查看完整版本: 从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2010-10-22 10:18 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7701089&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
方便得话，上个报告，大家交流？ [/quote]

我没仔细看她的过程，应该是画了线段图。
晚上回去看看她的那页纸头还在不。.

[quote]原帖由 [i]grant[/i] 于 2010-10-22 09:29 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7700736&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
1. 一定要事先做足功课。
2. 到现场，首要原则是：捂紧钱包，不见兔子不撒鹰。
3. 遇到卖家忽悠你没做过功课的东西时，再动心也不要下单，宁可回来重新做足功课后再跑一次。
4. 大件的价格是透明的，不会有太高利润，小东西的价格才要格外注意。
5. 适当让卖家赚一点点，才能双赢。[/quote]
宝贵的经验，尤其后两十分中肯，谨记！.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2010-10-23 13:47 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7705934&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

宝贵的经验，尤其后两十分中肯，谨记！ [/quote]

加油～.

回复 3503#hxy007 的帖子

这就快入坑了 ;P ，加油.

007，偶来请教一下，E一年级的加法基础没打好怎么办呢？

二年级这些日子，小家伙喜欢上数学了，乘法学得不错，掌握的也扎实

看她做的作业，错的地方多在有加减法的题目上，那些还能回炉重学吗？有啥办法弥补一下呢？:L.

值得学习，技巧比死记硬背更实用。
献花@！！.

来学习的.

昨天数学老师和我说，儿子1分钟做10以为的加减法，只做了6题，要我加强口算！！请教前辈该除了题海战术用什么方法比较好，今年刚上一年级，平时也没这么给他训练就是喜欢扳手指。.

回复 3509#栋儿妈 的帖子

先简单地说下，一年级练习口算和速算的方法，以后有空再慢慢分析。
一、口算和速算的速度和准确性不是数学学习的目的。

二、一年级家长不必担心没有在学前学过加减乘除。在小学一年级学习加法是适合这个年龄的孩子的普遍情况的。

三、现在的小学算术与过去不同，因为计算器的出现，计算已经不再是一个必备的技能。现在要求更多的去体会和掌握算理，例如，什么是进位和借位，加法与减法的关系，横式和竖式的道理是什么，等等。如果学过算术，会算而不懂算理，学习的目的等于没达到。

四、要明白算理，就要明白在数学的历史上，加减乘除是怎么一步步发展出来。简单说，人类是从数数（最常用、最方便的数数工具就是搬手指），加减法（包括进位借位），乘除法。所以，扳手指计算，作为学习加减法的起步是非常正常的。他要扳手指才能计算，那就让他扳，等他扳到不需要扳了，他自然就不扳了。他觉得某道题心算的不一定对，我们反而要提醒他扳手指重算验证一遍。总之，从数数发展到加减乘除是一个自然而然的过程。如果孩子跟不上教学的进度，要不是教学进度太快，要不就是孩子练习的不得法或者练习的少了。别的我们可能做不了，多练习是可以做的，但一定要顺其自然，不可随便跨越，否则，欲速则不达。

五、一年级小朋友有一怕，那就是怕写。这是由小朋友的肌肉，特别是手部的小肌肉不发达造成的。随着孩子慢慢长大，小肌肉发达了，能完成更加精细的动作时，这一怕就不存在了。所以，在一年级，能口算、心算进行的数学练习，就不要用笔算。

六、一年级小朋友注意力集中的时间比较短，智力状态受情绪以及外界环境的影响比较大。要达到好的数学学习效果，我这说的不仅仅会计算几道计算题哦，而是指他们能开动脑筋思想，那么，在日常的生活中，BBMM特别要注意抽取合适的时间。例如，逛街，逛公园，坐公共汽车、地铁，散步等等，都是比较适合做几道口算数学题、讨论数学问题的好时间。

七、多换换花样。形式上要多样化。这个年龄的孩子很吃形式上的不同的，都是数数、算加减乘除，用不同的道具，如黄豆、围棋、车牌，用不同的方法，如扳手指、限时比赛，等等，在同学看来都是不同的。多换换花样，能在保持兴趣的同时，使同学有更多地练习机会。

八、做个“不知道”的BBMM和“笨”的BBMM。小同学有时懒得算，喜欢问BBMM，那么，随口说个错误的答案，让孩子来抓错。甚至有时候，还要“笨”一些、“轴”一些，我还就不认错，你得来说服我。

先写到这吧，妈妈们有什么疑问，不妨提出来，大家探讨。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-2 09:35 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2010-10-30 18:21 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7734316&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
先简单地说下，一年级练习口算和速算的方法，以后有空再慢慢分析。
一、口算和速算的速度和准确性不是数学学习的目的。

二、一年级家长不必担心没有在学前学过加减乘除。在小学一年级学习加法是适合这个年龄的孩 ... [/quote]
谢谢给予详细的解答，我回家实践一下再上来汇报哦。.

一年级放飞：计算中的具象和过程

[quote]原帖由 [i]jjjnet[/i] 于 2010-11-2 08:29 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7741440&ptid=4765326][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
借宝地，向ccpaging咨询昨天碰到的一个问题，也是小一的。
题目大意是，有一群小朋友，来了4个，后来又走了1个，现在有7，问原来有几个。
虽然口头能想出来，但是要列式子就不会了，和他分析了好久，还是懂非懂，不知到大家有什么好的解释方法。 ... [/quote]

一到三年级小朋友有个特点，怕步骤多，一步能算出来的东西对他们来说很容易。二步，有点难了，三步就很难了。这个说法，好像在一篇介绍美国小学生数学要求的文章中看到。在带儿子学数学的过程中，我也发现了这个现象。实际上，即使我儿子已经四年级了，对于二步以上的计算仍然会觉得头疼，完全靠脑子想的时候也经常会出现混乱。
如何让他们能处理二步以上的复杂问题呢？那就是需要辅助计算的工具和辅助记忆的手段。像这道题，用糖果来作为想象的具象和辅助记忆的手段就非常好。

先抓一把糖放在桌子上。
父：你包包里边还剩几颗糖？
子：我数数、、、7颗。
父：下午你给了小明一颗，是吧？
子：是啊。
父：给小明这颗糖之前，有几颗呢？
子：8颗。
父：哦，你怎么知道的？
子：这很简单啊，我原来有8颗，给出一颗就剩7颗。
父：也可以说，剩7颗，加上给小明的1颗，那就是原来的。我这样说，对吗？
子：对啊。
父：那么你早上出去就只带了8颗糖？
子：不是的，上午还给了其它4个小朋友。
父：给出去这么多啊。那你早上拿了多少颗啊？
子：12颗，8＋4＝12。

在跟孩子一起完成这个故事时，一边讲一边摆弄糖，剩下的7颗，给小明的1颗，早上给出去的4颗，分成三堆。这样就把二步计算的过程清晰地以糖堆的形式展示出来，且记录下来了。如果孩子仍然写不出算式，不妨让他重新讲这个故事，一边讲一边摆弄糖。

在这里使用的道具－－糖，给了孩子一个具体的想象的对象，简言之具象。摆弄这三堆糖，则展示了思考的过程，而且是最终的算式和结果一目了然。.

刚才发现这么好的帖子，收藏，细看.

有关算术的笑话

[url]http://www.fqsz.cn/jiaoyanketin/web1/31.htm[/url]

[b]还有一个洞[/b]
有一次，妈妈很耐心地启发丫丫做算术题："丫丫，你已经学会做减法了，对吗？来，我们来看看，4减2等于几？"
"等于2，妈妈。"
"太对了，乖孩子。那么，5减5呢？"
"5减5，减5......."丫丫嘟哝着，"我不会，妈妈。"
"孩子，你不可能不会！想想，比如说你口袋里装着5枚硬币，可是，突然，5枚硬币都掉了。你说，口袋里还有什么？"
丫丫忽闪着两只大眼睛，说道："掉了？那，那我的口袋里还有一个洞呀！"

[b]儿子的反驳[/b]
在大学搞军训的教官教自己三岁的儿子数数，已教了两天了，儿子还数不过十。教官训儿子说："已数了两天，为什么还数不过十呢？"
三岁的儿子反驳说："你每天早上上操，叫大学生数数，天天一二三四的数，都一个多月了，还没数过四呢。"

[b]作弊 [/b]

老师发表成绩:"小华三十分、小明二十分……"
小猪: 我考 O 分耶!
小狗: 怎麽办, 我也是耶…
小猪: 我们两个考同分, 老师会不会以为我们作弊啊?

[b]不可乱借 [/b]

数学老师问学生赵能："5减9是多少？"
赵能道："5怎能可以减9呢？"
老师道："个位不够时，就当向十位去借1当10。"
赵能道："我不敢借。母亲昨天才说过：借债是件不好的事。"

[b]不肯借[/b]

课堂上,数学老师正在讲解多位数减法. . 老师:"多位数减法.先把上下位数对齐, 然后个位数减个位数,十位数减十位数...... 遇到低位数不够减时,就向高位数去借......" . 学生举手询问:"老师,要是高位数不肯借给低位数,那怎么办呢?"

[b]减法[/b]

数学课上，教师对一位学生说："你怎么连减法都不会？例如，你家里有十个苹果，被你吃了四个，结果是多少呢？"
这个学生沮丧地说道："结果是挨了十下屁股！"

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-2 16:38 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]撒风子[/i] 于 2010-10-27 11:07 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7720943&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
007，偶来请教一下，E一年级的加法基础没打好怎么办呢？

二年级这些日子，小家伙喜欢上数学了，乘法学得不错，掌握的也扎实

看她做的作业，错的地方多在有加减法的题目上，那些还能回炉重学吗？有啥办法弥补一 ... [/quote]

不才斗胆，替007回答一记。
二年级随时都可以回炉一年级的加减法，即使没有问题，也可以用高年级的理解去重新诠释。到了三年级，也还经常回炉加减法的。但个人觉得，不需要再把一年级的习题拿出来重新做，一是平时做习题也有加减法的，二是这种回炉可以在新的层次上实现。
另外，对于首次计算发生的错误有时是不可避免的，验算，最好是学会逆运算来验算，可以解决计算错误问题，又给下一步的学习打下了基础，一举两得。
好想有些孩子不喜欢验算，可能是题目的量太大，来不及做或者不做厌烦了，那么也许可以验算一部分，或者在时间充裕的时候要求验算。.

回复 3515#ccpaging 的帖子

ccpaging老师，请教一个问题：
      我昨晚看了，我女儿的数学卷错的地方，发现她有个知识点没搞清楚，是几个几，比如，3个6，就是3×6，也叫6的3倍。这个问题她一直搞颠倒的。
      比如，让画2个4的×，她会画成 ××　××　　××　　××　
　　　　　　×××　×××　×××　×××　　她会写成３个４，４的３倍，３×４＝１２
      该怎么将解呀，我自己都有点糊涂了。
　　　.

3个6 和 6的3倍

[b]算式表达注意区分形式和实质[/b]
经常看见有人问“3个6”应该写成 3x6 还是 6x3，其实我认为这是一个形式的问题，也就是说写成3x6可以，写成6x3也可以。因为这里的3和6都是抽象的数字，没有限定表示某一具象。
某班只有18个同学，出去做早操，排成3列6行。老师站在前面，如果他喜欢用列x行来计算，那么就是3x6。如果他喜欢用行x列来计算，那么就是6x3。如果老师走了几步，到了侧面呢，可能列出的算式又不一样了。但是不管老师怎么计算，18个同学笔直地站在操场上，这个事实是不会改变的。
由此可见，3个6写成3x6 还是 6x3是随意的，大家只是看问题的角度不同而已。不过呢，有时老师们为了统一，方便阅卷等原因，跟同学们约定一种固定的写法，也不用奇怪。因为我们清楚，“3个6”的实质并没有发生变化。除非有同学独出心裁地把“3个6”硬写成 666。
顺便说一句，为了方便同学们书写时少犯错，一般把“3个6”按照顺序写成 3x6，把“6的3倍”也按照顺序写成 6x3。
要是老师非要反着来，那就反着来好啦。要是同学非要反着来，那可能被老师教训的。不过，请注意，这些与数学的实质无关，只是形式上的差异。

[b]具象的不同理解都是可接受的[/b]
把“3个6”画成图形，有的同学按照从左到右的书写习惯画成：
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
有的同学可能按照做操排队的习惯画成：
X X X
X X X
X X X
X X X
X X X
X X X
别的同学可能还有各种古怪的画法，例如画成平行四边形，同心圆等。

其实，这都是从不同角度看待同一个问题所得到的不同表现形式而已，不同画法的同学都可以互相理解对方，这就可以了。
当然，老师如果硬要规定一种画法，对同学而言只是遵从老师的形式和不遵从的抉择，与数学的实质无关的。

PS：ccpaging不是老师，只是家有小四生，一直带着学习，故而曾经多虑过。大家都是一起探讨问题的同学，如此最好。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-8 11:12 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2010-11-5 21:35 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7758935&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

不才斗胆，替007回答一记。
二年级随时都可以回炉一年级的加减法，即使没有问题，也可以用高年级的理解去重新诠释。到了三年级，也还经常回炉加减法的。但个人觉得，不需要再把一年级的习题拿出来重新做，一是平时做习题也有加减法的，二是这种回炉可以在新的层次上实现。
另外，对于首次计算发生的错误有时是不可避免的，验算，最好是学会逆运算来验算，可以解决计算错误问题，又给下一步的学习打下了基础，一举两得。
好想有些孩子不喜欢验算，可能是题目的量太大，来不及做或者不做厌烦了，那么也许可以验算一部分，或者在时间充裕的时候要求验算。[/quote]
替007谢谢你，再替我谢谢你！;P

我到是真给E又买了一本一年级上册的口算天天练，不过她基本不做，因为正常的功课每天的事情都排的挺满，好象还真没时间再回炉:L

现在她捧着咪咪数学宝，加法和乘法都可以计算到百位以上了，不过二年级的口算天天练里还是经常会看到她加减法的错误:Q

我担心的是，你上面有文章里提到的算理，这个东东，会不会她没掌握，也没办法弥补了呢？:(.

ZT 切莫偏废了算理教学

[url]http://www.xxkt.cn/shuxue/2008/29624.html[/url]
作者：朱国荣　 　时间：2008-1-17　　　　本文热度：193　　　　等级：★★★
　　[b]切莫偏废了算理教学[/b]
　　掌握算法和探究算理是计算教学的两大任务，算法是解决问题的操作程序，算理是算法赖于成立的数学原理。在计算教学中，算理探究和算法掌握具有同等重要的地位，两者不可偏废。但在新课程实施过程中，由于部分教师对算法多样化教学理念的片面认识，出现了一味追求多种算法，而忽视算理探究的新问题，值得广大教师反思。
　　日前，我市组织了“优质课”教学评比，其中选择的一项教学内容是“乘数是一位数的口算乘法”（人教版实验教材三年级上册）。在执教这一内容的三位教师（均为青年骨干教师）中，竟有两位忽视算理的探究，因而引发了笔者对这一问题的思考。我们先来看看其中一位教师的教学过程：
　　[b]教学案例一[/b]
　　情境描述 观察主题情境，提出问题：玩旋转木马每人每次2元，30位小朋友每人玩一次需要多少元？
　　学生独立列式、计算后，组织反馈，重点交流“2×30”的算法。
　　师：2×30等于60，你们是怎么算的？
　　生1：先算2×3等于6，再添一个0等于60。
　　师：还有不同算法吗？
　　生2：2×30就是2个30相加，30+30等于60。
　　生3：我先把2看成两个1，1个1乘30等于30，2个1乘30就等于60。
　　师（作小结性评价）：小朋友都有自己不同的方法，这些方法都能算出正确答案。
　　教学反思 显然，这位教师满足于由学生呈现的多种算法，教学停留于算法的交流与掌握，而其中的算理——为什么可以先去掉0，再添上同样多的0，却被教师忽视了。也许，在这位教师的认识中，知道“可以怎样算”是硬道理，而“为什么可以这样算”不值一提。笔者以为，这样的认识是错误的。算法的交流仅仅让学生掌握了一套解决特殊问题（整十数乘一位数）的操作程序，而这一操作程序是不具有发展性和可迁移性的。换句话说，应用这一操作程序无法解决类似“2×31”的问题。因此，这样教学的弊端是显而易见的——当学生学习“2×31”时，必须再建立一套新的操作程序，从而使得学生获得的知识犹如一粒粒珍珠，却少了一根红线将它们串起来，而这根红线正是算理。我们再来看其中一位教师是如何凸现算理教学的：
　　[b]教学案例二[/b]
　　情境描述（情境如前）
　　师：2×30等于60，你们是怎么算的？
　　生1：先算2×3等于6，再添一个0等于60。
　　师：你们听懂这位小朋友的算法了吗？
　　指名复述（略）
　　师：你们都同意这种算法吗？
　　生齐（响亮而整齐地）：同意！
　　师（作疑惑状）：一会儿把0去掉，一会儿又把0添上去，真的可以这样算吗？
　　生齐（声音明显小了许多）：应该可以的吧。（可以看出，不少学生已经开始了新的思考。）
　　师：可以这样算吗？说说你们的理由。
　　生1：前面去掉的是1个0，后面添上去的也是1个0，没有多也没有少，肯定是可以的。
　　生2：我是用加法算的，2×30就是2个30相加，结果也是等于60。
　　师：这位小朋友很会动脑筋，想到用加法来验证结果的正确性。但还是没有说清楚为什么可以添上0、去掉0。
　　生3（急着站了起来）：老师，我妈妈早就教过我了，就是这么算的！
　　生4（挑战般地）：万一你妈妈教错了呢！
　　生5（发现新大陆般）： 老师，我知道可以怎么想了！我们可以先把30看作3个十，3个十乘2等于6个十，6个十就是60。
　　教室里十分安静，多数学生露出了恍然大悟的神情，仿佛在说：噢，原来是这么回事啊！但也看得出还有不少学生依然似懂非懂的样子。
　　师：谁再能说一说？（停顿）老师这里有一些小棒，每一小捆都是10根，你可以借助这些小棒来说道理。
　　生6借助小棒表述算理（略）。
　　教学反思 教师对算理刨根问底给学生出了一道难解之题，可以看到，在算理的阐述过程中，多数学生开始十分茫然，不知该作何解释。其中生3的回答可以使我们清晰地认识到，即使个别学生已经较为熟练地掌握了算法，但并意味着他们已经明白了其中的算理。正是教师清晰的追问再次激活了学生的思维，引发了他们的探究心向。可以看到，学生在“茫然——沉思——尝试解释——恍然大悟”的过程中，数学的、严密的逻辑思维得以锤炼，算理得以澄清。可以断言，让学生经历这一过程，是有利于学生的后续学习的，同样也是有利于培养学生良好的数学思维品质的。
　　透过上述案例，笔者还认识到，数学教学应“求联而不求全”。就计算教学而言，教师不应一味追求算法的多样化，而应加强对多种算法的梳理和对算理的阐释。数学教学中，教师应以联系的、整体的（而不是孤立的、片面的）观点看待每一节教学内容，并努力揭示数学知识之间的内在联系。比如整数、小数和分数的加减法，从算法上看存在显著区别，但分析其中的算理，却可以发现，三者是完全一致的，其本质都是相同计数单位的合并（或相减）。再比如，除数是小数的除法和异分母分数的加减法，在计算方法上完全不同，但从数学思想方法的角度进行考察，就能发现其中的一致性，即都体现了“转化”的思想。显然，揭示蕴含在不同知识点背后的本质联系，有利于学生更加深刻地理解数学，构建知识网络，进而使学生掌握的数学知识更具可持续发展的张力　

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-8 10:33 编辑 [/i]].

回复 3517#ccpaging 的帖子

谢谢，ccpaging，你家小四学生，有你这样的家长是幸运的。你说的真好，送花！.

[quote]原帖由 [i]撒风子[/i] 于 2010-11-8 09:10 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7762868&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
我担心的是，你上面有文章里提到的算理，这个东东，会不会她没掌握，也没办法弥补了呢？ ... [/quote]

算法与算理，这是一个很重要的问题。转帖于3519#的文章，使我们有一个初步的体会。让我们慢慢把这个问题展开来。

一、算理是个什么东西？
二、为什么要学习算理？
三、算理的应用
四、算理之不可“教”
五、如何帮助同学们领悟算理

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-9 11:13 编辑 [/i]].

回复 3521#ccpaging 的帖子

上面那篇已经打印了，等待中……:handshake.

中考做错许多题

在CC爸爸讲“算理”之前，我先插播一小段吧。

家里小四生中考刚刚结束，数学错了好几处，
这可是普通公立小学的普通考试，一奥也不奥的哦，他却给我错得个“奥妙无穷”——

1.列式计算：127被154与27的差除，结果是多少？
  他写（154-27）÷127，错

2.填空：三角形总数11个，其中黄色的有4个，用分数表示是4/11
   现在增加1个黄色三角形，用分数表示是（）
  他填5/11，错

3.递等式计算：中间有个过程是16*3，他横式对的，竖式隔手就抄成了13*6，又错

4.选择题：两箱苹果一样重，第一箱运走 1/5 kg，第二箱运走 1/5，结果两箱苹果，a.一样重  b.第一箱重  c.第二箱重  d.无法判断
   他选a.   错

这咋办，不知道要怎么弄．．．.

回复 3523#happyyj 的帖子

1.列式计算：127被154与27的差除，结果是多少？
  他写（154-27）÷127，错
ccpaging：觉得这样的题目很没有意思。如果用一个有具象的故事，列算式，那没问题。现在这样，等于是玩文字游戏。基于文字的逻辑思维要到初中才开始建立。现在搞这些，就是把小孩子的思维搞乱，就是折腾。不过，既然出了这道题，错误的产生可以不用追究，花时间把这个问题搞搞清楚还是有必要的。

2.填空：三角形总数11个，其中黄色的有4个，用分数表示是4/11
   现在增加1个黄色三角形，用分数表示是（）
  他填5/11，错
ccpaging：问问孩子，做这道题的时候，脑子里边有三角形吗？如果答案是否定的，那么平时注意养成画图的习惯，简单地画多了，脑子里边会习惯性地产生具象的联想。
另外，注意问问孩子，如果他理解的是通过把一个已经存在的三角形涂层黄色，那么这道题的答案就是5/11。

3.递等式计算：中间有个过程是16*3，他横式对的，竖式隔手就抄成了13*6，又错
ccpaging：这种错误不可避免的，唯一的应对方法是检查。平时的数学作业不要多，但自己一定要检查。

4.  选择题：两箱苹果一样重，第一箱运走 1/5 kg，第二箱运走 1/5，结果两箱苹果，a.一样重  b.第一箱重  c.第二箱重  d.无法判断
   他选a.   错
ccpaging：这个要仔细询问。
1、如果是没有认真读题，忽略了关键字，那么要寻找能够仔细读题的方法。指读，标地雷，都是不错的方法。
2、如果认真读题了，又检查过了，那么很可能是概念错误。可以假设一箱苹果的重量，然后计算出剩下多少，再比较。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-10 13:53 编辑 [/i]].

回复 3524#ccpaging 的帖子

感谢您详细的答复。
回去一道一道过。我真的没想到第2题的答案也有可能是 5/11

我家的很固执，轻易不肯承认自己错。
还有一次，是一道是非题，“比 5/8 小的分数有四个”，
他答“对”，认为只有1/8，2/8，3/8，4/8  这四个；0/8 很怪，不算分数！
我说，不对，别的不说，就举个例子 1/100，不是也符合条件吗。
他说：5/8和1/100，分子分母都不一样，没办法比大小的；只要是比不出大小的，都不算符合条件！
我怎么解说他也不听，坚持自己的，直到交上去被老师打了大叉，才好不容易开始反省。.

回复 3525#happyyj 的帖子

0/8算不算分数呢？当然是值得想想的。嘿嘿，争论就是思辨的过程。想过了，目的就达到了，输赢不重要的。
请注意 3519# 所转内容中的案例二：
　　师（作疑惑状）：一会儿把0去掉，一会儿又把0添上去，真的可以这样算吗？
　　生齐（声音明显小了许多）：应该可以的吧。（可以看出，不少学生已经开始了新的思考。）
“不少学生已经开始了新的思考”，这就是很重要的起步。

“比 5/8 小的分数有四个”，肯定是错误的。比5/8小的分数有无穷个。不妨找找看呢？
找不出来也不要紧，找根长度为8CM的线，留下5/8也就是5CM，这条线上就有无穷个小于5/8的分数。再找找看呢？

他说：5/8和1/100，分子分母都不一样，没办法比大小的；只要是比不出大小的，都不算符合条件！
是啊，我也觉得没法比较大小。转手切块蛋糕，爸爸拿1/3，妈妈拿1/2，给儿子吃剩下了，那么，谁的蛋糕最大，谁的蛋糕最小呢？要是不能比较大小，那么这样分蛋糕就是公平的咯。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-10 14:30 编辑 [/i]].

5/8 和 1/100 谁大

[b]借船渡海[/b]
子：爸爸，今天的试卷很变态的，你可能都不会做！
父：是吧，什么变态题？我试试看。
子：5/8 跟 1/100 比较大小。
父：哦，好像是蛮难的。
子：我就说你不会吧。分子跟分母都不一样，这怎么比较大小啊？
父：是啊，要是问5/8和1/8比谁大，那我就知道了。
子：当然是5/8大啊。
父：我还知道1/8和1/100谁大呢！
子：切，我还知道呢，当然是1/8大。
父：哦，你的意思是说，5/8 比 1/8大，然后1/8又比1/100大，对不对啊，写出来看看？
子：我说的肯定对，写就写。

[b]具象进阶[/b]
子：爸爸，今天的试卷很变态的，你可能都不会做！
父：是吧，什么变态题？我试试看。
子：5/8 跟 1/100 比较大小。
父：哦，好像是蛮难的。
子：我就说你不会吧。分子跟分母都不一样，这怎么比较大小啊？
父：我知道，1/100就是把一根绳子切99刀，分成100份，拿出其中的一份，那就是1/100。那什么是5/8呢？
子：很简单啊，5/8就是把一根绳子切8刀，分成8份，拿出其中的一份，那就是5/8。
父做切菜状，问：好像不对哦，切8刀，就被分成9份。不信你试试？！
子也做切菜状，答：对，应该是切7刀。
父：那么，什么是5/8呢？
子：5/8就是把一根绳子切7刀，分成8份，拿出其中的一份，那就是5/8。
父：要不我们画条线分分看，好哇？
子：好啊。
拿出尺子，纸，和笔。
父沉思，问：可是，我们画多长的绳子呢？
子：随便画好啦。
父：那你来吧。

以下的过程，BB最好不要干预，给儿子尽量多的时间去画和感觉。这次不行，下次再来。.

回复 3527#ccpaging 的帖子

谢谢您的情景教案；
我也和小水一样，从007语数两个帖子里学到很多有用的方法。不过他弃楼、扔给您经管了。。。

关于分数比大小，我们家的有次还告诉过我，有道题，费了他半天劲，连尺子都用上了，才好不容易得出结论，是这样的：

6/15和10/25比大小

分子分母都不一样，这要怎么比啊。。。

不会比，想不出。干脆拿出尺子画吧，画了一条15cm的线段，以1cm做单位，分成了15份，在6cm那儿标示6/15；
然后又想，这个10/25又要怎么办呢，想啊想，终于想出再画一条同样长15cm的线段，就画在刚才那条线下面，首尾都对齐，然后以6mm做单位，分成25份，在第10个6mm那儿标识10/25；
然后用小竖线一连，发现6/15与10/25在线段上正好对齐、一样长短，
于是很高兴地得出结论，6/15=10/25 ！

我问他，为什么第一条线段用1cm做单位，第二条线段用6mm做单位？
他说，第一个是顺着6/15天然画出的，第二个是为了能正好分成25份，因为150/25=6

我又问他，这是150mm正好能被25整除，所以你能用6mm做单位；如果碰到个除不尽的，你要怎么画？
他说，可能要公约数、公倍数什么的吧，具体我还不会，也没想过。

我再问他，手工画图肯定是有误差的，靠不准确的图却得出一个很明确的结论，这结论会可靠吗？
他说，我是实在做不出来，才想起用画图法的；要有更好的办法，我就不用画图法了，很费时间的，要考试的话，这样可能时间都不够用呢。.

