hxy007 2011-8-8 12:34
从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练）：初中亲子数学
学数学提高成绩，据说已经没有秘密可言。按照现在许多老师和家长的一种共识，学好数学拿到如意的成绩，办法其实很简单。我们深信，如果我们的孩子见识过每一种题型，如果在每一种题型上都通过十来次乃至数十次的反复练习，我们的孩子就会对每一种题型的解法烂熟于胸，各种考试便成一碟碟小菜。事实上，大多数学校、家庭就是这么大运动量地对孩子进行数学训练的。坚持这种做法的不少孩子在数学成绩上都过得去，甚至相当不错。不信奉这种做法的人则往往吃亏，搞到最后也被捆绑，不得加入到大运动量训练的行列之中。
这种大运动量训练策略，以前只是在大考之前偶尔用之，因为效果出奇地好，后来逐渐变成了初中生和高中生整个毕业学年的惯用策略，最后发展成为整个中学时代的常用策略。孩子们一进中学就被反复告知，要从实战出来，平时要当考时看，每一次练习和测验都要当成是中考或高考加以对待……“题海战术”就这样慢慢演变成了“题海战役”，成了今天的“题海战略”！
少数孩子特别幸运，他们因为自身的强大，或者因为特别的际遇，而免受了“题海战略”之苦、“机械训练”之害。但是，多数孩子没有这么幸运，他们中虽然有一部分人在“题海战略”中用反复的机械练习，努力保持了较好数学成绩，但是，他们受到了深深的伤害。他们害怕数学，讨厌数学，他们越学越机械，越学越笨！尽管他们中有些优秀分子看起来能够解决一些数学难题，但那都是因为他们以前见过、练过，“杀熟”而已。考试（如今年的中考）中面对没有见过的新题，他们就一筹莫展，甚至当场崩溃！
数学是一种理性的表达，一种理性的工具。它是严谨和灵活的完美结合，引人入胜，美得令人叹为观止。照理来说，它会让学习者越学越聪明，思维越来越理性、严谨、灵活，越学越着迷。可是，现实中的数学教学却让我们的孩子变得越来越机械、僵化、教条，越学越厌学，越学越没有自信。既然如此，我们为什么推波助澜？为什么不坚决反对机械训练？为什么不坚决反对“题海战术”、“题海战役”、“题海战略”呢？不靠题海中反复训练的训练，难道还有更有效的学习方式么？
“从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣”小学版见：
[url]http://ww123.net/baby/thread-4564875-1-1.html[/url].
hxy007 2011-8-8 12:58
我的中学数学老师
我是在江南一个山区完成中学学业的。不要以为穷乡僻壤就没有好老师，我甚至觉得小学一年级那个小学毕业就代课的老师，都比现在许多正规大学毕业的数学老师，更具教育家的风范。
我读中学时，“文革”结束不久，刚刚恢复高考。阶级斗争和“文化大革命”把一批批“牛鬼蛇神”赶到山区，成了我们的中学老师。乡下孩子有机会听这些奇人异士讲课，真是大开眼界。几乎每一堂课都是精神的盛宴。我们中的许多人喜爱读书，敬重读书人，喜爱让自己有点书生气、书卷气，全拜这些“牛鬼蛇神”所赐。
记得初中有个数学老师，课上得精彩，字也写得极漂亮，完全可以当字帖。光看他那板书、板演的例题，就是一种享受。他还有一个绝招，给我们上数学课，兴致所至，顺手在黑板上一挥（好象都没有看黑板），就画出了一个相当标准的圆。年少的我们，那个崇拜啊！天天盼着他来上数学课，一天不上心里就好象缺了什么。现在回想，都是那么地令人神往。
最让我们记忆深刻的是高三时的一位代课老师。因为信息闭塞，每到高考前几个月，我们中学都会派一些老师到外打探高考方面的消息，学习别人的应考经验。那一年，我们的数学老师接受这个任务，出差一个月。他就把自己中学时代的数学老师请出来代课。
那是一位姓伍的老先生，已经中风，右半身瘫痪，走路不方便，口齿也不清楚。每当上课，我们都会派同学去恭请伍先生。然后，在讲台边放把椅子，请先生坐着讲课。先生从不坐下，他喜欢站着讲。最神奇的地方是，他不带教材、讲义，就用一张纸包着几根粉笔来上课。不知为什么他从不用教室里的粉笔，但给我们的感觉，他的粉笔仿佛有一种魔力。
那时，我们已经进入复习阶段。先生是来帮助我们复习的，但是那个月他很少让我们做课外作业，甚至都没有一次测试。他就在那里带我们一起梳理自小学以来学过的那些数学知识。口齿不清，却娓娓道来。我们脑海里的数学知识点原来都是大海中的一个个孤岛，经先生一番点拨，全都联系起来了。那种感觉犹如醍醐灌顶，那种通了数学的感受，难以言表，真是享受啊！就像ccpaging描述的那样，我们的思绪随着先生的那只粉笔，先生含糊的话音，飘呀飘……
先生给我们讲典型例题，带领我们总结典型例题的各种变式，让我们明白万变不离其宗的道理，甚至鼓励我们去编高考数学题……
先生还鼓励我们一题多解，再繁的解法也让我们讲出来。记得先生出过一题，我一口气说出了多种解题思路（代数的解法、三角函数解法、解析几何的解法）。先生艰难地伸出右手，竖起大拇指，激动得直流口水，连夸我“好学生！好学生！！”其实，更加感动的是我，是我们这些莘莘学子。
先生是在我读大学时去世的。据老家的人说，先生出殡时，有数千人送行。在我们那个小地方，除了毛主席逝世，再也没有见过如此哀伤的大场面。.
shumi1 2011-8-8 13:29
小007完成小升初了？.
hxy007 2011-8-8 13:36
[quote]原帖由 [i]shumi1[/i] 于 2011-8-8 13:29 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=8102618&ptid=4784492][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
小007完成小升初了？ [/quote]
是的，11上初中了。
你家小书迷要上高中了吧？
永远追上不哟。.
hxy007 2011-8-9 09:55
“723火车追尾事件”：为理解而学
星期天下午，“亲子数学社”的活动内容是用数学来分析“723火车追尾事件”。这可不是变态奥数中的虚拟追击题，而是一场实实在在的灾难，分析起来也比一道纸面上的奥数题复杂得多了。当然，也有相对简单的分析。例如，一列火车究竟有多长？
我们只告诉小朋友们：有的火车有12节车厢，有的14节，最长的一般加挂到16节。现在，同学们需要弄清楚的是：一节车厢有多长？大家都乘过火车，先凭经验估计一下吧。
大家都好像不知道从哪里入手，没有人公布估算结果。007只好给一点提示：一节车厢跟我家客厅比，哪个长？
当然是车厢更长，大概就是客厅的两倍吧。
007说：我家客厅有10多米的样子，那么火车车厢大概有多长？
20多米。
20几米？
有人说24米。007也猜了一个结果：25米。
到网上一查，火车车厢的准确长度是24.4米。加上车厢之间的连接，就算是25米吧。那么，最长的客运火车有多少米呢？
25×16
同学们纷纷去找纸笔，想用笔算。爸爸妈妈们异口同声：不要呀，可以心算的！25×16等于多少？可不可以用巧算呀？
11立即喊道：400米。
你是怎么算出来的？
25×16 ＝25×4×4＝100×4＝400
有同学急着想如法炮制算12节车厢有多长，007赶紧制止：且慢，11，你这个是巧算。但是，这样算在我们这个案件分析中实际上表示什么意思呢？你怎么会想到把16变成4×4呢？
嗯，我把16节车厢分成4个组，每组4节，4节就是100米，4组就是400米。
原来是这样。那么，12节车厢有多长米？怎么算？
TT同学抢着来到小黑板上板演：25×12 ＝25×4×3＝100×3＝300.
大家都说算对了。但是，CC说：前面已经算出了16节车厢有400米，你们能不能利用这个结果计算出12车厢的长度呢？
TT说：我的列车比他的列车少了4节车厢，也就是少了100米，400－100＝300米。
轮到Alex算14节车厢有多少了。他发现14并不是4的倍数，没法像前面那样巧算了。稍微迟疑了一下，他想出了新的办法：25×14 ＝25×（10＋4）＝25×10＋25×4＝250＋100＝350米。
J同学提出一个新方案：14节车厢比16节车厢少2节，就是少50米，400－50＝350米。
CC也跃跃欲试：我还可以这样巧算，25×14 ＝25×2×7＝50×7＝350米.
对呀，这也是一种巧算方法！可是它在实际中代表什么意思呢？
就是把14节车厢分成7组，每组2节，2节就是50米，7组就是350米。
呵呵，两个四升五的同学，再加上两个小升初的同学，做25×14这样的题，是不是太小儿科呀？三年级的小朋友都知道上面提及的种种巧算方法。问题是：小朋友真地知道乘法是什么意思吗？这些巧算在生活中真实的意思是什么吗？
只有真正理解了乘法，才能灵活地使用它。反之，让小孩子记住分配律、结合律、交换律之类的运算规则，通过大量练习，小朋友也许会想到一种巧算的方法，例如：
有的会想到25×14 ＝25×（10＋4）＝25×10＋25×4＝250＋100＝350
有的会想到25×14 ＝25×2×7＝50×7＝350
甚至有的会想到25×14 ＝25×（16－2）＝400－50＝350
或者有的会想到25×14 ＝25×（12＋2）＝300＋50＝350
但是，他们一定很难同时想到这种种可能的解法，从而产生一种数学不死、数学很灵活、条条道路通罗马的感觉，更难由衷地发出数学很美、数学好玩、数学有趣的赞叹。
那么，我们是为理解而学，还是为熟练而学？或者说，哪个更重要？.
hxy007 2011-8-9 11:51
机械训练的弊害：666.66×6666.7里有多少个22.222？
什么是乘法？当我们的孩子刚刚学乘法的时候，老师就想出各种办法，竭尽全力地帮助孩子们逐渐理解和掌握乘法的概念。例如：
2×1就是1个2相加，或者说，是2的1倍；
2×2就是2个2相加，或者说，是2的2倍；
2×3就是3个2相加，或者说，是2的3倍；
2×4就是4个2相加，或者说，是2的4倍；
2×5就是5个2相加，或者说，是2的5倍；
2×6就是6个2相加，或者说，是2的6倍；
2×7就是7个2相加，或者说，是2的7倍；
2×8就是8个2相加，或者说，是2的8倍；
2×9就是9个2相加，或者说，是2的9倍。
可是，孩子们很快就背会了九九乘法口诀。接下的任务似乎就是利用这些神奇的口诀做题了。等到孩子们做了大量乘法运算题之后，他们却逐渐忘记了乘法的意义是什么。他们能够准确而快速进行乘法运算，却不能利用清晰的乘法概念灵活地解决问题。这样的例子不胜枚举，不相信？那我就再举一个例子。
11今年上初中，还没有正式报到，新学校就给他们布置了一大堆暑假作业。其中有一道题，要求用简便的方法进行运算：
[color=Blue] 666.66×6666.7＋99999×22.222[/color]
11最初是偷偷用计算器算出来的，还因为粗心给算错了。007看他无法独立解决，便跟他讨论起来。
007说：我也不知道简便的方法究竟是什么，但是，我看到加号后边的99999×22.222，我就会试一试，从加号前面的算式中弄出一个1×22.222.
儿子一脸茫然：为什么要弄出一个1×22.222？
父：99999×22.222跟1×22.222加起来，不是很好算么？
子：99999×22.222＋1×22.222怎么好算？
007万分震惊，无比困惑地看着儿子：不会吧，你不会这个也看不出来吧？请问，99999×22.222是什么意思？
11说：99999×22.222就99999跟22.222相乘呀！
在这个大热天里，007直冒冷汗——我的孩子要么脑子短路了，要么就是被大量的乘法练习弄得不知道乘法是什么意思了。淡定，淡定！007努力压制内心的愤怒与恐惧，尽量用耐心的口吻提出一个更加简单的问题启发孩子：好吧，那请你告诉我，1×22.222是什么意思？
11恍然大悟：1个22.222。啊，我知道了，99999×22.222＋1×22.222就是100000个22.222相加。
对呀，你二年级就学过乘法，现在怎么可能不知道乘法是什么意思呢？
儿子不好意思地笑了。
007：那么，现在请你从加号左边的算式中拿出一个22.222来，有吗？
11喃喃地说道：666.66×6666.7里没有22.222呀！
007：不要这么快就下结论。这个式子虽然没有明说有一个22.222，但是说不定里边就藏着许多个22.222。你再仔细分析一下！
11对着式子看了好大一会儿，终于发现其中的秘密：666.66其实就是30个22.222，我从左边借一个22.222给右边，右边有就100000个22.222了！
那么右边还剩下几个22.222？
还剩下29个。
你肯定吗？
肯定！
007哭笑不得：你自己说的，666.66就有30个22.222。可是加号左边的算式是666.66×6666.7，难道说666.66×6666.7也只有30个22.222？
11赶紧纠正：不止30个。
那么，这个式子到底有几个22.222？
嗯，有30×6666.7个。哎呀，老爸，你的这种方法不行！
为什么不行？
要从左边式子里借出一个22.222，就必须算出30×6666.7等于多少。太难了，不是简便运算。
你又没有算过，怎么知道30×6666.7很难算？试试看！
11想笔算，007不让：我认为你可以心算出来。
哈哈，30×6666.7原来等于200001。这个算式真变态！
007：现在你能用简便的方法完成这道计算题了吧？
11：能！
请把计算过程写出来。
[color=Blue]666.66×6666.7＋99999×22.222
＝22.222×30×6666.7－22.222＋22.222＋99999×22.222
＝（22.222×200001－22.222）＋（22.222＋99999×22.222）
＝22.222×200000＋100000×22.222）
＝22.222×300000
＝6666600[/color]
这是不是一种简便的运算呀？
是的。
不过，你这么计算还不是最简便的方法。
还有更简便的？
是的。你看看我的算法跟你的有什么不同？
[color=Blue]666.66×6666.7＋99999×22.222
＝22.222×30×6666.7＋99999×22.222
＝22.222×（30×6666.7＋99999）[/color]
老爸，为什么要这样？
待会儿你会知道为什么。现在，我要问你，我的这一步对不对？
嗯——我不知道。
不会吧！？你跟我说说什么是乘法，22.222×30×6666.7＋99999×22.222里就两个乘法算式，你给我讲讲它们是什么意思？
哦，我明白了。22.222×30×6666.7就是30×6666.7个22.222，99999×22.222就是99999个22.222，所以22.222×30×6666.7＋99999×22.222可以变成22.222×（30×6666.7＋99999）。
这叫什么？
结合律。
好，我继续算下去：
[color=Blue] ＝22.222×（200001＋99999）
＝22.222×300000
＝6666600[/color]
其实，我们的算法是一样的。
是的。不过，我没有像你那样借来借去，这就少了一点出差错的可能。
小结：虽然儿子过不了一个月就上初中了，但是，从上面的表现看，他并没有完全掌握乘法的概念。虽然他能够熟练地做乘法练习，但到关键的时候还是暴露出了大量的机械练习损害了孩子对乘法概念及运算规则的理解。过快、过分地追求计算熟练，弊害实在太大。
有多少人看到了这种弊害？
又有多少人在乎这种弊害？
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-11 14:25 编辑 [/i]].
