查看完整版本: 从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣

从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣

[align=center][img]http://211.95.79.169/attachments/month_0812/20081201_042a4345eda1f437ab94PmQvrIcnO51m.jpg[/img][/align][align=left]
　　帖子长了，做个目录索引。各位BBMM各取所需吧！目前编到第11页，欢迎志愿者帮助编索引，欢迎对编目分类提出建议和意见。
　　恳请各位BBMM在分享我们的亲子数学经验时，让我们也分享你们的快乐数学经验。在发表帖时，请记得给自己的帖子安个标题，以便编目。

　　[color=blue][size=4][b][font=楷体_GB2312]目录在第35页第1701楼，直接点击[/font][/b][/size][/color][url=http://ww123.net/baby/viewthread]http://ww123.net/baby/viewthread ... &page=35#pid4576329[/url][color=red][b]（本帖下面也有）[/b][/color]
=======================================================================================================
[b]自己发明算法[/b]

　　儿子读三年级了，最近在学“一位数乘多位数”的乘法。不由想起当年自己学相似内容的一段经历，这段经历使我对今天教孩子学数学的方法充满了怀疑。
　　那时的数学课本很简单，老师也只教过我们一种“一位数乘多位数”的算法，那就是列竖式计算。如：
　　　　9 9
　　　×     2
          -----------
             1 9 8
　　就在老师教我们这种算法时，我的脑子里突然灵光一闪：99×2其实是就是100个2减去一个2，也就是198.我把这道题写成：99×2=100×2-1×2=200－2=198。这个发现让我兴奋不已，并且把我引向了一个妙不可言的数学世界。老师要我们用竖式计算42×8，我却想着怎么把42×8变成一个不必列竖式也能计算的有趣算式：
　　42×8=（40＋2）×（10－2）
　　那时我还小，想到这一步就碰到了困难。老师发现之后，用非常欣赏的语气表扬了我，同时要求我先按老师教的方法计算这道题。老师说，我想出的方法到初中的时候老师才会教。这话非但没有吓住我，反而刺激着我进一步钻研。回到家里，我继续思考，终于解出那道题目：
　　42×8
　　=42×（10－2）
　　=42×10－42×2
　　=（40＋2）×10-（40＋2）×2
　　=（40×10＋2×10）-（40×2＋2×2）
　　=（400＋20）-（80＋4）
　　=420-84
　　=336
　　那时我大概9岁吧，靠着自己的独立钻研，发现了一种算法，解决了老师说的一个只有初中生才能解决的数学问题，是很有成就感的。更重要的是，这段经历让我突然窥见了数学的奥秘，领悟到数学中许多有趣的东西。从此，我迷上了数学，从小学到大学，钻研数学问题从来不觉得累，乐此不疲，沉迷其中。
　　遗憾的是，今天我们的孩子很难有机会体会到数学的这种内在魅力了。因为课本里已经直接告诉我们孩子这种计算方法（第16页），老师在课堂里一定也会训练孩子反复使用这种方法，直至精熟。今天，孩子他妈还特意在这方面做了拓展性的辅导，使孩子迅速地了解了当年我经过很长时间才琢磨出来的上述解题方法。我不知道孩子是不是真正懂了，但我心里清楚，孩子就算是懂了，他也不可能像我当年那样迷上乘法，迷上数学。因为我们剥夺了孩子从容探究、逐渐体会到数学内在魅力的机会。
　　今天的许多老师和家长更加关心是孩子如何迅速地掌握算法并且运用算法快速而准确地做习题、试题，大量的练习就在所难免。长此以往，数学在孩子脑子里就会变成一种非常僵硬、无聊的东西。很少体会到数学的奥妙和乐趣的成年人，真不该过多地辅导孩子学数学。急于求成，容不得孩子慢慢来，恨不得孩子一下了掌握所有的东西；为了精熟，孩子在催促中，苦恼着、叹息着、流着泪，反反复复地做着那些难度相同、处于同等心智水平的习题。熟练是熟练了，但也练呆了，练傻了，练腻了，练得对数学没有感觉、没有兴趣了，作孽哟！
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++[/align][align=center]
[size=7][color=blue][u]目录[/u][/color][/size][/align][size=7][color=#0000ff][/color][/size][align=left]
[b]第1章　快乐学习论与刻苦学习论的角逐[/b]

自己发明算法　1#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3554423]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3554423[/url]
不知时候才能熬出头　2#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3555355]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3555355[/url]
兴趣和经验有关　3#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3556067]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3556067[/url]
先有鸡还是先有蛋　7#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3558886]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3558886[/url]
刻苦学习，光看字眼就心痛　5#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3558352]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3558352[/url]
我会弹琴但我恨弹钢琴　9#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3559047]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3559047[/url]
现在的教育方式很难让小孩体会到独立探索的乐趣　50#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3634689]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3634689[/url]
数学还是要做题的吧？　48#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3633319]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3633319[/url]
根本没时间来培养兴趣　71#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3661570]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3661570[/url]
要讨论“制度改革” -- 咱可没那力道，也耽误不起　72#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3664242]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3664242[/url]
家庭教育应该做学校教育的补充　74#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3664901]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3664901[/url]
千万别忽略了家庭教育啊　75#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3667119]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3667119[/url]
只有训练，没有教育　76#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3674110]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3674110[/url]
尽快帮他疏通那根筋　94#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3754539]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3754539[/url]
儿子的巧算13-6=7　109#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3888384]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3888384[/url]
再聪明也要刻苦学习的吧　110#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3888479]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3888479[/url]
学习数学可以快乐地　111#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3889007]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3889007[/url]
俺也转述两段话　112#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3890108]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3890108[/url]
有多少人被“刻苦学习”所误？　113#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3891146]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3891146[/url]
没有各种题型的磨练是很难脱颖而出的　119#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3893841]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3893841[/url]
通则不痛　135#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3915761]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3915761[/url]
比数学更重要的是生活经验及语文水平　136#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3916747]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3916747[/url]
车轮也可以当尺子用　137#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3916824]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3916824[/url]
不要排斥题海战术、机械训练、刻苦学习　174#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3975075]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3975075[/url]
将反对刻苦学习进行到底　176#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3977679]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3977679[/url]
刻苦踏实铁杵磨成针的精神难能可贵　180#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3979129]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3979129[/url]
题海战术、机械训练就是在早已烂熟的通道上反复走动　181#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3980013]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3980013[/url]
使我们身心愉快是不是数学的一种用途？　182#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3980310]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3980310[/url]
如果不够聪明了，那还是刻苦些吧　183#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3980603]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3980603[/url]
考试分数不等于智力　184#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3980862]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3980862[/url]
玩就是玩，不是学习　185#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3982901]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3982901[/url]
数学是什么呢？　186#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3983464]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3983464[/url]
大妈们的智慧　187#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3983988]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3983988[/url]
“快乐学习论”兼驳“刻苦学习论”（一）：对待人性的态度　192#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3989149]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3989149[/url]
赞同寓教于乐　194#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3989990]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3989990[/url]
有人不相信探索和好奇心是人类与生俱来的品质　196#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3990300]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3990300[/url]
学生会成为我们想要他成为的那种人　197#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3993921]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3993921[/url]
我们都是皮格马利翁　198#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3994580]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3994580[/url]
我不会选择这种没有刻苦精神的生活　199#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3995134]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3995134[/url]
学习太刻苦会早早失去后劲　200#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3995227]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3995227[/url]
还要看为了什么而刻苦　210#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid3995259]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid3995259[/url]
物理学家爱因斯坦　202#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid3995373]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid3995373[/url]
在痛快拉屎中快乐学习　205#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid3997897]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid3997897[/url]
玩和学本身没有什么矛盾　208#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid3998889]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid3998889[/url]
轰动山林，引起猴子关注　212#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4006552]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4006552[/url]
做个数学老顽童　214#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4007504]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4007504[/url]
快乐不私藏　221#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4012595]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4012595[/url]
Enjoy life, working and learning, so we can be happy　237#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4018741]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4018741[/url]
让孩子从逻辑推理中享受数学的美　411#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4077963]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4077963[/url]
对大多数小孩子掌握一些数学工具就可以了　413#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4078053]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4078053[/url]
思考的过程中得到乐趣才是真正的乐趣　435#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4079291]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4079291[/url]

[b]第2章　和孩子一起体会数学思维的严谨与灵活[/b]

闭着眼睛能算出来的题　6#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3558512]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3558512[/url]
好方法却没有时间　8#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3558920]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3558920[/url]
学习不过是一种玩耍的方式　10#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3559114]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3559114[/url]
会做难题却对简单的题目反应慢　29#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3572743]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3572743[/url]
数学也有两面性　30#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3572928]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3572928[/url]
反对公文数学又担心基础太差　31#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3572928]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3572928[/url]
松一松，紧一紧，张弛有道　32#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3576145]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3576145[/url]
老师排斥另类解法34#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3577306]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3577306[/url]
现在孩子学数学就是一根筋　38#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3587536]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3587536[/url]
从小就把孩子框死啦　39#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3588017]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3588017[/url]
单单明强这样用统一模式吗？　40#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3588948]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3588948[/url]
建议和老师沟通　41#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3589374]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3589374[/url]

这只青蛙真够笨！　51#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3640675]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3640675[/url]
这是一道思维训练题　54#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3641513]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3641513[/url]
聪明的青蛙这样解题　55#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3644459]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3644459[/url]
当年老师会让学生上台讲不同解法　56#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3644531]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3644531[/url]
怎得出8天？　57#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3645114]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3645114[/url]
老师说我是钻牛角尖　58#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3646924]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3646924[/url]
最聪明的青蛙是这样解题的　59#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3648301]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3648301[/url]
作青蛙真是不容易　60#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3648671]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3648671[/url]
儿子喜欢这样子搞笑的东东　61#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3649430]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3649430[/url]
这只青蛙很像我女儿　62#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3650122]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3650122[/url]
放到课堂上讨论肯定热闹死了，小孩子会很爱上数学课　66#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3660035]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3660035[/url]
更喜欢笑声盈盈的课堂　67#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3660395]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3660395[/url]
我是一只笨青蛙　68#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3661169]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3661169[/url]
喜欢难题却不愿意做容易的题　95#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3755758]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3755758[/url]
孩子读书像在读八股文　117#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3893039]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3893039[/url]
一路上玩数学　334#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4041402]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4041402[/url]

[b]第3章　和孩子一起经历数学探究的过程[/b]

孩子发明的“代入法”：兼论数学探究在今天有多奢侈　16#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3563046]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3563046[/url]
在学校里吃正餐，课外吃小菜　17#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3563296]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3563296[/url]
有一种数学方法叫“蒙”　18#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3563409]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3563409[/url]
“蒙”难道就是自然归纳法吗？　21#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3563991]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3563991[/url]
老师强调他教的方法　22#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3568514]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3568514[/url]
计算也严密但花时间　23#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3569363]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3569363[/url]
走过发现方法的全过程　24#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3569578]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3569578[/url]
费时但孩子非常有兴趣　25#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3570015]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3570015[/url]
由具体到抽象　26#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3570308]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3570308[/url]
教育的境界　27#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3571540]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3571540[/url]
张景中院士的一段话　28#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3571605]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3571605[/url]
数学白痴的儿子　93#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3754400]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3754400[/url]
启蒙的要求不高　96#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3755878]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3755878[/url]
我把题目改造一下　121#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3894576]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3894576[/url]
现在的课程太赶了，老师来不及等待孩子去发现　226#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4013559]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4013559[/url]
进度太赶不是好事　231#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4015198]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4015198[/url]
懒妈教子法　265#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4024453]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4024453[/url]
好简单的一道题，被你搞得这么复杂　241#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4019487]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4019487[/url]
儿子，请不要崇拜我，你也可以做到的　242#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4020080]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4020080[/url]
什么年纪做什么事情　243#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4020885]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4020885[/url]
无招胜有招　247#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4021334]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4021334[/url]
检讨书　254#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4022422]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4022422[/url]
天才就这样被扼杀了　267#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4024746]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4024746[/url]
幸运与不幸　268#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4024951]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4024951[/url]
话不多却一针见血　273#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4027417]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4027417[/url]
孩子为什么偏爱更繁琐的解法？ 309#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4035070]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4035070[/url]
重要的解题技巧　315#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4035762]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4035762[/url]
不仅是一个技巧　319#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4036408]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4036408[/url]
推和拉 326#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4039727]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4039727[/url]

证明即解题　347#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4043326]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4043326[/url]
找到命题也是能耐 352#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043371]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043371[/url]
能谈的只有解决问题的方法 353#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043578]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043578[/url]
学习的终结目标不是做题 354#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043778]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043778[/url]
没用的数学有价值 355#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043815]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043815[/url]
放轻松！——让数学显得可爱些 356#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044419]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044419[/url]
数学不仅仅是一堆定义和公式　359#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044497]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044497[/url]
才女MM及其育儿故事，兼议谁是数学白痴 360#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044526]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044526[/url]
数字的可爱在哪里？ 361#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044667]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044667[/url]
数字不可爱　数学可爱　数字背后的意义可爱　362#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044709]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044709[/url]
有些人对于数字的喜爱是不需要背后的意义的 364#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4046836]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4046836[/url]

懒汉试算法 393#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4061987]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4061987[/url]

尽简单问题复杂化之能事　467#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091695]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091695[/url]
很多小学生被灌输得太多了　492#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4103264]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4103264[/url]

我跟儿子一个班　511#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4122990]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4122990[/url]
孩子们合作探究数学　515#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4129326]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4129326[/url]
一段小插曲 －加密的字条　521#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4130962]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4130962[/url]
侬累伐？　522#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4131123]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4131123[/url]
儿子沉吟了一下：“嗯，我要加密。”　523#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4131184]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4131184[/url]
在三个限制条件形成的集合中找出相同的数　528#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4132368]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4132368[/url]
边走边看　529#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4132711]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4132711[/url]
埋下一粒种子　530#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4133190]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4133190[/url]
用糖衣包裹的数学　535#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4133839]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4133839[/url]
对数学建模的一种外行看法　537#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4134611]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4134611[/url]
我理解的“建模”　538#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4134737]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4134737[/url]
以引入最小公倍数的概念了　540#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4134884]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4134884[/url]
多几种备用方案　548#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4135373]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4135373[/url]

高速度、高难度、高密度学习的后果　512#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4126067]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4126067[/url]
真的是应该慢工出细活　534#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4133675]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4133675[/url]
还有第三种方法　542#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4135126]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4135126[/url]
今天收获真大　543#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4135153]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4135153[/url]
创造一段亲子数学的佳话　550#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4135426]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4135426[/url]

[b]第4章　幼儿数学启蒙[/b]

一个丁老头　20#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3563648]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3563648[/url]
从掰手指到心算　115#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3891913]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3891913[/url]
儿童的数学启蒙（一）：别急着学数学　163#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3969444]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3969444[/url]
提前学习的恶果　164#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3969898]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3969898[/url]
儿童的数学启蒙（二）：快乐游戏，顺便学点数学　167#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3973049]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3973049[/url]
把辅导孩子当作娱乐和休息　172#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3974334]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3974334[/url]
儿童的数学启蒙（三）：生活和游戏中时时处处有数学　176#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3977160]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3977160[/url]
小一不背乘法口诀　178#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3977793]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3977793[/url]
在超市里边学数学　222#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4012651]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4012651[/url]
画日历　230#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4014541]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4014541[/url]
寻找一部数学卡通片　259#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4022757]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4022757[/url]
唐老鸭漫游数学王国　271#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4027131]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4027131[/url]
一次失败的亲子数学　502#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4107679]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4107679[/url]
等待是一种美德　503#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4107898]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4107898[/url]
等着唐老鸭出来搞怪　504#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4109694]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4109694[/url]

[b]第5章　数学童子功[/b]

对课堂教育的困惑　47#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3632777]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3632777[/url]
很多概念都掌握不牢固　49#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3633526]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3633526[/url]
也在想孩子是否真正理解了　52#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3641143]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3641143[/url]
怎么知道儿子的数学学习情况？　53#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3641319]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3641319[/url]
多吃了一个“屁”　78#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3695154]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3695154[/url]
少吃了一碗饭　79#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3696906]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3696906[/url]
小明今天一共吃了几碗饭？　81#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3698093]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3698093[/url]
一个“屁”引发的数学探究和班级惨案　82#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3712374]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3712374[/url]
两个答案，哪个对？　84#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3714718]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3714718[/url]
“屁题”并非杜撰胡诌，问题也不简单　85#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3726066]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3726066[/url]
新概念：人次　86#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3726877]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3726877[/url]
培养孩子对解题方案的批判意识　87#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3732029]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3732029[/url]
数学对等式的崇拜　89#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3735831]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3735831[/url]
玩统计口径要从娃娃抓起　90#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3738959]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3738959[/url]

John加一泡屎　104#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3930817]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3930817[/url]
能不能用文雅点的例子　105#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3933191]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3933191[/url]
爸爸和孩子之间不可告人的黑话　143#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3933411]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3933411[/url]
不小心把数学弄脏了　146#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3935519]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3935519[/url]
是属于概念不清，还是训练太少　235#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4017215]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4017215[/url]

脚丫王国　251#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4021739]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4021739[/url]
儿子的一阳指　253#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4022243]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4022243[/url]
苏美尔人的十二进位制　255#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4022466]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4022466[/url]
前人走过的路，走还是不走？　256#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4022546]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4022546[/url]

老师也有出错题目的时候　300#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4031981]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4031981[/url]
老子玩幻方一 301#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4032679]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4032679[/url]
老子玩幻方二 302#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4033681]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4033681[/url]

为什么我们需要有一个零386#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4061010]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4061010[/url]

[b]第6章　小学奥数的辩驳[/b]

没有学过奥数　4#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3558231]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3558231[/url]
这不就是奥数吗？　36#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3579099]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3579099[/url]
小孩子学一学奥数是很有必要　42#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3591086]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3591086[/url]
此“奥数”非彼“奥数”　45#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3629855]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3629855[/url]
发现和解决problem　248#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4021504]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4021504[/url]
我们反对的其实是题海战术　275#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4027628]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4027628[/url]
竞争时代的另类优胜法　276#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4028902]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4028902[/url]
寻找疯狂热爱数学的数学老师　277#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4029290]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4029290[/url]
寻找疯狂奥数老师　279#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4029711]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4029711[/url]
学奥数和不学奥数的区别　280#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4030792]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4030792[/url]
自发探索出来的和灌输进来的不一样　281#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4030987]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4030987[/url]
用刀把筷子切成一样齐　282#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4030989]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4030989[/url]
野路子的局限性　291#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4031261]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4031261[/url]
把问题装在脑子里慢慢玩　297#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4031790]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4031790[/url]
小学奥数是共富新村站　405#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4076433]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4076433[/url]

[b]第7章　排列组合启蒙[/b]

数算三角形：怎样让孩子领略数学思维的精妙？　46#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3629858]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=1#pid3629858[/url]
这种数三角的方法是学校里教的，还是课外学的？　63#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3650393]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3650393[/url]
数学老师相信数学是有趣的东东吗？　65#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3652323]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3652323[/url]
转正后对46楼的补充　91#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3747559]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3747559[/url]
一个提醒　116#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3892255]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3892255[/url]
想请教一道小二数学题　531#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4133220]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4133220[/url]
用实验法解决这个问题　532#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4133353]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4133353[/url]

[b]第8章　鸡兔同笼及其变式的探究[/b]

编数学故事的乐趣：独腿船长系列　102#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3823850]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3823850[/url]
试算法也是数学里边的一种方法　103#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3824730]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3824730[/url]
儿子几岁时，船长的岁数是儿子的1倍　106#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3833015]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3833015[/url]
说说我的解法　124#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3896044]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3896044[/url]
小松鼠们，请把“手手”举起来　125#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3896238]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3896238[/url]
经典的快乐数学　179#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3978435]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3978435[/url]
让孩子用画线段图的手段自己去发现解法　127#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3896314]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3896314[/url]
最厉害的教练也没法教孩子如何走路　131#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3898872]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3898872[/url]
美国老师怎样教数学 338#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4042184]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4042184[/url]
孔子版“鸡兔同笼” 499#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4105581]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4105581[/url]
坐上坦克去郊游 500#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4105678]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4105678[/url]
唉，这个故事听晚了！　501#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4105996]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4105996[/url]

[b]第9章　相遇和追击[/b]

相遇问题　336#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4041935]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4041935[/url]
一边游泳一边学数学 337#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4041967]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4041967[/url]

[b]第10章　牛顿难题的探索[/b]

牛吃草：某牛妈妈甄选数学教练的奥数题　215#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4008893]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4008893[/url]
想象中的放牧　227#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4014170]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4014170[/url]
正规的解法　234#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4016794]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4016794[/url]
他LP心目中的正确答案　250#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4021716]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4021716[/url]
初为人母时的亢奋状态　264#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4024228]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4024228[/url]
报名当奥数教练　272#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4027337]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4027337[/url]
死做数学的结果　278#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4029450]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4029450[/url]
孩子问你一个问题　311#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4035450]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4035450[/url]
给聪明孩子的答复　312#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4035575]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4035575[/url]
小时候也做过这道牛吃草的题目　313#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4035584]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4035584[/url]
牛吃草问题的一种解决方案　354#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043778]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043778[/url]

[b]第11章　小学生无限概念的启蒙[/b]

永生的船长和他的儿子遇到了问题　148#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3939216]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3939216[/url]
问个高深一些的数学问题以弥补亵渎数学之罪　149#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3940698]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3940698[/url]
父子成兄弟：生活事实与数学证明　153#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3943563]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3943563[/url]
充满诗意的数学　155#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3943804]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3943804[/url]
难道这就是关于永生的“三位一体”？　161#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3944609]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3944609[/url]
永生的父子及其精神是一体的　162#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3955385]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3955385[/url]
分不完的桃子　295#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4031565]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=6#pid4031565[/url]
用一个范畴里的知识来解释另一个范畴里的问题 371#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4050615]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4050615[/url]
谈父子教学无穷大，兼接受yiyilaoba 的批评 374#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4051333]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4051333[/url]
无穷大不是一个数 385#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4060823]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4060823[/url]
教不好不如不教　396#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4064195]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4064195[/url]
提出问题有多重要？兼论数学探究及其知识准备 397#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4065277]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4065277[/url]
“1除以0等于无穷大”是一个约定　400#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4066617]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4066617[/url]
小女也问过我什么是无穷大　402#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4068383]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4068383[/url]

谁来解惑？　351#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043365]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4043365[/url]
这里有过讨论　358#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044484]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4044484[/url]
用一个范畴里的知识来解释另一个范畴里的问题 371#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4050615]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4050615[/url]
轻松学数学：毕达哥拉斯学派真相 370#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4050284]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4050284[/url]
1和0.9999....的值是一样 383#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4060613]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4060613[/url]
为什么0.999......=1　390#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4061061]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4061061[/url]
重要的是你的感受 391#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4061516]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4061516[/url]
质疑是自然科学的本质 392#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4061609]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4061609[/url]
三人行必有我师　404#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4076341]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4076341[/url]

无穷大和无穷小在实际生活中没有对应的概念　408#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4077860]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4077860[/url]
无限在我们的生活中真的不存在吗？　412#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4078020]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4078020[/url]
无限和有限这两个概念没有界限　415#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4078065]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4078065[/url]
球面是一个有限但无界的典型　425#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4078744]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4078744[/url]
圆是正无穷多边形　426#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4078849]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4078849[/url]
无法给小孩讲无限的严格数学定义却可给他们一些感性认识　434#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4079240]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4079240[/url]
还启蒙数学以可爱面目　441#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4087195]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4087195[/url]
大家都可以学微积分 475#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4096954]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4096954[/url]
无论把一个萝卜切得有多么薄叠起来还是一个萝卜　485#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4101727]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4101727[/url]
你绝不可能把一堆萝卜泥堆成一个萝卜　489#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4102150]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4102150[/url]

[b]第12章　负数启蒙[/b]

儿子发明的“负数” 466#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091603]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091603[/url]
负数概念进入我们的基因　468#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091704]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091704[/url]
蕃茄早就有负数概念　470#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4094332]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4094332[/url]
人类基因中包含的数学能力　471#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4094618]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4094618[/url]
给你一瓢冷水，在这寒冬里　472#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4095605]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4095605[/url]
财迷天生就会懂负数　473#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4095801]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4095801[/url]

[b]第13章　孩子、家长、老师[/b]

家长和老师的不同　70#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3661355]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3661355[/url]
请教ccpaging：文科出身家长在辅导孩子数学上的困难　98#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3756771]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3756771[/url]
文科也可以这样学数学　99#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3757575]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3757575[/url]
和孩子一道成长　100#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3758193]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=2#pid3758193[/url]
回家烤蕃茄　107#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3833220]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3833220[/url]
我们都还有希望　108#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3887897]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=3#pid3887897[/url]
我们不是老师的助理　165#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3970835]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=4#pid3970835[/url]
我们用脑子学习　206#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid3998141]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid3998141[/url]
数学老师的故事　210#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4003971]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4003971[/url]
我们不越俎代庖　223#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4012951]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4012951[/url]
数学老师和我爸联手打击了我的学习兴趣和积极性　236#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4017673]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=5#pid4017673[/url]
再说我的老师 320#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4036567]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4036567[/url]
不过一念间 330#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4040481]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4040481[/url]
我们不过是比儿女大些年岁的孩子 332#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4040749]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4040749[/url]
你有今天离不开好老师的栽培　323#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4037669]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4037669[/url]
做个名副其实的老师　324#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4037824]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4037824[/url]
“好老师”的三热爱 325#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4039727]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4039727[/url]
孩子是待开启的宝瓶 335#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4041850]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4041850[/url]
对老师的感动 341#  [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4043261]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4043261[/url]
老师的水平今胜于昔　343#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4043294]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=7#pid4043294[/url]
对数字着迷的孩儿 365#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4047895]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4047895[/url]
谁适合做郭靖的师傅？367#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4048723]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4048723[/url]
苹果比芒果便宜20元 366#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4048086]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4048086[/url]
没错，一箱苹果比一箱芒果便宜20元 368#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4048954]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4048954[/url]
两种水果的价格不一样 373#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4050961]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4050961[/url]
大人提问中想当然的预设 375#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4052838]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4052838[/url]
题目灵活答案却是死的 380#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4055100]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4055100[/url]
为什么要看图列式？怎样处理这类习题？394#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4063632]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4063632[/url]
真是一群狗屁不通的老师，误人子弟啊！399#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4066608]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=8#pid4066608[/url]
令我最痛心的　401#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4066685]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4066685[/url]
先对后错　406#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4077686]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4077686[/url]
孩子的情绪也是有周期的　407#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4077739]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4077739[/url]
在反复错误中成长　439#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4086692]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4086692[/url]
学生也是老师　443#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4087476]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4087476[/url]
父与子：正四面体 462#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4089587]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4089587[/url]
苏格拉底和柏拉图的对话　463#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091042]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091042[/url]
孩子是上帝给我们的礼物 465#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091437]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091437[/url]
学孔子还是学墨子　541#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4135075]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4135075[/url]

[b]第14章　“我不知道”亲子数学社诞生记[/b]

拂拭你对“应试教条”的一些印象　442#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4087368]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4087368[/url]
声明：jyuntoku不是数学家　447#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4087550]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4087550[/url]
只是就事论事而已　448#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4087576]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=9#pid4087576[/url]
让我们在思想上碰撞一次吧　459#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4087716]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4087716[/url]
负数概念进入我们的基因　468#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091704]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4091704[/url]
人类基因中包含的数学能力　471#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4094618]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4094618[/url]
个说法太雷人　477#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4097426]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4097426[/url]
确有其事 478#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4099858]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4099858[/url]
婴儿的认知能力的心理学实验 479#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4100115]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4100115[/url]
我说的不是基因决定论　480#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4100168]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4100168[/url]
语言与数量认知关系的新认识 481#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4100249]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4100249[/url]
天生具有自然数的概念也不能就说是拥有计数的基因　482#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4101519]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4101519[/url]
我印象中的实验　486#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4102072]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4102072[/url]
人具有生物学意义的初始数学能力　488#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4102135]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4102135[/url]
讲得太抽象太严谨就不是亲子数学了　490#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4102242]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4102242[/url]
这已经不是亲子数学啦　496#　[url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4105406]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=10#pid4105406[/url]
各取所需　509#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4117594]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4117594[/url]
分歧可能没有他们想象的那么大　510#　 [url=http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4118603]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4564875&page=11#pid4118603[/url][/align]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2012-4-19 19:48 编辑 [/i]].

你好强呀！向你学习[tt7] 我们和孩子们现在正在重复着你说的苦恼着、叹息着、流着泪、反反复复着，[tt5] 不知时候才能熬出头，或许有一天我家大宝会突然开了窍![tt3] [tt3] [tt3].

楼主的话太偏激，这样不好。如果你真有心思，就把孩子的数学好好弄一下，要相信兴趣是和经验有关的。你当初对数学有兴趣，和你的数学成绩相对较好有关。.

没有学过奥数

删帖请给出理由

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:37 编辑 [/i]].

刻苦学习，光看字眼就心痛，完全体会不到学习的乐趣，要让孩子知道“我要学习”，而不是“要我学习”！.

闭着眼睛能算出来的题

删帖请给出理由

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:38 编辑 [/i]].

先有鸡还是先有蛋

删帖请给出理由

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:38 编辑 [/i]].

你教孩子的方法真是很好，值得我学习，很多时候都有同样的感触。可是我也有一个疑问，哪里来的那么多时间？况且还有语文，英语，没有一门是轻松简单的，量多进度又快，常会觉得孩子就是在囫囵吞枣。真要象我们期望的那样每个知识点都能够举一反三，掌握精髓，那孩子每天就根本没有娱乐玩耍的时间了。。。矛盾中。。。.

[quote]原帖由 [i]wangwenge[/i] 于 2008-9-22 08:24 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3556067&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
楼主的话太偏激，这样不好。如果你真有心思，就把孩子的数学好好弄一下，要相信兴趣是和经验有关的。你当初对数学有兴趣，和你的数学成绩相对较好有关。 [/quote]

我也不赞同这种说法。如果真是这样的话，那为什么现在有那么多钢琴考到八级，十级的孩子对钢琴恨之入骨呢？这么丰富的经验为什么反而扼杀了兴趣？而不练钢琴，不学乐器的也一样可以是音乐爱好者呀。.

学习不过是一种玩耍的方式

删帖请给出理由

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:38 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-9-22 12:53 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3559114&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
换个角度想想，如果咱们能把学习变成“玩耍”，变得比别的“玩耍”还有趣，时间的问题是不是就解决了呢。

像跟儿子摆一晚上的围棋子，不知道儿子会认为这是“玩耍”还是“学习”，今天我回去问问。

语文和英语 ... [/quote]
赞同，学习一定要培养出兴趣，只有能达到自己钻研才是学习的真正目的。.

是的，有道理。不过即使在他兴致盎然地和我们讨论完一道数学题或者一首古诗以后，如果没有留出足够的时间让他在体力上疯狂一把，或者自由自在地蘑菇一会，他还是会哭丧着脸上床睡觉的。我也总会因此不爽。:L.

删帖请给出理由

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:38 编辑 [/i]].

我家9点一定关灯了，不然他爸爸要骂的，像个国际警察。一般8：30-9：00之间看书，可是如果他作业完成的晚的话，我连课外书都不想让他看了，宁可他在房间里蹦跶一阵子。.

我和儿子每天在睡以前必会来一场乒乓比赛，孩子现在的球感很不错！这是他每天最开心的时刻.......

孩子发明的“代入法”：兼论数学探究在今天有多奢侈

　　ccpaging 辅导孩子数学的方法表明此君深得数学之妙处，俺也试着用类似的方法辅导孩子。但我觉得这类方法在今天太奢侈，难以坚持，可行性很成问题。下面的例子（这是两年前的一篇育儿日记），可以说明我何以明明自己对数学的趣味有深度体验，却难以引导孩子体验其中乐趣。

　　儿子一年级学完20以内加减法之后，老师出一了道数学题：

　　○＋△＋□=17 ……………①
　　○＋△=10  …………………②
　　△＋□=12 …………………③
　　○=（　　）　△=（　　）　□=（　　）

　　儿子不会做，拿来问我。这是一个三元一次方程题，到初中自然会做。我觉得，让小学一年级的孩子做这种题，大可不必。我告诉孩子：这是爸爸初中才会做的题目，你现在做不出来很正常。孩子的自信心得到了保护，但他还是坚持现在就要学会。理由是：老师布置了，就表示小学生也应该会做。
　　没办法，我只好启发他：你把②式中的○＋△=10代进①式中，是不是可以算出□等于多少了？
　　孩子问：为什么要代进去？
　　我说：你把○＋△当作一个数（比如◎）, ○＋△＋□=17不就变成了◎＋□=17？
　　孩子不解[b]：○和△明明是两个数，为什么要变成一个数[/b]？
　　孩子还没有开窍，我只好另想办法，问：假定①式“○＋△＋□=17”中的□=0，那么，○和△是多少？有几种情况？
　　这个孩子会。他说：○=0时，△=17；○=1时，△=16……
　　我用一张纸写下孩子说出的答案：
　　0＋17＋0=17
　　1＋16＋0=17
　　2＋15＋0=17
　　3＋14＋0=17
　　4＋13＋0=17
　　5＋12＋0=17
　　6＋11＋0=17
　　7＋10＋0=17
　　8＋9＋0=17
　　9＋8＋0=17
　　10＋7＋0=17
　　11＋6＋0=17
　　12＋5＋0=17
　　13＋4＋0=17
　　14＋3＋0=17
　　15＋2＋0=17
　　16＋1＋0=17
　　17＋0＋0=17
　　列出这么多算式，孩子很有成就感。他还惊奇地发现：当○变得越来越大时，△就会变得越来越小。我问：这里面有你想要的答案吗？
　　孩子找出了5＋12＋0=17，但他发现：这个答案虽然满足○＋△＋□=17和△＋□=12，但不满足○＋△=10。
　　我说：看来，□=0的假定不成立。有可能□=1吗?
　　孩子来劲了，他学着我的样子把①式所有的可能都列在另一张纸上：
　　0＋16＋1=17
　　1＋15＋1=17
　　2＋14＋1=17
　　3＋13＋1=17
　　……
　　儿子从中找出5＋11＋1=17，同样发现:这个答案虽然满足○＋△＋□=17和△＋□=12，但不满足○＋△=10。
　　他的结论是：□=1的假定也不成立。
　　我问：那么，有可能□=2吗?
　　儿子又想如法炮制，列出□=2时○＋△＋□=17各种可能的算式。刚要动笔写，他突然停住了，说：不对，□不可能等于2。
　　我问：为什么□不可能等于2？
　　儿曰：因为□=2的话，○＋△就不会等于10.
　　我说：如果○＋△＋□=17里的○＋△一定要等于10的话，那么，□应该是多少呢？
　　儿子非常肯定说：□等于7，一定等于7，只能等于7.
　　我问：你是怎么算出□=7来的？
　　儿子说：□等于17减10。
　　我追问：你怎么想到□=17－10？
　　儿曰：因为○＋△＋□=17，[b]如果把○＋△当作一个数，□就等于17减去这个数，这个数是10[/b]，所以□=17－10=7.
　　我由衷地赞叹：儿子，这个想法很对头。你真聪明，爸爸到读初中时才能做出来的题目，你现在就想办法做出来了。
　　接下来的一切对儿子来说就十分简单了。他根据□=7和△＋□=12，算出了△=5；进而根据△=5和○＋△=10，算出○=5.

　　我最初直接教孩子：把○＋△当作一个数，然后把○＋△=10代进○＋△＋□=17，就可以算出□的得数。孩子不理解，不接受。可是，通过一个多小时的探索，孩子竟然自动把○＋△当作一个数，然后根据○＋△=10和○＋△＋□=17求出□的得数。
　　在这个过程中，孩子的收获远不止于解决了一道数学题。当孩子把○＋△当作一个数来处理时，他对数字和符号的概念进化到了一种新的境界；当孩子严谨而有序地列举○＋△＋1=17各种可能的算式时，排列组合的数学思想开始蒙发了；当孩子惊奇地发现“○变得越来越大时，△就会变得越来越小”的规律时，说不定也像我当年一样，朦胧之中感受到数学里那种令人赞叹的美，那种无法言喻的妙；此外，他在感受数学的妙趣的同时，保持着学数学的信心……
　　这不是奇迹，不是我孩子聪明，也不是我的办法巧妙，而是我和孩子花了一个多小时去探讨这道数学题。问题就在于，孩子的作业太多了，在校的学习进度太快了，容不得孩子花这么多时间在一个题目上，不允许我带着孩子如此从容地“玩”数学。不知ccpaging用棋子和孩子从容“玩”数学的机会有多少？这是我们最无奈的地方。
　　“玩”数学的孩子成不了数学家，也会成为数学迷的。迷上数学的孩子，是不需要催促他做数学的。可是，我们的孩子却是在实实在在地、扎扎实实地“做”数学。“做”数学的孩子是辛苦的数字“工人”，顶多是精确的“计算机”。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-18 08:20 编辑 [/i]].

在学校里吃正餐，课外吃小菜

删帖请给出理由

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:39 编辑 [/i]].

有一种数学方法叫“蒙”

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:41 编辑 [/i]].

我女儿现在还小，不知小孩子可以从几岁开教她加减法呢？有经验的妈妈能否告诉。.

【转载】一个丁老头（有糟粕，MM自己改改）

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:39 编辑 [/i]].

“蒙”难道就是自然归纳法吗？

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:40 编辑 [/i]].

昨天儿子有一道题目和LZ所说的差不多，我就按照以下这个方法引导儿子做的，不知道老师会怎么批的，现在有很多题目，数学老师是一定要强调他教的方法，除此之外，哪怕答案正确都是批错的。

42×8
　　=42×（10－2）
　　=42×10－42×2
　　=（40＋2）×10-（40＋2）×2
　　=（40×10＋2×10）-（40×2＋2×2）
　　=（400＋20）-（80＋4）
　　=420-84
　　=336.

回复 22#春来草自青 的帖子

从方法上看，你的孩子非常细心，计算也非常严密．但是这样比较花时间，考试的话可能时间上有点麻烦．.

楼主的意思是与孩子走过发现方法的全过程，而不是只讲方法本身。
重要的是在这个过程中，启迪孩子的思想，共享成功的喜悦。

至于具体以后怎么计算，无招胜有招，条条大路通罗马。.

回复 23#wulawula 的帖子

是非常花时间的，但是孩子本身是对数学非常有兴趣，有时候一道题目他用其它的方法演算，答案对的，但是因为过程和老师教的不一样，老师也会批错的。如果42×8会用竖式直接答出答案，为什么还要用横式分解运算？如果一定要用横式分解运算的话也既可以40×8＋2×8，也可以50×8-8×8，为什么只能用老师所教的40×8＋2×8，假设为了推展思维的话，为什么只能用一种方式呢？借用LZ的方法，只是想试一下，老师是打钩还是画叉[tt4].

回复 21#ccpaging 的帖子

近2天在看一本关于教育的书，在谈到数学时，也说到这个由具体到抽象的问题，孩子们也许要经历过很多次的具体体验才能到达数学的彼岸。如果忽视了这种经历，那么孩子得到的也许仅仅是靠记忆留下的公式.

教育的境界

[quote]原帖由 [i]wulawula[/i] 于 2008-9-23 14:05 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3569363&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
从方法上看，你的孩子非常细心，计算也非常严密．但是这样比较花时间，考试的话可能时间上有点麻烦． [/quote]

唉，要是从时间、效率、考试的角度出发，是不必这样教的。这就是今天老师和家长的普遍想法。这种想法，其境界远不如三十多年前一个山村民办老师，当年他发现我这样做题目时，给我的是无限的赞叹、发现稀世天才般的惊讶表情（尽管他还是要求我用坚式去计算）。

春来草自青，你的孩子要是在考试中这样做题目，要是让我来批卷，仅凭这一道题，我就会给这孩子100分。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-10-20 14:20 编辑 [/i]].

【转】张景中院士的一段话

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:40 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-9-22 20:29 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3563046&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
ccpaging 辅导孩子数学的方法表明此君深得数学之妙处，俺也试着用类似的方法辅导孩子。但我觉得这类方法在今天太奢侈，难以坚持，可行性很成问题。试以一例说明之（这是两年前的一篇育儿日记）。

　　儿子一年级学 学完20以内加减法之后，老师出一了道数学题：

　　○＋△＋□=17 ……………①
　　○＋△=10  …………………②
　　△＋□=12 …………………③
　　○=（　　）　△=（　　）　□=（　　）
... [/quote]

儿子刚上小一，今天下课接他回家的路上把这道题给他做了，只是改为爸爸、妈妈和宝宝一起吃糖的形式，没想他一分钟内就告诉我答案了，心中不免窃喜[tt8] 。晚上回家，听得LG在对儿子大吼，过去一问，原来儿子对于25+10=？之类的题目反应极慢，下午的窃喜荡然无存[tt5]

[[i] 本帖最后由 sunbaby020123 于 2008-9-23 21:36 编辑 [/i]].

数学也有两面性

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:41 编辑 [/i]].

回复 30#ccpaging 的帖子

惭愧啊，我是学文科的，学校里数学学得最差，可以说看到数字就头晕[tt3]
LG却是理科高手，从事金融行业，也可算行业高手，本以为儿子的数学就可由他包办，他也摩拳擦掌、跃跃欲试，可是看他教过儿子几次后，发现他根本不是教书育人的料，每每很简单的题，儿子却给他教得云里雾里[tt6]
没法，只得亲自上阵，教下来发现儿子很喜欢做这些思维题，为了不弹琴，可以赖在床上让我们不停地给他出题；却最痛恨做简单的加减法，就算做，也喜欢把数字拆开再组合的运算方式计算，拒绝死记硬背。不过，就我个人，也是很反对公文数学的，觉得做太多的公文，会抹杀孩子的灵性的[tt10]
但是又怕基础太差，会阻碍他以后的学习，烦恼ING[tt5].

松一松，紧一紧，张弛有道

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:42 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-9-24 11:02 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3576145&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


儿子她妈妈现在经常参与我和儿子的讨论，她经常感叹，原来数学不好是因为老师没教好。
当然，现在的老师水平高多了。

公文儿子也做过一段时间，好像是1年级前的暑假和1年级寒假，那时刚开始学计算，比较有兴 ...[b]如果一段时间某件事抓得比较紧，有压力，会抵触，不妨放一放，休息1－2个月，这样松一松，紧一紧，张弛有道，反而效果更好。[/b] [/quote]

说得很有道理，可以试一下[tt7].

现在的数学教材让原本很有灵性的学科变得太枯燥无味了。前几天小三数学周末卷有一道巧算题，我家用了另一种办法完成了计算，其中用了二个“=”号，但是被老师认定是错误的，老师要求一定要用3个“=”号才能算是准确的答案。孩子解题的多种思路就这样又一次被......[tt5].

好在明强的圈子最近倒是多了灵性，少了枯燥无味，谢谢LS的高人:victory:.

这不是就是现在的所谓奥数的方法吗？看样子还是要学奥数.

明强的爸爸就是强的 ！
不要息火，请继续。 [em01].

回复 27#hxy007 的帖子

前天儿子把卷子拿回来了，果然不出我所料，一个大叉让我从头冷到脚。在我上中学的时候，有两个学年我的数学没有下过95分，就是因为有一个我非常喜欢的数学老师，她非常有想法，有独特的教学方法，可惜后来调到更好的学校去了，但是我这一生都无法忘记她，她曾经讲过一句话：数学------最有趣的是一个正确的结果，却有很多种过程。”可是现在孩子学数学就是一根筋，我很无奈，也很悲哀。[tt5].

回复 38#春来草自青 的帖子

这就是中国的教育现状，有什么办法．从小就把孩子框死啦．.

回复 39#wulawula 的帖子

也不知道其他的小学是怎么教数学的，还是单单明强这样用统一的模式的？我忽然想起旧社会的时候，孩子们在私塾里集体朗读《三字经》的情景了。.

建议跟老师沟通一下，也许是要求某个教学重点。.

我也觉得小孩子学一学奥数是很有必要的，倒不见得是要拿什么奖牌名次，而是把孩子的思路拓展开。
如果只是学数学课本的内容是有些枯燥的。.

:).

开学来第一次数学测验，第一名和最后一名相差60分，90分以上的只有两个孩子。.

此“奥数”非彼“奥数”

　　我前面举那两个例子谈数学的乐趣，揭露当前小学生数学学习中的问题时，就担心有爸爸妈妈会误解，以为我支持孩子学奥数。事实恰恰相反，我坚决反对送孩子上奥数班学奥数。理由有二：第一，小学多数奥数题的正解，都在中学可以学到，孩子不会、不懂根本就不是问题。用小学数学的办法去解决这种问题，固然也算巧妙，但对绝大多数孩子来说太难了，不能成为基本要求。孩子一旦进奥数班学奥数，会不会做奥数题就成了孩子衡量自己数学能力的一个基本标准。这个错误的评判标准，会严重地挫伤孩子学数学的自信心。第二，智力超常的儿童毕竟是少数，智力正常的儿童才是多数。奥数老师不可能把主要精力放在让孩子慢慢地体会数学的精妙和有趣上，而会放在让孩子学会种种对付奥数题的具体方法上，并且通过大量的难题，训练孩子精熟这些解题的诀窍。这种机械的训练，使奥数乃至整个数学都变得索然无味。损害孩子学习自信心和学习兴趣的事，咱是不干的。
　　但我必须承认，我上面举的那两个例子，对于小学生来说，确实是奥数题。不过，我和孩子讨论这两个题，跟奥数班的教学不一样。首先，我不会认为这是我孩子现在必须掌握的东西。如果我的孩子表示不懂或不能接受，我会马上罢手，不再深究下去。而且，我心里不会对孩子的数学能力作任何消极的评估。相反，我会宽慰孩子：这是爸爸到中学才会做的题，你做不出来很正常。其次，我和孩子讨论这种题目，目的既不是为了解决一两个数学难题，也不是为了掌握一两种具体的解题方法，而是为了让孩子体会数学探究的乐趣，逐渐领悟数学的思维方法，逐渐找到数学的感觉。就像游泳启蒙，保护或培养孩子的水感及玩水的兴趣，永远是第一位的，至于换气、划水、打水等技术及泳姿则是末节。喜欢玩水、有良好水感的孩子，用得着担心他学不会游泳吗？急于让孩子学会标准的换气、划水、打水技术及泳姿，一定是非常枯燥和恐怖的训练，结果只能使孩子怕水，讨厌学游泳。数学启蒙何尝不是如此？！一个喜爱数学、有良好数感的孩子，用得担心他学不好数学吗？

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-10-7 12:07 编辑 [/i]].

数算三角形：怎样让孩子领略数学思维的精妙？

　　前面提到过兴趣的重要，这里说说数感的重要。
　　我和孩子讨论：○＋△＋□=17，当□=0，1，2……时，○和△分别是多少？○＋△＋□=17有几种情况？孩子利用他现有数学知识寻找到所有的答案（自然数范围内的所有答案），并将它们严谨而有序地排列出来。例如，当□=1时，○＋△＋□=17有如下可能：
　　0＋16＋1=17
　　1＋15＋1=17
　　2＋14＋1=17
　　3＋13＋1=17
　　4＋12＋1=17
　　5＋11＋1=17
　　6＋10＋1=17
　　7＋9＋1=17
　　8＋8＋1=17
　　9＋7＋1=17
　　10＋6＋1=17
　　11＋5＋1=17
　　12＋4＋1=17
　　13＋3＋1=17
　　14＋2＋1=17
　　15＋1＋1=17
　　16＋0＋1=17
　　在这种探讨的过程，孩子可以体会到许多数学上的东西。其中之一就是数理统计中的排列组合思想。尽管这还是一种启蒙，但孩子有了这种经历，就好像是顿悟式地领会了我后来教他的一种不漏数三角形的思路。

[attach]201628[/attach]
                      问：其中有几个三角形？

　　这是小学一年级学三角形时，给孩子出的一道题。孩子数得头都晕了也没有数清。我启发他：三角形就是用三条直线围成的图形，对不对？
　　孩子点头。
　　直线AB可以和BD、AD围成一个三角形ABD，对不对？
　　对。
　　直线AB还可以和哪些直线围成三角形？
　　孩子按照顺序一个一个数出来了：三角形ABE、ABF、ABG、ABH、ABI、ABJ、ABK、ABC，加上ABD一共9个。
　　那么，用同样的方法，数一下AD可以和别的线条可以组成几个三角形？
　　可以组成三角形ABD、ADE、ADF……，总共也是9个。
　　ABD这个三角形前面算过，这里不能算了。那么，还有几个？
　　8个。
　　再用前面的方法数一下：AE可以和别的线条组成几个三角形？注意，数过的不要数了。
　　孩子一数：有7个。他突然大声道：不要数了，我知道后面还有几个三角形。第一条线可以组成9个，第二条线可以组成8个，第三条线可以组成7个，后面肯定是6个、5个、4个、3个、2个、1个。
　　对，你的想法是对头。那么，总共有几个？
　　孩子列出一个连加的算式：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=
　　孩子正要用平常的方法计算，我问：有没有更聪明的方法计算？
　　孩子想了一下，说：9加1等于10，8加2等于10，7加3等于10，6加4等于10，还剩下一个5，总共是45.总共有45个三角形。
　　对！这是一种聪明的算法。
　　我问：数学是不是很有意思？
　　儿曰：太有意思了！
　　我说：再来！假定在原来的图中再加一条线AL，那么，总共有几个三角形？
　　孩子快速地列出了算式：10+9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=
　　好，我们再用前面的聪明方法，10加1，9加2……看看：有几个11？
　　没有想到的是，孩子说：爸爸，你笨了！这种方法一点都不聪明。前面我刚刚算出9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=45，现在加上一个10，不就是55吗？总共有55个三角形。
　　是我笨，但我由衷地为孩子感到欣慰。当时，我几乎被孩子的灵活与聪明劲给雷倒。
　　晚上，孩子把这个题目出给他妈妈做。孩子他妈数得七荤八素，最后也没有数出来。孩子在一旁“幸灾乐祸”，看着妈妈出尽洋相，几乎笑爆。当孩子像个老师一样教他妈妈怎样统计时，我在一旁遐想：孩子总是这样学数学，该是一件多美的事！
　　孩子从中领略到的并不仅仅是数学的趣味，还有一样难得是数学的思想——严谨而有序的排列组合思想。这种思想和方法在前面就有启蒙，在这里得以深化，并且迁移到了后面的学习中。接下来，老师布置作业——数长方形，孩子已经能够自己独立解决问题了。

[attach]201627[/attach]

    让孩子数这里面有几个四边形，小菜一碟！6＋5＋4＋3＋2＋1=21
　　让孩子学到这种数学思维，需要时间、耐心，让孩子慢慢来。可是，这个功利而浮躁的世界不容许我们的孩子慢慢来。学得虽快，却不扎实。做题正确，却得不到数学的精义。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-18 08:33 编辑 [/i]].

对课堂教育的困惑

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:42 编辑 [/i]].

我数学不好。很不好的主。

不过，根据我的理解，数学还是要做题的吧？不做题，怎么会对数字有概念呢？.

回复 47#ccpaging 的帖子

我家的今年3年级了，2年级的时候也碰到过同样的问题，感觉孩子根本消化不了，对很多概念都掌握的不牢固的。 不知道到底是啥原因？[em07].

回复 1#hxy007 的帖子

说得好，现在的教育方式很难让小孩体会到独立探索的乐趣.

这只青蛙真够笨！

　　开学不久，发现孩子开始学习加减乘除混合运算了。在和孩子去游泳的路上，我出了一道题，说：一只笨青蛙做不出数学题，被爸爸扔进一口井里，成了井底之娃。井深10米，这只青蛙开始慢慢地往上爬，一个白天爬3米，晚上休息时又滑下2米。请问这只青蛙要爬几天才能爬出来？
　　儿答：10天。
　　我问：你是怎么算出来的？
　　儿子说：10÷（3－2）=10÷1=10
　　我笑着说：看来，你也是一只笨青蛙。我也要把你扔进10米深的井里。你自己爬爬看，到底要爬几天？
　　儿子不解。
　　我说：你第一天可以爬上几米？
　　儿说：1米。
　　到第七天，总共爬了多少米？
　　7米。
　　那么，你离井口还有几米？
　　3米。
　　第八天白天，你爬了几米？
　　3米。
　　这个时候，你是不是已经爬出了井口？
　　是。
　　那么，你要用几天爬出井口？
　　8天。
　　用10天爬出井口的青蛙是不是一只笨青蛙？
　　儿子笑了：爬上了还要滑下去，真是一只笨青蛙。
　　回到家里，儿子又用这个题考他妈妈，看看我家是不是还有笨青蛙……
   
　　数学就是这么有趣。不但它本身的精妙引人入胜，它的灵活应用也非常有趣。让孩子感受到这种有趣，教的人首先应该是有趣的人，觉得数学好玩的人。让无趣的人、觉得学数学就是做题目的人去教数学，去辅导孩子，必然造成教学和辅导上的恐怖主义。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-18 08:36 编辑 [/i]].

回复 47#ccpaging 的帖子

请问你是如何发现问题的，是做题时题做错了，还是问孩子什么是倍数、份和因数孩子说不清楚?我在孩子的作业卷子上也看到了这些概念，看她所做的题都是对的，所以也没问过她这些概念是什么意思，看了你的帖子，现在也在想她是否真正理解了。.

怎么知道儿子的数学学习情况？

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:43 编辑 [/i]].

回复 51#hxy007 的帖子

这道题曾问过一些人，大部分第一感觉是10天，让其再仔细想想画画，结果是8天，由此也和别人争论过，这道题到底是一道数学题还是一道思维训练题，数学题 是讲究推理的，那么根据已知的数字列出算式10÷（3－2）=10÷1=10得出的结果应是正确的，但此题却是错误的，原因在于此题除了运用所给数字运算外还需要考虑特定情况，因此更倾向于认为这是一道思维训练题，不知是否正确，请指教。
运用此题吸引孩子学习数学的兴趣的方法[em21].

回复 54#小龙人妈妈 的帖子

　　有一只聪明的青蛙是这样解决问题的：
　　10=（3-2）+（3-2）+（3-2）+（3-2）+（3-2）+（3-2）+（3-2）+3，所以是8天。
　　有一只更加聪明的青蛙这样解题：
　　10=3+（10-3）/（3-2），所以是8天。

　　可见，这是一个数学题。你要说它是个思维题，也对。因为它用的就是数学思维。不过，我才不管它是思维题，还是数学题。我只想用它来勾引孩子的数学兴趣，并且让孩子体会到数学并不是机械地“根据已知的数字列出算式：10÷（3－2）=10÷1=10。”

　　想当年（一年级时），我给孩子出一道题，说：船上有20只鸡，30只鸭，请问船长年纪有多大？孩子说：不知道，没法算。要是孩子“根据已知的数字列出算式”：20+30=50（岁），我的肺都会气炸。据说，有人用这样的题目考中国的高中生，居然真有人算出船长的岁数。这就是练数学练傻了的一个例证。

　　正确的说法是“根据已知条件列出算式”，一词之差，意思大不相同。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2009-4-15 13:37 编辑 [/i]].

我记得我们小时候上数学时的气氛是最活跃的，老师会让孩子上台进行不同方法的解题，并进行讲解，而且这些老师都是多年的数学老教师，现在的数学教材把孩子的思维都框S了。.

喜欢看类似的帖子，学习中。
请教:这个式子10=3+（10-3）/（3-2），所以8天，没看懂 。如果 加上单位的话是否是这样;10(米）＝3米＋（10米－3米）/(3米－2米），这怎得出8天？.

估计hxy007说的应该是3(米)/3(米/天)+(10-3)(米)/(3-2)(米/天)=8(天)

这里面有一个问题，我从小读书经常碰到的，老师说我是钻牛角尖。

答案是8天的前提条件是青蛙在7米高度往上爬了3米就爬出井口了。那么是不是有可能这是这只青蛙刚刚好够着井口的沿，已经筋疲力尽了(因为它一天只能爬3米)，爬不出去了？所以这只青蛙应该再等一天，养精蓄锐后，第9天才可以爬出去。

[[i] 本帖最后由 xylonhong 于 2008-10-8 23:52 编辑 [/i]].

最聪明的青蛙是这样解题的：
[quote]原帖由 [i]xylonhong[/i] 于 2008-10-8 23:50 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3646924&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
估计hxy007说的应该是3(米)/3(米/天)+(10-3)(米)/(3-2)(米/天)=8(天)

这里面有一个问题，我从小读书经常碰到的，老师说我是钻牛角尖。

答案是8天的前提条件是青蛙在7米高度往上爬了3米就爬出井口了。那么是不是 ... [/quote]
虽然，这是世上最聪明的青蛙[em18] ，但体质好像不太好。爬到井口，竟然不能硬撑一下[em17] ，爬出去。只好休息一晚，等到第九天，再爬2.000000000000001米，终于爬出来了[em18] 。可见，光学习好还不够，还要身体好[em16] [em16] 。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-10-9 09:57 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-10-9 09:54 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3648301&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
最聪明的青蛙是这样解题的：

虽然，这是世上最聪明的青蛙[em18] ，但体质好像不太好。爬到井口，竟然不能硬撑一下[em17] ，爬出去。只好休息一晚，等到第九天，再爬2.000000000000001米，终于爬出来了[em18] 。可 ... [/quote]

是呀，作青蛙真是不容易。不光要数学好，还要身体好.[tt0].

