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[数学] 三年级放飞:60x50 的积末尾有( )个0

三年级放飞:60x50 的积末尾有( )个0

Alex 的三年级第一次单元测验中有这样一道选择题:
60x50 的积末尾有( )个0
A. 1             B. 2             C. 3
Alex的答案是B。正确的答案是C。

是不是粗心
可能有些BBMM会把这道题看成是一时粗心,这种说法有道理,毕竟三年级的小朋友中,粗心是常态。

为了回答这个问题,我特意询问了 Alex,“你做这道题是有没有把乘法算式写出来?”
Alex:“没有,我当时觉得这道题很简单,前面的50和60分别有2个零,那么积也有2个零。”
我问:“那么,你检查的时候是如何验证这道题的呢?”
ALex:“我没有验证。”
我问:“你知道验证的方法吗?我们曾经讨论过,算术题就像是走路,从 A 开始,到 B 结束,我们无法知道 B 这个地方是不是我们的目的地,如何来验证呢?”
Alex:“我可以从 B 走回 A,如果能走回去的话,说明结果没错。”
我:“那么这道题的目的地在哪里呢?”
Alex憋了很久,说:“有几个0?”
我:“什么有几个0?”
Alex:“积”
我:“什么的积有几个0?”
Alex:“50 x 60 的积有几个0?”
我:“对啊,这好像又回到了起点?”
我原以为经过这一番问答,Alex会写出这样的算式,即:
50 x 60 = 3000
希望Alex能够明白,面对一个数学问题,首先是用数学的方式来表达,然后用数学的方法去解决。在做这样的题目时,没有把积算出来之前,脑子里边蹦出来的那个选择不是数学的结果,只是一个猜想,因为它没有经过数学的方法进行验证。显然,我的希望落空了,这场父子对话进入了死胡同,于是我们暂时中止了对话。
其后,我对这场对话进行了分析,我发现,对话虽然没有得到预想的结果,但仍然是有意义的,它帮助我发现一些新问题,即这个错误不是粗心造成的,而是更严重的问题 -- Alex在做这道题时没有采用数学的方法。

口诀
既然题目问积后面有几个零,那么我们首先要把积算出来,再数数有几个零,这是笨办法,可是三年级刚开始学习十位数的乘法,笨办法可以应付了,重要的是这个笨办法是数学的办法。既然 Alex 没有采用数学的方法,那他又是根据什么来做出选择的呢?怀着这个疑问,我仔细问了 Alex。Alex 回答道:“我做这道题时,想到老师课堂上说,计算50 x 60的方法是,先把 50 和 60后面的0扔在一边,计算 5 x 6 = 30,在30后面把刚才扔掉的0拣回来,填在后面。”我心想:“是啊,这样想确实没错,前面扔掉两个零,再拣回来,可不就是2个零吗?”
这种口诀我听到过,不过我小时候对这些东西从来没有认真对待过,因为我觉得只要会计算乘法,根本就不需要口诀。这种数零的方法我用到过,特别是在检查 Alex 的作业时。对此,我感到了困惑,口诀对数学而言到底意味着什么呢?
Alex的妈妈说:“是的,我小时候记了很多这样的口诀。”
hxy007说:“如果孩子事先明白了乘法是怎么回事,这些口诀才可以帮助孩子计算,但仅仅是帮助而已。不能把孩子能按照记住的口诀做题,看成是孩子懂了。”
听了大家的话,思索了好一阵,我的结论是:
口诀不是数学,它只是一种“算术”。你可以根据口诀做计算题,仅此而已。如果你不在心里对这个口诀问一声“为什么?”,那这个口诀对你而言就是刘谦的一个魔术,你只是茫然不知看着魔术师在表演一个有关数字的魔术。口诀是个魔术。

Alex的妈妈看到这感叹到:“唉,难怪我的数学不好,原来我学的是‘算术’啊。”