爱清清 2011-8-9 11:59
[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2011-8-8 12:58 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8102497&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
我是在江南一个山区完成中学学业的。不要以为穷乡僻壤就没有好老师，我甚至觉得小学一年级那个小学毕业就代课的老师，都比现在许多正规大学毕业的数学老师，更具教育家的风范。
我读中学时，“文革”结束不 ... [/quote]
精彩！感动！受教了！！
碰到一位好老师真是一生的幸福啊！
[[i] 本帖最后由 爱清清 于 2011-8-9 12:00 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2011-8-9 12:07
回复 6#hxy007 的帖子
>666.66×6666.7＋99999×22.222
这种题目就应该丢到垃圾桶里去.
政儿妈 2011-8-9 13:35
回复 6#hxy007 的帖子
学习了 解题思路很重要.
hxy007 2011-8-11 11:49
一两理解胜过一吨作业！
[quote]原帖由 [i]爱清清[/i] 于 2011-8-9 11:59 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8103448&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
精彩！感动！受教了！！
碰到一位好老师真是一生的幸福啊！ [/quote]
是的，遇到好老师是孩子的幸运。
好老师的一种为师策略就是偷懒——少布置作业，因而可以少批改作业。
为了偷这种懒，好老师就会有另外一些为师策略，例如：精选习题、考题，确保学生理解、掌握并且能够举一反三，闻一知十。这样，他指导学生做1道题，胜过表面非常努力和尽职、实际却是在蛮干的老师布置学生做100道题。.
Tiger999 2011-8-11 11:52
*** 该贴被屏蔽 ***
hxy007 2011-8-11 11:56
[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2011-8-9 12:07 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8103468&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
>666.66×6666.7＋99999×22.222
这种题目就应该丢到垃圾桶里去 [/quote]
呵呵，比这更加无聊的题多的是。阳阳读二年级了吧？这一年你应该见识过了。
一个人反对和抵制，意义和作用趋近于0；无数个亿万分之一相加，趋近于无穷大。改变现状，不能只寄希望于体制的革新，也需要公民的联合行动。一起来声讨、检讨、抵制这种为应试（快速准确熟练）而做题的作业策略吧！.
hxy007 2011-8-11 11:59
[quote]原帖由 [i]政儿妈[/i] 于 2011-8-9 13:35 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8103664&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
学习了 解题思路很重要 [/quote]
确切地说，理解比熟练地套用公式、口诀解题更重要。.
hxy007 2011-8-11 12:49
努力学习，好得很！刻苦学习，糟得很！
[quote]原帖由 [i]Tiger999[/i] 于 2011-8-11 11:52 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8106419&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
内容很好，学习了；
可是标题“从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练）。。。。。。”，比较讨厌，有标题党的嫌疑，楼主是否能改成“从来不相信题海战术、机械训练。。。。”
这么有内容的帖子，本来就没必 ... [/quote]
谢谢你提醒和建议！
但是如果你看了小学版“从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣”（[url]http://ww123.net/baby/thread-4564875-1-1.html[/url]），就不会误解我这是哗众取宠“标题党”了。
007不反对努力学习，相反，我非常赞同努力学习。持续的、长久的努力学习，才能取得优异的学业成就。但是，持续的、长久的努力学习，建立在对学习有浓厚兴趣的基础之上。正常的人可以忍受厌恶的情绪，一时地“刻苦学习”某种枯燥乏味的知识或技能，但不可能持续地长时地坚持学习、取得如意的成就。出于某种外部压力持续而长久地“刻苦学习”，最终的结果必然是厌学，甚至厌世，陷于万劫不复的绝境！
数学之中有无以伦比的理智美，它可以满足人的理性、审美需求。引导孩子不断感受其中的理性力量以及令人叹为观止的纯粹美，他们就会发现数学好玩，数学有趣！有这种感受的孩子才能持续地、长久地努力学习数学、钻研数学，并从中感受自己的理性力量。觉得数学有趣、好玩的孩子会努力学习，但不会觉得这种学习是一种“苦难”，一种“折磨”，或者是一种“苦”。对他们来说，“努力学习”就是“快乐学习”，学这么有趣的数学何“苦”之有？何谈“刻苦学习”？
在小学版，“我不知道”亲子数学社反复讨论这个问题。我们发现，对于那些经常感受到数学学习乐趣的人，我们观点虽然在理，但根本不用多说；对于那些相信刻苦学习的人来说，无论我们怎么证明，怎么“引诱”，他们都不会相信我们。他们苦难的学习经历，使得他们不相信学习居然会是一件快乐的事。在他们眼里，学习就是一件很辛苦的事，不刻苦学习，怎么可能会有好成绩？
说到底，“刻苦学习派”跟“快乐学习派”是水火不相容的。“刻苦学习”跟“题海训练”互为因果，一个人如果认同“刻苦学习”，是很难拒绝、抵制“题海战略”和“机械训练”的。.
hxy007 2011-8-11 12:55
机械训练的弊害（二）：算术解法比代数解法更聪明么？
照现在数学教材的安排，小学生到五年级开始正式学习代数以及以此为基础的简易方程。在这之前，孩子学的都是算术。老师会布置大量有相当难度的应用题，逼孩子想破脑袋，想出种种“巧妙的”算术解法。这种反复的训练使孩子逐渐形成了一种固化的思维定势和习惯——对算术解法情有独钟。影响所及，到了五年级，他们很难接受代数的思维方式——他们无法理解在运算中居然可以用一个代号去代表某个未知的数据，无法忍受一个算式中居然会有不知道是多少的代号。换句话说，小学一至四年级过度的算术训练妨碍了后来的代数学习。
即使到五年级最终学会了如何解简易方程，孩子们也不愿意用代数方程的方法去解题。他们还是沿用习惯了、固化了的思维方式，设法用算术方法解决老师出的数学难题。许多时候，他们能够成功。这种成功，又强化他们原来的数学思维习惯。加上代数方法是要解方程的，而解方程需要写更多的步骤，写更多的字，许多孩子也会从这个角度找到坚持算术方法而不用代数方法的借口。
我的孩子在五年级时，班级就有这样一种舆论：代数的方法是白痴的方法，谁都想得出来！算术方法是巧妙的方法，能够用算术方法解题才是聪明的表现。因此，只要有可能，他们就会去寻找算术方法解题。逼得老师不得不在作业和测验中强行规定，必须列方程解题。007也不断利用一些难题，反复跟儿子讲道理，让儿子去体会：算术方法虽然看起来很聪明，但是你不能保证在有限的时间内想出这种“聪明的”解法。何况一些问题非常复杂，就算你有充裕的时间，也很难想出算术解法。代数方法就不一样，它是一种有保障的方法——它可以保证“白痴”都可以利用这种思路解决数学难题。这恰恰说明这是一种比算术解法更加聪明的思维方式！
儿子似乎听进去了，也时有感受。可是，一遇到新题，他又忍不住想用算术方法去解题。数学老师忍无可忍，甚至召见007，要求家长配合，帮助孩子扭转用算术方法解题的思维习惯。如此反反复复，整个小学五年级的就成了代数方法和算术方法之间竞争史、斗争史。这一年的竞争中，代数法偶然会赢，大多数情况下还是算术法占据优势……
回顾孩子五年学习小学数学的经历，过度的训练不但耗费子孩子们无数的、宝贵的童年时光，还使一个个充满灵气的孩子变得机械、思维僵化、保守、不愿意接受新生事物。得不偿失呀！
其中的教训有多少人体会到了？
其中的损失又有多少人在乎？
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-11 14:30 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-11 15:07
小升初暑假新气象（一）：不再抵制代数方程
儿子今年秋天上初中。新学校布置了20页密密麻麻的暑假数学作业。这些作业跟小学作业比起来，数量差不多，却难得多。儿子在独立完成这些作业的过程中，他的数学思维慢慢地实现着从算术向代数的转型。
有一道应用题，是这样的：
[color=Blue] 一艘轮船从宜昌顺水航行到上海，静水航行的速度是每小时27千米，水流速度是3千米，48小时可以到达，此船从上海返回到宜昌需要多少小时？[/color]
儿子是这样解题的——
解：设此船从上海返回到宜昌需要x小时，根据题意得
（27－3）x＝（27＋3）×48
24x＝1440
x＝60
答：此船从上海返回到宜昌需要60小时。
看到儿子用方程解题，007感到很意外，调侃道：哎哟，这么简单的题，怎么用方程来解呀？你不是一直觉得用算术方法解题更聪明吗？这一题可以用算术方法解决吗？
当然可以——［（27＋3）×48］÷（27－3）＝30×48÷24＝30×2＝60
什么意思呀？［（27＋3）×48］÷（27－3），你凭什么列出这这么复杂的算式？
要知道回去需要多少时间，就必须知道回程有多长，还要知道回去的速度是多少。回去的时间＝回程÷回去的速度。回程速度就是静水航速减去水流的速度，也就是27－3；从上海回宜昌的航程等于从宜昌到上海的航程，也就是（27＋3）×48。所以，回去的时间是［（27＋3）×48］÷（27－3）。
思路很清楚嘛，也很对头。既然如此，你为什么还用方程解题呢？
哎，老爸，两种方法其实是一回事。
怎么会一回事？我没看出来。
你看，（27－3）x＝（27＋3）×48，这个等式两边除以（27－3），就可以得到x＝［（27＋3）×48］÷（27－3），这就是算术方法里的算式了！
原来如此！007心下甚喜——在孩子行将进入初中之时，他终于认可代数的思维了！
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-12 14:31 编辑 [/i]].
嫣然妈妈 2011-8-11 20:00
[:ph68:].
hxy007 2011-8-12 14:25
[quote]原帖由 [i]嫣然妈妈[/i] 于 2011-8-11 20:00 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8107173&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
[:ph68:] [/quote]
哈哈，我们都踏上了初中的学习旅程！一路顺风！.
hxy007 2011-8-12 14:30
小升初暑假新气象（二）：二元一次方程不过如此！
新学校布置的那些应用题确实有相当的难度，儿子要是用算术方法解题，实在是没有这个能耐。他是给逼得没有办法，只好使用方程解题的。就这么做着做着，他居然习惯了代数的思维方式。
有一天，儿子兴致勃勃地拿着暑假作业来显摆：老爸，今天有一道题，我设了x和y两个未知数，我做出来了。
真的吗，你会用二元方程解题了？什么题？
[color=Blue] 植树节班级共42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生多种56棵，求男生、女生各有多少人？[/color]
儿子这是样解题的——
解：设男生有x个人，女生有y个人，根据题意得：
x＋y＝42 ……①
3x－2y＝56 ……②
根据②得，3x＝56＋2y
x＝（56＋2y）÷3 ……③
把③代入①得，（56＋2y）÷3＋y＝42 ……④
④×3得，（56＋2y）＋3y＝126
5y＋56＝126
5y＝70
y＝14
x＝（56＋2×14）÷3＝28
答：男生、女生各有28和14人。
不错，不错！你这是第一次用方程组解题，是自己想出来的，很不简单，说明你肯动脑筋。你先根据②式求x,再把x代入①式，最后求出y，根据y求出x。因为①式比②式简单，你也可以先根据①式求x,再把x代入②式……也就是——
解：设男生有x个人，女生有y个人，根据题意得：
x＋y＝42 ……①
3x－2y＝56 ……②
根据①得，x＝42－y……③
把③代入②得，（42－y）×3－2y＝56
解方程得，y＝14
x＝42－14＝28
007提示：你看，x＝42－y。既然如此，你也可以不设两个未知数。
儿子兴奋道：我知道了，只设一个未知数，也可以解题！
怎么解？
这样解——
解：设男生有x个人，女生有42－x个人，根据题意得：
3x－2×（42－x）＝56
3x－2×42＋2x＝56
5x＝56＋84
x＝140÷5＝28
42－28＝14
到初中，老师会教你们，你现在这个叫一元一次方程，刚才你用的是二元一次方程组。现在，你比较一下，用一元一次方程和用二元一次方程组解题，那种方法更加简单？
当然是用一元一次方程。
为什么这么说？
很明显嘛，用一元一次方程解题，步骤更少。
也就是说，字也写得更加少，是不是？
是的。
可是，你有没有注意到？——如果你用一元一次方程解题，你在列方程时，脑子里必须想一下女生究竟有多少人。而当你用二元一次方程解题时，你根本不需要多费脑子。你只要根据你的假设和题目的意思，列出两个方程就行了，不会出差错……
可是，后面解方程的步骤很烦。
解题的步骤是多了一点，但是等你非常熟悉怎样解方程之后，你就可以省去解题的步骤，直接写结果：“解方程得x等于多少、y等于多少”。也很省事的！
真的可以省掉解题的过程？
当然可以！从思考负担上来说，这道题用二元一次方程组解题，比用一元一次方程解题更轻松。数学就是用来帮助你学会偷懒的，如果有一种办法更加轻松，更有保障，更合理，更有效，你就应该尽可能选用这种办法。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-14 16:50 编辑 [/i]].