[em03] [em03] [em03] [em03] [em03] 我都笑翻了，回去也让儿子做，故意跟他搞一搞。他最喜欢这样子搞笑的东东了。.

这只青蛙很像我女儿，她上楼梯总喜欢上两阶再退一阶。[tt2]
昨天给她说了这道题，她张口就说要用十天，后来又画了画，改说八天。.

回复 46#hxy007 的帖子

请问你说的这种数三角的方法是学校里教的，还是课外学的？.

好贴!别沉了!.

[quote]原帖由 [i]rachelzheng[/i] 于 2008-10-9 12:27 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3650393&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
请问你说的这种数三角的方法是学校里教的，还是课外学的？ [/quote]
　　我不知道我孩子的数学老师有没有这样教他，但我相信合格的数学老师都会这样教。问题就在于，今天有多少数学老师合格？他们自己相信数学是很有趣东东吗？他们相信数学启蒙时期最重要的是呵护和培养孩子的数学兴趣、数感吗？抑或，相信刻苦学习，多做习题，熟能生巧，提高考试成绩？他们意识到了某种具体的解题方法在数学长河中微不足道，大可不必黙守成规吗？他们……唉，不说也罢。真正爱数学、领悟数学之真谛的人，有几个愿意做小学数学老师？

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-10-9 15:50 编辑 [/i]].

真搞笑，你说这题目要是放到课堂上讨论那肯定热闹死了，小孩子会很爱上数学课的，我今天就让她做做。.

更喜欢笑声盈盈的课堂

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:43 编辑 [/i]].

回复51#

[size=3][/size][size=3]我的第一反应证明我是一只笨青蛙.[/size][tt5].

看来楼主和ccpaging在数学教育方面有一套,以后多向你们讨教.[tt7].

家长和老师的不同

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-10-10 13:57 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3660395&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
应该放到课堂上。可是有不少老师，害怕课堂上热闹，因为有人把思想的活跃看成是混乱，不知道这些老师有多害怕
LOSE CONTROL

一声叹息，唉 [/quote]

　　是的。老师的压力太大了，顾忌太多了，因而很难把数学教活，教得妙趣横生。老师做不到，只好我们家长来弥补了，在辅导孩子的过程中，努力恢复数学的本来面目，和孩子一起探索，体会数学的精妙和趣味。楼上几位MM不要泄气，就算老师给孩子的另类解法打了叉叉，依然要鼓励孩子独立思考和主动探索。
　　孩子的优秀或杰出，就在于与众不同。过去，多数小学生作业不多，勤奋刻苦、多做习题的孩子就容易出众。今天，个个孩子都作业一大堆，乐学、巧学的孩子才会有出息。
　　我们跟老师有所不同。老师只对孩子一个学段甚至一个学年的学习负具体的责任（所以有时会不遗余力地透支孩子的精力和潜力），我们却要对孩子一生的成长负责。因此，我们要有更加长远的目光。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-18 08:38 编辑 [/i]].

回复 1#hxy007 的帖子

不太赞同楼主的意见，现在都是应试教育，根本没时间来培养兴趣，还没等你把兴趣培养出来，考卷己经一张张的出来了。首先学校的教育方式就是题海式的，靠个人单薄的力量是无法改变的。所以要变的话还是我们的教育制度先变。不然都是说空话。这次的诺贝尔奖不是没中国的份嘛。.

要讨论“制度改革” -- 咱可没那力道，也耽误不起

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:43 编辑 [/i]].

学习了，好贴要顶.

回复 72#ccpaging 的帖子

也来支持一下。
家庭教育应该做学校教育的补充，根据自己孩子性格和特点，有针对性地弥补学校应试教育的不足，这样的孩子才有成长的后劲。一味把责任交给学校，或只是简单地在学校的要求上简单加码，这样的孩子会学得很累。教育制度再改革，也不可能保证让每一个孩子个性化发展。作为家长，要学会的是平衡好学校和家庭教育两者的关系。就想LS所说，孩子是自己的，自己不疼，等大环境的改变，是不现实的。与其抱怨，还不如多化精力来学习如何使自己的孩子在应试教育的背景下也能得到个性化的发展。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-10-10 23:00 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3664242&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
[b]其实我们也都是应试走出来的。应试当然有它的问题，但是也有优秀的学生。[/b] [/quote]

说的太正确了，接触过我所在区的好几届中考状元，都是些非常棒的孩子，非常的优秀。也曾和他们聊过，都说得益于父母从小的引导，所以，千万别忽略了家庭教育啊。。。.

只有训练，没有教育　回复 71#yunmm99 的帖子

　　哪里有“应试教育”？我看，只有“应试训练”。现在问题是训练过多，教育不足。我们的孩子受到了大量的训练，却没有受到充分的教育。现在的学校与其说是教育机构，不如说是培训机构。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-18 08:43 编辑 [/i]].

学习了各位的帖子,受益匪浅.

多吃了一个“屁”

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:43 编辑 [/i]].

少吃了一碗饭　回复 78#ccpaging 的帖子

　　“根据已知数字列出算式”：
　　2-1=1
　　答：小明今天一共吃了1碗饭。
　　解释：小明是出屁，不是吃屁。所以ccpaging同学用加法解题不对，应该用减法。[em16]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-18 08:47 编辑 [/i]].

[em17] [em03].

中午小莉吃了1碗饭，小明吃了2碗饭，小鑫放了一个屁，被小明听见了。请问，小明今天一共吃了几碗饭？

改成这样？.

一个“屁”引发的数学探究和班级惨案　回复 81#ccpaging 的帖子

　　ccpaging这道题引起了全班同学（共43人）的兴趣。小鑫说：要回答这个问题必须说清楚小明今天早上吃了几碗饭，还要看今天晚上他会吃几碗饭。另外，还要加上1，因为他吃了我的一个屁。小明说：我没有吃，我只是听见你放了一个屁。小莉说：就算小明吃了小鑫放的屁，这个屁也不一定够一碗……激烈的讨论引起了数学老师的注意。仔细一听，勃然大怒：你们这班小屁孩，怎么这么庸俗，竟然在课堂上讨论什么放屁、吃屁。你们再说这么恶心的事，我就让你们去吃屎！数学老师还向班主任告状，结果全班同学又挨了班主任老师一顿臭骂
　　请问：全班同学因为此事一共挨了老师几顿骂？[em14]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-18 08:56 编辑 [/i]].

过份了，回归吧。

开新贴讨论一个新内容。.

两个答案，哪个对？

第一解：
　　
　　1+1=2（顿）
　　答：全班同学因为这件事一共挨了老师2顿骂。

第二解：

　　（1+1）×43=86（顿）
　　答：全班同学因为这件事一共挨了老师86顿骂。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-10-18 15:54 编辑 [/i]].

“屁题”并非杜撰胡诌，问题也不简单

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-10-18 14:20 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3714718&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
两个答案，哪个对？

第一解：

　　1+1=2（顿）
　　答：全班同学因为这件事一共挨了老师2顿骂。

第二解：

　　（1+1）×43=86（顿）
　　答：全班同学因为这件事一共挨了老师86顿骂。 [/quote]

　　周末带儿子去游泳，同去还有一位同学。两个小家伙在更衣室里打闹，说着屁啊大便之类的恶俗粗话。不由想起ccpaging和我在上面编的“屁题”，就让两个三年级生试做，免得孩子在公共场所扯淡，让我脸面没处搁。
　　儿子说：全班同学一共挨了老师2顿骂。
　　儿子的同学说：全班同学一共挨了老师86顿骂。
　　两个小家伙争了起来。儿子说：题目问的是全班同学挨几顿骂，应该把全班同学当作一个整体来算，所以应该做加法，1加1等于2.
　　他同学说：题目不是问老师骂了几回，问的是全班所有的人一共挨了几顿骂。43个同学都挨了老师2回骂，所以应该做乘法，2乘43等于86.
　　有意思吧？！我再把情境复杂化，对两人说：班主任进一步追查，查出这件事是由ccpaging同学挑起的[em16] ，又把ccpaging同学给狠狠地骂了一顿。请问，全班同学总共挨了几顿骂？
　　儿子同学说：87顿。
　　儿子说：3顿。
　　我质疑：你不是说应该把全班同学当作一个整体来算吗？老师最后一次骂的不是全班同学，而只是骂了一个同学。如果照你原来的说法，全班同学应该还是一共挨了老师2顿骂。
　　儿子反驳说：这个同学是这个班的，他多挨了一回骂，就表示全班同学总共又多挨了一顿骂。
　　他同学进一步反驳说：你这样算，就是在算每个同学挨几回骂，然后加起来算总数，所以我算的87才是正确答案。
[em17] 我也陷入了争论，说不清楚谁对谁错了。ccpaging同学，你数学系出身，是权威，你给评评理吧！[em16].

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:44 编辑 [/i]].

回复 86#ccpaging 的帖子

[em18]
　　但我还是没法跟孩子说清楚[em07] 。他们虽然到了三年级，“人次”理解起来还有困难。而且他们说：题目问的是挨几顿骂，没有问挨了几人次骂。他们认为我这样的解释是答非所问。[em17]
　　不过没有关系。重要的不是一定要解决这个问题，而是让孩子重视审题，学会把自己解决问题的方案列成算式（建立数学模型），还有就是让孩子体会数学的有趣，数学的灵气，破除孩子对特定解题方案的迷信，培养孩子对解题方案的批判意识。
　　 孩子带着满脑子有待他思索和解决的数学问题长大，学习不主动也难。.

即使是我这样的数学白痴，看了这个贴子也受益非浅啊。好贴，一定要顶！.

数学对等式的崇拜

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:44 编辑 [/i]].

玩统计口径要从娃娃抓起：1只苹果+1只芒果=2只水果果　回复 89#ccpaging 的帖子

　　1个罗卜 + 1个苹果确实既不等于2个苹果，也不等于 2个罗卜。但我家儿子强，小学一年级时居然能够做出类似的题目。
　　问：一只苹果加一只芒果等于多少？
　　儿答：两只水果。
　　我跟他搞：噢，原来1+1=2，苹+芒=水，所以，1只苹果+1只芒果=2只水果。不对呀，你漏加了一个“果”。应该等于“2只水果果”。
　　儿子急了：不是这个意思。老师说，相同的东西的才能相加减。它们虽然不是同一种水果，但都是水果。如果算水果有多少，是可以把它们加起来算的。
　　儿子小小年纪也会玩“统计口径”！看来，这不是统计局那帮人的专利。[em16]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-18 09:01 编辑 [/i]].

转正后对46楼的补充

　　俺转正了，成为普通用户，可以加附件了，给46楼那个例子补上了两张图。
　　各位BBMM，在学数学、教数学中我们一定都有过有趣的经历，请说出来和大家分享。孩子学得有兴趣，学得主动了，学得有成效了，老师才不致于变本加厉地苦炼、傻练我们的孩子。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-10-23 10:56 编辑 [/i]].

真是好贴，祈望各位对数学有兴趣的bbmm来分享你们的乐趣。.

数学白痴的儿子

茄妈是个数学白痴，超级白痴。白痴到什么程度呢，偶也说不清楚，原因是通常情况下白痴是不知道自己如何白痴的。反正印象里，自打进了高中，偶的代数就从来没上过五十分，而自打立体几何变成了偶看起来和代数差不多的解析几何，茄妈基本上就属于一上数学课就想直接自杀的主儿了。

数学白痴嫁了个语文老师，又伙同这语文老师生出来了个儿子，几年来心里一直非常惴惴，因为土人茄妈觉得男孩子么，总要理科好些才有出息。好容易盼得儿子上学了，识数了，便一直想试试小人儿会不会在这方面不象父不象母呢？

蕃茄倒是一直觉得自己的数学很好，理由是他口算速度比较快。可这在茄妈眼里实在算不上什么成绩，只是在吃幼儿园里学珠心算的老本而已。再说了，口算也好，计算也罢，这不是数学，至多只能是算术，要说这算术，这口算，茄妈小时候也是老好老好的呀，可有什么用呢？

这天下午，在旺网上偶尔看到个数学系的老爸发的贴子，讲如何培养孩子对数学的兴趣，如何不让他成为只会做题目的“匠”。看了半天，自叹弗如，他提出的N多理念，偶这数学白痴连想都没想过，只看到后面的一道例题：

○＋△＋□=17 ……………①
　　○＋△=10  …………………②
　　△＋□=12 …………………③
　　○=（　　）　△=（　　）　□=（　　）

偶想：要不，咱让蕃茄试试？不过，这好象有点太难了，茄妈觉得儿子就算不是数学白痴这个年纪也做不出来啊。于是茄妈先囫囵吞枣地把那位老爸在贴子里的辅导过程背了一遍。想想自己都看不大明白，如何跟蕃茄解释？还得另外想辄啊，偶想了二十分钟，总算把这些符号统统变成了糖，呵呵，变成糖兴许蕃茄就有兴趣听偶解释了吧？

晚上，蕃茄回家，茄妈迫不急待地把题目拿出来献宝，看蕃茄一脸迷茫地瞪着题，茄妈正琢磨是不是立刻改成糖呢，结果人家已经刷刷刷把答案写上去了。咱一看，居然还是对的！心里想：胡蒙的吧？凑的吧？一问思路，竟然非常正确！！！这下数学白痴心花怒放了，象个花痴般抱着儿子又亲又啃了半天，美不拉稀地去洗衣服了。

洗了一半，又想起那个贴子里出的一道搞笑题：一艘船上装了20只鸡，30只鸭，问船长几岁？

于是也问儿子，结果蕃茄告诉偶船长五十岁了。

晕啊，现在数学白痴混乱了，偶这个儿子到底是白痴还是天才啊？结果茄舅告诉偶：世界上的事情往往就是这样，白痴和天才只有从来都是邻居。.

回复 7#ccpaging 的帖子

我是数学老师，学数学和学作文一样，其实学任何科目都一样，有灵感和悟性的，不是说脑子聪明就一定学得好，要看他在这门学科上这根筋开窍了没有。老师虽说要因才施教但毕竟难以面面俱到，趁着孩子还小，家长还看的懂会教，尽快帮他疏通那根筋，以后就事半功倍了，等以后功课多了，知识难了再摸索学习方法，家长可能也无能为力了，只能靠老师了，老师也不是万能的，又会觉得孩子基础差难以改变，就比较麻烦。.

喜欢难题却不愿意做容易的题　回复 93#YANGXIMI 的帖子

　　我家儿子也有类似的情况（29楼sunbaby020123以及38楼春来草自青的孩子可能也属于这种类型）。有点挑战性的题目，他来劲，思维活跃而且比较严密，谨慎小心。简单的、不用动什么脑筋的题目（如视算题），做一题几题可以，做多了他就心不在焉，瞎搞胡做。有的时候，一道复杂的应用题，他都正确地列出了算式，竟然会对着算式发呆，懵在那里，迟迟算不出得数。
　　他妈妈在一旁着急：你算呀！那么难的题你都想得出算式，一个这么简单的加法你就不会做啦？
　　儿子嘟囔着：15+7，这是个进位加法，我进位加法没有学好……
　　我倒，他妈以前是说过儿子进位加法没有学扎实，老出差错。没有想到，这话的消极暗示，成了孩子的一个心理障碍。但也不一定是这么回事。孩子外表看是懵在那里，也许心里正在想用什么特别的法子对付这个讨厌的进位加法。也许我们应该让他在那里“发呆”。
　　这种孩子在将来也许不适合做简单的或重复性强的工作，适合做具有难度、挑战性、创造性的工作。

　　顺便声明一下：偶不是数学系毕业的，只不过是一个自小喜欢数学、至今还迷着数学、时常和孩子一起过数学瘾的数学粉丝。因此，在数学问题上，偶说错了什么，千万不要批评数学系没有教出合格的毕业生。ccpaging才是数学系出身的才子老爹，数学答案的对错，他更具权威性。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-18 09:10 编辑 [/i]].

启蒙的要求不高

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:44 编辑 [/i]].

回复 96#ccpaging 的帖子

[em21] 我对代数、平面几何有感觉，立体几何是弱弱项。要是立体几何也好的话，我也许像兄台一样去报考数学系了。现在要向你学习，和孩子多玩一些空间游戏，作为立体几何的启蒙准备。.

请教ccpaging

小女已读预初，但数学是弱项，不知是否因为我们都是文科出身，对数学感觉极差。读小学时由于数学教师频频更换，造成数学根底不扎实。现因为成绩不佳好似已造成不良循环：成绩不满意——没信心——没兴趣——惧怕不愿做数学作业。作为父母，我也曾多次下决心花时间培养兴趣，但是都坚持不了几分钟，就会被她解题中的粗心、概念模糊变得气急败坏，最后嗓门提高，不欢而散。
   时间有限确实是一个问题，但是有些事，我现在明白是没有办法出钱让人来代替你做的。在孩子学习有问题的时候，面对几十个学生的老师是没法来对诊下药的，没有这个时间和精力。
    看到你们这些家长在孩子身上花的心血，我很感动。为这次偶尔闯入小学版而庆幸。真的学到了不少东西呢。[tt8]
     想请教的是：有什么好的探讨数学本质方面的书籍可以推荐（比如你们讲到乘法在两个方面的应用之类）？我个人也觉得，现在学校的教学是比较急功近利的，对成绩相当看重，也是无奈。但我总觉得数学所蕴含的思维方式更重要。但自己文科出身，对数学之魅力有隔阂，但也很想和孩子一起长大。.

文科也可以这样学数学

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:44 编辑 [/i]].

回复 99#ccpaging 的帖子

[em11] [em08]

ccpaging不仅是个数学家，而且是一个教育家。非常赞同：

跟孩子一起学习
和孩子并肩战斗
和孩子一道成长
在和孩子一起探索、玩乐中享受学习、生活的乐趣，重温童趣，发展亲子关系，享受天伦之乐。
不把辅导孩子当成父母不得不尽的义务，而把辅导孩子当成是上天赐给父母的一种最好的娱乐和休息。.

回复ccpaging及hxy007帖

看了回帖，谢谢！.

编数学故事的乐趣：独腿船长系列

　　各位BBMM，把自编或孩子编的趣味数学题亮出来吧，大家一起来分享，给我们孩子的数学学习多添加一点乐趣。俺已经抛了一些砖，再抛一回。最后还有一个问题想请教。

（一）
　　小学一年级时，为了帮助孩子理解加法的意义，曾经问孩子：船上有20只鸡，30只鸭，请问船长年纪有多大？孩子没有上当，被这种搞笑的题目乐坏了，还屁颠屁颠拿去考别的小朋友。

（二）
　　孩子二年级学乘除法了，又问他：船长贩运鸡鸭，船上有20只鸡，30只鸭，请问船上有几条腿？孩子说：（20+30）×2=100，船上共有100条腿。
　　不对。你忘记了船长也有腿。
　　对对对，应该是102条腿。
　　不对。我又没有说船长有两条腿，这个故事里的船长是一个独腿船长。
　　那好，你要先告诉我，船上有没有一条腿的鸡、一条腿的鸭？有没有别的人？（[em16] 孩子开始提防上当了）
　　还有船长的儿子，他没有缺胳膊少腿。船上没有一条腿的鸡鸭，不过有一只瘸腿的鸡。请问船上到底有几条腿。
　　儿子格格地笑了，但没有上当：瘸腿也是腿。船上一共有103条腿。

（三）
　　儿子来劲了，编故事难我。他说：船上有20只鸡，30只鸭，还有船长的儿子，他的儿子12岁了，请问船长多少岁？
　　我说：你没有告诉我船长大儿子几岁，没法算，没有答案。
　　儿子坏笑：有，答案是>12岁。[em17]
　　对对对，船长大于12岁。一般20岁以上的人才会有宝宝，因此船长的岁数估计是>32岁，也就是30多岁。
　　不管大于12，还是大于32，都是有答案的。你说没有解，就是不对。[em07]
　　你说得对，是我错了。

（四）
　　二年级下学期复习阶段，接着编船长的故事：船长今年36岁，他的儿子今年12岁，请问船长的岁数是儿子的几倍？
　　儿子：36÷12=3，船长的岁数是儿子的3倍。
　　再问：儿子出生时，船长几岁？
　　36-12=24，那个时候船长24岁。
　　再过几年船长的岁数是儿子的两倍？
　　这下可难了。正规的解法是：设过x年船长的岁数是儿子的两倍，根据已知条件列出一元一次方程24+x=2(12+x)，解方程得x=12，因此再过12年船长的岁数是儿子的两倍。我家孩子不会这样解，但他有他的办法。
　　儿子拿出一张纸，趴在桌子上推算：再过1年，儿子13岁，船长37岁；再过2年，儿子14岁，船长38岁……再过12年，儿子24岁，船长48岁。老爸，我算出来了，再过12年船长的岁数是儿子的两倍。
　　对。你一步一步推算的办法也很好。就是太麻烦，有没有更简单一些的办法？
　　儿子想不出来。
　　我问：刚才不是算过了，儿子出生时船长多少岁？
　　24岁。
　　再过24年，儿子多少岁，船长多少岁？
　　儿子24岁，船长48岁。
　　这个时候，船长的岁数是不是儿子的两倍。
　　刚好两倍。
　　那么，刚才那道题可以怎解？
　　48-36=12，再过12年船长的岁数是儿子的两倍。
　　对。请你告诉我，你是怎么想的？
　　船长是儿子两倍大时的岁数减去现在的岁数，就是要算的年数。
　　思路对头。不过，题目里的已知条件没有说船长48岁时的岁数是儿子的两倍呀！你列的算式里怎么可以有题目里没有出现的数字呢？
　　那就是：24×2-36=
　　已知条件中也没有24，你的24是怎么得来的？
　　我知道了，（36-12）×2-36=
　　对了，这才是利用已知条件列出的正确算式。这个算式是什么意思，你知道吗？
　　知道。
　　你说说看。
　　儿子说得有些乱，但意思正确。
　　我稍加改造，颠倒过来重述了一遍儿子的话：你的意思是，要知道再过几年船长的岁数是儿子的两倍，就要先知道船长现在几岁、那个时候几岁。儿子出生的时候船长多少岁，再过同样多的年数，船长的岁数就正好是儿子的两倍。而儿子出生时船长的岁数，可以用现在船长的岁数减去现在儿子的岁数求得。你的意思是不是这样？
　　是的。
　　那么，你再说你列出的这个算式的意思。
　　先算儿子出生时的船长的岁数，36-12=24；再算船长岁数是儿子两倍时的岁数，24×2=48；最后算再过多少年船长的岁数是儿子的两倍，48-36=12.
　　是这样的。不过，你一下子列出这个算式，就不一定要这样一步一步去算，还有更简单的计算方法。
　　不懂。
　　你看（36-12）×2-36这个算式里的（36-12）×2，是不是两个（36-12）相加？
　　对，就是两个36减两个12。
　　那么，（36-12）×2-36就可以等于？
　　等于两个36减两12再减一个36，也就是一个36减两个12，两个12等于24，36减24等于12。这样算更简单！
　　你用递等式把这个计算过程写出来。
　　（36-12）×2-36=36×2-12×2-36=36-12×2=36-24=12
　　这个题有两个地方要用聪明方法，哪两个地方？
　　列算式的时候，第二种方法更聪明。计算的时候，也可以用聪明方法。
　　找聪明方法，是不是很开心？
　　是，聪明方法更有意思。

（五）
　　儿子出题了。问：船长48岁时的岁数是儿子的2倍，36岁时是儿子的3倍，什么时候船长的岁数是儿子的4倍？
　　我说：你现在有答案了吗？
　　没有。
　　那好，我们各算各的，看谁先算出。
　　我用方程式的方法很快就算出来了，儿子许久才找到答案。他还是用推算的老办法算出来的：
　　儿子1岁时，船长25岁，是儿子的25倍；
　　儿子2岁时，船长26岁，是儿子的13倍；
　　儿子3岁时，船长27岁，是儿子的9倍；
　　儿子4岁时，船长28岁，是儿子的7倍；
　　儿子6岁时，船长30岁，是儿子的5倍；
　　儿子8岁时，船长32岁，是儿子的4倍。
　　我家孩子问我：有没有更聪明的方法解这道题？
　　我当然不好说用一元一次方程解决这个问题，但我还硬撑着说：有呀！24除以3，不就等于8.
　　为什么要24÷3？
　　36-12=24，4-1=3.也就是（36-12）÷（4-1）=24÷3=8
　　为什么要这样列算式？
　　这个，这个[em07] 。儿子出生时，船长24岁。过多少年，儿子就长多少岁，船长也长多少岁。如果过了一些年，船长的岁数是儿子的4倍，那么，儿子的岁数怎么算？
　　船长的岁数除以4，就是儿子的岁数。
　　对。那么，船长的岁数怎么算？
　　儿子的岁数乘以4，就是船长的岁数。
　　对。还可以有另外一种算法。
　　没有了。不懂。
　　那个时候，船长的岁数是不是等于24岁再加上儿子的岁数？
　　是的。
　　也就是说，24岁加上儿子的岁数，就是儿子岁数的4倍，对不对？
　　对。
　　那个时候，船长的岁数减去儿子的岁数，这个得数是儿子岁数的几倍？
　　不知道。
　　船长的岁数是儿子的4倍，现在减去儿子的岁数，就等于减掉了1倍。对不对？
　　对。
　　那么，还剩下几倍？
　　3倍。
　　就是说，船长的岁数减去儿子的岁数，这个得数是儿子岁数的3倍，是不是？
　　是。
　　在这种情况下，怎么算儿子的岁数？
　　不知道。
　　用船长岁数减儿子岁数的差，除以3，得到是不是儿子的岁数？
　　是。
　　船长岁数减儿子岁数，差是多少？
　　不知道。
　　就是说，船长比儿子大多少岁？
　　24岁。
　　你是怎么算出来的？
　　36-12=24（岁）.
　　前面我们已经知道，用船长岁数减儿子岁数，它们差除以3，就是我们要求得的儿子的岁数。现在算一下，儿子几岁？
　　我不知道是它们的差是多少。
　　不是刚刚算出来是24岁吗？
　　噢，24除以3，等于8。儿子8岁。
　　你验算一下，儿子8岁时，船长的岁数是不是儿子的4倍。
　　（24+8）÷8=32÷8=4.对，是4倍。
　　现在你明白了吗？
　　儿子表示还是不明白：题目说船长的岁数是儿子的4倍。为什么要24÷3？24÷3是等于8，可是24岁是儿子岁数的3倍，不是4倍。[em17]

　　我把孩子绕晕了。看来，二年级的孩子还不能驾驭这么复杂的思维。我求之过深了，只好放弃。于是对孩子说：你用你的方法求到了正确答案，就是聪明的方法。爸爸说的方法，你再大一点就会明白。没有想到的是，他并不在意自己不懂这种方法。人家急于要跟我讨论的是：船长的岁数可以恰好是儿子的2倍、3倍、4倍、5倍、7倍、9倍、13倍、25倍，为什么不可能恰好是6倍、8倍、10倍……？这就很自然地进入除法余数的方面的复习。
　　但在我的心里还有一个未解的疙瘩：有没有什么通俗易懂办法，可以让小学二三年级的孩子理解第五个故事中涉及的数学问题？请各位BBMM指教！[em19]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-11-4 23:33 编辑 [/i]].

试算法也是数学里边的一种方法

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:45 编辑 [/i]].

回复 103#ccpaging 的帖子

[em01] 明白了。原来，我家孩子的方法和思路代表的居然是现代应用数学发展的新方向。俺的数学观念落伍了。要不断学习啊！[em07].

个人浅见供参考。

定理也好，模型也好都是死的。就这道题而言，如果孩子能拿出笔来，从儿子一岁开始，逐个的试算，已经是找到一个解决办法了。碰上被定理熏陶出来孩子，可能打破脑子也找不到一个合适的定理来套，只能是双手一摊了，根本不知道从何入手。

当然，如果孩子在推导出来的基础上，能够发现一些随年龄增长或减少的规律，那就更进一步了。.

儿子几岁时，船长的岁数是儿子的1倍

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:46 编辑 [/i]].

这个现象我也早就发现了，现在网络上写小说写得好的人，百分之八十是理科生，我还一直很郁闷地跟同学讲：“看来文科生是差啊，文科生多半是理科读得不太好的，而理科生却可以把文科也读得这么好，真让有胸闷！”

我一直觉得自己数学是个白痴，但现在回头想想，大概人的脑袋是有差别，我喜欢解应用题，喜欢几何，但是一碰到代数我就犯愁。感觉就是很难把形象思维转换成抽象思维，更难把抽象思维总结成逻辑思维。一个很好的读理科的朋友说其实代数就是一层纸，捅破了，很简单。但问题是这层纸对我而言就象是牛皮做的，我都捅了几十年了，还是没破！！！以至于这几十年来，我一直在做一场关于数学高考的噩梦，而即使在梦里，我照样知道自己只能对着它一筹莫展。

但愿小蕃茄不要象我吧，但愿我们一起捅个几年，就可以把这层牛皮纸给捅破了吧，唉。

很喜欢你们编的题目，天天上来找更新，回家烤蕃茄，呵呵。[tt8].

我们都还有希望　回复 107#YANGXIMI 的帖子

　　数学上开了窍，中小学那点浅薄的数学就不在话下了。俺比较幸运，自从学乘法时突然悟到数学的妙处之后。钻研数学就成了一件乐事，成了最有趣的娱乐。记得中学时，老师布置的数学作业不多，时常觉得不过瘾，就一题多解（如一个题目同时用代数、三角函数、解析几何去解），交上去的作业惹得老师直夸俺是个好学生。老师批阅、发放作业之后，俺也时常给自己的作业写上“精彩”、“妙”、“马虎”之类的评语。总之，钻研数学题确有一种特殊的满足感。
　　大学读的是文科，不过大一时有“高等数学”课，大开眼界，才知道中小学那点数学在整个数学体系中不过是沧海一粟。遗憾的是大二不上高等数学了。80年代的大学生活都闲得很，闲得慌了俺就去图书馆找数学书，做微积分难题。每做出一道题，都开心得不得了。正是这样的经历，使我不相信刻苦学习，而信奉快乐学习。我坚信，数学家们当年并不是因为数学有用而刻苦学习数学，相反，他们一定像我一样是因为发现和体会到了数学太有意思了，而沉迷其中，乐在其中，欲罢不能，一不小心成了数学家。
　　当然，人和人不同。有的人在数学上开窍得晚，有的直到中学毕业也没有真正开窍，不过通过刻苦学习，也是基本能够对付中小学这点数学的。但是，让这种人去教授、辅导小学生的数学，那孩子就会非常惨，很可能越学越呆，越学越没劲。
　　俺的太太在数学上好像是一根筋，但是，在辅导孩子过程中，也逐渐找到了数学的感觉。可见，只要像孩子一样天真、好奇，不断学习，在学习中寻找内在乐趣，那么，即使是到了成年阶段也是有可能捅破那层纸的（开窍）。可怕的是，有的人从来不相信数学本身竟然会十分有趣，而相信刻苦学习是捷径——“我是靠刻苦学习、多做苦做题目考上大学的，所以你们（学生或孩子）也得刻苦学习，多做、多练、苦练”。
　　俺一直顶着这个帖子，不让它沉下去，除了想与各位BBMM分享育儿经验之外，还有一个奢望——但愿小学的数学老师们也像俺这样看数学，把数学教得有趣些。请有此想法的BBMM，不停地顶它！顺便把你们的经验也说出来，让俺也多学些，多受些启发和鼓励。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-11-12 22:14 编辑 [/i]].

这个话题探讨得真好，儿子也有自己关于数学的一些计算技巧的方法
比方，13-6=7，他的总结出的方法是先用6减3然后再用10去减，排出的算式是：10-（6-3）
这样的方法我从来是没有想到过，经他一点每个大人都能想通，但从来只会有死记的方法来记，数学的奥秘就在个中。.

俺倒觉得再聪明也要刻苦学习的吧。老实说，现在的孩子都比我们小时候聪明，LZ举的例子我想现在一般孩子都会这么做的，如果要更上一层楼需要则更多的钻研和花费精力，我不相信有什么天才（至少在身边）…….

学习数学可以快乐地

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:45 编辑 [/i]].

俺也转述两段话　回复 28#ccpaging 的帖子

彭加勒在《科学与方法》中写道：“科学家研究自然，并非因为它有用处；他研究它，是因为他喜欢它，他之所以喜欢它，是因为它是美的。如果自然不美，它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫无意义。当然，我在这里所说的美，不是给我们感官以印象的美，也不是质地美和表观美。并非我小看上述那种美，完全不是，而是这种美与科学无关。我的意思是说那种比较深奥的美，这种美在于各部分的和谐秩序，并且纯粹的理智能够把握它。正是这种美使物体，也可以说使结构具有让我们感官满意的彩虹般的外表。而没有这种支持，这些倏忽即逝的梦幻之美只能是不完美的，因为它的模糊的，总是短暂的。相反地，理智美可以充分达到其自身，科学家之所以投身于长期而艰巨的劳动，也许为理智美甚于为人类未来的福利。”

　　王小波在《我的精神家园》中曾经回忆大学时代自己的数学教授在第一堂数学课上说的一段话：“我现在所讲的数学，你们也许一辈子都用不到。但我还要教，因为这些知识是好的，应该让你们知道。”

　　深刻感知到数学和科学中内在的“美”与“好”的人，肯定会比常人花更多的时间、精力去学习、钻研、探索，但他不会觉得“苦”。以此为乐的人，怎么会觉得苦呢？
　　唉，俺好像在说废话。因为，对此有体会的人来说，根本无需要多言；对此没有这种体会的人来说，这些话等于白说。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-11-13 10:03 编辑 [/i]].

有多少人被“刻苦学习”所误？

[quote]原帖由 [i]胖土豆他爹[/i] 于 2008-11-12 17:40 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3888479&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
俺倒觉得再聪明也要刻苦学习的吧。老实说，现在的孩子都比我们小时候聪明，LZ举的例子我想现在一般孩子都会这么做的，如果要更上一层楼需要则更多的钻研和花费精力，我不相信有什么天才（至少在身边）…… [/quote]

　　这位兄台说得对，俺举的许多例子现在的一般孩子都会做（俺的孩子除外，如果不花上个把小时和孩子一起探讨上述每个难题，他是不会真正懂的，更不会乐在其中的），比我说的更难的题目（如奥数）也有不少孩子会做。可是，本帖讨论的不是会不会做的问题，而是喜欢不喜欢做的问题、主动不主动探索的问题。俺注意到的事实是：十级、九级琴童恨钢琴，上大学之后再不碰钢琴，甚至不让别人知道自己会弹钢琴；有好多年了，上海奥数比赛优胜者鲜有报考数学系的。（ccpaging是个例外，奥数拿过奖，竟然还不厌恶数学，居然读了数学系，真是个奇迹啊！）苦干、蛮干固然能够取得一些即时的效果，却严重地损害学习者的学习动机、兴趣，从长远来说是得不偿失的。俺可不希望自己的孩子“会”做却不情愿做。
　　俺的经历（见1楼和108楼）表明，对数学有内在兴趣的人，钻研数学所花的心思和精力会比常人更多，但这种人不会以此为苦，而以此为乐。ccpaging的经历（见4楼）表明，猛做、傻做奥数题的人不如巧学数学的人。他的那几个做奥数的同学没有拿奥数奖、没有考上大学，其实不冤。中国有句古话：“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”。前半句话勉励人勤奋学习，并不过分；后半句话让人虐待自己也虐待他人，不知误了多少人，毁了多少学子！学海无涯，以“苦”作舟，是渡不到成功的彼岸的。人有趋利避害、趋乐避苦的天性，故意找苦头吃的人一定很不正常。刻苦学习是难以为继的，能够坚持刻苦学习12年乃至更长时间的孩子，其心灵一定被扭曲得一踏糊涂。唯有体会到学习内在乐趣的人，才能长期坚持学习。而知识本身就存在一种不因为别的就因为它自身而令人流连、着迷、废寝忘食的特征，即令人快乐的特质。把握这种特质的人，才会快乐学习，主动学习，长期坚持学习。因此，那句古话应该改为：
　　
　　书山有路勤为径
　　学海无涯乐作舟

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-11-25 23:05 编辑 [/i]].

回复 113#hxy007 的帖子

真是太感谢你这个模范爸爸了。对孩子的数学学习如此下功夫。看来得让LG好好象你们这些牛爸爸们学习一下。我女儿小二，奥数方面正在学习，我会一直关注你们的贴子，同时也希望在我们这些BBMM的共同努力下，能够真正激发起孩子们学习数学的乐趣和兴趣。任重道远啊！！.

好贴，顶！

小儿大班，算术很不咋的，十以内的加法还要掰手指，其他同学都100以内加减随便玩。幼儿园老师已经严正警告我们多次，这样是跟不上小学进度的。我和他爸郁闷的，两理科生怎么就遗传了这样的结果。
自我检讨了半天，开始让他背加法表，从头到尾背的挺快，可是发现3+1脱口而出4， 3+4就想半天，还要用手指。和LG研究后发现，他要从3+1开始默背3+2，3+3，再到3+4才能说出结果。看来机械记忆也不是办法。
我只能开始出乱招，从1+1，2+1，3+1，问到9+1，是不是+1就是顺序往后数一个呀。是。那数数总会吧。嗯。操练几番后，小屁孩乐不颠地找爷爷，出多大的数+1 我都会，125+1? 张口就来126，于是他很享受自己的算术能力终于突破100大关。嘿嘿，我只能偷笑。
再教+2，小子不耐烦了，不就是往后数两个吗，我会。于是顺利完成+2。
+3，+4。。。如法炮制。
再后，3+7，往后数7太累了，那么引进加法交换率概念，从实物过渡到抽象，终于开始按7+3往后数3了。
减法，依旧如法炮制，往前倒数数。
目前总算完成了10以内的加减，不用手指了。现在操练N+M=10的题，准备采用6+7=6+4+3=10+3的法子逐步让他跨越到10以上数字。反正他很满意自己会算10+9，20+3等类的题，还有20+30，400+200（按2+3加上十位教、4+2加上百位数，还夹七夹八地讲了些倍数之类的）等。
平时还给他搞搞，大床睡2人，小床睡1人，宝宝和BBMM有几种睡法这类的。
也不知道自己的路子对不对，好歹小子不再看到算术题就是苦瓜脸了。.

好贴！奥数不熬，讲的就是这个理儿了，兴趣是最好的老师[tt7]
46楼有个小小笔误，AB直线围出来三角形后，后面依次是AD、AE...去围三角形，不是BD、BE...，呵呵！

[[i] 本帖最后由 点宝妈妈 于 2008-11-13 11:26 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]杨小兔的妈妈[/i] 于 2008-9-24 12:29 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3577306&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
现在的数学教材让原本很有灵性的学科变得太枯燥无味了。前几天小三数学周末卷有一道巧算题，我家用了另一种办法完成了计算，其中用了二个“=”号，但是被老师认定是错误的，老师要求一定要用3个“=”号才能算是准确的 ... [/quote]
同感，现在的老师必须学生按照她的规定来，什么等号一定要用尺划，方法一定要用她认为正确的来，唉～～～～孩子读书象在读八股文。.

真是好文章,看到一位妈妈推荐才看到..

低年级的数学是可以玩得很乐趣的，年级上去了，如果你仅仅把数学当作乐趣那就会很乐趣，如果你要和别人竞赛，随着难度的增加，如果没有各种题型的磨练，是很难脱颖而出的，这个时候如果你还是能在全部的操练过程当中得到纯粹的乐趣，那就是一种真正的爱好了。
   关于兴趣楼上都说得很清楚了，兴趣就是兴趣，自己能乐在其中，这就是人生的一种自得其乐，不要太拿世俗的比较来衡量。不过人生有很多错位的，某方面有天赋的人未必他就喜欢这个某方面，反而另一个未必有天赋的他偏偏喜欢这个某方面。所以人生常常要面对的选择，要在某个时点来抉择自己所要面对的学习、工作和生活的方向，有时真的很难。比方说怎么对待不喜欢的学科，怎么对待日益升温的奥数，怎么对待现行教育体制下的升学问题…… 当现实和理想冲突时，到底该放弃什么？是维护孩子的快乐退出现实的竞争，还是鼓励孩子坚持作现实的博弈？反观我们大多数人，又有多少人真正在做着喜欢的事情呢？所以现实就是现实，当我们逃避不了现实，如何积极地面对，这个真是对家长的严峻考验呀。.

认真学习。[tt18].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-9-22 20:29 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3563046&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
儿子一年级学完20以内加减法之后，老师出一了道数学题：

　　○＋△＋□=17 ……………①
　　○＋△=10  …………………②
　　△＋□=12 …………………③
　　○=（　　）　△=（　　）　□=（　　） [/quote]

这是一个好帖，要顶起！

上面这道题我觉得还可以用小朋友更感兴趣的方式来教。我把题目改造一下：

妈妈买了一只苹果、一只梨、一个哈密瓜，总共花了17元。小明想知道每只水果的价钱但是妈妈不告诉他，只说苹果和梨加起来是10元，梨和哈密瓜加起来是12元。小明思考了好久，算出了答案。现在请小朋友们也算一算。

这里用水果代替抽象的符号，便于孩子们理解题目。为了同样的目的，用水果的个数取代重量。家长辅导孩子的时候可以使用实物，例如把三个水果一摆，价钱是17元。然后再拿掉哈密瓜，剩下苹果和梨，价钱是10元，这就可以引导小孩算出哈密瓜的价钱。

等小朋友们明白之后，可以再把题目抽象化，或者让小朋友们自己出一些类似的题目。.

我来串门的。这个圈子好多数学帖子不错的。[em06].

进来留个爪印
回家好好看～.

路过的，看了半天，确实是好贴！顺便说说我的解法

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-11-3 17:28 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3823850&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
　　各位BBMM，把自编或孩子编的趣味数学题亮出来吧，大家一起来分享，给我们孩子的数学学习多添加一点乐趣。俺已经抛了一些砖，再抛一回。最后还有一个问题想请教。

（一）
　　小学一年级时，为了帮助孩子理解 ... [/quote]

[size=3]船长和儿子的年龄问题，我的看法是，岁数无论怎么变，父子俩人的年龄差是不变的，都是24。从这点出发，船长[/size][size=3]的岁数是儿子三倍，就意味着，假设儿子的岁数是1份，船长的岁数就是3份，两人的差就是2份，那么24[font=宋体][size=14pt][color=#000000]÷2=12，一份就是12，所以儿子12岁时，船长的年龄是儿子的3倍。同理，船长[size=3]的岁数是儿子四倍，两人差就变成了3份，24[font=宋体][size=14pt][color=#000000]÷3=8，一份就是8，所以儿子8岁时，船长的年龄是儿子的四倍。[/color][/size][/font][/size][/color][/size][/font][/size]
[size=3][font=宋体][size=14pt][color=#000000][size=3][font=宋体][size=14pt]感觉这样应该好理解，不过我也没试过孩子能不能理解，回家尝试一下再说。[/size][/font][/size][/color][/size][/font][/size].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-11-3 20:28 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3824730&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
试算法也是数学里边的一种方法。

例题：
小树林里有一群鸟和一群松鼠，共有6个头，18条腿，请问：鸟有多少只？松鼠有多少只？... [/quote]

我有个好办法，也是看来的，可以用来解类似的题目，小孩子应该一教就会的，很形象，呵呵。就是让小松鼠把“手手”举起来，请孩子算算这时有几条腿？这时松鼠和小鸟都只有2条腿了吧，很好算，6个头，就有12条腿。那么还有6条腿（18-12=6）哪儿去了呢，哈哈，小松鼠举着呢，那么有几只小松鼠呢？6只“手手”当然是3只小松鼠了，还有剩下的3个头当然就是小鸟了。.

我决定天天来追这个贴，好好练一练自己的数学思维能力。.

回复 124#sanmum 的帖子

你这是标准的算术解法，比前面那些更抽象一些，也就是说难度高一些，需要熟练掌握倍数，还要能发现年龄差不变的事实。

如果让孩子用画线段图的手段自己去发现这个解法，也是一个很好的启发手段，也很有趣的。.

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-11-13 15:56 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3896314&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
你这是标准的算术解法，比前面那些更抽象一些，也就是说难度高一些，需要熟练掌握倍数，还要能发现年龄差不变的事实。

如果让孩子用画线段图的手段自己去发现这个解法，也是一个很好的启发手段，也很有趣的。 [/quote]

赞同！让孩子自己去尝试和探索，才能让他体会其中的乐趣。.

回复 116#点宝妈妈 的帖子

谢谢！文不对图，改正过来了。.

有那么多解题的好方法啊，真没想到啊。特别喜欢那个举手手的，超级可爱！.

最厉害的教练也没法教孩子如何走路

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:45 编辑 [/i]].

[tt2]

[[i] 本帖最后由 renhaoyu 于 2008-11-14 08:04 编辑 [/i]].

看了,晕了,我从小数学不好,只有帮顶[tt22].

今天给儿子出了一道题：
“用四舍五入进行估算的得出结果，与计算结果相比，最大差多少？最小差多少？”

要求举例证明。.

通则不痛

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:46 编辑 [/i]].

比数学更重要的是生活经验及语文水平　回复 135#ccpaging 的帖子

[em11]
　　小学那点数学，就数学本身而言，简单很，有中等偏下的智力完全可掌握。孩子做不出某道题或做错了，经常性的原因是不理解题意或曲解了题意。影响孩子对题意的理解，主要有两方面的原因：看不懂文字；缺乏生活常识。前者跟语文水平有关，因此，在我看来，小学生语文好（真正的好）比数学好更重要。后者跟生活经验有关，因此，让孩子广泛地接触自然和社会是非常必要的。
　　昨晚看孩子的数学周末作业。有一道题，要求填写单位：

　　一块橡皮擦长20（　　）。

　　儿子填写的答案是“cm”。他妈妈让他查错，他反反复复检查，就是查不出来，瞪着作业直流泪。也许，在儿子的眼里，相对于km, m, dm，cm是一个非常小的长度单位了，所以觉得填在这里非常合适。在这种思维定势下，无论他怎么检查，都不会想到是这一题做错了。
　　我问他：20cm的橡皮擦到底有多长？
　　他看了一眼自己的直尺，那张拉长的苦瓜脸突然笑开了花：哪里有这么长的橡皮擦？
　　正确的单位是什么？
　　毫米（mm）.

　　老师是教过km,m,dm, cm, mm以及它们之间的换算，孩子也记住了，而且确实会换算（从纯粹数学的角度来说是掌握了）。但事到临头，儿子还是做错上述题目。这是儿子数学差吗？让孩子从数学的角度检查自己的作业，他能检查出作业中这种差错吗？答案是否定的。
　　就这个题目来说，孩子的数学没有问题。问题在于他缺乏生活常识，他脑子里并没有建立cm到底有多长的生活概念。这道题表面上是一道数学题，实际是一道生活常识题（数学习题和试题中存在大量类似题目）。孩子需要补的不是多做几次这种题目，而是要让他多接触真实的生活，逐渐具备生活常识和经验。正如ccpaging所言，这方面的教育并不需要刻意为之。机会时时处处都有，问题在于父母是否善于利用。当然，我们也一直希望老师们不要那么急，那么狠，别把我们孩子自由活动的时间几乎全给占住了，让俺们也像幸福的ccpaging父子那样，可以经常在充满温馨和诗意的黄昏下漫步，有一搭没一搭地闲聊。.

车轮也可以当尺子用

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:46 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-11-17 13:47 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3916747&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
小学那点数学，就数学本身而言，简单很，有中等偏下的智力完全可掌握。孩子做不出某道题或做错了，经常性的原因是不理解题意或曲解了题意。影响孩子对题意的理解，主要有两方面的原因：看不懂文字；缺乏生活常识。前者跟语文水平有关，因此，在我看来，小学生语文好（真正的好）比数学好更重要。后者跟生活经验有关，因此，让孩子广泛地接触自然和社会是非常必要的。 [/quote]

深有同感！[em11].

真是好贴。。。.

John加一泡屎

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:46 编辑 [/i]].

回复 140#ccpaging 的帖子

[em17] 能不能用文雅点的例子[em16].

这样子的例子特别受男孩子们欢迎，很能提神醒脑滴。[em06].

爸爸和孩子之间不可告人的黑话

BB跟儿子的语言，嘿嘿。MM们肯定要变化一下啦。防止懒妈妈照本宣科。

再解释一下：
BB跟儿子的为什么要专门的语言？

儿子降生下来以后，一直是MM和MM的MM们抱着。那时我在想，孩子还不能说话，正是“有奶就是娘的时候”，有什么办法能让孩子认识到，他其实还有一个BB在边上呢？后来在摇篮网上跟其它的BB交流，大家想出一个办法，MM都是面对面抱儿子，儿子看到是他们的MM，BB就反其道而行之，让孩子坐在BB的手臂上，面朝外，斜靠在爸爸的身上，这个时候儿子看到的是一个世界。于是只要BB抱儿子，儿子立刻就能感觉到不同，意识到BB的存在。等到了一岁多两岁的时候，儿子就可以骑坐在爸爸的脖颈上，坐在爸爸的肩膀上，他看到的是一个更广阔的世界，这个时候儿子总是特别兴奋，有点害怕，紧紧的抱住BB的头，同时有充满好奇的四处张望。

现在儿子长大了，但是又还没有长的足够大，大到可以独立地面对这个世界。在我们家，MM总是让儿子感觉到那些世界上好的东西，博爱、感动、对美的追求，而BB则是让儿子感觉到这个世界上，还存在着自私、理智、冷酷、还有粗俗。

带儿子累啊!如果是个女儿，可能也就是从一个家庭带到另一个家庭，儿子则是从家庭走到外面的世界，爸爸的担心是：“儿子，你准备好了吗？”

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 10:57 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]有你乐无穷[/i] 于 2008-11-19 14:21 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3933349&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
这样子的例子特别受男孩子们欢迎，很能提神醒脑滴。[em06] [/quote]

做家长的要引导小孩，而不是迎合他们呀！.

回复 144#火车是运茶的 的帖子

其实也不是迎合啦，只是为了HAVE FUN。 只怪我这MM本身也不大高雅，喜欢些俗东西。对不起，对不起。:L.

不小心把数学弄脏了

　　俺也俗人一个，有时会跟儿子说屎呀尿的。除了有类似ccpaging的考虑之外，还有更深层的原因。
　　孩子对屎尿感兴趣，反映的是潜意识里对性的兴趣。按照精神分析学派的理论，儿童的性心理会经历一个从“口腔期”到“肛门期”到“性蕾期”到“潜伏期”到“生殖期”的发展过程。对屎尿感兴趣，是“肛门期”的典型特征。如果不加抑制，这种兴趣在过了“肛门期”之后还会不时出现。在文明社会，由于各种文雅习俗的调节，孩子的这种兴趣会逐渐消退。但是，如果孩子对屎尿的有兴趣时，用各种方法不断地让他为此感到羞愧的话，他就会在心里埋下“性和快感是肮脏的、可耻的”阴影，拼命地压抑自己。“超我”就是以类似的方式形成的。
　　尼尔在《夏山学校》里说得非常精彩：自由的儿童对大便的兴趣，会随着年龄的增长、兴趣的转移而逐渐消退；不自由的儿童虽然口头上不说大便了，但满脑子都是“大便”（脏东西）。因此，如果孩子想说大便之类的话，不要阻止他，让他说个够，甚至和他一起说，直到一天他会白你一眼“你怎么还在说大便？”这个时候，孩子就摆脱了“肛门期”的情结，而且他因为未受过度压抑而不会觉得大便、肛门、性、快感是肮脏的、可耻的东西。
　　俺受到文明的压抑，所以会觉得别人的大便脏。好在俺不会觉得自己孩子的大便脏，甚至不会觉得别人家孩子的大便脏，俺的孩子也不觉得大便是脏的。所以，俺觉得自己可以和孩子谈论“屎尿”。
　　有一回，儿子跟几个小朋友又在偷偷地拿大便的话题取乐，不知什么原因还议论起什么叫“最倒霉”。俺就跟他们说了一个我中学时在公厕里听来的恶俗笑话：一天，有个人解完大便，擦屁股时不小心把纸弄破了，手指碰到了大便。他赶紧一甩手，那只碰了大便的手指狠狠甩在墙上，痛得他直咧嘴。他赶紧把碰痛的手指塞进嘴里，含了起来……这就叫“倒霉”，而且是“最倒霉”！孩子们听了笑倒在地。
　　这个笑话在这个情境中使用有许多功能：第一，生动地解释了“倒霉”；第二，孩子会觉得可以和老爸无话不谈；第三，见老爸也说大便，孩子就能够释然，不再在这个话题上有羞耻感、罪恶感。
　　哎哟，这是个数学帖。怎么谈起大便来了，弄脏了这庄严、神圣、纯洁的数学。罪过！罪过！！[em14]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-11-20 21:21 编辑 [/i]].

回复 146#hxy007 的帖子

[em17] [em18].

永生的船长和他的儿子遇到了问题

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:47 编辑 [/i]].

问个高深一些的数学问题以弥补亵渎数学之罪　兼回复 148#ccpaging 的帖子

　　俺的数学半吊子也没有，学来那点也生疏了[em07] ，问兄台一个问题[em19] ：如下一题解得对不对？
　　
    （∞+24）÷∞
      =（∞÷∞）+（24÷∞)
　 =1+0
      =1

或者

　　设当小明x岁时，船长的岁数是他的1倍（即同岁），依题意得
　　
　　（x+24)/x=1

　　如何解这个方程？有解吗？不会24=1吧？抑或（x+24)/x=1根本就不成立？
　　

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-11-20 12:55 编辑 [/i]].

回复 148#ccpaging 的帖子

应该初中平几就有反证法了。.

回复 149#hxy007 的帖子

一倍就是同岁，这是不可能的。

∞÷∞是没有定义的，或者说可以是任意数字。∞+24还是∞。.

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:47 编辑 [/i]].

父子成兄弟：生活事实与数学证明

　　发完上个帖（第149楼）向数学老爹ccpaging请教后，俺就启程出差了。一路之上俺在想，如果数学上不能证明（x+24)/x=1成立的话，那数学就有缺陷，数学就不够完美。

　　儿子1岁时，船长25岁，是儿子的25倍；
　　儿子2岁时，船长26岁，是儿子的13倍；
　　儿子3岁时，船长27岁，是儿子的9倍；
　　儿子4岁时，船长28岁，是儿子的7倍；
　　儿子6岁时，船长30岁，是儿子的5倍；
　　儿子8岁时，船长32岁，是儿子的4倍；
　　儿子12岁时，船长36岁，是儿子的3倍；
　　儿子24岁时，船长48岁，是儿子的2倍。

　　问：儿子几岁时，船长的岁数是儿子1倍（即岁数一样）？

　　对于俺来说，这不仅是一个数学问题，也是一个生活问题。
　　
　　当孩子呱呱落地时，我其实远不只是他的父亲，
　　面对这个新生命，我就像一个从无始的宇宙走来、历经沧桑的不死生灵；
　　当孩子1岁时，我就像是他的25世曾祖；
　　当孩子2岁时，我就像是他的13世曾祖；
　　当孩子3岁时，我就像是他的9世曾祖；
　　当孩子4岁时，我就像是他的7世曾祖；
　　当孩子6岁时，我就像是他的5世曾祖；
　　当孩子8岁时，我就像是他的曾祖父；
　　当孩子12岁时，我就像是他的祖父；
　　当孩子24岁时，我才是他的父亲。
　　从孩子25岁开始，我就成了大他24岁的兄长；
　　父子便成兄弟；
　　孩子年纪越大，我们的成熟距离越小，越像兄弟；
　　如果能够长生不死，我们俩便在走向无终的宇宙，在永生中成了同龄的兄弟。

　　这不是浪漫的幻想，而是生活的真理。数学能够证明这个真理吗？
　　[em01] ccpaging给出了证明：

　　（x+24)/x = 1+24/x
   　当x趋近∞时，24/x趋近于0，1+24/x 趋近于1
  　 即x趋近∞时，（x+24)/x 趋近于1.

　　数学竟能与生活完全吻合，真是令人叹为观止！对于1岁的孩子来说，父亲大自己24岁，那是巨大的差距；对于24岁的孩子来说，这个差距也得承认。但是对于一个60岁的孩子来说，84岁的父亲大自己24岁，那是兄弟般的年龄差距了。这个差距可以逐渐忽略不计，就是说，不必真地把他当父亲看了。同理，对于精工行业来说，1mm的误差也许是巨大的误差；对于一个普通木匠来说，仅有1mm误差那就算相当精确了；对于大型建筑工程来说，1mm的误差完全可以忽略不计；对于航天工程来说，航天器实际着落地如果与设计着落点相差1~2km，那就算精确着落了……
　　数学能够解释这种在经验上得到证明的现象。数学不仅非常完美，而且非常有力量。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-11-20 17:02 编辑 [/i]].

回复 153#hxy007 的帖子

你文科学太多了。:lol.