“散步”于小学数学一到二年级
今天,2009年9月23日,Alex在学校里边一切正常,课堂作业较少。我跟Alex终于有了一次饭后散步的机会,自 Alex 升到三年级以来,Alex的作业一直很多,他经常忙得喘不过气来。
昨天,我跟 Alex 说:“你能不能跟数学老师说说,能不能把计算作业减少一点?”
Alex说:“这个作业又不是我们数学老师说了算的,她不能减的。再说数学作业也不多啊!”
我:“你看,我们把减法塔都研究好了,却始终没有时间写总结,这样老是不动脑子想问题,脑子会锈掉动不起来的。”
Alex:“是啊,计算题太简单了,都不用动脑子。但是我可不敢跟老师这么说,要不你说吧,你可以跟我们数学老师联系啊,发邮件,打电话都可以。”
我:“嗯,可是,可是,我也不敢啊。”
Alex笑了笑,潇洒地转身,洗洗睡了。

难道父子间的这场“敢、不敢”的对话被神听到了,又托梦给老师了?我不知道,不过今天的作业少些了。终于又可以散步了,这最最重要了。
散步时,我对Alex说:“你们班上现在有几个同学?”
Alex:“49个啊”
我:“哦,那你们每次出去出操的时候,老师是不是要点人数啊?”
Alex:“对啊”
我:“是不是像这样报告,三一班应到49人,实到48人,缺席1人,他在拉大便。”
Alex一边说一边坏笑到:“差不多,不过没有拉大便那句话。”难道 Alex 想起了 J 同学,因为 J 同学老喜欢画便便,说便便,人称 JBB。
我:“那你有没有注意到,老师每次是怎么点人数的呢?”
Alex想了想:“老师好像都是默数的,不知道她怎么数,反正每次排队的时候,她都让我们把空位填好。”
我:“哦?什么空位啊?”
Alex:“就是有些同学没来,有空位,让后面的同学向前站,不要在中间留下空位。”
我:“哦,我知道了。那么假设你是老师,你准备用什么办法来点人数呢?”
Alex:“这个,我没想过啊。你想怎么数?你先说一个方法,我可以参考。”
我:“哦,让我当老师的话,我才懒得去数呢,就让同学们1、2、3、4、、、48、49这样报数,我只要问最后一个同学,他报的术就是总人数。”
Alex:“这个办法真得超笨啊。”
我:“是啊,我突然忘了加法和乘法,所以我就用最笨的办法,一个个数,反正也不要我数。”
Alex:“那我有办法了,我们有49个同学,排成4列,我只要数一列有多少人,然后用4来乘,在加上余数,就知道总人数了。”
我:“原来可以用乘法和加法啊,这好像快了很多。”
Alex像是突然想起了什么,急道:“我们老师可能用的是减法来数的。我们班的总人数,减去一个领操的同学,正好是4列12排。如果人少了,只要看最后一排就知道少了几个人。”
我:“哦,你看,要点人数的话,我们可以先数数、用加法、乘法,现在还可以用乘法和减法,我们学到的方法越来越多了。”

过了一会,我问Alex:“我有个问题,为什么 6 x 8 = 48?”
Alex:“乘法口诀是这样写的啊!”
我:“可是,万一我像刚才那样忘了乘法口诀怎么办?”
Alex:“那你只能一个个加了,6 + 6 + 6 ... + 6。”
我:“要是我加法也忘了呢,我忘了 6 + 6 等于多少,这怎么办啊?”
Alex:“你怎么这么笨啊,加法是一年级学的,难道你一年级白学了?”
我:“我忘了啊。哦,等等,想起来了,我可以一个个数啊。”说到这,我掰着手指,认真的数着:“我有6个苹果,7、8、9、10、11、12,我知道了, 6 + 6 = 12。我记得一年级的书上就是这么教的。”
Alex:“是啊”
我继续说道:“这样数着数着,我们熟悉加法了,不用再数了,5 + 3 = 8,6 + 8 = 14,就有了加法口诀。然后,我们开始学习乘法,加着加着,我们熟悉了乘法,就有了乘法口诀。可是,如果我忘了 6 x 8等于多少,是不是还有什么简单的方法可以算出来?”
Alex笑道:“5 x 8 = 40,如果你记得这个的话,结果上再加一个 8,6 x 8 = 48。”
我:“哦,我想起来了,5个8再加一个8,就是6个8。”