5/8 和 1/100 谁大 之 公倍数 并 回复 3528#happyyj 的帖子

我又问他，这是150mm正好能被25整除，所以你能用6mm做单位；如果碰到个除不尽的，你要怎么画？
他说，可能要公约数、公倍数什么的吧，具体我还不会，也没想过。
==========================================
[color=Sienna]妙啊。就是希望他产生出公倍数（可以明确是公倍数）的联想。
也就是说，我们要找到一个数，它是15的整数倍，又是25的整数倍，它是15和25公用的倍数，简称公倍数。
现在孩子想到了150，那么下次做类似的问题时，可以进一步思考下面两个问题：
这个临时找出来的150是最小的吗？也是埋个种子，不要强求解答。
有没有稳定可靠的办法来找出公倍数呢？[/color]

我再问他，手工画图肯定是有误差的，靠不准确的图却得出一个很明确的结论，这结论会可靠吗？
他说，我是实在做不出来，才想起用画图法的；要有更好的办法，我就不用画图法了，很费时间的，要考试的话，这样可能时间都不够用呢。
==========================================
[color=Sienna]这个问题问得好，形和数在数学中有不同的作用。有什么不同的作用呢？提个问题在这，埋个种子，以后慢慢体会。
要养成画图的习惯，尤其要从简单的画起。简单的不画，复杂的就没法画了。
考试的时候，怎么快怎么来，这是没错的。但现在咱们是探究哦，是玩数学，有时间就多玩会。平时多花时间探究，考试的时候就不会抓瞎了。[/color]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-17 15:58 编辑 [/i]].

找不到题材了

[quote]原帖由 [i]happyyj[/i] 于 2010-11-17 14:17 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7799738&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
谢谢您的情景教案；
我也和小水一样，从007语数两个帖子里学到很多有用的方法。不过他弃楼、扔给您经管了。。。 [/quote]

一到三年级，同学的问题比较多，我们花了很多时间去解决，自然能写出许多东西。
现在，007和我都不检查作业了，用不着了。学校布置的思考题，同学们都会做，也没问题。
昨天我问过 Alex，他们现在也很少问老师，因为碰上难题可以跟同学商量解决。看来，我们要暂时性失业了。

不过，最近，我在研究几何启蒙的事。如有进展，会试验并告之的。简单说，从四年级开始，要逐渐学会画图，并且要从用刻度尺和三角板画图，逐渐过渡到用直尺和圆规作图。先注意着吧。

大家有什么问题和想法，不妨提出来，共同思考解决。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-17 15:53 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2010-11-17 15:51 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7800433&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

现在，007和我都不检查作业了，用不着了。学校布置的思考题，同学们都会做，也没问题。
昨天我问过 Alex，他们现在也很少问老师 ... [/quote]

这方面我也解脱了。
以前他爸爸替他检查，能确保他得“优”；换了我，经常不够细致，查不出名堂，查了也只能得“良”，
他觉得指望不上，变得宁愿自己用心点、也不要我查，如此反而得了几个“优”，
从此以后，更是坚决不让我查了，现在已经过份到作业卷看都不让我看一眼，做好就立刻塞进拉边袋，我都不知道他每天在做什么题。.

回复 3518#撒风子 的帖子

我家小儿也是二年级, 进来学习学习. 我发现小儿乘除法现在还可以,反而加减法倒计算起来慢了.我觉得他似乎缺乏数感.  昨天也找出一年级的口算来准备再回炉.   咪咪数学宝你们用了多久? 有效果吗?.

回复 3532#安宝妈妈 的帖子

现在偶尔还在用，效果还是有的，等于多做题了嘛

我在想，也许不需要特别回炉，毕竟不会是一点不明白，二年级虽然以乘法为主，口算天天练里加减法也不少的，每次把错的题抓出来让她多做几遍，也许慢慢就把薄弱的环节给补上了吧？[:sz20:].

回复 3533#撒风子 的帖子

一年级的时候, 因为在幼儿园一直在做公文,所以以为他数学基础还可以, 老师也没特别要求要做听算, 所以听算只是断断续续做了些. 感觉当时他在做题目的速度上明显不快. 从2年级开始, 要求每周2次做听算, 明显有些进步了, 所以在考虑想他这样数学天赋不足, 是否应该更多的练习基础运算呢?.

[quote]原帖由 [i]安宝妈妈[/i] 于 2010-11-23 15:28 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7823735&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
一年级的时候, 因为在幼儿园一直在做公文,所以以为他数学基础还可以, 老师也没特别要求要做听算, 所以听算只是断断续续做了些. 感觉当时他在做题目的速度上明显不快. 从2年级开始, 要求每周2次做听算, 明显有些进步了 ... [/quote]

可能在整个小学阶段都要练习基础运算，从数数计算20以内的加减法开始，两位数加减法，九九乘法表，多位数加减法，一位数乘以多位数，除法等等。这跟数学天赋没什么关系。
练习的方式可以多样化，不局限于做习题集。上超市、游玩、散步、乘车等随时都可以就着环境做几道计算题。
在练习中，注意究其理。同学说“3x5=15”，BBMM就要问一声，为什么结果是15不是16、17。要回答这个问题，同学就会自然地复习到加减法。由加减法继续探究下去，就会复习到数数、进制。如此，就把小学的算术知识都贯通起来了。

尤其不要死记硬背九九乘法表，而是通过加减法算，算熟悉了，张口就能说出答案。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-24 12:24 编辑 [/i]].

回复 3534#安宝妈妈 的帖子

在这个贴子里讨论题海战术楼主会怎么想？;P

我其实赞成适当多做些题的，不过不同意你认为儿子数学“天赋不足”

要无限地相信孩子的潜力，真的，我女儿一年级时字写的没法看，现在还是没法看，但是有书法老师说她写字大气，嘿嘿，我想不用再过两年，女儿的字一定超过我

相信孩子，鼓励孩子，感觉最泄气的时候也不说打击人的话，试试哦，现在偶家女儿数学考不到100人家自己也觉得不甚满意，但是人家也会自我安慰：“考A也不错嘛”:P.

回复 3536#撒风子 的帖子

题海的效率太低。
深究一个数学问题，花去三个下午的时候，可能达到初中、高中甚至大学的水平。
而三个下午的题海，最多就是把当时的小学课程熟悉了一遍而已，而思维的层次非常低。原因在于题海没有激发孩子的兴趣，没有让孩子的脑子动起来，BBMM的脑子也没动起来。.

回复 3535#ccpaging 的帖子

谢谢CCPAGING! 非常赞同多样化的训练.  这个还需要BBMM的大力配合才行.孩子对于数学, 说他没有数学天赋可能不太恰当. 但从做题的速度来看, 我觉得是否他属于缺乏数感?.

回复 3536#撒风子 的帖子

:handshake  "要无限地相信孩子的潜力" 对极. 我绝不会当面说孩子的. 不过担心老师总会说他做的慢, 会影响他的自信心. 好歹他昨天已被选为班长, 数学的成绩也是可以的. 只是前途漫漫, 对他的数学是我信心欠缺. 幸好这里有这么多前辈可以请教啊!.

说说“题海战术”

“题海战术”是一种野路子的说法，流传于街头巷尾。谈论某某同学成绩好时，最容易观察到的就是这位同学经常在看书、做题，似乎很容易照模学样，但真正做起来了，人们才发现问题很多，诸如没兴趣、没效果、浪费时间等，无法效仿。

其实，科学家们对“题海战术”是有研究的，只不过换了一个名字－－练习，严格地说，是“刻意练习”（deliberate practice）。

在过去二三十年内，心理学家们系统地调研了各行各业内的从新手，一般专家到世界级大师们的训练方法，包括运动员，音乐家，国际象棋棋手，医生，数学家，有超强记忆力者等等，试图发现其中的共性。他们的研究甚至细致到精确记录一所音乐学院的所有学生每天干的每一件小事，用多少时间做每件事，父母和家庭环境，来比较到底是什么使得那些音乐天才脱颖而出。

现在这项研究工作已经成熟了。2006年，一本900多页的书，The Cambridge Handbook of Expertise and Expert Performance， 出版。这是“怎样炼成天才”研究的一本里程碑式的学术著作，此书直接引领了后来一系列畅销书的出现，包括格拉德威尔的《异类》，Geoff Colvin 的 Talent is Overrated，和 Daniel Coyle 的 The Talent Code 等等。科学家们不但证明了高手是练出来的，而且通过考察各个领域最好的训练方法的共性，总结了一套统一的练习方法，这就是所谓“刻意练习”（deliberate practice）。

不过“刻意练习”不是简单地说，我们到书店去买一大堆习题集，扔给孩子做，甚至也不是说如何挑选习题集。首次提出“刻意练习”这个概念的是佛罗里达大学心理学家 K. Anders Ericsson。这套练习方法的核心假设是，专家级水平是逐渐地练出来的，而有效进步的关键在于找到一系列的小任务让受训者按顺序完成。这些小任务必须是受训者正好不会做，但是又正好可以学习掌握的。完成这种练习要求受训者思想高度集中，这就与那些例行公事或者带娱乐色彩的练习完全不同。

“刻意练习”的理论目前已经被广泛接受，我们可以总结一下它的特点。
1. 只在“学习区”练习
2. 大量重复训练。
3. 持续获得有效的反馈。
4. 精神高度集中。

值得注意的是，这四个特点相互依存，缺少其中的任何一个，“刻意练习”的效果都可能适得其反。

详细内容请见：
怎样练习一万小时
[url]http://ww123.net/baby/thread-4742499-1-4.html[/url]
关于“刻苦”的科学
[url]http://ww123.net/baby/thread-4631898-1-4.html[/url]

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-24 14:25 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]安宝妈妈[/i] 于 2010-11-24 13:57 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7827680&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
谢谢CCPAGING! 非常赞同多样化的训练.  这个还需要BBMM的大力配合才行.孩子对于数学, 说他没有数学天赋可能不太恰当. 但从做题的速度来看, 我觉得是否他属于缺乏数感? [/quote]

很多因素都会影响做题速度，例如，做题的时间安排的不合理，注意力不集中，坐姿不正确，握笔姿势不正确等等。具体是什么问题，要通过询问、观察、比较等仔细的工作，才能确定。
见到过有个孩子，做题比别人慢，但结果一般都正确。后来孩子告诉我，他每做一道题，心算了三遍。

“数感”这种说法比较玄，不管它是否存在，如果咱们不能在“数感”上有所作为，那就别管它，当它不存在好啦。.

回复 3541#ccpaging 的帖子

要提高孩子的数学水平, 先提高我自己的. 继续学习:二年级放飞.

[[i] 本帖最后由 安宝妈妈 于 2010-11-24 14:37 编辑 [/i]].

玩中学－－把数学练习跟亲子互动一起做

小学的孩子对父母有心理上的依赖，越是低年级的孩子，这种依赖性越强。具体的说，他希望跟BBMM一起玩，最好是有互动的玩。孩子和BBMM一起在家里看电视连续剧，这不是互动，一起乘车时他玩PSP或者溜溜球，BBMM在想自己的心事，这也不是互动。

转一篇小文章，多与孩子互动有利孩子心理健康
[url]http://paper.sciencenet.cn/htmlpaper/201011101121410613248.shtm[/url]
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
多与孩子互动有利孩子心理健康

美国一项最新研究显示，父母或保姆等成年人多与孩子玩耍、交流，有利孩子成年后的心理健康，减少他们出现人格障碍的风险。

美国宾厄姆顿大学研究人员在新一期《发育与精神病理学》杂志上报告说，他们在研究中发现，如果父母或保姆等成年人经常与孩子一起互动，孩子长大后患心理疾病的几率会降低。互动的内容包括一起玩游戏、一起读书，大人帮助孩子完成家庭作业、传授组织技巧等。

研究负责人、临床学教授马克·伦岑韦格尔解释说，在与父母及其他成年人进行积极而健康的互动过程中，孩子会模仿大人的社交技巧与处世方法，学会从容处理所面临的问题，从而提高心理承受力。如果缺乏这种互动，孩子的社交能力容易出现障碍，处理问题的能力也会降低，这将提高孩子成年后出现人格障碍的几率。

伦岑韦格尔说，大人与孩子的互动还会促进关爱，密切人与人之间的关系。而大人的关爱行为会培养孩子的爱心，使孩子在成长过程中心理更健康，思想更丰富。

伦岑韦格尔指出，目前越来越多的父母把孩子托付给幼儿园，电视、录像以及网络游戏在孩子生活中也占据着越来越重要的位置，在这样的环境下，父母经常与孩子互动尤为重要。（来源：新华网 高原）
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

知道互动的重要性，这还不够。因为我们会发现，又要互动，又要做数学练习，没那么多时间啊。于是，我们尝试把互动和数学练习的时间重合起来，用互动的方式学习数学，如此，即满足了孩子互动的心理需求，又做了数学练习，两全其美了。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-11-24 15:19 编辑 [/i]].

小五秘密武器报告

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2010-11-24 14:32 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7827870&ptid=4769693][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
二三四年级一些奥数，到了五年级，被小五生视如笑话。 [/quote]
　　刚才，我家小五生宣布他做完了周末数学作业。照常例，老师在周末卷上一般都会出一两道拓展题，其实就是一些紧扣孩子当下所学知识点的数学难题，或者说，就是所谓的“奥数题”。所以，007就顺嘴一问：今天有没有变态题呀？
　　没有！就算有，我们也不怕了。
　　怎么了？难道你们找到了对付变态题的秘密武器？
　　老师再要出拓展题，我们全班同学都不用动脑筋了，用方程去解，一点都不难了。
　　哎呀，你们都开始学设X解方程了！这可是你们对付那些变态奥数的秘密武器，现在数学老师没有办法为难你们了吧？
　　哪里呀，老师也有秘密武器，又在给我们出更难的题…….

好久没关心数学了，今天又来温故而知新。想起来一个问题，小二生的，小子觉得特别好玩，就象绕口令一样给我读了好几遍“一个数，加8，乘以8，减去8，除以8，等于8”，我觉得有意思，就想换一换求解关系，重新出题。于是就出“1，加一个数，乘以这个数，减去这个数，除以这个数，等于这个数”，问这个数等于几？题目刚出完，发现不对，解为任意数。于是就跟小子又正着来，“一个数，加9，乘以9，减去9，除以9，等于9，该数为几啊？”，小子琢磨了一下，说“还是1。”后来，他又代入其他数，发现任何数都可以做顺口溜的押韵数。很好玩。但是我黔驴技穷了，请教，这样的题目从专业上讲还可以玩些什么？.

回复 3544#hxy007 的帖子

是不是老师开始整排列组合题目了？.

回复 3545#天天DAVID 的帖子

尝试一下，看看为什么答案总是1.

单元测验之后

昨天数学单元测验，儿子说：“我以前总觉得计算题简单，从来不检查，结果每次考试，计算题都被扣分，所以我今天检查了一下，果然查出一个错误。”
我表扬了一下。

“还有一道题，1166万，可是‘万’字拐在第二行，结果我就没把这个‘万’放在眼里，幸亏其他同学算式列错了说除不尽，举手问老师，我也顺便再看了一眼题目，才忽然发现还有个‘万’字。”
“好玄啊！”我说。

然后他说有一道附加题，听那意思，有点难度，老师讲卷的时候，很多同学发现自己没做对，
只有几个做对的，他是其中之一，所以有点激动，一回家就拿这道题考我，要我报答案，我说我哪有本事口算，需要拿笔画一画、算一算。

过一会儿又提醒：“那道题你会吗？”我说：“等我忙完就算。”

洗澡时候再次提醒：“别忘了，你还没做那道题呢。”
我说：“马上。”

然后，我画了画，把它做了出来，他站在我旁边，表情居然有点失落、虽然只有丝毫一点点，可我还是看出来了。
他说：“我以为你可能比较笨、做不出来；没想到你还挺聪明的，和我做的一样。”
我总算恍然大悟——从一开始，他亟不可待、几番三次提醒我做这道题，只是在等这样一个结果：我绞尽脑汁、怎么也做不出来，然后他好豪气满怀地讲解给我听。
然而，我没会意，所以没有配合好他，居然自说自话做了出来、还做对了。。。

为了挽回这个尴尬的气氛，我赶忙回说：“你想嘛，每天和你这个聪明人在一起，怎么着也会沾点灵气的呀；要不是被你传染，这么难的题，我三天也做不出来的！”
他开心地笑了。

想起007一直讲的，要会“装”，看来还欠“装傻”的功夫。;P


（题目其实不难：操场原长60m，后来加长15m，加宽8m，面积因此增加了1275平米，问操场原宽。）.

回复 3548#happyyj 的帖子

类似这样的题：
操场原长60m，后来加长15m，加宽8m，面积因此增加了1275平米，问操场原宽。

主要关注同学是否脑子里边有图，即使脑子里边有图，还是要求他画下来。画得好不好，四年级以前不做要求，四年级要开始讲究起来。跟他们教科书上的几何小实践（实质是为初中研究平面几何做准备），衔接在一起。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-12-9 10:36 编辑 [/i]].

回复 46#hxy007 的帖子

看得我由衷的佩服，连我这个对数学超笨的，也在突然之间爱上数学了，谢谢，以后每天上来学习，补补自己学生时代的遗憾[em08] [em08] [em08].

回复 3549#ccpaging 的帖子

谢谢点拨，我还不知道他们教科书上有几何小实践，回头去看看。:)

昨晚上，小四生又写了10道小题考我，说是白天的课堂练习，很自豪地告诉我，每一道都是靠他自己的脑袋做出来的，没有向同学请教。
这回我学乖了、再说也的确是懒得动脑筋，就说不会、都不会，直接告诉我答案，这下他得意了。;P

题目蛮有趣的，也不“奥”，顺手贴上来，分享给有兴趣的小朋友一起玩，估计答案并不唯一：

用 +  — × ÷ 以及（），使左边=右边
4  4  4  4 = 0
4  4  4  4 = 1
4  4  4  4 = 2
4  4  4  4 = 3
4  4  4  4 = 4
4  4  4  4 = 5
4  4  4  4 = 6
4  4  4  4 = 7
4  4  4  4 = 8
4  4  4  4 = 9.

[quote]原帖由 [i]happyyj[/i] 于 2010-12-9 14:19 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7883833&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
昨晚上，小四生又写了10道小题考我，说是白天的课堂练习，很自豪地告诉我，每一道都是靠他自己的脑袋做出来的，没有向同学请教。
这回我学乖了、再说也的确是懒得动脑筋，就说不会、都不会，直接告诉我答案，这下他得意了。;P [/quote]
呵呵，忽悠水平很高。.

[quote]原帖由 [i]shensongyu[/i] 于 2010-12-9 11:07 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7882538&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
看得我由衷的佩服，连我这个对数学超笨的，也在突然之间爱上数学了，谢谢，以后每天上来学习，补补自己学生时代的遗憾[em08] [em08] [em08] [/quote]
我很感动，很少有人这么有耐心看完我这种费尽心力却写很长很烦的帖子。你的表扬，对我是莫大的鼓励！我喜欢这种表扬。:handshake.

回复 3553#hxy007 的帖子

我也经常表扬你的
咋不见你感动的:(.

回复 3554#龙宝娘 的帖子

那就请你表扬我一下，我现在特需要表扬。一表扬，俺就感动。.

回复 3555#hxy007 的帖子

悄悄潜水看你的数学贴
是我每天必做的事:$.

[quote]原帖由 [i]龙宝娘[/i] 于 2010-12-9 18:21 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7884980&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
悄悄潜水看你的数学贴
是我每天必做的事:$ [/quote]
我很高兴，很满足，今晚我可以安睡了！:handshake :handshake :handshake.

四年级小题大作 之 “除、除以和被除”

请计算：24与16的差除64与32的和差是多少？

Alex 最近总在类似的题目上栽跟头，好像把平时最欣赏他的数学老师也惹烦了，要罚抄他100遍。不知为什么，这小子回来也不说，直到他妈妈无意中整理书包时才发现。
我仔细看了看，Alex 类似的错题，发现主要问题集中在三个上面，即“除”、“除以”和“被 ... 除”。分析下来，这不是个数学问题，而是文字理解的问题。
于是，Alex 和 我上网分别查了这几个词的释义。
“除”在这里的意思是“分”，“3除9”是用3来分9的意思，英文对应“divide”。
“以”是“用”，“24除以4”是24用4来分的意思。英文对应“divide into”。

“被”自然是被动语态，Alex 说，他以为是被子的意思，晕倒。这个字比较麻烦，翻看了 Alex 的作文，几乎没有看见他用过“被”。问他，他说课文中有一句话用了这个字，然后马上背出了这句话。这说明，Alex 对被动语态还处于理解的状态，没有关注过，自然也谈不上用被动语态。看来我只好兼职语文老师了，使他能对被动语态有更深的认识。

“Alex 今天很不开心，因为爸爸打了 Alex。”我在纸上写下了这么一句，然后问：“你觉得这句话有什么不好吗？”
Alex 说：“爸爸打了 Alex，这不好。”
我说：“哦，那我改改吧。”把原句改成了“Alex 今天很不开心，因为老师批评 Alex。”我问：“你多读几遍，看看这句话有什么问题？”
Alex 默读了几遍，说：“ ‘Alex’ 重复了，读起来不顺。”
我说：“那我把这句话改成，‘Alex 今天很不开心，因为老师批评了他。’”
Alex 又读了几遍，说：“还是用‘被’字比较简洁，‘Alex 今天很不开心，因为被老师批评了。’”
我说：“是啊。我也觉得这样读起来比较舒服。那还有哪些情况下，要用‘被’呢？”
Alex 想了想又说：“有的。比如游戏的时候被谁撞了一下，不知道是谁撞的，就要用‘被’。”
我说：“嗯。有时候，主语不方便说，比如老师正好站在边上，你就可以说，‘我今天被批评了。’你的同学肯定都能猜到是被老师批评了。”

至此，这三个词的意思算是弄明白了。但这还不够，还需要一些练习。常规的把中文句子翻成算式，Alex 他们做得很多了，老是做题做题，估计可能也有点厌倦了。“要不，我们也过过出题的瘾。”我建议道，Alex 立即表示附和。由Alex 写下几个复杂的算式，然后把这些算式写成中文。为了验证对不对，由他把中文念给我听，我来写算式。

“24与16的差除64与32的和是多少？”Alex 念道。
我在纸上，先写下“差 除 和”，然后问：“什么跟什么的差？”
Alex 心领神会：“24与16的差。”
我在“差”字上画个圈和箭头，写上“24 - 16”，再加上括号和除号。然后问，“什么跟什么的和？”
Alex 提醒我：“64 与 32的和？”
我在“和”字上画圈和箭头，写上“64 + 32”、、、
这时，Alex 急了：“是‘除’不是‘除以’哦？”
“我知道！”一边说，一边画上一个大大的“Z”，“交换一下位置呗！我知道。”

过了几天，Alex 说，这类题他现在已经不会再做错了。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-12-9 22:26 编辑 [/i]].

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好方法，学习学习[em03] [em08].

四年级小题大作 之 十五之谜

填空题：
3个1/5加上（15）个1/10正好等于1。

15是 Alex 填的错误答案。这个15 让我很是郁闷，哪里出来的？3x5=15，不可能啊，除法一直是数学小组重点研究的内容，早在 Alex 三年级的时候，我们就已经研究出了 1/2 + 1/3 = 5/6 这样的复杂问题。仔细想了想，我始终认为 Alex 对除法概念是掌握得相当清楚滴。于是，我开始询问 Alex。

父：“这道题错了，我觉得这是正常。但是，怎么错的，事后一定要搞清楚？”
子：“、、、”
父：“你怎么做这道题的？”
子：“我已经知道了，1 - 3/5 = 2/5，2/5 的分母要改成跟题目一样、、、”Alex 一边说，一边在草稿纸上写，2/5 = 2x2/(5X2)= 4/10，“正确答案是4。”
父：“这是你们老师教你的吧？”
子：“不，是我自己想的。”
父：“哦，是不是今天订正的时候想到的？”
子：“是的。”
父：“这么说，你昨天做题的时候不是怎么计算了，否则是不可能出现 15 这个数字的。”
Alex 想了好半天，还是想不起来。
父：“这样吧，你把昨天的草稿纸找出来。”
ALex 这次回答的很快：“找不到了。”一边说，一边望著妈妈，好像妈妈昨天已经把他的草稿纸吃掉了似的。
妈妈连忙声辩：“我没倒过你的废纸篓。”
父：“我并不是想要责怪你，只是想揭开这个谜团－－15是从哪里来的？”
Alex 不是太情愿的回到了自己的书房。过了十几分钟，他冲了出来，喊道：“我知道了，我知道了、、、”立刻拿起了纸和笔，“我昨天是这么算的。”
因为当时看到一个分母是 5，一个是 10，分母要一样才能加减，所以要把两个都变成 50，这个数算起来比较方便。
3/5 = 30 / 50，1 / 10 = 5 / 50。
30 / 50 + 5 / 50 = 35 / 50
1 - 35 / 50 = 50 / 50 - 35 / 50 = 15
这显然算错了，而且也想错了。不过，在他们还没有正式学过分数加减的情况下，能用通分的方法进行计算，我觉得可以了，值得表扬。因为这令我欣喜，说明 Alex 还没有被束缚住，敢想敢干。尽管是错的，但错不怕，咱们可以纠正。最后，通过一系列的纠错，得到了正确答案。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-12-22 22:00 编辑 [/i]].

四年级小题大作 之 就画歪了一点

作图题：
请在右边的正方形上，画一个圆，使正方形的四个点正好在这个圆上。

[b]几何启蒙[/b]
在说题之前，先说说几何启蒙。几何题对 Alex 来说绝对是不陌生的，甚至对于四年级而言，他可以算是架轻就熟了。前段时间我一直在研究几何启蒙，颇有些心得，试了一下效果不错。
通过分析《几何原本》，我发现，几何学习的关键在于尺规作图，这里的尺是指没有刻度的直尺，为什么不能有刻度呢？因为有了刻度，就不可避免地用算术加减，难以发现几何的窍要。在数学萌芽期，中国和印度在几何上的贡献不大，可能跟算术过于发达有关。埃及和希腊就喜欢用纯几何的方式解决数学问题，由此诞生了《几何原本》。尺没有了刻度，所有的等量关系就必然要靠圆规来解决。因此，建议四、五年级的同学，一，在笔袋中准备圆规，安全起见，最好选针头比较钝的，廉价的塑料材质就行，Alex 已经用坏或者用掉3个了，二，逐渐地从刻度尺、量角器过渡到尺规。

经历过一段时间的体验后，不妨做做以下几个尺规作图问题：
1、任意画两条线段，另画一个线段等于前两个线段的和。
2、任意画两条不等长线段，另画一个线段等于前两个线段的差。
3、任意画两条不等长线段，用短线除长线，画出他们的商和余数。
4、任意画一个锐角，另画一个角与其相等。有一定难度，可能需要演示，建议不要多解释，多画几遍，让同学自己去领会
5、任意画一个锐角，另画一个角等于它的2倍。
6、任意画一个锐角，另画一个角等于它的3倍。
7、任意画一个锐角，另画一个角等于它的一半。这个难度相当高，Alex 做出来了。据说是从《可怕的科学》上看来的，或者是我原来做过，他自学的。
8、任意画三条线段，另画一个三角形，边长正好分别等于这三条线段。有点难，多给点时间让同学去尝试。

[b]就画歪了一点[/b]
说回到开头的这道题，Alex 先画出了正方形的对角线，然后以对角线的交点为圆心，以圆心到任意一个顶点的距离为半径画圆。这是一个几乎完美的作图，但是因为众所周知的不明原因，其中一段弧线画歪了，致使一个顶点没落在圆周上。作业拿回来一看，老师批了个小叉叉。小叉叉也是叉啊，Alex 说给我听的时候还有点不服气，似乎希望我能感同身受地对他说，“老师太苛刻了，不就是画歪了一点吗？”但是，Alex 肯定失望了，我真正对他说的是：“老师批评得很对。”这下 Alex 想不通了。
传统的说，应该把圆的定义和特点重申一遍，估计 Alex 就可以理解了。但是且慢，不能这么简单。

[b]学技能还是搞研究[/b]
学习数学有两种态度，一种是得到答案，获得技能，我能做出这道题，就行，还有另外一种态度，那通常是最终进数学系的人所采取的态度，即多问为什么，尤其是那些显而易见的结论，更要多问几个为什么，这是一种研究的态度。我认可这两种态度，对于绝大多数人来说，持第一种态度即掌握技能就足够了，绝对不会影响他成为一个文学家、历史学家、舞蹈家、歌唱家等，甚至也不会影响到他成为一个顶尖的工程师。但是要想研究数学，或者再大些，研究科学，问一问“为什么”是绝对不能少的过程，对于想研究的人来说，这个过程其妙无穷，完全是另一番天地。有妈妈对我说，自认数学不错，高考满分，可是在大学里边听数学专业的数学课非常吃力，不知道他们再研究些什么，你们数学系的学生到底有什么不同。我觉得，并不是上数学系的人读的书不同或者遇到的老师不同，最初的差别应该就在这－－学习数学的态度不同。
曾经有妈妈问，我希望孩子的数学好，也有时间给他辅导，可是怕自己水平不够，或者不能被同学理解，或者可能漏掉什么数学机密、、、其实，关键的窍要就在这，在数学上多问些为什么。水平不高不要怕，因为只是要求你问问题而已，水平不高不就正好有问题吗？而且，从小学生开始辅导还有一个好处，知识还不算太难，BBMM可以把握。何况真正的要求不是要BBMM提供解答，只是要求培养出问“为什么”的习惯而已。同学们喜欢问“为什么”，得不到答案，就要思考，思考就必然对他们的思维发展有益。

[b]继续解题[/b]
当时，我想了想，对Alex 说：“我问你一个问题，好吗？”
Alex：“好的。”
我：“你猜猜看，如果给你一个长方形，能画一个圆，使长方形的四个点也落在圆上吗？”
Alex：“不能。”
我：“要不你画画看，等你画过了，也许会知道老师为什么要给你打叉了？”
过了几分钟，Alex 告诉我，长方形同样可以画圆。
我装作惊讶地问：“是吗？那你试试看，是不是随便画一个四边形，都能画出一个圆呢？”
Alex 没敢说什么，继续画去鸟。过了一会，他拿出错题本，上边还真是画了一个古怪的四边形，以对角线的交点为圆心，果然无法画出符合条件的圆。
我继续说道：“为什么呢？为什么正方形和长方形都可以画出这样的圆呢？”
Alex 想了好一会，还是想不通。
看看已到了睡觉时间，“这样吧，你明天问问老师吧？”
Alex 只好洗洗睡了。

第二天、第三天，都不巧，Alex 的数学老师都不在办公室，问题始终没有得到解答。到了第三天晚上，也就是今天，恰巧，作业题中有出现了圆、圆的半径和直径，天色尚早，是个数学研究的好时间。于是，泡上一杯茶，重新拾起这“歪了一点”的研究，看看能有什么惊天大发现，且看下集“歪打正着”，敬请期待。.