充满诗意的数学

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-11-20 17:12 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3943629&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
你文科学太多了。:lol [/quote]
[em01] 我把这当成是在夸我。[em16]
　　不过，你不觉得数学中不仅充满哲理，也充满诗意吗？数学有着
　　——彭加勒所说的那种“让我们感官满意的彩虹般的”结构
　　　　——彼得斯所说的那种“让我们运用自身力量、技能、判断力、敏感性、分寸感提供无穷机会”的理智美
　　　　　——张景中所说的那种“让你发现自己越来越自由，有一种解放感，一种震撼人心的力量感和美感”。

　　数学家和哲学家经常有这种“怪论”。他们自己有这种体会，但又不具体说是什么，只顾自己偷着乐。他们太自私了。.

回复 155#hxy007 的帖子

我是在夸你。一般纯粹学数学或者工程的人是不会往那边去想的。.

思维到这个层次，其实蛮享受的。.

常来看看，看看能学到什么新思想。。。哈哈
旺网真好！！！.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-9-22 21:03 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3563296&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
我儿子是小学二年级，学校目前的数学题不多，儿子也是班里做题速度最快的，虽然错误也多。不过我还是希望在快的基础上准，在将来有很多好处。
关键是大人要花很多时间，如我前面几贴所说，现在花心思是合算的。

... [/quote]
3不太懂,能在解释下吗?谢谢!.

把少数题目做精做透做到位，胜过同一类型地题目做上个十遍八遍

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:47 编辑 [/i]].

难道这就是关于永生的“三位一体”？

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-11-20 17:00 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3943563&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
　　发完上个帖（第149楼）向数学老爹ccpaging请教后，俺就启程出差了。一路之上俺在想，如果数学上不能证明（x+24)/x=1成立的话，那数学就有缺陷，数学就不够完美。

　　儿子1岁时，船长25岁，是儿子的25倍；
　 ... [/quote]

hxy007的这个帖子让我想起圣经里边关于“三位一体”的说法，会不会当时有人发现，“永恒存在”有某种矛盾隐含其中。

[url]http://www.gotquestions.org/T-Chinese/T-Chinese-Trinity.html[/url]

不推荐阅读，跟咱们的小学教育有点远了。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:16 编辑 [/i]].

回复 161#ccpaging 的帖子

　　在有限的时空中，父就是父，子就是子。父慈子孝，是伦常纲要，是人道天理。父不父，子不子，或父子不分，就是乱伦，就是违背人道天理。可是，在无边无际、无始无终的宇宙中，父子之间那点年龄差距又算得了什么呢？
　　生命是宇宙的奇迹，短暂而美丽。一个人纵然长命百岁，百年人生除以无始无终的时间，数学结果依然是零。但是，我们生儿育女，使我们的基因得以复制，我们的意志精神、志趣抱负得以继承。我们的生命（肉体的和精神的生命）就这样在我们的儿女及世代儿女中得以不断延续，直至永生。从这个意义上说，永生的父子及其精神是一体的。
　　基督教“圣父、圣子、圣灵三位一体”的教义是非常有道理的，但是说得过于神秘、玄奥，也显得有些狭隘。其实，对于世俗世界之中的任何一个人来说，“我”、“我儿”、“我们的精神”也是三位一体的。.

儿童的数学启蒙（一）：别急着学数学

[quote]原帖由 [i]洋葱头妈[/i] 于 2008-11-13 10:26 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3891913&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
小儿大班，算术很不咋的，十以内的加法还要掰手指，其他同学都100以内加减随便玩。幼儿园老师已经严正警告我们多次，这样是跟不上小学进度的。我和他爸郁闷的，两理科生怎么就遗传了这样的结果。
[/quote]

　　我家孩子也有类似的经历，上小学之前没有正式学过数学。幼儿阶段提前学习小学数学，固然可以让孩子有一个更高的起点（所谓“不输在起跑线上”是也），还可能减轻孩子小学低年级的学习负担。但这样做也贻害无穷，例如：

　　第一，损害孩子的学习兴趣。提前学习虽然可以使孩子早早掌握地四则运算，但孩子毕竟年幼，这种学习毕竟难度大。方法不当，大量训练，其结果往往使孩子对数学早早生厌。“我会但我讨厌”、“学一个烦一个”、“学得多恨得多”——这是急功近利的早期教育最悲哀的结果。
　　第二，把学校生活变得索然无味。虽然孩子提前学过小学一二年级的数学内容，但老师又不能不教。如此炒冷饭，老师的工作没有挑战性，孩子的学习也没有挑战性，自然没劲得很，乏味得很。让孩子在小学的最初两年时里听讲他学过的东西，简直可以说是折磨和虐待，残忍之至！想一想：我们的孩子上学之前是那么的聪明、可爱，几乎每天都可以感受到他的进步，他也能够充分享受成长的快乐。可是，这么充满灵气的孩子，就是在小学一二年级这种炒冷饭、几无智力挑战的环境中，变得越来越平庸。这两年，你好像看不到他有什么实质性的进步。可是，到了第三年，你又突然发现，他非但没有什么进步，反而长出了一身恶习。
　　第三，不利于孩子进入小学之后养成专心听课、认真完成作业、虚心求教等学习习惯和品质。幼儿阶段学得越多的孩子，入学之后学习就越轻松。轻松到——即使不听老师讲课，也懂老师教的内容；即使不认真做作业甚至不做练习，也能考出高分甚至经常100分。这样的孩子一般可以在课堂上混上两年，不认真听讲，做小动作，招惹其他小朋友。由于有老本可吃，测验考试成绩优异，这些不良的行为往往不会引起家长和老师的高度重视。即使注意到了，孩子本人也不会有紧迫感。“我没有听课，照样做对作业，照样考100分。”他还以为他聪明！可是，老本总有一天会吃光的。到了三年级，不专心听课、不认真完成作业的孩子，就要吃大夸了。由于这是长期形成的恶习，改正过来非常麻烦，并且需要非常长的时间。这就要耽误和影响学习了！许多孩子到三年级出现所谓“学习上的拐点”（一二年级学习轻松、成绩优异，到三年级学习负担重、成绩大步下滑），除了学习内容本身复杂、要求提高的原因之外，是不是也有这方面的原因呢？

　　正是出于多方面的考虑，我们在孩子上学之前没有正式教过孩子数学方面的知识。记得幼儿园大班时，老师教过孩子学识字、拼音、算术，但不到一个月就被上海市教委叫停了。幸运的是，我家孩子上的是公办幼儿园，教委不让提前教，幼儿园就不教。不像一些私立的幼儿园，为了迁就家长的意愿，违背幼童成长规律，揠苗助长，教授小学数学。
　　孩子刚刚上学时，因为其他同学多数都学过加减法，数学老师的教学进度非常快。我家孩子学得相当吃力，但是，他也因此体会到上课要专心听老师讲课，没有听懂要让老师知道，课后一定要认真完成作业，不懂的一定要及时问爸爸妈妈，否则就会跟不上，考不好。一二年级时孩子的数学成绩一般般，人家能够考100分的卷子，他总是会因为不够熟练或粗心大意而失去若干分数，但很少因为不懂而失分。也就是说，孩子没有提前学，照样能够跟上，尽管不优秀。
　　可贵的是，孩子的学习习惯好，课堂学习效率高。三年级以来，几位老师异口同声地赞扬我家孩子上课专心致志。那双纯净、明亮的大眼睛，盯着黑板，盯着老师，那份专注和投入，不但会使孩子从课堂上受益多多，也让教课的老师受到鼓舞。试问：有哪个老师不关注、不喜爱认真听课的孩子？有哪个老师不是以认真听课的孩子为坐标来调整教学的难度和进度？
　　许多人信奉“赢在起跑线”主义，让孩子不断地提前学习，这个方面我家孩子是“输”了，你家孩子好像也“慢”了。但我们竭力呵护孩子的学习兴趣，培养孩子良好的学习习惯，让他的“途中跑”充满力量，让他的“冲刺”充满后劲。从入小学到高考，有整整12年时光。那可不是百米短跑，而是一个漫长的赛程。起跑慢一些，加速迟一些，又何妨？路还长着呢！分谁赢谁输还早着呢！！“起跑线”上赢了算不得什么，“终点线”上赢了才是真正的赢！！！

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-11-25 15:47 编辑 [/i]].

回复 163#hxy007 的帖子

提前学习的恶果我自己是深有体会的。我爸非常聪明，因家境贫寒无奈初中毕业上了中专，通过自己不懈的努力很早评了高工，后来又拿国家专家津贴。他无法容忍我姐的文科脑袋，对我进行了提前教育，我中班时即能加减乘除，小一就被要求跟着广播学英语。结果，我上学根本没兴趣，因为我都懂，都学过，最后不过是一个中游的理科生，而老姐的成就倒在我之上。
老爸一直不能理解，因为我不仅提前学习，而且智商测试结果也很高，我只能对他苦笑“如果当年你不逼我做算术卡片，可能我还是个上进青年。”
就是因为这个，我从来没要小儿刻意去学英语、算术、识字之类的，倒是大力支持他玩围棋、轮滑、游泳。
可严峻的升学、择校还是逼得我不得不作些妥协。常常慨叹，现在的家长真难当，想父母辈当初只要操心我们的衣食，学习好不好是老师的事，还记得小学班主任把差生带在身边管吃管住管补课，还对那个大老粗家长说你孩子是有希望的，带好他是我的责任。到我们这辈却不得不成了老师的半个助理。扯远了，还是祝愿所有的孩子童年快乐吧！.

我们不是老师的助理　回复 164#洋葱头妈 的帖子

　　这位MM搞错了。我们不是孩子老师的助理。
　　孩子在家不但要做大量复习性质的习题，而且要做预习性质的作业。不是不该预习，但那个预习的广度和深度令人怀疑：孩子到学校还有什么新鲜事可学、可做？不就剩下检查和为了熟练的大量练习了吗？
　　如果只是辅导孩子复习性质的作业，我们也许只是孩子老师的助理。如果孩子大量的预习和准备工作，以及学习中最难的部分，都由家长来辅导、督促、搞定，那就意味着家长越俎代庖，教了孩子次日老师该教的内容。你说，我们还是孩子老师的助理吗？.

回复 163#hxy007 的帖子

由于淘汰式的选拔制度，国内的教学没法灵活。如果能够视孩子的实际水平实行错班上课也不错的。.

儿童的数学启蒙（二）：快乐游戏，顺便学点数学

[quote]原帖由 [i]洋葱头妈[/i] 于 2008-11-13 10:26 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3891913&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
……
我只能开始出乱招，从1+1，2+1，3+1，问到9+1，是不是+1就是顺序往后数一个呀。是。那数数总会吧。嗯。操练几番后，小屁孩乐不颠地找爷爷，出多大的数+1 我都会，125+1? 张口就来126，于是他很享受自己的算术能力终于突破100大关。嘿嘿，我只能偷笑。
再教+2，小子不耐烦了，不就是往后数两个吗，我会。于是顺利完成+2。
+3，+4。。。如法炮制。
再后，3+7，往后数7太累了，那么引进加法交换率概念，从实物过渡到抽象，终于开始按7+3往后数3了。
减法，依旧如法炮制，往前倒数数。
目前总算完成了10以内的加减，不用手指了。现在操练N+M=10的题，准备采用6+7=6+4+3=10+3的法子逐步让他跨越到10以上数字。反正他很满意自己会算10+9，20+3等类的题，还有20+30，400+200（按2+3加上十位教、4+2加上百位数，还夹七夹八地讲了些倍数之类的）等。
平时还给他搞搞，大床睡2人，小床睡1人，宝宝和BBMM有几种睡法这类的。
也不知道自己的路子对不对，好歹小子不再看到算术题就是苦瓜脸了。[/quote]

　　上周六，遇着一位育才中学的校友。人们都说他优秀，我则对他津津乐道的中学生活和工作生涯印象颇深。他在一个投资咨询公司任职，还在新东方兼职做英语教员。在公司里是个骨干，在学校里是个优秀教员，深受学生爱戴。课上得轻松活泼，效果特好。他说：最好的教育，是“声东击西”的教育。他的执教理念是：来Happy一下，顺便学点英语。他的这种教育理念来自中学生活的感悟，他说：他在育才中学快快乐乐地玩了三年，结识了一批朋友，顺便学了一点语数英理化生。看来，成功人士似乎都有一种玩的心态——学习是玩，工作也是玩。玩得轻松，乐在其中，因而能够玩出花样，玩出水平，玩出境界。
　　幼童的学习，更应如此。数学启蒙，切忌过于正经，过于正式，过于正规。儿童的天职不是学习，而是游戏，在快乐的游戏中顺便学点知识，学点常识。“大床睡2人，小床睡1人，宝宝和BBMM三个人有几种睡法？”便是玩中学的一个典型。此外，还有更原始、更简单的启蒙方法。依稀记得我家孩子是这样开始学数学的：

　　父：宝宝想吃几只香蕉呀？
　　子：一只。
　　母：爸爸也想吃一只，妈妈也想吃一只。宝宝去拿香蕉，给大家吃。
　　儿子来到果盘前，一个一个拿香蕉，还念念有词：宝宝吃这只，妈妈吃这只，爸爸吃这只。
　　儿子用笨拙的双手，艰难地抱来三只香蕉。
　　母：宝宝真能干，拿来这么多香蕉。你有几只香蕉呀？我们来数一数。
　　母子：一，二，三。一共三只。
　　母：宝宝要分香蕉了啰！
　　儿子边分香蕉边说：宝宝吃一只，妈妈吃一只，爸爸吃一只。
　　母：宝宝，你的三只香蕉是不是分好了？
　　子：是呀，分好了。宝宝、妈妈、爸爸都有一只香蕉。

　　孩子在这种游戏中既是在学数一二三，也是在学加法（取苹果时“宝宝吃这只，妈妈吃这只，爸爸吃这只”即“1+1+1=3”），还是在学除法（分苹果时“宝宝吃一只，妈妈吃一只，爸爸吃一只”即“3/3=1”）。在现实的生活中，在简单的数学关系中学数数，才不会沦为机械练习。

　　幼儿从认识数字1~3及其关系，到认识10以内数字及其关系，有一个艰难的过渡。从数10以内的自然数，到数100以内的自然数，又是一个艰难的过渡。记得初上幼儿园时，我和孩子经常在一路上数路旁的电线杆，一根根数过去。有一段时间，去幼儿园要数，回家也要数。我都陪烦了，孩子还乐此不疲。
　　有一回，我注意到每根电线杆都有编号。就在这上面做文章，把游戏改为猜编号。孩子对我能够猜出下一根电线杆的编号，感到十分惊讶。等他发现了其中的奥秘（数字的递进关系）之后，也加入到猜编号游戏中。
　　我猜第一根是92号，儿子上前一看果真是92号；儿子接着猜下一根是93号，我上前一看故作惊讶状“果真是93号”……
　　有的时候，我故意猜错编号，孩子查看对照之后发现我说错了，会非常得意。
　　渐渐地，孩子不用查看编号，就能够判断我是不是猜错了。
　　于是，我们又把游戏改为隔一根电线杆猜一次编号。去幼儿园猜92、94、96……，回家则反过来猜181、179、177……
　　隔一根猜编号的游戏玩熟了，就改为隔两根猜编号……隔三根……隔四根……隔十根。
　　断断续续玩了将近一年，孩子的数学启蒙就基本搞定了。那段日子，从家里到幼儿园那段近1公里的路程上，撒满了一对父子的欢笑声。孩子自由地玩耍，快乐地游戏，顺便学了一点数学。.

回复 167#hxy007 的帖子

您的孩子真幸福，有这样一位耐心聪慧且深谙儿童心理的父亲陪伴左右。我和先生都混得不咋样，7点到7点披星戴月地奔波，回家后便懒得花心思寓教于乐。看来还是要向您好好学习，让孩子更快乐地体验学习的乐趣。.

回复 168#洋葱头妈 的帖子

抱抱这位MM，老理解的。常常在外奔波一天，受一肚皮冤枉气，回家还要面对这位不想要的小祖宗。强压怒火，骂不得打不得，绞尽脑汁想哪能跟他讲才有效果，他才能乐于听，乐于接受。[tt3].

[quote]原帖由 [i]有你乐无穷[/i] 于 2008-11-26 09:06 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3973530&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
抱抱这位MM，老理解的。常常在外奔波一天，受一肚皮冤枉气，回家还要面对这位不想要的小祖宗。强压怒火，骂不得打不得，绞尽脑汁想哪能跟他讲才有效果，他才能乐于听，乐于接受。[tt3] [/quote]

”抱抱这位MM，老理解的。常常在外奔波一天，受一肚皮冤枉气，“，这个认同，后面的想改改，“回家可以跟我的儿子一起玩了！儿子大一点了，还可以跟我一起看《我们的地球》”.

回复 169#有你乐无穷 的帖子

谢谢理解！
家里的小祖宗是天使及魔鬼的化身，让人爱煞恨煞。我是胸无大志的人，上班的精神支柱就是小宝的天使面。回家却常常看到让我抓狂的恶魔面。往往是狮吼后就后悔了，都怀疑自己早更了。.

把辅导孩子当作娱乐和休息

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-11-26 09:25 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3973783&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
“抱抱这位MM，老理解的。常常在外奔波一天，受一肚皮冤枉气。”这个认同，后面的想改改——“回家可以跟我的儿子一起玩了！儿子大一点了，还可以跟我一起看《我们的地球》” [/quote]

　　看来，男女真是不一样。
　　男人有了孩子，尤其是有了儿子，心中不免暗喜：“终于有了一个玩伴，终于有了可以理直气壮地玩下去的借口。”于是，BB就会自动降级，变回孩子，和自己的孩子没大没小地厮混，重温顽皮、淘气、疯狂玩耍的乐趣。
　　女人则不同。多年前去看望一位怀孕的大学同学，她以非常凝重的语气对我们说：一想到那是一条生命，要对他一生负责，心里就害怕。女人有了孩子，就会一下子成熟、懂事，变得坚强、果敢、有主见。于是，MM自动升级，不但要做孩子的母亲，还要做丈夫、父亲、公公的母亲。
　　MM们家庭责任心更强，所以容易感受到养育儿女的责任和义务。BB们自私得多，把养儿育女、陪孩子玩、辅导孩子功课，当作是一种娱乐和休息的方式。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-22 12:56 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]sanmum[/i] 于 2008-11-13 15:49 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3896238&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


我有个好办法，也是看来的，可以用来解类似的题目，小孩子应该一教就会的，很形象，呵呵。就是让小松鼠把“手手”举起来，请孩子算算这时有几条腿？这时松鼠和小鸟都只有2条腿了吧，很好算，6个头，就有12条腿。 ... [/quote]

很有创意[tt0].

好帖，LZ很有思想，学习了。不过，有些观点不赞同，比如排斥题海战术、机械训练，甚至否定刻苦学习。希望能多看到LZ对数学思想的感悟。.

我们小朋友的爸爸就是把小朋友当玩伴的，上网累了，同小朋友疯一疯，
其他啥也不管，爸爸跟爸爸真的不好比啊！.

儿童的数学启蒙（三）：生活和游戏中时时处处有数学

[quote]原帖由 [i]洋葱头妈[/i] 于 2008-11-26 08:33 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3973233&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
您的孩子真幸福，有这样一位耐心聪慧且深谙儿童心理的父亲陪伴左右。我和先生都混得不咋样，7点到7点披星戴月地奔波，回家后便懒得花心思寓教于乐。看来还是要向您好好学习，让孩子更快乐地体验学习的乐趣。 [/quote]

　　寓教于乐，并不需要特别去花心思。只要和孩子有真正的生活，有真正的游戏，那么，生活和游戏中时时处处皆有寓教于乐的数学启蒙机会。且举数例说明之。

　　[color=Red][b]（一）枕头大战中的数学[/b][/color]
　　孩子小的时候，我们家不时会玩打“枕头大战”。打中对方一下，记1分；谁得分多，算谁赢。孩子可计较了，为了刺激他识数、算数，我也跟他计较得分。记分不就是在学加法吗？比较谁得分多，不就是在做减法吗？
　　有时，我还会故意多抢几个枕头、沙发垫，孩子不答应，要求平分武器。怎么平分武器，不就是个除法问题吗？

　　[b][color=Red]（二）围棋中的数学[/color][/b]
　　大班时一次偶然的机会，孩子迷上了围棋。从此，差不多每周都要陪孩子下一两盘围棋。通常，我在前半盘会把孩子的棋杀得惨不忍睹，但同时留下许多破绽，让孩子去发现，去攻击。这样，到后半盘，他就能一点一点扳回来。如果到了官子阶段，黑白相差悬殊，我就故意装精粗心，让孩子杀掉一块又一块，直到无法目测盘面上的胜负。孩子因为能够与老爸“棋”鼓相当而大感过瘾，喜形于色；老爸则为自己能够平衡棋局的胜负而暗自得意，自得其乐。
　　目测不出胜负，就得数子。起初的方法是，把各自的地盘填满棋子，然后数出黑白棋子各自的数目，分出胜负。这不就是在学数数吗？孩子一口气数一百几十个棋子难免会出差错，我就给他出主意：先十个一堆十个一堆地数好，然后数有几堆，还多出几个，最后算总数。这不就是在学十进位、学加法、学乘法吗？
　　后来，我们不黑白棋子都数了。因为孩子发现，数出黑棋有多少之后，只要用361减去黑棋子数，就是白棋的子数。那时，老师还没有教减法的竖式计算方法，但孩子已经完全能够理解和使用这种方法，进行三位数减三位数的运算了。事关输赢，孩子学得可快了！
　　现在，我们不数子，而直接在棋盘上数空（即数目）了。这种数法，会更多地用到乘法（如一行6个空一列5个空，那么这块棋就是30个空）和加法。孩子已经学过乘法了，所以能够理解这种方法的方便之处。他还能够解释为什么围棋的棋盘可以摆361个子了（经纬19条线交织成19*19=361个点）。
　　下完棋就数子数目，甚至边下边暗中计算胜负，不就是玩中学吗？

　　[color=Red][b]（三）零花钱管理和使用中的数学[/b][/color]
　　孩子他妈从孩子二年级起每月给他二十元零花钱，还不时让孩子去买东西。最初我还不以为然，但很快就体会到此举的妙处。这不仅仅是理财的启蒙，也是许多数学基础知识的启蒙和应用。孩子在盘算自己花了多少钱还剩多少钱时，他不仅仅是在练习学过的加减法，而且把元、角、分及其换算，还有各种面值的钞票之间的关系和组合弄得门儿清，顺便还切实地体会了一把十进位制的现实意义。

　　[b][color=Red]（四）生日中的数学[/color][/b]
　　类似的机会随处可见，随时可得。
　　前天晚上，孩子又在提他的生日聚会。他说：今年的生日是星期六，可以请小朋友来参加生日Party了。
　　我就问他：明年还可以这样聚会吗？明年你的生日是星期几？不查日历，你能推算出来吗？
　　这个跟他关系密切问题，他愿意去想。他是这么解决的：明年是2009年。2009不可以用4整除，所以不是闰年，所以明年2月份没有29日。从今年生日到明年生日，一共有365天。一个星期有7天，365除以7，得52余数是1。就是说，今年过完生日，再过52周零1天，就是明年的生日。今年生日是星期6，明年生日就一定是星期7，也就是星期天。所以，明年也可以像今年这样搞生日Party。
　　他妈妈让他查日历，看看算得对不对。一查，果真如此！
　　这么有意思的生活题目里是不是包含着许多数学知识和生活常识？你看啊——闰年、除法、余数、七进位制、30进位制、365进位制，一下子全都用到了、学到了。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-11-26 15:35 编辑 [/i]].

将反对刻苦学习进行到底

[quote]原帖由 [i]yiyilaoba[/i] 于 2008-11-26 11:09 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3975075&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
好帖，LZ很有思想，学习了。不过，有些观点不赞同，比如排斥题海战术、机械训练，甚至否定刻苦学习。希望能多看到LZ对数学思想的感悟。 [/quote]

　　兄台真是谬赞！
　　正因为我等对数学有诸如楼上所述之种种经历和感悟，才会旗帜鲜明地反对题海战术，反对机械训练，反对刻苦学习。具体理由见113楼《有多少人被“刻苦学习”所误》，从中你可以知道，快乐学习的人在数学上用的时间和精力，并不比刻苦学习的人少；但学习的质量截然不同。
　　如果有人想采取题海战术，对自己的孩子搞机械训练，让自己的孩子刻苦学习，我没有意见。那是他自己的选择，我无权干预。但是，如果这种数学观、学习观成为一种共识，影响到老师的教学策略的选择，让我的孩子也为此付出厌学的代价，那我就不能坐视不管。由于我的孩子深受刻苦学习风气的恶劣影响，依靠个人的力量，我已无力挽救孩子日益衰竭的学习热情。所以，我要不停地顶这个帖子，不断地唤醒人们从孩提时代就有的那种原始而朴素的内在学习动机，以改变令人愤怒、令人悲哀的教育现状。也许我自不量力，但我至少要让那些相信刻苦学习的人感到不安。各位BBMM及老师，如果你们有和我相似的感受、想法，就和我一起努力吧！
[em06] [em06] [em06]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-11-26 15:31 编辑 [/i]].

真是个好帖子，写的太棒了！

我读书时候数学不差，可是实际运用极差，根本就没懂得很多数学的奥妙。

譬如，3×9可以解释为3个9或者9个3相加，都是很大了才明白过来。

儿子小一，有天告诉我同学都会背九九表了，我回答：“你不要背，还不到时候呢”，顺便告诉了一下他，乘法实际是加法的变化，万一有点自卑，就偷偷心里算一下吧[em07].

[quote]原帖由 [i]sanmum[/i] 于 2008-11-13 15:49 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3896238&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
小树林里有一群鸟和一群松鼠，共有6个头，18条腿，请问：鸟有多少只？松鼠有多少只？

我有个好办法，也是看来的，可以用来解类似的题目，小孩子应该一教就会的，很形象，呵呵。就是让小松鼠把“手手”举起来，请孩子算算这时有几条腿？这时松鼠和小鸟都只有2条腿了吧，很好算，6个头，就有12条腿。那么还有6条腿（18-12=6）哪儿去了呢？哈哈，小松鼠举着呢，那么有几只小松鼠呢？6只“手手”当然是3只小松鼠了，还有剩下的3个头当然就是小鸟了。[/quote]

将孩子气与巧妙的初等数学解法天衣无缝地结合起来了。高明！精彩！！有创意！！！可视为经典的快乐数学。
向你学习！向你致敬！！请多多提供趣味数学，让我们分享！！！[em08].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-11-26 14:53 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3977679&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


　　兄台真是谬赞！
　　正因为我等对数学有诸如楼上所述之种种经历和感悟，才会旗帜鲜明地反对题海战术，反对机械训练，反对刻苦学习。具体理由见113楼《有多少人被“刻苦学习”所误》，从中你可以知道，快乐学 ... [/quote]

理解。正因为人有趋利避害、趋乐避苦的天性，所以，刻苦踏实，铁杵磨成针的精神才难能可贵。

我以为刻苦学习和快乐学习都需要。

两者之所以会被对立起来，我想可能主要有两个原因。

第一：不知道问题的学习常常是件苦差事

我们的教育常常是结论讲得太多，问题讲得太少。学生不知道问题，往往就很难理解为什么是这样而不是那样，最后只能靠死记硬背，于是死记硬背变成了贬义词，学生也失去了兴趣。而且，长久以往，学生习惯了单向的吸收，也问不出“为什么”了。

在现行教育下出来的学生，刻苦学的也好，快乐学的也好，恐怕很少会有小孩问大人：为什么我要学数学？为什么要学数？为什么我要学加法？为什么我要背乘法口诀？为什么考试时不能用计算器？为什么？........


第二：没有用处的学习也常常是件苦差事。

学习的乐趣，大部分要到用的时候才能感受到。但我们的学习，除了做试卷夺个名次，满足下虚荣心，还有什么用处？

为什么有人不是趋利避害、趋乐避苦？因为他们有足够的动力。学了东西没有用处，哪来动力。没有动力，当然也就成了苦差事。


如果学习能带着问题学，学了以后能有机会学以致用，那学习再苦也是快乐的。.

支持楼主

如果把数学比做一个精密、巧妙、庞杂的迷宫，那么数学的乐趣就在于不断发现迷宫中的通道，进而能在部分区域自由来往，甚至能够发现前人未能发现的通道，开辟新的天地。

题海战术、机械训练就是在早已经烂熟的通道上不断反复走动，希望走得更快一些。.

使我们身心愉快是不是数学的一种用途？

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:47 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-11-26 21:25 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3980310&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


关于数学的用途有几句话想说

数学的定理和定义，以及专业数学研究出来的结论，在实际生活中确实没有用。高中和大学的数学知识我只用到过2次，一次是给自己的吧台转角画2条切线，木匠不会画，第二次是给公司里 ... [/quote]

数学是很有用的，无论是作为工具，还是数学的思想，比如非专业课程中，我就觉得数学分析和概率论的受益最大。

记得大学里刚学数学分析时，老师布置的两道题，一帮同学往往花了几天的时间都理解不了；我相信肯定有天生聪颖的人可以不必象我们这般苦闷，但我也相信，我们这帮同学的智商应该在平均之上，我们未必每个人是各省市的状元，但TOP几总归排得上的。

我们做不到在迷宫里游刃有余，但我们有笨办法，我们会题海战术，我们会机械训练，我们搞懂数学分析的方法很简单，就是把图书馆里能找到的数学分析例题做一个遍，迄今我还保留着厚厚的一摞笔记，都是一道道抄写下来的例题和解法。等到一层纸捅穿了，数学分析也就这么回事，好像辛苦了一个学期也没什么有意义的回报，无非就是考个100分，满足一下虚荣心。

现在数学分析都忘得差不多了，但当自己面临工作的难题、时间的压力时，我常常就会不由自主想起当年和同学们去图书馆的情形。

小孩子如果聪明，可能的确不用刻苦学习，但如果已经不够聪明了，那还是刻苦些吧。.

考试分数 不等于 智力

其实分数代表不了智力水平，前面有妈妈帖子提到过，说奥数老师一张考卷，或者给孩子辅导1、2个星期就能看出来这个孩子是否聪明，是否能学奥数。对这一点个人是很不以为然的。因为就个人的经历而言，在大学三年级以前，只要你老师讲出来的东西，依葫芦画瓢的做题总还是可以的，也许画的不好，但是总还能理解老师讲的是什么。而到了三年级以后，开始真正学现代数学的专业知识时，课堂上经常会出现这样的情景：老师站在上面讲的唾沫横飞，而下面就1-2同学听的喜不自禁，大多数同学都是一脸茫然的时候，根本不知道老师在讲什么，那时我们这部分同学才知道，才尽矣。

鲁班是木匠这个专业里边的宗师，可是我们几乎看不到鲁班亲手做的任何东西，就赵公桥是不是鲁班建的，也还要存疑。而古玩市场上推崇的明清家具非常漂亮，我们看到这些家具绝对能肯定这个木匠是非常优秀的，但绝大多数家具都不知道是由那个木匠是谁。这就是宗师和匠的区别，一个制定规则，发明规则，而另一个只是去理解规则，熟练地应用规则而已。

也许有BBMM会说，我没打算孩子成为数学的宗师，甚至他都不会成为数学的匠。如果你真是这么打算的，那么，从另一角度想想，既然孩子不吃数学这碗饭，那何不想办法让孩子们把不得不做的”木匠活“做的愉快一些呢？否则，孩子岂不是要受到加倍的伤害 = 大量做 X 自己不喜欢的事情 X 将来还用不上。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:19 编辑 [/i]].

小女的很多数学概念，是在扑克牌游戏中建立起来的；最近学校里教了角，我就打算在和她打桌球的时候讲讲入射角和反射角。

但我从来不认为这是学习，也从小教育小孩：游戏、消遣、休闲也能学到东西，但这些不是学习，小孩子最主要的任务还是学习，刻苦的学习。

学习的快乐只有自己才能体会到，这种快乐，是在经过刻苦学习后取得进步和收获成果时感受到的，这种快乐，比游戏、休闲和消遣带来的快乐要大的多，持久的多，深刻的多。但在外人看来，学习肯定是苦的，而且，这种苦，有时候也不是所有人都能承受的，或者都有必要承受的。

聪明的孩子，学校里教的这些可能喂不饱，学有余力可以通过其他途径多学些。有条件可以请到好的老师，或者家长自己就有能力，可以深入浅出的引导小孩，培养小孩在某些方面的兴趣。这些都是好事。但是，因此而否定刻苦学习，似乎矫枉过正了。.

回复 182#ccpaging 的帖子

数学是什么呢？继续讲吧，看得我都入迷了。虽然我从小害怕数学，看到数字就头疼，甚至影响到我数人民币的速度;P 。.

大妈们的智慧

大学毕业以后，被分配到工厂里，受上海1986的那次影响，全体下基层，再下到车间。车间当时不好办啊，数学系毕业，那就去包装组数电解电容吧，500课一袋，当时就晕倒了。还好，包装组的几个师傅大妈蛮好的，平时大家一起吹吹牛，工作的时候，我就在观察他们是怎么把小小的电容按500颗一组分装的。

首先先数500颗出来，然后用小天平称出重量，连续操作2－3次，这样我们就能得到一组数据，取平均数，选择做靠近这个平均数的500颗电容，加上包装，作为基准。
然后按此基准开始分装电容，当天平趋于平衡的时候，多加一颗。这样就能快速地把一天的工作量完成的。

师傅大妈们聪明吧！

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:20 编辑 [/i]].

回复 186#有你乐无穷 的帖子

买个点钞机么.

回复 188#火车是运茶的 的帖子

点钞机不买，倒想买个天平按上面师傅大妈的办法试试[tt16].

回复 189#有你乐无穷 的帖子

大款啊，多得只能估算了。.

听人说过有用尺量钞票。.

“快乐学习论”兼驳“刻苦学习论”（一）：对待人性的态度

　　读了大家写的那么多帖子，感触良多。本来想写一组“儿童的数学启蒙”方面的小帖，和各位老师及BBMM探讨、分享，以便让小学数学变得妙趣横生，让我们的孩子在数学天地里流连忘返。不曾想，居然有数学系毕业的BB也主张刻苦学习。面对这种挑战，我陷入了沉思，以致于错过了昨天深夜以来两位数学老爹精彩的论争。相信“刻苦学习派”和“快乐学习派”之间的争论还会继续下去，也相信以理性为基础的自由辩论，有助于我们的思想和行动逐渐接近真实，接近真理。
　　我一向以为，人有趋利避害、趋乐避苦的天性，没有人会故意自讨苦吃。如果有人没把数学教得或学得有趣味，那是因为此人要么没有发现数学的妙趣，要么没有找到恰当的办法使数学学习变得有趣。现在，我不得不修正自己的看法，不得不承认世上还真有人故意自讨苦吃。他们未必不知道数学（及其它学科知识）有趣，也未必不知道世上有种种让数学变得有趣的办法，他们是有意让数学变得枯燥乏味，或者说，甘于让数学的教和学维持无趣的状态。绝不能因此说他们恶毒。事实上，他们和我们一样都是善良之辈，和我们一样都希望自己的孩子学习好，数学成绩优良。他们和我们的分歧，不是学和教具体方法或态度的不同，而是对人性的一般看法和态度截然相反。
　　他们和我们一样会承认，人有趋利避害、趋乐避苦的天性。所不同的是，我们试图立足于这种事实，顺乎天然，率性而为，让自己和孩子快乐学习，愉快工作，幸福生活一辈子；他们则试图超越这种事实，抵抗天然，逆性而为，让自己和孩子刻苦学习，辛勤耕耘，含辛茹苦地过一辈子。“正因为人有趋利避害、趋乐避苦的天性，所以，刻苦学习的精神才难能可贵。”在他们看，这是人生至理；在我们看来，这简直不可理喻——数学本来很有趣，学习本来很开心，并且我们因为快乐学习、乐在其中，花在学习上的时间和心思并不比别人少，取得的成就并不比别人低，凭什么要我们仇视快乐、放弃快乐而“刻苦学习”？
　　他们往往有崇高的理想，远大的目标，神圣的追求。他们以极其傲慢的语气质问和教训我们这些“天性和本能的奴隶”：尔等贪图学习的乐趣，不明学习有严肃的主题。比起学习所要服务的严肃主题来，学习的乐趣算得了什么！尔等贪图享乐，学习一旦枯燥乏味就抱怨，是何等的低级、庸俗、懒惰、懦弱！为什么有的人就不趋利避害，就不趋乐避苦？孟子曰：“天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。”有远大抱负的人都是意志如钢心如铁石的冷血超人，他们故意找苦吃，主动找罪受；正因为他们有远大的抱负，所以有足够的动力，能够忍受学习上的万般苦难。可是，在我们看来，这种傲慢充满偏见。卑视“趋利避害、趋乐避苦之人性”的人，是异化的人，异化到一定程度就成了没有人性的受虐狂兼虐待狂。他们自虐，我们管不着。但他们要求别人自虐，甚至设法在学习上折磨别人，那我们就不能不反对。
　　他们极其务实，崇尚学以致用，不能容忍学习没有用的东西，也不能容忍学了东西不去使用。他们非常自信地断言：学了东西没有用处，哪来动力？没有动力，学习当然也就成了苦差事。我们非常理解，他们为什么会这么想、这么说。不，与其说是理解，不如说是同情。因为仇视快乐、失去人之本性的人当然体会不到学习的内在乐趣，即使体会到了，也会像苦修的僧侣那样，尽量克制自己的享乐冲动。如此，他们只能求助于学习的外在结果，并将这种外部结果与他们野心勃勃的远大抱负联系起来，从中寻找支持他们刻苦学习下去的“强大”动力。我们则容易多了，就算学习的东西一时没有用或永远用不上，也能够从学习本身的乐趣中自然地获得坚持学习的动力。我们甚至都不需要刻意地坚持学习，因为数学之类的知识太有意思了，让我们忍不住地学习她，探索她，欣赏她，赞美她。
　　他们太自信了，竟敢担当愚笨孩子的代言人，说这类孩子比聪明孩子更需要刻苦学习。他们甚至断言，我们设法让自己的愚笨孩子在生活和游戏中顺便学点数学的启蒙活动不是“学习”。理由大概是，这种活动有太多的快乐因素，不够纯正，不够庄严，不够神圣。在他们看来，孩子只有上学，只有坐在课室里，只有捧着课本，只有聆听老师非常正式、正规、正经的教导，才算得上是“学习”。假使老师也寓教于乐，那对学孩子来说，也不是“学习”。他们非常严肃地告诫孩子：玩就是玩，学习就是学习，你别指望学习变成玩！在我们看来，这是多么可笑啊！那些想尽办法让学习变得无趣的人，竟然不顾健全的常识了，就更不用说顾及资质平平孩子刻苦学习的感受了。殊不知，这类孩子才比聪明孩子更需要快乐学习；殊不知，近代以来几乎所有促进快乐学习的方法，都是从他们身上找到的。这些教育方法使学习困难孩子受益，更使聪明孩子受益。现在，怎能颠倒过来，让聪明孩子快乐学习，笨孩子刻苦学习呢？

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-11-28 10:52 编辑 [/i]].

回复 189#有你乐无穷 的帖子

用尺子量！
看过财务人员，数好同一型号的硬币10枚叠起来，后面的统统不用数了，叠了一样高就是。纸币用相似的方法，只不过要数额更多，比较高低的时候还要用手压一压，用尺子量一量[tt1]

[[i] 本帖最后由 谷子 于 2008-11-28 09:49 编辑 [/i]].

回复 192#hxy007 的帖子

很赞同寓教于乐。从孩子一出生就挖空心思想让她不受应试教育之罪。然而，学识有限，尤其是在数学领域，由于自身知识和能力的限制，很难做到像上面这些数学爸爸这样智慧、灵动地引导孩子学数学，这又该怎么办呢？
常常上来学习各位的思想，企图从中得到一些方法一些灵感。恳切地说，确实受益匪浅，但总是杯水车薪，所以一直处于困惑之中，望指点迷津[tt7].

原来数票票还有那么多好办法啊，真没想到，看来的确是数学没学好。家里尺子有好几把呢，现在就等着票票从天而降了！[tt39].

回复 192#hxy007 的帖子

一早进来学习，这一帖要站出来顶的，因为说到我心里去了。
孩子的天性是热爱学习的，因为探索和好奇心是人类与生俱来的品质，但是很多成人不敢相信。.

学生会成为我们想要他成为的那种人

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:48 编辑 [/i]].

我们都是皮格马利翁　回复 197#ccpaging 的帖子

　　这是典型的皮格马利翁效应，即教师期望效应。最早是罗森塔尔和雅各布森发现的，所以又叫罗森塔尔效应。这种期望自我实现效应表明：教师是课堂里的皮格马利翁，BBMM则是家里的皮格马利翁。
　　其实，小学那点屁数学，99.9%的学生能够胜任。BBMM和老师都相信这一点的话，那么，我们的积极期望就会自我实现，即99.9%的孩子果真成功学会小学数学。当然，如果有人觉得智力中等生学小学数学会有困难，需要刻苦学习，那么，这种消极预期也会自我实现，结果有许多孩子果真学得艰难，通过刻苦学习，才勉强完成了小学的数学学习任务。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-18 17:02 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-11-28 16:34 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3994580&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
　　其实，小学那点屁数学，99.9%的学生能够胜任。[/quote]

是的，小学里（其实不光是小学里）要学的，更要紧的是学习态度和学习方法。当然，每个人情况不一样。对有些人来说，的确一辈子也不需要刻苦学习，他们一辈子可能都不会面对需要他们刻苦以待的情形；那他们在学校里也的确没有必要接受刻苦学习的教育。

有个本科同学，当年在学校的时候，以他的资质，不用怎么努力，混个及格是没问题的，事实上，他也是这么渡过他的四年本科的；后来，他去了美国，变得发奋图强，非常非常刻苦。现在，在他的研究领域，全世界的专家里他可以排在前十。我不知道他是开了窍还是受了刺激，或者受环境所逼，但我相信他不会蠢到去做一件会让自己不快乐的事情。

美国给我留下深刻印象的，其中一个片断，是在一个高速公路的收费站。工作人员和我打招呼，脸上洋溢着那种发自内心的快乐。非常非常HAPPY的一张脸。就他的工作所需要的知识和技能，我想他一辈子都不需要刻苦。我发自内心的爱这张快乐的脸和他的快乐生活，但是，我不会选择过他那样的生活，尽管我深知那也是快乐的。

每个人有机会选择他/她想要过的生活，争取他/她想要的快乐，这是社会成熟和进步的一种表现。

我相信LZ是快乐的，但是，我不会选择这种没有刻苦精神的生活，正如LZ不会选择在他眼里“有违人性”的生活。

感谢旺网，让原本可能没有交集的生活，彼此有机会欣赏对方。.

小学生、初中生身心发育更要紧，每天要保证足够的睡眠，学习太刻苦是不行的，也会早早失去后劲。

人的成长，要尊重客观规律，小学、初中要优先保证身心成长，高中刻苦一点，大学、研究生，进入专业研究了，那就要奋发图强了。当然不是所有人都要去做专业研究的，上面说的也只是一部分人可以选择的道路。.

小学刻苦的人，上了大学不一定还能刻苦；小学快乐的，日后未必就不能吃苦。
况且，小学那点数学，真的没有必要刻苦。
——只会强调刻苦的老师或者家长，往往是因为自己没有能力（或者认为自己没有能力）把数学（或者其它学科）讲得生动活泼，让学生兴味盎然。

更重要的，还要看为了什么而刻苦。为了考试的时候算得更快更准而刻苦反复做练习，还是为了一道思考题绞尽脑汁？这是完全不一样的。
楼主的意思，应该很明白。我支持楼主。.

物理学家爱因斯坦

[url]www.XINHUANET.com[/url]　　来源： 新华网
   阿尔伯特·爱因斯坦 (Albert Einstein) １８７９年３月１４日出生在德国巴登－符腾堡州乌尔姆市一个中产阶级犹太人家庭。次年，全家迁往慕尼黑。爱因斯坦幼年并未表现出过人的才华。５岁时，父亲给了他一个指南针，指针在磁力的无形作用下转动的情景让他惊讶。像牛顿看到掉落的苹果一样，爱因斯坦产生了一种奇怪的感觉，认为自己看到的现象是具有深远意义的。他先在慕尼黑读高中，未毕业就退学，后转入瑞士阿劳市的州立中学。１８９６年，爱因斯坦进入瑞士苏黎世联邦工业学院学习数学和物理学，毕业后成为一名老师。爱因斯坦喜爱教书育人，但成为一名物理学家却是他无法放弃的梦想。

  　由于不认同权威，爱因斯坦一度被人认为注定一事无成，１９０２年大学毕业后无法进入学术机构，只在瑞士伯尔尼专利局找到一份做审查员的临时工作。但在那里，爱因斯坦被正规教育扼杀的科学激情终于重新迸发出来，轻松的工作让爱因斯坦得以继续致力于科学研究。１９０５年，年仅２６岁的爱因斯坦发表了三篇论文，在物理学三个不同领域取得了历史性成就，特别是狭义相对论的提出，使人类对于空间、时间和物质运动的认识发生了革命性变化，标志着物理学新纪元的到来。



1999年12月26日，爱因斯坦被美国《时代》周刊评选为“世纪伟人”。

  　１９１４年，爱因斯坦返回德国，进入普鲁士科学研究所从事科学研究，兼任柏林大学教授。１９１５年，爱因斯坦发表广义相对论。这是继狭义相对论之后，近代科学的又一个重大成就。１９１９年，英国天文学家爱丁顿的日全食观测结果证实了爱因斯坦所作的光线经过太阳引力场会弯曲的预言。爱因斯坦由此声名鹊起，相对论成为人们家喻户晓的名词。

　  １９２１年，爱因斯坦因在光电效应方面的研究而被授予诺贝尔物理学奖。１９３３年由于纳粹德国反犹太主义狂潮，爱因斯坦被迫移居美国，同年１０月开始在普林斯顿高等研究院任教。１９４０年获得美国国籍。１９５５年４月１８日，爱因斯坦因主动脉瘤破裂在美国普林斯顿逝世。

    爱因斯坦除在光电效应、相对论等方面作出举世皆知的杰出贡献外，他关于布朗运动的研究成果，由于对大量无序因子的规律性把握，成为当今最热门的金融数学的基础；他提出的激光受激辐射的概念，在几十年后的今天得到了广泛的应用；他与玻尔进行的论战中提出的EPR佯谬，至今仍是理论物理学和科学哲学界不断探讨的话题……

    爱因斯坦不仅是一位伟大的科学家，还是一位和平主义者。他目睹了两次世界大战中对人类文明的摧残，认为和平是人类的首要问题。１９５５年４月，弥留之际的爱因斯坦签署了《罗素─爱因斯坦宣言》 ，呼吁人们团结起来，防止新的世界大战爆发。   　

=========================
前面有妈妈感叹中国为什么出不了诺贝尔奖？

就现在的应试教育看，即使有天才也一定被扼杀了，从小学开始。同样的教育施加于那些不能获得诺贝尔奖的非天才-普通人身上，留下的不过是关于童年的痛苦回忆。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:21 编辑 [/i]].

看了上面BBMM的话,真是收益大呀!我家儿子对数学也感兴趣的.想问问各位那里有买你们推荐的<可怕的科学>这套书?我找了很久也没找到,很希望能够给我一个帮助.先谢谢了!.

[quote]原帖由 [i]chh_longlong[/i] 于 2008-11-28 21:30 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3995957&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
看了上面BBMM的话,真是收益大呀!我家儿子对数学也感兴趣的.想问问各位那里有买你们推荐的这套书?我找了很久也没找到,很希望能够给我一个帮助.先谢谢了! [/quote]

淘宝上有

这几天儿子还在画日历，计算他明年的生日是星期几呢。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-11-29 19:22 编辑 [/i]].

在痛快拉屎中快乐学习　回复 203#chh_longlong 的帖子

　　《可怕的科学》是一套少儿科普读物，由北京少年儿童出版社2004年翻译出版，去年我在福州路上海书城还见有售。这套丛书有60本，分成“经典科学”、“另类新知”、“自然探秘”、“经典数学”、“体验课堂”等5个系列。虽是为少年儿童编写的一套科普读物，但也适合以前很少体会到数学及科学之内在乐趣的BBMM，作为补课性质的读物。
　　我孩子有一套，上厕所时我经常偷看。我可不会等到“学习的时候”才去“学习”这么有趣的东西。一边痛快地拉出一段绝美的大便，一边快乐地偷看着儿子钟爱的《可怕的科学》，那可真是一天中的愉悦时刻。恳请各位刻苦学习的信徒多多原谅——我又在亵渎庄严、神圣的科学和数学了！我岂止亵渎了科学，我还沾污了文学、哲学和历史学。因为我不仅在书房里一本正经地看书，还把特别爱看的书搬进了厕所。这几年，我用大便的那段快乐时刻，不仅读完了好几本《可怕的科学》，还读完了16卷大部头的《话说中国》。假如有人为我连拉屎都不手不释卷的好学精神所感动，赞扬我是“刻苦学习”的典型，我可不会领情。因为，我不觉得苦呀，我是在快乐学习呢！
　　真的，读《可怕的科学》特好玩，而且真是长见识。读了这套书的人，不爱科学、不喜欢数学都难！作者不仅科学知识渊博，而且对科学研究方法、科学史、科学家奇闻逸事非常了解，把严谨的科学知识及科学探究过程描述得绘声绘色，有滋有味。
　　记得其中有一本叫《消逝的恐龙》，孩子读时，经常可以听到他笑出声。有时孩子还要让他妈妈帮他揉肚皮，说是笑痛了肚子。书中讲到两位著名的生物考古学家，可惜我忘记了他们的名字（学得不扎实啊，考试要扣分的）。他们经常因为学术见解不同而争吵，甚至为谁先发现某种恐龙而争得不可开交。其中一人干脆把新发现的那种恐龙命名为“我先发现龙”。这位老兄，有一回在复原一种新发现的恐龙时，把恐龙头上的角装到了恐龙的尾部。他的学术对手前去拜访并指出错误时，拿着大顶，头朝下脚朝上，边敲门边问：“XXX教授在吗？”书中还有描绘这副情境的漫画。我家孩子读到这里笑得接不上气。
　　这套书最难得的是，表述和安排把握住了少年儿童的心理特征，让孩子快乐阅读，积极思考，主动学习。比如，作者在书中不断地用一些十分搞笑又不失科技含量的问题，考问小读者，让小读者参与到科学探究中去。
　　例如，好像是在《进化之谜》一书里，有这么一段：达尔文对动物着了迷。有一回，他捉到两只昆虫，一手捏着一只，往实验室走去。就在路上，他突然发现一只以前从没有见过的昆虫。你猜：他用什么办法捉住这只新品种昆虫？书中给了三个答案供小读者选择：
　　翻过一页，小读者会找到答案：达尔文的办法是，马上把手中的一只昆虫塞进嘴里，腾出一只手捉住那只新昆虫。结果嘴里那只虫子是放屁虫，它放了一个屁，流出一种热乎乎的液体，把达尔文的舌头灼伤了！（我家小子也喜欢捉昆虫，有一回被昆虫喷出的液体弄得手指焦黄，数天不褪。他很自然地联想起达尔文的故事，知道那是昆虫在用具有腐蚀性的毒液进行防卫。）
　　作者经常向小读者提出问题，调动孩子的思维，刺激孩子读下去，想下去。作者还经常给小孩子出坏主意，让他们带着各种稀奇古怪的问题去考老师和父母。如《丑陋的虫子》中出了一套题，说是要看一看“你的老师是不是鳞翅类昆虫学者”，还有不知哪本书里教唆孩子去考一考“你的老爸是不是一个蜥脚类恐龙专家”。所以，各位打算让孩子读《可怕的科学》的BBMM，可要想好啰——读了这套书的孩子会非常可怕，他们不但会学到许多科学知识，让你再也不敢在他面前充大葱；他还会不时地考你一些你从来没有想过的问题，让你头大脸红。[em16]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2009-6-17 22:25 编辑 [/i]].

我们用脑子学习

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:48 编辑 [/i]].

回复 206#ccpaging 的帖子

　　一直有个颇为困惑的问题：同是数学系出身，为什么对数学和数学学习的看法那么不一样？
　　现在我有一个暂时的答案了：喜欢数学的老师，才能带出喜欢数学的学生；对数学本身没有好感的老师，不大可能让学生对数学有真正的好感。数学大师和数学匠才，有云泥之别；大师的学生，未必都能够成为大师，但多少都会有大师的风范。.

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-11-28 18:31 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3995259&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
小学刻苦的人，上了大学不一定还能刻苦；小学快乐的，日后未必就不能吃苦。
况且，小学那点数学，真的没有必要刻苦。
——只会强调刻苦的老师或者家长，往往是因为自己没有能力（或者认为自己没有能力）把数学（或 ... [/quote]

是的，“小学那点数学，真的没有必要刻苦”，一般的孩子，上课认真听，应该都能理解；回家完成作业，巩固一下应该就能掌握。小孩子要会学习，也要会玩。我所见的读书好的同学里，包括我自己（呵呵，自夸一下），其实也都是一路玩上来的，当然，我们也会在自己的智力不够时，来点笨办法，搞搞机械训练。也听说过有前几届的师兄，因为中学没得玩，到了大学第一年就因为贪玩而被退学，但第二年又再次考取的故事。

玩和学本身没有什么矛盾，玩是为了更好的学，学是为了玩更好玩的东西。呵呵。有点绕口令。

有本书，好像叫诺贝尔获奖者和儿童的对话，充满睿智的一本书，推荐给BBMM们，如果是大孩子，也可以直接阅读。.

回复 205#hxy007 的帖子

谢谢,我花了周六一个早上的时间,终于在淘宝上买到了一套<可怕的科学>,到处都是缺货的.我真是幸运了.现在期待书快点送到..

数学老师的故事

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-11-29 19:57 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3998141&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
大家都听说过凿壁借光的故事，我在高等代数老师那里听到一个类似的故事。

我的高等代数老师是北大数学系毕业的，在他们上学的那段时间已经是文革时期了，一到晚上电力局就闹革命，整个学校都没电。不能用教室，寝室也 ... [/quote]

　　也讲讲我的数学老师的故事。
　　我是在江南一个山区完成中学学业的。不要以为穷乡僻壤就没有好老师，我甚至觉得小学一年级那个小学毕业就代课的老师，都比现在许多正规大学毕业的数学老师，更具教育家的风范。
　　我读中学时，“文革”结束不久，刚刚恢复高考。阶级斗争和“文化大革命”把一批批“牛鬼蛇神”赶到山区，成了我们的中学老师。乡下孩子有机会听这些奇人异士讲课，真是大开眼界。几乎每一堂课都是精神的盛宴。我们中的许多人喜爱读书，敬重读书人，喜爱让自己有点书生气、书卷气，全拜这些“牛鬼蛇神”所赐。
　　记得初中有个数学老师，课上得精彩，字也写得极漂亮，完全可以当字帖。光看他那板书、板演的例题，就是一种享受。他还有一个绝招，给我们上数学课，兴致所至，顺手在黑板上一挥（好象都没有看黑板），就画出了一个相当标准的圆。年少的我们，那个崇拜啊！天天盼着他来上数学课，一天不上心里就好象缺了什么。现在回想，都是那么地令人神往。
　　最让我们记忆深刻的是高三时的一位代课老师。因为信息闭塞，每到高考前几个月，我们中学都会派一些老师到外打探高考方面的消息，学习别人的应考经验。那一年，我们的数学老师接受这个任务，出差一个月。他就把自己中学时代的数学老师请出来代课。
　　那是一位姓伍的老先生，已经中风，右半身瘫痪，走路不方便，口齿也不清楚。每当上课，我们都会派同学去恭请伍先生。然后，在讲台边放把椅子，请先生坐着讲课。先生从不坐下，他喜欢站着讲。最神奇的地方是，他不带教材、讲义，就用一张纸包着几根粉笔来上课。不知为什么他从不用教室里的粉笔，但给我们的感觉，他的粉笔仿佛有一种魔力。
　　那时，我们已经进入复习阶段。先生是来帮助我们复习的，但是那个月他很少让我们做课外作业，甚至都没有一次测试。他就在那里带我们一起梳理自小学以来学过的那些数学知识。口齿不清，却娓娓道来。我们脑海里的数学知识点原来都是大海中的一个个孤岛，经先生一番点拨，全都联系起来了。那种感觉犹如醍醐灌顶，那种通了数学的感受，难以言表，真是享受啊！就像ccpaging描述的那样，我们的思绪随着先生的那只粉笔，先生含糊的话音，飘呀飘……
　　先生给我们讲典型例题，带领我们总结典型例题的各种变式，让我们明白万变不离其宗的道理，甚至鼓励我们去编高考数学题……
　　先生还鼓励我们一题多解，再繁的解法也让我们讲出来。记得先生出过一题，我一口气说出了多种解题思路（代数的解法、三角函数解法、解析几何的解法）。先生艰难地伸出右手，竖起大拇指，激动得直流口水，连夸我“好学生！好学生！！”其实，更加感动的是我，是我们这些莘莘学子。
　　先生是在我读大学时去世的。据老家的人说，先生出殡时，有数千人送行。在我们那个小地方，除了毛主席逝世，再也没有见过如此哀伤的大场面。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-1 21:19 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-1 12:54 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4003971&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
　　也讲讲我的数学老师的故事。
　　我是在江南一个山区完成中学学业的。不要以为穷乡僻壤就没有好老师，我甚至觉得小学一年级那个小学毕业就代课的老师，都比现在许多正规大学毕业的数学老师，更具教育家的风 ... [/quote]
很真实。 好的老师很难得，好的教材更难得。LZ如果能在前面的一些帖子基础上，写一个小孩子爱看的数学教材，那也是非常有意思的事情。或者写一个给家长看的教材，让家长看后能更好的辅导自己的孩子。LZ继续。.

just kidding.

