有人能够理解我的困惑，并且告诉我为什么我这样想是错的。但好像还没有人能够让我放弃这种想象。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-25 15:17 编辑 ].