回复 3561#ccpaging 的帖子

这贴太及时了
最近就在研究这个.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2010-12-9 18:07 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7884956&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

呵呵，忽悠水平很高。 [/quote]

是的，受您启发才水平见长的。;P

btw，有没有发现，男人一生都在被“忽悠”：
小时候被妈妈“忽悠”
长大了被妻子“忽悠”
老了又被女儿“忽悠”

其实“忽悠”背后是．．．．　能被“忽悠”一生，是一个男人的幸福．．．．
煽情的篇章留给007发挥吧，他擅长 [tt17].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2010-12-9 22:57 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7885914&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
因为当时看到一个分母是 5，一个是 10，分母要一样才能加减，所以要把两个都变成 50，这个数算起来比较方便。
3/5 = 30 / 50，1 / 10 = 5 / 50。
30 / 50 + 5 / 50 = 35 / 50
1 - 35 / 50 = 50 / 50 - 35 / 50 = 15
这显然算错了，而且也想错了。不过，在他们还没有正式学过分数加减的情况下，能用通分的方法进行计算，我觉得可以了，值得表扬。因为这令我欣喜，说明 Alex 还没有被束缚住，敢想敢干。[/quote]

我认为这是个金子般闪光的错误！这闪光稍瞬即逝，但是CC爸爸却如此敏感地捕捉到了它；
趁势大力夸赞一下Alex吧：你真的是个了不起的孩子！

和Alex同步获益匪浅，会认真学习一下这些珍贵的“小题大做”系列的；谢谢您总是不吝分享。.

四年级小题大作 之 歪打正着

[b]问题回顾[/b]
上面讲到了四点共圆问题，如下图：
[attach]605734[/attach]

[b]知识准备[/b]
不在一条直线上的三个点可以画出一个圆，而且这个圆是唯一的。如下图：
[attach]605735[/attach]
四个点的话，不一定能画出一个圆来。

[b]父与子[/b]
父：“为什么长方形都可以画出这样的圆，使长方形的四个点正好落在圆周上呢？”
子：“要画一个圆首先要有圆心。”
父：“那么，这个圆的圆心在哪里呢？”
子：“圆心正好是长方形对角线的交点。”
父：“只有圆心就可以画圆吗”
子：“还要有半径。”
父：“哦。”
子：“长方形的四个顶点到这个交点的距离正好相相等，所以这就是半径。这四个点也正好落在圆周上。”
父：“现在你知道老师为什么要小题大做，画歪一点就给个叉叉吗？”
子：“、、、”
父：“老师觉得，你并没有认识到这四个点为什么会落在圆周上，你不相信，所以，画歪一点的时候，你并没有认真去想。老师给批个叉叉，就是在问你，为什么这四个点正好落在圆周上呢？”
子：“原来是这样啊。”

通过这次画歪一点事件，我突然领悟到，先别急着教，给他们多一点思考的时间，实在是太重要了。有些知识，如任意圆周上的点与圆心的距离都一样，一个圆有无穷多相等长度的直径和相等长度的半径。这些讲讲很简单，同学们也很容易记住，但是却不能灵活运用，问题很可能就出在，我们没有给他们留下生想的时候，于是讲过的定义和定理如微风拂过，一丝丝也没留下。
这次，我没在一开始就讲，只是每天有意无意地提醒他，“你问过老师了吗？”虽然他始终没找到老师获得解答，但心中至少也惦记着这个事，时不时想想，想多了，也许老师上课一讲半径，他忽然就开朗了。回来以后，我们再一起研究，就产生了共鸣，进而产生了共振，琴瑟相和，自然就奏出美丽的乐章。

[b]新问题[/b]
临睡之前，Alex 问了一个问题：已知通过圆里边的任意两条半径可以画一个三角形（等腰三角形），问∠OAB 有没可能等于 90 度？
[attach]605736[/attach].

好帖。学习了。.

请教楼主，我们小一，最近碰到这样一到题目：
〇＋▉＝3，▉＋★＝4，★＋〇＝5， 问〇、▉、★分别等于多少，这样的题目怎么和孩子解释呀？.

[quote]原帖由 [i]belli[/i] 于 2010-12-13 16:20 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7896470&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
请教楼主，我们小一，最近碰到这样一到题目：
〇＋▉＝3，▉＋★＝4，★＋〇＝5， 问〇、▉、★分别等于多少，这样的题目怎么和孩子解释呀？ [/quote]
办法一：猜或蒙，说得好听就是“试算”，反正数小，不复杂。
办法二：系统探讨，如见16楼。.

回复 3568#hxy007 的帖子

LS你们碰到的这个题目我们大班就开始做了!
刚上大班时做对了,用的是LZ的办法1,确实发现孩子是猜的,好在数字小一猜就能猜对.
他爸后来把数字改大了以后就发现孩子不会了.没有用LZ的办法2,因为我们也没想到.然后我们觉得大班的孩子没必要学习这类题型,也就没教.
过了1个月的样子发现孩子莫名其妙的会了!不知道是怎么想通的?.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2010-12-13 23:59 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7897933&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

办法一：猜或蒙，说得好听就是“试算”，反正数小，不复杂。
办法二：系统探讨，如见16楼。 [/quote]
楼主没有仔细看我的题目，比你16楼的要难，你那种题目，我们已经会做了。
但是我说的这个要三个算式左右相加，除以2，得出三种图形的和，然后才能等量代换。
就是为什么要左右相加，我还没有想清楚如何解释。.

猜或蒙

[quote]原帖由 [i]belli[/i] 于 2010-12-13 16:20 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7896470&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
请教楼主，我们小一，最近碰到这样一到题目：
〇＋▉＝3，▉＋★＝4，★＋〇＝5， 问〇、▉、★分别等于多少，这样的题目怎么和孩子解释呀？ [/quote]
　　想象的游戏或对话：

　　子：老师布置了一道难题，〇＋▉＝3，▉＋★＝4，★＋〇＝5， 问〇、▉、★分别等于多少？这题怎么做呀？
　　父：真的很难，我初中才会做这种题，你小一生做不出，很正常。
　　子：我想做出来，不然老师会说我的。爸爸，你教我吧！
　　父：嗯，让我想一想。我也不知道是什么答案。要不，我们来猜一猜答案？
　　子：怎么猜呀？
　　父：闯，〇＋▉＝3，那么〇和▉可能是什么数？你猜猜。
　　子：一个是1，是2。
　　父：谁是1，谁是2？我们来猜一猜好吗？
　　子：好！
　　父：我猜〇＝1，▉＝2
　　子：我猜〇＝2，▉=1
　　父：如果▉＝2，▉＋★＝4就可以变成2＋★＝4，哈哈★=2，我都算出来了：〇＝1，▉＝2，★=2。
　　子：如果▉＝1，▉＋★＝4就可以变成1＋★＝4，哈哈★=3，我都算出来了：〇＝1，▉＝2，★=3。
　　父：我对，你错了。
　　子：我对，你才错了！
　　母：你们都别吵了，看看最后一个式子，对得上吗？
　　父：如果〇＝1，★=2，那么★＋〇＝3。哎呀，不对，应该是★＋〇＝5。
　　子：如果〇＝2，★=3，那么★＋〇＝5，题目里就是这样，所以我的答案对了，爸爸的答案错了。
　　母：阿油，不得了，LG，我们儿子这么难的题都做出来了，他真是不怕难题，肯动脑筋。你倒做错了耶…….

回复 3571#hxy007 的帖子

老7开始不露声色地奉承领导[em16].

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2010-12-14 12:51 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7899712&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
老7开始不露声色地奉承领导[em16] [/quote]
最近有所反省，都是向你学习的。:lol.

[quote]原帖由 [i]belli[/i] 于 2010-12-14 11:03 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7899093&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

楼主没有仔细看我的题目，比你16楼的要难，你那种题目，我们已经会做了。
但是我说的这个要三个算式左右相加，除以2，得出三种图形的和，然后才能等量代换。
就是为什么要左右相加，我还没有想清楚如何解释。 [/quote]
用天平试试。本楼有过探讨。CC是这方面的专家。.

[quote]原帖由 [i]happyyj[/i] 于 2010-12-10 17:02 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7889121&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


是的，受您启发才水平见长的。;P

btw，有没有发现，男人一生都在被“忽悠”：
小时候被妈妈“忽悠”
长大了被妻子“忽悠”
老了又被女儿“忽悠”

其实“忽悠”背后是．．．．　能被“忽悠”一生，是一个男人的幸福．．．．[/quote]
哎，007老了就没有人忽悠了。生的是儿子呀！他能不能找个能够忽悠公公婆婆的媳妇涅？.

回复 3575#hxy007 的帖子

会的，你家小11心很善，进你家门的也肯定是心善的女孩子，会用爱心来把公公婆婆“忽悠”得很开心的。[em04].

[quote]原帖由 [i]happyyj[/i] 于 2010-12-14 13:12 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7899845&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
会的，你家小11心很善，进你家门的也肯定是心善的女孩子，会用爱心来把公公婆婆“忽悠”得很开心的。[em04] [/quote]
:lol :lol :handshake 借你吉言，向往中。.

回复 3577#hxy007 的帖子

呵呵，同往，
也拿这话顺便“忽悠”一下我自己。;P.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2010-12-14 12:36 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7899626&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

　　想象的游戏或对话：

　　子：老师布置了一道难题，〇＋▉＝3，▉＋★＝4，★＋〇＝5， 问〇、▉、★分别等于多少？这题怎么做呀？
　　父：真的很难，我初中才会做这种题，你小一生做不出，很正常。
　　 ... [/quote]
多谢楼主这么详细的回复，我回去试试看。看来给孩子讲题要有些技巧，要巧妙的使用一些“恭维”的话来激发她的自信。
但这种方法，平时有时间练习还可以，要是参加考试，可能不会有这么多时间。是不是这么大的孩子目前只能用这个方法来教呢。
你的这个楼高高呀，我正在艰难的一步步向上攀登。

[[i] 本帖最后由 belli 于 2010-12-14 16:25 编辑 [/i]].

系统的探讨

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2010-12-14 12:36 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7899626&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
　　父：闹，〇＋▉＝3，那么〇和▉可能是什么数？你猜猜。
　　子：一个是1，是2。[/quote]
　　这是猜，而且碰巧猜对了。其实，还有一种可能，一个是0，一个是3。

　　〇＋▉＝3　　　▉＋★＝4　　　★＋〇＝5
[color=Blue]　　 0＋3 ＝3　　   3＋1 ＝4　　　 1＋0 ≠5
　　 1＋2 ＝3　　　 2＋2 ＝4　　　 2＋1 ≠5
　　 2＋1 ＝3　　　 1＋3 ＝4　　　 3＋2 ＝5
　　 3＋0 ＝3　　　 0＋4 ＝4　　　 4＋3 ≠5
[/color]
　　耐心一点，就会发现，所花的时间并不多。硬要小一生学用代数方程，那才是费时费力又没有效果。

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2010-12-14 21:39 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]belli[/i] 于 2010-12-13 16:20 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7896470&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
请教楼主，我们小一，最近碰到这样一到题目：
〇＋▉＝3，▉＋★＝4，★＋〇＝5， 问〇、▉、★分别等于多少，这样的题目怎么和孩子解释呀？ [/quote]

我来尝试着用小一生的脑子来想想看这个问题：
1。 〇＋▉＝3，▉＋★＝4， 那么★比〇大1，
2。 ★＋〇＝5， 那么★和〇加起来等于5。
3。 如果〇多1,和★一样大时，那么它们加起来就等于6；
4。 也就是说，两个★加起来等于6， 那么★等于6/2=3
5。 其他两个也就算出来了。

可以这么解释吗？呵呵.

[quote]原帖由 [i]christinesean[/i] 于 2010-12-15 22:46 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7906759&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


我来尝试着用小一生的脑子来想想看这个问题：
1。 〇＋▉＝3，▉＋★＝4， 那么★比〇大1，
2。 ★＋〇＝5， 那么★和〇加起来等于5。
3。 如果〇多1,和★一样大时，那么它们加起来就等于6；
4。 也就是说， ... [/quote]
谢谢这位同学了，看贴好仔细，好热心。我顺着你的思路也想了一个类似的解释：
〇＋▉＝3，▉＋★＝4， 那么★比〇大1，即★＝〇＋1，把他代换到2中，即〇＋1＋〇＝5，那么2〇＋1＝5，2〇＝4，〇＝2..

回复 3582#belli 的帖子

呵呵，差不多，用代数和解方程代替语言解释。.

[quote]原帖由 [i]christinesean[/i] 于 2010-12-16 11:09 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7908134&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
呵呵，差不多，用代数和解方程代替语言解释。 [/quote]
“3。 如果〇多1,和★一样大时，那么它们加起来就等于6；”这句稍稍有些难懂，我怕给孩子讲不清楚。^_^.

回复 3584#belli 的帖子

先让他自己琢磨；实在琢磨不出来，给一点小小的提示，再琢磨。
我觉得自己想出来的比别人教的要来的牢靠一些，这样下次他碰到类似的题也就会了，一定要能举一反三，才是真正懂了 ：）.

[quote]原帖由 [i]christinesean[/i] 于 2010-12-16 11:18 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7908206&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
先让他自己琢磨；实在琢磨不出来，给一点小小的提示，再琢磨。
我觉得自己想出来的比别人教的要来的牢靠一些，这样下次他碰到类似的题也就会了，一定要能举一反三，才是真正懂了 ：） [/quote]
完全同意。要启发她自己先想到第一步，找出两个等式之间的关系，接下来就容易了。.

[quote]原帖由 [i]belli[/i] 于 2010-12-16 11:03 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7908096&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

谢谢这位同学了，看贴好仔细，好热心。我顺着你的思路也想了一个类似的解释：
〇＋▉＝3，▉＋★＝4， 那么★比〇大1，即★＝〇＋1，把他代换到2中，即〇＋1＋〇＝5，那么2〇＋1＝5，2〇＝4，〇＝2. [/quote]

对于 〇＋▉＝3，▉＋★＝4 的分析，在小一生而言，“演”和“说”比写等式可能更加容易理解，也就是说要给他一个可以想象的东西，如包包、盒子、口袋、某人有几颗糖之类的。

把符号（抽象）换成可以想象的东西（具象）以后，就可以打发小一生去生想了。
另外，要注意一步步来。对大人来说，一道题搞个几步分析没啥问题，对孩子来说，每增加一步分析，对他们的耐心和思考能力都是一个考验。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-12-17 12:24 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2010-12-17 12:20 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7912939&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


对于 〇＋▉＝3，▉＋★＝4 的分析，在小一生而言，“演”和“说”比写等式可能更加容易理解，也就是说要给他一个可以想象的东西，如包包、盒子、口袋、某人有几颗糖之类的。

把符号（抽象）换成可以想象的东 ... [/quote]
谢谢您的回复，昨天回去给她做这道题目时，小家伙就是用凑的方法做出了这道题目。.

回复 3557#hxy007 的帖子

我是初中生妈妈,也常来学习你的贴呢.
你写的很多东西,对我很有启发,
今天上来冒个泡,[em01] [em01].

[quote]原帖由 [i]belli[/i] 于 2010-12-17 14:15 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=7913551&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

谢谢您的回复，昨天回去给她做这道题目时，小家伙就是用凑的方法做出了这道题目。 [/quote]

以后可能还会更多地接触到凑的方法，甚至说，如果让孩子选择的话，在不知道如何解的情况下，“凑”几乎是他们的唯一选择。在“凑”的过程中，同学们会慢慢发现规律的，这种亲自的发现比讲上多少遍都更加有效，更加令他们自信。

好像是一年级的妈妈吧？对等式的理解可能是个难点。好多低年级的同学容易把等式等价于“结果是”。例如，可能犯类似下面的错误：
3＋7＝（10）＋5＝（15）＋6＝21

我觉得问题在于小同学没有具象的缘故。所以，有空的话，建议BBMM和孩子一起做个老式的天平，玩玩称量的游戏。.

*** 该贴被屏蔽 ***

数学院士张景中 之 感受小学数学思想的力量

　中国科学院院士、数学家 张景中先生撰文

　　[b]感受小学数学思想的力量[/b]

　　函数的思想、形数结合的思想、寓理于算的思想，都属于好的数学。这些思想是可以早期渗透的。早期渗透是引而不发，是通过具体问题来体现这些思想。比如引进了SINa，用这个概念解决几个看来很困难的问题，学生会惊奇，为何能如此简捷地解决问题?学下去，过三年五年，他就体会到，是数学思想的力量】

　　小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。

　　[b]函数思想最重要[/b]

　　最重要的，首推函数的思想。比如说加法，2和3加起来等于5，这个答案，“5”是唯一确定的，写成数学式子就是 2+3=5；如果把左端的3变成4，右端的5就变成6，把左端的2变成7，右端的5就变成10。右端的数被左端的数所唯一确定。在数学里，数量之间的确定性关系叫做函数关系。加法实际上是一个函数，由两个数确定一个数，是个二元函数。如果把式子里的第一个数“2”固定了，右端的和就被另一个数确定，就成了一元函数。

　　在中学里学习函数概念，只讲一元函数，以为多元函数复杂，不肯讲。其实，小学生先熟悉的是多元函数，因为学过的大量的数量关系是多元函数的例子。矩形面积等于长乘宽，是二元函数；梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2，是三元函数。所以多元函数的概念更容易理解。讲函数概念，不妨一开始就讲多元函数；具体研究，再从一元函数开始，这样比只讲一元函数更容易理解。

　　当然，不用给小学生讲函数概念。但老师有了函数思想，在教学过程中注意渗透变量和函数的思想，潜移默化，对学生数学素质的发展就有好处。

　　比如学乘法，九九表总是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八，如果背了上句忘了下句，可以想想21+7=28，就想起来了。这样用理解帮助记忆，用加法帮助乘法，实质上包含了变量和函数的思想：3变成4，对应的21就变成了28。这里不是把3和4看成孤立的两个数，而是看成一个变量先后取到的两个值。想法虽然简单，小学生往往想不到，要靠老师指点。挖掘九九表里的规律，把枯燥的死记硬背变成有趣的思考，不仅是教给学生学习方法，也是在渗透变量和函数的数学思想。

　　做除法要试商。80除以13，商是多少?试商5余15，不够；试商6余2，可以了。这里可以把余数看成是试商数的函数。试商的过程，就是调整函数的自变量，使函数值满足一定条件的过程。

　　小学数学里有很多应用题，解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下，用一个思想来解各种各样的题目呢?试商的思想，其实有普遍意义，可以用来求解许多不同类型的问题，包括应用问题，只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。

　　例如，修一条长32千米的公路，已经修了24千米，已修的路程是剩下的几倍?我们用类似试商的办法来试解。如果是L倍，剩下的是24千米，总长48千米，比题设数据大了；如果是2倍呢，剩下的是12千米，总长36千米，仍比题设数据大；3倍呢，剩下8千米，总长32千米，正好符合要求。

　　我想很多老师不会这样引导学生思考，认为这是个笨办法。其实，这个办法具有一般性，把试解的倍数看成自变量，把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数，找寻使函数值符合题目要求的自变量，这个思路能解决很多问题，是“大智若愚”。

　　这样思考试算，最终也会发现具体的规律，列出通常的算式。

　　找寻使函数值符合一定要求的自变量，也就是解方程。方程本质上是函数的逆运算。加法看成函数，减法是解对应的方程；乘法看成函数，除法就是解对应的方程。函数思想和方程的方法，是一个事物的两面，都是大智慧，贯穿数学的所有领域。.

数学院士张景中 之 “数形结合”

　　[b]“数形结合”在小学是可能的[/b]

　　数学要研究的东西，基本上是数量关系和空间形式。当然，发展到今天，还要研究类似于数量关系的关系以及类似于空间形式的形式，甚至于一般关系的形式和一般形式的关系，等等。现在的课程标准把中小学数学分成了数与代数、空间与图形、统计与概率等几个模块。如何让这几块内容相互渗透、相互联系，是值得研究的问题。

　　提到数形结合，往往觉得是解析几何的事情。其实，数和形的联系，几乎处处都有。

　　在数学当中，几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概念，最初都是从几何中来的。所以有人说，几何是数学思想的摇篮。几何不仅是直观的图形，而且还需要推理，推理就要使用语言，所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教材的时候，往往是学数的时候就讲数，到了学几何的时候就讲几何，缺少把两者联系起来的意识。

　　例如，有一套教材开始就让学生玩积木，也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活，比数更贴近生活，是更基本的东西，这是教材的优点。但是，如果在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的，还让他们数一数某块积木有几个尖(顶点)、几个棱、几个面，就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。

　　在认识数的时候，要举很多的例子，如一个苹果、一只小白兔等。我就想，在举例的时候能不能照顾到几何?比如学生在学习“1”的时候，就要学生用“1”来造句，书上可不可以有一些关于几何的句子?如“1个圆有1个圆心”、“1条线段有1个中点”、“1个正方形有1个中心”等。有的老师会说，这样不行，学生不能理解。我想，可以画图帮助学生理解，学生虽然不知道这些概念准确的含义，但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解，而是通过模仿开始的，如果在学数的时候，能举一些几何上的例子，这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样，在学习“2”的时候，我们可以教学生说：“一条线段有两个端点。”不需要让学生知道什‘么是线段，只要画一条线段，指出两头是端点。到后来学儿何知识时，回头一想，他会非常亲切，因为他早已经会说了。在学“3”的时候，可以画一个三角形，让学生说“三角形有3条边、3个顶点”；学“4”的时候，可以画一个正方形，让学生说“|f方形有4条边、4个顶点”；学“5”的时候，可以画个五角星；认识“10”的时候，除了10个指头，不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段(图1)；学到100以内的数，就可以告诉学生正方形的角是90度，等等。小孩子记忆力好，早点记一 些东西，以后再慢慢理解。
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　　在中国古代的私塾里，学生入学后往往先让他们背几个月，甚至一年，然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式，但是也并非没有可取之处。学生已经会背了，再讲的时候，他印象就非常深刻了。我们讲建构主义，先要有信息进去才能建构，一个人闭目塞听，不和外界接触，是很难建构出东西来的。

　　总之，几何语言的早期渗透可不可能，值得研究。

　　形与数的结合，还提供了更多的数学之美的欣赏机会。关于数学的美，美国数学教育家克莱因有过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”怎样才能让学生逐步体会到数学的美呢?在小学阶段，可以先从几何图形上感知数学之美。现代信息技术提供了前所未有的可能。举个例子，这里有一些美丽的图案(图2)： 你能想到，这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗?
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　　这条曲线其实很简单，如图3，用“超级画板”※软件画一个圆，圆上取3点a、b、 c，在弦ab上取点g，再在线段cg上取点h，利用软件的轨迹作图功能，作出3点a、b、c在圆周上运动时点h的轨迹，并把3点运动速度的比值分别设置为 K、M、N的整数部分，做出这3个参数的变量尺。只要调整3个参数和点g、h的位置，就能创造出成百上千种不同的图案。这样几分钟就能做出来的课件，让孩子们玩上几个星期都不会失去兴趣。在潜移默化之中，数学之美会渗入幼小的心灵。
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　　一位教师让她9岁半的孩子玩这类超级画板课件，孩子很快被超级画板所吸引。玩到第3天，就不想上网打游戏了。不到一个星期，就对超级画板上了瘾，很快学会了从屏幕上截取图片，把自己的作品保存起来。图4就是这个三年级学生的作品。他还根据自己的想象力给每个图案起了名字。数形结合的思想，不仅是上面这些简单的例子，下面还会谈到。
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[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-12-26 18:55 编辑 [/i]].

数学院士张景中 之 寓理于算

　　[b]寓理于算的思想容易被忽视[/b]

　　小学里主要学计算，不讲推理。但是，计算和推理是相通的。

　　中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法，不像古希腊讲究推理论证。但是，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想。

　　数学活动中的画图和推理，归根结底都是计算。推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算直观的模型。我们可以举些例子，让学生慢慢体会到所谓推理，本来是计算；到了熟能生巧的程度，计算过程可以省略了，还可以得到同样的结果，就成了推理了。有的人认为几何推理很难，学几何一定要先学实验几何。其实，实验和推理不一定要截然分开。早期学实验几何阶段可以推理，后期学会推理时也需要实验。所谓实验，无非是观察和计算。“对顶角相等”这样简单的几何命题，实际上二就是通过一个算式证出来的，这里的推理证明就是汁算。

　　要把计算提升为推理，就要用一般的文字代替特殊的数字，再用字母代替文字。不要怕让学生早点接触字母运算。讲到“长方形的面积=长×宽”的时候，不妨告诉学生，这个公式可以用字母表示成m=c×k。这里用了面积、长、宽的汉语拼音，学生很容易理解。再说明用别的字母也可以。

　　为什么说这样能把计算提升为推理呢?看一个简单的例子。设一个三角形A边上的高为H，而B边上的高为G，根据三角形面积公式，就知道A×H=B×G；如果A=B，则H=G。这就推出了一条规律：如果三角形的两条边相等，则此两边卜的高也相等。也就是证明了一条定理。这种证明方法比利用全等三角形简单明了。

　　我曾经在一张小学数学戚卷上看到这样一道题：“正方形的面积是5平方分米，求这个正方形的内切圆的面积。”表面上看，这个问题小学生解决不了，因为要求圆的面积，一般要知道圆的半径，这题中就需要先知道正方形的边长，而正方形的面积是5平方分米，边长就是、√5分米，小学生没有学过开方，似乎没有办法进行计算。而实际上，正方形的面积是它边长的平方，圆的面积用到的是半径的平方，并不一定要知道半径，知道半径的平方就行了，而此题中半径的平方是直径平方(即正方形面积)的四分之一，所以是能够解决的。但有很多学生解决不了，而告诉他们答案后，学生往往觉得非常简单。这是为什么呢?这就说明学生不能把计算转化为推理。引导学生认识计算和推理的关系，从计算发展到推理。是很重要的。这里有很值得研究的问题。

　　小学生学的是很初等的数学，但编教材和教学研究要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过，“数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界”，“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一”，“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代，连孩子们都容易理解”。这几句话，我觉得非常亲切，因为多年来我一直在想能不能把数学变简单一点，把难的变成容易的，把高等的变成初等的。我想，高等的与初等的数学之间，没有必然的鸿沟，主要看人们如何理解。把变量与函数的思想、形数结合的思想和寓理于算的思想结合起来，往往能够化难为易，化繁为简。

　　人们以前认为三角函数是非常难学的，是高等数学的内容。它既不是加减乘除，又不是开方，它是超越函数。在数学史上，函数这个词是和三角紧密联系在一起的。一次函数、二次函数都是算术运算的结果，就算没有函数的概念，学生也是比较容易理解的。三角函数则不然，一定要有“对应”的概念，函数的概念才说得清楚。有关三角的推导也是数学教学的难点。1974年，我在新疆教过中学，那时发现学生学习三角比较困难，就开始研究如何把三角变容易。在我写的一本书里(《平面三角解题新思路》，1997，中国少年儿童出版社)讲了这方面的具体想法。最近发现，三角不但可以变得很初等、很容易，而且可以成为初中数学的一条主线，把几何和代数联系在一起。我把这种思想写成一篇文章(《下放三角全局皆活》，《数学通报》，2007年1—2期)。张奠宙先生说，按我的这种思路，三角里的正弦函数，可以在小学里引进。如何引进呢?他把我提出的正弦函数的新的定义方法，作了生动、通俗而精彩的表述。下面这段文字引自他的文章：

　　矩形用单位正方形去度量，结果得出长乘宽的面积公式。那么平行四边形的面积怎么求?自然是用单位菱形，同样可以得出平行四边形的面积是“两边长的乘积，再乘上单位菱形面积的因子”，原理完全相同。一个明显的事实是：单位正方形压扁了，成为单位菱形，两者的区别在于角a。a是直角，面积为1，a不是直角，面积就要打折扣。这个折扣是一个小数，和a有关，记作 SINa(图5)。
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　　张奠宙先生还说：“如果能从小学就学SINa，当然是一次解放。”

　　我们看到，数学可以有不同的讲法。看清了问题的实质，就能把难的变成容易的，把高等的变成初等的。就能把“过去曾经使成年人困惑的问题”，变得“孩子们都容易理解”。

　　不考虑矩形面积公式，不用单位菱形，也能在小学里讲正弦。怎么讲?先问，一个等腰直角三角形，如果腰长为1，面积是多少呢?学生容易回答，是0.5。进一步探索，如果这个等腰三角形的顶角不是90度，比如是60度，它的面积是多少呢?学生从图上会看到，90度变成60度，面积会变小，要打个折扣。多大的折扣呢?这可以从纸上测量出来一个近似值。老师进一步告诉大家，这个折扣的更精确的数值，可以在计算器或计算机上查出来，它叫做SIN(60。)，约等于 0.8667，这就引进了正弦函数。知道了正弦函数，就能解决许多实际的几何问题。如果问，这个0.8667怎么得来的，就引出进一步的数学方法。这样不仅教给学生知识，更重要的是教他如何提问题、如何思考、如何获取新的知识。

　　这里，既有数形结合，又有寓理于算，还贯穿着变量和函数的思想。有些老师不是说缺少好的探索问题吗?这就是非常有意义的探索问题，它给学生留下很大的思考空间，会使学生长远获益。

　　陈省身先生说过，数学可以分为好的数学与不好的数学。好的数学指的是能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学；不好的数学是一些比较孤立的内容。他举例说，方程就是好的数学。

　　函数的思想、形数结合的思想、寓理于算的思想，都属于好的数学。这些思想是可以早期渗透的。早期渗透是引而不发，是通过具体问题来体现这些思想。比如引进了SINa，用这个概念解决几个看来很困难的问题(参看前引文章和书)，学生会惊奇，为何能如此简捷地解决问题?学下去，过三年五年，他就体会到，是数学思想的力量。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2010-12-26 18:57 编辑 [/i]].