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:48 编辑 [/i]].

做个数学老顽童　回复 211#yiyilaoba 的帖子

　　编教材？不敢滴。
　　我既不是数学出身，也不是小学老师，胆敢编小学数学教材，岂不真地亵渎数学了！
　　不过，是不是可以写本《亲子数学》之类的小册子？这个，好像也力不从心。玩可以，白纸黑字出成书，有点怕的！主要是害怕犯数学错误，让人笑话。当然如果我们一起来写，又或者请你及ccpaging作编审，那倒可以试试。嗯，好像还是在这里交流，比较自由。
　　兄台有搞笑的天分，一起来玩数学吧！把我们的孩子玩成数学迷，把我们自己玩成大顽童、老顽童！

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-1 21:15 编辑 [/i]].

昨天同事考我一道题，说是他LP出了帮儿子甄选数学教练的，他已经被排除在候选人范围之外了，颇不服气，拿来考我们。[em16]

一片草地，27头牛吃了6天吃完，草每天都在长哦；
23头牛吃了9天吃完；
问，21头牛吃几天吃完。
不许用代数，必须用算术做。

不算难，却也颇费了些功夫。只是同事的儿子还不到半岁呢。[em17].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-1 20:48 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4007504&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
　　编教材？不敢滴。
　　我既不是数学出身，也不是小学老师，胆敢编小学数学教材，岂不真地亵渎数学了！
　　不过，是不是可以写本《亲子数学》之类的小册子？这个，好像也力不从心。玩可以，白纸黑字出成书，有 ... [/quote]
支持，可以先以Blog的形式积累材料。
我要是不行，还可以拉我老师嘛。.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-1 20:48 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4007504&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
　　编教材？不敢滴。
　　我既不是数学出身，也不是小学老师，胆敢编小学数学教材，岂不真地亵渎数学了！
　　不过，是不是可以写本《亲子数学》之类的小册子？这个，好像也力不从心。玩可以，白纸黑字出成书，有 ... [/quote]
:handshake 要不LZ开个亲子数学圈子？多积累些好帖子，小册子也就水到渠成了。小弟非数学系出生，跟着LZ混混还可以。火车是运茶的对数学也很有心得。大家一起取长补短，会有很多大人和小孩可以受益。 不知LZ意下如何？.

回复 16#hxy007 的帖子

看得出家长真用心了.我家大宝我也不知动了多少心思呢.特别那些巧算题.  后来想了好多办法,还是这个帮他归纳的方法最有效点. 比如巧算有四种.  每次一看到巧算的,就用这4种方法试.现在都基本不错了,如292+292*9,就要添数,把292不妨添成292*1,这样就是292*1+292*9=292*(1+9)=2920. ,我这里有些我家大宝薄弱地方,我给他出的一些题,不知有没有帮助?.

回复 218#小宝大宝老妈 的帖子

三年级数学练习题
一、填空
1．60毫米＝(　　　 )厘米
2．2吨＝(　　　 )千克
3．8米＝(　　　 )分米
4．5000克＝(　　　 )千克
5．3千克＝(　　　 )克
6．7千米＝(　　　 )米
7．400厘米＝(　　　 )米
8．6000千克＝(　　　 )吨
9．3吨500千克＝(　　　 )千克
10．3600千米＝(　　)千米(　　　)米
11．1吨－320千克＝(　　　 )千克
12．480毫米＋520毫米＝(　　　 )毫米＝(　　　 )米
13．7008千克＝(　　　 )吨(　　 )千克
14．4米7厘米＝(　　　 )厘米
15．1米－54厘米＝(　　　 )厘米
16．830克＋170克＝(　　　 )克＝(　　　 )千克
17．1米-2分米=（    ）分米
18. 1厘米+19毫米=（ ）厘米（  ）毫米
19. 2分米-18厘米=（   ）厘米=（   ）毫米
20. 14厘米+26厘米=（    ）分米
21. 600米+300米=（  ）千米=（   ）米
22. 500厘米+300厘米=（     ）厘米（     ）分米
23. 1600千克-600千克=（  ）千克   
24. 1吨-400千克=（      ）千克
25. 600千克×6=（       ）         
26. 5厘米×10=（      ）   
27. 36吨÷6=（  ）吨=（      ）千克=（      ）克
28. 2小时15分+3小时=（   ）小时（  ）分
29. 6小时-30分=（  ）小时（  ）分
30. 23分米=（  ）毫米      
31. 100厘米-30厘米=（  ）厘米=（  ）分米
32. 7300米-300米=（   ）米=（   ）米
33. 910米+290米-200米=（     ）米=（    ）千米
34. 0.15千克=（     ）克        
35. 3.001吨=（    ）吨（    ）千克
36. 3.7平方分米=（     ）平方毫米  
37. 5.80元=（   ）元（   ）角
38. (   )分米=1.5米               
39. (     )吨(    )千克=4.08吨
40. 510米=(    )千米                 
41. 5米16厘米=(      )米
42. 5千克700克=(    )千克                  
43. 0.95米=(    )厘米
44. 4700米=( )千米                 
45. 3650克=(        )千克
46. 40.06吨=(      )千克            
47. 1.4米=(          )分米
48. 7.05米＝（　　）米（　　　）厘米
49. 5.45＝(　　)千克(　　　)克　
50. 3千米50米＝(　)千米          51.(     　)时＝30分
52. 3千克500克＝(　　　)千克　     　53. (　 　　)时＝2时45分
54. 2.78吨＝(　　)吨(　　)千克
55. 0.25时＝(　　　)分　　　
56. 504厘米＝(　　)米　 　　　　　　　　　　　
57. 4.2米＝(　　)米(　　)厘米
58. 10米7分米＝(　　　)米　
59. 9千克750克＝(　　　)千克　　　　　　　
60. 8.04吨＝（　　）吨（　　）千克
61. 6.24米＝ (　　　　)分米　　　　
62. 1元4角6分＝(　　　)元
63. 2米3厘米＝(　　　　)米
64. 2小时＝（  ）分       60秒＝（  ）分
    60分＝（  ）小时    1星期＝（  ）天
    3分＝（  ）秒         4星期＝（  ）天
   3年＝（  ）个月    120小时＝（  ）日　　　　　　　　
65. 1.2时＝(　　)时(　　)分
66．20张纸叠起来厚1毫米，100张叠起来厚(　　　 )毫米．
67．每个曲别针长30毫米，粗1毫米．这样两个曲别针扣起来长(　　　 )毫米．
68.闰年有（  ）天，平年有（  ）天。
69. 1900年的二月有（    ）
70．一年有（  ）个月，一年有（ ）季度，
第一个季度是（ ）月、（ ）月、（ ）月。
第二个季度是（ ）月、（ ）月、（ ）月。
第三个季度是（ ）月、（ ）月、（ ）月。
第四个季度是（ ）月、（ ）月、（ ）月。.

回复 219#小宝大宝老妈 的帖子

71．“六一”儿童节在（ ）月，在第（ ）季度。
“国庆节”在（  ）月，在第（   ）季度。
“劳动节” 在（  ）月，在第（  ）季度。
“教师节”在（  ）月，在第（  ）季度。
72. 闰年第一季度有（　）天，平年第一季度有（　　）天。
73. 六月有（ ）天，有（ ）个星期零（　）天
74. 7月1日的前一天是（  ）月（ ）日
75. 8月30日的后一天是（ ）月（ ）日76.平年2月的最后一天是（ ）月（ ）日77 闰年2月的最后一天是（ ）月（ ）日
78.平年一年有（ ）天闰年一年有（ ）天
79.平年二月有（ ）天闰年二月有（ ）天
80. 闰年第二季度有（ ）天，第一季度有
（    ）天，上半年有（     ）天。
81. 3月和5月一共有（     ）天，7月和8月一共有（     ）天。
82. 中华人民共和国成立于（  ）年（  ）月（  ）日。到2006年10月1日成立了（  ）周年。
83. 教师节是（     ）月（    ）日。
84. 劳动节是（    ）月 （    ）日。
85. 2002年二月有（ ）天。
2003年二月有（  ）天。

二、在(　　　 )内填合适的单位名称
1．大树高17(　　　 )．
2．一只小猫重2(　　　 )．
3．火车每小时行78(　　　 )．
4．一辆坦克重6(　　　 )．
5．钥匙长60(　　　 )．
6．一个梨重320(　　　 )．
7．小华身高130(　　　 )．

三、在○内填上“＜”、“＞”或“＝”(每题1分，共8分)
1．4吨○499千克
2．3分米○300毫米
3．700毫米○70米
4．600千克○6吨
5．10千克○100克
6．10米○900厘米
7．3分米7厘米－9厘米○28厘米
8．1吨800千克○1080千克

四、选择正确答案的序号填(　　　 )内
1．1小袋水饺粉重5(　　　 )．
①克　 ②千克　 ③吨
2．数学课本的宽是145(　　　 )．
①毫米　 ②厘米　 ③分米
3．黄河牌汽车的载重量是7(　　　 )．
①克　 ②千克　 ③吨
4．武汉长江大桥比南京长江大桥短5102(　　　 )．
①分米　 ②米　 ③千米
5．一个鸡蛋约重70(　　　 )．
①吨　 ②千克　 ③克
6．一支钢笔长14(　　　 )．
①分米　 ②厘米　 ③毫米
7．4千克○4千米．
①＝　 ②＜　 ③不能比较
8．两层楼之间有22个台阶，每个台阶的高度是15厘米，从一楼到四楼升高了(　　　 )．
①1320米　 ②990厘米　 ③1320厘米
五、判断，在(　　　 )内对的打“√”，错的打“×”．并在横线上改过来

1．赵亮家的客厅长5分米．　　(　　　 )
_______________________．
2．一汽车的载重量是8千克． (　　　 )
_______________________．
3．一块菜地长48千米．　　　（      )
_______________________．
4．一袋面粉重45吨． 　　　　(　　　 )
_______________________．
5.小玲体重是31千克．（   ）　　　　　　　　　　　
_______________________．

六、列式计算
1．甲数是108，是乙数的3倍．甲、乙两数的和是多少？




2．甲数是43，比乙数的2倍还多13，乙数是多少？




3．把1吨平均分成4份，每份是多少？





4．比1千克的3倍少100克是多少克？





七、解答应用题
1．一条路长8千米．一个修路队每天修250米，修了16天后，还剩多少米？










2．面粉厂库存面粉900袋，每袋50千克，用一辆载重9吨的汽车把这些面粉运往粮店，需几次运完．


3．甲、乙两城相距860千米，一辆汽车以每小时60千米的速度从甲城开往乙城，行了11小时后，汽车离乙城还有多少千米？






4．货场有煤54吨，已经运出4次，还剩6吨没运，平均每次运多少吨？






5．小华3分钟步行210米，汽车每分钟的速度是小华步行速度的9倍，汽车每分钟行多少米？






6．水果店运来苹果340千克，梨260千克，运来苹果和梨的总重量是桔子的6倍，运来桔子多少千克？







7．两个钻井队，第一队钻井1900米，比第二队少钻200米，两个队共钻井多少千米？







8．一台机器重800千克，有30台这样的机器用载重5吨的汽车来运，需几次运完？





八． 解决问题：
1． 小明今年12岁了，但他只过了两个生日，那他是那年出生的 ？

2．  学校的棕榈树是1990年1月1日种下的，那到2003年的1月1日一共长了多少天？

3．  平年1年有多少天？是几个星期零几天？

4． 中华人民共和国是1949年10月1日成立的，到今年10月1日是多少周年？

5．以下年份中， 闰年是（         ） 平年（          ）
1800   1267  1945   1949   1964 1927
1956  1900 2000  1980  1994 2004
2108  1905 1964  1500  3000


31×7＝217（7个大月）       30×4＝120（4个小月）
平年217＋120＋28＝365（天）      闰年217＋120＋29＝366（天）
（2）平年：30×12＋7－2＝365（天）闰年：30×12＋7－1＝366（天）
小结：平年365天，闰年366天。.

快乐不私藏

[quote]原帖由 [i]yiyilaoba[/i] 于 2008-12-2 10:57 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4010208&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

:handshake 要不LZ开个亲子数学圈子？多积累些好帖子，小册子也就水到渠成了。小弟非数学系出生，跟着LZ混混还可以。火车是运茶的对数学也很有心得。大家一起取长补短，会有很多大人和小孩可以受益。 不知LZ意下如 ... [/quote]

　　谢谢两位老兄的鼓励和支持！我们就在这里交流，如果条件基本成熟，就出个小册子。出不成，也没有关系。关键是我们一起来交流，想法子让孩子保持对数学的兴趣。
　　粗粗看了一下前面的帖子，感觉除了我们三个及火车是运茶的之外，春来草自青、谷子、sanmum、xiaoximama、merry77、sunbaby020123、小龙爸、洋葱头妈、YANGXIMI等BBMM，都是同道中人。各位肯定都有许多辅导孩子学数学方面的有趣而有效的经验，不妨提供出来让大家分享。还有许多潜水的BBMM，如果赞同我们的追求，也请经常浮出水面顶一顶这个帖子，贡献一些育儿经验。
　　我们为什么把种种快乐学习数学的经验放在这里，让大家分享呢？难道我们不知道，让别人家的孩子也快乐学习、有效学习，不就是对我家孩子升学构成了威胁吗？我知道，但我不这样想。我不认为，人生是一个人对所有人的战争。我认为，人生是一个人和所有人共生。我的感受是：
　　（1）一个孩子是不可能快乐学习的。尽管我们夫妻竭尽全力，呵护孩子的学习兴趣，但三年来我家孩子的内在学习动力在不断下降。我们非常担心孩子有朝一日会产生厌学情绪，而且，我们深知，一个人一旦厌学，那就万劫不复了。可是，我们对此无能为力。学校过快的学习速度、过密的学习密度、过大的作业量（尤其是那些孩子早已会了却不得不反复操练、缺乏任何智力挑战仅仅挑战孩子细心、耐心、忍受枯燥之毅力的无聊习题），让孩子逐渐觉得数学比学校的午餐还倒胃口。
　　我在天真地想，如果我孩子的所有同学都快乐学习、有效学习，老师就没有理由也没有必要那般机械地苦练、傻练我们的孩子。如果他们出于别的考虑，过度训练我们的孩子，我们就可以理直气壮地反对了。现在的问题是，许多家长也赞同刻苦学习，欣赏老师大量训练孩子，认为只有这样的老师才是敬业尽职的好老师。这等于是在纵容老师大练特练我们的孩子。
　　（2）我们想到的、用到的促进孩子快乐学习数学的法子越多，我们就会越强大，越有说服力。那些迫使我们孩子刻苦训练的人就会越不安，越有忌惮。也许我们来不及改变孩子当下的学校学习状况，但会促进孩子未来学习状况的改变。也许我们这样做了，还是可能没有改观。但是，我们不做，就肯定没有改观。我们与其抱怨不迭，被动应付，不如积极行动！
　　请有好主意的BBMM用你们的好主意来支持本帖，即使不提供具体建议，浮出来顶一下，也是一种参与、一种支持、一种力量。
　　让我们的声音强大一些！
　　让那些不动脑子只会让孩子苦练把孩子练废掉的人感到惭愧！感到不安！——你们配做父母吗？你们配做老师吗？

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-2 14:30 编辑 [/i]].

在超市里边学数学

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:49 编辑 [/i]].

我们不越俎代庖

[quote]原帖由 [i]小宝大宝老妈[/i] 于 2008-12-2 13:10 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4011735&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
三年级数学练习题
一、填空
1．60毫米＝(　　　 )厘米
2．2吨＝(　　　 )千克
3．8米＝(　　　 )分米
4．5000克＝(　　　 )千克
5．3千克＝(　　　 )克
6．7千米＝(　　　 )米
7．400厘米＝(　　　 )米
8． ... [/quote]

　　赞同ccpaging的建议。如果给孩子真正的生活机会，这些单位换算题，根本就不会成为问题。
　　另外，这位可爱的MM好像误解了本帖的意思。我们是在讨论如何让孩子觉得数学有意思，不是在交流如何练孩子。
　　这种题目，要出就让老师出去。别去招孩子讨厌！实在不放心，就让孩子出张考卷考你吧！你可以装傻出错，让孩子去发现，让孩子给你讲解。古人说：教学相长。教，是一种再好不过的学习方式。试试看！

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-2 15:03 编辑 [/i]].

看几位爸爸高手切磋，真是好帖。文理全才，真是难得。严重支持本帖！.

回复 218#小宝大宝老妈 的帖子

您说比如巧算有四种，哪四个，取经来了.

巧算是规律的总结，如果仅教给口诀，那么仍停留在术的层面。现在的课程太赶了，我们的老师来不及等待孩子去发现。
我们孩子是小一，数学上来教10的组成，这是没错的，但是用背的方式学10的组成那就不是数学了。幸运的是，我们在之前已经通过直观的方式建立了10的组成的概念，不幸的是目前我似乎无法放心放手让孩子只被老师教成夹心饭——题会做了，确没了探索下去的兴致。
那天和朋友聊天，谈到二年级开始教估算了，问孩子什么是估算，答不知道，老师就教了往整数靠就是了。那么为什么要在二年级就开始教估算呢？（ccpaging前面其实已有说过）怎么教估算呢？如果老师自己没想清楚，我不知道孩子怎么能清楚。

[[i] 本帖最后由 merry77 于 2008-12-2 15:54 编辑 [/i]].

想象中的放牧

[quote]原帖由 [i]merry77[/i] 于 2008-12-2 09:15 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4008893&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
昨天同事考我一道题，说是他LP出了帮儿子甄选数学教练的，他已经被排除在候选人范围之外了，颇不服气，拿来考我们。[em16]

一片草地，27头牛吃了6天吃完，草每天都在长哦；
23头牛吃了9天吃完；
问，21头牛吃几天吃完。
不许用代数，必须用算术做。[/quote]

　　还是先用代数做一下。后面会说明为什么要这样做。

　　设草地最初有x份草，这块草地每天能够长y份新草，21头牛吃这块还在不断长的草地需要z天。
　　依题意得如下方程组：
　　x+6y=6×27
　　x+9y=9×23
　　x+yz=21z
　　解方程组得：
　　x=72
　　y=15
　　z=12

　　最初我没有想到用什么算术方法去做，因为我会更好的方法，为什么不用呢？但是等我解完方程，我就找到了一种辅导小学生探讨这个题目的算术方法。我猜想，指导孩子用算术的方法算出这块草地每天长出几份新草，进而算出原来有几份草，难度不大。难的是，就算知道了这两个条件，如何让孩子用算术的方法求得z.
   
　　如果72+15z=21z,那么6z=72,因此，z=72÷6=12

　　也就是说，我得想办法，让孩子最终列出72÷6这个式子，求得答案。我该怎么办呢？我还没有试过。但我是这么设计的，各位觉得合适的话，可以在孩子身上试一试。如下是一场想象的快乐的亲子数学探究。

[color=Red][b]　　（1）这块草地每天长几份草？[/b][/color]
　　父：这个题目，你有办法解决吗？
　　子：太难了，不会做。
　　父：要是知道原来有几份草，每天会长几份草，这个题目就可以做了，是不是？
　　子：好象可以。
　　父：有没有办法求出这块草地每天长几份草呢？
　　子：没有办法。题目里没有说。
　　父：那么，题目里告诉你哪些已知条件？
　　子：一块草，要是27头牛来吃，可以吃6天；要是23头牛来吃，可以吃9天。
　　父：23头牛来吃，比27头来吃，可以多吃几天？
　　子：9-6=3，3天。
　　父：27头牛吃6天，总共吃了几份草？
　　子：27×6=162（份）。
　　父：23头牛吃9天，总共吃了几份草？
　　子：23×9=207（份）。
　　父：噫，奇怪了——同一块草地，怎么吃出了不一样的份数？
　　子：那是因为23头牛多吃了3天，这些多出的份数，是新长出的草。
　　父：这3天多长了几份草？
　　子：207-162=45（份）。
　　父：那么，这块草地平均每天长几份草？
　　子：45÷3=15（份）。
　　父：你刚才还说算不出来。你看，现在不是算出来了吗？（这句话很重要，一定要鼓励）
　　子：是啊，我还以为很难算呢！
　　父：对，不难。只要认真想了，就会找到解决办法。现在，你重新想一下，你是怎么解决这个问题的？（也很重要，不要急着做下去）

　　[color=Red][b]（2）这块草地原来有几份草？[/b][/color]
　　父：现在，你能够算出原来有几份草了吧？
　　子：能！
　　父：说说看，你怎么解决这个问题？（别让孩子急于列式计算，让他先说解决方案，即解题思路）
　　子：要知道原来有多少份草，就要知道总共吃掉多少份草，还要知道新长了多少份草。吃掉的总份数减去新长的份数，就是原来的份数。
　　父：这样想是对的。现在你就把这个想法列成算式，然后算出来吧。
　　子：（27×6）-（15×6）=162-90=72（份）
　　父：这样算是对的。可是，有没有更聪明的算法呢？
　　子：（27×6）-（15×6）=（27-15）×6=12×6=72（份）（这个算法，对后面的探讨有帮助）
　　父：还可以用别的算式求答案吗？
　　子：用23头牛9天吃完草，也可以算。（23×9）-（15×9）=（23-15）×9=8×9=72（份）
　　父：这等于是在验算了，对不对？
　　子：对。

　　[color=Red][b]（3）这块草地21头牛可以吃几天？[/b][/color]　　
　　父：草地原来有多少份草，每天会长几份草，你都知道了。现在可以算出这块草地让21头牛去吃可以吃几天吗？
　　子：可以了。
　　父：那你算算看。
　　子：我想了一下，还是算不出来。
　　父：不要着急。你会想出办法的！（鼓励和积极的暗示永远是重要的）老爸给你出个主意，要不要？
　　子：要的。
　　父：假定你就是牧场主，你有21头牛，找到一块草地。这块草地每天都会长出嫩草叶，请问：新长出来的嫩叶最好让谁吃？
　　子：让牛宝宝、牛妈妈吃。
　　父：对！还可以让牛爷爷、牛奶奶吃。你的牛当中宝宝、妈妈、爷爷、奶奶加起来恰好有15个，都让它们去嫩草叶，好不好？（关键所在，要是孩子能够想出来，那就是天才了）
　　子：好！这样牛宝宝和牛妈妈、牛爷爷、年奶奶每天都能吃嫩草叶了。
　　父：对啊，而且每天吃得不剩一点，是不是？
　　子：对呀，15份草刚好吃完。一天长15份，就吃掉15份。
　　父：那么，剩下的老草让谁吃？
　　子：让牛爸爸吃！（姥姥的，这个没良心、偏心眼的白眼狼！）
　　父：好吧。牛爸爸就吃原来的老草叶吧。有几份老草叶呢？
　　子：72份，刚刚算过了。
　　父：有几个牛爸爸呢？
　　子：21-15=6（个）。
　　父：那么，这些老草牛爸爸们可以吃几天？
　　子：72÷6=12（天）。
　　父：草都给牛爸爸吃掉了，牛宝宝、牛妈妈、牛爷爷、牛奶奶吃什么呀？
　　子：他们吃新长出来的嫩叶呀！每天先让牛宝宝、牛妈妈、牛爷爷、牛奶奶吃长出来的叶尖尖，吃好以后再让牛爸爸吃老叶子，不就可以了。（我倒，我们做老爸的就这么惨！）
　　父：那么，你说，这块草地你那21头牛可以吃几天。
　　子：12天。
　　父：你怎么算出来的？
　　子：假定让15头牛去吃每天长的新草叶，剩下的牛去吃老叶子，吃光了老草，新草也不长了，就吃完了。（重要的重复）
　　父：请你列算式，算出来。
　　子：72÷（21-5）=72÷6=12（天）
　　父：你验算一下，看一看，这个想法和算法对不对？
　　子：72+15×12=252，21×12=252，所以72+15×12=21×12。经过验算，我的想法是对的，也没有算错。
　　父：这个题目是不是有点难？
　　子：是。
　　父：这么难的题目，你也做出来了，是不是特别高兴啊？（重要的强化）
　　子：是很高兴。
　　父：等一下用这个题目去考一下妈妈，好不好？（重要的复习，MM最好装傻，让孩子来当小老师给MM讲解。MM可要耐心听讲哦，我讲解都那么繁，孩子会更加繁琐）
　　子：好啊！

　　[b]特别声明：如果这样启发，孩子也做不出，或跟不上思路，就不要为难孩子，也不要对孩子有消极的评价。因为它难度太大，本来就不适合让小学生做。只有在孩子感兴趣，能够理解的前提下，做一做，玩一玩，激发孩子的数学兴趣。这个题目到中学，最笨的学生都能够解。放心好了！
　　本人不打算现在（三年级）就在孩子身上试教这个题目。日子长着呢！[/b]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-2 17:44 编辑 [/i]].

份 ＝ 每头牛每天吃的草
画图可能也可以解决。

也觉得太难了。如果孩子掌握方程式，就简单多了。

我儿子这2天都还在画日历呢。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-2 17:39 编辑 [/i]].

回复 228#ccpaging 的帖子

　　二年级生做日历确实很合适，制作中也可以学到、用到、发现许多东西。其中必有许多有趣的故事，请兄台记录下来让大家分享学习！.

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:49 编辑 [/i]].

我曾经在小学板块开过一个颇具争议性的帖子，反对全民奥数。后来还写过一个休闲数学的帖子，适合中学生玩玩，也有一阵没有更新了。

中国小学生的数学学得太多了，到了高中反而又止步不前，在初等数学的圈子里不停打转。

进度太赶不是好事。一个人的成就，不在于他起步比别人早或者开始的时候走得比别人快，而在于他的路能不能越走越宽。把数学的乐趣还给孩子吧！.

[quote]原帖由 [i]yiyilaoba[/i] 于 2008-11-28 17:50 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3995134&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


美国给我留下深刻印象的，其中一个片断，是在一个高速公路的收费站。工作人员和我打招呼，脸上洋溢着那种发自内心的快乐。非常非常HAPPY的一张脸。就他的工作所需要的知识和技能，我想他一辈子都不需要刻苦。我发自内心的爱这张快乐的脸和他的快乐生活，但是，我不会选择过他那样的生活，尽管我深知那也是快乐的。

每个人有机会选择他/她想要过的生活，争取他/她想要的快乐，这是社会成熟和进步的一种表现。[/quote]

Life, liberty and the pursuit of happiness.

我在淘宝上订的<可怕的科学>没货了,晕死我了!.

回复 227#hxy007 的帖子

72÷（21-15）是正规的解法。
如果已经知道每天要新长15份草，用笨办法来做：
23头牛吃9天吃完了，那么21头牛吃9天，应该还剩 (23-21)x9=18份草没来得及吃；
第10天，有18+15（新长的）=33份草，21头牛吃一天，还剩12份；
第11天，有12+15 = 27份草，21头牛吃一天，还剩6份；
第12天，有6+15=21份草，21头牛吃一天，刚好吃完。
呵呵，幸好有21头牛来吃，如果只有15头牛，那就永远列不完了。[em07].

好贴[em01] 收藏起来慢慢学习。儿子今年也是三年级，我一直比较重视他的数学，觉得他对概念的理解还可以，但是计算能力相对偏弱，屡有低级错误。测验时很多题目都是程式化的，有时故意制造一个小陷阱，比如每次都会有一题把可以凑成1000的互补数相减，让孩子误以为可以相加。可孩子就是不长记性，我总是说他，人家挖个坑你就往里跳啊。不知道他是属于概念不清，还是训练太少。还请LZ多传授一些如何培养三年级男孩学习数学的经验。（我们没有在外面学习任何补习班，包括奥数。）另外，哪位MM在淘宝上买到了《可怕的科学》，烦请短我告知在哪家店买的，多谢多谢。.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-2 14:22 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4012595&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


　　谢谢两位老兄的鼓励和支持！我们就在这里交流，如果条件基本成熟，就出个小册子。出不成，也没有关系。关键是我们一起来交流，想法子让孩子保持对数学的兴趣。
　　粗粗看了一下前面的帖子，感觉除了我们三 ... [/quote]
太赞同了！虽然我自己的孩子才3岁，但在很久以前就已经下定决心，一定让孩子在愉快和兴趣中学习、成长。因为我自己偏科得一塌糊涂，强烈体会到学习积极性的作用。文科好就是因为自己有兴趣，不仅把学习当成享受，还主动阅读和大量积累，积极性高；而数学，虽然小的时候还是很好的，但因为初中那个数学老师和我爸联手打击了我的学习兴趣和积极性，从此深恶痛绝。高考时连及格线（90分）都没到，进大学还是靠文科拉分的。
因此，我深切同意你们几位的看法，并且十分感激你们这种分享的精神。虽然自己数学很不灵光，但是我会坚定支持你们的。

[[i] 本帖最后由 奶牛豆豆 于 2008-12-3 10:22 编辑 [/i]].

Enjoy life, working and learning, so we can be happy.

[quote]原帖由 [i]zhenai[/i] 于 2008-12-2 22:01 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4015766&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


Life, liberty and the pursuit of happiness [/quote]

　　就在刚才，我进办公楼之前，看见一位同事撞在了那堵宽敞明亮的玻璃门上。
　　夏天大门开口正对着大堂的中轴，最近改开最靠边的那扇门，以免冷风直接灌进室内。问题是大家习惯了走中门，现在开着的边门又没有明显的提示，心不在焉来上班的同事们接连撞中门。我们提醒门卫给点标示，人家指着玻璃门墙上那条淡淡的红线说：“有标志耶，是你们自己不小心，没有注意！”我说：“就是因为有人不留意，所以才要标志明显一些呀！”我建议他，正面可以贴上“欢迎上班，小心玻璃！”背面贴上“平安回家，小心玻璃！”诸如此类的提示，既实用，又温馨。人家讽刺我说：“哎呀，你来当领导就好了！”
　　遇到这种门卫，真是无话可说。我在想，要是让我当门卫，我就会主动想到贴这么温馨的提示。我还会想办法弄几盆花木，摆在不开的玻璃门前，让想撞门的同事都撞不着，也让我守卫的大门变得更加美丽而富有情趣。我还会向领导建议，在空空如也的大堂里，放上一些沙发或椅子，还有茶几，好让等待接见的访客有个歇脚的地方。现在他们在我面前焦急不安地晃来晃去，我多没面子啊！还烦我。另外，我会要求在门口放上几把公用的雨伞，再放上一块可以让各位员工脚底变得干净一些的地毯——我可不愿意让我可爱的大堂地面有许多温漉漉、脏兮兮的鞋印。我还愿意代同事们接收快送过来的邮件，免得有那么多不明身份的家伙在我把守的大楼里窜来窜去，留下安全隐患。我要让各位同事不仅仅把我看成是门卫，我要真正成为这座大楼不可缺少的一部分，成为全体同事可以信赖也常有依赖的员工。
　　我做这些，不是好表现，不是为了受到领导的表扬、同事的赞赏，也不是为了晋升、拿更多的奖金，而是为了让自己的工作变得更专业，更有成就感，更具尊严，更有意思。我不想让自己的工作仅仅变成谋生的手段，我还要在工作中享受工作的乐趣。这样，我就会有一张像那位美国加油站普通工人那样灿烂的笑脸——工作多美好！生活多美好！！如果有人以为，我的快乐和幸福是浅薄的，我的追求是卑微的，那我可不认同。我的工作固然没有多少科技含量，但我的工作充满人文关怀。不要以为不是技术活就不用动脑筋，你没有看见吗？——我的活干得多漂亮！那是因为我不但在用脑干活，而且在用心干活！我把在常人看来没有技术含量的活，干出了科技含量，还干出了人文情怀。我让我的工作变得一点都不比精英们的工作下流。我让同事、顾主开心、舒坦，我自己也因此开心、舒坦，我心里美着呢！
　　仅仅为谋生而工作，工作就是苦役。即便是为了某个外在的崇高目标而工作，亦复如此。君不见，那些说是为国争光的国家足球队官员把中国足球弄成了什么样子？君不见，那些为挣大钱而比赛的国足队员把足球踢成了什么样子？他们哪里像我们踢球啊？！他们被那些崇高或不崇高的外部动机，弄得紧张兮兮，了无乐趣。我们踢球的动机则如此地单纯，仅仅是为了享受踢球本身的快乐。虽然我们也想赢球，想方设法让本方进球，同时防止对方进球；但是，对方巧妙的过人、流畅的配合、精彩的射门，依然会赢得我们的掌声和喝彩。这个时候，输赢并不重要，重要是我们享受生活。
　　我时常陪孩子打乒乓。刚刚启蒙时，让孩子学会打乒乓、喜爱打乒乓，固然是我这个爸爸的责任。但我可没有仅仅把它当成责任和义务，我在琢磨如何当陪练，让孩子觉得我的水平和他差不多。他水平提高一点，我给出的球也提高一点难度。我在孩子面前做不到从心所欲，我就把这当成是学习，学习如何平衡胜负，让孩子有胜有负，每局双方的比分还差不多。很长时间以来，孩子都以为我的水平只比他高一点点，因此在想尽办法多赢我一些。我心里那个乐呀！
　　可是，我最近高兴不起来了。随着孩子水平上升，我真地和孩子旗鼓相当了。照理，我应该为此而骄傲。可是，孩子变得越来越计较胜负了。有时，为了让孩子看淡一点输赢，多享受一点打球本身的乐趣，我们夫妻俩会使出全身的解数教训这小子，让他尝尝输球的滋味。他不能正确对待，结果往往弄得不欢而散，乘兴而去，败兴而归。我一直在纳闷：是谁、是什么原因弄得我孩子享受不了打球的乐趣？有什么办法恢复孩子当年那种为学打乒乓而打乒乓的纯朴动机？
　　有一回，我们的邻桌有一对中年男子正在私下比赛。他们的乒乓水平相当高，也非常接近，比赛十分激烈。我和孩子停下来看他们比赛。两个鬓发都有些花白的男人像小孩，寸土不让，每球必争，非常计较。自己失误了，就会做出各种夸张的表情和动作，一幅痛苦不堪的模样。有趣的是，对方打出好球，也会大声地叫好，然后斗志更加昂扬……他们打球是一种享受，我们看得也入了迷。这两人比赛，无论谁输谁赢，都是没有奖品奖金奖状的。他们获得的唯一奖赏，就是这场酣畅淋漓的球赛本身，他们从中获得了无穷的乐趣，无论输赢。他们年届中年，还从家里跑出来，相约到这里打球，肯定是因为他们爱好这个，肯定是因为从小到大他们都觉得打乒乓是一件充满乐趣的事情。很难想象，如果他们当初学打乒乓的时候是为了有一技之长，为了升学时加分，或者为了成为国手，为家门荣耀，为国争光，总之，为了打球之外的某个结果，他们怎么可能现在还会来打球？在这样的动机支撑下，他们也许也能够刻苦训练一段时期，但是不大可能到了四十多岁还像小孩子一样，偷偷跑出家门，来过把打球的瘾。我就是这样理解这两个乒乓男人的，我不知道我的孩子是不是也从中明白了一些生活的道理。但我真地希望他这样——打球就是打球，打球时不要想那么多，只想享受其中的乐趣；学习就是学习，学习时不要想那么多学习的外部后果，在学习中只享受学习的乐趣。
　　可是，孩子入学之后，学习的动机逐渐被严重扭曲。在刻苦学习的恶劣学风中，诸如数学之类的知识是一种异己的力量，本身是枯燥乏味的，学习本身因而是辛苦的，是痛苦的。只不过因为学习可以带来好的结果，所以才要孩子们忍受苦难而刻苦学习。对于有类似学习观的家长和老师来说，激发和维持孩子的学习动机，就是用这种学习的外部结果，去诱导孩子从事学习。他们能够做到的最高明之处，不过是给一粒粒苦涩的知识药丸包裹上一层糖衣（近的如老师的表扬、小五星、小红旗，同学的赞美，以及父母的笑脸、各种各样的奖品，或者多看一会电视；远的如找到一份好工作，或者当大人物，娶美女、嫁金龟、挣大钱），哄着孩子们把它们吃下去，吃上9年、12年甚至更长的时间。在这种强化机制下成长起来的孩子，怎么会享受工作，享受生活？他们非但不能享受工作、生活，而且对所谓工作还有乐可享的观点嗤之以鼻。于是，他们只能像奴隶那样，刻苦学习一阵子，辛苦工作几十年，含辛茹苦生活一辈子。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-3 12:41 编辑 [/i]].

*** 该贴被屏蔽 ***

回复 238#samiaaron 的帖子

chh_longlong 后来在233楼说没货了。我刚才花了一上午的时间，也是到处打听，都没有全套的。淘宝上好多卖家都是当当或者卓越的代购，所以，基本上各家的情况都差不多。我问的几家，都是还有十几本，主要是另类新知这个系列，估计是卖剩下的。我比较下来，选了相对最多的一家，16本，先拿下再说。

[[i] 本帖最后由 tangtang0707 于 2008-12-3 12:24 编辑 [/i]].

*** 该贴被屏蔽 ***

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-9-22 20:29 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3563046&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
ccpaging 辅导孩子数学的方法表明此君深得数学之妙处，俺也试着用类似的方法辅导孩子。但我觉得这类方法在今天太奢侈，难以坚持，可行性很成问题。试以一例说明之（这是两年前的一篇育儿日记）。

　　儿子一年级学 ... [/quote]
这位，好简单的一道题，被你搞的这么复杂？难怪你孩子搞不清楚了。
完全没必要撤进3元方程式的，关键是教会孩子“巧解”此题，并且触类旁通，方法是越简单越明了越好的，这样孩子才会有兴趣。.

儿子，请不要崇拜我，你也可以做到的

删帖请给出理由 [url]http://weibo.com/ccpaging[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:49 编辑 [/i]].

例如，“明年的生日是星期几”，最简单也是最巧妙的，就是一句话：
365 / 7 = 52 .... 1

可是，如果你跟孩子把这个方程式一写，孩子是什么感觉呢？
1、BB很牛，我都不知道哪里开始做，你瞬间就搞定了。
2、很巧妙，很崇拜，我脑子笨想不出这么巧妙的办法。
3、下次碰到问题，我准备继续请教你好啦。
4、考试最好不要出这种题，因为我考试的时候，BB不在我身边。


首先是要教会孩子理解题目，看懂题目。
理解之后是思考从哪里着手解题。
然后是遇到类似的题目怎样解决。
教孩子的是方法、思路而不是就眼前这道题目的100种解法。
我还是坚持什么年纪做什么事情，也许你现在花10天教会他中学数学，等他上了中学会发现原来只需要几个小时就全都明白了。
还有一点就是用最简单实用的方法解题，没必要把简单题目复杂化。生活中很多事例告诉我们，最简单的往往也是最有效的方法，这不单单是灵感的问题，而是一种生活态度、生活方式的问题。为什么有的人永远都会有新的创意、想法，而有的人却永远缺少那一点？仅仅是灵感吗？我想真正缺少的是换一个角度思考吧。.

回复 242#ccpaging 的帖子

举个最近我遇到的事情：
我们领导给我们组出了个题，让两个复旦的研究生带头。结果是3天过去了，两个人忙得不亦乐乎，把大学物理和物化的书都搬出来为求一解。
结果我们组新来的一个小姑娘上网查到，在一个毫不相关的领域人家有现成的结果可以给我们用，只要再乘以一个系数就ok了，至于过程，领导不会关心，只要结果就可以了。当然，你可以说她投机取巧，不过最后是全组的人佩服的五体投地，我认为这是一种生活态度，是灵感的根源。.

[quote]原帖由 [i]葱妈妈[/i] 于 2008-12-3 14:38 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4020885&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
我还是坚持什么年纪做什么事情，也许你现在花10天教会他中学数学，等他上了中学会发现原来只需要几个小时就全都明白了。
[/quote]
:handshake 10级的时候打30级的怪，技巧很要紧；等练到30级的时候就很容易打了。.

[quote]原帖由 [i]葱妈妈[/i] 于 2008-12-3 14:50 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4020992&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
举个最近我遇到的事情：
我们领导给我们组出了个题，让两个复旦的研究生带头。结果是3天过去了，两个人忙得不亦乐乎，把大学物理和物化的书都搬出来为求一解。
结果我们组新来的一个小姑娘上网查到，在一个毫不相关 ... [/quote]
也可以说是这两个研究生还没有学会解决问题的方法。.

无招胜有招

删帖请给出理由 http://weibo.com/ccpaging

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-5-11 10:49 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]yiyilaoba[/i] 于 2008-12-3 15:13 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4021256&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

也可以说是这两个研究生还没有学会解决问题的方法。 [/quote]

小孩子要学会围绕问题来学习。这儿说的问题，是指problem，不是question。

小孩子常常会表现出来，或者说，“这样没有兴趣”；但实际上，他/她真正要表达的意思是“不会”或者“做不到”，还有就是他/她不明白“为什么要这样”。

用玩的方式，或者引诱、奖励、惩罚什么，其实是一回事，都是一种外在pull或者push的方式；好奇心和好学是小孩子的天性，发自内心的动机才可能产生持续的学习动力，而不论这个学习的过程是“快乐”还是“刻苦”。要小孩子发自内心想学，就要有让小孩子好奇的东西，这个东西，就是problem。

当小孩子能够发现problem，他/她就自然而然会关心如何去解决这些problem，他/她就会慢慢学会解决problem的各种各样的方法。

有的小孩子天生喜欢问问题，有的有问题但不喜欢问，也有的就是没什么问题，碰到小孩子没有问题，大人不妨多问问小孩子问题。

有了问题，才可能有知识和方法。

一个人学习数学的过程，其实就是一个浓缩的数学史。

课外/家庭辅导，有别于学校的教育，没有必要越俎代庖；真想辅导好小孩子的数学，我觉得BBMM自己把数学史学好就够了；至于那些各种各样回字有几种写法的题目，还是留给学校去做吧。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-3 15:20 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4021334&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


有感，转一段金大侠的著作。
================================================
......小昭上前几步，呈上张无忌从赵敏处取来的那柄木制假倚天剑。张三丰接在手里，笑道：“是木剑？老道这不是用来画符捏诀、 ... [/quote]
是的，学到这个阶段，悟性比勤学苦练更要紧了。不过，基本功还是要靠勤学苦练打扎实，这样到需要融会贯通的时候，才有东西来融来通。
贴主是数学系科班出生，能不能讲讲为什么从1数到9，然后10就要进位？.

[quote]原帖由 [i]merry77[/i] 于 2008-12-2 09:15 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4008893&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
昨天同事考我一道题，说是他LP出了帮儿子甄选数学教练的，他已经被排除在候选人范围之外了，颇不服气，拿来考我们。[em16]

一片草地，27头牛吃了6天吃完，草每天都在长哦；
23头牛吃了9天吃完；
问，21头牛吃几 ... [/quote]

会不会“他LP”心目中的正确答案是：
“我认为不应该在孩子学方程式之前，教授这道题目！”.

脚丫王国

[quote]原帖由 [i]yiyilaoba[/i] 于 2008-12-3 15:52 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4021650&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

是的，学到这个阶段，悟性比勤学苦练更要紧了。不过，基本功还是要靠勤学苦练打扎实，这样到需要融会贯通的时候，才有东西来融来通。
贴主是数学系科班出生，能不能讲讲为什么从1数到9，然后10就要进位？ [/quote]

转我原来写的一篇BLOG，请BBMM们点评：
脚丫王国

儿子生病了，扁桃体化脓，又是一个漫长的挂盐水的过程。

父：今天我们讲一个脚丫王国的故事。有一天、、、

子：老花头，什么故事都是从有一天开始，又是拿我讲故事吧？

父：嗯，（继续讲故事）Alex来到了脚丫王国，在这个王国里边有个很奇怪的现象，脚丫王国的人不像我们用手指头计数，而是用脚丫。所以，他们数数的时候，是这样的，（数儿子的脚丫），1、2、3、4、5、6、7、10。

子：爸爸，脚丫王国的人都不穿皮鞋的吧？

父：嗯，是这样，那里很热。

子：（重数了一遍）爸爸，他们有0，有10吗？

父：是的，有10，就是没有8和9、、、

(于是我们开始了脚丫王国的游戏。先是Alex买东西，然后是Alex卖东西。经过不断的数数，换算，再数数，儿子突然发现，所有的换算都是8的乘法和除法，很高兴。)

子：爸爸，是不是我们去脚丫王国卖东西，很赚钱。脚丫王国的人买10个苹果，我们只要给他8个就可以啦。

父：也许吧，这个问题咱们只能放这了，下次还有脚丫王国2，那时候我们再研究这个问题。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
后记：
给小朋友2个概念，10进制不是凭空想来的，而是跟10根手指有关系。世界上不光有十进制，还有8进制。

一直想讲脚丫王国2，可惜自那以后，孩子虽然也吊过盐水，我这个BB却因种种原因，没有陪他，遗憾中、、、

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:26 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-3 16:00 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4021739&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


转我原来写的一篇BLOG，请BBMM们点评：
脚丫王国

儿子生病了，扁桃体化脓，又是一个漫长的挂盐水的过程。

父：今天我们讲一个脚丫王国的故事。有一天、、、

子：老花头，什么故事都是从有一天开始，又 ... [/quote]
很生动，学习了，谢谢。
继续提问  :) ：那为什么要有进位，不好一直数下去吗？所有的数都是一位数，那多简单啊。.

儿子的一阳指

[quote]原帖由 [i]yiyilaoba[/i] 于 2008-12-3 16:35 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4022088&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

很生动，学习了，谢谢。
继续提问  :) ：那为什么要有进位，不好一直数下去吗？所有的数都是一位数，那多简单啊。 [/quote]

儿子四五岁的时候，有一次，我跟他在卫生间里边给他吹头发，顺口问了一句：
“5加6等于几？”

那时，孩子刚学了数数，加法口诀没学，只能数手指头。我没有打算儿子能做出来，就等着孩子发现数到10以后，手指头不够用的时候来问，同时我还自作聪明地准备了一些说辞。

儿子开始数起了手指，嘴里念叨：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10

到这里，儿子毫不犹豫的在大拇指边上虚点了一下，同时喊了一声：
11

我立刻大喊孩子他妈妈：“你看看儿子怎么算10以上的数的？”儿子重新数了一遍，笑的他妈妈脸上能开出一朵花来。

结果，我精心准备的说辞一点也没用上。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
回到yiyilaoba的问题，我认为进位是从有了商品交换开始的，那时候鞋子已经很普遍了（否则可能是二十进制了），一开始人们手里只有10件以下的物品交换，到了10以上，大家就说：“我有很多苹果，但是我一次只能跟你交换10件。”后来，物品丰富了，10件以上的物品也不算什么大宗交易了，在点数的时候，人们额外带上几粒米、几粒黄豆、一根绳子（结绳记事）或者几粒平时用不上的石子等，数到一个10，便从口袋里边拿出个小石子放在手里，这样进位就发生了。数完苹果，大家就说，“现在有几十（石）几个苹果”。

所以，我们现在列竖式的时候，需要在进位的地方打个小点，那就是小石子。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
另，严重同意老兄关于数学史的看法，个人认为：学习一门学科而不学史，那就等于白学。哲学有哲学史，文学有文学史，其实数学、物理、化学都有史，史就是人类认识事物的过程，跟一个人从懵懂无知发展起来的过程是类似的。

更加严重的建议，老师一定要学史。普遍的想法，老师严格按照教科书来教授知识，可是孩子们的疑问、现实中的问题却没有教科书那样严格的界限，那么老师依照什么来决定，这个问题要延伸讨论，那个问题留待以后学习呢？教科书几乎每学期都在变，难道那些编教科书的人都是神人？他们凭什么认为这个问题，例如估算，很重要，要从小学二年级就开始学习呢？其实回答很简单，如yiyilaoba所说，就是以史为鉴，决定数学教科书内容的标准就是数学发展史。

令人遗憾的是，即使是数学系也没有数学史的课程。有教授哲学，却没有教授哲学史。就更谈不上从史的角度研究数学与哲学的关系。

所以，我们不能从所教授的课程中直接请教到数学的脉络，聪明的学生可以悟到，而其余的，就只剩下做题了。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:28 编辑 [/i]].

检讨书

[quote]原帖由 [i]葱妈妈[/i] 于 2008-12-3 12:40 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4019487&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

这位，好简单的一道题，被你搞的这么复杂？难怪你孩子搞不清楚了。
完全没必要撤进3元方程式的，关键是教会孩子“巧解”此题，并且触类旁通，方法是越简单越明了越好的，这样孩子才会有兴趣。 [/quote]

　　由于我没有认真学习马列主义毛泽东思想邓小平理论“三个代表”学说科学发展观，特别是没有认真学习可持续发展观和儿童发展心理学，不尊重儿童学习和成长的规律，在孩子小学一年级时就让他做三元一次方程题。我不但让自己的孩子做，还贴出来煽动别人让自己的宝宝也免为其难去做这样的难题。
　　经葱妈妈批评教育，我深刻地认识到了自己错误和罪过。我这是揠苗助长，增加孩子的学习负担，挫伤孩子的学习兴趣和学习自信心。我不是在帮孩子，而是在害孩子。不但害自己的孩子，也害别人家的孩子。我罪大恶极，我罪不可恕……我……
　　经过一天的认真反省，我发现犯这个错误，除了学习不够之外，还有其它因素在作怪，特作自我剖析，供葱妈继续深入批判。
　　第一，我死要面子，把自己的面子看得比孩子的身心健康还重要。我的孩子做得出，别人的孩子做不出，我就特别自豪；孩子能够做出中学生的题目，我就特别得意。反之，别人孩子做得出，我的孩子做不出，我就觉得自己面上无光，我就抓狂，用十倍八倍的题量狂练孩子，直到他对这个问题精熟为止。否则，我决不放过他。
　　第二，我痛恨轻松和快乐，我见不得孩子自由玩耍，自由学习，我不能容忍孩子只有45分钟的课外作业。孩子一觉得学习轻松，我就紧张；孩子一说学习很快乐，我就痛苦。我的成功就在于我刻苦学习，大练特练，所以，我希望孩子发挥光大我一不苦二不怕残头悬梁锥刺股的精神，刻苦学习，废寝忘食。我痛恨每天只有24小时，最可恨的是还让我孩子睡掉10小时。我每天都在祈祷，请求上天每天至少多给我孩子1小时，让我的孩子成为超人，不休息、不游戏，每天25小时都在做作业。
　　第三，我自以为是，自高自大，以为老师教得太简单了，教得太慢了，教得太少了。我才不相信“罗马不是一天建成的”，我也不相信“孩子不是一天奶大的”，我更相信毛主席所说的“一万年太久，只争朝夕”，我也相信巴班斯基的高速度、高难度、高密度教学，我还相信布鲁纳说的“任何学科都可以用智力上诚实的方式教给任何年龄阶段的任何儿童”这种牛话。只有坚持这样的教育信念，才能够多出、快出愚才（对不起我打错了，好像还擦不掉，应该是“人才”，特此声明）。
　　第四，我对自己的未来缺乏信心，担心孩子将来不能成为竞争中的优胜者，进而连累我和我老婆。我非常非常害怕这个冤家一直把我们烦到死。与其将来让他烦死，不如我现在就烦死他。要是烦不死他，他就会成才，我的晚年就有了依靠，就有了保障，到时我就可以参加啃小族。
　　第五，我虽然是个平民，但我骨子里看不起平民，我不愿意孩子成为一名快乐的普通劳动者，我只希望我的孩子成为精英，成为大人物，成为霸主，有权有势，至少有钱。为了将来可以胡作非为，他现在必须吃这份苦。
　　第六，我……（你们说吧，我还有什么不良心态？）
　　我越想越觉得自己变态，是一个十足的虐待狂。我没有人性，不讲人道，我把孩子当动物来训练，甚至把孩子当容器去灌输。我违反了《儿童权利公约》，触犯了《未成年人保护法》。就算不坐牢，也要受鞭刑，或者自打耳光。
　　我决心痛改前非，重新做人，拾回我丧失的人性。
　　我决心去看心理医生，矫治我的虐待倾向，医治我的病态人格。
　　我决心重新做BB，还孩子一个快乐的童年，让孩子的学习变得有趣而快乐。
　　我决心——我想不出来了。请葱妈妈看我的实际行动吧——一个浴火重生的BB将出现孩子面前！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　检讨人：HXY007
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2008年12月3日

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-4 11:51 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-3 16:53 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4022243&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


儿子四五岁的时候，有一次，我跟他在卫生间里边给他吹头发，顺口问了一句：
“5加6等于几？”

那时，孩子刚学了数数，加法口诀没学，只能数手指头。我没有打算儿子能做出来，就等着孩子发现数到10以后，手指 ... [/quote]

嗯，有道理，当数数，需要数到一个很大的数时，如果还是一位数，那就需要记住更多符号来表示这个数，那样子就不如用数位来表示简单了。

说到进制，偶和小女讲过苏美尔人是如何数数的，和大家分享下。

苏美尔人可能是最早的文明人，他们生活在现在的伊拉克附近；他们采用12进制。他们和我们一样，也是2只手，10根手指，那为什么会用麻烦的12进制呢？其实，12进制一点不麻烦，伸出手（左手右手都可以，一只就够了），用大拇指点数其他四根指头的指节，从小手指开始，从下往上，1，2，3，然后是无名指，4，5，6，中指，7，8，9，食指，10，11，12。

苏美尔人是不是很聪明？用一只手就可以很方便的数数，还能数到12。可惜，苏美尔人后来被野蛮人灭种了，但是，苏美尔的12进制还是对我们现在的生活留下了影响，一年有12个月，一天是2个12小时，古巴比伦人的60进制也是受了苏美人的影响。.

前人走过的路，走还是不走？　回复 253#ccpaging 的帖子

　　我读过一点科学史的书。据说牛顿为了解决一些物理学难题，使用了许多初等代数的方法巧妙加以解决，并且由此发展出导数和积分等数学理论。现在，我们学习物理学，好像不用再像牛顿那样用初等数学去解题。直接用导数和积分，不是更简捷吗？但是，当我们想知其所以然的时候，还得重走一遍先驱们走过的路。走过这条路的人，才有希望窥见科学和数学的神韵。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-3 16:53 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4022243&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
更加严重的建议，老师一定要学史。[/quote]
:handshake 对学科历史的掌握，专业和业余的一大区别。现在也是在补课中。.

回复 251#ccpaging 的帖子

　　真是遗憾！这个帖子迟开了整整六七年，否则当年给我的孩子的数学启蒙，就会是另外一番景象。由衷地说：我要学习！.

寻找一部数学卡通片

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-9-22 21:50 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3563648&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


丁字不带勾，两边挂灯笼，三天不吃饭，饿的圆圈转，买了三颗烟，化了三毛三......（后边的忘了）

一个老公公，欠我两颗蛋，他说三天还，四天还不还。把他关起来，加上两把锁￥%#……后面的不记得了，好象是给 ... [/quote]

　　我看到的最有趣的数学，是一部叙述唐老鸭漫游数学王国的卡通片。里面涉及数学发展史上许多有趣的故事，包括比达哥拉斯的学园，黄金分割原理的由来，竖琴发明的数学原理，等等。
　　我是高中在学校操场看露天电影时看到的，记得是在正片之前播映的，有非常可爱的汉语配音（忘了是不是李扬的声音）。我看得如痴如醉，一直想找到它，给孩子看。
　　去年，终于找到了一个版本。可惜的是，配音不行，而且和英语混在一起，效果很差。谁有汉语效果好的？讲告诉我。十分感谢！[tt7]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-3 18:41 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-3 18:37 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4022757&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


　　我看到的最有趣的数学，是一部叙述唐老鸭漫游数学王国的卡通片。里面涉及数学发展史上许多有趣的故事，包括比达哥拉斯的学园，黄金分割原理的由来，竖琴发明的数学原理，等等。
　　我是高中在学校操场看露 ... [/quote]

装电驴emule，里边有个搜索功能，搜索关键字：
Donald in Mathmagic Land

我找到一个700M的版本，中文配音不知道有没有，不行就看字幕啦。.

回复 260#ccpaging 的帖子

[em01] [em08].

[tt8] [tt8] [tt8] [tt8]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-3 20:53 编辑 [/i]].

