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标题: [数学] 休闲数学小品（109＃无限困惑） [打印本页]

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-29 21:26 标题: 休闲数学小品（109＃无限困惑）

小序
有关奥数的讨论，已经告一段落了。在该帖的最后，我提供了一些“好数学”和“不好的数学”的讨论；后面推荐了几本书。帖子的链接在这里：
http://ww123.net/baby/thread-4542628-1-1.html

本帖主要是写一些好玩的数学小品，适合从小学高年级到高中的学生，以及有兴趣的数学爱好者们阅读。题目起名休闲，就是说不希望大家带着思想负担来读——这里的东西大概不会对你的数学成绩有立竿见影的影响，或者帮助你在奥数比赛中取得好成绩。最好是闲时来看看，玩味玩味就好。如果读者朋友们能够从中获取一丝乐趣，或者发出“真有意思”的感叹，那作者就很满足了。

同时，既然名为休闲，更新将是不定期的。兴之所至的时候我会考虑一下，然后有空再贴上来。

后面有网友提议我出一些题目。题目我大概不会出了。事实上我每个小节都会有意或者无意留下一点尾巴，有些过程一笔带过，读者们可以补上细节，作为深化理解和复习巩固之用；有时候也可以找到未讲完的地方深入思考，说不定会有小小的发现。以前自己读书时看到“其证明留给读者作为练习”总是恨得牙痒痒，现在终于轮到自己使用这个特权了，真高兴！

目录
2#: 有限小数和无限循环小数
39＃：化循环小数为分数
80＃：一个论文题目
85＃：一些符号约定
86＃：多普勒效应
93＃：循环节长度之谜
97＃：循环节长度之谜（续）
100＃：循环节长度之谜（三）
101＃：循环节长度之谜（四）
104＃：循环节长度之谜（五）
106＃：费马小定理
108＃：同余
109＃：无限困惑

[ 本帖最后由火车是运茶的于 2008-12-29 20:04 编辑 ].

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-29 23:58 标题: 有限小数和无限循环小数

我们知道实数分为有理数和无理数。无理数是无限不循环小数，有理数或者是有限小数，或者是无限循环小数。这里就来讨论有理数的小数形式。

我们自然要问，什么样的有理数可以写成有限小数，什么样的有理数只能写成循环小数。假设我们手头有一个有限小数1.234567，如果我们抹去小数点，就变成整数1234567。抹去小数点这个操作，用数学的语言来说，就是乘以10的某次幂（整数幂，下同）。也就是说，一个有限小数，可以通过乘以10的某次幂而变成整数。

反过来，如果一个小数可以通过乘以10的某次幂变成整数，那么它一定是一个有限小数。这些从有限小数的定义很容易看出来。进一步，任何无限循环小数因为有无限的小数位，所以不能通过上面的方法得到其对应的整数。

现在来考虑有理数的分数形式。假设现在有一个有理数p/q，其中p和q互素。根据上面的讨论，如果p/q对应的小数是有限小数，那么必然存在10的某次幂可以被q所整除。这意味着q不包含2和5之外的素数因子。（网页上不好写指数和下标，真痛苦）

现在可以得出这样的法则：一个有理数，写成其既约分数形式p/q，如果q只包含2和5这两个素数因子，p/q就可以写成有限小数。反之，只能写成无限循环小数。

读者自然要问，为何有限小数对应的既约分数的分母只能包含2和5呢？答案在于我们使用的进位制，10。因为10的素数因子只有2和5。这点可以从前面抹去小数点的地方看出来。

进一步，如果我们考虑其它的进位制，那么一种进位制里的有限小数是不是就有可能会变成另外一种进位制里的无限小数了呢？答案是肯定的。这完全取决于所考虑的有理数在特定的进位制中，其既约分数的分母是否只包含在进位制数中出现的素数因子。

举个例子，十进制的1/3在十进制中是无限循环小数0.33333333……，在三进制中就是有限小数0.1。

本节说明，有限小数和无限循环小数是相对的。下一节讨论循环小数的循环节。

[ 本帖最后由火车是运茶的于 2008-8-30 20:54 编辑 ].

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-30 12:05 标题: 疑惑：0.9的循环是否等于1？

因为：1/9=0.1的循环
8/9=0.8的循环
所以：0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环

因为：1/9+8/9=0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环
1/9+8/9=1
所以：0.9的循环=1？

可是我怎么也想不通0.9的循环怎么会是1呢？

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 12:09 编辑 ].

作者: 郝老妈 时间: 2008-8-30 13:06

o.9的循环是无限循环小数，0.9的循环只是无限逼近1，但不是1。只是无限逼近。
如果按楼上的说法。0.9的循环=1，那是近似值取位的问题。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-30 15:12 标题: 回复 4#郝老妈的帖子

从道理上讲是如您所说0.9无限循环严格意义上讲不等于1，但是从推论上说好像就是0.9的循环=1，不是近似问题，见3#推论。

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 15:23 编辑 ].

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 16:51

3楼的推理是正确的。但是由于其无限的小数形式，使得理解起来有一定的困难。有两种方法可以绕过这些困难。这两种方法的基本思路都是化无限为有限。

第一种方法就是用前面讲的，变换进位制，化无限小数为有限小数。1/9写成十进制的小数是0.11……，写成九进制的小数是0.1；依此类推，可得下表：

十进制分数十进制小数九进制小数
1/9       0.111……    0.1
2/9       0.222……    0.2
3/9       0.333……    0.3
4/9       0.444……    0.4
5/9       0.555……    0.5
6/9       0.666……    0.6
7/9       0.777……    0.7
8/9       0.888……    0.8
9/9       0.999……    1

注意最后一列，九进制里面只有0 1 2 3 4 5 6 7 8这九个数字，满9就进位了，所以0.8+0.1=1。

第二种方法留到下一节再一起讲。

[ 本帖最后由火车是运茶的于 2008-8-30 17:03 编辑 ].