我想了一会,继续说到:“原来我们学的数学就是从数数开始,到加法、减法,再到乘法、除法,想不到数数这么简单,可以搞出这么多花样啊。我记得数数上好像还有别的一些方法?”
Alex:“嗯,可以画数轴,可以成排成列地画出来。”
我:“可是,我又有一个新的问题,二年级我们学了 300 + 500 = 800,我想起来这是怎么算的?一个个数吗?我可没长这么多手指。”
Alex:“可以把 300 + 500 里边的两个零扔掉、、、爸爸,我好像又在玩魔术了。”
我:“哈哈,是啊。假如我是一个英国人,我的问题是 Three hundred plus five hundred is equal to bala bala bala。你看这没零啊!这下你没零可扔了吧?”
Alex 思索了一会:“爸爸,hundred 是什么意思啊?”
我:“Hundred 是 百,one hundred 就是100,two hundred 就是200。”
Alex:“那就好办了,我们可以把‘百’看成一个单位,就像 hundred 那样,3个百加5个百等于多少啦?”
我:“哦,那结果肯定是 5个百,如果把‘百’开成单位的话,我掰手指都可以算出来。”
Alex:“这就像跟我们算 300 毫米 + 500 毫米时,把 300 毫米看成 3 米,500毫米看成 5 米,3米 + 5米 = 8米 = 800毫米。”
我:“这就像我们用放大镜去看天平一样,3 + 5 = 8,左边是3个+5个,如果我们用“放大镜”放大100倍就是 300 + 500,要保持天平的平衡的话、、、”
Alex抢答道:“右边那个8,也要放大 100 倍,否则天平就歪了。”

至此,散步结束,嗯响门铃,回家,Alex继续写作业去了。

数学逻辑之独立于语言和符号
1、数学是世界人民的数学,生活在地球各个角落的人们,尽管语言不同、数字符号不同,但是这些不同从来没有妨碍到数学。他们可以用同样的加减乘除去计算,结果也是相同的。
10 = ten = X = ジュウ = 열
2、数学中的规律,来自于自然界、来自于生活、来自于,不管用何种语言去表示,交换律、结合律都是一样的。要保持这一点,数学中的证明永远与利用语言的诡辩不同。
3、上面说到的口诀仅存在于阿拉伯(实际是印度)数字符号中。如果做深入的研究,我们可以发现是因为数字0的出现,以及用 10 来代表“十”,才赋予了阿拉伯数字符号具有符号与数学内在的统一,也正是因为这种统一带来的简单和美,使罗马的数学家不惜以自己的生命为代价,去保护它。基于同样的原因,也使它在世界上被广泛接受。

口诀这么一无是处,为什么还有老师这样教授呢?
这个问题,Alex曾经问过我,我当时没能回答上来。子非鱼,安知鱼之欲焉。但既然有人问到了,我只好在这里揣测一番了:
1、老师和学校的教学目标不是把学生教成数学家,绝大部分的学生只会用到简单的算术,要不要按照更高的要求去进行教学工作,这是否是值得和有效率的教学,值得考虑。
2、不是每个同学对这些深层次的问题有兴趣。同样都是孩子,起点是差不多的,但是不同的家庭教育、不同的老师可能会将孩子引向不同的兴趣和思维模式。如果一个学生对数学有兴趣,甚至立志研究数学,想成为数学家,那么这个学生完全可以对自己提出更高的要求,不去满足于那些浮皮潦草的“术”。
3、学生太多,课堂时间分摊到每个学生身上就少得可怜了,而讨论一些较深的数学问题,同学之间的差异会非常大,如果不能给每个孩子充分思考的时间,也许用简单的口诀效果会更好些?
4、孔子说过,如果我告诉你屋子的一个角是什么样,你对另外三个角毫无探索的兴趣,那我也懒得讲了。老师说了4,并没有禁止学生去想3、2、1。所以,如果学生不满足于老师说的口诀,偏要问一个“为什么”,深入的思考下去,老师不仅不会禁止,反而会欣喜若狂。
我是一个三年级的BB,以上内容纯属揣测,或不完全,或不成熟,有理的你听着,没理的一笑置之。

最后,重申一点
此文并非指责老师或者学校的教育方法,只是我跟Alex学习数学的一点心得,我们只是选择了我们可以接受和选择方式学习数学,写出来与各位 BBMM 分享。

教师节刚过,我和Alex在心底里给我们各自的老师鞠躬致敬了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-26 10:54 编辑 ].