小兔子乖乖 2011-8-12 21:15
新预初了，继续跟着007学数学。.
ccpaging 2011-8-16 14:47
初中数学：会做，知道对错，会说，别人能听明白
1、会做，不知道对错。
2、会做，知道对错。
3、会做，知道对错，会说。
4、会做，知道对错，会说，别人能听明白。
初中始，要注意第3点，也就是说，要注意用语言来描述。日常学习中注意了，几何的学习就有了根基。
[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2011-8-16 14:53 编辑 [/i]].
ccpaging 2011-8-16 20:53
五升六：找规律（一）
找规律，在一些课外书里被分类到几何图形、排列组合。例如：
请大家数一数，下面的图形中有多少个三角形？
[attach]635863[/attach]
受过课外培训的同学，多半已经把上述的公式记熟了吧？这太简单了：
1+2+3+4+5+6 = 21
没做过的同学，会自己数数试试，以小五生的素质，也不难得出同样的结果。
既然，太简单的题目，大家都没兴趣想，那么，我们出一道更难的题：
请大家数一数，下面的图形中有多少个三角形？
[attach]635864[/attach]
[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2011-8-16 20:55 编辑 [/i]].
ccpaging 2011-8-17 17:04
五升六：找规律（二）
Alex 列出了算式：
(1+2+3+4+5)x2 + 5 = 35
父：对吗？
子：吃不准。你觉得对吗？
父：那说说看，这个算式是怎么列出来的？
子：我是分开来算的
[attach]636057[/attach]
这部分，原来算过的
1+2+3+4+5
[attach]636058[/attach]
这部分，也是一样
1+2+3+4+5
然后算大的三角形，一共5个。
父：那为什么吃不准呢？
子：我怕还有漏掉的。
父：嗯，这种担心是有道理的。
（其实，儿子算的没错。但是，这里存在一个逻辑推理，即所有的三角形可以分成三个部分来分别计算。这是一个逻辑推理，也可以是经验累积出的判断。显然小四生还没有建立起系统的逻辑推理，这个要通过学习几何才能实现。经验累积自然也不够。所以，担心“漏掉”是好的态度。）
父：那么，你觉得怎么才能判断对错呢？
子：我们原来研究过，如果从最简单的形状开始数，找到其中的规律，就可以知道对错了。
父：有时，这也还不够。但我建议你试试这种方法，不管怎么说，多一种方法验证，把握大一些。
（另外，我还发现一个问题。Alex 在讲题时，主要是比划，没有语言的描述。正好，这天时日尚早，可以好好折腾一番。）
[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2011-8-17 17:13 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-18 13:36
[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-8-16 20:53 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8114077&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
找规律，在一些课外书里被分类到几何图形、排列组合。例如：
请大家数一数，下面的图形中有多少个三角形？
635863
受过课外培训的同学，多半已经把上述的公式记熟了吧？这太简单了：
1+2+3+4+5+6 = 21
没做 ... [/quote]
这题有点意思，等11军训回来，俺们家也来研究研究，讨论讨论。.
hxy007 2011-8-18 13:38
[quote]原帖由 [i]嫣然妈妈[/i] 于 2011-8-11 20:00 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8107173&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
[:ph68:] [/quote]
请问：你家孩子在哪所初中？我们会是同学么？.
hxy007 2011-8-18 13:41
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗
儿子终于做完了小升初的暑假作业。其中有一道应用题是这样的：
[color=Blue]李老师从数学兴趣小组中调出1名女生到英语小组后，剩下的同学中男生人数是女生的6倍。如果不调出这名女生，而是调出2名男生，那么剩下的同学中男生人数是女生的4倍。问原来的数学兴趣小组有多少名同学？[/color]
[b]解法一：极其变态的推算法[/b]
儿子曾经拿这道题来考他老爸。
这道题可用方程轻易解决，但是007深受小奥的毒害，偏偏想用算术方法解题。
007读完题的第一反应是：原来数学兴趣小组中，男生的人数一定是6的倍数，或者是4的倍数加上2。
我的第二反应是：女生的人数肯定不只1名，因为调出1名女生之后，小组中就没有女生，男生人数就不可能是女生的6倍。那么，究竟有多少女生呢？不知道！那就猜呗。
我猜原有2个女生，调出1名之后，还剩1名，根据题意男生就有6人。照这个数，如果调出2名男生，就剩下4人，是女生的2倍，不是女生的4倍。所以，本假设不成立。
那我就猜原有3名女生，调出1名之后，还剩2名，根据题意男生就有12人。照这个数，如果调出2名男生，就剩下10人，也不是女生的4倍（但是接近于4倍了）。所以，本假设也不成立。
我继续猜，原有4名女生，调出1名之后，还剩3名，根据题意男生就有18人。照这个数，如果调出2名男生，就剩下16人，正好是女生的4倍。所以，本假设成立，原来的数学兴趣小组有18＋4＝22人。
儿子说：答案是对的，可是你这种方法太繁，太落后！
什么落后？你怎敢说老子落后？难道你有更加先进的办法么？
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-18 13:46 编辑 [/i]].
嫣然妈妈 2011-8-18 14:20
回复 25楼hxy007 的帖子
四升五，还没上初中呢！[:ph34:].
ccpaging 2011-8-18 14:30
回复 27楼嫣然妈妈 的帖子
莫不是抢跑？;P.
嫣然妈妈 2011-8-18 14:38
回复 28楼ccpaging 的帖子
快开学了，懒散了一个暑假，该打起精神备战了。.
hxy007 2011-8-18 15:14
[quote]原帖由 [i]嫣然妈妈[/i] 于 2011-8-18 14:20 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8116737&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
四升五，还没上初中呢！[:ph34:] [/quote]
看来，还是小学生的父母比较有学习的热情，愿意和孩子一起进步，愿意重温当年学习的内容与过程。.
hxy007 2011-8-18 15:15
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗 （续1）
接着说
[b]解法二：稍有一点不同的推算[/b]
好吧。下面一种方法，也许没有那么繁琐——
当我想到原来数学兴趣小组中男生的人数一定是6的倍数或者是4的倍数加2时，我应该顺着这个思路想下去：这究竟是个什么数呢？哈哈，6、18、30……都满足“既是6的倍数又是4的倍数加2”这两个条件。
假定男生是6个人，那么调出1名女生之后剩下的女生就是1人，也就是说原来有2个女生。可是，调出2个男生之后，剩下的男生是4人，仅是剩下女生的2倍，而不是4倍。所以，这个假设不成立。
假定男生是18个人，那么调出1名女生之后剩下的女生就是3人，也就是说原来有4个女生。照此说来，如果调出2个男生，剩下的男生就是16人，正好是女生的4倍。所以，这个假设成立，原来的数学兴趣小组有18＋4＝22人。
我说出这种解法，儿子依然认为我的方法太落后。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-18 15:17 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-18 15:28
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续2）
儿子实在看不下去了，他亮出了他自己的解法：
[b]解法三：一元一次方程解法[/b]
设男生有x人，则女生有（x－2）÷4人，根据题意得方程
（x－2）÷4－1＝x÷6
x÷4－2÷4－1＝x÷6
x÷4－0.5－1＝x÷6
x÷4－1.5＝x÷6
x÷4×6－1.5×6＝x
x÷4×6＝x＋9
x×0.25×6＝x＋9
1.5x＝x＋9
0.5x＝9
x＝18
（x－2）÷4＝（18－2）÷4＝16÷4＝4
18＋4＝22
答：原来的数学兴趣小组有22名同学。
阿油，看得我眼花缭乱！你说女生的人数是（x－2）÷4，这个我能够理解，因为这就是题目里第一个已知条件的意思。可是我看不懂（x－2）÷4减去１等于x÷6，你凭什么建立这个方程的呀？
儿子笑道：我是根据第一个已知条件得出的方程呀！
我表示还是不明白。
儿子耐心地解释：既然女生的人数是（x－2）÷4，那么，根据第一个已知条件（x－2）÷4－1就等于男生人数除以6。
007继续装傻：为什么等于男生人数除以6？条件中没有说呀！
儿子反问：剩下的男生人数是剩下的女生人数6倍，不就是表示“女生人数＝男生人数÷6”吗？
噢，我明白了。原来你一旦假定男生人数为x，根据已知条件就可以用两种方法表示女生的人数。然后，根据女生人数的等量关系建立方程。
是的，我的方程就是这个意思。
不对呀！根据第二个已知条件，女生人数是（x－2）÷4，根据第一个已知条件女生人数是x÷6＋1，根据女生人数的等量关系得出的方程应该是（x－2）÷4＝x÷6＋1，而你的方程却是（x－2）÷4－１＝x÷6。好像有点不一样。
儿子说：其实是一样的。
007说：好吧，就算是一样。可是我觉得你解方程可真够繁琐的。我真是佩服你，在解方程过程中居然想到了把x÷4×6变成x×0.25×6，你是怎么想到这一点的？
儿子得意地说：x除以4，就是x的4分之1，也就是x的0.25倍。
想到这一点蛮费脑子吧？
是的。
其实，你不一定要这么费脑子的。还有一种更加不容易出差错的解法。你看，我可以在（x－2）÷4－１＝x÷6这个等式两边各乘以6×4：
（x－2）÷4×4×6－1×6×4＝x÷6×6×4
（x－2）×6－24＝x×4
6x－12－24＝4x
6x－4x＝12＋24
2x＝36
x＝18
这种解法跟你前面的解法比，有什么更有利的地方？
没有出现小数运算，不用去想x÷4＝x×0.25
是的。建立方程要动脑筋，解方程也要动脑筋。现在我们来看一看，你的这种解法比我上面的解法先进在哪里？
你是在猜，一个一个地猜。要是男生数不是18，而是666，你要猜很久才能找到答案。
还真是这样！你的方法就不同的，非常严谨，而且保证能够找到答案。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-19 08:13 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-18 15:34
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续3）
007告诉儿子，这道题还有别的解法。
于是我们父子俩开始竞赛，看谁想到更多的解法。
007立即就报出了一种——
[b]解法四：一元一次方程解法2[/b]
设女生有y人，根据题意得方程：（y－1）×6＝4y＋2
解方程得：y＝4
（y－1）×6＝（4－1）×6＝18
18＋4＝22
儿子抗议：你的解法跟我的解法一样，你在剽窃我的思路！
你说得没有错，我在向你学习，我用了你的思路。但是，我设的是女生人数为y，我是根据男生人数的等量关系建立方程。你看，我建立的方程是不是跟你的不一样？
是不一样。
而且，我建立的方程解起来也没有你的繁。你看，这是为什么？
因为我的方程里有除号，你的方程里没有除号，你只要做乘法和加减法。
呵呵，我建立的方程让白痴级的同学都可能顺利解决。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-18 15:36 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-18 15:49
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续4）
[b]解法五：二元一次方程解法[/b]
这道题还有更加“白痴”的解法吗？你前面不是告诉过有一道题可以用设两个未知数的方法去解决吗？这题能不能也这么来一下？
儿子马上兴奋起来了：我可以设男生有x人，女生有y人。
那么，根据题目中的第一组已知条件，你可以得出一个方程来吗？
儿子在小黑板上写出：x＝（y－1）×6
这是第一个方程。解二元一次方程，还需要一个方程，你能够根据已知条件得出另一个方程来吗？
儿子一边说一边写：根据第二组已知条件，可以得x－2＝4y
这两个方程就构成了一个方程组，你能根据这个方程组解出x和y来么？
我把第一个方程代入第二个方程中，可以得（y－1）×6－2＝4y。
哈哈，有两个未知数的二元一次方程一下子就变成了只有一个未知数的一元一次方程！这个方程你会解么？
这个不难。
且慢，你需要去解它么？你看这个方程跟我们前面列的方程有什么关系？
儿子突然大声地叫了起来：老爸，这就是前面你那种解法里的方程嘛！
啊哈，被你看出来了。那好，请你比较一下这两种方法。
它们其实是一回事，没有什么好比的。
不对吧。请你回想一下，是这个二元一次方程组容易想出来，还是那个一元一次方程容易想出来？
嗯，两个差不多。
不对。你想一想，如果你分别把男女生人数设为x和y之后，你只要照着题目的意思就可以直截了当、毫不费力地得出两个方程。因为两组已知条件明示了两个等量关系。可是，你要是只设女生人数为y，你就得先想到利用男生人数的等量关系建立方程的思路，你才有可能会利用两组已知条件找到这个等量关系。而且，利用两组已经包含两个等量关系已知条件，去思考另外一个等量关系，很容易把脑子搞乱。这些都承认吧。
我可没有搞乱。
我承认你脑子清楚，但我们要考虑的是有没有这种可能——这种方法让你多用了脑子。多绕弯子，就多了出错的可能。
可是，这个二元一次方程组解起来比那个一元一次方程多了一步。
是的，你要多做一步，多写一些字，但你少费了一点脑子，少了一点出差错的可能。如果要你来选择的话，哪个更合算？
还是少出差错更合算。
数学就是在帮助你学会用最简捷有效的方法解决问题。哪种方法越简明，就越有保障。能够保证连白痴都会用的方法，才是真正聪明的方法！.
ccpaging 2011-8-18 16:31
回复 34楼hxy007 的帖子
我们夸美人的身材好，都说一分不多，一分不少。数学之美也是如此，多一分嫌胖，少一分嫌瘦。
简单而且致命，这是数学所追求的。.
hxy007 2011-8-18 16:54
[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-8-18 16:31 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8117058&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
我们夸美人的身材好，都说一分不多，一分不少。数学之美也是如此，多一分嫌胖，少一分嫌瘦。
简单而且致命，这是数学所追求的。 [/quote]
数学就是个大美人。可惜，有许多人把她的面目弄得狰狞不堪。.
hxy007 2011-8-18 17:11
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续5）
[b]解法六：二元一次方程解法2[/b]
007对儿子说：我也可以用二元一次方程解答这道题。
好。但是，你不能像我这样设男生有z人，女生有y人。
哈哈，你难不倒我。我设数学兴趣小组原来共有z人，其中女生有y人，男生有z－y人，这种假设可以吧？
可以，那你的方程组呢？
根据第一组已知条件，男生人数等于女生人数减掉一个之后的6倍，因此，z－y＝（y—1）×6，我这个方程没有列错吧？
没错，第二个方程呢？
根据第二组已知条件，男生人数减掉2个之后就等于女生人数的4倍，因此，z－y－2＝4y，这个方程对不对？
对的。我们有了一个方程组。
现在我们来解这个方程组。你会解吗？
应该没有问题。
那你来试一试。
第一个方程可以变成z＝7y—6，第二个方程可以变成z＝5y＋2，所以，7y—6＝5y＋2，化简得2y＝8,所以，y＝4，z＝5y＋2＝5×4＋2＝22.
不错，不错！你已经能够比较灵活地使用代入法了。现在我给你看一种新的解方程组的方法。注意——我用第一个方程左边的式子减去第二个方程左边的式子，它们的差是多少？
嗯，等于2.