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-30 17:16 标题: 回复 6#火车是运茶的的帖子

大师，按照你这么说，3楼的推论是错误的，1/9，1/3等根本就不能用十进制来表示，是吗？.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 17:41

引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-8-30 17:16 发表
大师，按照你这么说，3楼的推论是错误的，1/9，1/3等根本就不能用十进制来表示，是吗？

惭愧，大师不敢当。我的网名比较拗口，叫火车就可以了。

1/9，1/3都可以用十进制表示啊，可以表示为分数或者循环小数。只是不能在十进制中用有限小数表示罢了。3楼的推理没有大的问题，只是加法的处理有一点技术上的困难——无限小数怎么相加呢？如果还要处理进位就更难办了。不过中小学没有必要搞这么严密，有时候依赖直觉和观察，也就糊弄过去了。一定要严格的话，化成分数进行处理就行了。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-30 18:02

现在想明白了，1/3不等于0.3的循环，所以就得不到后面的荒谬的结论了（1也不等于0.9的循环）

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-30 18:04 标题: 回复 8#火车是运茶的的帖子

唉，这个是我女儿四年级留给我的问题，9楼的回答是她刚得出的结论。小孩子的问题还是要给她弄明白的。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 18:05

这这这……

1/3的确等于0.3的循环，
1也的确等于0.9的循环。

不知道我哪里没有解释清楚，以致你得出9楼的结论。.

作者: 香甜蛋糕 时间: 2008-8-30 18:08

火车，不知您为何将数学以“好数学”“不好数学”区分？
也许我的提问会有问题，我对数学不精通，但是对您的这个主题的讨论很感兴趣，特别是在这个板块里能够看到别具一格的探究性的话题。谢谢！.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 18:09

哦，原来是小孩子写的。

2楼的内容可能小学生看起来比较吃力，需要大人从旁协助。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 18:20

引用:

原帖由 香甜蛋糕 于 2008-8-30 18:08 发表
火车，不知您为何将数学以“好数学”“不好数学”区分？
也许我的提问会有问题，我对数学不精通，但是对您的这个主题的讨论很感兴趣，特别是在这个板块里能够看到别具一格的探究性的话题。谢谢！

这个概念最早是已故数学大师陈省身提出来的。他在不同的场合反复提到过这个区分。例如（http://ww123.net/baby/viewthread ... p;page=4#pid3288518）：

梁东元：那么，什么才算是好的数学呢？难道还有坏的数学？

陈省身：好的数学就是有开创性的，有发展前途的。好的数学可以不断深入，有深远意义，能够影响许多学科。比如说，解方程就是好的数学。搞数学都要解方程，一次方程容易解，二次方程就不同，等等。这一类的数学是不断发展的，有永恒价值，所以是好的。而不好的数学就是那些仅限于把他人的工作推演一番的研究。还有一些数学虽然也蛮有意思，但也仅仅是一种游戏罢了。

梁东元：究竟怎么样才算不好的数学，这方面应该也有不少例子吧。

陈省身：举个例子，大家也许知道有个拿破仑定理。据说这个定理和拿破仑有点关系。它的意思是说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边的三角形。各边上的等边三角形也可以朝里面作，于是可以得到两个解。像这样的数学，就不是好的数学，为什么？因为它难以有进一步的发展。当然，你可以把它纯粹当作一种游戏，做事累的时候用来解闷，也是很有意思的。再把话说开来，比如现在世界上，还有国内每年发表的论文，多数是没有什么意义的平庸之作，只是在已经有的工作上做一些枝节的推广和改进，没有多大的创造性。

当然，选择好的方向，做好的数学，需要很强的能力。有能力做好的数学的人都是用功的，因为重复别人总是容易一些，但你想创新就要用功。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-30 18:36 标题: 回复 11#火车是运茶的的帖子

虽然是孩子得出的结论，但是这个困扰她多时的问题也是在看了您的帖子后得出的：
1、您不能用10进制来解释，只能转而用9进制来解释
2、既然不能用10进制解释，3楼的整个演算过程又没有出问题，那么就说明1/3表达为0.3的循环有问题
3、转而又去其他网站搜索了一番，http://q.163.com/mathsci/blog/yu ... 2949720080319393596

然后她就一本正经的告诉我她得出的结论，1/3和0.3的循环是无限接近的概念，还告诉我如此这班，我们的教科书是否有问题了？.

作者: 香甜蛋糕 时间: 2008-8-30 19:16 标题: 回复 14#火车是运茶的的帖子

谢谢火车的举例和解释。
最后的一句话蛮经典的：有能力做好的数学的人都是用功的，因为重复别人总是容易一些，但你想创新就要用功。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 19:52 标题: 回复 16＃香甜蛋糕的帖子

那句话也是陈省身说的。

我只是拾人牙慧而已。.

作者: qq12 时间: 2008-8-30 20:14 标题: 回复 2#火车是运茶的的帖子

我们先弄明白十进制和三进制的表达方式
十进制             三进制
  1                      1
  2                      2
  3                      10
  4                      11
  5                      13
  6                      20

十进制：1/3 小数形式表达为0.33333.....
三进制：1/10 不等于0.1，分母应读为“一零”，不能读成“十”，如果说等于0.1，就是采取了10进制的计算规则。

所以您的论点存在严重的漏洞。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 20:28 标题: 回复 15＃hxwcwctt 的帖子

我不是不能用十进制来解释，只是用九进制解释比较容易令人接受。关于进位制，我不打算过多解释。看起来令千金对进位制有一点误解。应该说，进位制仅仅是表示数字的一种形式。同一个数字，在不同的进位制下面有不同的写法。例如，17的二进制表示为10001（1x16+1），三进制表示为122（1x9+2x3+2x1），九进制表示为18（1x9+8），这些数字表示的是同一个数。所以不能说我换了一个进位制来解释问题，就认为十进制不能表达1/9。

不能表示为整数的有理数，总是能用分数表示出来。这个分数可能写成有限小数，也可能写成循环小数。这些前面已经讲过了。需要强调的只是，一个分数和他的小数形式是等价的，表达的是同一个数。也就是说，1/3和0.3的循环本来就是同一个数。

对于1=0.999……这个事实，可以简单理解为0.999……是1的另外一种写法。

任何时候，请不要轻易怀疑教科书。这和独立思考没有矛盾。合理的怀疑，应该建立在充分的理由之上。

无限的概念的确比较难以理解。我看了你给出的链接。那里的推理和结论都是错误的。我没有看过兰佐斯的《无穷无尽的数》。所引或为笔误。

回到二楼的结尾，如果你对循环小数的无限性感到困惑，请换一种进位制去看它。或者，把它转化为分数。

[ 本帖最后由火车是运茶的于 2008-8-30 20:36 编辑 ].