如何让孩子领略数学之美---张景中访谈录

数学视野 2007-10-30 23:39:19 阅读1 评论0 字号：大中小
时　间：5月24日下午2时30分
嘉　宾：数学家 科普作家 张景中院士
主持人：人民网记者 陈玉川
主　题：中国科协七大“科技视点”系列
[主持人]网友们大家好！欢迎大家关注中国科协七大《科技视点》访谈节目，今天我们非常高兴请到中国科普作家协会理事长、中国科学院院士张景中院士，作客人民网科技论坛，让我们一同随他领略数学之美。张院士您好。

[张景中]您好。

[主持人]非常高兴能够在这次科协七大会场见到您，我们从小就是看您的数学方面的一些科普书籍，可以说您是我数学方面的启蒙老师，相信很多人和我一样都是接受了您的数学启蒙，那么，张院士，您是从什么时候开始进行数学方面的科普创作的？

[张景中]谢谢你看我的书，我从1980年，就是26年前开始创作科普读物。第一本书叫《数学传奇》，是少儿社出版的，文赞阳先生找我约的稿。

[主持人]您觉得作为一个科普作家来说，需要具备什么方面的素质？

[张景中]首先，要对科学的内容有真正的了解，如果他是一个专业的科学工作者，像数学家、化学家，他对他的本行业应该是很了解的。然后，他必须能够很好地驾驭语言，知道怎样把他的专业方面的东西用通俗的语言很清楚地说出来，又要让别人懂，又不能说错了，一个要说得对，一个要引起读者的共鸣。再有，除了语言流利之外，还要了解一点读者的情况、读者的心理。所以，真正要把科普读物写好是很不容易的。

[主持人]您觉得和一般的青年或者小孩子一起讲数学与您的同行进行学术交流相比，最大的区别是什么？

[张景中]最大的区别是用不同的语言。和同行交流的时候，大家有共同的专业术语、专业语言，可以自由运用。如果是给外行写科普，比如说写数学科普，对不大懂数学的人的话，就需要考虑用什么语言。另外，还要考虑怎么提起一个话题才能让他们感到有兴趣。而和同行讲则很自然，往往容易找到共同感兴趣的话题。做科普是你事先讲的话题他是一无所知的，你必须从他可能感兴趣的地方起个头，引导他对你的话题引起共鸣。所以，一个是语言的困难，一个是话题的困难。

[主持人]您能不能给我们举一些例子，就是您在从事数学的科普中间一些比较有趣的事情？

[张景中]在写科普的时候，往往是自己在那里想了很久，想出一个有趣的话题，然后才把它作为一本书或者一个思路的开头。比如说我想给小朋友讲交换律的重要性，你首先得想到交换律不成立的时候，得找一点让他们感兴趣的例子。后来我就想到朝三暮四，就举这个例子，说一个少年喂猴子，早上给猴子四个梨子，晚上给猴子三个，猴子发现晚上少了梨，就很不高兴，于是这个少年又改上早上三个梨子，晚上四个梨子，猴子每天晚上多吃一个梨子就高兴了。所以，同样是3+4，但在实际当中经过交换后结果就不一样了，而数学上交换是不影响结果的。这样一来，读者一开头就读进去了。所以，往往是为了一个话题想好几天，想不起来只好停下来不写。像写《 数学家的眼光》的时候，一开始选题， 陈省身先生开始说“三角形的内角和是180，这是不对的”，大家就笑起来了，我想这是一个好话题。为什么不对呢？不是结果不对，而是思想方法不对，引出了更深刻的思想见解。有些是我自己在研究工作中，想让自己有深刻的理解，自己要想个比喻，想着怎么理解这个问题，有时候就把例子记下来，有时候就放在脑子里。

[主持人]您主要是从事数学方面的科普，我们都知道数学是一门基础学科，您怎么看待数学和其他学科的关系？学好数学对我们学习其他学科有什么样的帮助？

[张景中]数学是一门基础学科，这不错。同时，数学是工具，同时是科学的语言。学习数学，可以培养我们思维的严谨性，这些都是对学习其他学科有很大帮助的，甚至于学习文科都会有很大的帮助。它使我们遇到问题能够冷静地思考，这个问题的条件是什么、目的是什么，有没有可能达到预期的目的，把各种可能都要考虑到。所以，我认为它除了是基础学科之外，还帮助人们思维探索，在工作方法上、在思考问题的方法上，都会带来很大的好处。

[主持人]您怎么看待数学在一个人成长过程中起到的作用？或者说学习数学对一个人的成长有哪些帮助呢？

[张景中]学习数学除了给人提供专业的数学知识，提供科学的工具，提供科学的语言之外，我想还有这样几个作用。第一，学习科学、领略自然界的规律的时候，会产生一种震撼的感觉，这种震撼的感觉对人从事科学探索是很重要的。举个例子，爱因斯坦在他小的时候，大概十一二岁的时候，他的叔叔给他那来一本几何书，他在里面看到一个定理，就是“三角形三条高线交于一点”，他在回忆录上写“这给我带来很大的震撼”，三角形的三条高线我们看不出来能交于一点，但实际上交于一点。我们不但能认识这个事情，还使人毫不怀疑地证明它。看来世界上有很多这样的奥秘，将来我也想探索世界的奥秘。这表明，数学引起了他探索科学的强烈愿望。
　　学习数学还可以使人感到科学思维的力量。每学习一个小时新的内容，你就发现能解决的问题就大大增加了，原来很多无能为的问题，学习一小时就会解决了。学习数学有解放的感觉，感觉科学无禁区，数学无禁区。一开始有些清规戒律，但随着学习内容往前发展，这些清规戒律都可以打破，都可以根据实际的需要、根据逻辑来改变。原来5-3可以，3-5不可以，学了负数，就可以减了；原来6÷3，可以，4÷3不可以，学了分数之后，也可以了。原来负数不能开平方，学了复数就可以了。从数字的运算到符号的运算，符号可以代表这个、代表那个，范围越来越扩大，到最后你只要合理的定义就可以，这些对于科学思维都是很有用的。
　　学数学，还可以培养人探索科学研究科学的信心，爱因斯坦在12岁的时候，看到勾股定理，他说2000年前，人们发现这样一个有趣的定理，我现在还不知道是为什么，我能不能知道了之后独立地证明？他就把书放在一边不看，自己试图证明勾股定理。他思考了3个星期证明出来了，树立了探索科学的信心。他说我能够独立地证明2000年前科学家发现的这个定理，说明我有能力做研究。

[主持人]在您的理想中的数学教育应该是什么样的？能不能给我们描绘一下？

[张景中]数学教育如果说我们国家的课程教育的话，首先我想国家会定一个标准，这个标准应是最低的标准。在这个标准的基础之上，应该提倡百花齐放，让不同的学校、不同的学生，在达到基本标准的同时，更多地了解一些数学知识。第二，学数学一定要让学生懂得道理，不仅知道是什么，还要知道为什么。另外，方法上应该多样化，不应该规定用什么方法放解决什么问题，这样数学教育就能有发展的空间，就能够做好。     

[主持人]谢谢张院士，您知道我们的网友中也有很多人是数学爱好者，您有什么话想对他们说吗？

[张景中]我想陈省身有句很好的话，就是“数学好玩”，把数学学得好，只有一个条件，也是个必需的条件，就是对数学感兴趣，对数学的结论、对数学的方法、对数学的发展过程有浓厚的兴趣，一旦有兴趣，就可能成为一个数学家。   

[主持人]谢谢张院士今天来到人民网进行访谈，感谢网友们的关注，希望大家继续关注中国科协七大，关注人民网科技频道，今天的访谈到此结束，再见。
（转自《人民网》）.

回复 3595#ccpaging 的帖子

文章慢慢学习。

两位爸爸新年好，孩子们开始复习迎考了吗，
我们正课都已结束，期末在10号那周开考；如果不幸被抽中参加区统考的话，过完元旦就要考了。然后20号放假，情人节开学。
寒假基本就是得过且过的；孩子们有你们这样的爸爸，每个假期都会过得很充实。.

四年级放飞：函数思想运用（一）

请计算下面这个算式的结果中有多少个零？
99...9 X 99...9 + 99...9
\____/    \____/    \____/
  2005个   2005个    2005个

Alex 第一次做答，结果中没有0。

其实要解答这个题非常容易：
99...9 X 99...9 + 99...9
＝99...9 X （99...9 + 1）
＝99...9 00...0
显然，正确答案为2005个零。

这是我的想法，可以这么教吗？我猜想，以 Alex 的智慧以及我的教学能力，教了，他肯定能懂。但是，如果这样教，我们从中得到了什么呢？会做一道题而已。这有意义吗？没有，因为在Alex 在以后的工作中，几乎不会用到这道题的结果。最后，我打定主意－－沉默不语，啥也不教，让他生想去。

过了差不多10分钟，Alex 给出了正确的结果。他说，2005个9太多，我怎么也想不明白，于是，从最简单的开始，像这样：
9 x 9 + 9 = 90
99 x 99 + 99 = 900
999x999 + 999 = 9000
...
（以此类推，）结果是2005个零。

看到这个计算过程，我心里非常满意。在这里 Alex 运用的就是张景中提到的函数思想。何谓函数思想？我以为包含以下几个要点：
1、动态地看待问题。
2、在动态变化中寻找规律。
3、遵循由简单到复杂，由少数推而广之到普遍的原则。

在小学运用函数思想可以解决很多教学上的难点，例如，三角形内角和等于180度，圆的周长（进一步，圆的面积）等。当老师或者BBMM认为这个公式除了让孩子记住、理解，别无它法的时候，都可以尝试使用函数思想，看看能不能使孩子在动态的变化中寻找到规律，即使找不到规律，也没有关系，因为重复的计算和操作、演示，至少可以让他们积累对规律的体会、、、而且，只要有时间，总是可以积累至水到渠成。建议大家，不妨一试。

Alex 做到这，我还觉得意犹未尽。于是继续问他，你不会是硬算出来的吧？Alex 答曰，是的。我继续问，那么现在你也许可以试试巧算。Alex 很快就算出来了：
9 x 9 + 9 = 9 x (9 + 1) = 90
99 x 99 + 99 = 99 x (99 + 1) = 9900
999x999 + 999 = 999x(999 + 1) = 999000
...
这还不够，因为这仅仅是算，如果更进一步，才能推进了普遍的规律（即“理”）的地步。
于是我把2005个改成了 N 个。很快地，Alex 顺其自然地推算出，结果中应该有 N 个零。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2011-1-3 13:05 编辑 [/i]].

楼主，内容好多呀。虽然看了目录，还是有点摸不着头脑。
能指点一下，哪些是适合小一的孩子吗？.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-12-3 11:32 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4018741&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


　　就在刚才，我进办公楼之前，看见一位同事撞在了那堵宽敞明亮的玻璃门上。
　　夏天大门开口正对着大堂的中轴，最近改开最靠边的那扇门，以免冷风直接灌进室内。问题是大家习惯了走中门，现在开着的边门又没 ... [/quote]
只因如此，门卫还在做门卫，而你是不一样的。
等你做完这些，你已经不会只是门卫了。
所以生活也是自己用双手来创造和改变的。.

由语文课，引出了一段长长的数学对话

这次终考语文前，小四翻看语文第35课时，注意到课文里有句话，说地球的半径大约是6300公里，
一下来劲了，忘了是在复习语文，顺杆儿就演变到数学了——

“妈妈，圆的面积怎么算？”
“πr的平方。”
“请你说清楚点，πr的平方是指π r乘π r，还是π 乘r乘r ？”小四不是没学过嘛，是得怪我表达不清，赶忙说清楚：
“是π乘r乘r.”

“哈哈，那我就能算出地球的面积喽！”
“怎么算？”
“π 乘6300，再乘6300呀！”

“什么呀，你搞清楚哦，你那只是地球的截面积，根本不是地球的表面积！圆和球差着十万八千里呐，不要混为一谈哦！”

他想了想，不好意思地笑了：“知道了．．．．那，球的面积怎么算？”
“我会过，不过现在忘了。”
“再想想呀。”
“实在想不起来了。”
“你怎么能把学过的东西都还给老师呢！”小四表示不满。

[[i] 本帖最后由 happyyj 于 2011-1-28 23:22 编辑 [/i]].

不过看得出他不罢休，眼珠还在转来转去动脑筋，果然，过了一会儿说：
“球的面积我也会算了！”
“怎么算？”
“先算π 乘6300乘6300，
再算π 乘6299乘6299，
再算π 乘6298乘6298，
算啊算，一直算到π 乘3乘3，
π 乘2乘2，
π 乘1乘1，
把上面的结果全都加起来，这是半个地球的面积，一乘2，再减去‘π 乘6300乘6300‘，因为它被算了2遍嘛，然后就得出地球的面积喽！我聪明吧？”

我笑死了，笑他细致到还不忘减一个‘π 乘6300乘6300‘！可是粗糙得．．．．
遂问：“照你这么说，6300和6299之间，没数字？”
“没有。”
“那 6299.5 呢？”
“糟糕！没想到！”
“6299.5 和 6299.6 之间也没数字？”
“没有吧。”
“那 6299.55 呢？”
“哎呦！”
．．．．．．.

小四气了：“照你这么说，可以小到很小很小，根本就是没完没了的！！那谁也别想算出球的面积了！！”
我淡定答曰：“算不算得出再议吧。咱们先看看你那地球模型，6300，跳到6299，6298．．．．３，２，１，这可不是实心地球，是个镂空地球诶！”
“哈哈，还真是哦，每层中间空着1公里！——哎呀，看来真的是不行呀，因为这样的话，整个地球到处会火山喷发！”
我笑死。

可小四不死心，说：“那排密一点行不行，不空1000m，空1mm？”
“哼哼，空1纳米都不算实心的地球、都不行！”
“那到底要怎样才能算出地球的面积呀？”小四有点急了。
“我也不知道怎么算，但是有一条，你那个模型就好像是一摞薄饼叠起来，即使你算出了结果，也绝对不是地球的面积，倒是可能会算出地球的体积，你想想，是不是这样？”
“是的！我也想象出来了。”
“这个大概涉及微积分知识，你以后会学到。”.

“你这下明白了吗？就像由圆面到球体一样，由点到线，由线到面，由面到体，都是逐步累积充实起来的，是有紧密联系的、不是孤立的。”
“明白了。记得我们一年级的课本里，一个积木是1，十个积木排一行变成10，十行积木叠成一面墙就变成了100，十面墙列队就变成了1000．”
“说得太对了。其实也就是10的0次方到10的3次方。只是我们目前的思维也就局限在这3维之中，但是世界也许根本不止这3维。”
“嗯！一个积木是一幢平房，十个积木是一排平房，十行积木变成一幢楼房，十幢楼房变成一个小区，然后组成街道，然后是区、城市、国家、地球、太阳系、银河系、宇宙、平行宇宙．．．．．”
“你挺能发散的。”
“刚才的数字小起来无限小，现在大起来又无穷大！”
“是呀！怎么样，数学好玩吧？”
“太好玩了！”
“可惜我玩不好，希望你能比我玩得好一些。”:).

收藏。.

回复 3602#happyyj 的帖子

非常棒。小四不学圆的面积和体积，有的人想不明白，不就是两个公式吗？会乘法，就可以计算。其实，我们在等，等什么呢？等他们积累足够的知识和想象，使他们能生发出对于面积和体积的想象，而您的记录昭示了这种可能性。.

对数学的欣赏比证明更重要 并 回复 3603#happyyj 的帖子

前段时间讨论越南菲尔兹奖得主吴宝珠时，搜索到他的合作者--恽之玮跟北大数学系学弟的谈话，俺看了以后，很受启发。原文详见：
[url]http://www.libragold.com/blog/?p=320[/url]

恽之玮，北京大学数学科学学院00级的学生，后去Princeton读研，2009年至2010年期间在高等研究所（Institute of Advanced Study）工作，目前在MIT就职，主要工作方向为几何表示论（Geometric Representation Theory）。

最后一段比较有意思：
“比如黑板上就抄着一个定理，也不用管它的证明，那能不能就这个定理问一些问题？这个定理一定要去欣赏，很多时候写了一个定理，然后开始证明，证明完了，课也结束了。其实证明是其次的，如果真正感兴趣了，再去看证明，但首先需要欣赏，这个定理漂亮在哪里？有用在哪里？要花甚至比看证明更多的时间来想这个问题。当然，我现在是这么说，但我学的时候也不是这样，自学的时候也是看看定理的叙述，有时候自己再想一想，有时候想不出来就看看人家怎么做的。其实这些都是中学的学习方法，是不对的，真正学数学不应该这么学。”.

回复 3606#ccpaging 的帖子

能欣赏，真的也是一种境界了。

我发现我家这小四有点偏爱数学、也非常意欲“欣赏”数学，可考试把他拉回了现实中，
这次区统考，连班中的平均分都没能达到。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-1-29 22:39 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=8038765&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
非常棒。小四不学圆的面积和体积，有的人想不明白，不就是两个公式吗？会乘法，就可以计算。其实，我们在等，等什么呢？等他们积累足够的知识和想象，使他们能生发出对于面积和体积的想象，而您的记录昭示了这种可能 ... [/quote]

谢谢您鼓励。

说起圆的面积，我又想起有关 Π 的事情。
也是这次终考，在考英语的前一天下午，我临出门是交待小四复习英语的，可是晚上回家，发现他根本没有看英语，他用一个下午的时间搞他的发现——要看看怎样得到 Π，到我回家还在算。

因为要反复试算，他在纸上演算了不少竖式，也揿了不少次计算器，
终于得出个结果， Π =1064.99991/339=3.1415926548...
对其精度不满意，继续算，又得出 Π =354.9999699/113=3.1415926539...

这下比较满意了，将此结论写在一小片纸上，对我说：“我把 Π 算到了这么精确！”
我笑笑，怪他不看英语，他没听见，继续自我陶醉：“啊！这真是个伟大的发现！我要好好收藏起来！”

等我晚上看书时才发现，竟然是“好好地收藏”在我的佛经里。:).

[quote]原帖由 [i]happyyj[/i] 于 2011-1-31 13:43 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=8041444&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
能欣赏，真的也是一种境界了。

我发现我家这小四有点偏爱数学、也非常意欲“欣赏”数学，可考试把他拉回了现实中，
这次区统考，连班中的平均分都没能达到。 [/quote]

平时的成绩怎么样？平均分是多少？.

回复 3609#ccpaging 的帖子

以前是他爸爸管，我不太清楚，
这学期，他几次单元测均分大概95以上，获得了期末免考资格，但是由于数学被抽中参加区统考，所以免而未免，问题是恰恰在区统考中他败走麦城。

他是极要面子的人，当统考卷发下来，同学忽地围上去，想看看免考的人考几分时，他无地自容极了．．这是他事后告诉我的。我能理解他的羞愧和难堪，因为我们双鱼座都是自尊心特别强的人。
我告诉他放宽心，成绩和名次都不是第一要紧的，我更关心你是否学得有兴趣，是否有尽力，是否还快乐。.

回复 3610#happyyj 的帖子

要在这种统考中取得好成绩，例如100分，其实非常简单。
一是细致，最好是从男生练成女生的性格。
二是重复，水平要跟统考保持一致，难的别去想，低于这个水平的也不要多练。

所以，我在小学版块发贴，抵制这种无意义的区统考和质量抽查。

对于成绩，要正确看待，也不简单地说不要紧就可以了。最好是把试卷拿回来做分析。可以由孩子自己去做，如此可以建立对自己正确的认识。没有人是完美的，考100分的人也不完美。重要的是知道自己的不足，想办法予以改进。.

欣赏是一种习惯

[quote]原帖由 [i]happyyj[/i] 于 2011-1-31 13:43 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=8041444&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
能欣赏，真的也是一种境界了。 [/quote]

与其说是境界，不如说是习惯。如你们母子俩从球的体积引发出宏观与微观世界的想象，就是一种欣赏。
有人说，研究专业数学的人的世界观与非专业的世界观是不同。我觉得，至少有一点可以说明这种不同，即：
研究数学的人，从数学中获得了美的享受，这种享受只能始于欣赏。
而非专业的人，从数学中感觉到的是枯燥乏味，因为他们关心数学的术，术的提高只能通过练习来获得。.

为什么日本人在小学只把π学到3 并 回复 3608#happyyj 的帖子

《冰眼看日本》中有这么一段：
“怎么个不教育法？比如，不准说圆周率是3.14，那对小孩太难，圆周率是3！英语的Sunday, Monday什么的全部背下来对学生太惨无人道，背三个就行了，至于星期四怎么办？那就祈祷天照大神保佑和老外打交道时没星期四什么事吧！谁要是敢说一句“学生应该以学为主”的话，那简直就是大逆不道，侵犯儿童人权，为人类公敌！”

其实，这里体现的就是中式教育与西式教育根本的不同。中式教育讲的是“教”，所谓“天不生仲尼，万古如长夜”，没有老师，同学们就不可能懂得“π”是什么，它的数值是多少。而西式教育相信知识蕴含在每个同学的灵魂深处，他们只是暂时忘记了，老师所要做的仅仅是唤醒他们对知识的最初记忆，然后同学们可以以此为基因，或快或慢地领悟到更高深的知识。

在对待“π”上，中国老师就直言相告，它的值在3.1415926到3.1415927之间，这是中国古代数学家如刘徽、祖冲之计算出来的结果，仿佛没有刘徽和祖冲之，同学们便永不可能知道π的值。然后，就是出题、计算，运用这个“π”计算不同直径的圆的周长。

在西方教育中，老师会让同学们去探索圆周的长度。以小学的知识，最普遍的，可以探索到以下结果：
1、圆周的长度与且仅与半径有关。半径越大，圆周就越长。半径为0，圆周也为0。
2、在圆内，可以用半径为边长画出一个正六边形。这个正六边形的边长是直径的3倍，半径的6被。

某些同学能感觉到，如果我们可以计算正N边形的周长，那么结果就一定会更趋于圆周的周长。只是受他们已有数学工具的限制，暂时还做不到罢了。

这就是为什么冰眼看不懂日本的教育，因为他本人一定是被“教”会“π”的。换言之，像咱们这种被“教”出来的人，打骨子里认为，学生就是蠢蛋，他们只能认真听老师讲，然后学而时习之，万不可能自主发现“π”的真谛。

创造力便是如此被毁在我们这些BBMM手里的。.

一年级放飞：发现巧算

Kervin是Alex的表弟，今年一年级。

我指着车牌对Kervin说：你能把这个牌子上的数字都加起来吗？
Kervin：可以啊，8 + 5 = 13，13 + 5 = 18
我：哦，对啊。你们老师有教过你们巧算吗？
Kervin：什么是巧算啊？
我：巧算就是说，不一定要按照顺序加，先看看怎么计算起来更方便？
Kervin：哦？
我：例如，8+5+5。我先给你8颗糖，再给5颗，再给5颗，你一共得到18颗糖。不过，你也可以先算后两次给了你多少糖、、、
Kervin：我知道了。5 + 5 = 10，10 + 8 = 18、、、
我：对，这就是巧算。
Kervin：这样算，简单了。
我：你再算算这块牌子呢？（3 + 6 + 7）
Kervin：3＋6＝9
我：可以先想想看，能不能巧算呢？
Kervin想了想：3 + 7 = 10，10 + 6 = 16。
如此，我们计算了若干块车牌。其中有一两块的数字和大于20了，Kervin说，计算不出。俺表示认可，他们目前只学了20以内的加减法。
我：你们学过减法了吗？
Kervin：学过了。减法可以用巧算吗？
我：当然可以，不过，比加法的巧算复杂些。
Kervin说：巧算蛮简单的、、、哦，也有点难。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2011-2-3 22:48 编辑 [/i]].

数学的起源与数学启蒙

以现代的数学眼光看，数学的起源至少包括两个部分，数与形。

[b]关于数[/b]
这个大家讨论的比较多，在google上可以很容易查到数字的起源。例如：
早在原始人时代，人们在生产活动中注意到一只羊与许多羊，一头狼与整群狼在数量上的差异，随着时间的推移慢慢的产生了数的概念。数的概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在30万年以前，它对于人类文明的意义也决不亚于火的使用。

推荐大家阅读《我们怎样发现了－－数字》这本书，如果有兴趣，或者准备在幼儿阶段对孩子进行数学启蒙的话。
[url]http://www.verycd.com/topics/2790858/[/url]
顺便看看这套丛书里边的其它几本。

[b]关于形[/b]
我们知道，初中和高中数学有一门课是《几何》。普遍地，大家觉得比较难学。个人以为，问题在于大家在数学启蒙的时候通常比较关注数而忽略形。当然，明白地讲，形的启蒙并不是什么大不了的事情，也就是玩玩点、线、方、圆和各种体，本来正常的玩耍都会接触到这些，如搭积木、玩沙子、剪纸折纸等。只是有些急于早教的BBMM没有认识形在数学启蒙中的重要性，认为这些是无聊的游戏，简单地予以忽略了。自然地，到了初中高中研习数学中有关形的部分时，可能出现障碍。

[b]体验为先[/b]
数和形是数学启蒙的内容，而体验为先，则是数学启蒙的方法。何为体验为先？简单地说，就是把孩子放出去玩，跑、跳、跟别的孩子一起做游戏、跟着BBMM一起逛超市、或者种花种草养小动物等，再简单点说，让孩子投入到生活和实践。因为整个人类对数学的认识就是这么来的，数学之源就是生活和实践。老师和BBMM的讲解，以及看书，只能使同学们在生活实践到数学的过程中，少走弯路，不走岔路，换言之，加速这个过程（不加速不行啊，原来这个过程经历了几十万年），但是，请大家注意，无论如何，老师、BBMM、书，都不可能代替生活实践。
例如，你无法讲明白什么是大和小，重和轻，快和慢，相等与不等，加速度等，这些都是基础数学知识的基础，处在知识结构的最下面一层，这些东西只能靠体验的积累。加州数学大纲中提到这么一个观点，你没法让孩子搞明白长度单位的含义，如果你不让他们去做实际的测量工作。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-1-31 18:23 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=8042077&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
要在这种统考中取得好成绩，例如100分，其实非常简单。
一是细致，最好是从男生练成女生的性格。
二是重复，水平要跟统考保持一致，难的别去想，低于这个水平的也不要多练。[/quote]

读懂了数学爸爸的冷幽默！.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-1-31 18:31 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=8042089&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

研究数学的人，从数学中获得了美的享受，这种享受只能始于欣赏。[/quote]

虽然我不曾研究数学，但是我能感到这句话很对；
而且不止于数学，其他许多方面也是同样的道理，那是真正的大家和业余的差别，
就如，一个自己不能欣赏和享受音乐语言的钢琴家，也很难带给别人以美的感觉。.