我用第一个方程右边的式子减去第二个方程右边的式子，它们的差又是多少？
（y—1）×6－4y＝2y－6，我知道了，2y－6＝2, 化简2y＝8,所以，y＝4……
是的，这是解方程组的另外一种方法。
这种方法很有意思。
虽然很有趣，有条件的时候可以用，但有的时候用不上。如果两式相加或相减不能消除一个未知数，就不能用。
是不是有很多解方程组的方法？
是的，以后你会学到的。
父子俩意犹未尽。007突然说：这个方程组还有一种解法。你刚才其实是先根据第一个方程算出z＝7y—6，然后把它代入到第二个方程式里。我也可以根据第一个方程算出y＝（z＋6）÷7，然后把它代入到第二个方程式里，得z－（z＋6）÷7－2＝4×（z＋6）÷7，你来解这个方程吧。
又有讨厌的除法，烦死人，我不想算，行不行？
我们一起来算算看，说不定有新的发现。你先说。
这个式子可以变成z－2＝4×（z＋6）÷7＋（z＋6）÷7
也就是z－2＝5×（z＋6）÷7，两边乘以7……
就变成了7×（z－2）＝5×（z＋6）
乘进去就是，7z-14＝5z＋30
两边加14得：7z-＝5z＋44
两边再减5z得：2z＝44
两边除以2得：z＝22。哈哈，我知道了，我们可以不用去算y了！
为什么？方程组还没有解完，y还没有算出来呢！
老爸，你看看题目。它只问我们数学兴趣小组原来总共有多少人。我们求出了z就够了，不用去求y了。
原来是这样。看来，这种看似复杂的解法也有可取之处。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-21 14:02 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-19 13:39
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续6）
[b]解法七：二元一次方程解法3[/b]
还有其它解法吗？
007对一题多解着了迷，这种情绪也感染了儿子。他开始学他老爸的样，居然以其人之道还治其人之身，也无耻地抄袭他爸的解题思路来：我也可以设数学兴趣小组原来共有z人，其中男生有x人，女生有z－x人。
可以呀，照这种假设，你的方程组呢？
x＝（z－x－1）×6
x－2＝（z－x）×4
好，你准备怎么解这个方程组。
我不想解了。
你说，我来写。
第一个方程可以变为x＝6z－6x－6，再变为7x＝6z－6，x＝（6z－6）÷7
第二个方程可以变为x－2＝4z－4x，再变为5x＝4z＋2，x＝（4z＋2）÷5
所以，（6z－6）÷7＝（4z＋2）÷5
两边乘以7×5得：（6z－6）×5＝（4z＋2）×7
展开方程得：30z－30＝28z＋14
化简得：2z＝44
所以，z＝22
好，殊途同归！我们用三个不同的方程组得到了同样的结论。这三个方程组是不一样的，是不是？
是的。
让你印象最深的是哪一点？
第一个方程组先要算出男生和女生人数，再算总人数。第二、第三个方程组直接就算出了总人数。
这跟我们建立方程组的前提假设有关。我们用二元一次方程组解决问题，第一种办法把男生人数和女生人数设定为未知数，利用方程组求出了这两个数，还得把它们相加才能得到最终的答案。后两种方法却直接把总人数作为一个未知数来建立方程，所以我们可能直接求得题目的答案。
那我以后就用后边这两种方法。
如果有可能，当然是问什么就设什么为x，这是最直接省事的方法。不过，有的时候，太直接，会增加你建立方程的难度。等你以后见多了，对这一点就会有体会。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-21 14:05 编辑 [/i]].
jeff的妈 2011-8-19 13:49
风格
[:ph58:].
hxy007 2011-8-19 14:19
[quote]原帖由 [i]jeff的妈[/i] 于 2011-8-19 13:49 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8118646&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
[:ph58:] [/quote]
木有看懂。:L.
hxy007 2011-8-19 14:23
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续7）
前面你曾经设男生人数为x，用一个一元一次方程解题；我也曾经设女生人数为y，用一个一元一次方程解题；现在，我们能不能设总人数为z，也用一个一元一次方程解题？
好像可以耶！
007和儿子分头去想办法。
两个差不多是同时想出来的。
[b]解法八：一元一次方程解法3[/b]
儿子先说他的解法——
设数学兴趣小组原来有z人，根据题意得方程：（z－1）÷(6＋1)＋1＝（z－2）÷(4＋1)
等号两边各乘以7×5得：（z－1）×5＋7×5＝（z－2）×7
展开方程得：5z－5＋35＝7z－14
化简得：2z＝44
所以，z＝22
007一看，儿子列的方程跟自己的不一样，但答案正确，感到非常惊讶。赶紧请教：你这个方程，我没有看明白。
儿子解释道：题目说，调出一名女生后，剩下的人中男生人数就是女生人的6倍，就表示剩下的人分成7分，6份是男生，1份是女生；剩下的人数除以7，就是剩下的女生人数，再加上调出去的那个，就是原来的女生人数。
（z－2）÷(4＋1)大概也是这个意思吧？
是的。调出2名男生之后，剩下的男生就是女生的4倍，那就表示剩下的人分成5分，女生1份，男生4份；剩下的人数除以5，就是女生人数。
噢我明白了，你是利用女生人数的等量关系，来建立方程的。好像这个解法很省事。
是的。
但是，要想到这个等量关系并不容易。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-19 14:28 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-19 14:48
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续8）
[b]解法九：一元一次方程解法4[/b]
轮到老子说，小子在一旁听着。
哼，题目问我什么，就假设什么。我也设数学兴趣小组原来有z人。
根据题意得方程：（z＋6）÷7＝（z－2）÷5
解方程得：z＝22
哈哈，现在轮到儿子一脸困惑了。
007开始讲故事了：李老师发现调出1名女生之后，男生正好是女生的6倍。她又把那个女生叫回数学兴趣小组，同时从英语学习小组调来6名男生充实数学学习小组，现在男生是女生的几倍？
还是6倍。
就像你刚才的说的那样，这就表示这个学习小组增加6名男生之后可以分成7份，女生1份，男生6份，是不是？
是的，所以（z＋6）÷7就是女生人数。
（z－2）÷5是什么意思，不用我说了吧？
不要，我刚才说过了。
你看，我列的方程跟你的不一样，但是我们的思路也不一样吗？
有点不一样。
我不同意。你利用了女生人数的等量关系建立方程，我呢？
你也是。
所以说，我们总体的解题思路是一样的。
但是你列的方程很变态。
这个我承认，你列的方程更加明白易懂。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-19 14:49 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-19 14:57
无穷的探索，无穷的乐趣
还有其它解法么？
也许还有。
到儿子军训回来，咱们再研究。
有人说，从一滴水可以看见一个世界。
我要说，从一道题也可以看见一个世界，一个精妙绝伦的理性世界。.
ccpaging 2011-8-20 21:20
回复 43楼hxy007 的帖子
也许，试算表格可以用坐标代替了，先示范，让同学们慢慢体会。可以算是解析几何的启蒙吧。.
hxy007 2011-8-22 10:13
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续9）
[b]解法十：一元一次方程解法5[/b]
儿子军训回来了，我们又捡起了前面的话题。在回顾的时候，我们发现，以前我们在建立方程的时候，比较多地利用了女生人数的等量关系，却很少利用男生人数的等量关系。
例如，前面说过，儿子曾经设男生有x人，根据题意得方程（x－2）÷4－1＝x÷6，这就是利用了女生人数的等量关系建立的一元方程。
007刁难儿子：就这样的前提假设，你能利用男生人数的等量关系建立一个方程么？
儿子想好一会儿，亮出了一个新的方程：
［（x÷6）＋1］×4＋2＝x
儿子解释说：这个方程的意思是，男生人数的六分之一，就是调出一个女生之后剩下的女生人数；加上1这个，就是原来的女生人数；女生的人数乘以4，就是调出2个男生后剩下的男生人数，加上这2个，就是男生原来的人数。
啊哟，真绕呀！不过，我能够理解。我们还发现，［（x÷6）＋1］×4＋2＝x这个利用男生人数等量关系建立的方程，经过番折腾之后，就会变成我们原来利用女生人数等量关系建立的方程（x－2）÷4－1＝x÷6。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-22 11:20 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-22 10:30
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续10）
[b]解法十一：一元一次方程解法6[/b]
前面007曾经假设女生有y人，根据题意得方程（y－1）×6＝4y＋2。儿子发现这是一个利用男生人数等量关系建立的方程，他提出了一个利用女生人数等量关系建立的方程：
［（y－1）×6－2］÷4＝y
这个方程的意思是：女生调出1名之后的人数（y－1），乘以6，就是男生的人数；这些男生中调出2名之后，就是女生的4倍；这就意味着，剩下的男生人数［（y－1）×6－2］，除以4，就是女生的人数y。
哈哈，这个方程虽然很变态，但解释之后，并不难理解。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-22 11:20 编辑 [/i]].
ccpaging 2011-8-22 10:59
回复 46楼hxy007 的帖子
昨天活动中，对分数加法的研究，也很不错，值得总结。有意思的是，当活动小组增加一个小四女生，带来了新的变化。作为一个小组，各种特性的成员在一起，会产生奇妙的综合作用。.
hxy007 2011-8-22 11:13
[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-8-22 10:59 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8122708&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
昨天活动中，对分数加法的研究，也很不错，值得总结。有意思的是，当活动小组增加一个小四女生，带来了新的变化。作为一个小组，各种特性的成员在一起，会产生奇妙的综合作用。 [/quote]
TT很专注，也非常愿意发表自己的看法，但凡是老师都会喜欢这样的学生，教这样的学生如沐春风啊！
她参加我们亲子数学社，确实起到了非常多的积极作用。.
hxy007 2011-8-22 11:19
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续11）
[b]解法十二：一元一次方程解法7[/b]
小结一下：无论是设男生人数是x，还是设女生人数为y，我们都可以利用女生人数的等量关系建立方程，也可以利用女生人数的等量关系建立方程。
儿子问：设数学兴趣小组原有人数为z，也是这样吧？
007：应该也可以这样。我们看看前面列的方程，利用的是哪种等量关系？你列的方程是（z－1）÷(6＋1)＋1＝（z－2）÷(4＋1)，请问这个方程反映的是什么等量关系？
女生人数的等量关系。
我列的方程是（z＋6）÷（6＋1）＝（z－2）÷（4＋1），利用的又是哪种等量关系？
还是女生人数的等量关系。
看来，我们还可以利用男生人数的等量关系，建立新的方程。
儿子累了，不愿意想下去。007却极度兴奋，等不及儿子休息恢复，自己就干了起来。很快，我就找到了反映男生人数等量关系的一元方程：
（z－1）÷（6＋1）×6＝（z－2）÷（4＋1）×4＋2
什么意思呢？根据题目的第一组已知条件，总人数调出1名女生之后分成7分，其中七之一是女生，另外七分之六就是男生总人数啰！同理，根据第二组已知条件，总人数调出2名男生之后分成5分，其中五之一是女生，另外五分之四再加上调出那两名男生，就是男生的总人数啰！根据上述意思就可以建立一个反映男生人数等量关系的方程。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-22 11:30 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-22 11:26
[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-8-22 10:59 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8122708&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
昨天活动中，对分数加法的研究，也很不错，值得总结。有意思的是，当活动小组增加一个小四女生，带来了新的变化。作为一个小组，各种特性的成员在一起，会产生奇妙的综合作用。 [/quote]
昨天的活动密度有点大，数三角形、讨论分数加法之后，留给讨论方程的时间太少了。这个题目只有完整地、透彻地讨论之后，才能发挥出它的威力——可以这么说，弄通了这道题，搞定中学的一次方程问题就有了坚实的基础。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-22 11:29 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-22 12:14
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续12）
[b]解法十三：一元一次方程解法8[/b]
昨天下午，“我不知道”亲子数学社搞活动，大家在有限的时间里讨论了007跟11折腾半个暑假的这道变态应用题。
007猜想小四生讨论这题太难，原本计划从算术解法导入我们的讨论。谁知道，人家不屑，听懂题之后立即提出用方程解题。原来，人家学过简易方程了。
007：那么好吧，就讨论方程的解法。题目是要我们求出数学兴趣小组原来的总人数，要是我们知道其中的女生人数，或者知道其中的男生人数，这个问题就很容易解决了。问题是：我们都不知道，怎么办？
“设x。”同学们异口同声。
007：设哪个未知数为ｘ呢？
“女生人数。”又是异口同声。
007：为什么？为什么一定要设女生人数为ｘ？难道不可以设男生人数为x吗？
J同学：不行，男生人数比女生人数多。
TT同学：老师说，不要设大的数，要设小的数。这样子方便列方程式。
007：这是一般情况，但并不表示别的假设就一定不行。
Alex：干脆两个都设，女生为ｘ，男生为y，建立一个方程组。
11也起哄：还可以直接设数学兴趣小组原来的总人数为z呢！
CC：TT是女生，你就设女生人数为x；J同学，你是男生，你可以设男生人数为y。
J同学：不行，我要设女生人数。
007：好吧，你们爱设什么就设什么，关键是要列出正确的方程，列得越多越好。
过了一会儿，TT和J同学各自列出了同样一个方程式（为了跟前面统一，这里将他们方程中的ｘ都改成了y）：（y－1）×6＝4y＋2
有趣的是，TT还提出了一个新的方程：
（y－1）×6＋y＝（4y＋2）＋y
她妈妈声明：其实这个方程跟前面那个方程是一回事，不过是等式两边各加了一个y而已。
007不明白：既然如此，TT你怎么会想到第二个方程呢？
TT解释说：我的第一个方程表示女生人数的等量关系，第二个方程表示总人数的等量关系。
007和儿子都眼睛一亮——天哪，这个题目中还有一种等量关系，我们居然没有注意到！.
hxy007 2011-8-24 09:59
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续13）
[b] 解法十四：一元一次方程解法9[/b]
儿子很快就列出一个以男生人数x为前提假设、反映总人数等量关系的方程：
x＋（x÷6＋1）＝x＋（x－2）÷4
这个好理解。第一种情况的男生与女生之和（总数），等于第二种情况的男生与女生之和（总数）。光从方程的角度看，儿子以前列出过一个反映女生人数等量关系的方程式x÷6＋1＝x－2）÷4，现在不过是在等式两边各加了一个x而已，但新方程反映的是总人数的等量关系。.
hxy007 2011-8-24 10:19
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续14）
[b]解法十五：一元一次方程解法10[/b]
007也受到启发，找到另一个以女生人数y为前提假设、反映总人数等量关系的方程：
（6＋1）y－6＝（4＋1）y＋2
呵呵，我承认，这个方程很变态！我来解释一下吧：
根据题目第一组已知条件，我们可以换一种思路来分析——如果李老师不调出1名女生到英语兴趣小组，反而从英语兴趣小组调6名男生到数学兴趣小组，那么，数学兴趣小组中的男生人数就正好是女生人数的6倍。换句话说，调整过的数学兴趣小组总人数是女生人数的6＋1倍，即（6＋1）y。因此，数学兴趣小组原有人数是（6＋1）y－6。
同理，根据第二组已知条件，调出2名男生之后，数学兴趣小组的总人数是女生人数的4＋1倍，即（4＋1）y。再加上调出的那2名男生，就是数学兴趣小组原来的总人数。
两种情况下，数学兴趣小组原有人数是不变的，是一样的，所以（6＋1）y－6＝（4＋1）y＋2。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-24 10:21 编辑 [/i]].
hxy007 2011-8-24 10:53
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续15）
[b]解法十六：一元一次方程解法11[/b]
那么，假设总人数是z，能不能建立一个反映总人数等量关系的一元方程呢？
周日下午，亲子数社几乎所有的人都说不存在这种可能性。要是有的话，就是z＝z，等于没有列方程！
真是大家想象的那样么？007不信这个邪。晚上等孩子睡着了，007重捡这个折腾我们一个月的应用题。
哈哈，我找到了——
［（z－1）÷（6＋1）＋1］×（4＋1）＋2＝z
晕吧？老实说，我也有点头晕。不过，我这个方程的答案是对的，z＝22。想知道我列这个方程的依据和思路吗？
（z－1）表示调出一名女生后数学兴趣小组的人数；
（z－1）÷（6＋1）表示调出1名女生后数学兴趣小组剩下的女生人数；
（z－1）÷（6＋1）＋1当然就表示数学兴趣小组原有的女生人数；
［（z－1）÷（6＋1）＋1］×（4＋1）表示调出2名男生之后数学兴趣小组的人数；
［（z－1）÷（6＋1）＋1］×（4＋1）＋2当然是就数学兴趣小组原有的人数！
呵呵，007厉害吧！
且慢，别忙着佩服007！请看前面我们设总人数为z、利用女生人数等量关系建立的那个方程（z－1）÷(6＋1)＋1＝（z－2）÷(4＋1)，那个方程跟这个方程是不是很像呀？.
hxy007 2011-8-24 11:18
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续16）
[b]解法十七：一元一次方程解法12[/b]
前面还有一个方程：（z＋6）÷（6＋1）＝（z－2）÷（4＋1），这是一个反映女生人数等量关系的方程，稍加变化，就成这个样子
［（z＋6）÷（6＋1）］×（4＋1）＋2＝z
这就是一个反映总人数等量关系的一元方程，思路如上。
个人觉得，能够想出这样的方程的同学一定很变态！.
hxy007 2011-8-24 11:29
小升初暑假新气象（三）：万变不离其宗（续17）
[b]解法十八：一元一次方程解法13[/b]
根据第一组已知条件，少一个女生的话，男生就是剩下女生的6倍。这就意味着，多6个男生的话，男生也是原女生人数的6倍。前面的探讨经常利用这一点，化出了多个新方程。如果继续想下去的，说不定还有新的发现。
例如，设男生人数为x，根据题意可以得出一个反映女生人数等量关系的新方程：
（x＋6）÷6＝（x－2）÷4.