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 20:42 标题: 回复 18#qq12 的帖子

十进制的5写成三进制应该是12吧。

我没有写得很仔细，让你误解了。我的意思是
举个例子，十进制的1/3在十进制中是无限循环小数0.33333333……，在三进制中就是有限小数0.1。

那个0.1是三进制的0.1，不是十进制的0.1。它表示的是三进制的1/10，也就是十进制的1/3，正如十进制的0.1表示十进制的1/10一样。

[ 本帖最后由火车是运茶的于 2008-8-30 20:48 编辑 ].

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-30 20:45 标题: 回复 19#火车是运茶的的帖子

0.9循环等于1，这个结论的依据呢？ 1是整数，0.9的循环是无限循环小数，按照您的推论，整数可以由一个无限循环小数来表达？整数就是无限循环小数?

18楼说的有点道理，你在6楼说的9进制中，小数的计算是否也采取的10进制规则呢？

非10进制规则中有小数吗？如果有小数，计算规则是什么？有依据吗？

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 20:53 编辑 ].

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 21:14 标题: 回复 21# hxwcwctt的帖子

啊，依据不就是你在3#的证明吗。

整数写成无限循环小数不应该使人感到震惊。有一种叫做连分数的东西才叫奇怪呢。不知道以后有没有机会讲到。

任何进位制中都会有小数的。计算规则其实很简单，和十进制是类似的。如果是p进制，那么把10换成p就行了。比如相加满了p就要进位，比如6楼的：
九进制里面只有0 1 2 3 4 5 6 7 8这九个数字，满9就进位了，所以0.8+0.1=1。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-30 21:20 标题: 回复 22#火车是运茶的的帖子

我指的是0.1和0.8是怎么得来的？18楼的问题“三进制：1/10 不等于0.1，分母应读为“一零”，不能读成“十”，如果说等于0.1，就是采取了10进制的计算规则。”怎么回答？就是我问的九进制中0.1和0.8是怎么得来的？

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 21:28 编辑 ].

作者: tysl9719 时间: 2008-8-30 21:38

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 21:41

引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-8-30 21:20 发表
我指的是0.1和0.8是怎么得来的？18楼的问题“三进制：1/10 不等于0.1，分母应读为“一零”，不能读成“十”，如果说等于0.1，就是采取了10进制的计算规则。”怎么回答？就是我问的九进制中0.1和0.8是怎么得来的？

进位制就是这么回事啊。一般的说，考虑p进制abc.de，它表示的就是
axpxp + bxp + c + d/p + e/(pxp)

小数点前适用乘法，后面适用除法。

举个例子，十进制的123.45表示1x10x10 + 2x10 + 3 + 4/10 + 5/(10x10)

所以十进制的1/9写成九进制就是1/10，按照进位制的约定，也就是九进制的0.1。.

作者: qq12 时间: 2008-8-30 21:43 标题: 回复 20#火车是运茶的的帖子

三进制是1/10，那个“10”（一零）不是10（十），所以怎么可以得出0.1的结论呢？.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-30 21:57 标题: 回复 25#火车是运茶的的帖子

关于进位制问题我明白了，但是关于1和0.9循环等同问题，还持保留意见。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 21:58

引用:

原帖由 qq12 于 2008-8-30 21:43 发表
三进制是1/10，那个“10”（一零）不是10（十），所以怎么可以得出0.1的结论呢？

这个0.1是三进制的0.1，也就是十进制的1/3。如果是三进制的0.01，就是十进制的1/9。

一般地，p进制的0.1就是1/p，0.01就是1/(pxp)，余类推。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-30 22:03

引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-8-30 21:57 发表
关于进位制问题我明白了，但是关于1和0.9循环等同问题，还持保留意见。

既然能够接受分数可以写成循环小数，那么整数写成循环小数应该不会使人太惊讶。以有理数的观点，整数不过是一种特殊的分数而已。循环小数不过是另一种写法罢了。

不过你可以继续保留意见。涉及到无限，确实容易令人困惑。.

作者: qq12 时间: 2008-8-30 22:04 标题: 回复 28#火车是运茶的的帖子

谢谢诶。

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-30 22:07 标题: 回复 29#火车是运茶的的帖子

我是对18楼提出的问题搞明白了，但是依然认为分数不能以循环小数方式表示，因为0.9的循环和1在实际中一定存在差距的。谢谢你的耐心解答。.

作者: shumi1 时间: 2008-8-30 23:04 标题: 回复 14#火车是运茶的的帖子

那么,现在学校教的数学,算好还是算坏?

作者: liuqf 时间: 2008-8-30 23:43

关于1和0.9循环等同问题，到了大学学了数学分析就知道最终原理了，这里包含极限的思想。对小孩子们说这个极限思想可能现在太难理解了，就对他们保留这点数学的神秘也是不错的，告诉他们长大了自己去学。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-31 05:55 标题: 回复 19#火车是运茶的的帖子

至于用10进制还是用9进制，理解为：
把蛋糕分成9等份，每等份为1/9，那么如果用分数来表示的话，十进制就是我们都认同的0.1的循环，9进制就是0.1，问题是1/9这个分数在9进制中表示为0.1是没有问题的，但是在十进制中是否能够表示为0.1的循环？

无限接近就是等于？比如终点站，我们在无限接近它，就是等于到达终点站？.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-31 08:55

引用:

原帖由 shumi1 于 2008-8-30 23:04 发表
那么,现在学校教的数学,算好还是算坏?

