查看完整版本: 请教七年级中环杯题目(9)

请教七年级中环杯题目(9)

有4个正整数A,B,C,D.它们满足1/A+1/B+1/C+1/D=1,A<B<C<D.那么A+B+C+D的最大值为(   ).
请给出计算过程.谢谢!.

[em17].

我的思路是：六年级的数学教材上有讲，把1可以分成四个分数的和（其中分子为1）.

继续如果求有A+B+C+D的最大值，也就是求1可以分成的4个单位分数（也就是分子为1的分数）之和的分母最大时候（分数分拆问题）。


1/A+1/B+1/C+1/D=1


1/2+1/3+1/6=1
1=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+1/3+1/8+1/24=1/2+1/3+1/9+1/18=1/2+1/3+1/10+1/15=1/2+1/4+1/6+1/12=1/2+1/4+1/5+1/20

1/6=7/(6*7)=(6+1)/(6*7)=1/7+1/42
1/6=8/(6*8)=(6+2)/(6*8)=1/8+1/24
1/6=9/(6*9)=(6+3)/(6*9)=1/9+1/18
1/6=10/(6*10)=(6+4)/(6*10)=1/10+1/15

1/3=(3+1)/3*(3+1)=1/4+1/12
共6组

所以最大的是2+3+7+42=54

[[i] 本帖最后由 junhuayang2005 于 2009-12-14 23:40 编辑 [/i]].

回复 3#junhuayang2005 的帖子

这样的话,好像要凑数.??.

回复 5#zhanmin88 的帖子

不是凑数。
有规律的。
上面修改了。.

我的做法：4个正整数A,B,C,D.它们满足1/A+1/B+1/C+1/D=1,A<B<C<D.
1=1/A+1/B+1/C+1/D≤1/A+1/(A+1)+1/(A+2)+1/(A+3)

所以：2≤A≤3，即A=2或A=3
当A=3，1=1/A+1/B+1/C+1/D≤1/3+1/4+1/5+1/6=9/20+9/18<1，前后矛盾，所以A=2。

1/2=1/B+1/C+1/D≤1/B+1/(B+1)+1/(B+2)
所以：3≤B≤5，即B=3或B=4或B=5
当B=5，1/2=1/B+1/C+1/D≤1/B+1/(B+1)+1/(B+2)≤1/5+1/6+1/7=101/210<1/2，前后矛盾，所以B≠5，B=3或B=4。

当B=3时，同上可以推导出7≤C≤11，得出四组数据：（C=7，D=42）（C=8，D=24）（C=9，D=18）（C=10，D=15）
当B=4时，同上可以推导出5≤C≤7，得出二组数据：（C=5，D=20）（C=6，D=12）

综合后：A+B+C+D的最大值为2+3+7+42=54，最小值为2+4+6+12=24

我这个方法是个笨方法，感觉这个题里面应该有很简单的算法，例如D=A*B*C
当只有三个数时1=1/A+1/B+1/C，只有一组解：2、3、6，其规律也有C=A*B
当有五个数时1=1/A+1/B+1/C+1/D+1/E，A=2或3，后面的太复杂了，我算不过来。.

再想了想，应该是2+3+7+43+42*43=1861.
公式为A+B+C+D+E=A+(A+1)+(A*B+1)+(A*B*C+1)+A*B*C*D

六个数时，和的最大值为：2+3+7+43+1807+2*3*7*43*1807=3265304

不知道如何去证明。.

大家努力一下，看看能否鼓捣出和最小值的公式。.

回复 7#格妈妈 的帖子

因为这是个填空题,所以这个题里面应该有很简单的算法.
谢谢老师的帮助启发..

回复 9#格妈妈 的帖子

我赞同探索的方法。.

回复 7#格妈妈 的帖子

1/a+1/b+1/c+1/d≤1/a+1/(a+1)+1/(a+2)+1/(a+3)这个好.