延长CI2交AI1于E
延长BI1交AI2于F
角EI2 I=45
角FI I1=角EI I2=45
所以角I1EI2=180-(角EI2I+ EII2)=90
同理角I2FI1=90

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-16 20:57 编辑 ].

引用:

原帖由 老姜 于 2010-7-17 13:17 发表
还是这个图，继续问：三角形ＡＢＣ的内切圆与三角形ＩＩ１Ｉ２的外接圆哪个更大一些？

一样大

tuE.jpg (33.09 KB)

2010-7-18 08:06

证明: 设三角形DAB、三角形DAC、三角形ＡBC的内切圆半径分别为r1、 r2、 r
         可证:  r^2=r1^2+r2^2  (这个花了些时间)
         而    (I1I2)^2=2( r1^2+r2^2 ) (这个图上易找到关系)
         所以  I1I2 = sqrt(2) r
        设三角形II1I2的外接圆半径为R,
        易知, 2R=I1I2 / sin(180-∠I1I I2)= I1I2/sin(45)=2r
        故R=r

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-18 08:09 编辑 ].

引用:

原帖由 盼星星 于 2010-7-18 07:08 发表

没看懂能否解释一下，多谢！

I, I1分别为三角形ABC, △ABD的内心, 所以I, I1在角B平分线上, 设其与AI2交于E
I, I2分别为三角形ABC, △ACD的内心, 所以I, I2在角C平分线上, 设其与AI1交于F
角EI2I=角ACI2+角I2AC=(角DAC+角C)/2=45
角FII1=角IBC+角ICB=(角B+角C)/2=45=角EII2
所以角I1EI2=180-(角EI2I+ EII2)=90
同理角I2FI1=90

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-18 08:49 编辑 ].

引用:

原帖由 lucyluan1799 于 2010-7-18 12:43 发表
这个图是你画的吗？

是与右边三角形同名的那个家伙画的..

杀鸡用牛刀, 是用cad软件画的..

引用:

原帖由 老姜 于 2010-7-18 18:38 发表

这是所有解法里最简单和漂亮的一个。献花。

谢谢!将姜老师的表扬在女儿面前显摆了一下.

证r^2= r1^2+ r2^2这个好玩.
    设a是斜边, b与c是直角边,
               b+c=2r+a
      所以 b^2+c^2+2bc=4r^2+4ra+a^2
        而   b^2+c^2=a^2
              bc=2(r^2+ra)
            S△ABC= r^2+ra  
      同理  S△ABD=r1^2+r1b, S△ACD=r2^2+r2c
         又  S△ABC=S△ABD+ S△ACD
      所以 r^2+ra= r1^2+r1b+ r2^2+r2c
         而  ra=r1b+r2c(= 2S△ABC)
              r^2= r1^2+ r2^2.

引用:

原帖由 老猫 于 2010-7-18 23:21 发表

顺便提一句，r^2= r1^2+ r2^2直接用相似比和面积就出来了。

是的. 我绕圈子了. 或者,
  S△ABC= r^2+ra 这个在图中面积加加就出来了..

在原题范围, 发现两个好玩结论:

1) AI=I1I2
2) r+r1+r2=AD
(证明易, 略了)

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-19 23:37 编辑 ].