基本都是好的。

奥数嘛，嘿嘿，看顶楼的链接好了。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-31 08:59

同意保留神秘感。这个问题暂且搁置吧。.

作者: 不言之教爸爸 时间: 2008-8-31 09:42

偶不懂数学，不过通过火车仁兄在大杂烩版块发表的一些有关人文和社会思想方面的帖子，已经对仁兄有相当的了解，相信仁兄在数学方面也同样具有令人耳目一新的视野和造诣！.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-31 10:50 标题: 回复 37＃兰兰的好爸爸的帖子

谢谢你的夸奖！我对令千金的画作印象很深刻。有机会要向你好好讨教。

也感谢楼上网友们的热情参与。希望本帖对培养大家的数学兴趣有帮助。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-31 11:03 标题: 化循环小数为分数

我们知道，有理数都可以表示为整数或者分数的形式。循环小数作为有理数，肯定也有对应的分数形式。本节就来讨论怎样把循环小数化为分数。

循环小数具有无限性，而分数具有有限性。因此化循环小数为分数，关键就在于消除其中的无限性。怎么消除呢？利用循环节重复出现的特征。

举个例子，1/7=0.142857……，142857为循环节。记1/7为a，则有
a= 0.142857……
1000000a=142857.142857……

我有意进行了对齐。上面两个式子相减得到
999999a=142857

这样就把无限部分抵消掉了。得到
a=142857/999999

基本上就是这么一个方法。关键是循环节的长度t。把需要考虑的循环小数乘以10的t次幂，再减去原来的数，就可以把无限部分抵消了。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-31 11:14

利用上面的方法，可以把0.9……里面的循环去掉。令a=0.9……，按照上面的方法，10a=9.9……。两式相减得到9a=9，所以a=1。.

作者: 老姜 时间: 2008-8-31 11:38

[ 本帖最后由老姜于 2008-8-31 12:11 编辑 ].

作者: 老姜 时间: 2008-8-31 11:43

[ 本帖最后由老姜于 2008-8-31 12:12 编辑 ].

作者: 子玖妈妈 时间: 2008-8-31 17:05

谢谢楼主的努力，我已经订了《什么是数学》，相信对孩子有帮助。

作者: hxwcwctt 时间: 2008-8-31 17:49 标题: 回复 39#火车是运茶的的帖子

火车大师，您的帖子真的很好，是否考虑每讲完一次弄些有趣的题目做做？如果能够结合实际生活的更好，我们大家可以一起玩玩。

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-31 19:25 标题: 回复 44#hxwcwctt 的帖子

谢谢你的欣赏。不过真的，请不要叫我大师。在我眼里只有少数数学家可以称得上大师，而他们是不会来旺网的。

题目我大概不会出了。事实上我每个小节都会有意或者无意留下一点尾巴，有些过程一笔带过，读者们可以补上细节，作为深化理解和复习巩固之用；有时候也可以找到未讲完的地方深入思考，说不定会有小小的发现。以前自己读书时看到“其证明留给读者作为练习”总是恨得牙痒痒，现在终于轮到自己使用这个特权了，真高兴。

还有另外一个原因就是本帖意为休闲，不想因为出题而让小读者们觉得有负担；要是把人吓跑了，我不就损失一个读者了嘛。

结合实际生活的提议很好，我要是想到了会写一些的。但是目前并没有成形的写作计划，基本上是想到哪里写到哪。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-8-31 21:02 标题: 关于1=0.9……的一个有意思的证明

这里实际证明的是1.111……=10/9。

某巧克力厂商搞促销，每块巧克力里面有一张兑换券，集齐10张可以兑换一块巧克力。当然，兑换得到的巧克力里面也有一张兑换券。

现在的问题是，这样的一张兑换券相当于多少块巧克力？10张券可以换一块巧克力，这换来的巧克力里面还有一张券，可以和另外9张券一起换得一块巧克力，所以这里应该还有0.1块；这0.1块里面又有部分券……依此类推，10张券应该相当于1+0.1+0.01+0.001+0.0001+……块不含券的巧克力，也就是1.1111……块。

另一方面，可以证明9张券正好可以兑换一块不含券的巧克力。你可以拿着9张券跑到商店去，跟老板说：“请给我一块巧克力，我将立刻吃掉它，然后给你支付10张兑换券。”只要老板同意，你可以吃掉那块巧克力，然后把自己的9张券和老板给的巧克力里面的那张券一起交给老板，完成购买手续。因此，一张券相当于1/9块不含券的巧克力。10张券就是10/9块不含券的巧克力。

这证明1.111……=10/9。

请参见《无穷的玩艺——数学的探索与旅行》
大连理工大学出版社.

作者: zhenai 时间: 2008-9-1 09:53 标题: 回复 43#子玖妈妈的帖子

这本书适合大学生看。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-1 09:56

引用:

原帖由 zhenai 于 2008-9-1 09:53 发表
这本书适合大学生看。

高中生可以看的。
部分内容预初就可以看了。.

作者: 子玖妈妈 时间: 2008-9-1 10:05 标题: 回复 47#zhenai 的帖子

怕以后又脱销了，备着。.

作者: zhenai 时间: 2008-9-1 10:18 标题: 回复 48#火车是运茶的的帖子

厚厚一大本，怎么说也得读懂大部分吧，否则部分内容小学生也可以看了。看这本书还是有些高等数学基础为好。.

作者: zhenai 时间: 2008-9-1 10:20 标题: 回复 49#子玖妈妈的帖子

这倒也无妨，这类书印量和销量都很低。。。

作者: qq12 时间: 2008-9-1 10:45

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2008-8-31 11:03 发表
我们知道，有理数都可以表示为整数或者分数的形式。循环小数作为有理数，肯定也有对应的分数形式。本节就来讨论怎样把循环小数化为分数。

循环小数具有无限性，而分数具有有限性。因此化循环小数为分数，关键就在 ...