《古今数学思想》——共四册。
《高观点下的初等数学》——三卷本。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-3 15:58 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4021716&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


会不会“他LP”心目中的正确答案是：
“我认为不应该在孩子学方程式之前，教授这道题目！” [/quote]

遗憾的是他LP真的在考核儿子未来的奥数教练呢，我只能搬出儿子小学老师的话来告诉他，对大部分孩子来说三年级之前都不适合学奥数的，希望能给她降降温，但愿这只是她夫人初为人母时的亢奋状态。.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-9-23 17:25 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3571540&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


唉，要是从时间、效率、考试的角度出发，是不必这样教的。这就是今天老师和家长的普遍想法。这种想法，其境界远不如三十多年前一个山村民办老师，当年他发现我这样做题目时，给我的是无限的赞叹、发现稀世天才般 ... [/quote]

我大学时就遇到这样的一位老师。我没完成所有问题，可是其中一道，我用超出老师要求的方法解释，老师就因此给了我１００分。

我是从小就用懒妈方法教孩子：儿子问我数学问题时，如果我延迟回答，很多时候他会自己想出方法。想惯了，就喜欢自己想。不过这是喜欢抽象思考的大儿子。

动手才想得好的二儿子，我通常利用道具来引导他想。有东西在手，他很快就明白。虽然他抽象思考没哥哥强，可是对空间的摆布，他往往会让我有意外惊喜。

不同孩子，应有不同期待，不同的引导方式，不过都应该给他们足够时间摸索。练习是必要的，自己摸索也很重要。找个平衡点，没有冲突。.

我自己的数学不好，所以我把希望寄托给学校，但是现在发现，原来数学老师，他们的希望却寄托在我们家长身上。无奈！.

[quote]原帖由 [i]sunbaby020123[/i] 于 2008-9-23 23:02 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3573386&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
惭愧啊，我是学文科的，学校里数学学得最差，可以说看到数字就头晕[tt3]
LG却是理科高手，从事金融行业，也可算行业高手，本以为儿子的数学就可由他包办，他也摩拳擦掌、跃跃欲试，可是看他教过儿子几次后，发现他 ... [/quote]
怎么跟偶一样，我们更惨的是本来女儿数学尤其思维方面挺好，老师认为简直是天才。可是偶辅导不了， LG讲了一次题，方法不当，使她彻底不喜欢数学了。天才就这样被扼杀了。。[tt5] [tt5].

幸运与不幸

[quote]原帖由 [i]sask[/i] 于 2008-12-4 01:57 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4024453&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


我大学时就遇到这样的一位老师。我没完成所有问题，可是其中一道，我用超出老师要求的方法解释，老师就因此给了我１００分。

我是从小就用懒妈方法教孩子：儿子问我数学问题时，如果我延迟回答，很多时候他会 ... [/quote]

　　这位MM真幸运——
　　幸运的是，你在大学遇着了大师级的老师；
　　幸运的是，你有两个孩子，而且各有所长。
　　你的俩孩子更幸运——
　　幸运的是，他们哥儿俩各具特点，自小就有机会体验到人和人有不同之处；
　　最幸运的是，他们有一个了解并欣赏他们的聪慧MM，懂得用不同的方法养育他们。

　　有的人就不那么幸运了——
　　他们自小刻苦学习；
　　偏偏又遇着欣赏刻苦学习的父母和老师；
　　临到自己有了孩子，又在误导孩子刻苦学习；
　　这样的家庭大概要世世代代刻苦学习下去。

　　看来，托尔斯泰说得不对，应该反过来说——
　　不幸的家庭都是一样的，
　　幸福的家庭各有各的不同。.

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-12-3 20:40 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4023436&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
《古今数学思想》——共四册。
《高观点下的初等数学》——三卷本。 [/quote]
好书，谢谢推荐.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-3 18:37 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4022757&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
　　我看到的最有趣的数学，是一部叙述唐老鸭漫游数学王国的卡通片。里面涉及数学发展史上许多有趣的故事，包括比达哥拉斯的学园，黄金分割原理的由来，竖琴发明的数学原理，等等。
　　我是高中在学校操场看露天电影时看到的，记得是在正片之前播映的，有非常可爱的汉语配音（忘了是不是李扬的声音）。我看得如痴如醉，一直想找到它，给孩子看。
[/quote]
:handshake 前辈啊，偶看的时候刚上小学，毕达哥拉斯的五角星和黄金分割那段印象最深。.

唐老鸭漫游数学王国

[quote]原帖由 [i]yiyilaoba[/i] 于 2008-12-4 09:34 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4025263&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

:handshake 前辈啊，偶看的时候刚上小学，毕达哥拉斯的五角星和黄金分割那段印象最深。 [/quote]
　　俺心里还在犯嘀咕呢，担心让孩子看这部卡通片有点早啦。既然老兄刚上小学就能够看出味道，俺就多虑了。马上行动，找到汉语效果好的《唐老鸭漫游数学王国（Donald in Mathmagic Land）》，让孩子看一看。
    ccpaging有个版本，能不能烦请发一个给俺？如果合用的话，俺就不用烦心孩子的生日礼物了。到时，俺就让他和他的同伴看这部卡通片，乐死他们去。
　　也要感谢火车是运茶的，给我推荐如此专业的书！
　　另外，《可怕的科学》丛书中有一个系列叫“经典数学”，其中也有许多数学方面有趣的常识、史实、轶事。虽是为少儿写的，对我们这些非专业出身的BBMM也是非常不错的读物。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-12 14:44 编辑 [/i]].

报名当奥数教练

[quote]原帖由 [i]merry77[/i] 于 2008-12-3 22:56 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4024228&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


遗憾的是他LP真的在考核儿子未来的奥数教练呢，我只能搬出儿子小学老师的话来告诉他，对大部分孩子来说三年级之前都不适合学奥数的，希望能给她降降温，但愿这只是她夫人初为人母时的亢奋状态。 [/quote]
　　唉，现在金融海啸着，不知什么时候就下岗了。俺先来报个名吧！请转告贵同事以及他那位牛LP，她出的题俺做出来了，而且是用牛宝宝、牛妈妈吃嫩草的办法做出来的。问一问：几年之后，可以来给她的牛宝宝当奥数教练吗？[em16]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2009-9-12 14:46 编辑 [/i]].

话不多却一针见血

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-12-2 20:23 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4015198&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
中国小学生的数学学得太多了，到了高中反而又止步不前，在初等数学的圈子里不停打转。

进度太赶不是好事。一个人的成就，不在于他起步比别人早或者开始的时候走得比别人快，而在于他的路能不能越走越宽。把数学的乐趣还给孩子吧！[/quote]
深刻，精辟！强烈赞同！！强烈支持！！！.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-4 11:47 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4027131&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

　　俺心里还在犯嘀咕呢，担心让孩子看这部卡通片有点早啦。既然老兄刚上小学就能够看出味道，俺就多虑了。马上行动，找到汉语效果好的《唐老鸭漫游数学王国（Donald in Mathmagic Land）》，让孩子看一看。
     ... [/quote]

700M的版本下载进度为0，200M的有一个在下载中。
《古今数学思想》4册下载完了，学习中。.

我们反对的其实是题海战术

关于奥数班的问题，我们是不是可以从另一个角度考虑。

现在基本上我们有一点共识，那就是：如果把孩子送到奥数班，这个奥数班仍然是采用跟学校类似的题海战术来教学的话，那么这个奥数班上的就没有意义，反而有害。

就这个观点来看，我们反对的其实是题海战术。如果有一个奥数班上，老师使用的教学方法能够与我们对数学的认识，经验是吻合的，那么这个奥数班其实还是值得上的。

儿子明年三年级，还有近一年的时间，准备亲自出马，找找我理想中的这个奥数老师。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:29 编辑 [/i]].

竞争时代的另类优胜法

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-4 12:28 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4027628&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
关于奥数班的问题，我们是不是可以从另一个角度考虑。

现在基本上我们有一点共识，那就是：如果把孩子送到奥数班，这个奥数班仍然是采用跟学校类似的题海战术来教学的话，那么这个奥数班上的就没有意义，反而有害 ... [/quote]

　　兄弟我另有一番打算。
　　我不会让我的孩子专门去奥数，我也不会专门去教自己孩子奥数。
　　但是，我特想教别人家的孩子学奥数，我恨不得教所有孩子奥数（我家的除外）。
　　我会根据各位家长和老师的想法，让孩子们（别人家的）做特别难的数学题（就像前提到那些三元一次方程三元二次方案之类的），越是难我越逼着他们做。他们不会做，我就让他们反复练习，直到可以记住、背住那些巧算的方法。一天让他们做几十题，直到练至精熟，直到练至呕吐。让这些孩子听到数学，就头晕，就头痛；让他们怕数学，恨数学；最后，让他们失去学习的兴趣，丧失做人的信心。
　　[em16] 这样一来，我的孩子就不战而胜了。[em14].

寻找疯狂热爱数学的数学老师

原来带孩子去上英语补习班之前，也有类似的顾虑。因为以我们过去学习英语的经验而言，按照传统的学习英语方法效果很不好。后来跟补习班的老师交流以后，老师提出一个问题：
“你会让孩子一直补习英语吗？补习到什么时候就不上了？”

当时，好几个家长包括我自己的回答是，“看孩子兴趣。如果上补习班的效果是使孩子厌恶英语了，那我就不会让孩子上这个补习班了。”

到今年，已经上了2年多英语补习班了。期间去听过几次公开课，给我的感觉，他们不是上英语课，更像是体育课，即使是冬天，2节课下来，老师或者学生都是一头汗。上课的方式和内容符合我原来预设的几个基本条件：
1、No Chinese
2、孩子说英语的时间 大于 老师说英语的时间
3、不分析语法、不背单词。
4、通过大量的听说读写练习，使孩子能正确的组句、用词。

可是，上个月突然换了一个老师，而这个老师的第一堂课就是公开课。我坐在里边，发现这个老师的教学方法完全不同，我感觉回到了从前，老师在上面讲英语，我在下面神游天外。一到课间休息，家长们就炸开了锅，可怜那老师，被家长们一顿狂批啊。2节课下来，又是2－3个家长留下来继续狂批。

在换老师前有家长提出：
补习班的学习跟学校的方式完全不同，担心孩子不能适应学校的教学方法。
不背单词，词汇量不够。
老师说的少，工作太轻松。
不分析语法，考试能不能考的好。
还有家长提出这个补习班没有针对英语考级，上了2－3年，别人都是几级过关，咱们这行不行啊，看不到效果嘛。

会不会是学校有意为之，家长们既然有这么多意见，学校要辩解也很难，那咱们就索性按传统的方式上一堂课试试，给家长们看看。在跟学校沟通了以后，学校告诉我，他们办学的方针并没有变，这个老师新来的，对这个学校的要求、家长的要求、学生的要求都不熟悉，沿用的是学校里边教初中学生的方法。说到这，我心里想：”难怪我觉得像是回到了从前？”最后，我还是妥协了，答应再试试。

于是儿子又继续开始上课了，第一次，儿子回来告诉我：”上次那个老师人没换，现在上英语比较好玩了。“，第二次，儿子回来告诉我：”这个老师比原来的老师还要疯！“。昨天我的老师打电话到我家里，儿子接的，儿子跟我老师说：”我感觉我的英语比数学更好。“

其实奥数还是那个奥数，我们需要的是一个疯狂的老师，他热爱数学，热爱孩子，热爱教学。一个老师有了这三个”热爱“，即使开始不好，以后总还是可以改变的。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:29 编辑 [/i]].

死做数学的结果

[quote]原帖由 [i]merry77[/i] 于 2008-12-3 09:13 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4016794&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
72÷（21-15）是正规的解法。
呵呵，幸好有21头牛来吃，如果只有15头牛，那就永远列不完了[/quote]

　　您多虑了！像今天这样的天气，草就不会长了。那草地，赶一头牛去吃，也是能够吃掉的。.

寻找疯狂奥数老师　回复 277#ccpaging 的帖子

　　请兄台告知你家公子在哪里上的这个疯狂的英语班（悄悄地告诉我，别让别人也知道了），我准备让我家孩子也去体会一把，顺便认识你这位牛爸爸。
　　如果你找到了“三热爱”的疯狂奥数教练，也请通知我一声，这种疯狂机会我可不愿意错过。孩子不去，我去上。我的标准甚至可以放低一些，这位老师只要能够enjoy childishness, enjoy math, and enjoy teaching（简称“三享受”，3E），我就去听他上课。.

学奥数和不学奥数的区别

　　我家小子最要好的同伴二年级开始上奥数班。第一次学习归来，出一道题就把我儿子考倒了。人家的题目是：

　　9+99+999=？

　　因为是在出去玩的路上，没有纸笔，只能心算。我儿子憋了半天，没有算出。人家告诉儿子，可以这样算：

　　9+99+999=10+100+100-3=1110-3=1107

　　是挺聪明的算法！儿子听懂了，也给对方出了一题：

　　11+101+1001=？

　　这难不倒学过奥数的小朋友，人家脱口而出：

　　11+101+1001=1110+3=1113

　　我觉得自己的孩子不谦虚，立即制止了这种比赛，还是让小朋友考儿子。人家的下一题是：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？

　　“55耶！”这一回是我儿子脱口而出。
　　“你是怎么算的？”小朋友颇为惊讶。
　　“9+1=10，8+2=10……还有一个10，一个5，加起来不就是55？”这个法子是儿子在统计三角形时想出来的，所以儿子不怵。
　　“你的算法不对。我们老师说，10+1=11，9+2=11……总共有5个11，加起来是55.”小朋友说。
　　我对他们说：这两种方法都可以。心里想法是：人家的方法更正规，儿子有点野路子。
　　为了将快乐算术进行下去，我给他们出了一道题：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=？

　　两人心算了许久。小朋友最后放弃了，儿子则给出了正确答案：210.这有些出乎意外。我不明白，小朋友不会（20+1）*10=210，怎么儿子就会？仔细一听，儿子还在继续走“野路子”呢！
　　他的解法是：1加到10是55，11加到20是155，加起来就是210.
　　我问：你怎么肯定11加到20等于155？
　　儿子说：从每个数里拿出10来，就又有了一个从1加到10，这是55，拿出的10个10是100，加起来不就是155吗？
　　哈，聪明！不简单！！又简单！！！连他的小朋友也听懂了。在还没有学九九乘法表之外的乘法之前，好像这个法子是孩子们可以接受的。（20+1）*10=210就留着以后学吧，中学会学到数列的。一般的孩子不是高斯，能想出这种办法已属难得，就不要以高要求为难孩子了。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-4 17:08 编辑 [/i]].

回复 280#hxy007 的帖子

呵呵，自发探索出来的和灌输进来的，就是不一样哦。[em03]

你儿子算210的方法很高明的，小小年纪就能独立发现未知与已知之间的关系，了不起！ [em06] 跟你平时的悉心培养也肯定有关系的。[em06].

用刀把筷子切成一样齐

长短不一的筷子，从1厘米到10厘米的每样一根，怎么计算总长度？

脑子里边找把刀，中间来上一刀，把他们都削成一样长度，就可以容易地用乘法计算了。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:30 编辑 [/i]].

回复 281#火车是运茶的 的帖子

或者说，他已经能够：

1、把大的算式拆做两个小的算式；
2、把小的算式当作整体来处理；
3、发现这两个小算式之间的关系。

真的不简单！[em06].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-4 16:49 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4030792&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
　　我家小子最要好的同伴二年级开始上奥数班。第一次学习归来，出一道题就把我儿子考倒了。人家的题目是：

　　9+99+999=？

　　因为是在出去玩的路上，没有纸笔，只能心算。我儿子憋了半天，没有算出。人家告 ... [/quote]

不简单，赞LZ儿子一个。换偶就只会教:lol ：

{
sum = 0;
for (i=1; i<=20; i++)
  sum +=i;
}.

回复 280#hxy007 的帖子

才发现这个好帖！:victory:

你家儿子可以算个小小天才了:lol

幸亏我没教孩子数学，他自己混到了初中，不然肯定被我折磨死或教坏脑子了。庆幸:D.

回复 254#hxy007 的帖子

请允许俺转载并盗版之！:handshake :lol.

回复 263#火车是运茶的 的帖子

《古今数学思想》，拿掉哪些数学公式，我也读得两眼发黑呀:L.

回复 205#hxy007 的帖子

《可怕》，值得买上几套分送亲朋好友的孩子，比什么玩具都有意思。:handshake.

回复 215#merry77 的帖子

嘿嘿，牛吃草，四，五年级的奥数题，有公式的[em16].

回复 180#yiyilaoba 的帖子

孩子上课，做题，但不问为什么，的确是个大大的问题。
所以，儿子每次提问题，我都暗暗叫喜，立马跟他讨论。.

野路子的局限性　回复 283#火车是运茶的 的帖子

　　还真是这样！我以前没有这样深刻理解孩子的思维特点，谢谢你的指点！
　　前面其实还有一个我没有说的细节，也能够说明儿子是这样偷懒的。我以为他也会认同小朋友说的算法：11+101+1001=1110+3=1113。谁知，他说：这还不是最聪明的办法。
　　他所谓的聪明办法是：11+101+1001=1107+6=1113。
　　问他为什么要这样算。他说：前面刚刚算过9+99+999=1107，我再加上6，不就行了！
　　我倒，他能偷懒就偷赖，根本不把正规的数学解法和要求放在眼里。所以，我说他是野路子。

　　以前一个帖子也提到过，在统计三角形时，他先找到了1+2+3+4+5+6+7+8+9=45的法子，再让他算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？人家就不用刚刚找到的办法，干脆得很：45+10=55.

　　当我让他算1加到100等于多少时，他还经验主义，算出有10个1加到10（550），还有一个100，一个200，一个300……一个900，从100加到900是100个1加到9（4500），加以来是5050.　那个繁琐啊！连他自己都不满意了。
　　我建议他：用100+1=101，99+2=101这种法子计算，可以利用乘法。人家不全听你的，说这样很难看。他的算法是：99+1=100，98+2=100，……一共加出49个100（4900），还有一个100，一个50，加起来就是5050.　这种解法比我建议的解法，劳动强度确实弱一些。你看——为了偷上一点点懒，他就是不愿意接受自然数列加和计算的最正规方法。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-4 18:08 编辑 [/i]].

回复 187#ccpaging 的帖子

“大妈称量法”可运用在许多场合.

回复 99#ccpaging 的帖子

中学的数学也跟我们当初学的不太一样了，特别是解题的要求方面（可能是根据中考规则吧），所以，对孩子的功课，撒手不管是最稳妥的方法，免得添乱。.

回复 291#hxy007 的帖子

世界是懒人推动前进的[em16].

分不完的桃子

帖子换位置了，一顿找。俗一把，为了置顶，翻点老底子。

分不完的桃子

8月 23rd, 2008 11:42 上午 父与子 1 comment

父：今天我们讲一个分桃子的故事

子：哦（一脸不屑，桃子谁不会分啊）

父：有一天，妈妈给了Alex一个桃子，Alex说：“妈妈，我今天只吃半个桃子，剩下半个我明天吃，好吗？”，于是，妈妈用刀切了半个桃子给Alex，Alex很开心地吃完了那半个桃子。

子：还剩下半个，妈妈放在冰箱里边了

父：是的。到了第二天，Alex放学回家了，妈妈从冰箱里边拿出了半个桃子给Alex。

子：爸爸，我想你肯定不会说：“Alex把桃子都吃了吧？那样的话，就太没劲了”

父：Alex对妈妈说：“妈妈，你把这半个桃子再分一半吧，我吃一半，剩下的放回冰箱”

子：第三天呢？

父：Alex只吃了一半剩下的桃子。你想想，这种吃法，Alex能吃几天才能把桃子吃完啊？

子：（嘻嘻），那不是每天都可以吃桃子了吗？

父：是啊，永远也吃不完

子：爸爸，有个问题，剩下的桃子越来越少，用什么刀子切啊？

父：这确实是个问题，也许到后来，桃子只剩下一DD，我们只能在脑子里边把它分成2半了

反思：建立一个无穷小的概念。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:30 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]杨小兔的妈妈[/i] 于 2008-9-22 11:50 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3558352&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
刻苦学习，光看字眼就心痛，完全体会不到学习的乐趣，要让孩子知道“我要学习”，而不是“要我学习”！ [/quote]
我很赞同你的说法.

回复 291#hxy007 的帖子

你儿子思维很灵活，有主见，不必强求他用哪个解法，就让他自己玩玩好了么，让他自己去思考哪种方法好，好在哪里，是速度快还是有通用性，在特殊的场合是不是有更好的办法或者变通，等等。

天才都是不用纸笔就能把问题装在脑子里慢慢玩的，比如那个陶喆轩。

我仍然喜欢用迷宫比喻数学。上不太好的奥数班好比老师把他知道的路线都给你标出来，但是孩子没有锻炼出在没有路的地方找路、找方向的能力。嘿嘿，我扯张大旗，李政道说过：“[b][color=Blue][size=5]真正的学习是培养自己在没有路牌的地方也能走路的能力。[/size][/color][/b]”.

回复 295#ccpaging 的帖子

你的很多办法都很好，赞！学习了！！.

回复 287#shumi1 的帖子

可以从第一册开始看。.

老师也有出错题目的时候

小二数学新课标，上海作业，P127

在空格里填数，使每行、每列、斜行三个数相加的和都是12.
7            2              3
0            4              8
5            6              1
==============
3            2              7
8            4              0
1            6              5
==============
5            6              1
0            4              8
7            2              3
==============
X             X              X
0             4              X
X             5              X

儿子留下这道题给我做的。很明显，这是一道九宫算术的题目，儿子怎么凑也凑不出来。
1、首先我建议儿子观察别的可以做的九宫题目，儿子发现了几个规律：
      中间的数都是4，边上中间的数都是偶数，角上全是奇数。
2、这道做不出来的题，下边的中间是个5，跟别的幻方都不一致，是不是这个原因造成了这个幻方做不出来。
3、仔细查看题目发现，要求里边有2个常见的幻方条件未声明，即“不能重复”，“顺序填数”。

于是，我跟儿子先随便写一个数在右上角，试了多次，都不行，一定会出现重复的数字。
然后，我们把题目的条件放宽，允许重复的数字吧。试了几个数，还是不行，总是2个边的和相等，到了斜边的和就不等于12了。
时间比较紧，先按照我们从其它成功的幻方上找出的规律，把题目修改了吧。改成这样：
X             X              X
0             4              X
X             6              X
或者
X             X              X
0             4              X
X             2              X

改完以后，可以做出了。至此告一段落。吃饭，休息休息。

吃完饭后，想想还不行，我们只是猜测边中间的数不能是奇数，可这仅仅是猜测哦。小学一年级时，老师给我儿子的要求是要“质疑问难”。要达到这个要求，我们要能证明出，“边中间就不能是奇数”，才算是达到了老师期望。于是，我们又开始了一次新的质疑问难的旅程。

儿子在总结的：
====
-             -              a
0             4              8
b             5              c
假设a是双数
a+4+b=12
b=双数
b+5+c=12
（此处画一把匕首）c=单数
a+8+c=12
（此处画一个盾牌）c=双数
这样就不对了
====
开始儿子按照语文的格式写的，结果写的又复杂，又乱。

于是我告诉儿子：“你是给数学老师写文章，那么我们可以使用数学语言，也就是算式。”
儿子曰：“早说啊，害我写这么多，算式我拿手的。”

我在儿子的文章后面，加上一段按语：
同理可证，假设a是单数，也会出现矛盾。

这样，我们证明了边中间不能是奇数。
唉，辛苦了这么久，这道题总算是取得了一个圆满的答案，终于可以一起出去散步了。

散步时，我们在讨论中，发现还有一个规律，那就是中间的那个数总是和除以3，例如0-8的幻方中间是4，1-9的幻方中间是5，2-10的幻方中间是6。

天已经很晚了，下次有空来证明吧。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-4 22:06 编辑 [/i]].

儿子睡了，我来证明幻方的中间是和的三分之一

0-8幻方的和是12，中间是4；
1-9幻方的和是15，中间是5；
2-10幻方和和是18，中间是6。

计算幻方的和是多少并不复杂，知道要填的数从哪里开始就可以了，累加的算法LS已经有了。
假设幻方为：
a              b                c
d              e                f
g              h                i
和为sum，那么
a + e + i = sum
g + e + c = sum
d + e + f = sum
b + e + h  = sum
那么夯不郎当加在一起，可以知道：
(a + d + g) + (b + e + h) + (c+ f + i) + 3 * e = 4 * sum
3 * sum + 3 * e = 4 * sum
3 * e = sum
e= sum / 3

不难讲，不过小二能找出这个算法恐怕不太可能，以后再说吧。.

老子偷玩小子的幻方　回复 300#ccpaging 的帖子

　　我家孩子一年级或二年级时也带幻方作业回来过，唤起了我这个老爸对初中时自制幻方、玩填数字游戏那段美好回忆。孩子睡了，偷偷拿出孩子的作业，把其中的幻方题统统做了一遍。就像ccpaging,吃饱了撑的，夜深了，还在搞什么数学证明！有什么用啊？我的回答是：虽然没有什么实际的用途，虽然这种游戏有点小儿科，却大大地满足了我们的智力活动需要，过了一把数学瘾。
　　有一次出差，在机场曾见一台湾或香港商人捧着一本繁体字的口袋书，在大玩幻方。普天之下，竟然也有和我一样贪玩小孩子游戏的成年人，真让我有一种遇着知音的感动。多次冲动，想上前与之共同切磋。终因那份矜持没有玩成，等想到应该问一问哪里有这种书时买时，人家已经登机……不知大陆有没有这种书。

　　下面也说说前头提到的一题：

X             X              X
0             4              X
X             5              X

　　此题有解，但超出一般幻方的常规要求，也超出了小学生正常的知识水平。是一道失败的小学数学题，如果不是打印错误的话，那就说明老师没有用脑子出题或选题。此题的解为：

6.5　　3　　　2.5
0           4             8
5.5　　5　　　1.5

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-5 11:07 编辑 [/i]].

值得学习的好贴.

回复 54#小龙人妈妈 的帖子

这是一道100%的数学题。
解题的关键在于对于题目的理解。
“你能用另一种方式来叙述这个问题吗？“
其实，这道题的精髓在于数学中我们怎么来对一个概念下定义。.

回复 55#hxy007 的帖子

hxy007是一个懂数学的好爸爸。我特别行赏你可以用孩子听的懂的语言来表述你的意思。

你之所以举船长岁数的例子，是因为你这个例子也涉及到在数学中如何对一个概念下定义。这一点确实比较抽象，但正是你举的聪明蛙和船长岁数的题目的关键所在。

“几天爬出10深的井口”是定义为”向上移动的距离初次达到10米的那一天是第几天“还是定义为”在第几天结束的时候向上移动的距离达到或超过10米“是关键。

其次，对这道题目还可以进行展开。为什么”初次达到“的定义表述在这到题目中会那么重要呢？因为青蛙向上移动的距离反复地增加和减少，不是单调递增的，所以某一个高度青蛙可能会经过几次，故而有区别“初次”“第2次”的必要。”单调递增"的概念比较抽象，可以通过画图让孩子理解，并且可以让孩子发现对于某一个高度，青蛙可能会经过1次，2次，3次，但绝不会经过4次。然后还能继续扩展。。。。.

回复 86#ccpaging 的帖子

不出所料，你之后的帖子也全都是围绕了“定义”这个解题技巧展开的。.

回复 111#ccpaging 的帖子

其实这个帖子也间接说明了好老师的重要性。
BBMM们也不用因为自己没有能力像那两位对于数学非常有感觉的BB一样辅导孩子而苦恼，替代的方法还是有的。我想大多数爸爸妈妈都达不到他们的数学辅导水平的，还是进名校，看好书吧。.

回复 136#hxy007 的帖子

这是一道物理题。
每个孩子天生都喜欢做实验，BBMM要多多鼓励孩子通过实验来认识这个世界。.

孩子为什么偏爱更繁琐的解法？

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-4 17:11 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4030989&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
长短不一的筷子，从1厘米到10厘米的每样一根，怎么计算总长度？

脑子里边找把刀，中间来上一刀，把他们都削成一样长度，就可以容易地用乘法计算了。 [/quote]

　　这是一个绝妙法子——用非常直观的方法展现了自然数列加和计算的公式及其生活原理。现在，我要是借用这个法子，孩子想必能够理解，而且会觉得这样算更加简捷。但在一二年级时，人家宁愿用更繁琐的算法。原因何在？

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？

　　我也曾经启发过孩子：从9里借4个给1，从8里借3个给2，从7里借2个给3，从6里借1个给4，还剩下5，再把10折成2个5，可以得到几个5？
　　答：11个5.
　　问：11个5是多少？
　　儿子开始做连加，虽然他用了一点心计偷懒——先两个5两个5加，然后再把5个10和1个5加起来，得到了55，但他还在觉得累人，边做边抱怨：还不如一开始就把9和1合起来、8和2合起来……这样做更快，还不容易出错！

　　我终于明白了，孩子还没有学乘法，所以不能理解我的建议——他只能用连加的方法解决“11个5等于多少”这个问题。到了二年级，孩子是学过九九乘法表。可是，依靠这点知识，他依然不会用乘法去解决“11个5等于多少”。只有到了现在三年级，学了一位数乘多位数的知识与技能以后，他才能理解、接受用乘法去解决“11个5等于多少”的建议，才能理解、欣赏像ccpaging设计的那种形象直观的解决方案。
　　奥数班不就是这样吗？我们以为想到了一个巧妙的算术办法，孩子一定能够理解。殊不知，孩子并没有这方面的知识准备。或者说，他才刚刚学到一种基础知识，我们就指望着他立马能够灵活运用于奥数。殊不知，一种知识能够被学习者灵活运用，需要学习者对其内涵、结构、功能反复玩味，体味到相当的程度，才有可能。
　　当然，孩子与孩子不同。我家孩子在入小学之前，虽然不缺数学方面的启蒙，但没有提前受过正式的四则运算训练，根本不知乘法为何物。所以，他比他多数同学都要无知，学得吃力，进步得慢。老师还没有教的，他就不懂。人家却早在幼儿园就学过了，现在又在提前学习更加深奥的东西。我家孩子每到一个新知识点，只能靠当下的努力，迅速赶上他那些早学的同学。这也逼得他上课要专心听讲，作业要认真完成。我们也不断地教唆孩子，不懂就要问BBMM，还要让老师知道，拖住老师的后腿，不让老师把上课的步伐迈得太快。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-5 11:00 编辑 [/i]].

回复 210#hxy007 的帖子

这个帖子看到这里，终于发现原来两位都是得到过名师指点的。
呵呵，ＢＢＭＭ们知道怎么办了吧。.

回复 227#hxy007 的帖子

孩子问你一个问题，既然老草每天都被牛爸爸吃掉６份，那么为什么每天长出来的新草还是一样多呢？

哈哈哈。.

给聪明孩子的答复

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-5 11:16 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4035450&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
孩子问你一个问题：既然老草每天都被牛爸爸吃掉６份，那么为什么每天长出来的新草还是一样多呢？

哈哈哈。 [/quote]
　　孩子，说老实话，我也觉得这道题目出得特别弱智。有人要是出这种题目考你，你可以拒绝回答。爸爸只不过担心金融海啸中失去工作，硬着头皮去考奥数家教，才做了这道无聊的烂题。放心！我不会用小孩子可以理解方法教别人家的孩子。我就教他们最正规的数学，我把他们都教傻了，你就不用跟他们比奥数了。.

我小时候也做过这道牛吃草的题目，不过我就是没做出来，答案我也看了，当时也没理解。为什么呢，因为我第一次读题目，就认为“草每天都在长”不是一个不变的量，而是随着草的不断减少而减少的量。
当然，这个假设也仅仅是一个假设而已。也可以假设草的增长量是定量。比如说，可以假设只要草的根还在，它就每天能长高一定的量，而牛不会把草的根也吃下去。但是这样一来爸爸的算术思路又会有一个新问题，那些牛妈妈，牛妹妹是只吃新草的，所以就得认为他们在每棵草上都咬固定长度的一段，这种吃法实在太累了。
后来我发现，按照这个思路来考虑应用题，就快接近语义分析了。
把数学用应用题来教实在不是一件容易的事情。.

回复 312#hxy007 的帖子

其实如果要正面回答这个孩子的提问，就要涉及到数学模型的设计，以及模型复杂程度等问题了。假设每天长出的新草是一个定量，这也是一种“估算”。.

回复 283#火车是运茶的 的帖子

用一道类似的已知解法的问题来解决未知解法的题目，这也是重要的解题技巧之一。.

回复 309#hxy007 的帖子

其实整数域里面的乘法是用加法定义的。代数中所谓的乘法在整数域中是不完备的，因为对于所有非零整数ｘ，１／ｘ并非也是整数。正因为如此，才需要把整数扩大。

上面的表述可能不太地道，因为我是学文科的。.

佩服.

回复 309#hxy007 的帖子

家长可以启发他，让他发现规律。.

回复 315#jyuntoku 的帖子

这不仅是一个技巧，更是一个很重要的数学思想。具体的讲，是一种抽象思维能力，就是说一个东西我不用管它里面是什么，我拿它和另外一个东西组合一下就可以得到我所要的东西，解决我的问题。等我有时间了再来慢慢玩味里面的弯弯绕。.

再说我的老师

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-5 11:05 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4035302&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
这个帖子看到这里，终于发现原来两位都是得到过名师指点的。
呵呵，ＢＢＭＭ们知道怎么办了吧。 [/quote]

　　这组帖子是在谈亲子之间的快乐数学，确实也经常涉及对当前小学数学的批评。但恳请不要误解，我们不是不要老师来教孩子数学，我们也没有能力代替老师来教导我们的孩子。事实上，我们孩子在学业、品行上的进步主要靠的是专职的老师。没有老师的精心教导，我们的孩子将难以胜任学习，未来将一事无成。我们对自己有要求，对老师有期待，但并不是高不可攀。我们并没有指望自己孩子的老师必须是名师，也没有指望孩子一定要上名校，但我们希望教导孩子的老师是对知识有内在乐趣的成年人，孩子天天去的学校是学习的乐园、文明的殿堂，而不是魔鬼训练营、受苦受难的炼狱。
　　还要更正一个误解。在下并非出自名校，在下中小学的老师个个都不是名师。我小学一二年级的老师是个小学毕业生，不但教我们数学，还教我们语文、唱歌、画画、体育。在我幼小的记忆里，她整天和我们在一起，好像无所不知，无所不能。我的初中老师里有的是中学毕业来到山乡“接受贫下中农再教育”的城市知识青年，也有的是各行各业中说错话、站错队来乡村接受改造的“牛鬼蛇神”。我的高中老师年轻一些的确有大专毕业的，但更多是中师毕业生，前面提到那位伍老先生就是一位50年代的中师生。当年那些非常普通的山村教师，文化水平参差，际遇各异，但他们在教学中表现出惊人的相似。
　　——他们对自己教授的学科充满了感情，对知识既敬畏又喜爱，把知识教得有滋有味。或许他们内心徬徨，精神苦闷，但是他们从知识和真理中找到了灵魂栖息的地方。他们是真正的知识分子！
　　——他们对自己的工作充满了激情，不但把课上得精益求精，而且以工作的精致优雅为乐。或许他们受到污蔑，被视为“臭老九”，但是他们站在三尺讲台，口若悬河，指点江山，激扬文字，从质朴的山村学子们的无限敬仰中找回了做人的尊严。他们是真正的知识分子！！
　　——他们对学生饱含深情，为山村孩子的无知而痛心，为山村孩子的点滴进步而欢欣。或许他们一生都不会有什么丰功伟绩，他们的学生中走出山村、考上大学的廖廖无几，但是他们鬓发苍苍时看着自己的学生一个个长大成人、生儿育女、成为斯文而快乐的普通劳动者，成就感、自豪感、欣慰感油然而生。当他们去世时，景仰他们的学生们纷纷离开耕作的农田，赤着脚，带着儿孙，参加他们的葬礼。他们含笑九泉，灵魂得以安息。他们是真正的知识分子！！！
　　我们也希望自己孩子的老师是真正的知识分子。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-5 13:10 编辑 [/i]].

回复 319#火车是运茶的 的帖子

我说的解题技巧就是你说的重要的数学思想，只是你可能对我的用词不太满意。.

回复 320#hxy007 的帖子

我说的名师，你也可以理解成是“好老师”，这和名校可以理解成“好学校”一样。.

回复 322#jyuntoku 的帖子

你有今天离不开好老师的栽培教育之功，这一点从你的帖子里就完全可以证明。
通过你这个例子我想说明的是，教育这两个字无法脱离”师“，没有”师“，学不好，”师“具有决定性的作用。
我们把学东西称作”拜师“是很有道理的。.

做个名副其实的老师

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-5 14:32 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4037669&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
你有今天离不开好老师的栽培教育之功，这一点从你的帖子里就完全可以证明。
通过你这个例子我想说明的是，教育这两个字无法脱离”师“，没有”师“，学不好，”师“具有决定性的作用。
我们把学东西称作”拜师“是 ... [/quote]
　　我理解你的意思，并且赞同你的观点。我能够在这里发言，要感谢我的父母，我的老师。但是，我真地不愿意称我所描述的那些老师为“好老师”，他们就是当年最普通的老师。如果我说的那些品质只是“好老师”的高尚品质，那么，普通老师似乎就可以不这样要求自己。其实，我想说的普通老师的正常标准，就是把自己看成是真正的知识分子。.

“好老师”的三热爱

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-5 14:48 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4037824&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

　　我理解你的意思，并且赞同你的观点。我能够在这里发言，要感谢我的父母，我的老师。但是，我真地不愿意称我所描述的那些老师为“好老师”，他们就是当年最普通的老师。如果我说的那些品质只是“好老师”的高尚 ... [/quote]

哈哈，快跑到范老师的普世价值与实践标准的讨论上了。

其实我认为的“好老师”很简单，热爱数学、热爱孩子、热爱教学。

我碰到过的第一个好老师，是我老爸，他带我到初中毕业，把我交给第二个好老师，然后我混进了大学，掉到一窝好老师中间。

我没法代替我老爸，因为现在已经不是文革末期那样的形势了，所以要想办法给儿子找个好老师。在找到之前，我儿子只好暂时用用我这个“代课老师”了。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:32 编辑 [/i]].

Pull & Push

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-5 10:49 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4035070&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


　　这是一个绝妙法子——用非常直观的方法展现了自然数列加和计算的公式及其生活原理。现在，我要是借用这个法子，孩子想必能够理解，而且会觉得这样算更加简捷。但在一二年级时，人家宁愿用更繁琐的算法。原因 ... [/quote]

hxy007的公子归纳能力比较强，我给我儿子的评价是接受能力比较强。

在此，还是建议hxy007可以象yiyilaoba说的那样，围绕着某个problem适当地pull/push一下，在合适的条件，确有把握的情况下，所谓点拨是也。

教学大纲毕竟还是根据一种普遍的情况下设置的，不同的孩子各有其特点，而家长更善于捕捉这些。

在小数论坛上，老师们讨论过这样一个例子：
在学习了长方形以后，老师要求学生们各自画出几个长方形。有个女孩子，画了2个长方形，然后画了一个正方形，画完以后，瞄了一眼周围别的同学，犹豫了一下，迅速地把正方形擦掉，补上了另一个长方形。
老师的问题是：教学大纲并没有在这一课要求同学们理解，“正方形是一种特殊的长方形”，可是现在出现这种情况，老师应不应该把以后要学习的内容，作为今天上课的补充呢？

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:33 编辑 [/i]].

怎样才能回归明强小学圈

　　姥姥！——不知哪个牛人（不会是W爸吧），把本帖移出了明强小学圈。“小学6-12岁”，圈子太大了，找到自己的帖都难。还有啊，林子大了，什么鸟都有，特别不习惯！
　　有什么办法把这个帖子弄回明强小学圈里？
　　恳请高人不吝指教！[tt7].

回复 327#hxy007 的帖子

移动帖子要权限的。肯定是版主或者谁觉得这个帖子特别好才移出来的，不要移回去了。

你可以在“我的话题”里面找到自己发过的所有帖子。.

从别人的眼里寻找真正的自己

我把这贴放在我的收藏夹里边。同时想念明强小学的圈子。

百家争鸣是好事。根据“怪圈”理论，人永远不可能真正了解自己，所以我们了解自己的途径之一是找一面镜子，从别人的眼里寻找真正的自己。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:33 编辑 [/i]].

不过一念间

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-5 10:28 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4034749&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
不出所料，你之后的帖子也全都是围绕了“定义”这个解题技巧展开的。 [/quote]

转一个网络上流传的段子，轻松一下：

不过一碗饭

两个不如意的年轻人，一起去拜望师父：“师父，我们在办公室被欺负，太痛苦了，求您开示，我们是不是该辞掉工作？”两个人一起问。

师父闭着眼睛，隔半天，吐出五个字：“不过一碗饭。”就挥挥手，示意年轻人退下了。才回到公司，一个人就递上辞呈，回家种田，另一个却没动。

日于真快，转眼十年过去。

回家种田的，以现代方法经营，加上品种改良，居然成了农业专家。另一个留在公司里的，也不差。他忍着气、努力学，渐渐受到器重，己经成为经理。

有一天两个人遇到了。

“奇怪！师父给我们同样‘不过一碗饭’这五个字，我一听就懂了，不过一碗饭嘛！日于有什么难过？何必硬赖在公司？所以辞职。”农业专家问另一个人：“你当时为什么没听师父的话呢？”

“我听了啊！”那经理笑道：“师父说‘不过一碗饭’，多受气、多受累，我只要想‘不过为了混碗饭吃’，老板说什么是什么，少赌气、少计较，就成了！师父不是这个意思吗？”

两个人又去拜望师父，师父已经很老了，仍然闭着眼睛，隔半天，答了五个字：“不过一念间。”然后，挥挥手……

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:34 编辑 [/i]].

回复 330#ccpaging 的帖子

[em01] 阁下就是我师傅[tt7].

只比我儿子大若干岁而已

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-5 22:52 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4040560&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
[em01] 阁下就是我师傅[tt7] [/quote]

我没这么老，只比我儿子大若干岁而已。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-9-17 21:45 编辑 [/i]].

我们不过是比儿女大些年岁的孩子

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-6 01:20 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4040749&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


我没这么老，只比我儿子大若干岁而已。 [/quote]

　　从大师这句带有禅意的话中，在下受到的启示是：

　　宇宙的空间无穷大，跟它相比，我们是如此的渺小；宇宙的时间无穷大，跟它相比，生命是如此的短暂。确实不必在某一处为“一碗饭”而计较，为“一个是非”而争吵。宇宙、自然、人有那么多奥秘，等待我们及我们的孩子去认识，去发现。面对自然和宇宙，我们和我们的世代儿女，不过是一群快乐的、充满好奇的孩子。

　　呵呵，阁下还是师傅！.

昨晚接孩子路上我把船长题目和笨青蛙题目问女儿，她一路上特别开心，然后又自发出了几道题目给我呢，谢谢LZ好贴。
女儿小二，老师有时会和小朋友说有些人适合学数学有人不适合，老师这个话真是有点说的早了，小学真是启蒙启发兴趣的时间呢.

孩子是待开启的宝瓶

记得看过一个讲英国城堡时代的电影。

主人公的妈妈因为在教堂当过仆人，学会了一些粗浅的医术，但他妈妈不愿意一辈子伺候主，也就是不愿意成为教徒，被教堂驱逐出去。片中所讲的那个时代是野蛮的，在城堡之外，游荡着各种各样的强盗，所谓力大者胜。但是，即使是最强大、最野蛮的强盗都不敢惹主人公的妈妈，因为这个妈妈在教堂里边学会了怎么治病。强盗也会生病，受伤更是家常便饭，经常有强盗跋涉几十公里，找他妈妈看病、

直到这个妈妈死去，主人公丧失了依赖，家里的其他人都被强盗杀了，家也没强盗们给烧了。主人公只好四处流浪。他离开家时想起妈妈曾经告诉他的一件事：“在我曾经服务过的那个教堂里边有一本书，这本书里边的力量可以保护你和你的家庭。”于是，主人公来到了教堂，并且混进去做了一个普通的杂役。借助一个漂亮女孩的帮助，偷到了这本书。原来，这本书是本医书，妈妈治疗病人的方法就来自这本书。可是这本书是拉丁文写的，主人公看不懂，只好把书里的文字拆散，请教其他的嬷嬷。待他学会了这本书，就开始了翻译的工作，把这本书的内容翻译成当地的语言--英语。主教听说了这件事找到他，说：“你不能这么干。你看教堂处在这么一个野蛮的世界，周围全是各种各样的强盗，你知道为什么这些强盗从来没有抢劫过教堂吗？就是因为教堂掌握了这本书里的知识。如果这本书被翻译成英文，老百姓看得懂，强盗也学会了，那么教堂靠什么来保护自己的安全呢？”
、、、、、、、

很可惜，我忘记了电影的名字。这部电影里边还有一个意思，那就是主教认为，如果这本书用英语（当地老百姓的语言）来写的话，那么这本书就可能被老百姓学习到。所以，我不认为人天生的智力存在很大的差异。至少在小学低年级，有人去评论这个孩子聪明，那个孩子笨，是不合适。孩子之间存在差异是事实，但简单地把差异归结于孩子天生愚笨，更多地是老师或者家长的托词，是不负责任的做法。

已有的教育研究已经表明，人类的语言学习能力是有阶段性的，如果一个孩子在应该学习语言的时候，给其他人或者社会失去了联系，那么他语言能力的发展就会停滞。等这个孩子长大了，错过了最佳地学习语言的阶段，再想学习语言就会变得非常困难。所以，请停止评论孩子的聪明和笨，否则，可能正在我们做这些评论的时候，孩子智力开发最关键的时期就这样错过了。

希望低年级的数学老师和BBMM们把每个孩子看成是待开启的宝瓶，更多地去考虑如何开启她，看看这个宝瓶里装有怎样的惊喜！

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:34 编辑 [/i]].

再请教下，怎么给小二学生讲数学的相遇问题呢.

一边游泳一边学数学

[quote]原帖由 [i]咖啡豆[/i] 于 2008-12-6 16:58 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4041935&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
再请教下，怎么给小二学生讲数学的相遇问题呢 [/quote]

我的儿子喜欢游泳，所以一年级暑假的时候，我就经常在游泳池里边，跟儿子玩追赶和相遇的游戏。游戏前，先讲清楚条件，同时出发或者领先多少米等，估计什么地方相遇。

当时最后的一道题是：
游泳池长25米，Alex入水时，Tony领先10米，Tony到达对岸的时候，Tony还领先5米，问折返后到达终点（25米 + 25米）时，Alex能领先吗？领先多少？

当时研究这道题的原因是，他们训练时是追赶赛，即稍慢的人先入水，其他小朋友依次入水，儿子总是排在第3个，游一个来回以后，他总是不能领先，回家的路上老嘀咕：“我今天还是没谁谁游的快”，其实儿子已经游的是最快的了，因为他跟第一个入水的人的差距缩小了。

今年奥运的时候，我看到过一篇讲菲尔普斯的文章。菲尔普斯在感叹，“如果当年的数学老师用游泳举例教我数学的话，我的数学成绩就不会那么差了。“

闲来无事，google 菲尔普斯 数学，偶得美文2篇，共赏之。
“菲尔普斯”告诉我们什么是素质教育？
[url]http://eblog.cersp.com/userlog18/39877/archives/2008/987121.shtml[/url]
从菲尔普斯的数学说起
[url]http://www.jysx.cn/blogt/user1/8/archives/2008/200883115241.html[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:35 编辑 [/i]].

回复 337#ccpaging 的帖子

[em01] 好文章，顺藤摸瓜又找到一篇：

美国老师怎样教数学
[url]http://eblog.cersp.com/userlog/408/archives/2008/987682.shtml[/url].

上面那篇值得转贴过来

中国孩子在美国中小学“玩算术”是出了名的。

我儿子矿矿在同班的美国小朋友只会掰手指算简单加减法时，已会多位数乘除法。老师问：4＋3＝？大家还没反应，他答：4＋3＝21÷3。全班都傻了眼，就他得意洋洋。美国孩子和家长见到矿矿都竖拇指赞叹“聪明！”我们当然自以为是。在我眼里，美国小学数学太浅，整个一个“磨洋工”。一年级时，我借来六年级的数学课本，矿矿一样应付自如。

第一学期结束后，我们向学校提出，能否让矿矿插班到三年级上数学？我心里想，只要求上三年级，已经很谦虚了。谁知，在我们很“谦虚”地提出让矿矿每星期跳级到三年级去上一节数学课时，美国学校竟然不同意，并指出：矿矿擅长的是中国学校教的“算术”技巧，美国学校教的则是“数学”……

读了那封矿矿的老师代表校长和学区（相当于国内的教育局）写的信，我们非常不服气，不屑地扔到一边。直到后来对美国教育有更多了解时，我才重新冷静地阅读了这封信（节录）：

关于矿矿的数学学习问题，我已和校长罗伯特博士说过了。她也跟学区主管教学和课程的助理督导迈克·威廉斯博士谈了……

附上一年级数学课15个单元的学习内容和教学目标……我们更强调的是孩子对那些隐藏在数学后面的概念的理解，从而在口头上和书写中能够运用他们所学的东西进行交流，而不是对算术的死记硬背。我们的目标是培养孩子成为解决问题的能手，学会思考，让孩子把自信建立在自己的能力之上，从而去珍视数学。我们的课程是让孩子积极参与到学习中，通过循序渐进、适当的教学活动去学习具体的操作计算。矿矿在中国学校学到的一些算术技巧，例如乘法和除法，对美国一年级小学生来说，不是循序渐进的适当的活动。我们运用的是绝对具有乘除法功能的组合法教学，从而使孩子在记住计算的数字之前已能理解乘除法的实际意义。

矿矿当然是一个具有计算技巧的优秀学生。然而，算术仅仅是整个数学课程中的一个部分。我们在数学课里，会运用许多教学活动来挑战矿矿的思维，从而也对他本身形成一种挑战。

我们觉得，派一个迈阿密大学的在校生一对一地帮矿矿，将比到三年级上数学更适当。如果你们想借三年级的数学教材在家里使用，我将乐意作出安排……

重读此信，我多了一份思考：这封信非常讲究遣词造句。比如，在讲到矿矿及中国学校时，她始终用“算术”这个概念，而说到美国学校时，她都说“数学 ”。所谓“算术”，计“算”之技“术”也，似属雕虫小技。数学，是关于“数”的学问，是研究符号和数字之间的关系，以及如何用这些符号和数字来解释世间与之有关的现象。因此，数学是学术中的极品。

到底美国小学的数学教学是“磨洋工”，抑或是我们把数学这门大学问当成了计算的技巧？我在潜心研究美国教育时，终于有了一些感悟。比如关于《鸡兔同笼》的计算：

笼里有5个头和14只脚，一共几只兔几只鸡？在许多人眼里，这完全是一个计算问题。设兔为X，鸡为Y，x+y=5；4(x)+2(y)=14。

到底我们该把它看作算术教学，还是数学教学？让我们来看美国的数学教育是怎样处理类似问题的：

某个住在湖边的老人养有狗和鸭子。某天，老人看到5个头和14只脚。老人看到的是多少条狗？多少只鸭？

老师：能不能找到解决问题的方法？

学生们纷纷要求回答问题。

学生A：要找到答案并不难，只要两个公式：一个解决脚的问题，另一个解决头的问题……

老师制止学生A继续往下讲，说道：“很好！谁来设计这两个公式？”

学生B：设狗为X，设鸭为Y；4(x)+2(y)=14。

学生C写道：x+y=5。

老师：这两个公式对不对？

学生七嘴八舌：“对啦！”

老师：现在我们不要去计算答案。我们按照这两个公式来推理，看看答案是否合理……

大家你望我，我望你。不让计算，却去猜答案。老师葫芦里卖的什么药？

老师：犯愁了？不错！我们现在不打算去计算准确的答案，我们只是去猜测大致的答案。

学生仍然丈二和尚摸不着头脑……

老师：既然你们不回答，那我就来问你们，5条狗和4只鸭，对不对？

学生哄然：不对！5条狗和4只鸭，一共是9个头，老人只看到5个头。

老师：那么，谁能告诉我，狗脚和鸭脚的数目？

学生们又是你望我，我望你，不知所措……

老师：如果我告诉你们，狗不少于4条。你们认为怎么样？

学生B：不对，请看看我设计的公式：脚的总数是14，而4条狗就有16条腿。除非老人喝醉了，把自己的脚也数进去了！

哄堂大笑！

老师：非常好！那能不能是3条狗呢？

学生们陷入思考……

学生C：那也不对！

老师很感兴趣地问：“为什么？”

学生C：除非有1只鸭子，少了两条腿。您看我设计的公式，总共有5个头。3条狗有12只脚。要符合5个头，14只脚的条件，就只剩两个鸭头，两只鸭脚。因此，除非有1只鸭没有脚……

又是一阵哄堂大笑！

老师：好吧，让我们假设所有的狗和鸭子都是进化完整的，没有缺胳膊少腿的。那么，该有多少只鸭子呢？

学生再没有像前面那样沉默，而是议论纷纷。

学生D：不管怎么说，前提是不能超过5个头，14只脚。

老师：如果狗少于3只，我们能在鸭子的数量上做什么文章呢？

学生E：这就是说，鸭子必须是3只以上。因为，头的总数是5个，狗少于3只，鸭子没有3只以上凑不够5只。

老师：有道理。狗只能少于3只，鸭不能少于3只。那么，我们应该寻找的下一个线索是什么呢？

学生思索……

老师：如果是3只鸭子，鸭脚应该是……

学生们：6只鸭脚。

老师：对！如果是3只鸭子，6只鸭脚，狗的数目又该怎么算呢？

学生A：如果狗脚不能多于12只，这就是说，狗不能多于3条，鸭子至少得有3只才能凑够5个头。3只鸭，鸭脚就是6只。于是，狗只能是2条，狗脚……

老师高兴地大笑：“好！不要往下说了。请大家用公式计算吧。”

到了这一步，再用公式计算，简直是吃豆腐：狗是2条，鸭是3只。

学生B有些不太高兴：“老师，看到您那么高兴，我倒有些费解了。这2条狗、3只鸭的答案，我们推理来推理去，花了快一节课的时间。其实，一开始就让我们拿公式来算，早就该做完了……”

老师微笑着点头：“你提出了一个非常好的问题，甚至超过了‘2条狗，3只鸭’的答案。请大家想一想，为什么我们没有一开始就用公式来计算，而是花了一节课的时间来走完整个推理的过程？”

学生E：我们浪费了不少时间去推论那些不正确的答案。

学生C：我不同意“浪费”的说法。有时候，你不能证实一个答案是错的，你就不能证实另一个答案是对的。

学生F：但是，值不值得花那么多时间？

学生们七嘴八舌……

老师会心地笑了：“谢谢大家！数学课不是算术，更不是用一个似懂非懂的公式去计算一个只有公式才能告诉你的答案。公式告诉你做什么？怎么做？我们充其量像个计算器。要真正理解：为什么这么做是对的？为什么那么做是不对的？问题就不那么简单了。就像知道点击电脑的什么键，电脑会怎么反应一样，那是电脑操作员的工作。只有理解：为什么点击电脑的这里会产生这个结果？为什么点击那里会产生那个结果？那才能成为电脑程序员。我们要的是通过演绎推理和归纳推理来证实和证伪某些答案，以及在这个过程中所培养和锻炼的推理能力。”

数学的实质是一种思维方式

其实，美国的数学教学是在企图回答学数学的目的问题：数学不仅仅是计算和应用公式。数学的实质是一种思维方式，是演绎推理和归纳推理的逻辑思维方式。对许多美国人来说，学数学并不一定是目的，而是通过学数学来培养自己的能力。同时，通过学数学来理解世界、理解世间与之有关的各种现象。

许多美国人相信，学数学的目的是掌握一种思维方式，是一种解释世间许多现象的工具，是训练思维能力的手段。

我到过国内不少地方听数学课，情况却刚好相反。老师总是“赶集”式地、急急忙忙地直奔最简单的方式和答案。有一次，我到某重点小学去听数学课，老师踩着步点赶时间，课上得似乎挺活，但只给答对问题的学生一颗糖，答不对的，不给糖。没得到糖的孩子，心思都在别人的糖上。更要命的是，老师也不解释为什么不对。

课后，我问老师，为什么不向学生解释错的原因？这位年轻的老师很不好意思，但又颇有些理直气壮地说：“根据教学大纲的进度，时间不够。”我建议道：能不能在课后，由知道的同学给不知道的同学解释为什么错。后来，她给我来电话，说是我的建议收到了很好的效果。

我发现，国内的一些老师总是争分夺秒地“赶”教学内容，像上了发条似地踩着步点上课，“好”的老师可以按照设计好的教案在刚讲完课、对学生说“下课 ”时，铃声正好响起。已经有好几个美国老师跟我说到这种让他们叹为观止的现象：“怎么上课可以像发射宇宙飞船一样精确？好像遥控一样。”其实，“以老师为中心”和“以内容为中心”的教学，是完全可以做到的。该讲的内容讲完了，至于结果怎么样就无法顾及了。正像美国老师无法理解中国老师可以踩点下课一样，中国老师在听了我介绍美国的教学以后，也摇着头说：“好是好啦，可是他们怎么能完成教学内容呢？”

然而，只讲已知的正确的东西，忽略让学生去证实或证伪自己的假设，就是忽略了学生的怀疑精神的培养。鼓励学生去证实或证伪某个假设，强调的是自我教育。上面那位美国老师，通过证实和证伪的过程培养学生演绎推理和归纳推理的能力，可谓用心良苦！

“聪明”的孩子与“智慧”的学生

为什么年龄越小时，中国孩子领先美国孩子越多，随着年龄的增长这种差距却越来越小，到高中以后，中国孩子与优秀的美国孩子就基本没有差距了？

经过多年的观察与研究，我发现，中国教育培养的是聪明的孩子，美国教育培养的是智慧的学生。聪明的孩子和智慧的孩子有什么本质的区别？

我们以“西安事变”的教学为例子，可清晰地看出两者的巨大差别：

中国的大多数学校，老师讲完史实后，要求学生记时间、地点、人物、事件等，以“学会”为目的，满足于考试结果。

美国的教育则是八仙过海：比如，可能什么都不教，让孩子们分成几组，分别制做一份当时各党各派报纸，或者只给几个辩论题，让孩子组成正反方进行辩论。即便是常规教学，老师也会启发孩子的发散性思维：如果蒋不妥协？如果张、杨不和共产党合作？如果张、杨把蒋处死？如果蒋逃出西安……甚至让学生自己设想发散性的问题。无论哪种方式，学生都在收集材料、研究材料、组织观点的过程中，培养了“会学”的能力。

美国学者贾尼丝·萨博把培养“聪明的孩子”还是培养“智慧的学生”概括为两种教育：

聪明的孩子　智慧的学生

1.能够知道答案　1.能够提出问题

2.带着兴趣去听　2.表达有力的观点

3.能理解他人的意思　3.能抽象概括

4.能抓住要领　4.能演绎推理

5.完成作业　5.寻找课题

6.乐于接受　6.长于出击

7.吸收知识　7.运用知识

8.善于操作　8.善于发明

9.长于记忆　9.长于猜想

10.喜欢自己学习　10.善于反思

从很多教学的比较看，中国教育培养的学生包揽了“聪明的孩子”的所有特点；美国教育培养的学生囊括了“智慧的学生”的所有表现。

（原载：黄全愈 本文摘自《透视美国教育——20位旅美留美博士的体验与思考》，王定华主编，北京大学出版社2008年6月出版）

作者简介：

本文作者系美国迈阿密大学孔子学院院长、教育学院兼职教授、中山大学客座教授。著有中美教育比较系列《中国教育的哲理困惑》（英文）、《素质教育在美国》、《家庭教育在美国》、《生存教育在美国》、《玩的教育在美国》、《高考在美国》。.