谷子 2011-8-29 12:05
好东西，顶起来！:victory:
在匆匆忙忙的题海中，往往忽视了最本质的东西。
其实，一道题，想透彻了，学会举一反三了，何愁打不开一片天？.
bbxcly 2011-8-30 22:16
好厉害的007.真希望我家孩子也能遇到你这样的好老师。.
乡音 2011-8-30 22:26
回复 14楼hxy007 的帖子
讲得非常好!.
香甜苹果 2011-9-2 10:49
好，等着下面继续.
小兔子乖乖 2011-9-2 12:05
看了很受益，都打印下来了回家继续和儿子一起学。.
翰翰妈 2011-9-10 22:43
请问亲子数学社在哪？.
hxy007 2011-9-11 09:34
[quote]原帖由 [i]翰翰妈[/i] 于 2011-9-10 22:43 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8177680&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
请问亲子数学社在哪？ [/quote]
在这里，在网上，在旺网[url]http://ww123.net/forumdisplay.php?fid=20&cycleid=1112&extra=[/url]
在我家，在你家，在千家万户，凡是愿意和孩子一起探究数学，分享数学乐趣的人家，都有亲子数学社。.
ccpaging 2011-10-8 16:20
极限启蒙（一）分不完的桃子
父：今天我们讲一个分桃子的故事
子：哦（一脸不屑，桃子谁不会分啊）
父：有一天，妈妈给了Alex一个桃子，Alex说：“妈妈，我今天只吃半个桃子， 剩下半个我明天吃，好吗？”，于是，妈妈用刀切了半个桃子给Alex，Alex很开心地吃完了那半个桃子。
子：还剩下半个，妈妈放在冰箱里边了
父：是的。到了第二天，Alex放学回家了，妈妈从冰箱里边拿出了半个桃子给Alex。
子：爸爸，我想你肯定不会说：“Alex把桃子都吃了吧？那样的话，就太没劲了”
父：Alex对妈妈说：“妈妈，你把这半个桃子再分一半吧，我吃一半，剩下的放回冰箱”
子：第三天呢？
父：Alex只吃了一半剩下的桃子。你想想，这种吃法，Alex能吃几天才能把桃子吃完啊？
子：（嘻嘻），那不是每天都可以吃桃子了吗？
父：是啊，永远也吃不完
子：爸爸，有个问题，剩下的桃子越来越少，用什么刀子切啊？
父：这确实是个问题，也许到后来，桃子只剩下一DD，我们只能在脑子里边把它分成2半了。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
这是在很久以前，小学二三年级的时候，给 Alex 讲过的一个故事，那时 Alex 还没学过分数呢。
现在，楼主 hxy007 已经荣升初中了，应该学过分数了吧？那么，小五生在这里请教下，上面这个分桃子的过程，预初生可以用数学算式来表示吗？.
聪聪妈妈2000 2011-10-9 13:54
受教了，小儿也是预初，成长进行时…….
ccpaging 2011-10-9 20:15
极限启蒙（二）分桃子的分数表示
对预初生来说，介太简单了，简单都都不用写下来、、、那么，我来记录吧。
起点： 1
第一次：1-1/2 = 1/2
第二次：1-1/2-1/4 = 1/4
第三次：1-1/2-1/4-1/8=1/8
第四次：、、、
子：咦，好像有规律的。哦
父：神马规律，我怎么没看见？
子：我猜第四次剩下 1/16。
父：1/8 桃切开，就是2个1/16，吃掉一个1/16，剩下的可不就是1/16吗？
子：我说的是算式。
父：哦，那我倒是要算一算。
1-1/2-1/4-1/8-1/16
=（16 - 8 - 4 - 2 - 1）/16
=1/16
哈哈，我又算对了。
子：这有什么稀奇，你只会通分，我给出个难一点的，你试试看呢？
1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - 1/32 - 1/64 - 1/128 - 1/256 - 1/512 - 1/1024 = ?
父：果然很变态哦。答案我能猜出来的。
子：我也知道的。
父：多少？
子：1/1024。我早跟你说了，有规律的。
父：其实，我知道。但是，要证明它，我只会通分的办法。
子：没必要证明了吧。
父：那不行，必须证明了。未经证实的猜想是毫无意义。
各位预初生，除了通分之外，还有什么简便的方法可以求出下式的结果呢？
1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - 1/32 - 1/64 - 1/128 - 1/256 - 1/512 - 1/1024.
ccpaging 2012-9-6 21:33
终于，俺们也预初了
继续跟着007，共同学习，共同进步。.
ccpaging 2012-9-6 21:38
怎么做拓展题
亲子数学进入了初中，跟小学还是有些差别的。毕竟孩子长大了，有些比爸妈都长得高了吧？总感觉，不太可能再像小学那样事无巨细地手把手地教，是不是应该尽量给孩子机会独立思考呢？
刚才在七宝二中的帖子说到，怎么做拓展题，顺便转载过来。
其实，这没有什么弄巧的招数，无非是多想多试。数学的本意就是让人思考的。今天想不出，明天想。明天想不出，后天想。每天思考的时间以不耽误基本的作业为限。
1、不要到网络上找解答。即使找到解答，看懂了，也不行。因为是拓展的内容，比较难。这是一个挑战，也是数学能力的养成。而且，对初中生来说，认知自己也是一个重要的内容。总之，要避免自己、家长和老师对数学能力做出错误的评价。
2、同学之间交流是可以的，但仅限于共同攻关。如果别的同学会做了，要给你讲一遍，请认真地回答：“对不起，我要自己想。”.
ccpaging 2012-9-8 08:36
数学攻关：专注度和专注力很重要
这几天碰到一道难题，Alex 总是半途而废，东试试西试试，无结果。等解出来（我引导了，干预了:L ）才发现，其实并不如原来想象的难。但为什么平时就没有想到呢？从我观察的现象看：
1、主次不分，专注度不够。主课的学习始终是初中生最重要的事情。老师布置的题目没完成，那么，就要优先安排闲暇时间做这个事儿。而不是一有空就看课外书和玩手工。
2、专注的时间不够长，专注力不够。
柏拉图认为关于理性的知识唯有凭借反思、沉思才能真正融会贯通，达到举一反三。Alex 还是浮躁了些。.
hxy007 2012-9-8 21:39
长时段的持续思考力
[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2012-9-8 08:36 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8955939&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
这几天碰到一道难题，Alex 总是半途而废，东试试西试试，无结果。等解出来（我引导了，干预了:L ）才发现，其实并不如原来想象的难。但为什么平时就没有想到呢？从我观察的现象看：
1、主次不分，专注度不够。主课的 ... [/quote]
中学数学很多地方不同于小学数学，对孩子的学习提出更高的要求，甚至是全新的要求。例如，中学的数学不但问题更复杂，解题过程也更复杂。要胜任中学数学的学习，就得有长时持续思考的习惯和能力。
聪明的小学生做数学题轻松得很，一看就懂，一做就成，久而久之就习惯了持续思维几分钟（顶多十分钟）的模式。如果遇到必须持续思考二三十分钟才能找到思路的难题（一旦中断又得从头再来），他们就难以胜任了。
小五生、预初得过这一关。
11还没有过好这一关。今天他跟我连续讨论几道难题。当我说我的思路时，往往我说到两三句话，他就打断我，接连质疑：为什么要这样？跟我要解决的问题有什么关系？……表面上看，他是没有耐心，急于看到解题的眉目；实际上，是因为他还没有习惯长时间的持续思考。他习惯的是，老爸说一句话，就让他找到了解题之道。中学数学里哪有这么便宜的事？.
ccpaging 2012-9-10 12:43
回复 70楼hxy007 的帖子
周六我不在家，任儿子自己安排。等我周日醒来，发现 Alex 自己对某道难题的探究结果写了一份简短的报告，有模有样。
看来，初中生需要多一些的时间，去做一些他们想做的事情。家长们才会有惊喜。
仔细想了想，教育就是浪费时间，如时间都浪费不起了，还谈神马教育啊。果断停了时间段不匹配的新概念英语课程，要不在家自学英语，要不看场原版电影。
[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2012-9-10 12:44 编辑 [/i]].
ccpaging 2012-9-25 21:37
推荐一本适合初中生的数学课外读物
《雨林中的欧几里德》
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约瑟夫开创了一种极具吸引力的写作方式，他在每日的现实生活与奥妙的数学世界之间架起了一座奇妙的桥梁。——哈佛大学数学系主任，约瑟夫·哈里斯
扬弃了复杂的证明和枯燥的专业语言，取而代之的是有趣的故事和丰富的经验，其结果便是智慧、奇妙和令人振奋。——《书业评论》
公元前300年，欧几里德在十三卷羊皮纸上写下了《几何原本》，那时逻辑推理已经相当成熟，然而类似如下的论辩又使得常规的数理逻辑陷入了自相矛盾之中。让一个物体移动任意一段距离，它必须首先到达一半距离处，然后是剩余距离的一半处，如此连续地重复着，物体则永远不得不到达某个剩余距离的一半处，所以，它永远也不可能移动全部的距离……
怪异的无穷以及诸如此类的有关推理与逻辑的疑问，向数学提出了艰巨的挑战。乍眼看来这些疑问常常令人敬畏，然而在本书中，我们将透过数学证明和数理逻辑的表面形式，来洞见数学之本源——数学思想和逻辑思维的基本模式，并以此来对上述疑问作以解析。正如书中所言：数学好似一座繁茂的雨林，漫步其中我们所感受到的不仅是智慧的伟大，由深邃思想和严密论证而带来的数学之美以及涉步于数学旅程之中所伴随的愉悦更加令人流连。
[url]http://ishare.iask.sina.com.cn/f/24153752.html[/url]
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这本书所讲的故事正好符合了初中生的思想成长的需要。.
aochuanhui 2012-9-25 22:41
回复 72楼ccpaging 的帖子
大概看了一下, 这真是一本好书!.
hxy007 2013-6-7 17:10
从算术到代数：“打折促销题”亲子探索报告
儿子是2011年秋天上初中的。那时，他是十足的菜鸟，007自然也就成了菜爸，跟着菜鸟一起学飞。为啥说儿子是菜鸟呢？从一件事上说起吧：预初生入学才不到三个月，儿子的同学就在做类似下面难题了，差距太大，不得不承认自己的孩子是菜鸟。
[color=Blue]某商场在迎奥运商品展销期间，将一批商品降价出售。如果每件降价10%出售，可盈利215元；如果每件打八折出售，则亏损125元。问此类商品每件的购入价是多少？[/color]
当时，菜爸就迷上了这道题，觉得其中有许多东西可以讨论。但是，菜爸忍住没跟菜鸟讨论。我要等一等，等到菜鸟翅膀再硬一些，等到学完成一次方程组之后。直到过了四个多月，某个周末，菜爸得知菜鸟开始进入六下第二章“一次方程（组）和一次不等式（组）”的复习，感觉跟他讨论上面那道“打折促销题”的时机到了！
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-7 17:12 编辑 [/i]].
hxy007 2013-6-7 17:14
背景知识：生意经
菜鸟读完题，脱口而出：要回答这类商品每件的购入价是多少，先得知道每件商品生产的成本是多少。
菜爸直冒冷汗：这里不需要知道商品生产的成本价，只要弄清楚每件商品的购入价就行了！
菜鸟不同意，反问：不知道成本价，怎么可能算出利润？
看着菜鸟纠结于“成本价”和“购入价”概念，菜爸才意识到菜鸟没有做生意的经验，不得不跟他谈起了生意经：店主通过买卖东西来赚钱。店主是怎么赚钱的呢？他花一定的价钱从生产厂家或批发商那里购入一批商品，再用更高的价钱出售商品，他从这个差价中赚钱。这个差价，这个利润，就是商品售价减去商品购入价的差。当然，这里指的是毛利润。因为，对于这个店主来说，他经销商品的成本不仅包括进货时花费的购入价，还包括店铺租金、水电费、雇工费、工商管理费还有各种税费。这道题讲的“盈利”指的是毛利润，不需要考虑进货之外的其它花费。所以，你硬要说这里有成本价的话，所谓的成本价就是购入价。
菜鸟总算明白过了来。菜爸继续解释：店主为了赚钱盈利，一定会给商品定一个高于购入价的售价。但是，有的时候为了加快资金的流动，或为了薄利多销赚更多的钱，店主会打折促销。这个打折促销，就是在原定售价的基础上降价销售。.
hxy007 2013-6-7 17:18
审题：画图作业
我们讨论的这道题，说的就是这种“打折促销”情况。
菜爸问儿子：你能用画图出这道题的意思来吗？
菜鸟读着题，陷入了沉思。菜爸见他无从下手，就在一张纸上画了一条长长的线段：假定这就是原定的售价，你能在这个线段上标出降价10%之后的价位在哪里吗？
菜鸟念念有词：降价10%，就是打九折，就是原价的90%。他把菜爸画的线段分成十份，很快就在线段上正确地标出了这个降价10%后的价位。接着，他又正确地标出了打八折（原价80%）的价位。
菜爸：好，请你再在这条线段上标出购入价的位置。
菜鸟又懵了。菜爸启发道：题目里交待“如果每件降价10%出售，可盈利215元”，那就表示用这个售价出售商品，店主还可以赚钱。对不对？
菜鸟：对的。
菜爸：既然如此，这个售价和购入价比，哪个更高？
菜鸟恍然大悟：售价更高，购入价小于原价的90%。还有，根据第二个已知条件，购入价大于原价的80%。
菜爸：很好！现在你可以在这条线段上标出购入价的大致位置来了吧？不一定要十分准确，表示出这个意思就可以了。
菜鸟理解了这种关系，很快就在原价80-90%的那个区间里标出了购入价的大致位置。菜爸建议他再把降价10%盈利数据和八折出售的亏损数据标出来。完成这道程序之后，这道“打折促销题”的题意就一目了然了！
[img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_46b0823bdeee74b.jpg[/img].