大师好，有个小问题求教：当a=0.11345345345........怎么办？？谢谢！.

作者: zhenai 时间: 2008-9-1 10:51 标题: 回复 52#qq12 的帖子

去翻翻小学课本吧.

作者: qq12 时间: 2008-9-1 10:58 标题: 回复 53#zhenai 的帖子

谢谢！.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-1 11:17

引用:

原帖由 zhenai 于 2008-9-1 10:18 发表
厚厚一大本，怎么说也得读懂大部分吧，否则部分内容小学生也可以看了。看这本书还是有些高等数学基础为好。

喜欢的话，可以从小学一直啃到高中。其实我设想本书很适合那些高中“吃不饱”的，在上大学之前先行了解一些近代的数学思想，就不会觉得大学课程跟高中脱节太厉害。

不喜欢就，嗯，费了。可以在购买之前先去书店看看。.

作者: shumi1 时间: 2008-9-1 16:25 标题: 回复 39#火车是运茶的的帖子

问问wiki吧
http://zh.wikipedia.org/wiki/0.999...

在完备的实数系中，循环小数0.999...，也可写成、或，表示一个等于1的实数。也就是说，“0.999...”所表示的数与“1”相同。长期以来，该等式被职业数学家所接受，并在教科书中讲授。目前这个等式已经有各种各样的证明，它们各有不同的严密性、背景假设都蕴含实数的阿基米德性（En:Archimedean field）、历史文脉、以及目标受众。。。。。。。。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-1 17:58 标题: 回复 46#火车是运茶的的帖子

对于这个巧克力问题，其实也是有限和无限的问题，比如对一个家庭来说，他购买的巧克力越多（假定每次购买巧克力都有一张券，每次的券都会去抵扣巧克力），那么倒推算过来买的越多这个券的价值越高，比如他10次用券抵换了10块巧克力，那么每张券值0.109890…块巧克力，如果他1000次用券抵换了1000块巧克力，那么每张券值0.11109876…块巧克力；当你40000次用券抵换了40000块巧克力，那么每张券值0.1111108024…块巧克力；所以要接近你的数据恐怕这辈子的巧克力都吃不完的。

再说说第二个例子，那店家老板如果同意那样做的话已经偷换了游戏规则，相当于9张券换1块巧克力，那时损害了厂方的利益啊。如果我是厂方，如果我知道有这样的老板，我一定炒他鱿鱼。

看来平时商家推出的曾出不穷的数学游戏得好好琢磨琢磨。

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-1 18:47 编辑 ].

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-1 20:25

维基百科是好东西，现在因为奥运开放了，但是未来会不会再封掉还未可知，希望不要。

虽然每节后面我不会出题，但是把题目出在前面还是可以的。下面要留一道习题给读者们做。这本来是后面某一节的主题，也可以联系生活的。这里请允许我偷个懒，你们帮我做掉一些。

小明是个神枪手，弹无虚发。他有一支玩具枪，能够以每秒一个的速度连续发射塑料珠子，珠子射出枪口的速度为每秒5米。

现在小明站在离一个靶子10米远的地方开枪。珠子打在靶子上的频率是每秒钟一个。

我的问题是，如果小明以每秒2米的速度朝着靶子走，其它条件不变，那么珠子打在靶子上的频率是多少？如果小明是沿反方向走呢（枪口仍然对着靶子）？.

作者: zhenai 时间: 2008-9-2 09:47

维基百科一定会再封掉的，不用担心。

还是关起门来玩玩多普勒效应吧。。。

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-2 12:43 标题: 回复 59#zhenai的帖子

你也是行家里手。

上面的题目，中学生要把数字换成代数符号来做。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-3 17:42 标题: 回复 58#火车是运茶的的帖子

间隔0.6秒/颗，还有就是1.4秒/颗.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-3 17:57 标题: 回复 61#hxwcwctt的帖子

能给出推理和计算过程吗？.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-3 19:09 标题: 回复 62#火车是运茶的的帖子

用的是笨办法：
第一颗发出子弹的时间为起始点0，n为每整数秒激发点
向着靶子：每一颗子弹到靶的时间：（10-2*n）/5+n （有限）
反向：每一颗子弹到靶的时间：（10+2*n）/5+n （可以发射无限多，只要有足够子弹和足够空间

）

计算出每颗子弹到达时间，相邻之差为等值，即题意要求计算的频率。

不过猜不出来你要讲什么唉。

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-3 19:20 编辑 ].

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-3 19:52 标题: 回复 63 #hxwcwctt的帖子

还要再推敲一下。子弹相对靶的速度要考虑小明的运动速度。
这不是一道纯粹的数学题，它有很深的物理背景，其原理在日常生活和科学研究中有广泛的应用。

[ 本帖最后由火车是运茶的于 2008-9-3 19:55 编辑 ].

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-3 20:21

向着靶子-------二颗子弹到达靶子的间隔时间: ：(（10-2*n）/(5+2)+n )-((10-2*(n-1))/(5+2)+(n-1))=6/7(秒)
反向------------二颗子弹到达靶子的间隔时间: ：(（10+2*n）/(5+2)+n )-((10+2*(n-1))/(5+2)+(n-1))=9/7(秒)
均为常值,也就是有固定频率,是这样吗??

和原来答案的区别是以固定的靶子为参照物,要考虑射手的行进速度.

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-3 20:30 编辑 ].

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-3 20:31

引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-9-1 17:58 发表
那店家老板如果同意那样做的话已经偷换了游戏规则，相当于9张券换1块巧克力，那时损害了厂方的利益啊。如果我是厂方，如果我知道有这样的老板，我一定炒他鱿鱼。

这样，你可以跟朋友借一张券，兑换了，吃了巧克力，再把换来的那张券还给朋友。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-3 20:35 标题: 回复 66#火车是运茶的的帖子

对的。

快说说现在做的题目.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-3 20:54

向着靶子——式子对的，答案计算有误。
反向——子弹的速度应该是3米/秒。

其实，不用考虑那个10米，也可以计算出答案。频率的变化是固有的，与小明跟靶子的距离无关。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-3 21:04 标题: 回复 68#火车是运茶的的帖子

向着靶子-------二颗子弹到达靶子的间隔时间: ：(（10-2*n）/(5+2)+n )-((10-2*(n-1))/(5+2)+(n-1))=5/7(秒)
反向------------二颗子弹到达靶子的间隔时间: ：(（10+2*n）/(5-2)+n )-((10+2*(n-1))/(5-2)+(n-1))=5/3(秒)

惭愧，犯了个低级错误，不过还是没有考虑出来为什么不要考虑10M，脑细胞不够用了，大师列个式子看看吧。

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-3 21:06 编辑 ].