回复 1#hxy007 的帖子

诸如99X2这样题目的拓展算法
我也是才刚刚才领悟到的
在看到孩子的课本时  已经知道老师就是这样教导的了
佩服佩服啊.

感动中

当年那些非常普通的山村教师，文化水平参差，际遇各异，但他们在教学中表现出惊人的相似。
　　——他们对自己教授的学科充满了感情，对知识既敬畏又喜爱，把知识教得有滋有味。或许他们内心徬徨，精神苦闷，但是他们从知识和真理中找到了灵魂栖息的地方。他们是真正的知识分子！
　　——他们对自己的工作充满了激情，不但把课上得精益求精，而且以工作的精致优雅为乐。或许他们受到污蔑，被视为“臭老九”，但是他们站在三尺讲台，口若悬河，指点江山，激扬文字，从质朴的山村学子们的无限敬仰中找回了做人的尊严。他们是真正的知识分子！！
　　——他们对学生饱含深情，为山村孩子的无知而痛心，为山村孩子的点滴进步而欢欣。或许他们一生都不会有什么丰功伟绩，他们的学生中走出山村、考上大学的廖廖无几，但是他们鬓发苍苍时看着自己的学生一个个长大成人、生儿育女、成为斯文而快乐的普通劳动者，成就感、自豪感、欣慰感油然而生。当他们去世时，景仰他们的学生们纷纷离开耕作的农田，赤着脚，带着儿孙，参加他们的葬礼。他们含笑九泉，灵魂得以安息。他们是真正的知识分子！！！
　　我们也希望自己孩子的老师是真正的知识分子。

这些老师才是精英，才是民族的脊梁
很为楼主的这段话所感动.

我一直很想买一本《数学思想方式》（大意）。去年年初，我在第一人民医院牙科排队看病，看牙科排队2、3个小时是不稀罕的。有一个女孩排在我前面，手里拿的就是这本书。我不好意思伸长脖子看，也不好意思多问，就说了句：这本书很有意思。她回答：这是给师大的学生和小学老师看的。.

回复 340#waiwaimeimei 的帖子

社会是不断进步的，我敢肯定，就义务教育阶段的教材水平以及平均教师水平而言，现在绝对远远领先于20，30年前。BBMM真的不必太过担心。觉得学校里教的就全都是应试全都没用还全都会摧残孩子。
我就亲眼看到ww上不少父母对自己孩子的小学作业的目的所在根本不能正确领会。.

回复 342#家有考王 的帖子

波利亚的《怎样解题》应该是你想找的书。.

回复 344#jyuntoku 的帖子

谢谢！
不过我不是要寻求怎样解题，而是要了解数学这门学科在思想方法上能给我什么启示。.

回复 345#家有考王 的帖子

你被书名误导了。.

回复 345#家有考王 的帖子

实际上数学家希望证明某一个命题，也是一种解题，这本书中说的方法就是数学家的思想方法。对于孩子来说，在解每一道没有作过的数学题时，面临的工作和数学家是一样的。.

回复 347#jyuntoku 的帖子

哦。
我是想找来自己看的，不为孩子，为自己。.

回复 348#家有考王 的帖子

所以我给你推荐了这本不需要多少数学知识就能完全看懂，又能达到你的目的的书。
多说无益，有空可以到书店翻翻，我想你会改变现在的看法的。.

回复 349#jyuntoku 的帖子

再次谢谢！.

谁来解惑？

如何解释这道题

从理论上说“0.9……（循环小数）”不等于“1”，但我经过数学推理，“0.9……（循环小数）”就等于“1”。具体推理过程如下：
0.9……（循环小数）=0.3……（循环小数）×3=(1/3)×3=1
推理过程没错，但0.9……（循环小数）=1让我无法解释，特此请各位老师指导，谢谢！
福建省漳州市芗城小学五年级学生

二OO八年十一月十九日

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:36 编辑 [/i]].

找到命题也是能耐

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-7 00:04 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4043326&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
实际上数学家希望证明某一个命题，也是一种解题，这本书中说的方法就是数学家的思想方法。对于孩子来说，在解每一道没有作过的数学题时，面临的工作和数学家是一样的。 [/quote]

谬也，数学家没想去证明某一个命题。因为已经被证明的命题，再去证明是多余的。未被证明的命题，想证明也难。而试图已经做过的题来证明未被证明的命题，那、、、好像自相矛盾了吧。

我的数学老师说，一个问题能讲清楚就已经证明了一半，而更加难的还在讲清楚问题前面，那就是找到问题。陈景润固然厉害，可是歌德巴赫也厉害。

而且做题多成不了数学家，因为一个数学家穷其一生，只要能提出一个问题或者解决一个问题就值了。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:37 编辑 [/i]].

回复 352#ccpaging 的帖子

你说的固然不错，但你应该容许我避免在论坛上写论文吧。
我说的命题，你把它理解得包括猜想不就行了。
至于你说的表述问题，之前我提到的“定义”技巧也和这个有关。
最后你认为提出问题（命题也好猜想也好）很重要，这当然没错，但是提出问题的方法，老实说根本没人研究得清楚。
你是数学系的，应该知道拉马努金，你说他的那些不等式是怎么想出来的，天底下没人知道。
所以，能谈谈的只有解决问题的方法了。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-7 10:01 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4043578&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
你说的固然不错，但你应该容许我避免在论坛上写论文吧。
我说的命题，你把它理解得包括猜想不就行了。
至于你说的表述问题，之前我提到的“定义”技巧也和这个有关。
最后你认为提出问题（命题也好猜想也好）很重 ... [/quote]

定义不是技巧.如物质和意识是哲学世界的2个基本定义,没人会认为这仅仅是一个技巧的问题.
我本人是大学三年级才开始写论文,可是我儿子目前已经写了2篇数学论文了.

至于怎么提出问题,这恰恰是大学数学教育或者说理科教育对学生的要求.而前贴可以看出,美国的教育是把解决问题的方法,即发现问题/提出问题/解决问题/验证,这样一个完整的研究过程贯穿于教学的始终,甚至从一年级数学就开始了.
即使不打算学数学专业,拟或根本就不上大学,但每个人不可避免地要在生活中/工作中遇到各种各样的问题,这个时候,数学就能提供与其他文科课程完全不同的基本方法/基本理念.
如果我们把数学教学的目的仅仅停留在解题的层面,那么学习的终结目标还是做题,这样的一个循环又有什么意义呢?不喜欢做题的同学,可以放假了.

将来我计划用这样步骤解决牛吃草的问题:
1. 在看到有关风沙袭击北京时,提出这个问题.
2. 让儿子搜集有关风沙的新闻,研究报告.
3. 寻找风沙的根源. 评价过渡放牧对风沙形成的影响.
4. 引入牧民一家的生活,提出牛吃草的问题. 如果有机会去一次内蒙就太好了.
5. 让儿子给这家牧民提出建议.

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-7 11:46 编辑 [/i]].

回复 354#ccpaging 的帖子

在解决数学问题时，有效准确地下定义确实是一种重要的技巧 。具体的分析我在青蛙爬井的例子中已经有比较详细的说明了。
我并没有说，所有的概念的定义，都是解决数学问题的某种技巧的体现，我想你误会我的意思了。
关于提出问题，首先我和你在之前帖子中谈的是数学研究范围内的“提出问题”，我们似乎并没有谈一般意义上的提出问题。其次即便就一般意义上的提出问题而言，我也不否认这是一种重要的能力，但是这里提出问题需要的不是技巧是想象力，所以我不准备谈什么提出问题的技巧。
至于对你通过客观世界来引导孩子学数学我不准备发表什么意见，但是就我所知，现代的数学特别是纯数学和客观世界确实没多大关系，不少著名的数学家都不是为了客观世界而进行思考的。如果是我的孩子的话，我可能会为他能够认识到“没有用”的数学的价值而欣慰。.

放轻松！——让数学显得可爱些

　　看着两位大师切磋来切磋去，激动得差一点流鼻血，直想也插一杆子进来。
　　找出多年前买来的那本《数学教育哲学》（Paul Ernest 著），心下顿生惭愧。得到这本书时，翻看了一下，就晾在一边，现在书脊上都沾满了尘埃。要不是企图说点超越两位观点的想法，不知猴年马月才会看这本书了。
　　看了小半天，越看越失望。一是因为它太难读了——这本书写得过于晦涩，我都有点原谅自己以前没有把它读完了；二是因为它偏心眼——光支持ccpaging式的数学教育观，对jyuntoku式的数学观没有给予足够的重视。
　　在下非常赞同数学即使没有用也值得去学习、钻研、把玩的观点，可同时也反对在数学启蒙阶段脱离生活、游戏以及孩子认知方式去教授纯粹的数学。这种数学对于孩子，一如 Ernest 的《数学教育哲学》之于我，面目可憎。要是我们脑子里的数学都不可爱了，我们的孩子怎么会觉得她可爱呢？
　　本帖是在交流亲子数学的经验教训，还是放轻松些吧！不必吊书袋子，我们就可以证明数学不仅是让孩子心智快活的玩具，也是让我们成年人精神愉悦的情侣。她/他可爱着呢！

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-7 16:18 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-7 11:31 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4043778&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
将来我计划用这样步骤解决牛吃草的问题:
1. 在看到有关风沙袭击北京时,提出这个问题.
2. 让儿子搜集有关风沙的新闻,研究报告.
3. 寻找风沙的根源. 评价过渡放牧对风沙形成的影响.
4. 引入牧民一家的生活,提出牛吃草的问题. 如果有机会去一次内蒙就太好了.
5. 让儿子给这家牧民提出建议.[/quote]

有这个想法的话可以看看这个帖子：
[url]http://ww123.net/baby/thread-4587999-1-1.html[/url]

很好的一个题目。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-7 00:36 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4043365&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
如何解释这道题

从理论上说“0.9……（循环小数）”不等于“1”，但我经过数学推理，“0.9……（循环小数）”就等于“1”。具体推理过程如下：
0.9……（循环小数）=0.3……（循环小数）×3=(1/3)×3=1
推理 ... [/quote]
这里有过讨论的：
[url]http://ww123.net/baby/thread-4553725-1-1.html[/url].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-7 15:26 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4044419&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
在下非常赞同数学即使没有用也值得去学习、钻研、把玩的观点，可同时也反对在数学启蒙阶段脱离生活、游戏以及孩子认知方式去教授纯粹的数学。[/quote]

赞同。数学不仅仅是一堆定义和公式，更要了解后面的来龙去脉。.

给大家推荐一位才女MM及其育儿故事，兼议“谁是数学白痴？”

　　YANGXIMI者，才女也，茄妈也。蕃茄者，蓬莱路第二小学一年级生也。传说中该校作业量正常，老师心态正常，加之父母育子有方，此子极其阳光灿烂，极尽搞笑搞怪之能事，每天的学习生活皆成传奇。茄妈有神笔一支，顺手拈来，皆成趣事，记录在案，贴之WW。读来令人喷饭，令人神住。
　　近日，茄妈有一则涉及数学作业的帖子。转载如下，感慨系之。

[b][color=Red]蕃茄故事——心态[/color][/b]
（源自[url]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4592446&extra=page%3D1%26cycleid%3D49[/url]）

　　昨天蕃茄拿回来一张数学卷，躲躲闪闪地，可又不得不拿出来让偶签名。一看，怪不得，看图列式居然错了两题！
　　茄妈正想批评，可仔细看看题目，瀑布汗，这鸟儿飞进飞出的，偶也看不懂。再看看蕃茄订正的式子，这汗就算是发大水了，因为，因为偶看了答案也不明所以啊！
　　蕃茄先是满脸小心地问：“妈妈，这道题其实我还是不大理解的，到底什么意思啊？”
　　茄妈满脸迷茫地回问：“你确定这个答案是对的么？”
　　“是啊，这个是老师说的。可我还是不大理解。”
　　完蛋了，答案是定论，可娘儿俩一对满不懂啊！茄妈只好非常非常诚恳地向儿子道歉：“妈妈和你一样，也不理解。”
　　“啊？”蕃茄错愕地张大嘴巴：“你也不懂？那我怎么办啊？”
　　“介妈妈是不懂啊。你想想看，妈妈没有爸爸聪明，爸爸没有你聪明，你都不懂，我们怎么会懂呢？还是明天去问老师为什么吧。”
　　蕃茄想想，也没别的办法，但对于偶滴答案很满意，因为无论他在班里怎么样，至少在这个家里，他是最聪明滴人。于是收起卷子决定明天去问老师，把自己的聪明指数再提高一个层次：）
　　茄妈心里嘀咕：这低年级数学么把四则运算搞搞明白就可以了喽，聪明点的，还可以做做附加题，介没事儿老画两只鸟飞进飞出的有啥意思啊？不懂就不懂，没关系。心态要好哈，心态一定要好！
　　于是偶摆正心态对牢儿子补充：“妈妈比爸爸大十五天，爸爸比你大三十岁，生得越晚越聪明，这个就叫青出于蓝而胜于蓝，明白了？”
　　蕃茄点点头，去踢足球了。茄妈对自己的教育成果非常满意啊：虽然偶没教会他数学，至少，至少还教了个成语不是？

[b][color=Red]小子故事——另一种心态[/color][/b]

　　记得孩子小一时也做过类似的题目，也被老师判为做错。周末卷大概是用一体机复制的，不是很清晰。经孩子讲解，我算是明白了。原来，图中是一棵树，树上有3只小鸟，天上还飞着3只小鸟。题目要求学生根据图意列式计算。我孩子列出的式子是：

　　3+3=6

　　孩子说，这题做错了。老师告诉他们，正确的答案是：6-3=3.
　　我不明白。
　　孩子说：这幅图的意思是——树上本来有6只小鸟，飞走了3只，还有几只？要用减法。我用的是加法，所以错了。
　　我倒。凭什么说孩子错了？凭什么就不可以这样想？——春天来了，万物复苏。有3只可爱的小鸟在枝头低呤轻唱，还有3只轻盈的小鸟在低空飞翔，问共有几只小鸟？
　　当时我心里就这么想的，可是不敢这么对孩子说。我对孩子说的，让我至今感到羞愧，尤其是在读完《蕃茄的故事》之后。我说：老师这么说，那就照老师说的去理解，去列式子。

　　茄妈也光顾过这里，并留有佳作（见第93楼）。人家自称“数学白痴”，可是人家对待孩子的数学学习的心态，让人觉得包括我在内的许多人才是“数学白痴”。
　　其实，数学白痴有两种。一种是怎么学也学不会数学，一种是心智异常的“数字天才”。这种“天才”经过训练之后，做加减乘除，速度比算盘和电脑还快。因为，算盘也好，电脑也好，毕竟还要正常人去操作。曾经一段时间盛传过“数字天才”打败算盘和电脑的传奇故事。请注意哦，我们可没有说他们是“数学天才”，只是说他们是“数字天才”。他们脑子里的数字以一种我们难以理解的方式数在高速而准确地运作，但是这些数字以及它们的运算在这些人头脑里没有生成任何意义。所以，他们是“数学白痴”。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-14 10:09 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-7 15:26 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4044419&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
　　在下非常赞同数学即使没有用也值得去学习、钻研、把玩的观点，可同时也反对在数学启蒙阶段脱离生活、游戏以及孩子认知方式去教授纯粹的数学。这种数学对于孩子，一如 Ernest 的《数学教育哲学》之于我，面目可憎。要是我们脑子里的数学都不可爱了，我们的孩子怎么会觉得她可爱呢？
　　
[/quote]
我好奇的是：孩子是怎么看数学的呢？又，数字的可爱在哪里？

我的专业不是数学，我的逻辑思考还行，解题没问题，可是对数字的掌握有点障碍。我知道有些人有认字障碍，就是智商没问题，可是就是难以认字；我对数字也有点这样，看过以后，进不了脑。我对数字，没有感觉。

我的大儿子刚好相反。他打从很小，就喜欢数字。两岁，教会他认数字后，他发现书上有页数，就找了最厚的书--字典，要我教他读页数。过了几个月，他问我：数字越数越大，是不是没有尽头的？也曾问我：往下数，是不是零下？（这里冬天很冷，所以他很熟悉零下这个词。）

他能够摸索出这些数学概念，我当然很高兴。可是，我不太能理解，为什么他会对数字着迷。

他和我可说是话不投机。看了关于铁坦尼的书，他津津乐道的是：船上载了多少鸡蛋，船有多重，有几層，多少船员，头等二等三等搭客有几人，头等舱面积多大。[em17]

小儿子哭了，待续.

数字不可爱　数学可爱　数字背后的意义可爱　　回复 2#sask 的帖子

　　记得ccpaging在前面某个帖子里说过，他不怕数学，但怕数字。对数字感冒，并不表示对数学反感。
　　如果你对数学没有好感，那么，你家大公子对数学的好感大概很难归功于你。但是，他身边总有人，总有某种特殊的际遇，使他迷上数学。
　　要理解别人的爱好其实也不难。想一想，你认为什么可爱？再想一想，它为什么可爱？再想一想，它在你眼、脑里、心里是怎么变得可爱的？最后，你就可以用类似的方式，试着去理解孩子认为可爱可乐但你一直并不觉得可爱可乐的事物。
　　我还是等着你讲完孩子的故事吧！期待中！！

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 10:01 编辑 [/i]].

茄妈幽默的。:lol.

回复 361#sask 的帖子

有些人对于数字的喜爱是不需要背后的意义的。
或者说再他们眼中的“意义”在其他人（甚至包括一部分其他数学家）眼中根本不是“意义”。
比如说奥数一定涉及的整除，余数，素数等知识吧，这些的全部意义就是数字上的意义，任何超出数字的解释都是画蛇添足。
你的孩子喜欢数字，可能每个数字在他眼中都是一个精灵，都是他的一个特别的朋友吧。
这没什么好奇怪的，有的孩子喜欢昆虫，每种昆虫都分得清清楚楚，津津乐道；有的喜欢恐龙，有的喜欢兵器，有的喜欢奥特曼，有的喜欢动漫游戏，有的喜欢。。。所以喜欢数字也一样。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-8 09:50 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4046836&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
有些人对于数字的喜爱是不需要背后的意义的。
或者说再他们眼中的“意义”在其他人（甚至包括一部分其他数学家）眼中根本不是“意义”。
比如说奥数一定涉及的整除，余数，素数等知识吧，这些的全部意义就是数字上 ... [/quote]

我只好这么想。

我虽然不能理解，可是他在生活中表现出来的那股劲，我是蛮感动的。他学溜冰，教练要大家溜十圈，他就一定要溜完十圈。到第五圈时，其他学生都走光了，因为他溜得非常差，基本上是一步一步走，可是他就是坚持到底，一定要达到“十”。说要跑一公里，就估计一下客厅范围多大，应该跑几圈，就一定要跑完。跑完后，觉得还有余力，想跑10公里，我马上阻止。折一百架纸飞机，写一千个字，在水底翻跟斗等。。。

他的乐趣仅停留在数字，没跨越到数学的其他方面，小时候让我惊喜的灵思，也很久不再重现。看到你们雀跃的谈数学的乐趣，我有点内疚。

小王子在某个星球上遇到一个对数字着迷的老者，我看书时一笑就置之脑后。现实生活中，我要是不能稍微理解的话，对他对我都是蛮悲哀的。.

上周小女的数学周末卷：有两种水果，芒果每箱6千克，共72元，苹果每箱4千克，共52元。哪种水果便宜？便宜多少？小女答卷：72-52=20，答：苹果比芒果便宜20元。我没晕过去算万幸。
我拿了6粒德芙巧克力，6粒吉百利巧克力，然后各写了2张纸条，德芙是妈妈生产的，6粒卖12元；吉百利是爸爸生产的，6粒12元。
我：哪个便宜？
女：一样便宜。
我：为什么？
女：因为大家都是6粒，而且都是12元，所以一样便宜。
然后我从德芙那拿走了3粒。
我：现在哪个便宜？
女：爸爸生产的便宜
我：为什么？
女：因为你的每粒要3元，而爸爸的只要2元
我：OK，那周末卷的题目错哪，知道了吗？
女：嘻嘻
我：知道爸爸的为什么便宜吗？
女：不知道
我：因为爸爸是开黑心工厂的，他做的巧克力都是用水兑的，而妈妈都是用正宗的巧克力酱制作的，所以我们生产花的钱不一样，也就是成本不一样，所以即使我和老爸卖的价格一样，但妈妈赚的钱少。（顺便引入市场规律）[tt6] [tt6] [tt6]
女：（大笑）我爸爸是开黑心工厂的
我：如果妈妈要赚的钱多，但我还是要用巧克力酱生产，那该怎么办
女：卖的贵点
我：太聪明了，未来的生意人。为什么都是用同样的巧克力酱生产，有的巧克力就卖的贵，有的就便宜
女：无语
我：因为品牌，因为哈根达斯的名气响，所以同样是冰淇淋，它就是卖的比别人贵。
我：如果是你，你会选择降低成本还是提高售价
女：提高售价，那妈妈你呢？
我：哈哈，我是两者都要，不过不能向老爸那样，开黑心工厂，因为那样迟早要被抓去坐牢.

谁适合做郭靖的师傅？　回复 365#sask 的帖子

　　哈，你家大公子是郭靖耶，不是黄蓉，不是令狐冲哟！
　　请谁当他的师傅比较合适？
　　请黄药师？请风清扬？那就惨了！不光师傅会气得吐血，孩子也会教坏，教傻。
　　还是请洪七公吧！或请少林方丈！亢龙有悔，见龙在田，一招一招地教，领会一招再教一招。慢慢来，不要贪多，多教了对这孩子有害无利。但这种孩子有一种可贵的素质，一旦真正掌握一招，他就能够把这一招的威力发挥到极致。好好培养！这种孩子适合学内功型的本事。别让孩子去学凌波微步、剑宗之类的华丽、飘逸的武功！也别羡慕身边那些常被人夸的聪明伶俐的令狐冲哥哥、黄蓉妹妹！让郭靖走他们的成长道路，就会毁一个可能的大师！
　　不过，现在的学校教学、考试好像更适合令狐冲和黄蓉。因此，对郭靖就需要格外的呵护、耐心、鼓励。在今天这种急功近利的浮躁环境中，郭靖能成人成才，简直就是奇迹！那太需要抚养者、教导者的定力和智慧了。
　　遥想郭靖当年，有多难呀！不仅常受黄蓉善意的戏弄，还被杨康这瘪三追打得如丧家之犬。好在郭靖运气好！启蒙时遇着品学端庄、重视内功修为的江南七怪，读小学中学上提高班时遇着全真七子，读大学时又掉进洪七公、少林方丈等一窝大师中，大学毕业之后各处游学还不停地遇着欣赏他的奇人异士，其中就有武功盖世却把武功当儿戏的老顽童周伯通。天性善良、敦厚、心思简单、做事专心、极有毅力却从不想到当武学大师的郭靖，就这样一不小心成了大师。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 20:03 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]qiaoyingq[/i] 于 2008-12-8 11:19 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4048086&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
上周小女的数学周末卷：有两种水果，芒果每箱6千克，共72元，苹果每箱4千克，共52元。哪种水果便宜？便宜多少？小女答卷：72-52=20，答：苹果比芒果便宜20元。我没晕过去算万幸。
我拿了6粒德芙巧克力，6粒吉百利巧 ... [/quote]

没错啊，一箱苹果比一箱芒果便宜20元。你又没有问单价。

再次印证楼主前面说的“其实就是考语文”的观点。[em16].

回复 368#火车是运茶的 的帖子

[em04] 正想说这事呢！想到一块了！！[em01].

轻松学数学：毕达哥拉斯学派真相

[url]http://songshuhui.net/archives/5553.html[/url]
（强烈推荐“松鼠会”！）

[attach]226036[/attach]  

[attach]226037[/attach]

[attach]226038[/attach]  

[attach]226039[/attach]

[[i] 本帖最后由 shumi1 于 2008-12-8 14:17 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-7 00:36 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4043365&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
如何解释这道题

从理论上说“0.9……（循环小数）”不等于“1”，但我经过数学推理，“0.9……（循环小数）”就等于“1”。具体推理过程如下：
0.9……（循环小数）=0.3……（循环小数）×3=(1/3)×3=1
推理 ... [/quote]

“0.9……（循环小数）”等于“1”，推理和结论都正确。“0.9……（循环小数）”不等于“1”才是错的。我们经常犯的错误是用一个范畴里的知识来解释另一个范畴里的问题。

0.9……是初等数学里的一个数，一种现象（循环小数）；0.9……=1，是数学分析里的一个结论，一种现象（极限）；用初等数学里的知识（和不属于数学范畴的想象力）来看数学分析里的问题，难免就会有很多疑问。

也说个关于极限的问题，比0.9......=1更隐蔽 :lol

甲乙两个人，一顶帽子，开始甲戴，过一分钟，给乙，过半分钟，给甲，这样间隔一直一半一半下去，最后帽子在谁头上？

在数学分析的范畴里，这顶帽子既在甲上，又在乙上。

前面老兄说到吃不完的蛋糕问题，其实也是用初等数学（或者更确切的说，生活经验）来观察数学分析里的极限问题。蛋糕被无限对分之后，并不会有想象中的那么一丁点，而是0（没有）。但是，老兄也没有说错，蛋糕的确是吃不完的，只是，有一个前提被隐藏起来了，完整的论断是：在蛋糕没有被吃完之前，蛋糕是吃不完的（可以一直对分下去）。这其实是历史上很著名的一个悖论。

话匣子被打开了 :D 再说下LZ前面提到的父子变兄弟的问题，探讨下，希望LZ不要介意。

父子变兄弟，也范了类似的错误：用一个范畴里的知识来解释另一个范畴里的问题。

父子，兄弟，这些概念的存在依赖于“代”(generation) 的概念，而“代”的概念依赖于“生命期”(life cycle)的概念，而一个生物体，如果有“生命期”，那必定是有限生命的。当我们讨论无限生命（长生不老）的时候，也就没有了生命期，代，父子，兄弟这些概念。父子变兄弟，其实是偷换了一个前提，完整的论断是：如果父子能变兄弟（按照LZ的说法是，如果人的生命无限），那么父子能变兄弟。至于因此来讨论三位一体，更是关公战秦琼了。

谢谢LZ开了个好贴，WW上难得看见这么求同存异的帖子。.

[quote]原帖由 [i]shumi1[/i] 于 2008-12-8 14:14 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4050284&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
[url]http://songshuhui.net/archives/5553.html[/url]
（强烈推荐“松鼠会”！）

226036  

226037

226038  

226039 [/quote]
很不错，谢谢分享。.

回复 368#火车是运茶的 的帖子

可是每个水果的含金量是苹果贵呀？！这两种水果的价格所包含的重量应不计吗？.

谈父子教学无穷大　兼接受yiyilaoba 的批评

　　[em16] [em16] yiyilaoshi 批评得对。我接受，并请各位BBMM注意：hxy007说数学教育兴许还有几分可信，说数学本身的问题时，就不要太当真了。
　　偶是一觉得数学好玩，就会胡扯的。偶越胡扯，就越觉得数学好玩。不但数学好玩，跟数学扯到一块的万事万物也好玩。偶有时也不胡扯，那时一般就不好玩。试举一列说明之。
　　前面ccpaging报道了他们家父子俩探讨无穷小的经历，其实他们还探讨过无穷大的概念。我们家东施效颦，也试过一回，但办法不同。请各位来观察和评价一下：哪个更有趣？哪个更具教学效果？

下面引自“明强小学”圏[url]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4574737&extra=page%3D1%26cycleid%3D52[/url]

[b][color=Red]二年级：除数为什么不能为0？[/color][/b]
ccpaging 发表于2008-10-16 23:16:00

　　先准备一个20厘米的尺子。
　　父：当我们要把尺子分成2厘米的小节时，能分成几个小节？
　　子：10小节，写成算式就是 20 / 2 = 10，在这个算式里，20是被除数，2是除数，10是商。
　　父：当我们要把尺子分成1厘米的小节时，能分成几个小节？
　　子：20小节，写成算式就是 20 / 1 = 20，在这个算式里，20是被除数，1是除数，20是商。
　　父：当我们要把尺子分成0厘米的小节时，能分成几个小节？
　　子：没法分了。
　　父：原来我们学过乌龟和兔子过沼泽地的故事。兔子的腿长，一次可以跳2个树桩的距离，需要跳10次。乌龟的腿短，一次只能跳一个树桩的距离，同样的距离跳20次。如果来了一个腿更短的小动物，那么它就需要爬更多次，才能走过沼泽地。
　　子：如果是小蚂蚁，就需要走很多步。
　　父：所以，我们发现，腿越来越短，每次爬的距离越来越小，需要爬的次数也就越来越多。如此反复，直到无穷大。也就是说，当除数为0时，商是无穷大。
　　子：如果是一片树叶掉在沼泽地里，一步也走不动，那它就永远也不可能走出沼泽地了。

[b][color=Red]三年级可以理解无穷大了[/color][/b]
hxy007表于2008-11-4　17:55

　　今天早上不知什么原因，儿子说起老师告诉他0÷1=0，1除以0也等于0.估计孩子是听错了，但他坚持说就是老师教的。不管怎样，不能让孩子坚持一种错误。于是想到ccpaging这个帖子，既然人家的孩子二年级都能够理解“无穷大”概念，俺家孩子三年级了，应该也没有问题吧。况且，俺家孩子已经开始学小数。和他讨论“无穷大”，有利条件多了。下面是今天早上的父子对话：

　　父：1÷0.1等于多少？
　　子：10.
　　父：行啊！你怎么算出来的？
　　子：因为10×0.1=1.
　　父：我知道你怎么算的了。那么，1÷0.01呢？
　　子：100.
　　父：1÷0.001呢？
　　子：1000.
　　父：1÷0.0001呢？
　　子：10000.
　　……
　　父：我的除数就这样一直小下去，你的商呢？
　　子：我的商就一直大下去。
　　父：我的除数小小小，小到0，小得不能再小了。（其实还可以小下去，但孩子没有学负数，就这样说吧）
　　子：我的商就大大大，大到不能再大。
　　父：对！大得不能再大的数叫“无穷大”。那你说，1÷0=0对不对？
　　子：不对。1÷0应该等于无穷大。
　　看来，学了小数，理解“无穷大”概念更加方便。

　　也许有人会说，hxy007父子的证明更严密，更数学！我倒由衷地认为ccpaging父子的方法更可取，因为它更直观，更有趣，更自由，更具想象力，小孩子的印象更深，而且把握得住。就是说，效果更好！只是我家孩子的问题有所不同，且因学单位换算而开始接触小数，我想知道孩子究竟能否理解小数，才使用了这个法子。否则，光和孩子讨论无穷大概念的话，还是用ccpaging的法子更为恰当。那可是一种富有诗意的数学！

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 22:52 编辑 [/i]].

呵呵，花了一个下午的时间，看这个帖子。

果断地评选本贴，为我在旺旺上看到的最好的帖子！

理智又不乏激情，俺喜欢！.

[quote]原帖由 [i]qiaoyingq[/i] 于 2008-12-8 15:06 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4050961&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
可是每个水果的含金量是苹果贵呀？！这两种水果的价格所包含的重量应不计吗？ [/quote]
大人会假定题目问的是单价，可能题目的本意也是如此，但是应该允许小孩理解为总价。
不管怎么样，这里的问题已经跟数学没有关系了。这完全是一个生活常识或者交流沟通的问题。
考试最好不要出这种模棱两可的题目。.

回复 367#hxy007 的帖子

挑个刺，[em16] 杨过是后辈，和郭靖同时的是杨康。.

回复 377#火车是运茶的 的帖子

谢啦！改过来了。我可不想骂杨过。.

嘻嘻,茄妈是我的偶像.....

回复 366#qiaoyingq 的帖子

LS说的都挺有道理的，问题并没有明确到底是以箱作为单位还是以公斤作为单位来比较。两种做法都应该得到老师的认可。不过我估计老师只会认可这位妈妈的做法。因为我们现在解题往往是先要揣测老师究竟要我们回答啥，才敢去回答的。常常是：题目是灵活的，答案却是死的。.

真不舍得这个帖子离开明强的圈子。前一阵碰到老邻居，她儿子就读在其他小学。她无比羡慕地对我说：旺旺上你们明强的圈子真好呀，讨论的内容那么有深度，又宽泛，不是一天到晚什么分，什么班，什么证。。。看着就让人紧张让人烦。。。 我听得那个美啊，得意啊，轻飘飘啊。希望没有了这个帖子的明强圈子继续把这种精神发扬光大下去。.

弱弱的问一句，明强小学在哪？.

回复 371#yiyilaoba 的帖子

如果是我的话，我会这样来讲。
你需要理解，“数值”和“数值的表达形式”是2回事。
比如说0.3333.....和1/3的值相等，但是表达形式很不一样。
其实，小数这种表达形式是人们为了书写简便而创造的。
比如说一个小数0.123其实它在10进制下的值就是表示（1/10+2/100+3/1000）的和。
而0.999999.....的值就是（9/10+9/100+9/1000+9/1000+......）的和。这个和可以用你掌握的方法来计算，等于1。
所以说，1和0.9999....的值是一样的，但他们的表达形式不一样。以后你还会遇到很多表达形式不一样但是值一样的数，这一点都不奇怪，就像同一个人穿了不同的衣服一样。

再扩展一下，你可能会问，我知道0.3333....等于1/3是因为我会列触除法的算式，1除3算出来就是0.3333.....。可是，我用1除1，算式列不出0.99999......，这是怎么回事呢？
我告诉你，用1除1，算式也可以列出0.99999......。
诀窍就在于你的第一位不要马上写出1来，而是写一个零（现在我们的除法还没做完呢，只要最后没有余数，我们就除好了，不是吗？）。然后，被除数是1.0，除数是1，商现在是0.，接下来你试着写一个9（你未必知道10除以1等于10的，我们试一下，只要最后能够除尽，不就行了吗？）。继续下去，你发现什么了，你除出来了，1除1的商是0.99999........。

[[i] 本帖最后由 jyuntoku 于 2008-12-9 16:57 编辑 [/i]].

回复 382#yiyilaoba 的帖子

弱弱地回答：明强在闵行的。不过我上面的回复主要是针对旺旺上的明强圈子的，更精确一点：主要是指旺旺上的明强圈子里的几个牛BB引发的一系列经典讨论。.

回复 374#hxy007 的帖子

按这样教无穷大的概念确实比较形象，但会有以下缺点。
因为老师可能教过，任何数乘以0等于零。
而除法是用乘法的逆运算来定义的，求一个数除另一个数的商，其实就是求除数乘以多少的结果等于被除数。
那么，如果1除0等于无穷大的话，就意味着无穷大乘以0等于1。这和老师教的任何数乘以零等于零就有矛盾了。

我认为有必要从一开始就告诉孩子，无穷大不是一个数。是为了能够让零做除数，我们才特别造出一个新的概念叫无穷大。它和其它的数很不一样。不一样在哪里呢？我们可以讲很多小故事。比如说有名的旅店排房间问题。

如果有BBMM认为没有必要给孩子讲得那么深，那么我建议，索性就和孩子说我们现在手头的数里找不到任何一个和零乘起来等于1的，所以我们写不出1除零等于几，我们现在手头的数并不完美，不够用。这样的困惑是符合人类认知数学探索数学的历史规律的。以后，让孩子带着这个“无法解决”的问题接触无穷大的概念，他会得到更多东西。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-9 16:52 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4060613&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
如果是我的话，我会这样来讲。
你需要理解，“数值”和“数值的表达形式”是2回事。
比如说0.3333.....和1/3的值相等，但是表达形式很不一样。
其实，小数这种表达形式是人们为了书写简便而创造的。
比如说一个小 ... [/quote]
嗯，不过，这和初等数学里“余数<除数”的规则相左，可能会引起混淆。.

[quote]原帖由 [i]有你乐无穷[/i] 于 2008-12-9 17:08 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4060735&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
弱弱地回答：明强在闵行的。不过我上面的回复主要是针对旺旺上的明强圈子的，更精确一点：主要是指旺旺上的明强圈子里的几个牛BB引发的一系列经典讨论。 [/quote]
知道了，谢谢。.

回复 385#jyuntoku 的帖子

下面我想写为什么我们需要有一个零，以及为什么任何数乘以零等于零。

我先有了自然数（从1开始，可以和我们看到的客观世界的物体的数量对应）。自然数是建立在“1”之上的。我有了1，意味着我们可以把某样东西认识为“一个”对象。然后我们会数几次“1”，就有了所有的自然数。每个自然数意味着我们数了若干次的“1”。

然后我们发明了加法。2加3，意味着我们数了二次”1“以后又继续数了三次”1“，我们发现这和我们从一开始数五次”1“的结果总是一样的。所以我们把数了二次'"1"写作2，数了三次”1“写作3，数了五次”1“写做5，而且我们用+来写加法的话，就有2+3等于5。我们惊讶地发现，我们总能找到任何两个数的和，因为只要我们数下去就能数到那个数。我们非常高兴，因为我们有一座数字组成的完美的宫殿。

我们有了加法还不满足，我们还想知道哪个数加上3等于5之类的问题的答案。我们把这个答案写作5-3，根据我们做加法的经验，我们知道5-3等于2。

但是我们很快就遇到麻烦了，我们找不到3-3，或者3-5的问题的答案。在我们已经有的数里找不到这些问题的答案。我们很犯愁，觉得之前的数字宫殿一下子就变成了一栋破屋。

我们绞尽脑汁想解决这些让我们束手无策的问题。我们开始尝试，我们假定我们找到了3-3的答案，我们把它叫做零，根据我们做加法的经验，零+3应该等于3。迄今为止似乎没什么可抱怨的，只是，难道我们要给之前的每个数（暂且称为“老数”）都配一个新的数来表示那个老数自己减去自己吗？那可太麻烦了。

让我们走得再远一点，我们知道2+3=5，你猜我们发现了什么，我们发现，既然零+3=3，那么零+3+2=零+（3+2）=零+5，同时零+3+2=（零+3）+2=3+2=5，啊哈，原来零+5=5。看来，任何一个我们之前用的数（暂且叫“老数”）-同样一个老数，也都等于零。我们不用找那么多个零了，我们只需要一个零，就能写出所有老数减自己的答案了！我们把零写作”0“。

今天暂时写到这里，我们把零给发明出来了。其余部分以后有时间，我会接着写的。.

回复 386#yiyilaoba 的帖子

我在列除式的时候没有用到你说的余数的概念。
我只是说，只要我们最后除法算式能减出零来，我们就除完了。

另外，余数的概念是基于整除的概念产生的，我们讨论商是小数的时候，根本不会有整除，所以也不会有余数。.

回复 386#yiyilaoba 的帖子

我又想了一下，提到余数反而更容易说明。

7/3=2余1。余数的概念是这个意思 ：
7/3=2余1=2*3+1。
同时，我们也可以写出这样的等式：（只不过这里加号后面不再是余数了，但不妨碍等式成立）
7/3=1*3+4=0*3+7

我们在做那个除式的时候就是想通过算式算出，1/1=0*1加几？
我们除出来，1/1=0*1+0.999.......。所以0.999......=1.

重要地是你的感受

当我们对数学问题不断的深入讨论下去的时候。我的儿子在不断的打哈欠，那么我是不是应该把儿子拎出去教育一顿:"你怎么能对学习这么没有兴趣，你看这里多少BBMM都在刻苦地专研数学问题."

昨天看了《死亡诗社》，老师说：“你们不要去分析诗人在诗歌里边讲什么，重要地是你的感受是什么？”

数学是不是有类似的东西在里边呢？

说到系统范畴的问题，在一个解题系统里边，只有三个组成老师、学生、教科书，题目是从天上掉下来的，答案是标准的。也难怪在这个系统里边，无论我们多么深入，永远也无法找到关于如何发现问题、如何解决问题、如何验证问题的答案，因为这个系统里边本就不存在这些东西。

但是，数学真的就是这么狭隘吗？如果这的是这样，那数学真的是无趣的。不喜欢做题的同学可以放假了、、、

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:42 编辑 [/i]].

质疑是自然科学的本质

谁来答惑？
如何解释这道题

从理论上说“0.9……（循环小数）”不等于“1”，但我经过数学推理，“0.9……（循环小数）”就等于“1”。具体推理过程如下：
0.9……（循环小数）=0.3……（循环小数）×3=(1/3)×3=1
推理过程没错，但0.9……（循环小数）=1让我无法解释，特此请各位老师指导，谢谢！
福建省漳州市芗城小学五年级学生

二OO八年十一月十九日
=============================================
这道题是一个good question，我认为真正的问题出现在：
0.9……（循环小数）=0.3……（循环小数）×3

在不涉及到无限循环小数前，这个等式的成立的。这个在我们做的所有的算术中，都得到了证明。

可是这些算术中的金科玉律真的能应用于无限不循环小数吗？我们的学生能在这个问题上打上个大大的问号吗？

从这道题的计算过程来看，事实非常不能令人乐观的。甚至在一个明显的错误出现时，我们甚至都没有想到过，或者说敢于去质疑一个算术教科书上的金科玉律。说到底，在一个解题系统里边，仅仅是顺从和接受，原来根本没有质疑的空间。

令我想起儿子一年级语文老师给儿子的评语:“希望Alex能够质疑问难”。

这是一个好老师。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:43 编辑 [/i]].

懒汉试算法

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-9 19:57 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4061516&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
　　当我们对数学问题不断的深入讨论下去的时候。我的儿子在不断的打哈欠，那么我是不是应该把儿子拎出去教育一顿:"你怎么能对学习这么没有兴趣，你看这里多少BBMM都在刻苦地专研数学问题."
　　……
　　但是，数学真的就是这么狭隘吗？如果这的是这样，那数学真的是无趣的。不喜欢做题的同学可以放假了……[/quote]

　　[em01] 深有同感！[em11] 严重同意！

[color=Red][b]回归“亲子数学”[/b][/color]

　　最近的帖子由于几个大虾的加入，讨论越来越深入，也越来越热闹了。其中的许多讨论，唤起了我学过的许多曾经让我会心一笑的数学知识，也让我增长了许多新的数学知识。可是，怎么说呢？好像我们这些BBMM自己玩起了数学，却忘记我们的孩子。个人认为，让孩子喜爱数学的BBMM一定也是数学迷。各位迷到在此开数学学术讨论会的程度，令我感动。只是本帖是想一起来谈“亲子数学”，尤其是“快乐的亲子数学”。因此，请各位发表了数学方面的高见之后，也谈谈如何让孩子们领会这些高见，并且像我们一样享受其中的乐趣。
　　我带个头吧！——回到亲子数学上来。

　　今天下完班上来看，觉得这个帖不怎么好玩了。就翻墙到蓬莱路第二小学里，找好看好玩的东东。在这里，茄妈YANGXIMI几乎每隔一天，就会说个蕃茄小子的传奇故事。今天我又看到一则数学方面的帖子。转述如下：

[color=Red][b]恼人的小一数学[/b][/color]
YANGXIMI 2008-12-9 14:02
（引自[url]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4594641&page=1#pid4061655[/url]）

　　昨天被这个看图列式真得搞死，周练上又有一道偶看不懂的，或者说偶看不清的，所幸蕃茄做对了。就是有只笼子，里面有五只，外面有七只，介我想要么是5+7，那么就是求有几只鸟，要么是12-7，笼子里还有几只鸟，再不济12-5，飞走了几只鸟。结果真晕死，统统不是，答案是8-3+4，偶怎么看都看不明白，后来蕃茄告诉偶，故事是酱紫滴：本来笼子里有8只鸟，飞走了3只，所以还有5只，但还有4只想进来，所以答案是9.真真彻底晕厥咯！我问他怎么知道外面七只鸟里有逃出去的，有作死要进来的，他说看鸟的嘴巴，朝笼子外的说明是逃走，朝笼子里说明要进来。偶，偶，偶，让偶死了吧！
　　还有一道附加题：A+B=15，A-B=5，问A=？，B=？。
　　蕃茄的确会做，但他的算法和我们的代数完全不是，在我看来那就是凑数，他看了题目就告诉我：其实就是有两个数，它们加起来的和是15，它们相减的差是5，问我们这两个数是几。然后他就自己凑15的分与合，一下下就凑出了10和5.但如果数字再大些，这种方法肯定就不行了。
　　我觉得这种方法太“低级”，但在旺网上得到人家肯定，说是数学的一种很重要的演算方法，叫“试算法”，介么我也呒没想法咧，人家搞数学的人都肯定的说，呵呵。
　　我试着教他把两等式相加或者相减，可蕃茄不是很明白等式的意义，所以并不能运用。
　　我再试着教他代入法，把式二代入式一，一开始很难理解，但后来通俗地讲了一下，终于明白了。我是这样解释的：式二表明什么呢，表明A比B大5，那么我们是不是就可以把B写成A-5？蕃茄不理解，但他认同A比B大5，经过自己的反复凑数演算，终于认可一个数比另一个数小五的话，的确可以写成另一个数减5，（晕死！）。然后他自己就把A-5代入了式A，然后求出了A。
　　但是偶换了两个数字给他做，可能比较大，和都出到64了，想当然以为蕃茄还会做咯，结果不会了。我估计是自己教的方法不对头，想向大家求助，到底哪能解释比较好懂些？？？
　　偶是真的白痴咯。或者说偶以前解题是只知其然，不知其所以然咯，比如这个等式互加减什么的，偶真是昨天才明白为什么可以滴。所以现在很怕教错蕃茄了，我不知道让他怎么理解这个“代入”的概念。现在他可以把式2化解成A=5+B，但就是想不通代入这一层，一定要我帮他代好了，他才会作下去。是不是偶教的方法本来就不对头呢？不应该教他代入什么的？

[b][color=Red]懒汉试算法：hxy007回复YANGXIMI 的帖子[/color][/b]

　　是的，教早了。一般效果不好。
　　就让他试算吧！你想啊——因为这道题，蕃茄公子不得不一个数一个数、一组数一组数地试算下去。他最终总能找到答案，而且顺便做了许多道加法、减法题目，还不会觉得累，不觉得烦，多合算啊！[em16]  
　　但是，有四个建议：
　　第一，在试算之前，可以和蕃茄公子讨论和估计一下试算的范围，可以这么启发：A最大可能是多少？（从式一中可知是15）A最小可能是多少？（从式二中可知是5）这既是在确定试算范围，也是在让孩子明白试算并不是瞎猜。就他目前所知的自然数范围而言，他要是用A=16或A=4去试算，就是瞎猜。
　　第二，试算时要阻止蕃茄公子不要无规律地、跳跃性地乱猜，要求他或建议他，在既定的试算范围内有序地试算。可以从“A为15时，B在一式中和在二式中是多少，是不是一样”开始，然后试算“A为14时，B在一式中和在二式中是多少，是不是一样”，降序试算，直到找到答案；也可以从“A为5时，B在一式中和在二式中是多少，是不是一样”开始，升序试算，直至找到答案。这么有序试算的过程中，一定要让孩子去体会为什么要这样做——乱猜可能会漏算了正确选项！
　　第三，如果蕃茄公子有兴趣探讨这个话题，还可以进一步鼓励和启发孩子：能不能想个法子，少试算几次就找到答案？其中有一个法子是：先试算一头一尾（A=5和A=15），在没有找到答案的情况下，再试算中间那个数（A=10），这下恰好就找到了答案。在别的题目中，中间数可能还不是答案。这种情况下，可以根据实际情况，判断正确答案是在前半部分（如5~10），还是在后半部分（如10~15）。这等于是减掉了一半试算量。反复用这个法子，就能够以一种严谨的但试算次数少的方法，找到答案。有了这个思路，你会发现数大的方程式，用试算的方法也可解答。如果蕃茄公子对想出一个如此巧妙、合理的偷懒办法有兴趣，一定要加以鼓励和促进。
　　第四，即使孩子对上述“懒汉试算法”没有兴趣，或者不理解，也没有关系。让他老老实实从5到15（或从15到5）有序地试算，可能会另有一番作用。因为，这种一个不漏的有序试算，会在试算的孩子面前，呈现A和B在两个方程式中的变化规律。适当提示和引导，孩子就可能发现这种规律，甚至就会觉察到两个式子中有一种神奇的联系。他要是再灵机一动，一不小心就“发明”了代入法，或者说，突然领悟了代入法——[b][color=Blue]成功的教例[/color][/b]见本帖第16楼（有人批评hxy007把事情弄繁琐了，可能是因为没有理解俺的深意）。就算一时领会不到，也可以为初中正式学习二元一次方程作一次初步的启蒙。
　　总之，这个题目本来就不应该让小学生做。在小学的任何考试、测试中，都不应该出现这样的题（奥数除外，它太牛了）。如果出现的话，将是千夫所指、万妇所骂。如果作为小学生平时练习中的附加题-选做题-提高题，让某些小学生自愿选做、试做，做着玩，似无不可，惟试算法可取。让孩子试算这道题，不是为了检查孩子有多聪明，也不是为了让孩子仅仅解决这个具体的问题，甚至不是为了使孩子的试算技巧更加熟练，而是为了让孩子经历一段富有挑战性的、愉快的数学旅程，顺便感受一下数学精巧的思维方式。

[b][color=Red]教学相长[/color][/b]

　　顺便说一说“教学相长”。
　　茄妈自晒：“以前解题是只知其然，不知其所以然咯，比如这个等式互加减什么的，偶真是昨天才明白为什么可以滴。”这很正常。许多学识，我们自以为懂了，其实不然，可能还是夹生饭，或者说，可能还没有完全消化。这种知识上的隐性不足，在正常的学习中本人不易觉察到，但会在教孩子的过程中暴露出来，也会在教孩子的过程中得以弥补。所以，古人说：“教学相长！”
　　《学记》云：“学然后 知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。故曰：教 学相长也。”
　　今天许多人把这里的“教学相长”解释为：老师或家长的教，学生或孩子的学，相互促进。谬也！古人的意思要深刻得多了，人家说的是：教学生、教孩子，可以发现自己的困惑，进而促使自己不断学习，不断提高，自强不息。简单地说，教是一种再好不过的学。
　　所以，不要把教学生、辅导孩子，仅仅看成是一项促进孩子学习的义务或责任，这种事情也是促进我们自己成长的一种方式。教不仅仅使学生或孩子受益，也使我们自己受益。让孩子快乐学习数学，我们也能从中分享快乐。
　　广而言之，为了检查孩子的学习情况，或者为了帮助孩子巩固和补差，让孩子做题仅仅是一种选择。还可以让孩子出题来考我们，或者让孩子来教我们。教别人，不仅是我们成年人的一种学习方式，也可以成为孩子们的一种特别学习方式。如果我的孩子喜欢教他的同学，我会万分欣喜。那不是在浪费他的时间，而是在真正地学习和提高。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-10 10:33 编辑 [/i]].

看图列式题老搞的。[em17].

为什么要看图列式？怎样处理这类习题？

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-12-10 09:19 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4063243&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
看图列式题老搞的。[em17] [/quote]

　　我非常理解学校为什么要在一年级出看图列式的习题、试题。
　　本轮的数学课改，一个改革目标，就是转变启蒙数学抽象化、去意义化的纯粹数学取向，努力引导孩子利用其生活经验学习数学，并且领会数学的生活意义，简单地说，就是“数学生活化”或“生活数学化”。出于这样的考虑，让孩子做的习题、试题，就应该尽可能地是情境性的数学题。照理，用文字去叙述这种情境性的数学题，已知条件和问题就会比较清晰，不致由引起看不懂或误读的情况。可是，一年级的孩子识字量有限，文字理解力有限，想来想去，似乎只有看图列式可以做到“数学生活化”了。
　　问题就在于：用图画的方式出题，因为种种原因也会引起看不懂或误读的情况。原因包括：图片不清楚；图意不清晰，或可作多种理解，而出题的老师只认其中一种理解，只认一种答案；有的孩子读图能力不过关，老师以为都是图片了，学生个个都应该看得懂，其实是一厢情愿。因此，处理这类题目，至少有如下要求：
　　第一，图片要画得像样一些，要足够清晰。学校出于节约的考虑，使用质量比较差的纸张印制习题、试题，可以理解，完全赞同。但是，最好把图片放大、印大一些。
　　第二，图意要清晰，如果可作多种理解，老师判卷、批阅作业，不能一根筋，只认可一种理解，只认可一种答案。
　　第三，要训练孩子的读图能力。孩子因不懂图意而做不出作业，或做错作业，不得作“数学不好”的评价。人家并非数学不好，而是看图理解意思的能力不够。.

回复 374#hxy007 的帖子

昨天也想试着给小女灌输些无穷大的的概念，可问了她1/0.1等于多少，她根本不知道乍做，本想让她用竖式计算，可觉得有点难度，帕教的不好，不如不教，不知LZ是如何开发的，学习中！！！.