hxy007 2013-6-7 17:24
解题思路
根据上面的分析，尤其是从上图可以非常清楚地看出购入价跟售价的关系：购入价比八折售价多125元，比九折售价少215元！
所以，要算出购入价，关键在于弄清楚原定售价。怎么利用已知条件算出原定的售价呢？菜鸟又陷入了沉思……
最终还是上面那张示意图帮了忙。菜鸟发现，原价打九折（降价10%）跟原价打八折相差1折，相差215＋125＝340元。又因为原定售价一共有10折，所以，原定售价是340×10＝3400元。.
hxy007 2013-6-7 17:26
算术方法
菜鸟一旦弄清楚原定售价，很快就用两种方法计算出了购入价：
（1）3400×90%－215＝2845（元）
（2）3400×80%＋125＝2845（元）
菜鸟一挥而就，写下答案，深深地叹了一口气。.
hxy007 2013-6-7 17:32
解法01：第一种算术解法
且慢！已知条件里既没有3400，也没有90%，怎么可以这么列算式？！
菜鸟说：90%是1－10%得来的。
菜爸：3400又是从哪里来的呢？
菜鸟：340乘以10。
菜爸：也可以说，3400是从340÷10%来的。问题是，这个340是从哪里来的？这个10%又是从哪里冒出来的？
菜鸟：这个10%是用（1－10%）—80%得来的。340是215与125相加的和。
菜爸：相加的说法虽然没有错，但更严谨的算式应该用减法。
菜鸟不明白，菜爸解释说：你学过正负数，应该知道盈利215元，可记为+215；亏损125元，记为－125。两者的差距应该用减法去计算，215－(－125)。
菜鸟：实际就是215＋125，一回事！
菜爸：结果一样，但意义不一样。前面的百分比用减法，它们差价也要用减法，这样才严谨。好了，利用已知条件建立的算式是什么样子呢？
菜鸟耐着性子写出了一个极其变态的算式：
[color=Blue] ｛［215－（－125）］÷［（1－10%）—80%］｝×（1－10%）－215＝2845（元）[/color].
hxy007 2013-6-7 17:45
解法02：第二种算术解法
第二个算式也可以还原为：
[color=Blue] ｛［215－（－125）］÷［（1－10%）—80%］｝×80%＋125＝2845（元）[/color]
菜爸和菜鸟经过一番探索，自然地得到了上述两种算术解法。可是，菜鸟说，要是让他一个人想，是很难想出这么变态的算式来的。是的，看着这样的算式，真是令人望而生畏呀！要是哪个奥数变态狂用这种题目烤小五生，那可真要让人抓狂了。.
hxy007 2013-6-7 18:29
解法03：第三种算术解法
还有其它算术解法。例如，我们不妨把每一折都看成是由一个215和一个125构成——
[img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_67e1e95d1538530.jpg[/img]
购入价其实就是9个125和8个215构成，如此一来——
125×9＋215×8＝2845（元）
呵呵，巧妙是巧妙，强求小朋友想到这样的算式，那就太缺德，太恶心了！.
hxy007 2013-6-7 20:31
解法04：第四种算术解法
既然一格（1折）是215＋125元，购入价值就是8格加125元——
[color=Blue]（215＋125）×8＋125＝2845（元）[/color].
hxy007 2013-6-7 20:32
解法05：第五种算术解法
换一种说法，购入价就是9格减215元——
[color=Blue]（215＋125）×9－215＝2845（元）[/color].
hxy007 2013-6-7 20:34
解法06：第六种算术解法
我们不是曾经算出过原定售价是多少么？不妨说，购入价就是原定售价减去一折，再减去盈利额——
[color=Blue]3400—340－215＝2845（元）[/color].
hxy007 2013-6-7 20:36
解法07：第七种算术解法
或者说，购入价就是原定售价减去两折再加上亏损额——
[color=Blue]3400—340×２＋125＝2845（元）[/color]
打住，打住！菜鸟看得都快要吐了。这种算术解法无论多巧妙，预初生已经不屑一顾了。因为他们学到了更加简练且更具保障的解决办法——代数的方法！.
hxy007 2013-6-7 20:41
代数（方程）解法
当菜爸滔滔不绝地讲述各种各样奇奇怪怪的算术解法时，菜鸟按捺不住了。他认为，许爸出的这道“降价促销题”可以用二元一次方程组来解决。他很快就给出了解决方案：
设每件商品的购入价为x元，原定售价为y元，根据题意得方程组：
x＋215＝(1-10%)y ①
x—125＝80%y ②
菜爸说：别急，我们先不讨论二元方程的解法。假定你还没有学二元一次方程，你能用一元一次方程解决这个问题么？比如，只设每件商品的购入价为x元，根据题目的意思怎么建立方程呢？
菜鸟好像又不知道从哪里入手了。他偷偷到躲进自己的房间，过了一会儿拿出了一个方程：（x＋215）÷(1-10%)＝（x—125）÷80%
对的呀！可是，这个方程是什么意思呢？
菜鸟说：不知道是什么意思。
菜爸奇怪了：你不知道什么意思，怎么可能正确地列出这个方程呢。
他承认，他是根据上面的二元方程推导出来的：
由①得：y＝（x＋215）÷(1-10%)
由②得：y＝（x—125）÷80%
所以，（x＋215）÷(1-10%)＝（x—125）÷80%
看来，学过二元一次方程的同学，再要回到一元一次方程，有点困难了。.
hxy007 2013-6-7 20:49
解法11：第一种一元方程解法
我来带个头吧——
假设每件商品的购入价为x元，那么，根据第一组已知条件可知，原定售价为（x＋215）÷(1-10%)。
又根据第二组已知条件，利用售价的等量关系，可得方程：
[color=blue]［（x＋215）÷(1-10%)］×80%＝x—125[/color] ①
下面菜爸要变魔术了——①可变为：
（x＋215）×80%＝（x—125）×(1-10%) ②
②有两种变化，先说第一种——
[(1-10%) －80%]x＝215×80%＋125×(1-10%)
x＝[215×80%＋125×(1-10%)]÷[(1-10%) －80%] ③
接下来的魔术又有两种变化，③可变为——
x＝[215×80%—215×(1-10%)＋215×(1-10%)＋125×(1-10%)]÷[(1-10%) －80%]
x＝｛（215＋125）×(1-10%)－215×［(1-10%)－80%]｝÷[(1-10%) －80%]
[color=blue]x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×(1-10%)－215[/color] ④
呵呵，④咋这么熟悉呀？这不就是解法01中的那个算式么？
③也可以变为——
x＝[215×80%＋125×80%－125×80%＋125×(1-10%)]÷[(1-10%) －80%]
x＝｛（215＋125）×80%＋［(1-10%)－×80%］×125｝÷[(1-10%) －80%]
[color=blue]x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×80%＋125[/color] ⑤
你懂的——这已经变成了解法02中的那个算式。
回头再说②的另一种变化——
（x＋215）×80＝（x—125）×90
（x＋215）×8＝（x—125）×9
8x＋215×8＝9x—125×9
[color=blue]x＝125×9＋215×8[/color] ⑥
哎呀，这不就是解法03中的算式么？
如此看来，算术解法中那些令人生畏的雷人算式并不神秘。.
hxy007 2013-6-7 20:51
解法12：第二种一元方程解法
思路跟前一种差不多。
假设每件商品的购入价为x元，那么，根据第二组已知条件可知，原定售价为（x－125）÷80%)。
又根据第一组已知条件，利用售价的等量关系，可得方程：
[color=Blue]［（x－125）÷80%)］×(1-10%)＝x＋215[/color].
hxy007 2013-6-7 20:52
解法13：第三种一元方程解法
建立方程，关键在于利用某个因素的等量关系建立方程。前面两种解法，利用的是某一售价的等量关系建立方程，也可以利用两种售价之比的等量关系建立方程：
[color=Blue]（x＋215） :（x－125）＝（1－10%）: 80%[/color].
hxy007 2013-6-7 20:54
解法14：第四种一元方程解法
或者直接利用原定售价的等量关系建立方程：
[color=Blue]（x＋215）÷(1-10%)＝（x—125）÷80%[/color]
这不就是菜鸟一开始说的那个方程么？
原来它表示：“利用第一组已知条件求得的原定售价”＝“利用第二组已知条件求得的原定售价”。
解法12、13、14的原始方程，各自都可以像解法11那样，演化成下列形式：
x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×(1-10%)－215
x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×80%＋125
x＝125×9＋215×8.
hxy007 2013-6-7 20:57
解法15：第五种一元方程解法
另外一种思路——我们也可以利用一元方程先求出原定售价，再求出购入价值。
假设原定售价为y元，根据第一组已知条件，可知购入价为（1—10%）y—215
根据第二组已知条件，利用售价的等量关系可得方程
[color=Blue]［（1—10%）y—215］－125＝80% y[/color]
所以，y＝（215＋125）÷［（1—10%）－80%］
哎呀，这不是我们在考虑算术解法时求原定售价的算式么！
把y代入（1—10%）y—215，得购入价
｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×（1—10%）—215
不用去算，这不就是解法01中那个算式么！.
hxy007 2013-6-7 20:58
解法16：第六种一元方程解法
跟解法15的思想一样。假设原定售价为y元，根据第二组已知条件，可知购入价为80%y＋125；根据第一组已知条件，利用售价的等量关系可得方程
[color=Blue]（80%y＋125）＋215＝（1—10%）y[/color]
所以，y＝（215＋125）÷［（1—10%）－80%］
把y代入80%y＋125，得购入价
｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×80%＋125
这不就是解法02中那个算式么！.
hxy007 2013-6-7 21:00
解法17：第七种一元方程解法
假设原定售价为y元，根据第一组已知条件，可知购入价为（1—10%）y—215；根据第二组已知条件，可知购入价为80%y＋125；利用购入价的等量关系可得方程
[color=Blue]（1—10%）y—215＝80%y＋125[/color]
所以，y＝（215＋125）÷［（1—10%）－80%］
把y代入（1—10%）y—215，得购入价｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×（1—10%）—215，这正是解法01中的算式。
或者把y代入80%y＋125，得购入价｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×80%＋125，这正是解法02中那个算式。.
hxy007 2013-6-7 21:03
解法18：第八种一元方程解法
设原定售价为y，打九折的售价为（1—10%）y，打八折售价为80%y
两者的差价为（1—10%）y－80%y
两者的差价也可以直接地表示为215—（－125）
利用差价的等量关系可得方程：
[color=Blue][b]（1—10%）y－80%y＝215—（－125）[/b][/color].
hxy007 2013-6-7 21:05
小结一：利用等量关系建立方程
代数的解法，难的不是解方程，而是建立方程。
建立方程的关键，不是设定未知数，而是寻求和利用题意中的某种等量关系。
这道“降价促销题”中，可以用来建立方程的等量关系至少包括：
第一，打折后售价有两种表达方式，一是“原定售价×（1－折扣）”，二是“购入价值＋盈亏”。利用两者的等量关系可以建立方程；
第二，无论是打九折，还是打八折，都是针对原定售价来打折的，因此，原定售价就有两种计算方法，一是 “九折售价÷90%”，二是“八折售价÷80%”。可以利用这两者的等量关系建立方程；
第三，无论是打九折出售，还是打八折出售，原来的购入价都是一样的。因此，购入价有两种计算方法，一是 “九折售价－盈利”，二是“八折售价＋亏损”。利用这两者的等量关系也可以建立方程。
[color=Blue]如果我们平时做习题常有时间和机会这么从容地去回味，去分析，去总结，我们就可以闻一知十，举一反三，就可以一题多得，就不必做太多的题，就不必陷入题海，被题海淹死，或者被题海弄得脑子僵化，越学越笨，越练越呆。[/color].
hxy007 2013-6-7 21:06
小结二：算术解法与代数解法的比较
我们在利用各种等量关系建立一元一次方程时发现，那些神奇的、令人生畏的、变态的算术解法原来可以从这些可爱的、简朴的、高明的一元一次方程中演化出来！
当年，我们念小学时，有人用“牛顿难题”（“牛吃草”）、“丢番图寿命难题”、“相遇难题”或“追击难题”、“鸡兔同笼难题”……为难我们。其实，没有什么了不起。到了我们学过代数方程之后，它们只不过是一碟碟小菜！早知如此，当年我们就应该淡定一些——做得出，不必得意；做不出，也不必着急！也许，还会有人用以后我们才学的知识为难我们。果真是这样的话，我们不妨淡定一些——没有过不了的坎。有些难事，你现在勉强去做，浪费时间和生命，还备受折磨和打击；不如耐心地待，到我们心智成熟一些，再去钻研，那时你会发现它一点也不难。
[color=Blue]遵循成长的规律，不急于往前赶，不揠苗助长，不偷跑抢跑，这对孩子是一种爱护。放慢一点脚步，耐心一点等一等孩子，陪着孩子慢慢长大，是一种智慧，是一种美德。[/color].
hxy007 2013-6-7 21:09
二元一次方程组
还没完！菜鸟前面提到过二元一次方程组——
设每件商品的购入价为x元，原定售价为y元，根据题意得方程组：
[img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_957db408869ca1f.jpg[/img]
当时，菜爸并没有急于跟菜鸟讨论这个方程组的解法。现在，我们已经完成一元方程解法的探讨，是回头讨论这个方程组的解法的时候了！.
hxy007 2013-6-7 21:11
解法21：二元一次方程组第一种解法
由①得： y＝（x＋215）÷(1-10%) ③
把③代入②得：［（x＋215）÷(1-10%)］×80%＝x—125
这不就是解法11中的那个一元方程么？.
hxy007 2013-6-7 21:12
解法22：二元一次方程组第二种解法
由②得：y＝（x—125）÷80% ④
把④代入①得：［（x—125）÷80%］×（1-10%）y＝x＋215
这正是解法12中的那个一元方程！.
hxy007 2013-6-7 21:12
解法23：二元一次方程组第三种解法
①:②得：（1－10%）: 80%＝（x＋215） :（x－125）
呵呵，这是解法13里那个奇怪的一元方程耶！.
hxy007 2013-6-7 21:13
解法24：二元一次方程组第四种解法
由③和④得：（x＋215）÷(1-10%)＝（x—125）÷80%
你懂的——这是解法14中的一元一次方程。.
hxy007 2013-6-7 21:14
解法25：二元一次方程组第五种解法
再来，换一种思路——
由①得：x＝（1-10%）y－215 ⑤
把⑤代入②得：［（1—10%）y—215］－125＝80%y
嗯，知道——这就是解法15中的方程么？！.
hxy007 2013-6-7 21:17
解法26：二元一次方程组第六种解法
由②得：x＝80%y＋125 ⑥
把⑥代入①得：（80%y＋125）＋215＝（1—10%）y
老一套！——这是解法16中的一元方程。.
hxy007 2013-6-7 21:18
解法27：二元一次方程组第七种解法
由⑤和⑥可得：（1—10%）y—215＝80%y＋125
烦死了——不过是解法17中的方程。.
hxy007 2013-6-7 21:20
解法28：二元一次方程组第八种解法
既然你烦代入消元法，那么好吧，我们换一种方法——加减消元法！
①－②得：（1—10%）y－80%y＝215—（－125）
嗯，这不就和解法18对上了眼。.