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-3 21:08

你上边的式子就可以把10抵消掉的。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-3 22:47 标题: 回复 70#火车是运茶的的帖子

哦，原来是此意，我还以为是列式中不需要长度概念呢。
那么这个题目怎么就说在日常生活中和科研中得到广泛应用呢？
另外，这个和你现在讲得循环小数有瓜葛吗？.

作者: 家有考王 时间: 2008-9-4 01:15 标题: 回复 71#hxwcwctt 的帖子

多普勒效应——可用于速度的测定，比如高架上车辆行驶的速度。超速的罚单就是运用读普勒原理的结果。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-4 06:04

考爸正解！

这和循环小数没有关系。.

作者: 家有考王 时间: 2008-9-4 06:53 标题: 回复 72#家有考王的帖子

警车呼啸而来、呼啸而去，声音由尖锐变为低沉。就是声波的多普勒效应。
有难度、有趣味，就是火车说的“好的”数学吧。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-4 09:44 标题: 回复 74#家有考王的帖子

我尽量写一些对中小学生而言有趣味，同时又能激发思考和探索的东西。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-4 10:10 标题: 回复 75#火车是运茶的的帖子

我属于比较不开窍的那种，考王爸是明白的很，我还是不明白，请不要介意。能否讲明白点，告诉公路上的电子警察是怎么测车速的，它能测出多少距离内的车子的车速？市面上出售的报警装置（就是预先提醒有电子警察，从而可以预先降低车速）对避免罚单有用吗？.

作者: 家有考王 时间: 2008-9-4 10:26 标题: 回复 76#hxwcwctt 的帖子

短你了。
电子狗是有用的，很有用。电子警察眼睛很好，但只要你前面有车，他就先抓前面的。所以车流大的时候，它的作用距离就短一点。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-4 10:33

限速是为了您和他人的安全。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-4 10:38

考爸，谢谢，看到了，不过那个网站太专业了，抱歉我没有心思看啊。

有人说市面面上买的那种防电子警察的设备没有用，因为当它向你报警说有电子警察时，电子警察也已经抓到你了，所以提出这个问题。（我们得假定前面没有车）

还有市面上有没有一种装置可以根据你的车速测出你的车距是否足够？.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-4 10:41

在运动中测车距，有意思，可以写一篇小论文了。
写好了可以去申请丘成桐中学数学奖。.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-4 10:44 标题: 回复 78#火车是运茶的的帖子

在一段空旷的路上不断的提醒大家限速是有必要的，因为如果路况好，人的本能会不知不觉提高速度，所以要不断进行友善的提醒，应该时而放慢一些速度。
所以人性化的做法应该是：在有电子警察前先预先进行警告，这样车主就放慢速度了，这样就起到了安全的作用。如果已经提醒了，还不慢下来被电子警察抓到那就得罚款了。.

作者: qq12 时间: 2008-9-4 12:26 标题: 回复 81#hxwcwctt 的帖子

养成习惯，每隔一定时间看一下速度表。保证安全。.

作者: shumi1 时间: 2008-9-4 14:32 标题: 回复 74#家有考王的帖子

中学生可以看《物理世界奇遇记》.

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-4 17:15 标题: 回复 82#qq12 的帖子

一个人养成习惯容易，每一个人都养成习惯可不容易，同志，要站得高望得远，为众人着想。如果市面上的雷达探测器有效确实蛮好的，否则的话按照老兄的意思，在汽车里装个定时报速器也不错，每个五秒报告“现在您的车速为**公里每小时”，否则老想着看速度表，也不安全的。

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-4 21:59 标题: 一些符号约定

在网页上写数学式子不容易。尝试国<sub>和[sup]，都不行，只好变通。下面是常见的约定：

x^2 x的平方，开平方有时写作x^{1/2}
x_1 1为下标
2a 2与a相乘
1.23(456) 混循环小数1.23456456456456……，以456为循环节
a≡b(mod n) a和b模n同余。有说可以用智能输入法通过V1输入同余符号的，我没法试。仅在此提一下。需要的时候来这里拷贝也好的。
>= 大于或等于
<= 小于或等于
!= 不等于

乘方比较常见。下标的写法可能比较少见，是从TeX排版系统那里借用过来的，如同开平方里的花括号。

先这些。想到了或者遇到了再补充。

[ 本帖最后由火车是运茶的于 2008-9-20 16:26 编辑 ].

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-4 22:42 标题: 多普勒效应

这里只是最简化的情形，其中假定观察者相对信号传播介质静止。假设有一个信号源S，以速度v向前进。S每隔时间T发出一个脉冲信号。信号的传播速度为v_0。假定v<v_0。
         i_1                      i_2
_______________________________________
A          B                      C

S于A点发出一个信号i_1。经过T之后，S抵达B的位置，而i_1抵达C的位置。那么有

AB = vT
AC = (v_0)T

S会在B再发出一个信号i_2。这样，信号i_1和i_2的距离为(v_0 - v)T

但是i_2从B到C需要的时间只是(v_0 - v)T/v_0，或者写成

(1-v/v_0)T                               公式(1)

可见信号的周期缩短了，或者说，频率变高了。还可以看出，周期或者频率的变化只跟v和v_0的相对数值有关。

思考题：
如果信号源的运动方向跟信号传播方向相反，则公式(1)应该如何修正？

多普勒效应以其发现者的名字命名。他在经过铁道交叉口时发现火车的汽笛声在火车驶近时变得尖利（高频），而远去时变得低沉（低频）。日常生活中警车、消防车的警示喇叭都有这种可观测效应。

信号源远离观测者会导致频率变低，叫做多普勒红移；反之叫做蓝移。红和蓝对应可见光谱的两端，前者的频率比后者低。天文学上，科学家观测到所有星系的光谱都有红移现象，从而得出宇宙膨胀的结论。而通过测量红移量，也可以计算出星系的退行速度。

前面考爸提到的超声波测速仪也是根据多普勒效应设计的。
思考题：
超声波测速仪的应用中，上面的公式(1)有无必要修正？

[ 本帖最后由火车是运茶的于 2008-9-4 22:55 编辑 ].