提出问题有多重要？兼论数学探究及其知识准备　回复 396#qiaoyingq 的帖子

　　我孩子相信1除以0等于0，所以我不得不跟他讨论，使他认识到这是一个错误（详见第374楼）。我同时又认为，老师跟孩子说的“1除以0没有意义”也是一个错误，而且我很难用老师这句话让孩子放弃“1除以0也等于0”这个臆断。我该怎么办呢？恰好看到ccpaging用直观诗意的方法成功地教二年级生Alex理解“无穷大”的概念，我也就看到了希望。
　　hxy007比较成功地帮助孩子建立“无穷大”概念，进而认到“1除以0也等于0”是一个错误，是建立在孩子具备如下知识准备的基础上：
　　（1）孩子真正领会到了除法是乘法的逆运算，在他脑里能够非常自如或至少比较自如地这么操作：如果ab=c,那么，a=b/c, b=a/c；或者，要想知道b/c是多少，只要搞清楚b乘以几会等于c就行。当然，这是我的表述。孩子脑子里的也许不会是抽象符号，但类似的可逆性运算，一定会发生在一个“真正领会到了除法是乘法的逆运算”的孩子的脑子里。这是孩子能够与我一起证明无穷大的数学基础。
　　（2）孩子已经有初步的却是正确的小数概念，或者说，已经有支持小数概念的健全生活常识。孩子在前一天的晚上，拿着尺子跟他妈妈比划过、验证过老师刚刚教过的单位换算知识：1m=10dm=100cm=1000mm, 倒过来说，1mm=0.1cm=0.01dm=0.001m。在他脑子里会有这样的想法：1米的长度，用分米去分，可以分成10份（10分米）；用厘米去分，可以分成100份（100厘米）；用毫米去分，可以分成1000份（1000毫米）。这使得孩子在次日早上与我讨论时，能够回答1/0.1=? 1/0.01=?  1/0.001=?这是孩子能够与我一起证明无穷大的生活常识基础。
　　就算是有这两个知识准备，孩子也未必能够理解这种无穷大的证明过程。我的孩子能够幸运地初步理解这个概念，是因为他有“为什么1除以0不可以等于0？”的困惑。这个困惑或问题，引导着他去思考，刺激他去探索。这大概就是ccpaging老爹如此重视问题意识和强调培养孩子提问能力的原因吧！（换句话说，如果你孩子没有类似的困惑，你确实只能“灌输”了，效果自然不会如意。学习的时机很重要哦！晚些讨论这个问题，到中学再讨论这个问题，完全是正常的，不要急嘛！现在要教的话，那得有类似上面的那样的准备，包括MM和宝宝比划长度单位那样的铺垫。）
　　人有追求快乐和安逸的天性，一旦发觉自己在某个方面无知和困惑，心智上就会有一种失衡感和不适感，就会想办法为自己的心智世界寻求一种新的平衡。办法很多：一种是设法欺骗自己，让自己觉得自己是懂的；一种是构建一种迷信，用它来安慰自己不安的灵魂；一种是去探索，去求教，通过弄明白其中的道理，来满足自己。对于孩子，我们成年人的责任，便是引导孩子用最后一种办法，即用理性的方法，去面对充满奥秘的自然和社会，去解释和解决所遇到问题。这就是学习，这就是探究！
　　但是，仅仅这样做是不够的。因为，没有问题，没有困惑，就不会主动去思考，就不会主动去探索，就不会有真正的学习。因此，提出问题永远是第一位的学习。不但我们要提出问题刺激孩子去学习和探索，更要鼓励孩子提问，重视孩子提出的问题，充分利用孩子提出的问题，以促进孩子主动学习和探究。有人说，人类对提问的方法缺乏研究，甚至认为促进提问的方法不可研究。这太武断了！在我所知的范围内，真正的哲学、自然科学、社会科学，至少有一半的篇幅是在提出问题，是在谈问题，在谈如何提问，仅有一小半篇幅在非常谨慎、非常谦逊地试着去解答某些问题。这不是人类的悲哀，恰恰相反，这是人类的幸运！正是因为人类有许许多多的问题和困惑，人类的理性生活才充满挑战，充满乐趣！
　　数学是那么的精巧，是那么的完备！我们学得越多，就越有体会。这就容易使我们除了崇拜和学习之外，就不敢有质疑问难的非分之想。也容易使我们觉得：屁大的孩子嘛，懂什么，能提出什么数学问题？他们的任务就是学习，学习怎么解题，简单地说，就是做题！我想说的是：就算已有的数学已经发展到了极致，根本不存在没有解决的难题了，我们也不能忽视孩子在数学上提出的问题，我们也不得不让孩子重新走一遍（至少是部分地重走）人类经历过的探索之路。前面不是证明了吗？——要让孩子明白为什么有十进位，为什么还有别的进位，我们就不得不回到遥远的原始社会。我们可以疏忽轻视孩子提出的这种问题吗？我们可以禁止孩子提出这种问题吗？或者，像毕达哥拉斯那样把希帕索斯们统统扔进海里？

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-10 13:55 编辑 [/i]].

回复 4#ccpaging 的帖子

[em08] 两位学者，不如开个学习班吧，[em08] 我女儿一年级，好象数学方面不太开窍，自己也不太懂怎么教，得好好学习一下。
[em14].

现在的问题是，好的，开放性思维的老师太少，少也就算了。这些老师往往会把孩子的兴趣灭掉，一定让孩子回归教条中公式中，这才是我最郁闷的地方。楼上家长举例算比较复杂的。我们一年级在5个数中选3个做算式，这么简单，开放的题，老师居然给孩子标准算式。我在家鼓励孩子写的越多越好，还有奖励，结果卷子拿回来一看，全部擦掉，只剩下4个标准答案。真是一群狗屁不通的老师，误人子弟啊！.

“1除以0等于无穷大”是一个约定，而不是一个证明。既然是约定，只要大家都认可，而且不会在现实中造成麻烦就可以了。当然有些约定可能比其它约定在某些方面更合理一些。

“1除以0没有意义”也是一种约定，比如在计算机中用0去做除法，计算机就会报告错误。

“1除以0等于0”也可以是一个约定，但是这个约定很不好，跟我们已有的数学相矛盾。

这个问题不必下结论，关键是让孩子了解为什么1除以0的结果不能是一个确定的数。.

说到看图列式，加法减法本是相通的一样的，老师的意图不明晰，有争议就算了，老师有标准答案，而且孩子居然翻出以前相同的卷子来说服我。这才是我最痛心的，把孩子教成了这样，不求其他答案，去找老师的标准，唉，家长水平再高也很弱势，老师再笨也强势，我还不敢在孩子面前表露出来。.

小女也问过我什么是无穷大，偶的回答是：
第一，无穷大就是随便你想一个多大的数，它都比这个数还要大；
第二，无穷大也有很多种无穷大，再厉害的无穷大，也有比它更厉害的无穷大。
:lol.

好贴.

三人行必有我师

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-7 00:36 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4043365&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
如何解释这道题

从理论上说“0.9……（循环小数）”不等于“1”，但我经过数学推理，“0.9……（循环小数）”就等于“1”。具体推理过程如下：
0.9……（循环小数）=0.3……（循环小数）×3=(1/3)×3=1
推理 ... [/quote]

这个问题有2个人给我答复：
1、厂里原来一起踢足球的师兄，技校毕业。
0.9……（循环小数） ＝ 1
师兄说：“呃，那个0.0000....1到哪里去了？好像你说的是不是一个聚沙成塔的问题？“

每一粒沙子都还是沙子，可是当很多很多沙子汇集在一起，就发生了完全不同的变化，最后变成了塔。
而从一个塔上拿掉一粒沙子，塔还是塔，可是如果你不断地一粒粒地把沙子拿走，原来的塔总会变成沙子。

2、非数学专业的本科毕业生
”无限循环小数不能参加四则运算，理由嘛？就是你这道题。“

回来看到hxy007的”教学相长“一贴，豁然开朗，我们以为自己很厉害，学习了高等数学，其实在数学乃至科学这个巨人面前，我们都是学生。

古人说：”三人行必有我师“，诚不欺也。

前面有很多帖子都有妈妈提到：”我们原来的数学都很差，让我们教孩子数学，会不会越教越差啊？“
1、从前面这个故事可以看出，在数学面前，我们都是学生。家长、老师，数学专业、非数学专业，大学生、中专生，其实没有多大差别。

2、儿子其实不需要一个老师，也不需要一个同学，因为这些在学校里边都有了，不甚其多。换种角度考虑，”咱做不了儿子的老师，那么就做儿子的朋友好啦，做个玩伴好啦“，大家一起学习，共同思考，共同进步，多好玩啊。记得孩子上幼儿园的时候，看到一篇文章建议老师和家长跟孩子讲话的时候，要蹲下来，使儿子能够平视。看起来，在学习数学的问题上，咱们也要降低自己的位置，使孩子能够平视。
”你也做错题，我也做错过题，大家沓平，好哇啦“

3、对数学的体会，不一定只来源于数学。我们的小学、中学数学可能不好，但是经历更丰富，理解力更强，这些都能帮助我们从新学习数学。如师兄简单的一个成语”聚沙成塔“，如前面的”大妈称量法“，如前面MM提到的”简单即使好“，真所谓”要言不烦，大道必简“，这些都能让所谓数学专业的某些人如ccpaging之流，好好流一把汗。

4、[attach]227592[/attach]砸准点，别砸到我儿子，我们俩一个班的。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:45 编辑 [/i]].

小学奥数是共富新村站

终极目标－－五角场
小学一年级－－莘庄站，一号线的起点
小学三年级－－徐汇站，可以转二号线，但是二号线很长
小学六年级－－上海火车站站（很拗口吧，形式主义到如此地步，汗），普通的孩子请转二号线，我们要开始学习初等代数了。
奥数－－聪明的孩子跑的快，别的孩子才到上海火车站站，他们已经跑过头了，直接到达共富新村了。

奥数孩子的难题是，到共富新村以后，是转乘地面交通到五角场呢？还是坐返上海火车站站，换二号线。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-11 17:03 编辑 [/i]].

非常受益啊
再请问LZ和他兄台啊，小二小三期末复习，家长是怎样安排？
另外我女儿经常这段日子很会解的题目，下次考试竟然错了，后来发现她忘，又回老路了
这种情况是学 的不深刻不扎实吗，你们的孩子是讲一次就可以了吗.

孩子的情绪也是有周期的

上次儿子考了80几分，这次应用题测试100分。而应用题测试前的周末卷，错了3道题，因为当时急着看一个电视节目，结果儿子的电视没看成，直接从10点做题到12点，把试卷全部重新抄了一份。

有错没关系，要具体分析是怎么错的？如果是知识点没掌握，可以类似地题变化方式来做，力求找到错误的根源。

如果一个问题很有趣，我跟儿子会做好几天，甚至十几天。像前面hxy007出的那道题：”明年的生日是星期几“，我们做了有差不多10几天吧，当然不是天天做，有空做做，想想，再做做。

如果是知道怎么做，粗心造成的问题，那就要另外想办法了。

至于复习，我跟儿子还没想好了。好像平时有问题的地方都解决了，考试的时候，主要是注意一些考试的技巧吧。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:45 编辑 [/i]].

回复 404#ccpaging 的帖子

无穷大和无穷小在实际生活中没有对应的概念。
用聚沙成塔打比方，就算“懂了”，也是感觉上的“懂了”，其实没有懂。
特别是以下这段话，用来解释无穷小和无穷大是有误导性的。
每一粒沙子都还是沙子，可是当很多很多沙子汇集在一起，就发生了完全不同的变化，最后变成了塔。
而从一个塔上拿掉一粒沙子，塔还是塔，可是如果你不断地一粒粒地把沙子拿走，原来的塔总会变成沙子。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-11 17:42 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4077860&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
无穷大和无穷小在实际生活中没有对应的概念。
用聚沙成塔打比方，就算“懂了”，也是感觉上的“懂了”，其实没有懂。
特别是以下这段话，用来解释无穷小和无穷大是有误导性的。
每一粒沙子都还是沙子，可是当很多 ... [/quote]
同感，学数学比较难的东西就是现实生活或者生活经验没有的东西。就是无穷大还是有“大”“小”区分的（阶）。.

回复 400#火车是运茶的 的帖子

赞同。.

回复 409#yiyilaoba 的帖子

所以，要让孩子真正领会数学的美必须要有一定的逻辑推理，让孩子从逻辑推理中享受数学的美。
文学性的类比可能有些勾起兴趣的作用，但它的害处也是显而易见的，就好比你拿糖来引诱孩子吃中药，无论你拿出的糖多甜，最后他吃到的中药总是苦的，即使他乐意吃药，但实际上他看中的还是吃糖。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-11 17:42 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4077860&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
无穷大和无穷小在实际生活中没有对应的概念。
用聚沙成塔打比方，就算“懂了”，也是感觉上的“懂了”，其实没有懂。
特别是以下这段话，用来解释无穷小和无穷大是有误导性的。
每一粒沙子都还是沙子，可是当很多 ... [/quote]

”聚沙成塔“体现如下几个问题：
有限与无限有界限吗？如果有他们的界限在哪里？
无限在我们的生活中真的不存在吗？

至于说到”感觉“，就更加有趣了。”感觉“懂了，”悟“到了，才是真正懂了。能”感觉“到了，任何形式的表达是不是都显的多余了？

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-11 18:20 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-11 17:56 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4077963&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
所以，要让孩子真正领会数学的美必须要有一定的逻辑推理，让孩子从逻辑推理中享受数学的美。
文学性的类比可能有些勾起兴趣的作用，但它的害处也是显而易见的，就好比你拿糖来引诱孩子吃中药，无论你拿出的糖多甜， ... [/quote]

严重同意 :lol 当然，在一定的阶段，适量使用文学性的类比还是有好处的。

把学数学和学电脑做个类比，学习用WORD写个文档，用PS改改照片，或者用Java编程，这些都可以被笼统地称为学电脑，但其实，只有很少的人才需要去学编程，绝大多数能把电脑和某些软件当作工具用就可以了。

我觉得学数学也是这样，对大多数小孩子，掌握一些数学工具就可以（可能太功利了，呵呵）。当然，数学也是开发智力的途径，但开发智力有很多途径，找好适合小孩子的就可以，没有必要非要用数学。.

5555555555555

数学不能用来开发智力，那数学还有什么用。.

回复 412#ccpaging 的帖子

无限和有限有界限吗？如果有他们的界限在哪里？无限在我们的生活中真的不存在吗？

答：这两个概念之间没有界限，如果从语义上粗略来讲，无限是没有或找不到边界的一种状态，而有限是有边界的状态。而这里的“边界”并非是有限和无限“之间”的界限。
   而生活中实在的认识对象，其本身就是以它的“边界”来定义的，拿掉这个“边界”就没有了实在的认识对象。一个方框的里面部分是有边界的，但把边界去掉，方框本身就不存在了。
  所以我们找不到这样一个“界限”，一个有限的认识对象经过一种变换能越过这个”界限“变为无限的对象。
  无限这个概念只存在在我们的抽象思维之中，没有客观实在。比如你运用的”很多很多“”很小很小“”一粒又一粒“这些语言，就是在不自觉地从客观实在走进抽象思维。你再看一下你用的这些词，你会发现你用它们来表达的意思完全不在他们的字面意义里。
  不要小瞧孩子，我们每个人都天生具有抽象思维的能力，在我们自己的思维世界里，我们每个人都是那个世界的上帝。.

回复 412#ccpaging 的帖子

悟到了并非真正懂了，完全有可能根本没懂但觉得自己懂了，这种情况比知道自己不懂还要糟糕。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-11 18:25 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4078072&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
悟到了并非真正懂了，完全有可能根本没懂但觉得自己懂了，这种情况比知道自己不懂还要糟糕。 [/quote]

何敢言懂啊。能悟到，也算不错了。.

回复 414#ccpaging 的帖子

文学开发智力的作用一点都不比数学差，并且很多方面还超过数学。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-11 18:25 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4078072&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
悟到了并非真正懂了，完全有可能根本没懂但觉得自己懂了，这种情况比知道自己不懂还要糟糕。 [/quote]
偶的切身体会，当年学数学分析，就是以前那个“无穷大”的理解，害得自己走了很多弯路。.

回复 417#ccpaging 的帖子

师傅说：”色即是空“。
小和尚悟到：”女人是老虎“。
这也是悟到。
第二天，师傅说我悟到的其实也是”女人是老虎“。
原来，师傅也悟到了。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-11 18:23 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4078065&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
无限和有限有界限吗？如果有他们的界限在哪里？无限在我们的生活中真的不存在吗？

答：这两个概念之间没有界限，如果从语义上粗略来讲，无限是没有或找不到边界的一种状态，而有限是有边界的状态。而这里的“边界 ... [/quote]

悟到就好，形式上的表达确实多余了。
另，这段话的前后2部分，形式上表达出来貌似自相矛盾了。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-11 19:02 编辑 [/i]].

回复 421#ccpaging 的帖子

请问矛盾在哪里？.

回复 421#ccpaging 的帖子

我不知道你是否真正学习过数学上有关无穷大的概念，还是说你关于无穷大的概念是自己”悟到“的。
如果是前者，我觉得你要么别教孩子否则也不要把误导性的知识教给他；如果是后者，我只能说可能你”悟到“的无穷大不是数学上的无穷大。当然，我不是说数学上的”无穷大“一定要写出来而悟不出来，只是似乎和你和你孩子“悟到”的有本质的区别。

[[i] 本帖最后由 jyuntoku 于 2008-12-11 19:20 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-11 19:14 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4078307&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
请问矛盾在哪里？ [/quote]

原话为：“我们找不到这样一个“界限”，一个有限的认识对象经过一种变换能越过这个”界限“变为无限的对象。无限这个概念只存在在我们的抽象思维之中，没有客观实在。”

有限是有客观实在的，既然承认找不到一个无限与有限之间的界限，那么如何把无限排除在客观实在之外呢？

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:47 编辑 [/i]].

大家放松点……我来搞个例子

球面是一个“有限但无界”的典型。设想一个生活于球面的二维生物，它可以走遍球面，一直走下去不会碰到边界。如果它足够聪明，并且走得足够快，也许会意识到自己所在的“世界”是有限的。对它来说，任何一个点都是它所在的世界的中心。.

圆是正无穷多边形

转载原来写的一篇BLOG

圆

父：正三角形、正方形、正五边形，下一个是几边形

子：正六边形

父：正六边形的下一个呢？

子：正七边形

父：如果我们的边越来越多，有好多好多个边，数也数不清，是什么？

（儿子想了一分钟）

子：爸爸，我认为是圆

父：为什么是圆？

子：老师说东方明珠上面的球就是有很多很多边，看起来就像圆了。

给了儿子一个基本的数学概念，无穷，圆是正无穷多边形。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:47 编辑 [/i]].

回复 425#火车是运茶的 的帖子

就事论事而言吧，（反正这也是所有搞数学的人的脾气）。
确实在球面“上”是无几何边界的。
但是，首先球面不存在实际生活中。
其次，我回答中用的边界这个词不是指的几何边界，而是指我们的感官认识能把一个实体和另一个实体区别开来的感觉上的差异。.

回复 426#ccpaging 的帖子

你儿子能回答出圆，不是因为你给了他一个无穷大的概念，而是他的基因里面，或者说我们人类的基因里面有这样的抽象思维能力在内。
并且，这种基因带来的与生的抽象思维给出的回答并不是基于无穷或者极限的概念，而是基于形状的相似。你的儿子只不过觉得得你描述的那个形状很“像”圆而已。
但我们的基因不是万能的，人类的基因不会让我们“悟出”怎么解微分方程，至少目前不会。.

回复 424#ccpaging 的帖子

你要排除“无限”，你必须先知道你排除的是什么，换句话说你比需先有一个”无限“的概念。
而你不可能通过全部都是有限的客观世界的感官认识而不经过抽象思维在脑子里面形成一个”无限“的概念。.

回复 427#jyuntoku 的帖子

我只是用通俗一点的例子。事实上有一种宇宙学理论认为我们所处的宇宙正是有限无界的。.

回复 426#ccpaging 的帖子

很有意思。收下，等我家孩子大了再教他。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-11 21:05 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4078947&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
你要排除“无限”，你必须先知道你排除的是什么，换句话说你比需先有一个”无限“的概念。
而你不可能通过全部都是有限的客观世界的感官认识而不经过抽象思维在脑子里面形成一个”无限“的概念。 [/quote]

我承认我很卑鄙，因为我滥用了从数学里边学到的“技巧”，来进行一场无意义的辩论。

聪明人最容易犯的错误不是逻辑错误，而是断言太多。因为断言太多，便不能面面俱到，便难以自圆其说。

蠢笨如我这样的，就偏好于讲讲故事，大家悟悟，悟到什么是什么啦。因为什么也没说，所以也无从反驳，大家只好颔首称是。空即是色，色即是空。

说到底，这个帖子的主题还是“畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣”，把辩论留到大学生辩论会上去吧!

何不多上一些自己的心情故事，多记录一些孩子们的乐趣，留下一些孩子给我们的惊喜。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-11 21:42 编辑 [/i]].

回复 432#ccpaging 的帖子

我觉得回上面的这些帖子于我有意义。否则我也不会打那么多字了。
而且，我想我的绝大部分帖子应该是围绕“畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣”的主题展开的。
既然是畅谈，我个人理解应该是欢迎不同的意见的。
当然这个不同意见并不是要辩论，而是陈述，因为网上的帖子本来就是给不特定多数人看的，他们才是真正的目标受众。.

回复 433#jyuntoku 的帖子

我觉得你可能有点钻牛角尖了。我们无法给小孩子讲无限的严格数学定义，给他们一些感性认识就可以了，也就是所谓的“悟”。.

回复 434#火车是运茶的 的帖子

我是赞成存疑的。
亲子教育中，父母未必一定要处于引导和解释或者点化的地位，而是可以肯定孩子的疑虑，和问题，帮助他归纳和正确地表述问题，鼓励他自己思考，并且对他思考的弱点进行攻击，以促进他进一步的思考。
思考的过程中得到乐趣，才是真正的乐趣，哪怕没有思考出满意的答案。.

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-12-11 21:18 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4079020&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
很有意思。收下，等我家孩子大了再教他。 [/quote]

有点好奇，孩子多大？.

回复 436#ccpaging 的帖子

幼儿园.

有没可能搞个交流会？

不定期举行。主角是孩子，让孩子们各自准备一个小题目来讲。

也可以交流他们之间学到的小故事，比如，可怕的科学。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-12 14:11 编辑 [/i]].

在反复错误中成长

[quote]原帖由 [i]咖啡豆[/i] 于 2008-12-11 17:16 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4077686&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
非常受益啊
再请问LZ和他兄台啊，小二小三期末复习，家长是怎样安排？
另外我女儿经常这段日子很会解的题目，下次考试竟然错了，后来发现她忘，又回老路了
这种情况是学 的不深刻不扎实吗，你们的孩子是讲一次就可 ... [/quote]

[em04] 要是讲一次即可，孩子根本就不需要用5年读完小学了，顶多两年吧。
我们小时候，大人讲一次就会的情况有多少？我们不是也长大了吗？当然，其中确有学得不扎实的原因。现在学得到太多太快，缺乏反刍，体会不深。你以为他懂了，其实似懂非懂。我们耐心些吧！当他做得出难题时，别得意忘形；当他做不出时，别灰心丧气。可以坚信的是，小学那点数学，99.9%的孩子能够掌握。[em06].

回复 438#ccpaging 的帖子

好主意，可是我家孩子太小了。你们先搞起来。.

还启蒙数学以可爱面目

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-12-11 21:49 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4079240&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
我觉得你可能有点钻牛角尖了。我们无法给小孩子讲无限的严格数学定义，给他们一些感性认识就可以了，也就是所谓的“悟”。 [/quote]
[em01] [em11] 俺严重同意！
　　这段时间，俺这个半半半吊子数学迷（某数学家插嘴：不对，应该精确地说“8分之1或1的负3次方数学迷”。我请求：对不起，数学家，请让我讲下去），被几位纯正的数学家弄得都不敢谈数学启蒙了，自卑得不敢自娱自乐玩数学了。于是，我在想，如果像俺这样的数学大顽童都敬畏数学成这个样子，我的孩子哪敢碰数学呀？！各位数学家，还是饶了我们吧。就让我们用有限想无限，用生活说数学，用游戏玩数学吧！数学成了一个可爱的玩具，才有孩子玩。数学被你们弄成这个样子，不要说孩子会畏而远之，连我都觉得讨厌了。可我又是多么希望孩子如我一般喜爱数学呀！
　　反正我也成不了数学家，我孩子就算能够成为数学家，那也是很遥远的事，那就先让我们玩起来吧。玩得不好也没有什么大不了的，反对孩子大了想继续钻研数学，各位数学家自然会教导他。到时再看看他脑子里有没有错误的“无穷大”概念，即便有，纠正起来也不晚哪！可我坚信，还没有轮到各位大师教导他，他就已经修正了自己的“无穷大”概念。类似的事情会经常发生。
　　想当年，妈妈和老师都告诉我说：世上最小的数是0；比0大的最小的数是1；0不可以作除数……后来，老师又让我们明白：比0大的最小的数不是1，0和1之间有无数个数。再后来，老师又让我明白：0并不是最小的数，还有-1，-2……再再后来，老师又让我明白：0其实可以作除数，1/0是无穷大……我是如此自然地在数学上取得进步，以致于多年来都没有意识到当年妈妈和老师教了一些在数学家们看来是错误的知识。现在我也像当年我妈妈那样教我的孩子，孩子的老师也像当年我的老师在教“错误的数学”。这种“错误的”启蒙数学，我不但不反对,而且举四肢赞同！——请各位数学家原谅，我没有说“举双手赞成”，这好像不合数学标准。可是，我要是说“举双手赞成”，你们可能也会教训我不够数学。因为按照纯粹的数学表达，应该说“举2手赞成”。既然你们如此钻牛角尖，那就让我用不那么严格的数学表情达意吧。
　　要是当年让一个“严谨”得一踏糊涂的“数学家”来教我数学，他会教我什么呢？在我人生的第一堂正式的数学课里，这个对数有绝对正确理解和极端痴迷的“数学家”可能会这样开始上课：诸生，今日乃数学之启蒙也。何谓数学？数学也者，顾名思义，数之学问也，天下之至纯学问也。何谓数？数者，有实虚之别也。实数者，含无理数与有理数也。无理数也者，无限不循环小数也……汝母曰：0为至小。非也！负数小于零，尔等须牢记之。乃父云：较0大之至小之数为1。错也！大错特错也！世有小数，彼知之乎？……数学乃纯正之抽象学问也，不可具象也。故1即1，尔等不可想成一根小棍棍，亦不可想成一只小狗狗矣。1+1=2，普遍法则也，抽象至理也，切不可想成一只狗狗又来一只狗狗即是两只狗狗也！
　　我kao，甚么鸟语？老子不学这劳什子数学了！

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-14 09:34 编辑 [/i]].

回复 441#hxy007 的帖子

对于你这篇评论，其实我在发帖时早有心理准备会接受这样的批评。
如果在10年前，我想我会毫不犹豫地赞同你的观点。
但是，现在，哪怕冒着被你砸的风险，我还是会选择码那么多字。
我其实是学文科的，数学完全只是个人兴趣而已。这一事实不知道是否能拂拭你的一些“应试”“教条”的印象。.

学生也是老师

前几天看了《死亡诗社》，想到上学的时候，感触良多。

我们大学3-4年级有一门课叫《时间序列》，具体讲什么就不说了。当时已经分专业班了，我们班就5个人。

第一课，老师拿了一本600页的英文书和一张卡，让我们到图书馆下的复印室复印，每人一本。
那是80年代中，乖乖，那可是英文啊，还是专业英语。600页复印纸有多厚呢？拇指和食指张开，我们叫“一卡”，就这么厚。玩过装订吗？订书机可不好使，我们是照图书馆里线装书的方法装订地。
5本600页的书，足足花了我们一个星期的时间。

第二课
老师上课了：今天是第一堂课（老先生把真正的第一堂课看成是预习），我给你们开一个头，概略地讲一讲。从下一节课开始，由你们5个同学轮流当老师，每个同学讲30页。

第三、、、第N节课
一看下面老先生在打瞌睡，迅速跳过10页，大声说到：“我们今天就讲到这里，下一次该某某同学讲下一部分”。然后，5双眼睛齐刷刷地看向老先生。老先生一惊：“今天讲的很好。”，一抬手看了看表，曰：“今天讲的很快啊，今天你们谁吃面包，帮我去排个队”，于是5个人轰然称是，做鸟兽散。

如此熬了差不多一年。而我的论文，就是用这本书里边的500个样本数据建模，最后我得到的模型优于书中的答案。

现在想想，这门课是我们学的最扎实的一门课，附带地英语上了一个台阶，讲课上了一个台阶，学习能力上了一个台阶。

好的老师当然重要，不过把好的学生聚集在一起，让他们的思想互相碰撞，也许能散发出绚烂的光彩。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:49 编辑 [/i]].

《死亡诗社》不错！

你的老师也很牛！！.

回复 443#ccpaging 的帖子

讨论班在国外是很传统的了，其实中国早几十年前也有的。
你老师知道选外文的教材，那么决定用这样的讲课方式也不为怪了。
猜一下，是不是用的哈密尔顿的书啊。

好老师和好学生加在一起那还有什么是不可能的。
所以我一直劝父母要让孩子上好学校的。.

回复 444#火车是运茶的 的帖子

死亡诗社里面的中学就是美国典型的私立名校，很贵的。
和成长的烦恼里面麦克念的中学自然不能同日而语。.

声明：jyuntoku不是数学家

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-12 22:30 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4087368&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
对于你这篇评论，其实我在发帖时早有心理准备会接受这样的批评。
如果在10年前，我想我会毫不犹豫地赞同你的观点。
但是，现在，哪怕冒着被你砸的风险，我还是会选择码那么多字。
我其实是学文科的，数学完全只是个人兴趣而已。这一事实不知道是否能拂拭你的一些“应试”“教条”的印象。 [/quote]

　　俺在前面描述的那种“数学家”，不包括jyuntoku.
　　此君认为我教条地看待应试，并对我深恨应试训练似有不满，好像是来本帖踢场子的！
　　此人自称是学文科的，有数学方面的爱好，故称之为“数学家”确实不妥。特此声明！.

回复 447#hxy007 的帖子

我真的没有对你恨应试训练不满啊。再说你好像也没怎么写自己的恨嘛。
只是就事论事而已，干嘛动肝火。
孔子曰：人不知而不愠不亦君子乎。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-12 22:56 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4087524&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
讨论班在国外是很传统的了，其实中国早几十年前也有的。
你老师知道选外文的教材，那么决定用这样的讲课方式也不为怪了。
猜一下，是不是用的哈密尔顿的书啊。

好老师和好学生加在一起那还有什么是不可能的。
... [/quote]

抱歉。因为要翻译其中的120页，到最后也没注意到作者是谁。应该不是哈密尔顿，因为我不认识。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-13 14:17 编辑 [/i]].

回复 449#ccpaging 的帖子

据我所知上外附中早有这样上课的。
当然不是节节课这样，因为有些课不适宜用这种方法。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-12 23:12 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4087603&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
据我所知上外附中早有这样上课的。
当然不是节节课这样，因为有些课不适宜用这种方法。 [/quote]

老实说，我也不知道上外附中在上海的哪个地方，一如我不认识汉密尔顿。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-13 14:18 编辑 [/i]].

回复 451#ccpaging 的帖子

我说的就是十几年前的事情。.

回复 451#ccpaging 的帖子

上外附中在虹口区。.

晕倒，怎么像是遇到了 Troll ?.

回复 451#ccpaging 的帖子

既然是大三的课，那么应该是统计系或数学系了。
汉密尔顿的书一般是研究生用的，我猜错了。我以为你说的是研究生的讨论班，因为人数的关系。.

回复 454#ccpaging 的帖子

帖子是大家看的，我回你的帖子也是给大家看的。
所以我才不在乎你个人的态度。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-12 23:21 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4087639&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
既然是大三的课，那么应该是统计系或数学系了。
汉密尔顿的书一般是研究生用的，我猜错了。我以为你说的是研究生的讨论班，因为人数的关系。 [/quote]

您阅读的不仔细啊！

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-13 14:19 编辑 [/i]].

回复 457#ccpaging 的帖子

你这种侮辱性的帖子回得越多，对你自己的打击就越大。.

回复 415#jyuntoku 的帖子

OK，让我们在思想上碰撞一次吧。

这个帖子是您的思维的典型反应。这个帖子的内容显示出您是形式逻辑的高手，因为形式逻辑更注重字词的表达和其真实含义，所以形式逻辑更多地被视为是一种辩论的技巧。

形式逻辑的高手都很聪明，喜欢断言在前，对错不论，反正以后总可以在所谓的定义上找补回来。即是不能找补回来，定义越多，对方辩手就越被动。而定义权总是掌握在首先定义的那个人手里。

从这个角度说，玩形式逻辑的高手一旦走入歧途，往往会演绎成语言的巨人。但是，即使是语言的巨人毕竟还是依赖于语言，所以往往只适用于一地或者某一种语言，在中国吃的开的形式逻辑高手，到了美国就不行了。

而数学逻辑跟形式逻辑是完全不同的两码事了，因为数学语言是超越形式的，我儿子从他的数学论文里边就能体会到，”数学语言很简单“，一个简单的算式，寥寥几个符号，还不需要任何附加的解释，如果用中文写要好几十个字。无穷大，不管在中国还是美国，俄罗斯，或者欧洲的数学家，不管用任何一种文字，到最后，它的意思都是一样。这也是数学能供全世界的数学家和数学爱好者一起来讨论的原因。

另外，还要特别指出的是，您甚至都不能被称之为”形式逻辑的高手“，因为您对别人的回帖内容视而不见，只停留在自己的想象中。而真正形式逻辑高手是绝对不会忽视对方辩手的内容的。换句话说，您只是在空舞一把自以为锋利的剑，其实连对方的位置在哪里都不知道？

我曾经在跟帖里边说”我很卑鄙“，这不是自谦之词。因为我遇到过这种形式逻辑的高手，而且最喜欢逗他们的方式是：鼓励他释放出各种各样自以为是的断言，令人眼花缭乱的定义，再看他们为了自圆其说，用更多的断言，用更多的定义去解释原来的定义。从头到尾，我都不需要动，就只看那人兜圈子，眼睁睁看那人把一新锅子补成漏勺。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-13 01:11 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-12 14:09 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4084038&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
有没可能搞个交流会？

不定期举行。主角是孩子，让孩子们各自准备一个小题目来讲。

也可以交流他们之间学到的小故事，比如，可怕的科学。 [/quote]

这个主意太好了！我先报名！.

回复 459#ccpaging 的帖子

这个帖子的主题是怎么和孩子一起“玩”数学。并且，把家长放在一个教授或者点拨孩子数学知识和能力的立场上。
所以，我写的东西并不是命题和证明，更不是没有漏洞的论文。
我只是写了我会选择哪个角度和孩子说，并且表达了我对某些家长的教授点拨方式的一些担忧。
不相信的话，你可以再看一遍我之前的帖子。.

父与子：正四面体

正四面体

父：今天晚上我们家三个人要做一个智力测试，需要一个正四面体，你会做吗？
子：我会做长方体和正方体，四面体没做过，试试吧。

儿子拿出了他的宝贝磁力棒，一通折腾总算找到了诀窍，先搭底面，再搭出正四面体。在想办法把上面的3个面，像剥香蕉一样剥下来，得到了正四面体躺着的样子。按此画样，应该可以做正四面体了。
做完这些已届中午，于是出去吃饭。席间父子言谈甚欢。

子：你说晚上我们要做测试，是不是每个都要做个四面体，看谁做的好？
父：不是，你肯定想不到。
子：哦。（搞得神秘兮兮地）
父：其实这个试验与昨天你说的一句话有关。昨天我们做完9 + 99 + 999 = ? 这道题以后，你说：“妈妈的智力是9分，我是99分，爸爸是999分。”我认为不对。
子：你知道我们平时都是看考试分数的。（这个爸爸真不识抬举，拍马屁还拍错了）
父：是的，但是我认为一个人的智慧是无法打分的，因为各人有各人的智慧。这就像罗卜和白菜，你能说罗卜比白菜好吗？
子：那到是，罗卜有罗卜的好，白菜有白菜的好。可是这跟正四面体有关系吗？
父：有关系啊，等晚上做测试的时候你就知道了。
子：、、、（嘴还真紧）
父：吃完饭，你要去画素描，是吧？
子：是的。
父：也许你的素描老师可以猜到测试的内容。数学也跟美术老师有关，你没想到吧？
子：等等，我想想：四面体，三个面，三个人。不会是让我们三个人观察正四面体的三个面吧？
父：这你也能猜到。（惊讶，不是装的）你猜对了，我打算在正四面体的每个面上写一个字，放在我们三个人中间，每人观察一个面。
子：（插嘴到）我能看到面对我的那个面。
父：对啊，你得了一分。每个人都能得到一分，你看，我们的智慧是一样的。
子：那我到妈妈那里去看看，不就能多看到一个面了吗？
父：对啊，你现在得了两分了。
子：（喜不自禁）
父：你们美术老师把这称为什么？
子：换个角度呗
父：对了。数学也经常需要换个角度，例如我们昨天做过的
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ?
子：25
父：你看到的是什么？
子：数字，算式
父：换个角度想想？
子：还是算式，25 - (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 0 ?
父：不是。我看到的是一个5X5的方块组成的正方形。
子：这样换角度也可以啊。
父：是啊。那么你还想再多得一分嘛？
子：再换个角度？
父：重复，没劲
子：那我可以问你吗？你来告诉我看到了什么？这样不就又可以得一分了吗？
父：对。这叫学习，你不知道我看到的那一面，向我学习。

（不知不觉中，饭毕。父子俩起身准备走出餐厅）
父：我们是不是还可以得一分？
子：对对对，下面还有一个面，翻过来就看到了、、、
父：所以啊，每次做题我都叫你反过来想想。（臭小子，都会抢答了）
子：嘿嘿
（快走出餐厅了）
父：如果你叫一个数学家来看看这个餐厅怎么样，你猜数学家会怎么做？
子：、、、（思考状）
父：数学家会先围着这个房子转一圈，再里边四处走走，最后回去告诉你怎么样。
子：我还以为数学家会把这个房子拆了呢！
父：、、、（晕，数学家有这么变态吗？）

====================
还是讲故事比较轻松.

再来做个记号，每日一读，呵呵。.

苏格拉底和柏拉图的对话

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-12-13 19:41 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4089587&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
正四面体

父：今天晚上我们家三个人要做一个智力测试，需要一个正四面体，你会做吗？
子：我会做长方体和正方体，四面体没做过，试试吧。

儿子拿出了他的宝贝磁力棒，一通折腾总算找到了诀窍，先搭底面，再搭 ... [/quote]
[em03] 领教了！真夹棍！[em01]
[em18] 这样的交谈，让我联想起两千多前苏格拉底与柏拉图等众多哈苏少年的对话。[em16].

孩子是上帝给我们的礼物

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-14 11:09 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4091042&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

[em03] 领教了！真夹棍！[em01]
[em18] 这样的交谈，让我联想起两千多前苏格拉底与柏拉图等众多哈苏少年的对话。[em16] [/quote]

惭愧，偶有小得。孩子真的是上帝给我们的礼物。

出了餐厅取车子的时候，我发现地上有一个“哈”字，好像是摩托车上的字牌。
于是，给儿子讲了一个刚看来的“小学生作文错误”，逗的儿子哈哈大笑。
然后，指着地上说：“儿子，看你笑的，都掉出一个哈字来了”
儿子捡起来研究了好半天，“这真是我笑出来的吗？”

到了晚上，儿子跟我说：
“我知道哈尔滨是怎么来的了？因为那个地方特别冷，大家哈哈笑，地上就掉了好多结冰的哈字”

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:52 编辑 [/i]].

儿子发明的“负数”

　　刚刚从体育公园回来。在那里，和儿子玩了两小时左右的飞碟，顺便把负数也给发明出来了。
　　事情的起因是父子两人各不相让，在玩法上出现了分歧。起初的玩法是，接住飞碟得1分，谁先得20分算谁赢。我是想尽办法发出好的飞碟，让儿子接住。儿子则争强好胜，想方设法不让我接住。我跑累了，就不高兴，不想玩了。
　　儿子便想出一个办法，规定打出的飞碟必须落在规定的区域，没有落在这个范围的就扣1分。这很公平！我接受，并且补充说：接住飞碟可以得2分，碰到但没有接住的得1分。儿子也觉得这样计分公平，他还提议5分算一局，谁先得5分谁赢。
　　比赛重新开始。今天风大，我一出手就把飞碟扔到了界外。儿子激动得大喊：“老爸扣1分！”
　　我说：“我还没有得分呢，怎么扣呀？现在就不扣吧。”
　　儿子：“不行，你欠着，等一下得了分，再扣。现在算欠1分。”
　　我连忙说：“欠1分，就是负1分。”
　　儿子发出飞碟，我接住了，高声宣布：“我接住了，得2分，比分2：0！”
　　儿子急了：“不对，你刚才的得分是负1，现在应该是1：0！”
　　我激他：“我现在得2分，刚才得负1分，加起来应该得3分，比分3：0才对。”
　　儿子说我赖皮：“2分加负1分，就是2分减1分，所以现在的比分应该是1：0！”
　　既然蒙不了儿子，只好另想办法损他了。我故意不把飞碟发向儿子的接碟区域，这样一来，我虽然负分越来越多，但儿子始终得不到5分，难以取胜。儿子赶紧提议修订规则，除了规定谁先得5分算谁赢之外，还规定谁先到负5分就算谁输。
　　就这样正正负负地计分算分，儿子最初还算得比较慢，但逐渐就能够应付自如了。
　　在回家的路上，我问：“今天我们好像发明了负数。现在你说说看，什么是负数？”
　　儿答曰：“负数就是零后面的数。”

　　各位纯数学家，你们是不是又要批评，说我这小学三年级的孩子发明的“负数”是错误的负数概念呢？[em16]

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-14 14:32 编辑 [/i]].

[tt15] 啊噗，看得我个累死，总算明白一点，这些爸爸把教育儿子当作事业和人生乐趣和。。。反正是尽简单问题复杂化之能事。
玩吧，接着玩，陪着他们一起玩到解析几何线性代数常微分方程复变函数。。。我服了。.

回复 466#hxy007 的帖子

现在的孩子理解负数的概念确实比200多年前容易多了。
因为我们的生活里有温度计（早些时候还没发明温度计，温度计量也不是用一个科学的度量系统），有借贷（资本主义在今天的势力更加庞大了），最重要的是在周围媒体以及生活语言中已经广泛的运用了负数的概念。
这些都使得现在的孩子对于负数的理解必然要强于古人。甚至于负数的概念已经部分地进入了我们的基因，就像1岁不到的孩子能理解自然数以及加减关系一样了（这是有实验支持的）。
为了能使负数的概念进入我们的基因，人类估计花了有几千年了吧。.

回复 468#jyuntoku 的帖子

你这个“基因”是生物学意义上的那个基因吗？我看你用了好几次这个词了，一直没有搞明白，故有此问。.

终于有一次欣慰滴发现，蕃茄早就有负数的概念了，吼吼吼，自豪也自豪！！！.

回复 469#火车是运茶的 的帖子

是指生物学上的基因。
实验发现，刚出生的婴儿对于数量以及数量的加减变化就有本能的反应。
理论认为，对于正整数的概念以及加减（特别是加法）的理解是人类生存所必须的能力，所以这种能力在进化过程中进入了我们的基因。对于这种能力，我们无需依靠后天学习去习得，而是天生就掌握的（其实现在学校里教授较小的正整数以及加法时必须依靠人类的本能，正是有这种本能存在，小学老师才可以不做严格的证明来教授这些数学知识。）。
当然对于另外一些数学知识（比如微积分），就过去和目前来看是人类生存所不必须的，我们也无法依靠基因天生就掌握它。
在这个理论下，就有理由认为，人类基因中包含的数学能力有可能是根据人类的生存环境变化的。.

给你一瓢冷水，在这寒冬里

[quote]原帖由 [i]YANGXIMI[/i] 于 2008-12-15 09:16 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4094332&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
终于有一次欣慰滴发现，蕃茄早就有负数的概念了，吼吼吼，自豪也自豪！！！ [/quote]
　　没有什么可得意的！人家生物学家都说了，这是因为你儿子的基因有这东东。[em16]
　　其实，早在两千年前哲学家柏拉图也说过类似的话。他说：人的知识和美德为灵魂本身所具备。人的肉身是会死的，但人的灵魂不死。在现世的生活中，由于灵魂受到物质世界的遮蔽，我们仿佛缺乏知识和美德。但是通过适当的方法去蔽，我们就可以回忆出灵魂所保留的、前生前世就有的美德和知识。哈哈，我们的灵魂不但具有负数概念，而且具有微积分概念，具有一切知识和美德。真是令人振奋！
　　不过，这是一种信念，可不是知识哟！你可以无根据地相信某种东东，但你不能把它打扮成知识。知识可是要讲根据滴，是不能胡说八道滴。.

偶不懂那么高深咯东东，还要前生今世咯，复杂得咧。偶只知道，蕃茄是财迷，财迷天生就会懂负数，哈哈哈。

星期六，他问偶借两块钱，据说要去买彩票，然后走到门口又舍不得了，因为这样子他就要“欠债的”！！！.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2008-11-26 09:25 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3973783&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


”抱抱这位MM，老理解的。常常在外奔波一天，受一肚皮冤枉气，“，这个认同，后面的想改改，“回家可以跟我的儿子一起玩了！儿子大一点了，还可以跟我一起看《我们的地球》” [/quote]
恩，我也有同感，哈哈~~~~。不过没次狮吼之后对会后悔，孩子还小还要慢慢教，还是寓教于乐比较好，不要太急功。.

大家都可以学微积分

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-15 09:41 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4094618&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
是指生物学上的基因。
实验发现，刚出生的婴儿对于数量以及数量的加减变化就有本能的反应。
理论认为，对于正整数的概念以及加减（特别是加法）的理解是人类生存所必须的能力，所以这种能力在进化过程中进入了我们 ... [/quote]

微积分老师告诉我们：“微分就是切苹果，把苹果分成一片又一片的；积分就是把切好的一片片苹果合起来。”
这么说的话，我们的基因里边还是有微积分的，因为谁都会分苹果。而切这种片，更是MM们的拿手好戏，她们的基因里边微积分绝对是海量。

如果不是高考把人分成了369等，大家都可以学习微积分的，只不过“闻道有先后”罢了。
现在也有大把人自学高等数学，令精英们沮丧的是，不能通过高考的人居然也看明白了，尤其是MM们，她们对微积分的理解能力绝对令人诧异、、、

今天我要切萝卜片、、、（微积分老师悄悄告诉我，他们家切片切丝的工作，都是他包了的，请勿外传）
（妈妈们在偷笑，不就是一把弯刀吗？值得你们搞的这么神神秘秘的）

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 11:53 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]YANGXIMI[/i] 于 2008-12-15 11:07 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4095801&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
偶不懂那么高深咯东东，还要前生今世咯，复杂得咧。偶只知道，蕃茄是财迷，财迷天生就会懂负数，哈哈哈。

星期六，他问偶借两块钱，据说要去买彩票，然后走到门口又舍不得了，因为这样子他就要“欠债的”！！！ [/quote]

欠债好呀，通货膨胀，欠债的是大爷。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-15 09:41 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4094618&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
是指生物学上的基因。
实验发现，刚出生的婴儿对于数量以及数量的加减变化就有本能的反应。
理论认为，对于正整数的概念以及加减（特别是加法）的理解是人类生存所必须的能力，所以这种能力在进化过程中进入了我们 ... [/quote]
你这个说法太雷人了。如果真有此事，请列出是哪个实验室做的，结果发表在什么刊物上，实验方法是什么。.

确有其事

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-12-15 13:16 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4097426&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

你这个说法太雷人了。如果真有此事，请列出是哪个实验室做的，结果发表在什么刊物上，实验方法是什么。 [/quote]

　　好几年前，我旁听过由哲学、社会学、教育学、生物学等领域青年才俊举行的一次学术沙龙。他们极其兴奋地在谈论生物分子学（不知有没有听错，错了请指正，哦——“分子生物学”）中的一个重大发现——罪犯的基因在某个部位不同于常人。学者们为什么这么兴奋呢？因为，他们认为，找到了犯罪的生物学基础，接下来就有可能找到预防乃至消灭犯罪的生物学办法。他们的构想是，发明某种基因药品，让有犯罪基因的孩子就像接种疫苗那样去服用这种抗犯罪药物。从此，他们就不会犯罪，甚至不会有犯错的念头；从此，天下太平。
　　我当时的感想是：我就有过犯罪的念头，我大概就有犯罪的基因吧？！假使让我吃了生物学家发明的基因干预药品，我连犯罪的念头都不会有了。可是，如果连犯罪的想法都不可以有了，活着还没有多大意思。姥姥，我不吃！
　　据学者们说，上述证据来自于《自私的基因》一书。我虽然对学者的反犯罪的生物学构想非常反感，但还是克制不住好奇心，偷偷地下载了这本书来翻看。读过之后，心情极其糟糕。此书说：我们人和动物一样，不过是基因的载体，是基因实现自我复制的工具。父母护犊之情，看似无私高尚，实则是自私的基因企图保证自身无限复制下去的一种分子生物学表现。我倒，我读不下去了。
　　好在后来又有人推荐我读《美德的起源》。这本书也以基因说事，但说法跟《自私的基因》相反。此书的大意是：基因固然会自私地自我复制，但同时受到其它基因的牵制。在漫长的进化过程中，那些极其自私的基因都会逐渐被淘汰，能够生存保留下来的基因都是有合作的倾向的基因。这正是人类美德的起源。这个听起来受用，不过，我怎么觉得这不是在说基因，而是在说人和动物。
　　再后来，真正从事基因研究的学者透露，上述两本书的作者并没有研究过基因，他们只不过是博学的科普读物作者。真正研究基因的学者倒是非常谦逊，他们告诉大众，人类对基因的了解才刚刚开始，已知的部分还不及冰山之一角。
　　这让我舒了一口气。否则，遗传决定论这种陈辞滥调，打扮成基因决定论，又要粉墨登场了！
　　还是如下假设可能比较可靠：人有学习和探究复杂事物的遗传素质，人的这种潜在素质是通过适当的环境逐渐表现出来的，并且在现实的活动中被不断赋予具体内涵（如负数概念）的；人的学习成就和发展水平，是人的内部状态与外部环境交互作用的产物。这种理论假设，会让各位BBMM在促进孩子的学习与成长上，既不会过于悲观和消极，也不会过于乐观和一意孤行。遗传的事从MM怀孕时就搞定了，剩下的可为空间就是环境了。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-15 23:05 编辑 [/i]].

回复 477#火车是运茶的 的帖子

这是对于婴儿的认知能力的心理学实验。我会尽量找一下严谨的出处。
实验的内容大致是这样的，重复很简单的。
比如说把一个娃娃给婴儿看过后放在一块板后，然后把板拿掉娃娃露出来，记录婴儿对露出来的娃娃的关注时间。
然后重复，但是偷偷地再加一个娃娃，然后把板拿掉露出2个娃娃。记录婴儿对露出来的娃娃的关注时间。
诸如此类（比如设计1+1=2和1+1=1的同类实验），可以发现，对于符合数学规律的变化的结果，婴儿基本提不起什么兴趣，往往看一眼就转移注意力了；但如果结果不符合数学规律，则可以引起婴儿的明显注意，会盯着看很长是时间并且表情也会发生变化。
从而可以解释认为婴儿具有自然数的概念以及基本计算的能力。

[[i] 本帖最后由 jyuntoku 于 2008-12-15 16:51 编辑 [/i]].

回复 478#hxy007 的帖子

我说的不是基因决定论，而是说有些能力是我们的本能（人类有自己的一些本能，这一点你不会反对吧），而这些本能中包括一些数学能力。

另外，关于罪犯的基因研究，这不是什么新的理论，龙博罗索的《天生犯罪人》在几百年前就出版了。当然，这个理论有其局限性，不过也有有用的地方。
作为犯罪论而言，仅仅凭借这一个理论是不够的。如果讨论刑事政策，那么光凭这个理论更是要犯大错。.

我找了一篇综述，有兴趣的可以看一下：
[url]http://journal.psych.ac.cn/jinzhan/qikan/manage/wenzhang/060503.pdf[/url]

语言与数量认知关系的新认识
《心理科学进展》> 2006年10月14卷5期>文章> 文章详情
作者：刘东台 李小建    作者单位：华南师范大学心理咨询研究中心，广州 510631
【摘要】  数量认知研究近年有长足发展。文章从新近提出的独立于语言的两个数量表征核心系统，语言与精确数量运算，语言与算术事实的储存，语言对儿童早期数概念发展的影响，语言与数量认知关系的最新脑科学证据，以及语言在数量认知模型中的角色等方面，介绍和评述了人类存在依赖和不依赖语言的两级数量能力的新认识。对于是否还存在其它不依赖语言的理解数量的系统，以及这些非语言数量表征系统的认知机制，文章认为有待进一步研究。
【关键词】  语言，数量认知，数量表征，脑机制，儿童。

　　New Understanding on the Relationship between Language and Numerical Cognition

　　Liu Dongtai  Li Xiaojian
　　( 1 Counseling & Research Center, South China Normal University, Guangzhou, 510631, China)
　　( 2 Research Center of Psychological Application, South China Normal University, Guangzhou, 510631, China)

　　Abstract: Studies of numerical cognition have made significant advance in recent years. This review comments on the two numerical representation systems of different underlying language dependency. The review includes the newly proposed dual core-systems of non-verbal numerical representations, evidence of language dependence of the exact numerical operations and the storage of arithmetic facts, the study series of language influence on the development of numerical ability in early childhood, the new evidence from brain science on the relationship between language and numerical cognition. Proposed issues for further studies include the cognitive mechanism of non-verbal numerical representations, as well as the existence of other numerical representations of language independence.
　　Key words: Language, Numerical cognition, Numerical representation, Brain mechanism, Children.