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引用:
原帖由 yvonne_tina 于 2009-9-23 19:15 发表 \"\"
数学的方法是不是把积算出来啊?
是啊。既然题目问积后面有几个零,那么我们首先要把积算出来,再数数有几个零,这是笨办法,可是三年级刚开始学习十位数的乘法,笨办法可以应付了。.

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引用:
原帖由 hxy007 于 2009-9-24 00:31 发表 \"\"

  我向你鞠躬致敬
  请快点来给11和J同学上课吧!
下次我们两个当学生。

游戏背景:唐朝的长安
老师,由孩子扮演。
来自罗马的留学生,他只会罗马数字。
来自印度的留学生,他会印度数字,即现在的阿拉伯数字。
来自英国的留学生,他只会 one, two, three, ... ten, thirty。
本地学生,他只会中国 一、二、三、、、十、、、三十。

小老师的任务是教会大家计算 10 x 30。

hxy007当罗马学生,最好学会罗马数字和加减乘除的发音,这样更有意思。我们会给罗马学生一个十分特别的标识作为奖励。.

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引用:
原帖由 蓓欣妈 于 2009-9-27 13:46 发表 \"\"


本周周末卷,孩子居然在40×10=?这道题目上空着,口口声声说,老师怎么出题目的,不是我们才教2位数和3位数乘以1位数吗?这都乘以2位数了,我怎么做得出来呢?
我真的很晕,只能说,那你把上次测验的卷子拿出 ...
建议按照教科书上的教。40盒鸡蛋,每盒10个,请问有共有多少个鸡蛋?数数、加法、减法、乘法都可以用。.

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引用:
原帖由 谷子 于 2009-9-28 10:38 发表 \"\"
再来放飞一个吧,我最近遇到难题了。
不知你注意到没有,近期的数学小卷子上常有这样的题目:
“请1、2、3、5、6、7这些数字中选出一些数字组成2个三位数,这两个3位数和最大是(),差最小是()。”
原题是否这 ...
这个问题我发现了,老师也教了一些办法,不过把这些办法当作教条去死扣是不行的,最好是让他们在尝试中领悟到这些办法,自己总结出来就更好。

做个游戏:
准备一副扑克牌,只保留四种花色的1-9,然后双方任意抽三张,共6张,计算差最大、或差最小、或和最大、或和最小,输的人把手绢顶在头上。.

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引用:
原帖由 嫣然妈妈 于 2009-9-29 09:51 发表 \"\"
有个问题求助ccpaging:
我经常让女儿帮我算帐单或者别的计算方面的东西,因此简单的乘法、除法竖式还是没什么问题的。有一天我问女儿:“这瓶1000毫升果汁,每天喝80毫升,喝几天?”1000除以80,她上来先分别去掉 ...
除法还没教,不过除法是可以用乘法来验证的,这一点二年级是学过的,所以这个问题可以用乘法发现问题。
如果有时间的话,就把 1000 ÷ 80 应该如何计算,慢慢从数数一直归纳出来,让其领会其中的规律。.

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整数王国的将军们

可以从整数王国讲起。在整数王国里边,有很多很多,无穷无尽的整数。在这里,0 是国王(为什么?),1是王后,他们管理着许多将军,将军下面有许多士兵。例如:

2 是最大的大将军(为什么?),他的士兵有4、6、8、10、12、、、都是偶数(又称双数,取成双成对的意思)。
3 是也是将军,他的士兵有 9、15、21、27、、、这些士兵有什么规律?
5 是将军,他的士兵有 15、25、35、、、这些士兵有什么规律?