作者: grant 时间: 2008-9-4 23:09

多普勒效应是数学还是物理啊？我记得应该算物理。
测车速大概有两种：
一种是微波测速，利用的是多普勒频移，
另一种是用地面埋的线圈，利用磁感应原理测量车辆通过两个线圈的时间差反推出速度。.

作者: 子玖妈妈 时间: 2008-9-4 23:16 标题: 回复 83#shumi1 的帖子

你能不能一起推荐书啊？你推荐一本我网上订一本，人家送书的人很吃力的。呵呵。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-4 23:31

数学物理本来不分家。

还有一种测速方式，激光。不过不是应用多普勒效应了，因为汽车的速度跟光速比可以忽略不计。这要求有比较精密的部件，要能发射和接收激光，并能精确计时。通过测量激光往返的时间可以测出距离，通过相继两次测出的距离的变化可以计算出速度。.

作者: shumi1 时间: 2008-9-5 14:47 标题: 回复 88#子玖妈妈的帖子

作者: zhenai 时间: 2008-9-5 15:15 标题: 回复 88#子玖妈妈的帖子

科学出版社那一套书都不错的。不过要注意是英文还是中文版的。.

作者: 子玖妈妈 时间: 2008-9-5 16:50 标题: 回复 91#zhenai 的帖子

谢谢。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-5 19:55 标题: 循环节长度之谜

接下来几节要讨论循环节的长度。当然，这些内容在数学上已经有了明确的结论，但是本帖的主旨并非简单告诉读者们一些结论，而是希望通过对一些问题抽丝剥茧式的分析求解，展示一些数学思想和常用的方法。

因此，假如读者已经了解了一些循环节长度方面的结论，请暂时忘记它；如果读完本节之后，有一些更好的想法，也欢迎提出来大家一起讨论。

现在就从最简单的情形开始研究。假设有一个素数p，我们考虑它的倒数1/p，用长除法可以求得对应的小数形式。这个小数将具有什么样的形式呢？它是纯循环小数还是混循环小数？它的循环节长度取决于什么条件？

我们前面已经知道，如果p为2或者5，那么1/p可以写成有限小数（就是0.5和0.2）。如果p是其它素数呢？

写到这里读者可能要问，为什么要假定p是素数呢？按照我们之前的思路，我们希望先研究最简单的情形。根据素数的定义，一个素数不能再分解为两个其它非1的正整数的乘积，而合数则总是可以分解为一些素数的乘积。这意味着在考虑乘除法性质的时候，素数也许比较简单或者基本（当然不一定如此；如果碰到困难我们再另寻出路）。

所谓循环节，就是会重复出现的数字模式。读者可能有印象，在做长除法的时候，如果在某一阶段出现了前面已经出现过的余数，那么后面的余数和商也会跟着重复出现。最简单的例子是1/3，做长除法的时候，每次都是得到一个余数1，因此构成循环。读者不妨试着做一下看看。下面要把这个规律用数学语言写出来。

为了更直观地观察到其中的规律，我们可以把长除法改写成一系列的等式：

1 = p * 0 + r_0 (r_0 = 1)
10 * r_0 = p * q_1 + r_1
........
10 * r_n = p * q_{n+1} + r_{n+1}
........

这样，对应的小数就是0.{q_1}{q_2}...{q_n}...，而r_i就是第i次得到的余数。按照长除法，我们把它乘以10再继续试商。易见，0 < r_i < p，并且r_i与p互素。

如果长除法里面得到的余数发生重复，即是说，对于两个下标i和j（这里不妨假设i < j）如果r_i = r_j，后面的商和余数会怎么样呢？根据上面的展开式，我们就有：

10 * r_i = p * q_{i+1} + r_{i+1}
10 * r_j = p * q_{j+1} + r_{j+1}

在r_i = r_j的前提下，容易证明，q_{i+1} = q_{j+1}，以及r_{i+1} = r_{j+1}。（证明留给读者作为练习。

）

这就是说，如果长除法中余数重复出现，那么所得小数也会出现循环。这是一个平凡的结果，接下来要解决一个问题，即在余数形成的序列中，r_0是不是第一个重复出现的，或者说，1/p是不是一个纯循环小数。（待续）

[ 本帖最后由火车是运茶的于 2008-9-5 23:05 编辑 ].

作者: 老猫 时间: 2008-9-6 08:29

是不是p只要没有2和5的约数，就一定是纯循环小数？.

作者: 牙医叔叔 时间: 2008-9-6 13:34

引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-8-30 12:05 发表
因为：1/9=0.1的循环
8/9=0.8的循环
所以：0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环

因为：1/9+8/9=0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环
1/9+8/9=1
所以：0.9的循环=1？

可是我怎么也想不通0.9的循 ...