真是一个好贴子！最近刚发现, 只读到一半，忍不住来附和一声。儿子还在幼中班，很赞同楼主的教育理念，希望在儿子上学前，培养他对数学，以及其他学科的兴趣。学习本身应该是充满乐趣的，但我们的教育往往用最枯燥、最死板的方法来教孩子，看你学不学得下去！看你烦不烦！真担心孩子上学后会被教“傻”掉。.

在生活中学习数学，可能是最适合小宝宝的方法，只是我自己的数学成绩平平，高等数学差不多都还给老师了，有时怕教错了孩子，但如果能引起他的一点点兴趣，我想还是值得尝试的。
关于负数，我们家也碰到过两个例子。一个是地下室，很多商场有地下一层、地下二层、地下三层，儿子对停在地下几层感兴趣，我觉得这个-1，-2，-3就是负数的概念，就问问他地下一层和地下二层哪个在上面什么的，但这里就是没有0层。
还有一个是温度，儿子每天看天气预报，到了冬天零下几度到几度，他可以比较温度的高低，有一次让他计算温差，从零下算到零上要扳手指头，最后也没扳出准确数字。.

给同学们自信和快乐，足矣 并回复 3619#程嘟嘟妈妈 的帖子

在生活中学习数学，可能是最适合小宝宝的方法，只是我自己的数学成绩平平，高等数学差不多都还给老师了，有时怕教错了孩子，但如果能引起他的一点点兴趣，我想还是值得尝试的。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
原来一年级的时候也这么担心过。怕教错了，这很正常，家长并不个个都是数学教授，无论原来数学成绩有多好，肯定是比不上数学教授的。但是，看过数学教授教小学生的课案，我发现，关键不在于数学知识的多少，而在于如何跟幼儿、少儿的水平如何衔接起来。否则，老师在天上，同学在地下，这一堂课下来，等同于解释牛头不对马嘴的含义。

一转眼，混到了四年级，我想通了。放弃“教”的想法是亲子数学的一条出路。BBMM们不能“教”、不会“教”，那就不“教”。不“教”并不是放手不管，而是跟同学们一起学、一起体验、一起玩数学。他没问题的时候，就引导他提问题。他提出了问题，就跟他讨论问题、研究问题。在这个过程中，让同学们建立起解决问题的自信、体验到数学的快乐，自信＋快乐，这些是每个BBMM都能给出来的，足矣。.

[quote]原帖由 [i]程嘟嘟妈妈[/i] 于 2011-2-16 16:34 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=8071449&ptid=4564875][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
在生活中学习数学，可能是最适合小宝宝的方法，只是我自己的数学成绩平平，高等数学差不多都还给老师了，有时怕教错了孩子，但如果能引起他的一点点兴趣，我想还是值得尝试的。
关于负数，我们家也碰到过两个例子。 ... [/quote]

非常棒的体验数学。英式楼房有个Ground floor，就是数学上的0层。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2011-2-16 17:19 编辑 [/i]].

回复 1#hxy007 的帖子

谢谢分享,你好厉害.

回复 3620#ccpaging 的帖子

能找到这样的帖子，参与这样的讨论，真是一件非常开心的事情！可惜儿子生得太晚，和各位"大侠"的孩子年龄差距稍大。亲子数学需要BBMM的灵感,有时灵机一动会发现一个不错的引导话题,但更多时候觉得思路枯竭，在这里能受到不少启发,，更重要的是有这么多志同道合的家长坚定了自己的教育理念。当然如果有学龄前后的孩子家长一起来交流就更棒啦!.

学龄前儿童的数学游戏

儿子最近喜欢玩的几个小游戏：
1.猜数字
电视里有个购物街栏目，猜物品价钱的，我们家改成猜数字，从0-1000里随便写个数字，让对方猜，告诉他多了还是少了，直到猜出正确数字。大人和孩子轮流进行，大人写孩子猜，孩子写大人猜。
2.也是猜数字
先写出数字，然后给定条件再猜。孩子能做的计算实在太少，出题有难度。比如“最大的两位数减1”、“爸爸年龄加上嘟嘟年龄”、“5的3倍”等等，前两天看到本贴，又有了“两两分三三分都多一的一位数”。他也给我出题，不过结果通常不是唯一的。
3.趣味数数
两个或三个人接龙报数，报到3的倍数或数字中有3的要改为拍手，比如3,6,13,30...这个数字也可以改成2或4或其他，我们现在最多玩3，数到20几，嘟嘟肯定出错。

[[i] 本帖最后由 程嘟嘟妈妈 于 2011-2-17 15:22 编辑 [/i]].

关于"当...当...当"

前面看到关于敲钟的小学数学题,  还有过不少讨论，看到解答才知道是这么个意思。只是不明白“当”的那一下难道不要时间吗？很多老式钟“当。。。”的时候余音袅袅，间隔却很短，这么想来当几下算几下也未必不对。.

回复 3625#程嘟嘟妈妈 的帖子

此问题之妙在于不用讲，实实在在听到钟声，就恍然大悟了。.

哈！.

回归旺旺

还是这里好玩，可以直接上图！
[s:002.gif] [s:002.gif] [s:002.gif] [s:002.gif] [s:002.gif].

当初旺旺关掉，我最可惜的就是这个长贴。.

玩累了，顺便做几道数学题吧

X同学暑期来我家。同学们来玩，可以，欢迎，但我的底线先广而告之，不能看电视，不能用计算机玩游戏。X同学跟Alex，聊天，打乒乓球，看看电影，各种玩得不亦乐乎，到了下午，没得玩了。这时，我也空了下来，“顺大便，做几道数学题吧！”听到这话，X同学立刻倒在了沙发上，以一种奇怪地不情愿地强调说：“做、、、数学题啊！”听得出来，这又是一位对数学没兴趣的主。Alex 也随声附和。我说，“又不是出难题为难你们，这样吧。如果觉得难，做不了，可以商量，我们三个臭皮匠凑一个诸葛亮吧。”X同学和Alex 勉强答应了。

以下是华罗庚奥数教材四年级上的几道题：
　　1.计算899998＋89998＋8998＋898＋88
　　2.计算799999＋79999＋7999＋799＋79
　　3.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）
　　4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋1993
　　5.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？
　　6.求出从1～25的全体自然数之和.
　　7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101
　　8.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋87
　　9.计算（125×99＋125）×16
　　10.计算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9
　　11.计算999999×78053
　　12.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
我们花了差不多2-3个小时，逐一地把这些问题都解决了。对于两个四升五的孩子来说，“...”据说是最令他们头疼的。

在这个暑期里边，Alex 比较空，我们陆陆续续做了些类似的数学难题。也总结了些经验：
1、四年级暑期做四年级的比较合适。因为用到的知识基本已经学过了。
2、轻松一些，不过是顺便做做，打发时间。能做则做，不能做大家一起讨论。讨论不出来，就算了，很可能题目超出了孩子能理解的范围。
3、不要跟别的孩子拼题目的难度，家长和孩子都不要去炫耀。会做不会做只是个时间早晚的问题。
4、家长和孩子都不要看奥数教材前面的讲解，不要看题解，家长也不要讲（除非是小学的数学老师）。这样做，就是为了避免家长不经意间使用了自己已学的知识和技能，给孩子造成学习的压力。
5、碰到难题，先问问孩子有什么想法，例如，试算、方程、画图、实验等。家长在讨论尽力迎合孩子的想法。因为孩子提出的想法，往往是他知道的，或者想过、用过，是他们准备好接受的方法。顺孩子的思路做，事半而功倍。
6、家长不要急于给出答案，也不要急于讲解，甚至不要急于提示。给孩子留下尽量多的时间思考。一道难题，想上2－3天，偶尔提起，保持孩子的兴趣，使他不断地想起，最终答案会水落石出的。那时，那种兴奋的感觉，绝不是匆匆忙忙，把数学题当任务，所能体会到的。

当然，以上这些经验不适合要考奥数证书的童鞋。.

拟做一个专门的系列－－代数启蒙

各位BBMM有什么问题、想法或者建议，不妨提出来。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-8-11 08:44 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8106074&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
各位BBMM有什么问题、想法或者建议，不妨提出来。 [/quote]
呵呵，有先见之明呀！——小五会学简易方程，要有代数作为基础，否则，同学们很难理解。.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2011-8-11 10:05 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8106177&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

呵呵，有先见之明呀！——小五会学简易方程，要有代数作为基础，否则，同学们很难理解。 [/quote]

前段时间看了美国小学生数学书，他们从一年级就开始进行代数启蒙了。我们的教科书其实也有。在BBMM和一些老师中，对代数存在一些误解，甚至在奥数中，还有人崇尚算术解法，拒绝代数。
算术到代数，是人类对数学认识的一个循序渐进的过程。在学习数学的时候，不能说，小学就学算术，初中就学代数，把这个过程人为地割裂开来。.

过来人的教训

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-8-11 11:14 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8106309&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]


前段时间看了美国小学生数学书，他们从一年级就开始进行代数启蒙了。我们的教科书其实也有。在BBMM和一些老师中，对代数存在一些误解，甚至在奥数中，还有人崇尚算术解法，拒绝代数。
算术到代数，是人类对数学 ... [/quote]
　　照现在数学教材的安排，小学生到五年级开始正式学习代数以及以此为基础的简易方程。在这之前，孩子学的都是算术。老师会布置大量有相当难度的应用题，逼孩子想破脑袋，想出种种“巧妙的”算术解法。这种反复的训练使孩子逐渐形成了一种固化的思维定势和习惯——对算术解法情有独钟。影响所及，到了五年级，他们很难接受代数的思维方式——他们无法理解在运算中居然可以用一个代号去代表某个求知的数据，无法忍受一个算式中居然会有不知道是多少的代号。换句话说，小学一至四年级过度的算术训练妨碍了后来的代数学习。
　　即使到五年级最终学会了如何解简易方程，孩子们也不愿意用代数方程的方法去解题。他们还是沿用习惯了、固化了的思维方式，设法用算术方法解决老师出的数学难题。许多时候，他们能够成功。这种成功，又强化他们原来的数学思维习惯。加上代数方法是要解方程的，而解方程需要写更多的步骤，写更多的字，许多孩子也会从这个角度找到坚持算术方法而不用代数方法的借口。
　　我的孩子在五年级时，班级就有这样一种舆论：代数的方法是白痴的方法，谁都想得出来！算术方法是巧妙的方法，能够用算术方法解题才是聪明的表现。因此，只要有可能，他们就会去寻找算术方法解题。逼得老师不得不在作业和测验中强行规定，必须列方程解题。007也不断利用一些难题，反复跟儿子讲道理，让儿子去体会：算术方法虽然看起来很聪明，但是你不能保证在有限的时间内想出这种“聪明的”解法。何况一些问题非常复杂，就算你有充裕的时间，也很难想出算术解法。代数方法就不一样，它是一种有保障的方法——它可以保证“白痴”都可以利用这种思路解决数学难题。这恰恰说明这是一种比算术解法更加聪明的思维方式！
　　儿子似乎听进去了，也时有感受。可是，一遇到新题，他又忍不住想用算术方法去解题。数学老师忍无可忍，甚至召见007，要求家长配合，帮助孩子扭转用算术方法解题的思维习惯。如此反反复复，整个小学五年级的就成了代数方法和算术方法之间竞争史、斗争史。这一年的竞争中，代数法偶然会赢，大多数情况下还是算术法占据优势……
　　回顾孩子五年学习小学数学的经历，过度的训练不但耗费子孩子们无数的、宝贵的童年时光，还使一个个充满灵气的孩子变得机械、思维僵化、保守、不愿意接受新生事物。得不偿失呀！
　　其中的教训有多少人体会到了？
　　其中的损失又有多少人在乎？.

代数启蒙 －－ 给小五生出个难题 并 回复 3634#hxy007 的帖子

甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
这是小学奥数里边津津乐道的反复相遇问题，不妨给小五生做做。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-8-11 12:35 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8106487&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
＝＝＝＝＝＝＝＝ ... [/quote]
１１已经过去了这个阶段。他在钻研二元一次方程呢！见[url]http://ww123.net/thread-4784492-1-1.html[/url].

回复 3628楼hxy007 的帖子

这个帖子看了几年,现在能上旺旺了, 庆祝一下!.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2011-8-11 11:38 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8106387&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
代数的方法是白痴的方法，谁都想得出来！算术方法是巧妙的方法，能够用算术方法解题才是聪明的表现。[/quote]
问题在于，学习的目的不是为了展示人的聪明才智，而是为了掌握解决问题的方法。甲用一个小时才能解决的问题，乙用5分钟就搞定了，剩下55分钟去玩iPad。那么，到底谁更聪明呢？.

明知故问，。。。。设问。。。.

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2011-8-15 10:41 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8111096&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

问题在于，学习的目的不是为了展示人的聪明才智，而是为了掌握解决问题的方法。甲用一个小时才能解决的问题，乙用5分钟就搞定了，剩下55分钟去玩iPad。那么，到底谁更聪明呢？ [/quote]
这个理由有说服力，下次我就用你的这种比较去对付“算术法聪明论”。.

回复 3640楼hxy007 的帖子

11要是5分钟完成了作业，你会让他玩55分钟游戏吗？.

回复 3635楼ccpaging 的帖子

请问旺旺有没有亲子数学社这样的群组? 好像除了这个帖, 没有其他讨论数学的帖子了啊.

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2011-8-15 20:34 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8112274&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
11要是5分钟完成了作业，你会让他玩55分钟游戏吗？ [/quote]
三年级以上，不可能有5分钟的作业。一般说来，能认真把作业做完，留下30－60分钟看看课外书，就差不多该睡觉了。
至于游戏，我是不反对玩的。但实际上，也是没有时间玩。所谓把孩子塑造成统一的模式，就是让老师安排孩子的学校时间和在家里的时间来完成。
严重的现实是，在有些家庭里边，爸爸妈妈跟孩子交谈的时间都没有，就做作业了，大量的。.

[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2011-8-16 09:55 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8112797&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
请问旺旺有没有亲子数学社这样的群组? 好像除了这个帖, 没有其他讨论数学的帖子了啊 [/quote]
没有。搜索 数学放飞 可以看到我原来发的一些帖子。喵喵的群组，有必要继续维护和保留吗？.

回复 3644楼ccpaging 的帖子

最好把喵喵的群组搬过来,或者在这里再开一个数学群组. 那里不少帖子都很有继续讨论价值的. 要是不能搬过来, 那我觉得还是很有必要继续维护和保留的..

[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2011-8-15 20:34 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8112274&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
11要是5分钟完成了作业，你会让他玩55分钟游戏吗？ [/quote]
当然！但不是玩网络游戏，games是有许多种类的。11最喜欢还是网球、羽毛球、乒乓球、篮球、足球之类的games.

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-16 13:15 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2011-8-16 09:55 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8112797&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
请问旺旺有没有亲子数学社这样的群组? 好像除了这个帖, 没有其他讨论数学的帖子了啊 [/quote]
“我不知道”亲子数学社的数学探究报告主要在这个楼里，此外还有：
（2）CC写的许多“放飞”帖；
（3）不少有本社成员参与的别的数学帖；
（4）“从来不相信刻苦学习”（初中版）见[url]http://ww123.net/thread-4784492-1-1.html[/url].

最好能在这边搞个圈子，那边贴图比较麻烦。.

[quote]原帖由 [i]merry77[/i] 于 2011-8-16 13:46 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8113366&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
最好能在这边搞个圈子，那边贴图比较麻烦。 [/quote]

同有这个想法。如果有类似喵喵的群组，可以做整理，专题讨论。.

恭贺 从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣 的 亲子数学社@我不知道 有了自己的圈子
[url]http://ww123.net/forumdisplay.php?fid=20&cycleid=1112[/url]

欢迎 收藏本版.

太好了，赶紧去收藏。[:sz11:].

啊哦，不小心站楼顶了。[:sz12:].

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-8-16 14:10 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8113427&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
恭贺 从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣 的 亲子数学社@我不知道 有了自己的圈子
[url]http://ww123.net/forumdisplay.php?fid=20&cycleid=1112[/url]

欢迎 收藏本版 [/quote]

已经加入了圈子, 太好了!.

神帖留个爪印.

我也跟着留着爪，看了几年了，还没有mark.

[quote]原帖由 [i]phoenixfeiyu[/i] 于 2011-8-17 22:50 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8115656&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
我也跟着留着爪，看了几年了，还没有mark [/quote]
嗯，谢谢！任何留言和参与，对我们都是一种鼓励。
受到鼓励，我们才能不停地讨论下去，写下去。.

回复 3650楼ccpaging 的帖子

收藏了.

多数学的困惑！

儿子做数学粗心，不多做题，计算能力提不高，多做吧！也没觉得他提高很多，只是略有进步！.

流量的计算和单位

今日，跟儿子一起骑车，送他去游泳馆游泳。到了路口，突然，红灯亮了。

子：红灯真长啊！
父：哦，是的，要90秒呢。一会注意看看绿灯有多长时间。
绿灯亮了，集中注意力，过了马路，一边骑一边聊。
子：绿灯只有15秒呢！
父：这么短，为什么呢？都是大马路，为什么有的绿灯保持的时间长有的短呢？
子：你说呢？
父：难道是某个人，领导定的，他说长就长，说短就短。
子：不会吧。
父：那，你觉得应该根据什么来确定呢？
子：等等、、、应该根据车子的多少吧？
父：你的意思是这条路上车少，所以绿灯时间短，刚才过的那条路上车多，所以绿灯时间长。
子：是的，我认为这比较有道理。
父：可是，怎么计算呢？如果在这条路上，计算了一天有过多少车子，在那条路上只计算一个小时过了多少车子、、、
子：那样比较不公平。应该以一天过了多少车子来计算。
父：哦，那么应该用什么单位呢？
子：车/每天。我听新闻里说过客流量，是不是就这个啊？
父：哦。客流量是指每天过了多少客人，这个是车子，应该称之为、、、
子：车流量。
父：还有一个问题。我观察过，这两条路上，12点以后车子很少，如果按一天算，是不是不准啊？
子：那好办，可以算白天的车流量。
父：对。可以规定从几点算到几点。那我们就不用“天”作为单位了，用小时吧。
子：可以用总的车子数量除以小时数，单位是 车/每小时。
父：如果是计算河里的水流量，怎么办呢？又不能像现在这样数。
子：让我想想、、、应该用毫升作为单位吧。
父：哦，我明白了，这时应该用体积。不过，毫升太小气了，用升或者立方米吧。
子：那单位就是立方米/每时。.

[quote]原帖由 [i]毛虫子[/i] 于 2011-8-19 16:34 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8119075&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
儿子做数学粗心，不多做题，计算能力提不高，多做吧！也没觉得他提高很多，只是略有进步！ [/quote]

粗心是模糊的概念。找不到原因都可以归结到粗心。有可能是基础不扎实，有可能是学习的兴趣不高，有可能是因为性格和年龄的关系，甚至考了99分家长却要求100分、、、
判断是何种情况，需要更详细的信息，例如，几年级了。最好把错在那里，写上来，方可具体问题具体分析、、、.

越看越彷徨，越看越沮丧，各位讲的是屠龙术，说的是渗透。回家试了试，想照葫芦画瓢难度很大，其中精华本人一时半会很难掌握。鸭梨很大。
    看见你们和儿子一问一答，真的很羡慕。不管结果是对是错，这一问一答，已经是培养的成果了。  
    说说我女儿吧，关于折绳子。一段绳子对折2次后绳子长8米，请问绳子有几米。题做了几次了，也拿绳子比过n次了，就差把绳子给剪断了，回头再做的时候，还是8*3，还应该怎么讲呢？.

静下心来跟孩子玩数学 并 回复 3661楼phoenixfeiyu 的帖子

1、拿一根真正的绳子玩。把绳子的长度按比例缩小，例如，厘米.

2、把绳子对折一次。

问：对折以后绳子变长了还是变短了？
这个问题应该不难回答。不要因为这个问题简单就不问。因为这是一种重要的数学方法，即定性分析。不要一看到题，就忙不迭地写算式。先远观一个问题，高屋建瓴地分析，否则，具体而微地投入进去以后，全部注意力都在做计算的细节后，很容易陷入不识庐山真面目的困境。去过苏州的狮子园吗？那里有个假山摆出来的迷宫，在下面曲折小径里边走，很难找到出口，这时，爬上高处瞭望，才能一目了然。这是一个好的习惯，要通过多次的示范，通过多次的问问题来引导。

指着对折以后的绳子问，假设现在的长度是8厘米，那么对折以前是多少呢？
如果孩子回答错了，例如，4CM，不要紧，别慌，也不要解释，不要争论。先让孩子列出算式。然后，好吧，就算对折前的长度是4CM，剪一条4CM的绳子，让孩子测量确认，然后对折，让孩子测量。咦，肿么不对呢？是啊，为什么呢？让孩子自己去琢磨。等他琢磨出来，记住提醒他修正自己的算式。
如果孩子的回答是对的，爸爸妈妈有时间和兴趣，也不妨扮演反方，来质疑。轴一点。逼到孩子只能用实验来证明。最后，爸爸妈妈服膺于实验的结果，也是一种很好的有关理性的教育。

3、把绳子折成三段。
重复前面的2个问题和过程。即：
问：对折以后绳子变长了还是变短了？
指着对折以后的绳子问，假设现在的长度是8厘米，那么对折以前是多少呢？

4、把绳子折成四段，即对折又对折。
重复前面的2个问题和过程。即：
问：对折以后绳子变长了还是变短了？
指着对折以后的绳子问，假设现在的长度是8厘米，那么对折以前是多少呢？

5、可能，大家对三折和对折又对折存在分歧。
没问题，大家辨吧。可以请仲裁，可以找帮腔的。越热闹越好。

可能有的BBMM会说，像你这么干，大概要半天时间吧。言下之意，是不是想说我的方案太浪费时间了？那么，来盘点下，我们让孩子接触到哪些东西：
1、先做定性分析，后做定量分析。先远观后近瞧。
2、可以假设结果，再用事实证伪。
3、服膺事实。
4、对折，三折，对折再对折，有三个算式吧。正好组成一个代数过程。我要说，这是代数启蒙，可以吗？.

理解孩子，才能帮助孩子

[quote]原帖由 [i]phoenixfeiyu[/i] 于 2011-8-21 09:25 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8121061&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
    说说我女儿吧，关于折绳子。一段绳子对折2次后绳子长8米，请问绳子有几米。题做了几次了，也拿绳子比过n次了，就差把绳子给剪断了，回头再做的时候，还是8*3，还应该怎么讲呢？[/quote]
　　小朋友初次接触这种数学题时，是会有许多困惑的。其中包括，她不知道“对折”是什么意思，再对折一次又是什么意思。这需要通过实验，让她逐渐明白：对折一次，就会变成相等的2段；再对折一次，就会变成相等的4段。可是，虽然４段这种说法非常直观，但实际上不利于孩子普遍化地理解这种变化。比较严谨的表达的是，第一次对折之后有2段绳子，再对折一次，就是这2段绳子对折，分别变成2段，总共变成2×2段。一定要让小朋友逐渐理解这种数学表达。
　　那么，如果对折3次，会变成几段呢？小朋友通过动手实验，一定会发现折成了8段。那么，数学上怎么表达呢？原来有2×2段绳子，每一段都对折了一下，自然就变成了2×2×2段……若干次实验之后，孩子一般都会发现一个规律：一段绳子对折几次，折出的段数就是几个2相乘。

　　“一段绳子对折2次后绳子长8米，请问绳子有几米？”这个题目在表达上很成问题，会引起孩子思想上的混乱。假如我是一个孩子，或许会这样想：不管你怎么对折绳子，这根绳子的长度都不会改变，它永远是8米。你能说我这种理解错了么？
　　题目或许可以改为：一根细绳对折2次后变成一根8米长的精绳，请问原来那根细绳有几米？
　　或者改为：一根绳子对折2次后每段绳子长8米，请问这根绳子有几米？

　　我相信，改成这样的表述，小朋友很容易理解，并且找到答案：一段有8米，总共有2×2段，所以这根绳子总共有8×2×2=32米。

　　你孩子的列的算式是8×3，显然错了。但你不能简单地予以否定，急于教好正确的东西。应该从理解她的错误开始。问她：你列8×3是什么意思？她的解释可以让你乃至让她自己发现自己的错误。
　　007在想，也许你的孩子是这么想的：第一次对折的时候，这段绳子一分为二变成了2段；从这2段绳子中拿出1段来再对折一次，这段绳子又一分为二变成了2段。因此，总共分成了3段。哈哈，你的孩子要是这么想，她自然会列出8×3的算式。她错了么？错在哪里？

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-21 13:48 编辑 [/i]].

耐心是为父为母之道

[quote]原帖由 [i]phoenixfeiyu[/i] 于 2011-8-21 09:25 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8121061&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
越看越彷徨，越看越沮丧，各位讲的是屠龙术，说的是渗透。回家试了试，想照葫芦画瓢难度很大，其中精华本人一时半会很难掌握。鸭梨很大。
    看见你们和儿子一问一答，真的很羡慕。不管结果是对是错，这一问一答， ... [/quote]
你不要着急。
除了极个别天资优异的孩子，可以做到一点就通，举一反三，闻一知十外，多数孩子都需要父母和老师耐心用各种办法反复多次才能掌握一些有难度的知识的。
老实说，如果我及CC的孩子天资优异的话，就见不着我们在旺网上如此折腾了。
耐心，慢慢来，会见效果的。.

谢谢两位，这么快就回复了还这么的详细。这个我可以照葫芦画瓢了，嘻嘻！
这个帖子几年前就看过一些，那个时候孩子没上学，没有实战感触还不是很深，这次旺网重开再次拜读感觉就完全不同。太感谢各位的宝贵经验了！
  还有题目是我没有表述清楚，书上的确说的是“一段绳子，对折后每段长8米，这根绳子原来长多少米？”惭愧。。
  这个帖子看到1000楼左右，你们开始称苹果开始我就看不懂了[tt35] 。我拿着笔，边看电脑边在纸上写写画画，lg问我在看什么帖子这么专注。。。。。

[[i] 本帖最后由 phoenixfeiyu 于 2011-8-22 23:05 编辑 [/i]].

“拉”还是“推”

在自行车车棚里。

父：儿子，你看看这辆自行车，“昆山的”？
子：哪里啊？
我指了指。
子：你看错了，那上面的字母是“KSQ”，不是“KSD”。
父：那就是“昆山去”自行车吧。
子：你咋就知道“昆山”。
父：因为，你外婆在那里。那，你说说应该是什么呢？
子：、、、
父：是不是我先说了“昆山”，你很难再想起别的了？
子：嗯。

学数学，如学走路。如果我们去“拉”孩子，那么，孩子就可能只是复制我们的选择，永远无法超过我们的速度。而一旦“拉”力消失，孩子就可能倒下。所以，正确的做法是“扶”或者“推”，目的在于让孩子自己学会自动、自主。

教数学，要把最好的、一般好、次好的、普通的方法都留给同学去发现。同学问你这道题怎么做，要答之以最笨的方法，或者不知道，甚至是错误的方法。然后，再引导孩子去发现。因为我们的目的是让同学变得聪明智慧，而不是让大人们用自己的知识和经验在同学面前显摆。引导同学去发现，把同学当人。臭显摆让同学依葫芦画瓢，把同学当鸭。.