2 将军碰到 5 将军
如果把 2 将军和 5 将军用乘法钩子连起来,那么结果的末尾有且只有一个0。
如果把这个结果跟其它的任何一个10以内的将军用乘法钩子连起来,其结果的末尾有且只有一个0。
除非这个结果同时碰到了 2 将军 和 5 将军,这时结果会多出一个0。

请同学们验证以上猜想。

1x2x3x...x40的末尾有几个0
如果我们以上的猜想是正确的,那么这个问题就变成了找出 1、2、3、4、、、40里边到底有多少个 2 将军 和 5 将军。

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 里边有 5 个偶数,所以至少有5个2将军,有2个5将军。可是这里边有2个特殊的数,他们全部是2将军做成的,即4,8。
11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 里边有 5 个偶数,所以至少有5个2将军,有2个5将军。
、、、
且慢,让我们想想,好像有什么规律。每10个数里边,必然有5个偶数,即5个2将军,和2个5将军。
所以,1、、、40里边至少有 4 x 5 = 20个2将军,4 x 2 = 8个5将军。

别忘了,还有几个捣蛋鬼哦,他们完全是2组成的,那就是 4, 8, 16, 32,这样分别多出来 1 + 2 + 3 + 4 = 10个2将军,共20 + 10 = 30个大将军。
发个感慨先,2将军的部下真是多啊,不愧是最大的大将军。

可是,我们只有8个5将军,2将军再多,也没法在结果中凑出新的0。

所以,1x2x3x...x40的末尾有8个0。同学们,你们说这个结果对吗?

原来5将军也埋伏了一个奸细
等等,我好像发现不仅仅是2将军有奸细,5将军也有奸细,那就是25,25里边多暗藏了一个奸细,所以上面的结果不正确。

正确的结果是:
1x2x3x...x40的末尾有9个0。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-10-11 17:59 编辑 ].

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你真厉害哦

引用:
原帖由 ccpaging 于 2009-9-28 13:38 发表 \"\"
准备一副扑克牌,只保留四种花色的1-9,然后双方任意抽三张,共6张,计算差最大、或差最小、或和最大、或和最小,输的人把手绢顶在头上。 ...
这几天,几乎天天都玩这个游戏,特别是差最小,并且产生了一个家内著名的口头禅:

“你真厉害哦,这2个三位数的差都小于100了、、、”

妈妈听到这话,开始自鸣得意起来,不再摆弄扑克牌。这下就轮到 Alex 和 我大展身手了,嘿嘿。

从这个游戏里边可以学到很多东西,远不是书本上那几道题可以概括的,不可言传,玩玩就知道了。

让我们再次高喊:你真厉害哦!

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-10-11 00:23 编辑 ].

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未经凝视的世界是毫无意义的

这道题要想整清楚来龙去脉,就不得不讲因子和因式分解,要讲这个又不得不讲素数。可是这些东西三年级的小朋友都还没学过,这显然超纲了。

这道题的重点是要计算末尾有多少个0,关键是找出1-40里边有多少个5的倍数,如果把这个规律交代明白了,问题自然迎刃而解。可是,同学们一定会问:“妈妈,你怎么知道的呢?猜的吗?验证了吗?感觉到的吗?我怎么感觉不到呢?”诸如此类的问题。如果不去深究这些问题,把它们弄明白,那么“要计算末尾有多少个0,关键是找出1-40里边有多少个5的倍数”就只能是一个教条,在同学们以后运用这个教条的时候,容易掉进出题老师的坑里边。

曹文轩老师说,未经凝视的世界是毫无意义的,数学也有同样的道理。可能有部分同学能感觉到这个规律,甚至能对感觉到的规律进行验证,无疑这样的孩子是聪明的,但这还不够,因为这带有很大的偶然性,今天此题想到了,明天那题还能想到吗?其实,如果我们从学习数学的角度出发,这题能否解出,也并没什么了不起,一题而已。即使解出了,却没有去进一步地凝视它,那就太可惜了。

所以,这道题不做则罢,要做就要究根问底,就要把素数、因子、因式分解讲清楚,至少这是值得探究的。

整数王国的故事源自《整数王国的故事》和《数字魔鬼》这两本书,有时间和精力的BBMM不妨跟孩子一起展开想象,也许能在同学们接受能力之内,理解这些高年级数学的东西。

不过,并不是每个孩子都需要探究到这样的程度,由孩子来决定做到什么程度会比较明智。孩子的心智发展其实是有其自然的规律,逆规律而行,硬要通过训练等方式使孩子理解这一些高年级的数学概念,也许最终孩子能够理解,但肯定会花更多的时间和精力,所谓事倍而功半,效果未必好过等孩子心智发展到高年级的那个程度再去学习。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-10-11 17:58 编辑 ].

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