火车，这个是否可以用方程来解？
设x=0.9999999……
则：10x-9=x
x=1.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-6 14:45

回猫老师：暂时在这里还是一个猜想。

回牙医：可以的。但是一般人拒绝接受那个等式的心理因素主要是认为0.(9)并不是一个真正的数。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-6 17:25 标题: 循环节长度之谜（续）

上节最后问题的答案是肯定的。怎么得到这个结论呢？前面我们用来证明循环总会出现的方法，现在也可以反过来使用。仍然考虑：

10 * r_i = p * q_{i+1} + r_{i+1}
10 * r_j = p * q_{j+1} + r_{j+1}

现在假定r_{i+1} = r_{j+1}，如果能够推出r_i = r_j以及q_{i+1} = q_{j+1}，那就说明循环也可以反过来往前推。证明仍然留给读者作为练习。提示：p是一个异于2和5的素数，因此p和10互素。

现在我们知道，循环肯定会出现，而且如果某个r_i出现循环，那么可以往前一直追溯到r_1和q_1。这就证明，1/p是一个纯循环小数。而且，上面的证明其实条件可以放宽到p与10互素，因此，只要p与10互素，1/p就是纯循环小数。这就是猫老师在94#提出来的。

反过来，如果把一个纯循环小数化为既约分数，其分母是否一定与10互素呢？答案是肯定的。使用前面提供的方法，不难把一个纯循环小数化为一个分母为99...9的小数，分母位数等于循环节长度，而分子就是循环节本身。例如0.(123456)=123456/999999。我们知道99...9是跟10互素的，因此前面得到的分数即使能够进一步约简，得到的分母也肯定跟10是互素的。

这里还有一个问题，如果是2/p，3/p，...，(p-1)/p这些分数呢？其实前面的那些证明并没有使用r_0=1的条件，因此对其它的r_0值也是适用的。

总结一下：对于真分数q/p，如果q和p互素，并且p和10互素，则q/p不能写成有限小数，而只能写成纯循环小数。反过来，纯循环小数化为既约分数之后，其分母也是跟10互素的。

思考题：为什么要强调是真分数呢？

（待续）

[ 本帖最后由火车是运茶的于 2008-9-6 21:48 编辑 ].

作者: hxwcwctt 时间: 2008-9-8 20:09 标题: 回复 86#火车是运茶的的帖子

火车，你的帖子发得好快哦，都赶不上了。

我不明白为什么我们在讲小明打枪的时候，子弹的速度是“小明的走路速度”和“子弹出膛的速度”之和；而在本贴中，信号的速度为什么不是“S的速度V”和“信号速度V_0”之和呢？

另外，小明打枪那道题还是有漏洞的，比如小明在原点发第一枪子弹时小明是没有速度的，所以第一发子弹的速度应该就是出膛的速度。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-9 13:11 标题: 回复 98#hxwcwctt的帖子

信号，例如声波，一般需要传播介质（这里不讨论光波或者电磁波），其速度是相对介质而言的，如声波在空气中的速度。讨论小明打枪的时候，考虑的是子弹在空气中的速度（实际上忽略了摩擦力的影响）。但是子弹出镗速度是枪固有的性能，因此需要和小明的速度叠加。那道题确实有漏洞，我们可以假设小明一直在行进，所以开第一枪的时候也有速度。而后边的一般性讨论，我们假设如果有这种速度叠加问题，那么已经把它包含在V_0里面了。

这里讨论的是很简化的情况，例如，假设观察者相对介质是静止的。.

作者: 火车是运茶的 时间: 2008-9-9 13:42 标题: 循环节长度之谜（三）

现在有限小数和纯循环小数都有结论了，最后来看看所谓的混循环小数。读者们可能已经猜到了，那些分母既能被2或者5整除，又能被其它素数整除的既约分数，将对应混循环小数。本节就把它证明出来。

下面用x和y表示数字串，例如，在0.123456456456……可以写成0.x(y)，其中x=123，y=456。再定义一个函数len(x)，表示这个数字串x的长度，或者说位数，例如len(123)=3， len(45678)=5。

（要改一下了）
形式上，一个纯循环小数可以写成混循环小数的样子。例如0.(123)可以写成0.12(312)甚至0.12312(312)。这里不讨论混循环小数的严格定义，我们反过来先看对应混循环小数的那些分数。

假设有既约真分数p/q，其中q又可以分解为q=(2^a)(5^b)(s)，并且a>=0, b>=0,a+b>0, s>1，s不能被2或者5整除，a和b至少有一个为正，即q能被2或者5整除。

令c为a,b中较大的那个数。那么，

p/q
=(p/s)/((2^a)(5^b))
=(p/s)(1/(10^c))(2^{c-a})(5^{c-b})
=(p((2^{c-a})(5^{c-b}))/s)/(10^c)

令p((2^{c-a})(5^{c-b}))=u*s+r。其中u为整数，而0<r<s。请读者证明r!=0并且r与s互素。

于是可以得到

p/q
=(u+r/s)/(10^c)

我们已经知道，r/s是一个纯循环小数，假设循环节为x，则u+r/s=u.(x)，把小数点左移c位，并假设u前面补上若干个零凑成长度为c的v，就得到

p/q
=0.v(x)

这看上去就是一个混循环小数了。怎么知道它不是一个伪装成混循环小数的纯循环小数呢？用反证法。假设0.v(x)是一个纯循环小数，那么我们就可以把它写成既约分数t/w，其中w与10互素，这样应该t/w=p/q，又因为它们都是既约的，排除符号的关系，可以认为t=p, q=w。但是q可以被2或者5整除，这就矛盾了。

反过来，如果我们已经知道一个循环小数不能写成有限小数或者纯循环小数了，我们是否能够肯定，把这个混循环小数化为既约分数，其分母一定既能够被2或者5整除，又能够被其它素数整除呢？答案是肯定的。因为要不然，它就可以写成有限小数（如果分母不能被2或者5之外的任何素数整除），或者纯循环小数（如果分母不能被2或者5整除）。

我们把全体既约分数作为一个集合F，把全体有限小数和循环小数作为另外一个集合D。用长除法可以把分数化为小数，用前面的办法可以把小数化为分数，所以这两个集合能够建立起一一对应的关系。

根据分母跟10的关系，集合F可以分成三个互不相交的子集合。根据小数位数、循环方式的不同，集合D也可以分成三个互不相交的子集合，且跟前面的三个子集合建立一一对应的关系。这是很有意思的。

[ 本帖最后由火车是运茶的于 2008-9-20 19:49 编辑 ].

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