饭前开胃菜：圆的周长是多少

窝里小装修，厨房和卫生间被拆了，每日一家门都到相熟的同事家吃饭。儿子跟同事的女儿在一个班，都是四升五。
某日，晚餐较丰盛，还未准备好，Alex和我已经就位了。

[b]什么是圆的周长[/b]
父：看来晚饭还有些时候，我们来研究下圆的周长吧。
女：这个老师没讲哦。
父：有什么关系，我们就是瞎玩玩，反正吃饭还要等会儿。
女：哦。
父：什么是周长？这个先要搞清楚。
女：这个我知道的，长方形的四条边的长度加起来就是长方形的周长。
父：对，圆的周长就是指圆的边的长度。
女：可是，长方形的周长有公式，可以算。圆的周长也有公式的吧？
父：是的，当然有公式。不过呢，我们可先想想，没有公式，我们用什么办法来测量圆的周长呢？
女：那要看你测量哪个圆了？
父：哦，就说这个茶杯吧。
女：可以直尺绕一圈。
子：可以找根绳子先绕一圈，然后测量绳子的长度。
父：可惜这个茶杯有个把，我的方法不能用了。
女：如果没把，你是不是想把这个茶杯滚一圈、、、
子：我知道了，测量这个茶杯留下的痕迹，也可以。
父：今天没时间测量了，否则可以多测量几个。
子：做个表，说不定能发现规律。
父：是的，规律其实就是老师说的公式。
女：嗯。

[b]圆的周长跟什么有关[/b]
饭菜还没上桌呢，继续。
父：谁能告诉我，圆是怎么画出来的？
女：这个简单，需要圆心。
子：还有半径。
女：对，给我圆心和半径，就可以画出圆来。
父：可是，这个杯子没有圆心，没法测量半径。
女：可以测量直径啊。
子：可以用公司里的游标卡尺，用卡子卡住杯子。
父：可是，那是直径，半径还是不知道？
女：直径除以2就是半径。
父：哦，我明白了，半径就是直径的一半。
女：对的。
父：那么，圆除了圆心和半径，还有别的吗？
女：应该没有了吧、、、
子：绝对没有了。
父：那么，我可不可以说，两个圆，如果半径一样，这两个圆就是相等的？
女：是的。

[b]猜公式[/b]
父：我再问个古怪的问题，如果一个圆的半径为0，那么它的周长是多少呢？
女：半径为0，那就是点了呀。
父：对啊，我就是说，点是半径为0的圆，可以吗？
子：你这么说的话，那这个圆的周长就是0。
父：我把半径增加一点点、、、
女：周长也增加一点点。
父：我再把半径增加一点点、、、
子：那周长肯定也增加了。
父：好吧，我用加减乘除列出几个公式，你们猜猜，那个可以用来计算圆的周长，我用直径吧：

1、圆周 ＝ 直径 ＋（ ）
2、圆周 ＝ 直径 － （ ）
3、圆周 ＝ 直径 × （ ）
4、圆周 ＝ 直径 ÷ （ ）

子：肯定不是第一和第二个。
女：为什么？
子：直径为0的时候，周长不对啊。
女：那肯定也不是4。

第一道菜上桌了，估计还要些时间。
父：为什么？
女：圆周长啊。
父：是吗？这个得比划以下吧。
女：就用这个杯子吧。
儿子和同事的女儿忙开了。

[b]π比3略大[/b]
子：我想起来了，
圆周 ＝ 直径 × （ ）
括号里边的数是π？
父：哦，你从哪里看来的？
子：《可怕的科学》上讲过，π是圆周率。
父：对的。古代人发现了这个公式，中国的古代数学家刘徽和祖冲之都计算过π。
子：那π是多少呢？

在纸上画圆，以半径为边长做内接六边形。
父：谁还记得，三角形的内角和是多少？
女：忘了。
子：360°
父：晕，那查查书吧？
子：我说的不对，应该是180°
女：对，180°。

继续作图，把六边形的6个顶点与圆心连接起来。
父：这六条新画的半径是不是把一个圆分成了均等的六份？
女：是的。
父：每一份是多少度呢？
子：60°
女：对。360÷6＝60
父：那么，这个由两条半径和六边形的一边组成的三角形有什么特点？
子：等边三角形。
女：等腰吧。
父：为什么？
女：半径相等。
父：那就是等腰三角形了。等腰三角形的这两个底角相等，对吧？
女：对的。
父：那么能算出来它们是多少度吗？
子：60°
女：我想想、、、
180－60＝120
120÷2＝60
对的，是60°。
父：也就是说，这个三角形的三个角都相等，对吧？
女：哦，那就是等边三角形了。
父：也就是说，六边形的边长是、、、
女：半径。
父：好。也就是说，圆周包住了6条半径。
子：我知道了，π 比 3 大一点点。
女：不是6吗？
子：公式里边说的是直径啊。
女：哦，6÷2＝3。对的。

饭菜齐了，该结束了。
父：实际上，祖冲之算出来，π在 3.1415926 到 3.1415927 之间。
女：这么多小数，有公式也不好算啊。
父：还不好念呢。
子：所以用字母 π 来代替。
父：对的。圆周 ＝ π x 直径，π 比 3大一点。
女：可是，我们怎么用呢？这么难算。
父：其实，在实际的工作中，比如要剪条绳子绕这个杯子一圈，只需要使绳子的长度为杯子的直径的3倍，再估摸做留点线头。
女：我知道了，绕完了以后，把线头剪掉就可以了。

妈妈、婆婆齐声喊：“吃饭了。先洗手。”众人一哄而散。.

教还是不教？两难

昨天看了关于圆周率的帖子，回家给儿子讲了讲。没想到儿子说他知道，在《玩转数与型》的第几页有圆周率，18几几年有个人算了707位但第528位算错了。我很惊讶，他怎么会记住的。 想起周末在小区的儿童乐园遇到了儿子的同学。那个小女孩给别的小朋友介绍说：这是我同学，他很聪明，但是老是说些我们听不懂的怪话。

儿子脑子里都是这些东西，怎么能和其他孩子玩在一起？他喜欢数学，不教可惜，教了又会和同学们产生距离。我最近一年多已经没给他系统的讲数学了。只是有时给他出道题，讲讲数学读本，结果他把圆周率这种没多大用处的东西记得这么清楚。难道我要彻底不给孩子讲任何数学的东西吗？.

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顺其自然，有兴趣，就学，就讲。不说教，是不想跟灌输混同起来。至于交流，好像不用担心。原因可能是孩子小。我听说，小孩子是天生的外交家。只要给孩子们时间在一起，你的孩子和其他孩子会互相调适的。再者说，兴趣可以广泛，不限于数学。.

现在要给孩子找个朋友也不容易. 小朋友们都很忙的. 倒是有个小孩经常来我家玩, 不过每次一来就要打僵尸, 然后还打各种电脑游戏. 我也没办法, 只好尽量劝他也玩点别的.

昨天把<<要命的数学>>系列没讲过的几本拿出来,给孩子挑能懂的讲了一下. 再次感慨<<要命的数学>>真是经典, 随手一翻就能找到闪光点..

[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2011-8-28 09:55 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8135958&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
现在要给孩子找个朋友也不容易. 小朋友们都很忙的. 倒是有个小孩经常来我家玩, 不过每次一来就要打僵尸, 然后还打各种电脑游戏. 我也没办法, 只好尽量劝他也玩点别的.

昨天把系列没讲过的几本拿出来,给孩子挑能懂 ... [/quote]

可以考虑弄个学习小组，定期的搞一次数学讨论。Alex 同学也是想来打电子游戏，家里的电脑多，但是这是我的底线－－不行。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-8-28 14:37 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8136384&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]


可以考虑弄个学习小组，定期的搞一次数学讨论。Alex 同学也是想来打电子游戏，家里的电脑多，但是这是我的底线－－不行。 [/quote]
身边找不到喜欢数学的小孩啊. 希望旺旺上可以找到一些喜欢数学的小朋友, 也弄个学习小组,多好啊..

世界第一数学强校的背后

[url]http://www.kuqin.com/math/20071126/2659.html[/url]

作者：不详　来源：互联网 　 2007-11-26

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世界第一数学强校的背后纵观整个20世纪的数学史，苏俄数学无疑是一支令人瞩目的力量。百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金（Н. Н. Лузин），亚历山德罗夫（П. С. Александров），柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров），盖尔范德（И. М. Гельфанд），沙法列维奇（И. Р. Шафаревич），阿洛尔德（В. И. Арнольд）等都是响当当的数学大师。而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学（Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова）。

莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多，质量之高，恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学。在20世纪就再也没有那个大学敢与之相比了，即使是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家，莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校。对于莫斯科大学，我们是既熟悉又陌生，说熟悉是因为，中国大学的数学系都多少受了莫斯科大学的影响。我们曾经长期学习莫斯科大学的数学教材，做莫斯科大学的数学习题集，直到现在许多数学专业的学生还在做各种莫斯科大学编写的习题集。

如在下我，就曾经做过吉米多维奇的《数学分析习题集》（Б. П. Демидович《Сборник задач и упражнений по математическому анализу》）、巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》（С. В. Бахвалов《Сборник задач по аналитической геометрии》）、普罗斯库列科夫的《线性代数习题集》（И. В. Проскурярков《Сборник задач по линейной алгебре》）、法杰耶夫的《高等代数习题集》（Д. К. Фаддеев《Сборник задач по высшей алгебре》）、菲力波夫的《常微分方程习题集》（А. Ф. Филиппов《Сборник задач по дифференциальныму уравнениям》）、沃尔维科斯基的《复变函数习题集》（Л. И. Волковыский《Сборник задач по теории функций комплексного переменного》）、符拉基米罗夫的《数学物理方程习题集》（В. С. Владимиров《Сборник задач по уравнениям математической физики》）、费坚科的《微分几何习题集》（А. С. Феденко)《Сборник задач по дифференциальной геометрии》）、克里洛夫的《泛函分析——理论•习题•解答》（А. А. Кириллова《Теоремы и задачи функционального анализ》）、捷利亚科夫的《实变函数习题集》（С.А.Теляковский《Сборник задач по теории функций действительного переменного》）。

说陌生的因为，莫斯科大学有很多方面和中国大学大相径庭。那么莫斯科大学成为世界数学第一强校奥秘何在？我很幸运家里有亲戚，曾于80年代公派到莫斯科大学数学力学部读副博士（кандидат）（相当于美国的博士），又有熟人正在莫斯科大学数学力学系读副博士。从中了解到莫斯科大学数学学科的具体情况，特地把这些都发在BBS上，让大家看看，世界一流的数学家是如何一个一个的从莫斯科大学走出的。

邓小平有句话说足球要从娃娃抓起，莫斯科大学则是数学要从娃娃抓起。每年暑假，俄罗斯各个大学的数学力学系和计算数学系（俄罗斯的大学没有我们这样的数学学院，如莫斯科大学，有18个系和2个学院，和数学有关的是数学力学系（Mеханико-математический факультет）和计算数学与自动控制系（Факультет вычислительной математики и кибернетики），数学力学系下设数学部（Отделение математики）和力学部（Отделение механики），其中的力学部和我国的力学系大不相同，倒接近于应用数学系，计算数学与控制论系（Факультет вычислительной математики и кибернетики）包括计算数学部和控制论部2个部，计算数学部和我国的信息与计算科学专业相当，控制论部接近于我国的自动化系。

但是数学学的很多，前二年数学力学系及计算数学与控制论系一起上课，第三年数学力学系和计算数学与控制论系一起学计算数学方面的课程，到大四大五才单独上专业课）都要举办数学夏令营（Летний математический лагерь），凡是喜欢数学的中小学生都可以报名参加，完全是自愿的。由各个大学的数学教授给学生讲课做数学方面的讲座和报告。莫斯科大学的数学夏令营是最受欢迎的，每年报名的人都是人满为患，大家都希望能一睹数学大师们的风采，听数学大师讲课，做报告，特别是苏联著名的数学家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）和维洛格拉托夫（И. М. Виноградов），吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）（苏联有了微型电子计算机后，吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）经常在夏令营里教人玩计算机）几乎每年都参加夏令营的活动。

          数学夏令营和我国的奥数班不同，他的目的不是让学生参加什么竞赛，拿什么奖，而是培养学生对数学的兴趣，发现有数学天赋的学生，使他们能通过和数学家的接触，让他们了解数学，并最终走上数学家的道路。

           在柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）的提议下，从70年代开始，苏联的各个名牌大学大多举办了科学中学，从夏令营中发现的有科学方面天赋的学生都能报名进入科学中学，由大学教授直接授课，他们毕业后都能进入各个名牌大学。其中最著名的当属莫斯科大学的柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）科学中学（Школа Колмогорова- специализированный учебно-научный ценр МГУ имени М. В. Ломоносова）。这所学校从全国招收有数学、物理方面天赋的学生，完全免费。对家境贫寒的学生还发给补助，尽管莫斯科大学现在经济上困难重重，但这点直到现在都没变。事实上科学中学的学生成才率相当高，这点是有目共睹的。到80年代末，90年代初，已经有几个当年的柯尔莫哥罗夫科学中学的学生成了科学院院士。

          中国的大学，近年来常爆出招生中走后门的丑闻。其实以前就有高干子弟，成绩不好，居然能进名牌大学的事情。象50-60年代的北京大学、科技大学、清华大学都有这样的学生。南京大学当年被院系调整搞得乱七八糟，从当家老大变成二流重点大学。现在，大概没那个中央领导的子弟看的上，估计这样的学生是没有的。反观莫大，那可是非硬功夫进不去的，就算你是苏共总书记的儿子也一样。

莫大敢如此硬气，其实是其前校长彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）（我们对这位大数学家不会陌生吧！）利用担任最高苏维埃主席团成员（член Президиума Верховного Совета СССР）以及和苏共的各个高级官员的良好关系争来的尚方宝剑有关。

苏联有明确规定，包括莫大在内的几个名牌大学招生只认水平不认人（其它大学，高级官员的子女同等条件优先），必须是择优录取。莫大的生源好，和苏联的整体基础教育水平高也有关。苏联有一点值得中国学习，苏联的中小学的教学大纲和教材都是请一些有水平的科学家编写的，像数学就是柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）、吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）和庞特里亚金（Л. С. Понтрягин）写的，而且苏联已经把微积分、线性代数、欧氏空间解析几何放到中学教了。大学的数学分析、代数、几何就可以在更高的观点上看问题了（其实和美国的高等微积分、初等微积分的方法相似）。

          有一流的生源，不一定能培养出一流的数学家，还必须要有严谨的学风。莫大的规定相当的严格，必修课，一门不及格（不过政治和体育除外，政治是因为学校在这方面睁一只眼闭一只眼，纯粹是给上面看的），留级，两门不及格，开除，而且考试纪律很严，作弊简直是比登天还难！莫大的考试方法非常特殊，完全用口试的方式。主课如数学分析或者现代几何学、物理学、理论力学之类，一个学期要考好及次，像数学分析，要考7-8次。考试一般的方法如下：考场里有2-3个考官考一个学生，第一个学生考试以前，第二个学生先抽签（签上就是考题），考试时间一般是30-45分钟，第一个考试的时候，第二个在旁边准备，其他人在门外等候，考生要当场分析问题给考官听后，再做解答。据称难度远大于笔试，感觉像论文答辩。

          不过莫大有一点是挺自由的，就是转专业，这一般都能成功，像柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров）就是从历史系转到数学力学系，这是尽人皆知的。

中国的数学专业往往是老师满堂灌，学生下面听，最糟糕的是有的老师基本是照本宣科，整一个读书机器。莫大的老师上课，基本不按教学大纲讲课（其实教学大纲也说教师在满足大纲的基本要求的情况下，应当按自己的理解讲课），也没有什么固定的教材，教师往往同时指定好几本书为教材，其实就是没有教材，只有参考书！而且莫大的课程都有相应的讨论课，每门课的讨论课和讲课的比例至少是1：1，象外语课就完全是讨论课了！讨论课一般是一个助教带上一组学生，组织讨论班，像一些基础课的讨论班比如大一，大二的数学分析、解析几何、线性代数与几何（其实讲的是微分几何和射影几何）、代数学、微分方程、复分析、大三的微分几何与拓扑、大四的现代几何学（整体微分几何）都是以讨论习题和讲课内容为主。为了让学生多做题，做好题，所以教师要准备有足够的高质量的习题资料，像前面说的各种各样的习题集，就是把其中的一部分题目拿出来出版发行（事实上在打基础的阶段不多练习是不行的）。总的来说，讨论课的数量大于讲授，如1987年大纲，大一第一学期，每周讲课是13节，讨论是24节（不算选修课）。而且莫大有个好传统就是基础课都是由名教授甚至院士来讲，柯尔莫戈罗夫（А. Н. Колмогоров），辛钦（А. Я. Хинчин）都曾经给大一学生上过《数学分析》这样的基础课，现在的莫大校长萨多夫尼奇（В. А. Садовничий），目前也在给大一学生讲《数学分析》（不过校长事情太多，不太可能一个人把课给上下来）。

想培养一流数学家，就一定要重视科研训练，包括参加各种学术讨论班和写论文，莫大的学生如果在入学以前参加过数学夏令营，那他在入学以前已经有一定的科研训练，因为，在夏令营就要组织写小论文。

入学以后，学校也鼓励学生写论文，到大三下学期学生要参加至少一个学术讨论班，以决定大四大五是参加哪个教研组（莫大数学部有17个教研室，如数学分析教研室（Кафедра математического анализа），函数论与泛函分析教研室（Кафедра теории функций и функционального анализа），高等代数教研室（Кафедра высшей алгебры），高等几何与拓扑学教研室（Кафедра высшей геометрии и топологии），微分几何及其应用教研室（Кафедра дифференциальной геометрии и её приложений），一般拓扑与几何学教研室（Кафедра общей топологии и геометрии），离散数学教研室（Кафедра дискретной математики），微分方程教研室（Кафедра дифференциальных уравнений），计算数学教研室（Кафедра вычислительной математики），数理逻辑与算法论教研室（Кафедра математической логики и теории алгоритмов），概率论教研室（Кафедра теории вероятностей），数理统计与随机过程教研室（Кафедра математической статистики и случайных процессов），一般控制问题教研室（Кафедра общих проблем управления），数论教研室（Кафедра теории чисел），智能系统数学理论教研室（Кафедра математической теории интеллектуальных систем），动力系统理论教研室（Кафедра теории динамических систем），数学与力学史教研室（Кабинет истории математики и механики），初等数学教学法教研室（Кабинет методики преподавания элементарной математики）等。每个教研室下设教研组（教研组即是科研单位又是教学单位）的活动（莫大数学系，到了大四大五，学生每学期要参加一个学术讨论班（семинар）目的是写论文，莫大要求本科毕业生至少要有3篇论文，其中2篇是学年论文，一篇作为毕业论文，毕业论文要提前半年发表在专门发毕业论文的杂志上，半年内无人提出异议方可进行论文答辩，而且参加答辩的人是从全国随机抽取的。答辩时还要考察一下学生的专业知识，这种答辩又称为国家考试。

         对于本科生，需要让他们对数学和相邻学科有个全面的了解，莫大在这点做的很不错，数学系的学生不仅要学习现代几何学，高等代数（内容大概包括交换代数和李群李代数）等现代数学，也要学习理论力学，连续介质力学，物理学中的数学方法（大概相当于我国物理专业的电动力学，热力学与统计物理，量子力学）等课程。而且还有一些各种各样的选修课，供学生选择。必修课中的专业课里不仅有纯数学课程也有变分法与最优控制这样的应用数学课程，所以莫大的学生在应用数学方面尤其出色。

         要成为一个合格的数学家，光短短5年的本科是远远不够，还要经过3-4年的副博士阶段的学习和无固定期限的做博士研究，应该说莫大的研究生院在数学方面绝对是天下第一的研究生院，莫大研究生院在数学方面有门类齐全的各种讨论班，讨论班的组织者都是世界闻名的数学家，参加讨论班的不仅有莫大的学者，还有来自全苏各个科研机构的学者。经过5年的必修课和专门化课，选修课的学习，凡是到莫大研究生院来的学生都有很扎实的专业知识，所以莫大的研究生是不上课的，一来就是上讨论班，进行科学研究，同样研究生想毕业也要拿出毕业论文和学年论文，毕业论文要拿到杂志上发表半年以后，有15名来自不同单位的博士签名，才能参加答辩。答辩的规矩比本科生更严格，只有通过毕业答辩和学年论文的答辩才能拿到数学科学副博士学位。至于数学科学博士（доктор математических наук），则是给有一定成就的科学家的学位，要拿博士至少要有一本合格的专著才行。

             如果谁拿到莫大的数学科学博士的学位，那么谁就可以到大多数世界一流大学混个教授（包括助教授）当！但是这个过程是十分难完成的，俄罗斯有种说法，说院士为什么比一般人长寿，是因为院士居然可以完成从本科到博士这样折磨人的过程，所以身体一定好的很！

          说到莫斯科大学的数学,有一个人是不能不提的,那就是数学大师柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）,应该说柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）不仅是数学家,而且是教育家,但是这并不是我在这里要专门介绍他的原因,我专门介绍他是基于以下几个原因：1，如果说使莫斯科大学的数学跻身于世界一流是在鲁金（Н. Н. Лузин）和彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）的带领之下，那么使莫斯科大学真正成为世界第一数学强校则是在柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）担任数学力学部主任的时期。2，柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）是莫斯科数学学派（Московский математический школа）中承前启后的一代中的领军人物，特别是如盖尔范德（И. М. Гельфанд），阿诺尔德（В. И. Арнольд）等著名数学家都是他的学生。3，柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）虽然没当过莫大校长但是彼得罗夫斯基（И. Г. Петровский）去世后，他在莫大基本上就是太上校长，莫大的一些改革措施都和他多少有些关系。对于数学家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров），大家一定很熟悉，但是对于教育家柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров），大家就不大清楚了！下面是我从沃尔夫奖得主，日本著名数学家伊藤清写的一篇纪念柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）的文章中摘抄下来的。
柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，数学需要特别的才能这种观念在多数情况下是被夸大了，学生觉的数学特别难，问题多半出在教师身上，当然的确学生对数学的适应性存在差异，这种适应性表现在：1，算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解决不了的问题的能力。2，几何直观的能力，对于抽象的东西能把它在头脑里像图画一样表达出来，并进行思考的能力。3，一步一步进行逻辑推理的能力。

         但是柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）也指出，仅有这些能力，而不对研究的题目有持久的兴趣，不做持久的努力，也是无用的。柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，在大学里好的教师要做到以下几点：1，讲课高明，特别是能用其他科学领域的例子来吸引学生，增进理解，培养理论联系实际的能力。2，以清楚的解释和广博的知识来吸引学生运动。3，善于因材施教。

         柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）以为以上三条都是有价值的，特别是3，这是一个好教师必须做到的，那么对于数学力学系或计算数学与控制论系的学生又应当怎样做呢？柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）以为除了通常的要求外，有两点要特别强调：1，要把泛函分析这样的重要学科（他说的重要学科恐怕还包括拓扑学和抽象代数）当成日常工具一样应用自如。2，要重视实际问题。
柯尔莫哥罗夫（А. Н. Колмогоров）认为，学生刚开始搞研究时，首先必须让学生树立“我能够搞出东西”的自信心，所以教师在帮助学生选课题时，不能光考虑问题的重要性，关键是要看问题是否在学生的能力范围之内，而且需要学生做出最大的努力才能解决问题。

          其实科研训练应当是越早越好，在学生做习题的时候就要注意进行科研训练了！这也是莫大数学成功的秘诀之一。莫斯科大学讨论课上的习题根本没有我们常见的套公式，套定理的题目。比如，我的那个亲戚，在莫大读书时担任数学分析课的助教（莫大学数学的学生毕业后大多数是到各个大学担任教师，所以莫大很重视学生的教学能力，一般，研究生都要作助教，本科生毕业前要进行大学数学的教学实习），据他说，主讲教授每次布置的讨论课题目简直稀奇古怪，比如说有一次，是叫他让学生利用隐函数定理证明拓扑学中的Morse引理，还有一次，叫他给出有界变差函数的定义，然后证明什么全变差的可加性等等，一直到雅可比分解！基本上把我们国家的实变函数课中的有关问题都干掉了！总之他们经常叫学生证明一些后续课程中的定理，据他们认为这样做基本等于叫学生做小论文，算是模拟科研，对以后做科研是有好处的。.

高中生在选择数学作大学专业前应测验对数学的适应性

@数学文化：柯尔莫哥洛夫认为，高中生在选择数学作大学专业前应测验对数学的适应性：
(1)代数能力：会对复杂式子作合理的变形，不能仅记定理、公式；
(2)几何直观：对抽象的东西能在头脑中象画画般描绘出来并加以思考；
(3)一步一步作逻辑推理的能力。

除此之外，强烈的兴趣和持久坚持也至关重要。

童鞋们，有无道理？.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-8-30 21:22 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8142626&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
@数学文化：柯尔莫哥洛夫认为，高中生在选择数学作大学专业前应测验对数学的适应性：
(1)代数能力：会对复杂式子作合理的变形，不能仅记定理、公式；
(2)几何直观：对抽象的东西能在头脑中象画画般描绘出来并加以思 ... [/quote]


都很有道理。不过，我当年大学时，对不少高深的数学概念理解不了，看不懂，学不会。所以我觉得理解力是很重要的，为什么没有提到呢？.

[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2011-8-31 15:43 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8144859&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

都很有道理。不过，我当年大学时，对不少高深的数学概念理解不了，看不懂，学不会。所以我觉得理解力是很重要的，为什么没有提到呢？ [/quote]

俺觉得，这可能是国内教育特有的现象。.

不要这么含蓄，说的清楚点吧。我想让孩子避免我的缺点，可不知从何做起，恳请指导。.

我们从小学习的是知识的堆积，各个知识点是隔离的，没有联系在一起，而且没有正确的一套推理体系。到了大学，自然就理解不了那些概念了。.

被你这样一说，找到了原因，那就可以避免孩子重蹈覆辙，我又对孩子的未来充满了信心,哈哈.

[quote]原帖由 [i]jiangying[/i] 于 2011-8-31 16:50 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8145132&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
我们从小学习的是知识的堆积，各个知识点是隔离的，没有联系在一起，而且没有正确的一套推理体系。到了大学，自然就理解不了那些概念了。 [/quote]

甚是。因为考试是唯一标准，所以，过份注重表面的技术，不能静下心慢慢推敲，找到事务的内在联系。也因为急功近利的心态，总想着尽快让孩子学会这个学会那个，没有给学生留下思考顿悟的时间和空间。具体到家庭教育的实践，在孩子一起玩数学的时候，至少在小学这个时间，不要图量，而是把一个问题往前后左右拓展开来。最终让孩子对数学知识的记忆形成一张网。这样，当他面对新的难题的时候，既能做到东边不亮西边亮，又能举一反三。这种孩子是不是看起来就很聪明呢？他自己也会觉得越来越强大。.

我也很赞同把一个问题往前后左右拓展开来, 学细学透.

昨天随手拿出<<特别要命的数学>>给孩子讲了讲.里面讲到了三角形的面积公式. 孩子记住了公式挺高兴. 今早起床想了想觉得不对, 于是跟孩子聊了聊. 为什么三角形的面积是底乘以高除以2? 知道了底和高能否确定一个三角形? 知道了长和宽能否确定一个长方形? 把三角形转一转,底和高变了,面积是否改变?  聊完之后感觉孩子还学不了三角形的面积. 决定暂时不讲这本书了. 等孩子做好了准备我也做好了准备再讲吧..

回复 3681楼aochuanhui 的帖子

这就对了。反观之，跟那些号称在学龄前学会这个那个的，其实没法比较。因为要看延展的面是否宽，要看怎么学。而且，寥寥数语，我感觉到，这种心态也特别好。已入数学学习之佳境。.

我对你们所说的点和面的概念还是非常的模糊，jiangying说小学的知识点“ 各个知识点是隔离的，没有联系在一起，而且没有正确的一套推理体系”，怎么在我看来小学教材是螺旋式上升，慢慢由浅入深的在逐步推进呢？没有一二年级的加减乘除四则运算的基础，后面的知识怎么展开呢？家庭教育，怎么才能做到将一个问题慢慢展开，拓展开来讲呢？  
     一个问题如果深入挖掘，讲透彻的话会需要很多基础知识，不循序渐进的讲解，这个基础知识又是孩子现有条件下不具备的，这个问题我一直很困惑。仅仅提前引入概念，让孩子有个印象，我觉得效果应该不是很好。.

