2楼童爸0928
(......)
发表于 2009-6-30 16:55
只看此人
这个题真难做，我的方法有点麻烦，不知道有没有简单方法。另外，不大会画图。
在边AD做三角形DEA相似于三角形BCD,其中角BCD=角DEA,角CDB=角DAE,角CBD=角EDA
则有AB/BD=DF/CD 即 DF=(AB*CD)/BD ...........(1)
CF/CD=AD/BD 即 CF=(AD*CD)/BD ...........(2)
在边CD做三角形CDF相似于三角形DBF,其中角CDF=角DBF,角DCF=角ADB,角CFD=角DAB
则有BC/BD=DE/AD 即 DE=(AD*BC)/BD ...........(3)
AE/AD=DC/BD 即 AE=(AD*CD)/BD ...........(4)
因为 角DAB+角DCB=90度
所以角ADC+角ABC=270度,角ADC+角ABD+角DBC=270度,即角ADC+角FDC+角ADE=270度
所以角EDF=90度，即三角形EDF是直角三角形
所以 EF^2=DE^2+DF^2 ............(5)
(1),(3)带入(5)得,
EF^2=((AB*CD)/BD)^2+((AD*BC)/BD)^2
得(EF*BD)^2=(AB*CD)^2+(AD*BC)^2 ...........(6)
因为三角形EDF是直角三角形，所以角DEF+角DFE=90度
另外根据已知，角DAB+角BCD=90度,得角DFC+角AED=90度
所以角DEF+角DFE+角DFC+角AED=180度
所以AE//CF
由(2),(4)可得AE=CF
所以四边形ACFE是平行四边形
所以EF=AC，代入(6)得，
(AC*BD)^2=(AB*CD)^2+(AD*BC)^2.