hxy007 2013-6-7 21:22
解法25～28小结
解法25～28中，消除x所得的有关y的一元方程，正是解法15～18中的一元方程。
它们稍作变化均可得：
y＝（215＋125）÷［（1—10%）－80%］
这不就是正是算术解法中求原定售价的算式么！.
hxy007 2013-6-7 21:26
二元一次方程组其它变式
不要以为二元一次方程组只可能是下面这一种：
[img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_eda84e536a6beee.jpg[/img]
通过上面有关一元一次方程的分析，可以推知方程组还有许多可能，例如：
[img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_be7cf93a79e068f.jpg[/img]
或者
[img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_8777f5b37480f5a.jpg[/img]
总之，解法11～14中任何一个一元一次方程，都可以跟②或解法解法15～18中任何一个一元一次方程，组成一个二元一次方程组，求得本题的解。同理，解法15～18中任何一个一元一次方程，都可以跟①或解法11～14中任何一个一元一次方程，组成一个二元一次方程组，求得本题的解。如此看来，有多少组合可以考虑呀！
[color=Blue]如果我们的思维足够灵活，足够开放，我们会发现数学中有无穷的、严谨的变化，但万变不离其宗！就像我们可以从一粒沙子中窥见一个世界，从一朵野花里看到天堂，我们也可以从一道题里领略数学世界的无穷奥妙和无比精美！[/color].
hxy007 2013-6-7 21:28
总结一：三类解法的关系
花上整整一个晚上的时间讨论一道“打折促销题”，这是多么奢侈啊！
可是，菜爸和菜鸟这段数学探究的历程，又是多么快乐！
它让我们一下子把从小学到中学学的许多数学知识联系起来了。我们发现，那些很难想到的算术解法，可以从一元一次方程中轻易推导出来！而那些还是有一定难度的一元方程解法，可以从白痴都可以建立的二元一次方程组中轻易地推导出来！
让我们一起来回顾一下，整体地把握它们的关系吧。
[img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_666636b2c70651b.jpg[/img]
一个二元一次方程组有许多解法。通过某种方法消除其中一元，就会得到一个一元一次方程。在解一元一次方程时，如果不急于计算，而用原始数据的关系式来表示这个未知数的解时，所得到的那个算式正是某种算术解法的算式！别以为那些大人物很聪明，轻易地想得出一道明明可以用二元一次方程组去解决的问题的算术解法。他们很可能从方程解法中琢磨出一种唬人的算术解法，让我们这些无知的小朋友佩服得五体投地。现在我们弄清楚了其中的奥秘，我们可以鄙视这种大人物了！.
yiyioneone 2013-6-7 22:27
太棒啦！
谢谢。我也跟着思考了一遍，好有意思的数学。
一定要推荐给宝贝女儿。.
aochuanhui 2013-6-8 10:37
回复 108楼hxy007 的帖子
算术解法说是有7种， 不过总结起来区别不大，其实就一种：先算出原来的售价，再算折扣价，然后加亏损或减利润。.
hxy007 2013-6-8 15:39
[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2013-6-8 10:37 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9360981&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
算术解法说是有7种， 不过总结起来区别不大，其实就一种：先算出原来的售价，再算折扣价，然后加亏损或减利润。 [/quote]
即使思路大致相同，不同的算式依然有不同的实际意义，代表不同的解决方案，值得尊重，应加鼓励。最重要的是，这会让孩子逐渐摆脱以为数学只能有一种答案的偏见。
何况，解法04和解法05并不是你所说的“先算出原来的售价，再算折扣价，然后加亏损或减利润”的思路。认定数学问题的解决只能有一种思路，是很难想到这两种解法的。.
aochuanhui 2013-6-9 09:26
回复 111楼hxy007 的帖子
仔细看了一下，解法04和解法05确实不一样， 更简洁一些.
hxy007 2013-6-10 00:26
[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2013-6-9 09:26 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9362468&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
仔细看了一下，解法04和解法05确实不一样， 更简洁一些 [/quote]
跟六年级的孩子探讨这些变态的算术解法，目的在于让孩子了解它们跟代数解法的关系，认识到代数的先进性和合理性，使他们尽快地摆脱小学过度的算术训练（特别是小奥训练）所塑造的强大的思维定势。.
hxy007 2013-6-10 15:50
又见丢番图：亲子探究报告
话说菜鸟刚入初中不久就在作业中遇到困难了。这一题说的是：
[color=Blue]一次数学竞赛，结果学生中1/7获得一等奖，1/3获得二等奖，1/2获得三等奖，其余获得纪念奖。已经参加竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？[/color]
呵呵，这不就是“丢番图寿命难题”一个变种么！
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-10 16:15 编辑 [/i]].
hxy007 2013-6-10 15:53
倍数解法
对于牛蛙来说，这算什么难题，人家在小三小时就能够搞定这种奥数题鸟。
菜鸟则不行，他在指给菜爸看题时，一个劲地说这道题变态。
菜爸不明白，问他：你觉得哪里变态？
题目不说清楚参加竞赛的人数就算了，干嘛又含含糊糊说不到50人呢？什么意思呀。
你们不是学过公倍数吗？也许它就是在限定一个范围让你求值，否则还会有更大的数也合乎条件。
可是，不知道参加竞赛的总人数，怎么可能算出得纪念奖的人有多少呢？
不知道没有关系呀，你可以根据题目的意思去猜呀。
怎么猜？
比如，题目说总数1/7的人得了一等奖，根据这个条件，你猜猜：总人数有什么特点？
菜鸟眼睛一亮：总人数一定是7的倍数。我知道了，我知道了——总人数是7、3、2的公倍数。7×3×2＝42，比50小，合乎条件。
这下了你可以算出得纪念奖的人数来了吧？
可以——
7×3×2＝42；
42×1/7＝6，
42×1/3＝14，
42×1/2＝21；
42－（6＋14＋21）＝42－41＝１
天哪，只有一个人获得纪念奖。这样的数学竞赛，菜鸟也可以参加了。:L
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-10 15:57 编辑 [/i]].
hxy007 2013-6-10 16:00
更分数的算法
菜爸给菜鸟泼冷水：你虽然算出了答案，可是你这种算法太小儿科，没有充分展示你学过分数之后的新思维。
菜鸟又解决了一道难题，心情愉快，才不在乎菜爸的数落。
菜爸利诱他：我有一种可以少算一点、少写一些字的算式。
菜鸟胃口被吊起来了。
菜爸列出一个算式：
（7×3×2）×［1－（1/7＋1/3＋1/2）］
＝42×（1－41/42）
＝42×1/42
＝1
这个算式的意思是“参赛总人数乘以得纪念奖的比例＝得纪念奖的人数”。这样的算式是不是更分数呀？
菜爸本以为最怕多写字的菜鸟会深以为然，不料人家还是觉得分步计算更亲切，对这种综合算式没有什么特别的好感。
其实，这并不是一个习惯或好恶问题。这说明，菜鸟还没有真正理解1和几分之几在分数世界里的深刻含义以及在现实世界的广泛应用价值。.
hxy007 2013-6-10 16:01
分数解法
菜爸由此想到这道题有一种更加简捷的解法。
根据已知条件“学生中1/7获得一等奖，1/3获得二等奖，1/2获得三等奖，其余获得纪念奖”，可以算出获纪念奖学生在总人数中的比例：
1－（1/7＋1/3＋1/2）＝1－41/42＝1/42
这意味着，每42个参赛者中就有1个获得纪念奖。
题目已经限定参加竞赛的学生不满50人，据此可以断定，参赛总人数就是42人，其中1人获得了纪念奖。
呵呵，菜爸的这种解法是不是更加简捷明了？是不是更充分地利用了分数概念和分数思维方式？
用1来表示全部，用几分之几来表示部分，利用这种分数思维来解决问题，前提是要深刻理解和把握分数概念。菜鸟做了那么多分数作业，还不能如此思考问题，这说明，光是多练苦练并不会使人更聪明。.
hxy007 2013-6-10 16:07
丢番图寿龄难题
丢番图（Diophantus）是古希腊亚历山大后期的重要学者和数学家，代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。
[align=center][img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_840c84c73f6d564.jpg[/img][/align]
丢番图去世之后，有个诗人为他写了一首诗，铭刻在他的墓碑上。诗文记叙了丢番图的一生，诗曰：
[color=Blue]上帝给予的童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生的旅途。[/color]
诗中留下了推断丢番图一生活了几岁的线索。诗人本想以此纪念丢番图在代数方面的开创性成就。没有想到的是，两千多年过后，中国一批小学奥数专家居然想到了一种算术的解法解决这个寿命问题，大大羞辱了这个代数学之父。
用算术的方法怎么巧解“丢番图寿命难题”呢？
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-10 23:31 编辑 [/i]].
hxy007 2013-6-10 16:11
来自菜鸟的敬意
某个周末，菜爸跟菜鸟讲起丢番图的故事。说到丢番图墓志铭中的寿龄难题，菜鸟立马用代数的方法建立了一个一元一次分数方程。他假设丢番图总共活了x岁，根据诗意得方程：
x＝(1/6)x＋(1/12)x＋(1/7)x＋5＋(1/2)x＋4
怎么解这个方程呢？
先要通分。
怎么通分？
找到分母6、12、7、2的最小公倍数？
就这个四个数来说，需要用6、12、7、2去求它们的最小公倍数么？
菜鸟不解，菜爸追问：6、12、2这三个数有什么特点？
菜鸟答：12是6和2的倍数。
既然如此，求6、12、7、2的最小公倍数，有什么更加简练的办法？
这四个数最小数公倍数，就是12和7的最小公倍数。
为什么？
是12的倍数，肯定也是6和2倍数。
那好，它们的最小公倍数是多少？
12×7＝84.
那么，通分的结果是多少？
菜鸟写道：
x＝［（14＋7＋12＋42）/84］x＋（4＋5）
x＝（75/84）x＋9
（9/84）x＝9
到了这一步，怎么解方程呢？
呵呵，这一回菜鸟反应很快——等式两边同乘以9/84的倒数，得：
x＝9×（84/9）
x＝84
哈哈……丢番图原来活了84岁！诗人出这道题，本意就是希望后人以丢番图发明的代数方法去解决。菜鸟列方程求解，就是在向这位“代数学之父”表达一种敬意。.
hxy007 2013-6-10 16:13
第二种代数解法
菜爸受到菜鸟解法的启发，想到了一种稍有不同的解法。
诗中说，丢番图人生的1/6是童年，再过一生的1/12便到了长胡子的年龄，再过人生的1/7就到了结婚的年龄，再过5年他有了个孩子，再过人生的1/2他的孩子夭折了，再过4年，他也去世了。已知条件中，有些是用分数来表示，有些是用整数来表示。我们可以从中得到什么提示呢？
菜鸟不明白菜爸到底想说什么。菜爸只好进一步追问：丢番图的人生过去1/6，再过1/12，再过1/7，再过1/2，就过完了么？
菜鸟深思了一会儿，回答说：没有。他还要过5＋4＝9年。
换一种说法，他还要过人生的几分之几？
1－（1/6＋1/12＋1/7＋1/2）＝1—75/84＝9/84
假设丢番图寿命是x岁，根据上面的分析，是不是可以得到一个方程？
是的。这个方程是：（9/84）x＝9
你这个方程中的数据，已知条件都没有呀。原始方程是什么？
［1－（1/6＋1/12＋1/7＋1/2）］x＝5＋4
整理方程才得到，（9/84）x＝9
菜鸟一看，这不就是他前面那种解法最后整理出来的那个方程么？他认为，菜爸的解法跟他的解法是一回事。
菜爸不以为然。虽然我们父子俩建立的方程本质上是一样的，但建立方程的思路有所不同。菜鸟建立方程，利用的等量关系是，丢番图总的岁数等于他人生各个阶段岁数之和；菜爸建立的方程，利用的等量关系是，丢番图已确定的那5＋4＝9年的岁月正好是他人生的1－（1/6＋1/12＋1/7＋1/2）＝9/84。
建立方程的关键之一，就是从已知条件中找到恰当的等量关系。从一个题目中可以找到多种等量关系建立方程，不是一种很好的锻炼么？多一种思路，就是多一份聪明，多一点灵活，就是多一个机会，多一种出路呀！.
hxy007 2013-6-10 16:18
来自小奥的羞辱
其实，在菜鸟读小学三年级时，菜爸就知道了这个“丢番图寿命难题”。当时，一个极其推崇小学奥数的妈妈，想用这道题来说明算术方法比代数方法更聪明。听了她的解法之后，菜爸不由得敬佩起来，差一点就想让小三生试做一下。好在当时小三生忙不过来，菜爸才没有揠苗助长。现在，菜鸟是个初中生了，会用代数建立方程求解了，也知道啥叫公倍数、公因数了，可以跟他一起来讨论变态的算术解法了。
菜爸问儿子：我们用方程的办法求出了丢番图的寿命是84岁。你有没有注意到这个84，其实在解题的过程中已经出现？
菜鸟说：对呀，通分的时候，求出的最小公倍数就是84.
菜爸调侃道：换句话说，我们在解出方程之前，实际上已经求出了答案。我们居然没有意识到，真是笨到家了！
这是怎么回事？菜鸟瞪着他的方程陷入了沉思，喃喃自语。他真是陷进了代数的世界里，难以自拔。
菜爸开始敲边鼓了：诗中说丢番图的童年时代占去了他人生的1/6，这说明他寿命的岁数有什么特点？
菜鸟恍然大悟：我知道了，老爸你不要说了。丢番图的寿命一定是6、7、12、2这四个数的公倍数，他寿命的是7×12＝84岁！
不一定吧，他的寿命说不定是168岁，或者是252岁……
不可能，他又不是妖怪，不可能长寿到168岁。
这只是你的一种想法，一种假设。你得证明你的假设是对的。
菜鸟赶紧用84岁代入到题目中进行验算，结果证明他的假设成立。他还发现，题目中那个5和4在验算中起了重要作用，否则就没法确定丢番图究竟是活了84岁还是活了168岁。
这就是“丢番图寿命难题”的算术解法。
当年，诗人本想用这道题来纪念“代数之父”对数学发展的杰出贡献。他哪里想得到，千年之后远东聪明的小奥专家们居然利用最小公倍数的思维方式解决了这道难题？这种算术解法巧是巧，却是对“代数之父”莫大的讽刺！.
hxy007 2013-6-10 16:21
丢番图老爸的寿龄：菜鸟编题
菜鸟学了用代数的方法列方程解题，所以对于“丢番图难题”的算术解法充满怀疑：利用最小公倍数的思路一定能够保证我们求得答案么？
他现学现卖，编了一道题为难菜爸：有个人在他人生的1/6做了什么什么，再过1/12做了什么什么，再过1/3做了什么什么，再过1/4做了什么什么，再过52岁做了什么什么，再过32岁才去世。问这个人寿命有多长？
菜爸用代数的方法列方程一算——哎呀呀，不得了，这个人一共活了504岁，十足是个老妖怪耶！
菜鸟说：老爸，你算错了。我是用96岁的寿命来编这道题的，答案应该是96.