基础概念怎么教？ 并 回复 3683楼phoenixfeiyu 的帖子

基础知识怎么教？这个问题确实令人困扰。例如：
圆的数学定义：圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。根据定义，通常用圆规来画圆。
面积的数学定义：面图形的大小，叫做它们的面积（表示二维平面图形的大小）使定义语能真实揭示事物的本质属性，更合乎逻辑，因为“面”是“有长有宽没有高”的一种“形迹”，而这种形迹并不一定要是“平面”的。
速度的数学定义：速度表示物体运动的快慢程度。速度是矢量，有大小和方向，速度的大小也称为“速率”。物理学中提到的“速度”一般指瞬时速度，而通常所说的火车、飞机的速度都是指平均速度。在实际生活中，各种交通工具运动的快慢经常发生变化。

这些解释很复杂，从这些定义开始教，除了背，然后慢慢体会，没别的办法教。

如果真正是带孩子的，注意观察的话，很容易发现，孩子并不是通过这些枯燥乏味、无法理解的定义来掌握这些概念的，圆、面的大小、跑得快还是慢，实际上，孩子们先有体验，知道，但说不出，道不明。只有当他们学习到一定程度具备相当能力，才开始学着如何把体验（很可能是模糊的甚至是错误的）总结成精确的数学语言。有意思的是，人类的历史上，数学也是这么发展而来的。

在美国的学生用书中，可以非常清晰地看到这种教学的思路。例如，教十进制的进位，对一年级孩子来说，没法讲、没法解释，怎么办？就是让孩子们不断地去数各种各样的图形、物体，有意的让数量超过10、20、100。孩子们当然会遇到不够数、没法数的难题，然后，我们任由他们去想出各种办法解决，从这些解决办法中寻找有效的、合理的办法，在教学中予以突出。在这个过程中，孩子们一直都是可操作的，一直都在动脑筋。最终，孩子们的感觉是“我认为”、“我发现”，对数学知识的学习达到一种深刻地、心悦诚服地认同。

jiangying所说：小学的知识点“ 各个知识点是隔离的，没有联系在一起，而且没有正确的一套推理体系”，是指我们的学习方法或者说很多老师教法存在问题。错误的方法把本来是螺旋式上升逐步推进的数学系统，割裂成了孤立的知识点，甚至，可能采用了倒行逆施的方法。这种错误的方法不符合认识事物的基本规律，给孩子们带来的惩罚便是无法通过自我学习，理解和掌握更加高级的数学概念和知识。可能它不会影响到知识的运用，但肯定会影响到创造力。实际上，还有一个更严重的更普及的隐性的惩罚，即奴化。因为几乎所有的知识都是别人教给你的，而不是你独立思考的成果。被“教”的效率很高，不思考也很愉快地说，但长此以往，就像鸦片一样，孩子们被动地习惯性地等待被教，依赖于老师，最终完全丧失独立思考的能力。

所以，学习基本概念，正确的方法是从孩子的体验开始，圆从画圆开始，面积从比较两块平面图形的大小开始，速度从比较谁跑得快开始，一步步引导出他们的计算方法、单位、性质，要学过欧几里得几何，有相当的语言基础后，才开始引导他们去总结基本概念的精确的数学的定义。

不过，这种学习方法，在中国，指现在的爸爸妈妈，运用起来有难度。因为，我们这些爸爸妈妈接受的几乎全部是倒行逆施、快餐式的教学。也就是说，几乎要完全否定我们过去接受教育的方式。这，很难，非常难。就个人的体会，在跟孩子一起学数学前，经常要有意地忘记过去之所学，多跟孩子在一起，通过观察和交流了解孩子，不断尝试着以他们的角度去理解周围的世界，围绕那些基本概念提出或者仔细聆听孩子的问题等等，真正做到从体验出发，引导孩子学习基本概念。

在这个帖子里边有很多实例、对话，都在有意无意地遵循这个思路。读这些实例和对话，不必特别地关注细节，同样的课题，不同的爸爸妈妈、不同的孩子、在不同的场景下，总不相同。以小五生爸爸的经验，以这种方式学习数学，乐趣多多。多尝试，多体会，自然会达到随手拈来皆可研究的境界。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2011-9-3 10:14 编辑 [/i]].

谢谢ccpaping这么详细的解释。因为大学专业的不同，高等数学就学了一个学期，可以说是一窍不通，所掌握的数学知识估计就能对付考试。现在教女儿学数学忽然发现小学的数学也这么难，自己讲起来只能头痛医头脚痛医脚，问题是一个接着一个。无奈的是数学英语语文，都没有办法依靠学校，十八般武艺样样都要家长登场。只能硬着头皮上了。
   在这个帖子里看到了很多你和hxy007教孩子的实例，对这种学数学的方法逐渐有了感悟。不过实际操作起来还是的看个人的数学水平和对数学的理解。
   前面有一楼是你为儿子在小二学习几何做的准备工作，对我启发很大。我女儿现在也是小二生了，和你们开贴的时候你家的小二生的水平差别不是一点点啊！
  继续学习，和女儿共同进步。谢谢你的指导！.

谢谢各位前辈的精彩发言，自己的差距不是一点点啊。孩子今年小一，我要向大家好好学习，伴着她天天向上。.

一个打印坐标纸的网页，[url]http://www.printfreegraphpaper.com/[/url].

回复 3685楼phoenixfeiyu 的帖子

不要急，也不要去比较，也不要管别人学到哪里了。曾经有人做过研究，小学到高中的数学，只要高中两年就可以学完。

实际上，如 3681楼 @aochuanhui 遇到的情形，在较早开始数学教育时常常会遇到，而且常常要警觉到适可而止，常常要做的事情是等待。因为数学需要别的东西做底子，如体验，如语文的理解力，如英语带来的眼界等等，这些东西都是需要时间的积累。积累不到，再好的老师也没招的。当然，我不是建议说前面的数学都可以不认真学，只在高中最后两年下功夫，那肯定是不行的。因为积累需要各门学科齐头并进、相互促进。

另外，要对一门学科保持12年的兴趣，绝对不是件容易的事情。父母教了什么数学知识，这不重要。重要的是保持兴趣。只要有兴趣，给点阳光就能灿烂。例如，等到了小学四五年级，给他一本数学书，他能看下去，给他一本数学难题集，他能自己钻研下去，而别的孩子可能只是在应付作业、甚至根本就讨厌数学了。两种情形相较，数学水平孰优孰劣，立分高下。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2011-9-4 18:06 编辑 [/i]].

回复 3685楼phoenixfeiyu 的帖子

这个帖我看了几遍了, 没有完全领会,只有一些粗浅的理解:

1. 兴趣第一. 有了兴趣才能事半功倍,否则就是事倍功半. 要想保持兴趣首先需营造良好的家庭学习氛围, 隔离电视和游戏机. 读优秀的数学读本也是很重要的.

2. 从生活出发,在生活中学数学. 数学本来就是从生活中来, 在生活中学数学才能学到数学的本质, 而且不枯燥, 有助于保持兴趣.

3. 要学细学透,一定要明白为什么. 就像我要给孩子讲数学了,才发现自己当年很多东西都没搞懂, 不知道为什么面积等于长乘以宽, 为什么负负得正..

看了这么久的帖子，总算有了自己的亲子数学秀。
     大概的对话是这样的：
     昨天放学回家的路上，女儿看见有人骑着折叠自行车，自行车的轮子特别的小，羡慕的和我说：妈妈，这个自行车真好啊，我们买一辆吧！ 我当然是拒绝了，理由是：小自行车骑着费劲。就问女儿：你知道为什么小轮子的自行车骑着费劲吗？女儿想了想说：太矮了，坐着难受。想到自己苦读了这么长时间的帖子，又刚看了ccpaping讲周长和面积的帖子，这个机会正好讲讲圆的周长。
   回到家，我找出一个一分的硬币和一个五分的硬币，然后拿出一盒印泥。和女儿说，来我骑大车，你骑小车，我们看看谁骑得快吧。
  分别在每个硬币上做了一个起点，蘸上印泥，就开始跑了。跑完一张A4纸，
  我说：我骑了3圈多一点。 女儿说： 我骑了4圈多。
  我说，我只蹬了3圈，你怎么蹬了4圈啊？女儿说：是因为你的轮子大。 好了，我就问女儿为什么轮子大，走的就少呢？
  女儿不知道怎么表达周长这个词，但是和我说，轮子走一圈，就和硬币的这一圈一样长。 所以你骑得圈数少。
  然后我就把周长这个词告诉给她了。
     我觉得应该是还可以和女儿接着说点什么的，无奈我没有一桶水，只能把自己杯子里的一滴水给她了。.

[quote]原帖由 [i]phoenixfeiyu[/i] 于 2011-9-5 13:52 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8159109&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
看了这么久的帖子，总算有了自己的亲子数学秀。
     大概的对话是这样的：
     昨天放学回家的路上，女儿看见有人骑着折叠自行车，自行车的轮子特别的小，羡慕的和我说：妈妈，这个自行车真好啊，我们买一辆吧！ ... [/quote]
这个方法讲圆周长很有趣，我也可以这样和孩子玩一下.

回复 3690楼phoenixfeiyu 的帖子

有车吧？坐车时有没注意到里程表啊。问题在于，汽车下面没尺，他怎么知道汽车从这里到那里，走了多长呢？.

回复 3692楼ccpaging 的帖子

这个就在长安街上走一趟，当汽车走过雄伟壮丽的天安门广场时，我就把里程表清零计公里:lol 。这个正好可以讲讲中国公路“零公里”标志设置。
   我们测量出公里以后，难道回去量一下轮胎的周长，然后计算走了多少圈？我要是问女儿这个问题，估计会被女儿说很傻。。。。.

回复 3693楼phoenixfeiyu 的帖子

这一阵，我们家的在玩遥控直升机。
问：直升机为什么能飞上去？
答：拉加油拉杆。
问：晕。

问题是：里程表是如何计算汽车行驶了多少千米的？不妨猜一猜呢。.

天！我以为这个帖子已经停掉，换成初中的那个了。居然今天才发现在这里:Q.

*** 该贴被屏蔽 ***

数学起源简述

[url]http://images.cersp.com/article/3003/120000/120113/90003414/305/300846/20070823/1641026.html[/url]

[b]古代埃及数学  (Ancient Egyptian Mathematics)[/b]

    非洲东北部的尼罗河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500-3000年间，这里曾建立了一个统一的帝国。
    目前我们对古埃及数学的认识，主要源于两份用僧侣文写成的纸草书，其一是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书，另一份是约成书于公元前1650年的兰德(Rhind)纸草书，又称阿梅斯(Ahmes)纸草书。阿梅斯纸草书的内容相当丰富，讲述了埃及的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的应用。
    古埃及人使用象形文字，其数字以十进制表示，但并非位值制，而分数还有一套专门的记法。由埃及数系建立起来的算术具有加法特征，其乘、除法的计算也只是利用连续加倍的方法来完成。古埃及人将所有的分数都化成单位分数(分子为1的分数之和)，在阿梅斯纸草书中，有很大一张分数表，把分数表示成单位分数之和。
    古埃及人已经能解决一些属于一次方程和最简单的二次方程的问题，还有一些关于等差数列、等比数列的初步知识。
    如果说巴比伦人发展了卓越的算术和代数学，那么在另一方面，人们一般认为埃及人在几何学方面要胜过巴比伦人。一种观点认为，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。大水过后，法老要重新分配土地，长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学。
    埃及人能够计算简单平面图形的面积，计算出的圆周率为3.16049；他们还知道如何计算棱椎、圆椎、圆柱体及半球的体积。其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算，他们给出的计算过程与现代的公式相符。
    至于在建造金字塔和神殿过程中，大量运用数学知识的事实表明，埃及人已积累了许多实用知识，而有待于上升为系统的理论。

[b]印度数学  (Hindu Mathematics)[/b]

    印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和其它古老民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。但是，印度数学的发展也有一个特殊的因素，便是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。再加上佛教的交流和贸易的往来，印度数学和近东，特别是中国的数学便在互相融合，互相促进中前进。另外，印度数学的发展始终与天文学有密切的关系，数学作品大多刊载于天文学著作中的某些篇章。
    《绳法经》属于古代婆罗门教的经典，可能成书于公元前6世纪，是在数学史上有意义的宗教作品，其中讲到拉绳设计祭坛时所体现到的几何法则，并广泛地应用了勾股定理。
    此后约1000年之中，由于缺少可靠的史料，数学的发展所知甚少。
    公元5-12世纪是印度数学的迅速发展时期，其成就在世界数学史上占有重要地位。在这个时期出现了一些著名的学者，如6世纪的阿利耶波多(第一)(ryabhata)，著有《阿利耶波多历数书》；7世纪的婆罗摩笈多(Brahmagupta)，著有《婆罗摩笈多修订体系》(Brahma-sphuta-sidd'hnta)，在这本天文学著作中，包括「算术讲义」和「不定方程讲义」等数学章节；9世纪摩诃毗罗(Mah vira)；12世纪的婆什迦罗(第二)(Bhskara)，著有《天文系统极致》(Siddhnta iromani)，有关数学的重要部份为《丽罗娃提》(Lilvati)和《算法本源》(Vjaganita)等等。
    在印度，整数的十进制值制记数法产生于6世纪以前，用9个数字和表示零的小圆圈，再借助于位值制便可写出任何数字。他们由此建立了算术运算，包括整数和分数的四则运算法则；开平方和开立方的法则等。对于「零」，他们不单是把它看成「一无所有」或空位，还把它当作一个数来参加运算，这是印度算术的一大贡献。
    印度人创造的这套数字和位值记数法在8世纪传入伊斯兰世界，被阿拉伯人采用并改进。13世纪初经斐波纳契的《算盘书》流传到欧洲，逐渐演变成今天广为利用的1，2，3，4，…等等，称为印度－阿拉伯数码。
    印度对代数学做过重大的贡献。他们用符号进行代数运算，并用缩写文字表示未知数。他们承认负数和无理数，对负数的四则运算法则有具体的描述，并意识到具有实解的二次方程有两种形式的根。印度人在不定分析中显示出卓越的能力，他们不满足于对一个不定方程只求任何一个有理解，而致力于求所有可能的整数解。印度人还计算过算术级数和几何级数的和，解决过单利与复利、折扣以及合股之类的商业问题。
    印度人的几何学是凭经验的，他们不追求逻辑上严谨的证明，只注重发展实用的方法，一般与测量相联系，侧重于面积、体积的计算。其贡献远远比不上他们在算术和代数方面的贡献大。在三角学方面，印度人用半弦(即正弦)代替了希腊人的全弦，制作正弦表，还证明了一些简单的三角恒等式等等。他们在三角学所做的研究是十分重要的。

[b]阿拉伯数学  (Arabic Mathematics)[/b]

    从九世纪开始，数学发展的中心转向拉伯和中亚细亚。
    自从公元七世纪初伊斯兰教创立后，很快形成了强大的势力，迅速扩展到阿拉伯半岛以外的广大地区，跨越欧、亚、非三大洲。在这一广大地区内，阿拉伯文是通用的官方文字，这里所叙述的阿拉伯数学，就是指用阿拉伯语研究的数学。
    从八世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期，巴格达成为学术中心，建有科学宫、观象台、图书馆和一个学院。来自各地的学者把希腊、印度和波斯的古典著作大量地译为阿拉伯文。在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证和增补，大量的古代数学遗产获得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外来文化的基础上，迅速发展起来，直到15世纪还充满活力。
    花拉子米(Al-khowarizmi)是阿拉伯初期最主要的数学家，他编写了第一本用阿拉伯语在伊斯兰世界介绍印度数字和记数法的著作。公元十二世纪后，印度数字、十进制值制记数法开始传入欧洲，又经过几百年的改革，这种数字成为我们今天使用的印度─阿拉伯数码。花拉子米的另一名著《ilm al-jabr wa'lmugabalah》(《代数学》)系统地讨论了一元二次方程的解法，该种方程的求根公式便是在此书中第一次出现。现代“algebra”(代数学)一词亦源于书名中出现的“al jabr”。
    三角学在阿拉伯数学中占有重要地位，它的产生与发展和天文学有密切关系。阿拉伯人在印度人和希腊人工作的基础上发展了三角学。他们引进了几种新的三角量，揭示了它们的性质和关系，建立了一些重要的三角恒等式。给出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了许多较精密的三角函数表。其中著名的数学家有：阿尔巴塔尼(Al-Battani)、阿卜尔维法(Abu'l-Wefa)、阿尔比鲁尼(Al-Beruni)等。系统而完整地论述三角学的著作是由十三世纪的学者纳西尔丁(Nasir ed-din)完成的，该著作使三角学脱离天文学而成为数学的独立分支，对三角学在欧洲的发展有很大的影响。
    在近似计算方面，十五世纪的阿尔卡西(Al-kashi)在他的《圆周论》中，叙述了圆周率π的计算方法，并得到精确到小数点后16位的圆周率，从而打破祖冲之保持了一千年的记录。此外，阿尔卡西在小数方面做过重要工作，亦是我们所知道的以「帕斯卡三角形」形式处理二项式定理的第一位阿拉伯学者。
    阿拉伯几何学的成就低于代数和三角。希腊几何学严密的逻辑论证没有被阿拉伯人接受。
    总的来看，阿拉伯数学较缺少创造性，但当时世界上大多数地方正处于科学上的贫瘠时期，其成绩相对显得较大，值得赞美的是他们充当了世界上大量精神财富的保存者，在黑暗时代过去后，这些精神财富才传回欧洲。欧洲人主要就是通过他们的译着才了解古希腊和印度以及中国数学的成就。

[b]古希腊数学  (Ancient Greek Mathematics)[/b]

    古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴棣制城邦国组成，直到约公元前325年，亚历山大大帝(Alexander the Great)征服了希腊和近东、埃及，他在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城(Alexandria)。亚历山大大帝死后(323 B.C.)，他创建的帝国分裂为三个独立的王国，但仍联合在古希腊文化的约束下，史称希腊化国家。统治了埃及的托勒密一世(Ptolemy the First)大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟的博物馆和图书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界的学术文化中心，繁荣几达千年之久！
    希腊人的思想毫无疑问地受到了埃及和巴比伦的影响，但是他们创立的数学与前人的数学相比较，却有着本质的区别，其发展可分为雅典时期和亚历山大时期两个阶段。
    一、雅典时期(600 B.C.-300 B.C.)
    这一时期始于泰勒斯(Thales)为首的伊奥尼亚学派(Ionians)，其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。稍后有毕达哥拉斯(Pythagoras)领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。
    公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。
    埃利亚学派的芝诺(Zeno)提出四个著名的悖论(二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题)，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。智人学派提出几何作图的三大问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角。希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。正因为三大问题不能用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中，作出新的发现：圆锥曲线就是最典型的例子；「化圆为方」问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。
    哲学家柏拉图(Plato)在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。欧多克斯(Eudoxus)是该学园最著名的人物之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约量的比例理论。柏拉图的学生亚里士多德(Aristotle)是形式主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。
    二、亚历山大时期(300 B.C.-641 A.D.)
    这一阶段以公元前30年罗马帝国吞并希腊为分界，分为前后两期。
    亚历山大前期出现了希腊数学的黄金时期，代表人物是名垂千古的三大几何学家：欧几里得(Euclid)、阿基米德(Archimedes)及阿波洛尼乌斯(Appollonius)。
    欧几里得总结古典希腊数学，用公理方法整理几何学，写成13卷《几何原本》(Elements)。这部划时代历史巨著的意义在于它树立了用公理法建立起演绎数学体系的最早典范。
    阿基米德是古代最伟大的数学家、力学家和机械师。他将实验的经验研究方法和几何学的演绎推理方法有机地结合起来，使力学科学化，既有定性分析，又有定量计算。阿基米德在纯数学领域涉及的范围也很广，其中一项重大贡献是建立多种平面图形面积和旋转体体积的精密求积法，蕴含着微积分的思想。
    亚历山大图书馆馆长埃拉托塞尼(Eratosthenes)也是这一时期有名望的学者。阿波洛尼乌斯的《圆锥曲线论》(Conic Sections)把前辈所得到的圆锥曲线知识，予以严格的系统化，并做出新的贡献，对17世纪数学的发展有着巨大的影响。
    亚历山大后期是在罗马人统治下的时期，幸好希腊的文化传统未被破坏，学者还可继续研究，然而已没有前期那种磅礡的气势。这时期出色的数学家有海伦(Heron)、托勒密(Plolemy)、丢番图(Diophantus)和帕波斯(Pappus)。丢番图的代数学在希腊数学中独树一帜；帕波斯的工作是前期学者研究成果的总结和补充。之后，希腊数学处于停滞状态。
    公元415年，女数学家，新柏拉图学派的领袖希帕提娅(Hypatia)遭到基督徒的野蛮杀害。她的死标志着希腊文明的衰弱，亚历山大里亚大学有创造力的日子也随之一去不复返了。
    公元529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼(Justinian)下令关闭雅典的学校，严禁研究和传播数学，数学发展再次受到致命的打击。
    公元641年，阿拉伯人攻占亚历山大里亚城，图书馆再度被焚(第一次是在公元前46年)，希腊数学悠久灿烂的历史，至此终结。
    总括而言，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富，不论从数量还是从质量来衡量，都是世界上首屈一指的。比希腊数学家取得具体成果更重要的是：希腊数学产生了数学精神， 即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关重要的作用。而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的不可抗拒的规律性等一系列思想，则在人类文化发展史上占据了重要的地位。

[b]美索不达米亚的数学  (Mathematics in Mesopotamia)[/b]

    亚洲西部的底格里斯河与幼发拉底河之间的两河流域，古称为「美索不达米亚」。公元前十九世纪，这里建立了巴比伦王国，孕育了巴比伦文明。
      考古学家在十九世纪上半叶于美索不达米亚挖掘出大约50万块刻有楔形文字、跨跃巴比伦历史许多时期的泥书板。其中有近400块被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板，现在关于巴比伦的数学知识就源于分析这些原始文献。
    算术
    古代巴比伦人是具有高度计算技巧的计算家，其计算程序是借助乘法表、倒数表、平方表、立方表等数表来实现的。巴比伦人书写数字的方法，更值得我们注意。他们引入了以60为基底的位值制(60进制），希腊人、欧洲人直到16世纪亦将这系统运用于数学计算和天文学计算中，直至现在60进制仍被应用于角度、时间等记录上。
    代数
    巴比伦人有丰富的代数知识，许多泥书板中载有一次和二次方程的问题，他们解二次方程的过程与今天的配方法、公式法一致。此外，他们还讨论了某些三次方程和含多个未知量的线性方程组问题。
    在1900 B.C.-1600 B.C.年间的一块泥板上(普林顿322号)，记录了一个数表，经研究发现其中有两组数分别是边长为整数的直角三角形斜边边长和一个直角边边长，由此推出另一个直角边边长，亦即得出不定方程的整数解。
    几何
    巴比伦的几何学与实际测量是有密切的联系。他们已有相似三角形之对应边成比例的知识，会计算简单平面图形的面积和简单立体体积。我们现在把圆周分为360等分，也应归功于古代巴比伦人。巴比伦几何学的主要特征更在于它的代数性质。例如，涉及平行于直角三角形一条边的横截线问题引出了二次方程；讨论棱椎的平头截体的体积时出现了三次方程。
    古巴比伦的数学成就在早期文明中达到了极高的水平，但积累的知识仅仅是观察和经验的结果，还缺乏理论上的依据。

[b]罗马和欧洲中世纪的数学  (Mathematics in Roma and medienal Europe)[/b]

    罗马人活跃于历史舞台上的时期大约从公元前七世纪至公元五世纪。他们在军事上和政治上曾取得极大成功，在文化方面也颇有建树，但他们的数学却很落后，只有一些粗浅的算术和近似的几何公式。著名的科学书籍有维特鲁维尼斯的《建筑十书》(公元前14年)。书中比较注重处理数学问题，使用了建筑物的平面体和立视图，可以看到画法几何的萌芽。此外，罗马人对历法改革也有一定的贡献。
    从西罗马帝国灭亡(公元476年)到11世纪称为欧洲的黑暗时期。西欧文化处于低潮，基督教的绝对统治严重地破坏了科学发展。这一时期只出现少数几位热心学术的学者和教士：殉道的罗马公民博埃齐(Boethius)，英国的教士学者比德(Bede)和阿尔克温(Alcuin)，著名的法国学者、教士热尔拜尔(Gerbert)──他后来成了教皇西尔维斯特二世(Pope Sylvester II)。
    十二世纪是数学史上的大翻译时期，是知识传播的世纪，由穆斯林保存下来的希腊科学和数学的经典著作，以及阿拉伯学者写的著作开始被大量翻译为拉丁文，并传入西欧。当时主要的传播地点是西班牙和西西里，著名的翻译家有巴思的英国修士阿德拉特(Adelard)、克雷莫纳的格拉多(Gherardo)、切斯特的罗伯特(Robert)等等。
    意大利的斐波那契(Fibonacci)是中世纪最杰出的数学家。他早年到各地旅游，经比较后确认印度—阿拉伯数码及其记数法在实用上最为优越，回到家乡后写成《算盘书》(Liber abaci，1202)。这部书是讲算术和初等代数的，虽说实质上是独立的研究，但也表现出受花拉子米(Al-knowarizmi)和阿布卡密耳(Abu Kamil)的代数学的影响。这部书对印度─阿拉伯数码的详尽叙述和强列支持，是有助于将这些符号引进欧洲的。斐波那契的另两部著作《实用几何》(Practica geometriae，1220)和《象限仪书》(Liber quadratorum，1225)是专门讨论几何、三角学和不定分析，同样是有独创性的著作。
    十四世纪相对地是数学上的不毛之地，这一时期最大的数学家是法国的N·奥雷斯姆(Oresme)，在他的著作中，首次使用分数指数，还提出用坐标表示点的位置和温度的变化，出现了变量和函数的概念。他的工作影响到文艺复兴后包括笛卡尔在内的学者。
    十二世纪后，欧洲各地出现了许多从原教会学校基础上转变而来的大学。十三世纪上半叶，巴黎、牛津、剑桥、帕多瓦和那不勒斯等地的一些大学里，数学教育开始兴起，这些大学成为后世数学发展的重要基地。

[b]中美洲的数学  (Mathematics in Central America)[/b]

    古代美洲文明是世界文明的重要组成部份。公元前1000年左右，中美洲兴起了玛雅文化，公元300-900年间是玛雅文化的全盛时期，之后便渐渐衰弱。对这里数学的了解，主要来自一些残剩的玛雅时代的石刻和几种玛雅文古抄本：德累斯顿抄本、马德里抄本、巴黎抄本等。
   早在公元最初的几个世纪里，玛雅人就创立了以地球围绕太阳旋转一周作为一年的「太阴历」，比古代希腊、罗马人的历法还要精确。与此同时，玛雅人创造了独特的以20进位的位值制计数法。他们用三个符号分别表示1、5和0，别的数字就由这三个符号组合。
    到了20则进位。玛雅人加减法的运算比较简单，与阿拉伯数码的运算相同。对于乘除法运算，已发现的玛雅文献中还没有见到有关的例子。
    玛雅人对形的认识，只能从玛雅古建筑中体会到一些，这些古建筑从外形看都很整齐规范。

[b]文艺复兴时期的数学  (Mathematics in the Renaissance)[/b]

    十四至十六世纪在欧洲历史上是从中世纪向近代过渡的时期，史称文艺复兴时期。中世纪束缚人们思想的宗教观、神学和经院哲学逐步被摧毁，出现了复兴古代科学和艺术的文化运动。在自然科学方面，如哥伦布地理上的大发现、哥白尼的日心说、伽利略在数学物理上的创造发明等革命性事件相继发生。
    这一时期，在数学中首先发展起来的是透视法。艺术家们把描述现实世界作为绘画的目标，研究如何把三维的现实世界绘制在二维的画布上。他们研究绘画的数学理论，建立了早期的数学透视法思想，这些工作成为十八世纪射影几何的起点。其中最著名的代表人物有：意大利的达芬奇(Leonardo da Vinci)、阿尔贝蒂(Leone Battista Alberti)、弗朗西斯卡(Piero della Francesca)、德国的丢勒(Albrecht Durer)等。
    文艺复兴时期更出版了一批普及的算术书，内容多是用于商业、税收测量等方面的实用算术。印度─阿拉伯数码的使用使算术运算日趋标准化。L·帕奇欧里(Pacioli)的《算术、几何及比例性质之摘要》(Summa de arithmetica，geometrica，proportioni et proportionalita，1494)是一本内容全面的数学书；J·维德曼(Widman)的《商业速算法》(1489)中首次使用符号「+」和「-」表示加法和减法；A·里泽(Riese)于1522年出版的算术书多次再版，有广泛的影响；斯蒂文(Simon Stevin)的《论十进》(1585)系统阐述了十进分数的理论。
      代数学在文艺复兴时期获得了重要发展。最杰出的成果是意大利学者所建立的三、四次方程的解法。卡尔达诺在他的著作《大术》(Ars magna，1545)中发表了三次方程的求根公式，但这一公式的发现实应归功于另一学者塔尔塔利亚(Tartaglia)。四次方程的解法由卡尔达诺的学生费拉里(Ferrari)发现，在《大术》中也有记载。稍后，邦贝利(Bombelli)在他的著作中阐述了三次方程不可约的情形，并使用了虚数，还改进了当时流行的代数符号。
    符号代数学的最终确立是由16世纪最著名的法国数学家韦达(Viete)完成的。他在前人工作的基础上，于1591年出版了名著《分析方法入门》(In artem analyticam isagoge)，对代数学加以系统的整理，并第一次自觉地使用字母来表示未知数和已知数，使代数学的形式更抽象，应用更广泛。韦达在他的另一部著作《论方程的识别与订正》(De aequationum recognitione et emendatione，1615)中，改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。
    在文艺复兴时期，三角学也获得了较大的发展。德国数学家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus)的《论各种三角形》(De triangulis omnimodis)是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。书中对平面三角和球面三角进行了系统的阐述，还有很精密的三角函数表。哥白尼的学生雷蒂库斯(George Joachim Rhaeticus)
    文艺复兴时期在文学、绘画、建筑、天文学各领域都取得了巨大的成就。数学方面则主要是在中世纪大翻译运动的基础上，吸收希腊和阿拉伯的数学成果，从而建立了数学与科学技术的密切联系，为下两个世纪数学的大发展作了准备。

[b]日本数学  (Mathematics in Japan)[/b]

    人类从何时才开始定居于日本列岛，至今仍无定论。公元四世纪中叶，日本建立了第一个统一的国家。在十世纪以前，日本主要吸收外来的文化。中国、朝鲜和印度的文化对日本都有很大的影响，十世纪以后，真正的日本文化才发展起来。日本数学的繁荣则更晚，是十七世纪以后的事。
    日本人把受西方数学影响以前，按自己的特点发展起来的数学叫和算，也算日本传统数学。十七世纪后期至十九世纪中叶是和算的兴盛时期。
    和算在中国古代数学的影响下发展起来。公元六世纪始，中国的历法和数学就直接或间接地(通过朝鲜)传入日本，日本政府亦多次派留学生到中国唐朝学习数学。到八世纪初，日本已仿照隋唐时期的数学教育制度设立算学博士并采用《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《缀术》等中国古算书作为教材，这是中国数学输入日本的第一个时期。
    十三至十七世纪，是中国数学传入日本的第二个时期，《杨辉算法》、《算学启蒙》、《算法统宗》等陆续传入日本，对日本数学的发展有重要的影响。吉田光由的《尘劫记》(1627)使珠算术在日本迅速得到普及，其内容与《算法统宗》极为相似，只是其中许多例题是根据日本的实际情况编写的。这时期还有几本着作是专门介绍和解释《算学启蒙》的。
    十七世纪初，日本数学家开始写出自己的著作，如毛利重能的《割算书》(1622)、今村知商的《竖亥录》(1639)等。到十七世纪末期，通过关孝和等人的工作，逐渐形成了日本数学体系──和算。
    关孝和在日本被尊为「算圣」，十七世纪末到十八世纪初，以他为核心形成一个学派﹝关流﹞，这一学派的主要成就是「点窜术」和「圆理」。「点窜术」是把由中国传入的天文术改为笔算，并改进了算式的记法，是和算特有的笔算代数学。「圆理」可看作是和算特有的数学分析。建部贤弘求得弧长的无穷级数表达式，又称圆理公式。久留岛义太推广了圆理公式，发展了圆理的极数术(极值问题)，并在西方数学家之前发现了欧拉函数和行列式展开定理。关氏学派的第四代大师安岛直圆深入到微积分领域，提出一种求弧长的方法；又将此法推广，形成二重积分，求出了两相交圆柱公共部份的体积。晚期的关氏学派数学家和田宁进一步改进了圆理，使计算弧长、面积、体积等问题更加简化，他使用的方法和现在积分法的原理相近。
    除了关氏学派外，还有一些较小的学派。他们总结了和算中的各种几何问题；深入研究了计算椭圆、球面等面积和体积的公式；探讨了代数方程理论等等。
    十九世纪中叶，日本政府采取了开国政策，西方数学大量传入。明治维新时期，日本政府实行「和算废止，洋算专用」政策，和算迅速衰废(只有珠算沿用至今)，同时开始了近代数学的研究。时至今日，日本已步入世界上数学研究先进国家的行列。.