　　数量认知（Numerical cognition）是心理学研究人类数学能力的焦点与核心部分之一。人的数量能力（Numerical ability）的最初来源是什么？这里一度存在两种相反的观点，其一认为由语言决定，其二认为是独立于语言的专门能力。乔姆斯基（Chomsky）认为，人类的数学思维本质上是从人类语言中抽象来的；沃夫（Whorf ）还提出了思维性质和内容由语言决定（Linguistic determinism）的强势假设。与此相反，Gelman和Gallistal等人提出，人类对数的认识是与语言相互独立的。近年来在传统认知心理学研究的基础上，从跨文化比较、神经心理学个案、动物心理学、脑成像等方面积累了大量的新发现，产生了新认识。目前为止的许多研究发现，人具有与其它动物共享的生物学意义的初始数量能力，在这个基础上通过使用符号化语言，人类发展出独特的高超于其它物种的数量能力。以下对近期这方面的研究进展作一个回顾和述评。
　　1 独立于语言的数量能力
　　大量的婴儿、脑损伤病人及动物的数量能力研究提供证据，认为人与其它动物共享一些基本的非词语的（Nonverbal）数量能力，即不仅能区分物体的物理属性，如大小、长度、时间、颜色、移动、声音，还能按物体的某种属性作个体分离，对个体的多少作出反应。这种最基本的数量能力具有进化来的生物学特征，是物种生存所需要的。比如，猴子观看一片一片放进不透明盒子里的苹果片后，能选择较多苹果片的盒子[1]。狮子通过吼声判断来犯狮群的多寡，敌众我寡，采取躲避行动；敌寡我众，便采取反击行动[2]。
　　Geary称这种非词语数量能力为生物学意义的初始数学能力（Biologically primary mathematical abilities）[3]。它反映的是神经认知系统（Neurocognitive system）具有的内隐属性。这一认识成为数量能力研究的新基点。Feigenson，Dehaene等人以最近几年的一批研究发现为依据，提出生物初始数学能力包含两个数量表征（Numerical representation）的核心系统——大数量的近似表征系统和小数量个数的精确表征系统[4]，即双系统假设。
　　1.1 大数量的近似表征
　　第一个数量表征核心系统是大数量的近似表征（Approximate representations），在无须语言参与的条件下，它对较大数量的集合加以区分和近似比较大小。根据研究结果，人类这个数量系统的发展显示出一定的年龄差异。
　　遵循韦伯律（Weber’s Law）区分数量的现象曾在很多种类的动物身上发现，如鸽子，鼠，鹦鹉，猴子，海豚等。鸽子准确区分啄食次数35次与50次的比率可达90%，区分45次与50次达到70%准确[5]。最近，Nieder等人专门测量数量辨认时的最小可觉差（Just noticeable difference），发现未经训练的短尾猴对较大数量的辨认遵循韦伯律[6]。
　　近来，一些严格控制实验条件的研究证实，人类婴儿能够对物体的个数遵循韦伯律作近似区分。在6个月婴儿的去习惯化实验中，对视觉呈现的两个黑点集合分别控制了总面积、轮廓线长等连续量的因素后，Fei Xu等人[7]发现，婴儿可以区分4和8，即能从总量上区别4个黑点和8个黑点的两个集合（并非分别认出个数4和8），也能区别8和16[8]，以及16和32[9]。这些点集的点数比例都是1:2，而且单个点集的个数大于等于4。两个点集若小于这个比例，如8和12，或者其中某个点集的个数太少，如2和4，6个月的婴儿就不能区分[7]。随着年龄增大，可区分的个数的比例可以更接近，比如9个月大的婴儿可以区分个数大于4的比例为2:3的两个集合的差异[4]。到成人，这种无须语言的对大数量作近似估计的能力主要用在不经过数数而想得知数量的时候[4]。对呈现（或播放）的两个点集（或声音序列），成人可以不需数数而进行数量比较，可分辩的数量比例可以达到7:8，例如14比16[10]。
　　缺乏数词帮助，成人也能够采用近似表征进行大数量的区分。Pica考察了巴西的亚马逊河流域原始部落，发现Munduruku人只有表示1至5的数词和“一些”，“很多”，“很少”的模糊量描述。当要求指出20和80两个点集哪个较大时，他们的正确反应率达70%[11]。这说明近似表征系统不依赖语言文化。
　　区分数量的能力不依赖于特定感觉通道（视觉或听觉等）。
Lipton等人发现6个月婴儿能够区分8响和16响两个声音序列，但不能区分8响和12响两个差别较小的声音序列；而9个月婴儿两者都能区分[12]。Wood等人发现6个月的婴儿能够区分木偶跳跃次数4次和8次的区别，但不能区分2次和4次、4次和6次；到9个月才能区分4次和6次[13]。
　　近似表征系统是如何工作的？Barth等人给成人快速呈现（或播放）两个点集（或声音序列），发现反应时与个数增长无关，而与相比较的两个量的比例有关，数量越接近，反应时越长。例如，区分14个和16个（7:8）要比区分24个和32个（3:4）反应慢。Barth由此推测，这个数量加工的方式是并行的[10]，即同时对所有外在个体进行加工，获得一个总估计量，用一个内在表征符号对应这个总估计量（而不是对目标逐个先后加工，不是序列方式）。有的研究把该并行加工模式称为类比模型（Analog model）[14]。
　　1.2 小数量个数的精确表征
　　第二个核心系统是小数量个数的精确表征（Precise representations），它在小数量范围内（3及3以内）逐个区分个体并对个数作出反应，也无须涉及语言。
　　Hauser以半自由生活状态的猴子为被试，在未经训练的条件下，让猴子观察实验员把数目不等的苹果片分别逐个放进两个不透明的容器里。它们能选择对比组1和2，2和3，3和4，3和5中的较多者；但对4和5，4和6，4和8以及3和8等对比组，其选择是随机的[1]。猴子在这种条件下对数量的辨认是逐个进行的，因为它们看完一个实验员逐片放入苹果后再看另一个实验员做同样的动作，并没有看到容器中苹果片的总数。比较的两个量超过4，猴子就没有精确辨认的表现。关于动物精确数量能力的其它报告可见Dehaene的综述[5]。近期的一个重大进展是，Nieder等人在经过训练的短尾猴作1至5个分离点的辨认时，从它们的前额叶边侧皮层直接探测到对数量1至5专门反应的神经元，这些神经元被称为“数字神经元”（Number neuron）[15]。这是首次揭示了数量精确表征的神经元基础，类似的神经元也由Sawamura等人在猴子的顶叶找到[16]。
　　未受语言影响的新生儿会如何对数量反应呢？Antell和她的同事早在1983年用去习惯法研究了40个新生儿（出生1~6天）对2至6个排列整齐的小黑点的数量反应。在建立习惯阶段，他们突出了数量特征（即黑点个数），控制了其它变量（如黑点排列的疏密和范围），使新生儿习惯的是黑点的数量。结果发现，对2习惯化的新生儿能对3产生显著的去习惯反应（即注视时间增加），对3习惯化的新生儿能对2产生显著的去习惯反应；对4和6或6和4的比较则没有显著的差异反应[17]。
　　Wynn用背离期望法（Violation of expectation）让5个月婴儿看见一个玩具被遮挡后再添加一个玩具的过程，发现5个月婴儿对最后拿开遮挡时只出现一个玩具的背离期望结果（1＋1＝“1”）会增加注视时间。类似地，对两个玩具被拿开一个后仍出现两个玩具的背离期望结果（2－1＝“2”）同样会增加注视时间。Wynn由此判断婴儿有个数增加一和减少一的识别[18]。
　　Feigenson用选择饼干实验研究10~12个月大的婴儿，在婴儿注视下把大小相同的饼干分别逐个放进两个不透明罐子里，让婴儿进行选择。当数量分别是1和2，或者2和3时，婴儿会选择（爬向并取出）数量较多的罐子，选择频率达80%[14]。当用搜寻实验法向14个月大的婴儿显示1~3个物体，然后放进一个掩盖的容器里时，婴儿能根据显示的个数取出同样数量的物体[19]。
　　这种区分小数量个体的能力并不限于对视觉空间刺激物。婴儿对多感觉通道、对运动节奏的刺激也能作类似的反应[20、21]。例如，6个月大的婴儿可以区分木偶跳2次和3次。
　　婴儿这种无词语支持的精确数量能力在成人的一些特别的群体里也曾被发现。在非洲尼日利亚，从缺乏教育的Kpelle部落人身上观察到对个数3的分辩能力，其准确率和反应时与美国受过教育的人没有太大差异；但是对个数超过3的分辩能力则有显著差异[25]。最近，Gordon对巴西亚马逊河流域的原始部落Piraha人作了较为严格的考察和实验，发现在缺乏数字语言的部落环境中，他们能精确辨认的数量也是在3以内[26]。
　　精确表征系统与近似表征系统的工作机理是不同的。在视觉加工的前注意阶段，人能够同时对4个以内的客体进行分离，形成标记，这些标记在后继加工阶段能够被逐个跟踪[22]。有些研究报告将一个标记称为一个“客体档案”（Object file）。婴儿在背离期望法实验中能够准确跟踪几个客体的数量，因此可以用客体档案跟踪模型来描述其加工机理[14、19]。可见，精确表征系统的加工方式是基于并行（获得分离标记）并兼有序列（跟踪客体），与前面提到的近似表征系统以并行方式加工有所区别。
　　根据上述机理，被跟踪的标记储存在短时记忆中，而短时记忆的储存限度是3至4个客体[23、24]，所以能同时维持的标记只有3至4个，婴儿的精确表征限度也就不会超过3个。一些研究结果，如婴儿在背离期望实验中的表现符合这一解释。再如，前述Feigenson研究的10~14个月大的婴儿能辨认3以内的数量，但当数量超过3，比如4时，婴儿的辨认具有随机性，正确选择不超过50%；又如，14个月大的婴儿目睹4个物件被放进掩盖的容器里，却只会取出一个就停止寻找其它物件[14、4]。这是因为当婴儿注意最后一个（例如第四个）物件时，前面的记忆就被覆盖和遗忘了。
　　综上所述，人类与许多动物共同享有的初始数学能力包含一个对大数量的近似表征系统和一个对小数量个数的精确表征系统。近似表征系统按韦伯律分辩数量大小，其加工过程按并行类比的方式在个数4以上工作。随着成熟，人的最小可觉差的韦伯常数（增量与原量之比）趋于更小。精确表征系统能够分离目标中4个以内的个体并对目标的个数作出反应，对增加一个、减少一个、累加几个个体（4以内）进行序列加工并给出精确判断。
　　2 语言对整合与发展人类数量能力的作用
　　非词语的数量能力的上述新认识，给长期争论的语言与数量认知关系提供了一个部分回答。然而，语言与大数量的精确表征的关系是怎样的？
　　人类需要进行任何数量的精确计算，为此使用了数词、字符（如阿拉伯数字）、运算符号（如加减号、分数线、根号）等组成的符号化系统，它们大都是可说明（有语义）、可读写（有语音有书写有句法）、可回忆（外显性）的，能对数量思维作明确判断、表达和交流，其中的符号化系统也具备了语言的基本要素。对精确数概念、运算与语言的关系有没有新的研究发现和新的认识呢？
　　2.1 精确的数概念和四则运算与语言密切相关
　　Geary认为，人类通过语言和文化可以整合多种生物初始数学能力，进一步发展出生物次级数学能力（Biologically secondary mathematical abilities）。生物次级数学能力是社会文化对内隐的初始数学能力的意识（Awareness），和对这种内隐能力的外显形式化（Explicit formalization）。它通常表达为数学概念和计算方法等数学知识，需要传授学习才能获得，因而不是每个社会文化都发展出相同的数学思维。所以，生物次级数学能力与语言和文化有关[3]。
　　较大数量的精确辨认和计算能力是否可以脱离语言而存在呢？Gordon对巴西亚马逊河流域一个目前所知最原始的部落Piraha的观察研究显示[26]，Piraha人只有有限几个词用来表示“一”、“二”和“许多”。在简单的一一对应任务中，要求他们根据目标物体（如小棍子、核桃）的个数摆上相应个数的电池。在个数三以内，他们可以达到75%以上的准确率，大于三时准确率迅速下降，超过八九个物体时任务无法完成。在需要数量表征的比较任务中，向被试显示一个罐子A，放进糖果，然后移开。拿出另两个罐子，其中一个罐子糖果的数目与A相同，另一个数目比A多一或少一。要求被试选出与A有相同数目糖果的罐子。对于个数1与2，他们的选择准确率达到75%以上；个数2与3则不到75%，个数3与4不到50%，说明Piraha人能准确分辩的数量范围不超过三，与数量语言的缺乏密切相关。
　　前述Munduruku部落人虽然有数词表示1至5，但这五个词并不稳定对应个数1至5。他们并不常用这些词来数数和表示精确量。要求数一个集合中的点，他们很少使用这些数词，而是用手指和脚趾的个数去表示被数的点。用他们语言的“一”来表示数量1的使用率不到100%，“三”表示数量3不到80%，“五”表示5不到30%。对一个大于4的数量n，他们不能准确地分辩n与n+1。Pica认为，有限的五个词还不足以使Munduruku部落人产生精确数量的心理表征[11]。这两个部落考察都说明，较大数量的精确辨认和计算能力不能脱离语言而存在。
　　Dehaene[27]和Spelke等人[28]发现母语与非母语对精确计算与近似估计的影响不同。他们让母语为俄语且熟练掌握英语的双语大学生做被试，以俄、英两种语言分别进行精确计算或近似估计的训练，然后以相同或不同于训练的语言对同类问题进行测试。测试题包括两位数加法、乘法、开方、非十进位制加法等，要求指出准确答案（精确计算）或指出较接近的答案（近似估计）。结果显示，当进行精确计算，且测试使用的语言与训练使用的语言一致时，其反应快于测试与训练语言不一致的反应。而估计近似值时，测试的反应时与训练语言无关。研究者由此推测，在学习期间获得的算术事实（Arithmetic facts）是以学习所用的语言储存的，当使用另一种语言进行精确计算时，需要语言转换，因而反应时延长。做近似估计使用的是内在表象对总量的类比，可以是非词语的，不需语言转换，因此反应时与训练语言无关。
　　2.2 算术事实记忆的使用与语言密切关联
　　有许多熟悉的算术运算过程和结果是以语言形式表达的，比如乘法九九表，储存在头脑里，形成词语的说明性记忆，即算术事实的词语记忆。近年来的研究表明，由于要提取记忆中的算术事实，因此算术运算会不同程度地以语言形式进行操作。

　　数字对分任务（找出两个数的中间数）曾被认为只涉及量的比较，由非词语的数量表征系统进行。Nuerk的研究却发现[29]，词语的算术事实如乘法表、奇偶数概念也影响数字对分任务的操作。所有实验参加者（德国大学生）做可倍增的两数的对分任务，比如指出6与18的中间数12（记为6_12_18），都比不可倍增的两数的对分（如7_10_13）反应速度快。因此有理由认为，完成数字对分任务是由量的大小表征和词语的表达双向交互作用实现的，说明由语言形式储存的算术事实参与到计算中去。
　　上一节介绍的Spelke等人对双语大学生的研究[28]还发现，进行精确计算，凡训练过的题都比未训练过的题反应时短，而做近似估计题，训练题与未训练题反应时无差异。研究认为这是因为精确计算经训练后成为记忆，以语言形式储存，可以直接提取，反应时因而缩短。近似题不论训练过还是未训练过都是进行量的估计比较，较少利用事实记忆，因而反应时无差异。
　　Lee和Kang报告了一项实验，被试在进行算术运算的同时进行空间属性判断或者语言判断。他们发现，空间属性判断只干扰减法运算而不影响乘法运算；语言判断只干扰乘法运算而不影响减法运算[30]。这种相分离的任务干扰现象说明，乘法事实的记忆提取过程更多与语言判断过程相一致。
　　2.3 儿童算术能力发展过程中语言起显著作用
　　Butterworth在算术能力发展的最新综述报告中，概括了0至7岁儿童早期发展的若干个发展里程碑[31]：儿童从2岁开始学习数词序列；3岁能数小的数；3.5岁左右能用实物和数词进行简单的加减运算，并能用基数原则建立数集；5.5岁能理解加法交换律，还能由大到小数数；7岁能从记忆中提取已掌握的算术事实。从Butterworth的总结可见，儿童算术能力的发展在两三岁就借助了语言来学习数字序列，形成最初的数概念，然后借助语言来记忆和提取四则运算事实、扩大数的概念。Butterworth还特别指出，他总结的儿童早期算术能力发展里程碑是建立在欧美国家研究的基础上的，而各种不同语言的数词结构可以加速或减慢算术概念的获得。比如在中文语言环境下，儿童可以较早获得一些算术概念[31]。跨语言的数学认知发展研究确实是探讨语言与数学能力关系的重要途径，相当一批跨文化研究结果发现，数词的结构及其语义、语音对儿童理解数的概念和进行计算有不可忽视的影响。
　　以中英文数词的差异为例，对两位阿拉伯数字的语言表达，中英文的数词在结构上有不同。中文表示十位上的数同样用数词1至9，表示十位的发音放在前（书写在左），表示个位的发音放在后（书写在右），这与阿拉伯数字的进位制和位值制表示完全一致。英文的数词残留了12进位的构词法，数词11至19与十进位值制结构不匹配。eleven（11）和twelve（12）与前十个数词在结构上相互独立，与十（ten）和一（one），十和二（two）没有构词关系。从13到19，英文把表示个位的发音放在前（书写在左），把表示十位的发音放在后（书写在右）。如“thir-teen”先说出三后说出十，与阿拉伯数字先读十位后读个位的顺序正好相反，因而其数词在语义上缺乏对十进位值制的明确表达。中英文数词结构这种差异对儿童数概念、数位和位值的理解和掌握能够产生内隐性学习差异。
　　Miller在比较中美儿童数数能力时发现[32]，掌握1至10的口头数数和一一对应按物数数，中美学龄前儿童没有差异。这是因为1至10的数词无论中英文都是相互独立的十个发音，都需要儿童一一记住。从两位数开始，中国儿童对10至20的理解和掌握显著好于和快于美国儿童。从美国儿童口头数数常犯的错误是构词错误这一现象，可以看出他们把11、12看作和一位数一样相互独立的数，不容易从英语的构词上获得对多位数的数位和位值的理解。如他们把28至32数作“28、29、20_10、20_11、20_12”（twenty-eight，twenty-nine，twenty-ten，twenty-eleven，twenty-twelve）。究其原因，英语11至19的数词缺乏与阿拉伯数字匹配的十位_个位结构，不利于儿童对构数法的归纳和对数的理解。
　　Miura对美、法、瑞、日、韩的一年级儿童进行过语言与数概念关系的跨文化研究[33]。瑞典语和英语同属日耳曼语系，数词构词法基本相同。日、韩语的数词从汉语引进，数词的构词法与中文完全相同[34]。Miura的实验用表示单位十的积木和表示单位一的积木表示数字“42”。能够理解42是由四个单位十和两个单位一组成的日、韩一年级儿童人数分别达到72.3%和96.7%，而美、瑞同龄儿童只有8.3%和11.3%，差异非常显著。90.8%的美国被试和88.7%的瑞典被试把42理解为四十二个单位一。
　　Fuson研究韩国小学二三年级学生的算术水平[35]，发现94%的二年级学生能正确进行两位数和三位数加法中的进位，94%和78%能正确进行两位数和三位数减法中的借位，虽然当时他们还未学三位数加减法；三年级学生正确解决三位数加、减法更分别达到98%和93%。韩国小学生加减法计算的正确率如此之高，得益于他们对数位的正确理解。所有二年级被试都能正确认出两位数的第二位是十位，如“52”的“5”表示五个10；所有三年级被试都能正确认识第三位是百位。相比之下，在美国“教育进步全国测评”中，50%的美国三年级学生不能正确使用三位数减法中的借位，超过50%不能正确认识百位数上的“1”表示100。不少二、三年级美国学生在减法借位时把十位上的单位“1”错当作1。
　　语言还有一个语音要素可以对数学加工过程产生重要影响。数词的语音长短可以影响数字记忆广度，从而可以影响儿童的算术运算能力。根据Baddeley的工作记忆模型，一个人的语音储存大约自动维持2秒左右，词的发音时间越短，被保持和回忆的词越多[36]。有研究测出[37]，汉语发音平均每个数词需时406ms，英语需时527ms，两者发音时间差异显著。中国成人数字记忆广度平均为9.2，美国为7.2，两者也有显著差异。Geary和刘范的合作研究显示[38]：5~6岁中国儿童的记忆广度是6.7，同龄美国儿童是4.1，中国儿童正确解答10以内加法的人数大约是同龄美国儿童的3倍。还有研究指出，儿童计算策略的使用和他们的数字记忆广度有一定的关系，记忆广度越短，越有可能利用数手指来帮助计算[39]。
　　欧美儿童的数学成绩在国际比较中长期落后于东亚儿童已是不争的事实，许多研究将此归结为学校教学时间和社会期望等因素，都忽略心理语言学因素。但是，上述发现指出的数学词语表达对儿童数概念和算术学习的影响，由Fuson1997年进行的教学实验研究结果得到进一步的肯定。在中文里，“五十”是五和十的复合词，容易被理解和反应为五个10。但是在美国通常教学中，低年级儿童很容易把数词“fifty-three”（“53”）与503等同，因为字面上fifty缺乏“五个十”的信息提示，容易被年幼儿童理解为整体50而不是分解为五个10。Fuson按东亚语言表达数位的方式在美国经济落后区域的小学（通常教学质量较低）对一年级新生进行日常数学教学，包括使用“五个十和三个一（five tens and three ones）”的方式表达53（fifty-three）。一学年实验结束时，88%参加实验的学生能够在前述Miura（1993）的积木实验中使用正确方法回答，接近东亚儿童的平均水平，在其它项目上给出正确回答的人数也两倍高出接受美国通常教学方法的同年级学生，并且与六年级的正确人数略同[40]。这一结果不能用学校教学时间和社会期望等因素解释，证实了数词的语言表达确实影响儿童早期能否更快更好地掌握数概念。
　　2.4 数量能力具有文化和语言的独特性
　　人类社群的数学语言和数学思维的发展是互为因果的。Geary认为不是每个文化都发展出相同的数学语言和相同的数学思维[3]。中国商殷时代（公元前1400年）就独立发展出十进制和位值制，用类似现今阿拉伯数字的记法来表示数，有记录千、万的数字。到春秋末期，创造了一种简便的计算工具——算筹[41]。最早发现的阿拉伯数字符号（不包括零，也没有数位表示）出现在公元前250年印度的石刻上。最早使用现代阿拉伯数字记法出现在公元825年波斯大数学家Khowarizmi的著作里[34]。然而世界一些与世隔绝的原始部落至今仍用身体的部位来表示数，停留在前语言的具体数量阶段。虽然现代社会由于频繁的交往使得数量的概念和知识能够被全世界共享，但是，许多痕迹仍然可以说明数量能力具有文化和语言的独特性。
　　习俗时间的语言表示和心理表征各国都不一样。中文无论阴历还是阳历都以数字来排序，即使对外来的星期记法，也用数字排列（星期天除外）。这或许反应了中国文化对数字的敏锐和偏爱。英文与中文不同，用罗马诸神和罗马大帝的名字来命名十二个月，用星体的名字命名一周七日。这种文化和语言的不同带来习俗时间表征的不同，中国人头脑中的习俗时间表征是基数数列，而英美人是名称排列。两者计算习俗时间的方法就会不同。Kelly进行了一项实验[42]，要中美儿童和成人回答“星期一的三天之后是哪天？”，“七月之前的五个月是那个月？”这类问题。美国儿童和成人最通常采用的方法是列数周日或月份的名称来求得答案，即使是美国大学生也有90%以上采用此法。中国被试最通常采用计算法，即使二年级学生也有81%用计算法解决月份问题，63%用计算法解决周日问题。中国被试解决此类问题的速度大大超过同龄美国被试，中国四年级学生解决月份问题的速度甚至已略快于美国成年人。
　　数量能力的语言文化独特性说明了人类的数量能力是在文明的创造与发明中积累起来的，因此个体的生物次级数学能力与语言的运用和发展息息相关。
　　3 语言与数量认知密切关联的脑神经证据
　　Dehaene等人在功能磁共振脑成像（fMRI）和事件相关电位（ERP）的实验发现，简单算术会激活两个不同的脑神经网络：近似量的判断更多地激活负责空间表象的大脑双侧顶内沟（Intraparietal Sulcus）及其周边脑区，精确量的判断则更多激活负责言语的左侧额下回（Left inferior frontal gyrus）等词语加工区[27]。这些发现为精确数量加工与语言使用的密切关联提供了脑神经证据。
　　对于精确数量与近似数量加工的大脑基础，Lemer等人考察了计算不能（Acalculia）病人BRI和LEC[43]。LEC的非词语数量能力因左内侧顶叶萎缩而受损，但大脑的语言区相对完好。她不能快速认出两个或三个分离物体的个数，也不能区别数量比例为1:2的两个较大的点集（如36和72）。BRI的左侧额叶和颞叶萎缩，左侧海马回萎缩，造成了失语和工作记忆受损，但顶叶完好。她与LEC相反，能较快认出两三个分离物体的个数，也能区别大数量的点集，说明她具有基本正常的非词语数量能力。但是，BRI和LEC都只能缓慢地数较大的数量（5至8）并且错误较多[43]。这说明了精确数量能力会同时受语言和非词语数量能力影响。
对于四则运算，Lemer等人发现，BRI的乘法和除法的错误率高达77.8%和94.4%，但是她的加法和减法的错误率却相对低得多，只有9.3%和16.7%。LEC进行四则运算的错误率显著低于失语症病人BRI，乘法和除法的错误率为5.6%和33.3%，加法和减法约1%和18.5%。分析认为，乘法运算更多地依靠对记忆中的乘法表的提取，除法是乘法的逆运算，也依靠乘法表进行运算。这些算术事实的提取以言语进行。BRI的语言区受损，乘除法知识难以提取，运算便严重受阻。但加减法对记忆的提取相对较少，更多的是对数量进行操作性运算，它主要由大脑的顶内沟区域负责，因此BRI能够相对顺利地进行。LEC的非词语数量能力受损，语言区相对完好，算术事实基本能保留和使用，所以乘除运算显著优于失语的BRI。LEC的减法和除法表现差于自己的加法和乘法表现，这是由于逆运算需要对数量进行更多操作性运算，恰好与她顶叶受损有关。
　　Dehaene概括了有关的研究[44]，认为顶叶有3个神经回路与数量加工有关：顶内沟水平节（Horizontal segment of the intraparietal sulcus，简写HIPS），左侧角回（Left angular gyrus，AG）和后顶上小叶（Posterior superior parietal lobule，PSPL）。
　　首先，大脑双侧顶内沟是数量加工主要激活的区域。当任务涉及数量比较（如对分数字、比较数字大小），估计（如估计两位数加减法的结果），数量归类（如区别数量与方位），甚至在心算中提取一个数字的数量表征等等，这个区域是主要激活的大脑部位。Dehaene等人推测，数量的非语言表征可以类比成一个空间图（Spatial map）或者心理数轴（Mental number line），呈现在双侧顶内沟，这是人类数量直觉的基础[44]。
　　其次，脑成像显示，精确计算比近似计算更多激活左侧角回。Dehaene[27]和Spelke[28]根据双语大学生实验的结果认为，进行两到三位数计算和用不熟悉的进位制计算时要依赖语言。基数和分数的表征是语言特定的（language-specific）。时间和空间信息编码以第一语言为优。多位数乘法任务比数字匹配任务，10以内加法比10以上加法，都更多激活左侧角回。由于乘法表和10以内加法已成为熟练计算的人头脑中的算术事实，由此推测，左侧角回是算术事实以语言形式储存的地方，是语言参与数量加工的区域。
　　再次，数字加工也会激活后顶上小叶。进行数字比较、求近似值、两位数运算、数数等任务都会激活这个区域。这个区域并不是数字加工的特定区域，它在涉及视觉－空间的任务中起中心作用。上述计算任务都含有注意指向的成分，可以推测，在“心理数轴”上作空间移动与在大小数量之间作注意转移是相对应的。
　　来自不同国家、具有不同教育背景、使用不同语言、取得不同数学成绩的被试都会在数字加工时系统地激活顶叶的这三个部位。Dehaene认为这个显著的解剖学事实在一定程度上与算术是文化的产物这一明显的事实相一致。算术普遍地由数词或数学符号表示，空间刺激的输入也常常以文字信息的形式，计算常常不能脱离语言进行。在数量加工过程中，数量的比较、分类、数量表征的提取以及近似类比主要涉及顶内沟；精确数量加工主要涉及左侧角回；注意的指向、控制、空间转移主要涉及后顶上小叶；它们连成一个数字加工的网络[44]。
　　4 语言在数量认知模型中的角色
　　数量认知模型力图把实验和观察中得到的局部认识加以汇总，形成对数量认知机理的整体认识并使之具有预测能力。其中，数字加工模型的对象是已经符号化的数字系统，常与阿拉伯数字的编码有关。数量化模型反映我们对客体的数量特征所作的感知、辨认和数量的符号化过程。语言在这些数量认知模型中担当什么角色？
　　4.1 数字加工模型
　　数字加工反映我们运用符号化的数概念进行量的运算。数字符号化系统就是一种语言。问题是如何将非词语的数量能力与语言使用联系起来，将各个方面协调为一个整体的模型。近年来出现的较受关注的数字加工模型有以下3个。
　　McCloskey等人于1992年从认知心理学的视角提出了“抽象编码模型”（Abstract-code model）。它由3个数量认知系统构成：数字编码输入的理解系统，计算过程系统和反应发生系统。模型的中心关键是通过一个单一形式的语义编码来加工数量，实现3个系统的联系。数量理解系统把数量的不同表面形式转换成一个共同的抽象代码，输入到计算过程；计算系统包括基本数字事实和规则的记忆，数字事实假定以抽象形式储存；反应发生系统再把抽象数量编码还原成具体的阿拉伯数字或口语和书面的词语形式[45]。
　　Dehaene和Cohen于1995年以神经心理学的研究为基础，提出了“三联编码模型”（Triple-code model）[44]。他们强调数量的表征而不是表面功能，提出数字加工有3个不同的表征系统：一个是类比量表征（Analog magnitude representation），支持非词语的数量分析，提供近似、大小和距离等类比判断；一个是视觉－阿拉伯数字表示（Visual-Arabic number form），支持阿拉伯数字的视觉输入和输出；还有一个是听觉－词语编码系统（Auditory-verbal code system），支持对听、说信息的输入和输出，以词语形式提供简单加法和乘法事实。这3种形式的编码可以互相转换，但各自都能将表面形式（Surface form）转换为数量表征，因此运算和判断不依赖表面形式。模型假定算术事实是通过语言来表征和储存的，词语在精确计算中起关键作用，而量的近似表征在简单计算中起关键作用[44]。
　　最近，Campbell从行为实验的大量观察出发，吸取三联编码模型的一些要素，提出“复合编码模型”（Encoding-complex model）[45]。她认为实际的数字加工过程会激起一个联系丰富的网络，各种编码相互作用，包括相互干扰（比如9×6＝36）。该模型根据算术和词语表示之间的密切关系，采纳以语言形式存储算术事实的观点。该模型包含视觉编码－数量编码－词语编码转换，其中心是数量编码（Magnitude code）[45]。复合编码模型比三联编码模型更强调各种算术知识和技能的相互影响，强调词语的记忆编码和语言对算术事实的提取作用。
　　4.2 数量化模型
　　对于非词语数量能力，例如在婴幼儿、在缺乏数词的社会群体里，精确数量表征与近似类比表征似乎是在小数量（3、4以内）与大数量（4以上）之间被区分开来的[4]。对于一般受过教育的成人，这两个数量表征的关系还是这样吗？关于数量化（Quantification，也称为Enumeration）的研究一直在探讨这个问题。
　　人类如何对具体物体作数量化反应，即如何辨认分离客体的个数，在实验方法进入心理学初期就有人研究了（见Mandler等人的回顾[46]）。早期的数量化研究与识别广度（Span of Apprehension）的研究结合在一起。Kaufman等人在1949年的实验中给被试呈现含有1至210个点的图，要求迅速准确地说出点的个数。根据反应时和准确率的特征，他们首次把数量化区分为两类不同的机制：在1至6的范围里，人们可以不经过数数（Counting）而迅速准确地辨认出分离客体的个数，并把这个过程命名为Subitizing，意为“顿然识别”（顿识）。在大于6的范围里，人们也可以不经过数数而迅速地近似估计（Estimating）客体的个数。对于数数，其操作性定义是“从1开始，为每个客体配给数字序列中的一个数”[47]。顿识和估计不同于数数，它们只提供一个数字作为数量化的快速反应结果，而数数是一个较慢的序列过程，它对每个客体作出一次反应，最后累计得到总数，结果精确。只要时间允许和目标稳定，数数就可以进行。可以说，Kaufman等人给出了第一个数量化模型。如果我们把顿识和估计概括为“感数”（相对于数数），本文称Kaufman等人的模型为（感数－数数）双机制数量化模型。
　　自从Kaufman等人的研究，顿识、估计和数数就成为数量化研究的明确对象，其中一个焦点就是三者的关系。目前较多研究趋向于认为，在刺激呈现短暂或者要求快速判断的实验条件下，数量化在以下三个数量段上各呈现一种机制：顿识在数量1至3、4内进行，高度准确；数数在数量5至8、9内进行，精确度随数量增多而下降；估计在数量9以上进行，误差服从韦伯律。本文称此为三机制数量化模型。也有少数研究持不同观点，认为数量化从小数量到大数量用的是同一个机制，例如，顿识只是快速数数。本文称此为单机制数量化模型。顿识、估计和数数的详尽关系，可参见Trick[22]，Mandler[46]和Pirzza[48]等人的回顾。
　　数量化模型中与语言关系最密切的部分是数数。数数的基础是什么？Dehaene等人考察了顶叶受损导致不能在数数中进行序列加工的病人[49]。这些病人能够迅速准确说出图中2、3个点的个数，但是，当图中的点多于2、3个时，他们的错误率超过90%，例如会重复数那些已经数过的点。这说明顿识是并行加工，数数是序列加工的。Sathian等人的脑成像研究支持这一看法，并进一步发现，顿识在视觉的前注意（Pre-attentive）阶段发生，数数则与视觉注意的转移相关联[50]。前面提及的因失语症导致计算不能的病人BRI，因顶叶保留完好，能作顿识，也能估计，说明她具有基本正常的非词语数量能力。但是，她只能缓慢地数较大的数量（5至8）并且错误较多[43]，说明是她的失语影响了数数。而病人LEC的非词语数量能力因顶叶萎缩而受损，语言区相对完好，她也不能正常数数。这说明数数不能缺少非词语数量能力和语言能力两者中的任何一个。Pirzza等人的脑成像研究证实了这点：非词语数量表征关联的脑区和语言加工关联的脑区在数数时是协同激活的[51]。他们的研究还发现，顿识与数数可以有共同激活的枕叶－顶叶网络，包括左侧顶内沟。数数比起顿识在枕叶－顶叶网络有更广的激活并会随着客体数量增加而扩展，但是顿识并没有比数数激活更多的脑区。由于顶内沟是非词语数量加工的关联区，枕叶－顶叶网络则跟视觉模式辨认关联，顿识和数数共同激活这个网络说明了快速数数中采用了分组策略，对各组作顿识并累计总数[48]。
　　概括上述：感数（顿识和估计）是在前注意并行加工的基础上进行的非词语数量认知；数数则要在注意下进行，离不开语言（数字或任何其它符号化系统）。数数是语言化的数量表征的序列加工。
　　5 争论和待研究的问题
　　即使有新的发现和认识，对于人类数量认知是否与语言相互独立，仍有未解的争论。数量认知与语言相互独立的主要坚持者是Gelman、Gallistal等人[52~54]。
　　数量的知觉若没有符号化系统（乃至语言）表示，是否就只能停留在近似估计或者有限几个量的辨认上？如果这的确反映了目前为止的主要研究结果，是否就能说数量认知发展依赖语言，甚至，数概念形成是由语言决定的？Gelman对这些都持否定观点[52]，她对新发现的事实有不同的解读，并指出一些她掌握的但没有被广泛注意的研究结果。她的主要观点是：数学能力独立于语言。她不同意以Carey为代表的“自然数概念源于数词”的观点，该观点认为，3以内的自然数是在“客体档案”（见1.2）与数词“一”、“二”、“三”对应的意义上获得，但对4以上的自然数，则靠顺序读数词获得。Gelman指出，儿童在学会较大的自然数之前已能理解一一对应，能理解当一个集合的量被改变（增加或减少客体）后会产生的结果，并理解有另一个数对应这种改变。Gelman还指出，缺乏数词的一些非洲部落人一旦需要并接触数字（如数钱），其获得自然数概念的速度比儿童学数要快得多，认为他们在接触数词之前应当已经在一定程度上理解数量的关系。Gelman也举出例子，说明大脑损伤的失语症病人其数学能力未必受严重影响[52]。
　　可以看到，一个隐含的争论点是：生物的初始数学能力除了包含两个已知的数量系统——近似表征系统和精确表征系统，是否还存在其它不依赖语言的理解数量的系统？这些未知系统如何帮助获得大于3的精确自然数概念？在前语言条件下，还有哪些认知机制支持数量的理解？这些的确有待进一步研究。
　　此外，前面介绍过，6个月的婴儿能精确辩认2和3，也能近似区分4和8的不同，但是就不能区分2和4的不同。目前还没有研究报告说明这个现象。我们提供一个可能的解释：对婴儿来说，2和4跨越了精确和近似两个系统，他们还无法同时采用和协调两种加工方式，他们的工作记忆、注意协调能力都可能没有达到应有的成熟。是否如此，仍待研究。
　　最后应当说明：本文涉及的数量认知只是数学认知的一个部分。国际上许多文献虽然使用数字、数量、甚至数学等一般说法，但他们目前更多还是反映对自然数、小学算术等最初等的数量认知。数学思维有更广阔的领域，如几何、函数、概率，也反映更抽象的概念和运算，如代数、集合、数理逻辑。那些方面的研究相对较少，原因是初等领域还有许多不清楚和值得研究的问题，如本文概括的语言与数量认知的关系。复杂的问题就自然被留到今后了。
【参考文献】
  　　[1] Hauser M D, Carey S. Hauser L. Spontaneous number representation in semi-free-ranging rhesus monkeys. The Royal society, Proc. R. Soc. Lond. B, 2000, 267: 829~833

　　[2] Piazza M, Dehaene S. From number neurons to mental arithmetic: The cognitive neural science of number sense, In: Gazzaniga M S, Ledoux J E, Bizzi E, et al. The Cognitive Neruoscience. 3rd Ed. MA Cambridge: MIT Press, 2004. 865~875

　　[3] Geary D C. Biology, culture, and cross-national differences in mathematical ability. In: Robert J. Sternberg, Talia Ben-Zeev ed. The nature of mathematical thinking. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Inc, 1996. 145~171

　　[4] Feigenson L, Dehaene S, Spelke E. Core systems of number. Trends in Cognitive Science, 2004, 8(7): 307~314

　　[5] Dehaene S, Dehaene-Lambertz G, Cohen L. Abstract representations of numbers in animal and human brain. Trends in Neuroscience, 1998, 21(8): 355~361

　　[6] Nieder A, Miller E. Coding of cognitive magnitude: Compressed scaling of numerical information in the primate prefrontal cortex. Neuron, 2003, 37(9): 149~157

　　[7] Xu F. Numerosity discrimination in infants: Evidence for two systems of representations. Cognition, 2003, 89: B15~B25

　　[8] Xu F, Spelke E S. Large number discrimination in 6-month-old infants. Cognition, 2000, 74: B1~B11

　　[9] Xu F, Spelke E S, Goddard S. Number sense in human infants. Developmental Science, 2005, 8(1): 88~101

　　[10] Barth H, Kanwisher N, Spelke E. The construction of large number representations in adults. Cognition, 2003, 86: 201~221

　　[11] Pica P, Lemer C, Izard V, Dehaene S. Exact and approximate arithmetic in an Amazonian indigene group. Science, 2004, 306(15): 499~503

　　[12] Lipton J S, Spelke E S. Origins of number sense: large-number discrimination in human infants. Psychological Science, 2003, 14(5): 396~401

　　[13] Wood J N, Spelke E S. Infants’ enumeration of actions: Numerical discrimination and its signature limits. Developmental Science, 2005, 8(2): 173~181

　　[14] Feigenson L, Carey S, Hauser M. The representations underlying infants’ choice of more: Object files versus analog magnitudes. Psychological Science, 2002, 13(2): 150~156

　　[15] Neider A, Freedman D J, Miller E K. Representation of the quantity of visual items in the primate prefrontal cortex. Science, 2002, 297(6): 1708~1711

　　[16] Sawamura H, Shima K, Tanji J. Numerical representation for action in the parietal cortex of the monkey. Nature, 2002, 415(21): 918~922

　　[17] Antell S E, Keating D P. Perception of numerical invariance in neonates. Child Development, 1983, 54: 695~701

　　[18] Wynn K. Addition and subtraction by human infants. Nature, 1992, 358(27): 749~750

　　[19] Feiganson L, Carey S. Tracking individuals via object-files: Evidence from infants’ manual search. Developmental Science, 2003, 6(5): 568~584

　　[20] Starkey P, Spelke E S, Gelman R. Numerical abstraction by human infants. Cognition, 1990, 36: 97~128

　　[21] Wynn K. Infants’ Individuation and enumeration of actions. Psychological Science, 1996, 7(3): 164~169

　　[22] Trick L M, Pylyshyn Z W. Why are small and large numbers enumerated differently? A limited-capacity preattentive stage in vision. Psychological Review, 1994, 101(1): 80~102

　　[23] Cowan N. The magical number 4 in short-term memory: A reconsideration of mental storage capacity. Behavioral and Brain Sciences, 2000, 24: 87~185

　　[24] Vogel E K, Woodman G F, Luck S J. Storage of features, conjunctions, and objects in visual working memory. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 2001, 27(1): 92~114

　　[25] Cole M, Gay J, Glick J. A cross-cultural investigation of information processing. International Journal of Psychology, 1968, 3(2): 93~102

　　[26] Gordon P. Numerical cognition without words: Evidence from Amazonia. Science, 2004, 306(15): 496~499

　　[27] Dehaene S, Spelke E, Pinel P, Stanescu R, Tsivkin S. Sources of mathematical thinking: Behavioral and brain-imaging evidence. Science, 1999, 284(7): 970~974

　　[28] Spelke E S, Tsivkin S. Language and number: A bilingual training study. Cognition, 2001, 78: 45~88

　　[29] Nuerk H-C, Geppert B E, Herten M, Willmes K. On the impact of different number representations in the number bisection task. Cortex, 2002, 38: 691~715

　　[30] Lee K M, Kang S Y. Arithmetic operation and working memory: Differential suppression in dual tasks. Cognition, 2002, 83(3): B63~B68

　　[31] Butterworth B. The development of arithmetical abilities. Journal of Child Psychology, 2005, 46(1): 3~18

　　[32] Miller K F, Smith C M, Zhu J, Zhang H. Preschool origins of cross-national differences in mathematical competence: The role of number-naming systems. Psychological Science, 1995, 6(1): 56~60

　　[33] Miura I T, Okamoto Y, Kim C C, Steere M, Fayol M. First graders’ cognitive representation of number and understanding of place value: Cross-national comparisons-France, Japan, Korea, Sweden, and the United States. Journal of Educational Psychology, 1993, 85(1): 24~30

　　[34] Gullberg J. Mathematics: From the birth of numbers. New York: W. W. Norton & Company, Inc, 1997. 31~68

　　[35] Fuson K C, Kwon Y. Korean children’s understandings of multidigit addition and subtraction. Child Development, 1992, 63: 491~506

　　[36] Baddeley A D. Working memory: Looking back and looking forward. Nature Reviews Neuroscience, 2003, 4(10): 829~839

　　[37] Stigler J W, Lee S-Y, Stevenson H W. Digit memory in Chinese and English: Evidences for a temporally limited store. Cognition, 1986, 23: 1~20

　　[38] Geary D C, Bow-Thomas C C, Liu F, Siegler R S. Even before formal instruction, Chinese children outperform American children in mental addition. Cognitive Development, 1993, 8: 517~529

　　[39] Geary D C, Hoard M K, Byrd-Craven J, DeSoto M C. Strategy choices in simple and complex addition: contributions of working memory and counting knowledge for children with mathematical disability. Journal of Experimental Child Psychology, 2004, 88: 121~151

　　[40] Fuson K C, Smith S T, Lo Cicero A M. Supporting Latino first graders' ten-structured thinking in urban classrooms. Journal for Research in Mathematics Education, 1997, 28(6): 738~767

　　[41] 蒋述亮. 中国在数学上的贡献. 太原: 山西人民出版社, 1984. 1~54

　　[42] Kelly M K, Miller K F, Fang G, Feng G. When days are numbered: calendar structure and the development of calendar processing in English and Chinese. Journal of Experimental Child Psychology, 1999, 73: 289~314

　　[43] Lemer C, Dehaene S, Spelke E, Cohen L. Approximate quantities and exact number words: Dissociable systems. Neuropsychologia, 2003, 41: 1942~1958

　　[44] Dehaene S, Piazza M, Pinel P, Cohen L. Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neuropsychology, 2003, 20: 487~506

　　[45] Campbell J I D, Epp L. An encoding-complex approach to numerical cognition in Chinese-English bilinguals. Canadian Journal of Experimental Psychology, 2004, 58(4): 229~244

　　[46] Mandler, G., Shebo, B. J. Subitizing: An analysis of its component processes. Journal of Experimental Psychology: General, 1982, 111(1): 1~22

　　[47] Kaufman E L, Lord M W, Reese T, Volkmann J. The discrimination of visual number. American Journal of Psychology, 1949, 62: 498~525

　　[48] Pirzza M, Mechelli A, Butterworth B, Price C J. Are Subitizing and Counting Implemented as Separate or Functionally Overlapping Processes? NeuroImage, 2002, 15: 435~446

　　[49] Dehaene S, Cohen L. Dissociable mechanisms of subitizing and counting: Neuropsychological evidence from simultagnosic patients. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 1994, 29(5): 958~975

　　[50] Sathian K, Simon T J, Peterson S, Patel G A, Hoffman J M, Grafton S T. Neural evidence linking visual object enumeration and attention. Journal of Cognitive Neuroscience, 1999, 11(1): 36~51

　　[51] Piazza M, Giacomini E, Le Bihan D, Dehaene S. Single-trial classification of parallel preattentive and serial attentive processes using functional magnetic resonance imaging. The Royal Society, Proc. R. Soc. Lond. B, 2003, 270: 1237~1245

　　[52] Gelman R, Butterworth B. Number and language: how are they related? Trends in Cognitive Sciences, 2005, 9(1): 6~10

　　[53] Gallistal C R, Gelman R. Mathematical cognition, In: Holyoak K, Morrison R. The Cambridge handbook of thinking and reasoning. British: Cambridge University Press, 2005. 559~588

　　[54] Gallistal C R, Gelman R. Non-verbal numerical cognition: from reals to integers. Trends in Cognitive Sciences, 2000, 4(2): 59~65.

481楼太长，还没有读完。先回复前面几个帖子。

“负数的概念进入我们的基因”的这个说法意味着人类DNA里面有一个专门管理负数的基因。如果说有实验支持，那就意味着通过生物工程手段把这个基因分离了出来，敲掉这个基因的人无法理解负数，而拥有这个基因的人不需要教就可以掌握负数。如果真有这样的实验，应该会宣传得满城皆知，这并不是事实，所以我觉得这个说法很雷人。

认知心理学上的能力跟分子、基因水平上的质素，还是大相径庭的。天生具有自然数的概念，也不能就说是拥有计数的基因。.

长篇大论、专有名词等可能要吓倒不少BBMM，其实删繁就简，只要记住两句话：

要尊重自然规律，不可拔苗助长，也不可放任自流。
自己不清楚的，要尊重老师和教育专家的意见。

有兴趣的可以了解一点认知心理学和儿童心理学。.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-15 16:20 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4099858&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


　　好几年前，我旁听过由哲学、社会学、教育学、生物学等领域青年才俊举行的一次学术沙龙。他们极其兴奋地在谈论生物分子学（不知不有没有听错，错了请指正）中的一个重大发现——罪犯的基因在某个部位不同于常 ... [/quote]
分子生物学.

哈欠！

专家有没证明对微积分的认知？因为大家都知道：无论你把一个罗卜切的有多么薄，叠起来还是一个罗卜。.

回复 485#ccpaging 的帖子

这个文章是应火车的要求贴的。我印象中的实验应该是这个：

Wynn用背离期望法（Violation of expectation）让5个月婴儿看见一个玩具被遮挡后再添加一个玩具的过程，发现5个月婴儿对最后拿开遮挡时只出现一个玩具的背离期望结果（1＋1＝“1”）会增加注视时间。类似地，对两个玩具被拿开一个后仍出现两个玩具的背离期望结果（2－1＝“2”）同样会增加注视时间。Wynn由此判断婴儿有个数增加一和减少一的识别[18]。


关于微积分，文章里倒没有提到，不过关于切苹果文章里确实提到了。

　　1 独立于语言的数量能力
　　大量的婴儿、脑损伤病人及动物的数量能力研究提供证据，认为人与其它动物共享一些基本的非词语的（Nonverbal）数量能力，即不仅能区分物体的物理属性，如大小、长度、时间、颜色、移动、声音，还能按物体的某种属性作个体分离，对个体的多少作出反应。这种最基本的数量能力具有进化来的生物学特征，是物种生存所需要的。比如，猴子观看一片一片放进不透明盒子里的苹果片后，能选择较多苹果片的盒子[1]。狮子通过吼声判断来犯狮群的多寡，敌众我寡，采取躲避行动；敌寡我众，便采取反击行动[2]。

另外还有：

Hauser以半自由生活状态的猴子为被试，在未经训练的条件下，让猴子观察实验员把数目不等的苹果片分别逐个放进两个不透明的容器里。它们能选择对比组1和2，2和3，3和4，3和5中的较多者；但对4和5，4和6，4和8以及3和8等对比组，其选择是随机的[1]。猴子在这种条件下对数量的辨认是逐个进行的，因为它们看完一个实验员逐片放入苹果后再看另一个实验员做同样的动作，并没有看到容器中苹果片的总数。比较的两个量超过4，猴子就没有精确辨认的表现。关于动物精确数量能力的其它报告可见Dehaene的综述[5]。近期的一个重大进展是，Nieder等人在经过训练的短尾猴作1至5个分离点的辨认时，从它们的前额叶边侧皮层直接探测到对数量1至5专门反应的神经元，这些神经元被称为“数字神经元”（Number neuron）[15]。这是首次揭示了数量精确表征的神经元基础，类似的神经元也由Sawamura等人在猴子的顶叶找到[16]。.

回复 483#火车是运茶的 的帖子

”自己不清楚的，要尊重老师和教育专家的意见。"这句话也是我想说的。
我认为父母一定要认识到自己的局限性。不要认为自己的教育思路就是正确的或者较优的。这种不自觉的预设往往会好心办坏事。.

回复 482#火车是运茶的 的帖子

关于你的这个问题，那篇论文的一开始就有相关的观点介绍。
归纳而言，就是认为人具有生物学意义的初始数学能力，而这种最基本的数量能力具有进化来的生物学特征，是物种生存所需要的。
所以我才说是基因带给我们这些能力。

1 独立于语言的数量能力
　　大量的婴儿、脑损伤病人及动物的数量能力研究提供证据，认为人与其它动物共享一些基本的非词语的（Nonverbal）数量能力，即不仅能区分物体的物理属性，如大小、长度、时间、颜色、移动、声音，还能按物体的某种属性作个体分离，对个体的多少作出反应。这种最基本的数量能力具有进化来的生物学特征，是物种生存所需要的。比如，猴子观看一片一片放进不透明盒子里的苹果片后，能选择较多苹果片的盒子[1]。狮子通过吼声判断来犯狮群的多寡，敌众我寡，采取躲避行动；敌寡我众，便采取反击行动[2]。
　　Geary称这种非词语数量能力为生物学意义的初始数学能力（Biologically primary mathematical abilities）[3]。它反映的是神经认知系统（Neurocognitive system）具有的内隐属性。这一认识成为数量能力研究的新基点。Feigenson，Dehaene等人以最近几年的一批研究发现为依据，提出生物初始数学能力包含两个数量表征（Numerical representation）的核心系统——大数量的近似表征系统和小数量个数的精确表征系统[4]，即双系统假设。.

回复 485#ccpaging 的帖子

我认为大家都知道的一个事实是：如果你试图把萝卜切得很薄，那么你可能最终得到的是一堆萝卜泥，你绝不可能把一堆萝卜泥堆成一个萝卜。.

[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-15 22:12 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4102135&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
关于你的这个问题，那篇论文的一开始就有相关的观点介绍。
归纳而言，就是认为人具有生物学意义的初始数学能力，而这种最基本的数量能力具有进化来的生物学特征，是物种生存所需要的。
所以我才说是基因带给我们这些能力。 [/quote]

但是你最初的说法是“为了能使负数的概念进入我们的基因，人类估计花了有几千年了吧。”

你的意思是这几千年通过生物学意义上的进化，不具有负数认知基因的人被淘汰了，没有留下后代，现存的人都是具有这种基因的。

这就没有什么根据。你下的是一个很强的断言，虽然这个断言经过弱化能够自圆其说，但是说出来的话，泼出去的水，是改不了的。

我们的确不必纠缠于这些太远离“亲子数学”的话题。关键是怎么样激发孩子的想象力、创造力和兴趣，变“单边灌输”为“以孩子为主体”。这方面我觉得楼主和ccpaging做得很成功，很值得ww上的家长们借鉴。我也向很多人推荐过这个帖子。

一些具体的问题，当然我也希望看到更多的具体分析观点。讲得太抽象太严谨就不是亲子数学了。

如果想了解初等数学背后更多的数学背景，建议去读《高观点下的初等数学》一书。似乎大陆这边没有出版，台版的在九章数学书店有售：

[url]http://www.jzbook.net.cn/list/bookdetail.asp?prodid=P1239[/url]

可办理网上邮购。.

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-12-15 22:35 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4102242&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


但是你最初的说法是“为了能使负数的概念进入我们的基因，人类估计花了有几千年了吧。”

你的意思是这几千年通过生物学意义上的进化，不具有负数认知基因的人被淘汰了，没有留下后代，现存的人都是具有这种基 ... [/quote]
[em01] 感谢理解和支持！
[em07] 盛赞不敢当！接受中肯批评，在本帖少说远离“亲子数学”的话！这一回是我惹起的，惭愧！

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-15 23:26 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-9-22 20:29 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3563046&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
ccpaging 辅导孩子数学的方法表明此君深得数学之妙处，俺也试着用类似的方法辅导孩子。但我觉得这类方法在今天太奢侈，难以坚持，可行性很成问题。试以一例说明之（这是两年前的一篇育儿日记）。

　　儿子一年级学 ... [/quote]
真妙
看到这里就忍不住回复了，我儿子还没有上小学但是一直在关注孩子教育这块。
我和我老公都是从小数理化特别好，我的数理化基本都是满分包括高考。我老公也是，他在小学里就喜欢上数学并且继而迷上了电子，虽然没有家长的引导，老师的灌输，不过他还是蛮有成就感的。
看到现在很多小学的孩子被灌输的太多，没有自己去领悟。就像老师给吃的就关心你吃的量和长了多胖但是不关心孩子真正的身体素质。.

回复 490#火车是运茶的 的帖子

我认为导致现代人对负数的认识能力超过古人的“最重要的是在周围媒体以及生活语言中已经广泛的运用了负数的概念。”，即基于语言的数学能力。
而且根据人类具有初始的数学能力这一事实，以及我相信该能力不是永远不变的，所以我认为，将来负数概念很有可能成为我们初始的数学能力的一部分，所以我说“甚至于负数的概念已经部分地进入了我们的基因，就像1岁不到的孩子能理解自然数以及加减关系一样了（这是有实验支持的）。”
结合上文，可以看出我认为负数正在变成人类初始能力的一部分，但还没有完全成为初始能力。所以我说“为了能使负数的概念进入我们的基因，人类估计花了有几千年了吧。”

另，克莱因的这本书我读过，很不错。并且最近复旦大学出版社出了一个新版，以前好像别的出版社也出过旧版。

最近我发现陶哲轩的实分析教程中的开头几章（讲自然数，整数，比例数和实数。后面的我还看不懂）和几个附录（特别有一个讲十进制的附录）对于这个帖子里讨论的一些问题而言是很好的参考资料，这些内容也是这本书的特色所在。.

天啊，刚回复完随便扫描了下上面发现这个帖子真的好强。
需要蛮久的时间慢慢看了。.

看得头晕[tt6].

回复 481#jyuntoku 的帖子

拜托，这已经不是亲子数学啦，:P 看一眼就晕死:L.

回复 496#shumi1 的帖子

不是开头就写了有兴趣看嘛。

不过，这篇综述信息量还是蛮大的，有兴趣看看蛮有意思的。
特别是数量认知是来自于语言还是独立于语言的观点碰撞和实验结果的比较很吸引人。.

[quote]原帖由 [i]shumi1[/i] 于 2008-12-16 11:50 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4105406&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
拜托，这已经不是亲子数学啦，:P 看一眼就晕死:L [/quote]

同感，不好意思，爸爸们正在继续努力、、、.

找到个孔子版“鸡兔同笼”

[url]http://songshuhui.net/archives/5989.html[/url]

阳春三月，正是郊游的好时候，孔老师和我们共同外出游玩，大伙儿边走边看，说说笑笑，不知不觉来到了一个小村庄旁。听着村里传来的鸡鸣狗叫声，孔老师感慨地说：“老子说过，他理想中的社会是‘邻邦相望，鸡犬之声相闻，民至老死不相往来’，我实在是无法赞同呀！要是人们都这样的话，那怎么能互相取长补短，传播知识呢？！”
同学们恭恭敬敬地围着他，听他抒发感慨。
“我给你们举个例子吧，‘鸡兔同笼’问题，你们听说过没有？”
大伙儿都点了点头，颜回说：“就是知道鸡和兔子的总头数和总脚数，求鸡和兔子各多少只，可以用假设法来求，也可以列出方程来解决。”
孔老师赞许地说：“颜回说得很好，可以看出他平时经常读数学的书籍。解法确实是非常多的，但是前几天我听一个南方的客人介绍了一种新的思路，非常有趣呢！我们刚才说到鸡犬之声，那我就改一改，用鸡犬来出题吧……嗯，村里李大伯家养了鸡和狗，按头数一共有25只，数脚一共有56只，那么鸡和狗各有多少只呢？”
同学们都叽里咕噜地开始在心里默算，性急的子路已经蹲下来，在地上画开了。
孔老师微微笑起来，说：“不用急，我刚才说过了，我们换一种算法，你们先闭上眼睛吧。”
大伙儿安静下来，微闭双眼，听孔老师的下一步指令。
“让所有的鸡和狗排成一队。”
“好了。”
“让它们各举起一只脚来！”
孔老师的儿子孔鲤“扑哧”一声笑出来，说：“那鸡都变成金鸡独立了！”
“呵呵，这个成语用得好。”孔老师摸摸他的头，高兴地说。
孔鲤又调皮地说：“不过，小狗狗翘起一条脚，可就有些难看了，那不是在‘嘘嘘’吗？”
同学们都哈哈大笑起来，孔老师也笑着说：“好了，只可意会，不可言传……来，再让鸡和狗再举起一只脚来！”
“啊？！”孔鲤叫起来，“再举起一只脚，那鸡就变成浮在半空中了，狗变成象人一样站起来了。”
“对，现实中，要让鸡和狗这样做到是很难的。但是我们人类号称万物灵长，只要靠思想，就可以在想象中实现这种巧妙的画面。”听了孔老师的话，同学们都若有所思。
“现在，站在地上的还有几只脚？”
子路抢着说：“从56里两次减去25，剩下6只脚，都是狗腿。”我怎么觉得这个词有些难听……
又听孔老师问：“准确，刚才说每只狗都象人一样用两只脚站着，那么一共有几只狗呢？”
“三只！”同学们异口同声地说。
“鸡呢？”“二十二只！”
这次郊游之后一段时间内，同学们见面时，都爱这样打招呼：“你好，举起脚来！”.

坐上坦克去郊游

[quote]原帖由 [i]shumi1[/i] 于 2008-12-16 12:05 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4105581&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
[url]http://songshuhui.net/archives/5989.html[/url]

阳春三月，正是郊游的好时候，孔老师和我们共同外出游玩，大伙儿边走边看，说说笑笑，不知不觉来到了一个小村庄旁。听着村里传来的鸡鸣狗叫声，孔老师感慨地说：“老子 ... [/quote]

看的汗毛林立，这才是数学，这才是老师。
老师心中有一团火，才能温暖学生的心，才能照亮学生的心。

刚跟同事讨论，现在有些教学更像是：
一群孩子背着手、表情严肃地坐着坦克去郊游，老师探个头在外面：
“同学们，我们现在正在经过一片树林，树叶的颜色是绿的、、、”
“同学们，我们现在正在经过一片油菜地，油菜花是黄的、、、”
郊游结束，老师发给同学们一张考卷，“请写出你郊游的感想，题目叫：我的一次郊游”
于是，同学们找老师要了一堆别人写的东西，抄啊抄、、、

听起来，这哪是什么郊游，是行军打仗吧？这还不仅仅是指语文教学，数学教学其实也是这么回事。
结果呢？
老师很累：你想想，老师也是人，伸长脖子在车子外面吹风，还要讲解，还要维持车上的纪律，能不累吗？
同学们无趣：到也是，好不容易盼到一次郊游，本充满了各种稀奇古怪的幻想，结果还是跟坐在教室里边一样。有的同学选择打瞌睡，有的在座位上扭来扭去，有的在拉女孩子的小辫，有的在叽叽喳喳讲小话，有的在认真思考：“油菜花黄，像什么一样黄？”

出现这样的状况，老师也很无奈，被体制逼的。希望BBMM们能认识到这一点，在学习的趣味性上多下功夫，在一定程度上对孩子有所补益。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-16 12:38 编辑 [/i]].