可是，菜爸再按题意检查方程，（1/6＋1/12＋1/3＋1/4）x＋（52＋32）＝ｘ，方程式没有列错呀！
再算一遍：
（5/6）x＋84＝ｘ
（1/6）x＝84
x＝504
也没有算错呀！问题出在哪里呢？
原来，人家菜鸟这是么想的：前面那几个几分之几，分母的最小公倍数是12，就算是12岁，再加上52、32岁，不就是96岁么？
菜爸没有汗颜，反而听得浑身冰凉。菜爸忍住失望，质问菜鸟：哪有这样理解最小公倍数和岁数关系的？
菜鸟不明白呀！
菜爸为了让了发现自己的问题，叫他把96代入方程中，检查一下：这个等式成立么？
很显然，（1/6＋1/12＋1/3＋1/4）×96＋（52＋32）≠96
如果要使等式成立，就必须调整左式的尾数。菜鸟和菜爸研究发现，尾数之和为16时，这个等式才成立，例如：
（1/6＋1/12＋1/3＋1/4）×96＋（10＋6）＝96
根据这个等式倒是可以编个故事：
[color=blue]丢番图的爸爸在他人生1/6时参军；在军队里度过了他人生的1/12才退伍进入政坛当官；他用了人生的1/3的时光担任政府官员；退休之后又用人生的1/4去研究数学，授徒讲学；他结束这段学者和教师生涯，在家颐养天年，10年后他不慎跌了一跤，从此卧病不起，在床盘桓6年才告别人世。问：丢番图老爸寿命有多长？[/color]
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-10 16:22 编辑 [/i]].
hxy007 2013-6-10 16:24
算术解法的缺陷
菜鸟编题，是因为他对小奥式算术巧解法有疑问。父子共同编制这道变态题，恰恰就可以部分地说明用公倍数思维解答“丢番图寿命难题”的局限性。
如果用公倍数思维方式解题，立即就可以发现丢番图老爸活的岁数一定是12的倍数。那么，他究竟活了多少岁呢？
12岁？不可能，因为人家余生就有16年。
24岁？代入题中进行检验，不对！再说他不可能4岁就参军吧？
36岁？代入题中进行检验，还是不对！6岁参军匪夷所思！
48岁？代入题中进行检验，还是不对！8岁参军不可思议！
60岁？代入题中进行检验，还是不对！10岁参军还是不可思议！
72岁？代入题中进行检验，还是不对！12岁参军，难道是娃娃兵？再说了，过几年到18岁就参政，好像小了点吧？
84岁？好像有点谱了，可是，代入题中进行检验，还是对不上！
96岁？经检验，这个岁数对得上题！答案就是这个了。
看呀，用公倍数思路虽然最终求得了答案，可是这种方法多么麻烦？假使要算孙悟空的岁数，他的年龄12的123456倍，我们是不是要一个一个试算下去呢？.
hxy007 2013-6-10 16:28
丢番图寿龄新问：菜爸编题
据说，古希腊数学家丢番图著有《算术》一书。此书讨论的并不是我们所理解的“算术”，而是代数问题。丢番图在代数方面做了许多开拓性工作，因此被誉为“代数之父”。用算术巧算法解决他墓志铭上提出的寿命问题，不啻是对“代数之父”一种莫大的讽刺。这大概是为之撰写墓志铭的诗人始料不及的。
当年，有个钟爱小学奥数的妈妈，用这道题来说明算术解法比代数解法更聪明，还得到她父亲的支持。这位老先生据说是北大数理系毕业的数学教授，退休之后返老还童，迷恋于钻研小外孙的奥数题，颇具心得，并且得出了“算术高于代数”的评价。
为了避免世人（包括退休的数学教授）再去羞辱“代数之父”的在天之灵，菜爸不惴浅陋，试着对丢番图的墓志铭略作了一番修改。诗曰：
[color=Blue]坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡；
九年之后著《算术》，再过三年点燃起结婚的蜡烛；
五年之后天赐贵子，迟到的宁馨儿真可怜，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓；
悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。[/color]
试问：丢番图活了多少岁？
那位奥数妈妈拿着这道变态题，回家请教她那教授爸爸。老先生看过之后，终于醒悟过来，他告诫女儿说：算术巧解的方法是雕虫小技，还是代数方法可靠！.
hxy007 2013-6-12 11:03
[quote]原帖由 [i]yiyioneone[/i] 于 2013-6-7 22:27 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9360472&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
太棒啦！
谢谢。我也跟着思考了一遍，好有意思的数学。
一定要推荐给宝贝女儿。 [/quote]
嗯，六年级的一个重要学习目标就是从小学的算术思维向中学的代数思维转型。
七年级的重点和难点在几何，从重计算转向重推理。
一年一个台阶呀！.
hxy007 2013-6-12 21:51
油菜花的面积：亲子探索报告
预初某个周六的上午，菜鸟做数学周末卷，遇到一道难题。题曰：[color=Blue]已知下图中的正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。[/color]
[align=center][img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_ffcf564d6a73c17.jpg[/img][/align]
呵呵，这不就是一朵油菜花或者是别的什么十字花科的花朵么？
[align=center][img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_43a8e9ce0134ed7.jpg[/img][/align]
[align=center][img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_c7c9daa9b114817.jpg[/img][/align]
想当年，菜爸读高中时，闲来无事，用圆规在纸上画来画去，就画出过这样的图形，然后兴致盎然地想出办法计算这种图形的面积，没有想到现在居然成了预初生的一道习题。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-12 21:55 编辑 [/i]].
hxy007 2013-6-12 21:58
困境
菜鸟在这张图上横、竖、左斜、右斜作了4条辅助线，居然找不到答案。因为选项中没有他算出来的结果，这让他感到非常困惑，坐在书桌边喃喃自语。
[align=center][img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_e2b79be6e798392.jpg[/img][/align]
菜爸忍不住想说点什么，还没有开口就被菜鸟制止了：老爸，我不要你说，让我自己想!
菜爸：好吧，我不说。那你说吧，说说你是怎么想的，怎么解这道题的？
菜鸟指着图中的一个小三角形说：你看，这个三角形中，阴影的面积和空白的面积一样，所以……
[align=center][img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_a3a80393fc45487.jpg[/img][/align]
呵呵，我明白你的意思了，我打断你一下。请问，你凭什么说这两部分的面积相等呢？你有什么根据？你大概是在想当然吧？.
hxy007 2013-6-12 22:00
还原图形
菜鸟被难住了，他只不过是凭直觉断定这两部分面积相同，其实并无根据。他显然没有认真观察图形，分析其中的图形关系。
为了让他把握住图形的关系，菜爸当着他的面，先用直尺和三角板画了一个“田”字正方形，再在这个正方形中画了4个半圆形，这4个半圆相互交叉形成了题目中那四片叶子的形状。
[align=center][img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_80bc739280d46f8.jpg[/img][/align]
菜鸟惊讶地看着这朵“油菜花”的绘制过程。.
hxy007 2013-6-12 22:02
顿悟与第一种解法
还没等菜爸解释，菜鸟就兴奋地说：我知道怎么计算阴影部分的面积了。
一分钟不到，他就写出了算式和答案（^2表示二次方）：
2×π×1^2—2^2＝2π—4。
这一下轮到菜爸犯晕了：答案是对的，可是我没有看懂你列的这个算式，你是怎么想的？
菜鸟一边画，一边说，耐心地教着菜爸：这个图表示4半圆挤在一个正方形里，它们重叠部分的面积，就是这4个半圆的面积减去正方形的面积，4个半圆就是2个圆，所以它们的面积是2×π×1^2……
哈哈，这种整体的思路真是妙！我承认，我没有想到过。.
hxy007 2013-6-12 22:04
第二种解法从局部入手
菜爸说：你这是从整体考虑的一种解法，我还有一种从局部考虑的解法。
菜鸟似乎还陶醉在自己的解法之中，听不进菜爸的话。这让菜爸很不高兴：你怎么就满足于找到了正确答案呢？难道你不愿意看看别的解法的合理性吗？
菜鸟才收拾起自己的轻骨头，仔细听菜爸的高论。
菜爸让菜鸟观察下方那个半圆跟三角形的关系。
[align=center][img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_34442ca9963681d.jpg[/img][/align]
菜鸟立即发现，半圆的面积减去三角形的面积，多出来的就是阴影部分那两半片叶子的面积，也就是1片叶子的面积！
菜爸问：知道了1片叶子的面积，可以算出整朵花的面积么？
当然可以，1片叶子的面积乘以4，就是整朵花的面积。菜鸟利用这个思路列出了算式：
（π×1^2÷2—2×1÷2）×4＝2π—4
菜爸说：我们也可以这样想——
花朵的面积＝一片叶子的面积×4
＝（半圆面积－三角形面积）×4
＝半圆面积×4－三角形面积×4
＝2个圆的面积－正方形的面积
＝2×π×1^2—2^2
＝2π—4
这不正是菜鸟第一种解法么?菜鸟又开始得意了，撇着嘴说菜爸的解法啰嗦，他认为他的解法更合理。
菜爸说：我们虽然殊途同归，但是思路是不一样的。你从整体上考虑阴影面积的解法，这种想法确实很聪明。正因为聪明，所以不大保险。如果一时不那么聪明，你不就想不出来了么？相反，我是从局部出发去思考阴影面积的解法，先算出一片叶子的面积，再算出整朵花的面积。这种解法表面上看步骤多了一些，但它也是一种思路，而且是一种更有保障的思路，它让你在不怎么聪明的情况下也能够用正确的方法找到正确的答案。科学研究经常这样，先研究局部，再根据局部与整体的关系去推知整体。这是一种科学而有效的思维方法。
菜鸟没有吭声了，但愿他能理解菜爸这番分析，而不视之为说教。.
hxy007 2013-6-12 22:06
第三种解法从更小的局部入手
吃中午的时候，菜爸还在想着这道“油菜花面积题”，想到一种新的解法。饭后赶紧给儿子献宝：按照从局部推知整体的思路，我们甚至可以先算出半片叶子。请看——
[align=center][img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_75c0833902bbbc8.jpg[/img][/align]
这半片叶子（阴影）的面积，不就是扇形的面积减去三角形的面积么？
这样的叶子总共有8片，所以油菜花朵的面积是：
（π×1^2÷4—1×1÷2）×8＝2π—4
若说从局部出发推知整体，解法三比解法二更加彻底。正所谓——
一沙一世界，
一花一天堂。
一瓣见菜花。
一题有多得。.
hxy007 2013-6-12 22:07
第四种解法另辟蹊径
还有一种特别的思路：正方形去除空白的部分，剩下的不就是阴影部分的面积么？
问题是：怎么求空白部分的面积？
我们还是可以采取从局部入手考虑整体的思路。
比如，我们可以把空白部分分成8份，先算其中的1份，再算整个空白处的面积。
以上图为例，小正方形的面积减去扇形的面积，剩下的就是右上角空白处的面积，由此可以推知整个空白处的面积，最终算出阴影的面积：
2^2－（1^2－π×1^2÷4）×8＝2π—4.
hxy007 2013-6-12 22:09
第五种解法
算空白面积还有多种方法。例如，可以把原图分成左右两半。
[align=center][img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_f84c450937f67a2.jpg[/img][/align]
上边的那个长方形减去那个半圆，剩下的就是它右侧上下两块空白的面积，这样的空白有4组；用正方形的面积减去这4组空白的面积，剩下的便是阴影了面积了：
2^2－（1×2－π×1^2÷2）×4＝2π—4.
hxy007 2013-6-12 22:10
第六种解法
从整体上考虑，可以想到另外一种计算空白面积的方法。
原图中上下两块空白仿佛是个沙漏（即下图中更深的阴影部分），它的面积就是正方形减去两个半圆。
[align=center][img]http://qbcrp.icampus.cn/bbs/attachment/Fid_125/125_27664_f14c0b58143e1ec.jpg[/img][/align]
这样的“沙漏”还有一个，也就是横着放的那个。因此，阴影部分的面积是：
2^2－（2^2－π×1^2÷2）×2＝2π—4.
hxy007 2013-6-12 22:12
小结与反思
在“油菜花朵面积问题”探究过程中，菜爸仿佛再一次回到了自己的中学时代。当年，那些数学难题曾经让我朝思暮想，茶饭不香。可是，难题一旦突破，那种难以名状的快感又让我欲罢不能，迷在其中。即使解决了一道难题，也会反复回味，久久地品尝来自不易的战果。接着又去钻研和收集各种特别的解法，就像是一个充满好奇的孩子，在数学沙滩上自由地玩耍，每拾到一枚奇特的贝壳，都会情不自禁，从内心发出欢呼……
可是，我在菜鸟的身上还没有看到这种对数学的喜爱和执迷。虽然他在这一题上遇到了困难，没有仔细观察和分析图形关系就匆忙下手，折腾许久未果，但是，他一旦把握住图形的关系，立即表现出了数学上的某种悟性和天赋——想出了一种菜爸也没有想到的整体解法！照着菜爸的脾气，有了这么一种成就，必定会对这个问题的各种解法表现出更加浓厚的兴趣。可是，根据菜爸的观察，后面提及的种种解法并没有让菜鸟兴奋起来。他的心思早已转向了周末卷中那些未做的题目，他急于要完成老师布置的作业任务。过多的作业，过快的节奏，让人心急浮躁，难以静下心来反思、回味、归纳、总结、拓展、深化。
万变不离其宗，窥一斑而知全豹，见一花而知世界。如果通过像“油菜花面积”之类的问题探索，了解各种解决问题的思路和方法，一题多得，同学们有必要做那么多习题么？一题多得比多题一得，哪一种策略更有利于孩子们通过数学探究变得更加聪明呢？哪一种习题策略更科学更有成效呢？.
衣荷爸爸 2013-12-6 13:51
还没有看，先谢谢！
感谢分享！.
xiaomaotuan 2013-12-7 20:49
lz好有耐心分享，赞！送花！.
yiyioneone 2013-12-7 21:44
女儿预初，刚刚学习了圆和扇形，今天和她一起探讨了楼主的这朵美丽的油菜花，没想到女儿的思路很开阔，让我惊讶了。
女儿说，妈妈，这朵油菜花还挺有意思的。看得出来，女儿体会到了探究的快乐。
感谢睿智大气的楼主。.
hxy007 2013-12-9 19:20
[quote]原帖由 [i]yiyioneone[/i] 于 2013-12-7 21:44 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9527065&ptid=4784492][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
女儿预初，刚刚学习了圆和扇形，今天和她一起探讨了楼主的这朵美丽的油菜花，没想到女儿的思路很开阔，让我惊讶了。
女儿说，妈妈，这朵油菜花还挺有意思的。看得出来，女儿体会到了探究的快乐。
感谢睿智大气的楼 ... [/quote]
嗯，初中生能够体会到数学探究的乐趣，难得呀！跟数学的缘份不浅哪！.
shanxirhy 2013-12-10 08:51
初中学会用方程思想，几何学会分解图形，学会把复杂图形化简。运用古诗删繁就简三秋树，领异标新二月花。.
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