在图书馆看到有新版《要命的数学》， 16开的，我以前买的是32开的。现在新版本比以前的大，阅读起来舒服多了，而且价钱一样。 唉，亏了，提醒大家注意买新版的，别再买旧版本了。.

回复 3697楼ccpaging 的帖子

这段内容和我小时侯看的《数学五千年》很相似。最近在新浪的Ishare里看到有PDF下载的。
里面关于数字的起源印象最深，结绳计数法和契形文字的烧制方法后来在大英博物馆和柏林的Pergamon博物馆都看到了。
为什么没有人推荐《唐老鸭漫游数学奇境》的呢？我有次找过视频，不过都不够清晰，国内还没有修复版的DVD卖，小时候看过这个动画之后，对哲学和数学都产生了浓厚的兴趣。实在是很经典的。.

[quote]原帖由 [i]dfdyping[/i] 于 2011-9-15 16:03 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8188316&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
这段内容和我小时侯看的《数学五千年》很相似。最近在新浪的Ishare里看到有PDF下载的。
里面关于数字的起源印象最深，结绳计数法和契形文字的烧制方法后来在大英博物馆和柏林的Pergamon博物馆都看到了。
为什么没有 ... [/quote]
请问《唐老鸭漫游数学奇境》适合多大的小朋友观看？.

回复 3699楼dfdyping 的帖子

有下载，VCD画质，在这个帖子里边有讲到《唐老鸭漫游数学奇境》。.

[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2011-9-15 16:12 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8188353&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

请问《唐老鸭漫游数学奇境》适合多大的小朋友观看？ [/quote]

一般情况下，初中比较合适。.

回复 3701楼ccpaging 的帖子

搜索了一下旺旺看到了。那个版本以前下载过，看了有损兴趣。还是到Amazon上买一个正版的。.

回复 3702楼ccpaging 的帖子

我大约是在小学中年纪看的。.

回复 3702楼ccpaging 的帖子

那《火星娃勇闯魔晶岛》怎么样呢？有人看过吗？
[url]http://baike.baidu.com/view/1124139.htm[/url].

回复 3510楼ccpaging 的帖子

这个真是说的太好了!  

好久没来, 竟然不知道数学社又开张了, 喜啊!

儿子过年要上学了, 幼儿园最近在学计算。他对笔算很不感冒，属于原理知道，但计算很不熟练的那种。我也觉得光学计算没什么大意思，三位数还是四位数，到了年龄没有不会的。.

牛贴呀，今天终天注册成正式会员了，要一楼一楼的爬，慢慢学．.

说明太好了，深刻体会到学习的乐趣呀.

2012新一天

欢迎各位新童鞋
恭祝老童鞋新年快乐.

各位新老同学，新年快乐！.

LZ强的！我们家是小三的女生，收藏了慢慢看，谢谢分享！.

回复 3709楼hxy007 的帖子

老七，帮帮忙。应用题会做，但不会列正确的算式，怎么解决？

小明手里有13支铅笔，丢了几支，现在还剩6支，问：丢了几支呢？

小朋友写：13-7=6支，结果吃了个大叉。要求订正为：13-6=7支

我朋友的孩子在著名的民办小学读书，开学没多久，练习卷上就有这样的题目：

从篮子里拿走3个苹果，又放进4个苹果，现在有8个苹果，问：原来有几个苹果？

我拿这道题目问自家小朋友，伊凝视片刻，说出“7”。让伊列算式，写成“7-3+4=8个”，我一看，和第一题的思路完全一致，可是这样写答案也是不行的。

个么，到底应该哪能写呢？感觉小朋友无师自通地这样写，数学语言是清晰的。如果反过来写，比如第二题，8-4+3=7，我这么大一个人，一时间脑子也别不过来（不过我一向数学白痴的）。

求教大家。.

回复 3711楼不不园 的帖子

小明手里有13支铅笔，丢了几支，现在还剩6支，问：丢了几支呢？
小朋友写：13-7=6支，结果吃了个大叉。要求订正为：13-6=7支
＝＝》小朋友写的对，符合逻辑。要吹毛求疵的话，可以写成：13 - (7) = 6。

从篮子里拿走3个苹果，又放进4个苹果，现在有8个苹果，问：原来有几个苹果？
我拿这道题目问自家小朋友，伊凝视片刻，说出“7”。让伊列算式，写成“7-3+4=8个”
＝＝》小朋友写的对，符合逻辑。要吹毛求疵的话，可以写成：(7)-3+4=8个。.

回复 3712楼ccpaging 的帖子

新年好呀，侬动作老快额。

可是，老师好像是以=号后面的那个数字为正确答案的，你看到我写了，第一题被要求订正为13-6=7支。

我知道老师的想法和小朋友的想法各有道理，但是我也是有点钻牛角尖的人，觉得从数学语言的角度来看，小朋友写的，或者说你给加工过的、加了括号的，才是真正合乎逻辑的。我们家小朋友语言表达不行，第二题问他怎么想的，不知道说了一通什么，但我猜想他不自觉地用到了X（看了你们前面的帖子，知道这个x在五年级之前是洪水猛兽，不许随便用的）。.

回复 3713楼不不园 的帖子

“知道这个x在五年级之前是洪水猛兽，不许随便用的”，没这个说法。2－3年级就有专门这种题了，例如，( )-3=4。
怎么解释，能让孩子接受老师的算式，颇费思量。可以试试逆推。也就是把拿苹果的过程先顺着演示一遍，再倒过来演示一遍。.

到这个贴来祝007和CC 新年快乐!

进来得晚, 这个贴还没看地完. 不过买了<可怕的科学>这套书, 小女喜欢得不行. 我也开心得不行.

谢谢二位一直坚持此贴, 让我们这些后来妈妈们也能受益!.

回复 3713楼不不园 的帖子

孩子的思维非常好，非常自然。老师打叉叉，是不对的。可以让孩子请教下老师，问问，我错在哪里啊。
其实，孩子有很好的代数思维，保护它，不要让老师的叉叉给灭了。.

回复 3715楼唐丫妈妈 的帖子

家的小五，哎，时光荏苒，一晃，都长的快跟俺一般高了。家的小五生最近又对《可怕的科学》中的数学部分产生了浓厚的兴趣，一直在看。.

哪一页是小熊捡糖法啊？找了我眼睛都花了。.

回复 3718楼猪太太太 的帖子

什么问题？.

思考的深度与规范的表达

[quote]原帖由 [i]不不园[/i] 于 2012-1-4 23:32 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8447060&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
老七，帮帮忙。应用题会做，但不会列正确的算式，怎么解决？

小明手里有13支铅笔，丢了几支，现在还剩6支，问：丢了几支呢？

小朋友写：13-7=6支，结果吃了个大叉。要求订正为：13-6=7支
[/quote]
　　孩子没有错，教老师的要求也没有错！
　　孩子能够用自己的方法找到正确答案，应该得到肯定；但是孩子的解题思路（数学）思维还有可提升的地方，解题思路的表达方式还有可规范之外，所以老师的要求是对的。但是，不能仅仅是订正，还要让孩子理解这个订正的道理是什么。
　　小朋友的解13-(7)=6，是直接根据题意（“小明手里有13支铅笔，丢了几支，现在还剩6支，问：丢了几支呢？”）直接列出的算式。
　　订正的解13-6=7，是根据题意作了进一步思考列出的算式——[color=Blue][b]铅笔总数减去剩下的铅笔数，它们的差就是丢失的铅笔数[/b][/color]。
　　订正的用意有两个：
　　第一，引导孩子逐渐学会进一步理解题意。不能题目怎么说就怎么列算式，有的时候先要对题意进行信息加工再列算式。这是今后学好数学的关键之一，所以不满足于孩子现在能够用自己的方法找到正确答案，而要从长远看一道题的[b][color=Blue]训练价值[/color][/b]。
　　第二，引导孩子学会规范地表达数学算式。现在的课本和教学有从13-(7)=6逐渐过度到13-6=7的设计，学13-(7)=6最终是为了学13-6=7。如果在13-(7)=6上训练过度，就会形成一种思维定势，从而难以接受13-6=7。[b]等号之前的算式应该是题目已知条件之间的运算，等式之后才是题目问题的答案[/b]，所以13-6=7才是本题规范的数学表达。小朋友应该逐渐习惯这种表达规范。

　　当然，这是小学算术应用题的规范。到了学代数方程就不必如此了——
　　设小明丢失了x支铅笔，根据题意得方程：13-x=6
　　等式两边减6得：13-x-6=0
　　等式两边加x得：x=13-6
　　呵呵，这不就是老师要求订正的13-6=7么？

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2012-1-8 15:56 编辑 [/i]].

加减互逆与儿童的可逆性思维

[quote]原帖由 [i]不不园[/i] 于 2012-1-4 23:32 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8447060&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
我朋友的孩子在著名的民办小学读书，开学没多久，练习卷上就有这样的题目：

从篮子里拿走3个苹果，又放进4个苹果，现在有8个苹果，问：原来有几个苹果？

我拿这道题目问自家小朋友，伊凝视片刻，说出“7”。让伊列算式，写成“7-3+4=8个”，我一看，和第一题的思路完全一致，可是这样写答案也是不行的。
[/quote]
　　同样的道理，小朋友解(7)-3+4=8并没有错。如CC所言，其中还包含朴素的代数思维x-3+4=8。但是，小朋友学这个东西还太早，现在他在学算术！
　　如果小朋友对题意进行了信息加工，就可能会想到：[b]原有的苹果数，就是现有的8个苹果，加上拿走的3个苹果，减去后来放进去的4个苹果[/b]。因此，8+3-4=7.
　　这个信息加工过程，对于我们成年人来说非常简单，对于一年级的孩子来说却非常难。
　　第一，它是个加减混合算式，小朋友脑子容易搞乱；
　　第二，它是逆向思维——[b]拿走的苹果要放回篮子，放进篮子的苹果要拿走，这样才能算出原有的苹果数[/b]！心理学研究表明，7岁左右的孩子一般还没有这种可逆性思维，即使有也不熟练。
　　这种算术题就是在促进孩子的可逆性思维发展，就是在促进孩子更加熟练地使用可逆性思维。
　　这就是数学的发展价值和训练价值。
　　所以，不能满足于孩子能够以(7)-3+4=8搞定这道题，从发展的眼光看，孩子应该逐渐掌握8+3-4=7所需要的可逆性思维。.

一年级要注意的一个数学符号“＝”

一年级主要有“+”、“-”和“＝”等。其中“＝”符号，容易被忽视。例如：
5+5=( )+4=(  )+3=( )

Alex 错误的写成了：
5+5=(10)+4=(14)+3=(17)

为什么会出现这样的错误呢？因为 Alex 把“等于”的概念理解成了“结果是”。小学老师建议我跟 Alex 讲讲天枰，最好是玩玩天枰，这样的话，有助于小一生理解“＝”号的数学意义。顺着这个思路做下去，像 hxy007 前面示范的标准方程式解法就容易理解和掌握了：
       设小明丢失了x支铅笔，根据题意得方程：13-x=6
　　等式两边减6得：13-x-6=0
　　等式两边减x得：x=13-6

那种“移位变号”，“开括号变号”的方法只是一种基于道理的技巧。教技巧而没有教道理，同学就很难理解和接受。.

回复 3722楼ccpaging 的帖子

这个题跟我们一年级时错得一模一样.

昨天看了Page 9的无穷大问题, 回家也和姑娘切磋了一下.
开始问她1/0等于几, 伊刚"0".
再问1/0.1等于几, "不知道",
再问1/1等于几, "1",
那么1/10呢. "0.1",对了,
那么1/0.1呢, "噢, 是10",
接着问下去, 她也发现1除以0.0..001 结果就等于100..00无限大下去. 那么1/0就肯定不等于0, 而是无限大下去了. 她对这个发现挺惊喜的. 晚上捧着<可怕的数学>又痴笑了一顿, 被我逼着早早睡了.

我真的很开心看到这个贴子还有买了那一套书, 之前跟你交流过对数学的困惑. 现在我有点开窍了. 要好好谢谢你和007的分享[em08].

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2012-1-6 09:04 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8449855&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

　 等号之前的算式应该是题目已知条件之间的运算，等式之后才是题目问题的答案[/quote]

明白了，小朋友就是凭直觉列出了算式，没有理解你强调的这句话，这个要假以时日自己慢慢摸索的。

很惭愧，我这个学期还没翻看过他们的数学书，完全放羊了，接下来应该介入了。.

回复 3722楼ccpaging 的帖子

这个错误很有参考价值。回头我来问问我们家这个从来没有接受过思维训练的孩子，估计会同样跌入陷阱里。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2012-1-6 09:38 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8449994&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
一年级主要有“+”、“-”和“＝”等。其中“＝”符号，容易被忽视。例如：
5+5=( )+4=(  )+3=( )

Alex 错误的写成了：
5+5=(10)+4=(14)+3=(17)

为什么会出现这样的错误呢？因为 Alex 把“等于”的概念理解成 ... [/quote]

这类型的题目我们一年级的试卷上出现过多次！孩子一开始总是写了得数。

后来我跟他讲：= 的意思就是左边数等于右边数。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2012-1-5 21:31 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8449412&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
什么问题？ [/quote]

记得007有个讲小学数学的贴，
里面举的例子是“小熊分糖”，很管用。基本小学里面涉及的所有代数问题都可以化成“小熊分糖”的方法去理解。
我家女儿现在四年级，我家的小熊就分了四年的糖==============================================================
这位妈妈介绍您的这个小熊分糖法非常好，我想学习一下。可楼太高了，看得我眼花啊！是否可以指点一下在第几楼啊？

这栋楼真是让家长们受益匪浅。.

[quote]原帖由 [i]猪太太太[/i] 于 2012-1-8 00:28 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8453259&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]


记得007有个讲小学数学的贴，
里面举的例子是“小熊分糖”，很管用。基本小学里面涉及的所有代数问题都可以化成“小熊分糖”的方法去理解。
我家女儿现在四年级，我家的小熊就分了四年的糖=================== ... [/quote]
会不会是这个？——
[url]http://321ww.net/viewthread.php?tid=4684070&page=1#pid6023210[/url].

小熊分糖与寓理于算 并 回复 3727楼猪太太太 的帖子

新的教科书跟我们原来20年前的教科书相比，有一个很大的不同，那就是引进了情景教学，多了小明、小亚、小胖等角色。数学是抽象的，但这个抽象是基于具像的。一开始学习数学的时候，数字6，童鞋是无法想象和运算的，如果你告诉他，这是指6颗糖或者6个苹果，他就可以想象和运算了。

又比如，童鞋问，在计算“1+6+9”的时候，能不能把前面的“1”和“9”先加起来呢？这时，老师和家长都不应该简单的回答“可以”或者“不可以”，而是引导童鞋自己去思考并得出结论。这时，就要用到“小熊分糖”的故事了：

小熊妈妈给了小熊1颗糖，小熊爸爸给了小熊6颗糖，小熊奶奶给了小熊9颗糖、、、

讲完故事，童鞋自己就得出结论了。

在小学低年级，可能主要是老师和爸爸妈妈讲数学故事，到了小学高年级，鼓励孩子自己编故事。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2012-1-9 11:36 编辑 [/i]].

谢谢2位的回复，我要静下心来好好看这个帖子！.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-10-9 15:16 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=3652323&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

　　我不知道我孩子的数学老师有没有这样教他，但我相信合格的数学老师都会这样教。问题就在于，今天有多少数学老师合格？他们自己相信数学是很有趣东东吗？他们相信数学启蒙时期最重要的是呵护和培养孩子的数学兴 ... [/quote]LZ,我觉得这话有点偏激，老师用这种方法教，需要给老师和学生时间，可是现在的数学教材里的内容需要老师在限有的时间里把一本书教完，很多老师都是为了赶进度。.

回复 3731楼蓝雪珈珈 的帖子

所以，问题出在老师是为了赶进度。换句话说，家长要关注老师的教学质量，而不是催促孩子或者老师的进度。.

儿子被窝里的两个数学问题
1. 儿子: 4的一半是几?
    妈妈: 2呀
  儿子: 那不对呀, 2的前面只有1个, 后面有2个, 为什么2是一半呢?
    妈妈: 2前面是1个, 加上"2"自己是2个吧, 2后面有2个, 不正好是一半吗?
    又验证了6的一半是3,  结论是这个半数得算在前边一半里.
2. 儿子: 77的一半是几?
    妈妈: 76的一半是几知道吗?
   儿子:不知道
  妈妈:38,  77比76还多1,  那77的一半是?
   儿子:38.5!  那不对,77比76对1, 为什么77的一半38.5只比76的一半38多0.5, 为什么不多1呀?
   妈妈: 我们用5和4来说吧,  5比4多1, 5的一半2.5比4的一半2多0.5,  前面一半多0.5,后面一半也多0.5,加起来不正好多1吗?
  儿子:什么前一半, 后一半的?
   想拿实物来比画, 可已经睡下了, 只有手指头.
   我出5根手指头, 嘟嘟出4根, 差1根. 我把2个手指头弯下去, 中指弯一半,表示0.5,  儿子也把2个手指弯下去.
   妈妈:" 现在我站着的手指头还有2.5,  你站着的有2个, 是不是差0.5? 再看弯下去的, 我也是2.5, 你也是2个,  也差0.5,  加在一起正好差1个。明白了吗?"
    儿子:"明白了."
   不知道是不是真明白了, 儿子的一半靠排队来理解的, 各位大侠能不能指点一下, 我这么解释有问题吗?.

回复 3733楼程嘟嘟妈妈 的帖子

儿子:38.5!  那不对,77比76对1, 为什么77的一半38.5只比76的一半38多0.5, 为什么不多1呀?
============================================================================
这是个问题，也是个猜想。如果我们把它作为猜想，可以采用“破”的方法。前提是孩子已经有了正确的理解。所谓先立而后破也。
程嘟嘟妈妈 用的是“立”的方法，即引导孩子，告诉孩子什么是正确的。
不过，作为一个完整的探究，这是不够的。因为数学需要质疑，要养成孩子质疑的习惯和素质。

首先，要允许孩子提出类似这样的疑问。不能直接说孩子是错的，还不讲错在哪里。最好是根本就不要说孩子是错的。
其次，孩子不说，家长就要说。例如，还是这个问题，儿子说，76的一半是38，问77的一半是多少？家长就回答，39呗。

提出猜想或质疑了以后，应该怎么办呢？验证啊。猜想，验证，发现错误，这样，永远正确的康庄大道走过，错误的岔道也看到过了，这样对问题的探究也就更加全面和完整了。.

回复 3734楼ccpaging 的帖子

谢谢您及时的回复, 儿子有疑问我是很开心的, 说明他在思考, 我也能从中窥视一点孩子的想法.
但如果我问答他77的一半是39，小孩子很实诚，也许他会信以为真，就不和你讨论下去了。我最多只能说：“我们试试看39对不对。”

我觉得儿子是把“半数”和“位置中间的数”混淆了，所以他明知道4的一半是2，又觉得2不在数列的中间点上，如果0也算在数列里，这个2倒是在中间了。这样的话，77的中间数落在38-39中间。

[[i] 本帖最后由 程嘟嘟妈妈 于 2012-3-1 15:13 编辑 [/i]].

回复 3735楼程嘟嘟妈妈 的帖子

我最多只能说：“我们试试看39对不对。”
=================================
是的。重点在于，我们要让孩子在“试试看”的过程中，自己去发现自己的谬误，从而建立正确的概念。由质疑而认同，避免被灌输或被注入。清楚一点，“灌输”正确的知识也是“灌输”。这样做的缺点在于，一旦他习惯了“灌输”，那些不正确的东西也很容易“灌输”进去。而通过自己的质疑而认同，那就不一样了。.

回复 3736楼ccpaging 的帖子

谢谢，受教，让孩子勇于质疑。.

回复 3735楼程嘟嘟妈妈 的帖子

我觉得你儿子困惑于4的一半是几的时候, 你应该简化问题, 问他: 2的一半是几. 得不出结论的话就先搁置下来, 把问题留给他. 最好的情况是在白天没事时他自己能思考一下这个问题, 晚上你再用饼干等实物和他试验一下, 或者设计一个小游戏来体会这个问题.

你儿子一下子算不出76的一半是几, 说明他还不熟练. 应该平时加强用棋子饼干等多多实验, 在玩中学.

五年级：爷爷的年龄是小明的年龄的7倍（一）

昨日，闲来无事，在网上溜达。突然，QQ发出了敲门声。点开一看，表弟发来了紧急求助：
表弟：哥，救救我，这道题怎么做啊？
我：别急，慢慢说。
表弟：爷爷的年龄是小明的年龄的7倍。过了几年，爷爷的年龄是小明的年龄的6倍。再过了若干年，分别是5倍、4倍、3倍、2倍。
我：哦，这道题蛮难的。几年级的？
表弟：我儿子的，H，小学五年级。
我：那开语音吧。我把 Alex 也叫来，大家一起做。

于是，我们三人，通过QQ聊了起来。H说，他先用了方程式，发现不行。问 Alex，也两手一摊，没有办法。那怎么办啊？我也没办法啊。急了。于是我说，猜吧，这就是被办法的办法了。
我：那从哪儿猜起呢？爷爷一般多大。
H：总要50多吧。
Alex：那就从56猜起吧。
我：为什么是56，不是51、52、53呢？
H笑了：爷爷的年龄是小明的年龄的7倍。你说的数不是7的倍数，所以不能用。
我：为什么一定要是7的倍数呢？
Alex：年龄必须是整数。如果爷爷的年龄不是7的倍数，小明的年龄就算不出来了。
我：我明白了。那就56开始吧。

H一边做，一边念叨：
爷爷56岁，小明8岁，7倍。
爷爷57岁，小明9岁，不行。
爷爷58岁，小明10岁，不行。
爷爷59岁，小明11岁，不行。
爷爷60岁，小明12岁，5倍。

我：停。5倍了啊。
Alex：不对啊，没有6倍。
H：是啊。
我：再检查下呢？
H：确实没有6倍。猜下一个数吧。
我：哦，那，说不定过一会儿会出现6倍呢。
H：不可能。
我：为什么不可能呢？
Alex：倍数只会越来越小啊。
H：对的。
Alex：做下一个数，70，怎么样？
H：我觉得，还是按顺序做吧。
我：我也觉得，应该按顺序做，否则，万一错过了，容易忘了，找不回来。

经过约半小时的试算，我们终于找到了正确答案。其间，H差点放弃，赶紧叫H爸来帮忙。一个人算，一个人检查+鼓励，多不容易啊。
看看时间差不多了，暂时封盘吧。于是，我让他们，把正确答案做一张列表，把其中的每一个数字都分成因子，然后再好好想想，看看能发现什么。

等大家散开，我看到QQ上表弟的留言：“他们刚学了公因数和公倍数，是不是跟这个有关啊？”当然有关系啦，这道题就是麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”的变种：
    过路的人！
    这儿埋葬着丢番图。
    请计算下列数目，
    便可知他一生经过了多少个寒暑。
    他一生的六分之一是幸福的童年，
    十二分之一是无忧无虑的少年。
    再过去七分之一的生命旅程，
    他建立了幸福的家庭。
    五年后儿子出生，
    不料儿子竟先于父亲四年而终，
    年龄不过父亲享年的一半，
    晚年丧子老人真可怜，
    悲痛之中度过了风烛残年。

表弟：那你为什么不直接告诉他们呢？
我：如果我告诉他们了，他们就不用动脑筋了。
表弟：哦，原来如此。儿子的老师就说过，这个孩子蛮聪明的就是不动脑筋。
我：是啊。原来的题目简单，你都讲给他听，他怎么动脑筋呢？
表弟：现在不行了。五年级就这么难了，我也不会做了。
我：好。那就对了。以后碰到难题QQ吧，让他跟Alex一起研究。
表弟：那就拜托了。
我：没事儿。这题还没做完，等他们再想想。过几天再来讨论。.

mark

好贴，有时间慢慢研究。.

[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2012-3-1 17:00 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8560041&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
我觉得你儿子困惑于4的一半是几的时候, 你应该简化问题, 问他: 2的一半是几. 得不出结论的话就先搁置下来, 把问题留给他. 最好的情况是在白天没事时他自己能思考一下这个问题, 晚上你再用饼干等实物和他试验一下, 或 ... [/quote]

对的。不告诉他正确的答案是什么。而是告诉他一种可以找到答案的方法。例如用糖果饼干棋子试试看。久而久之，当他脑子里边出现了疑问时，就不是在第一时间问家长或者老师了，而是自己一个人寻找答案。这就是自主学习啊。.

回复 3738楼aochuanhui 的帖子

你好，我觉得他主要的困惑不在于4的一半是几，这个以前就找过答案了，而是为了引出后面的问题，半数和中位数的矛盾。其实后面那个问题我觉得也有关联，他关心的不只是76,77的一半数字是多少，而是既然整个队列是相差1个，那一半的队列也应该相差1个。

如果不是已经睡下，我觉得饼干更容易解释，分不开可以掰一半。谢谢。.

这帖子置顶了。好啊。[:sz17:].

回复 3743楼采桑子 的帖子

不好意思，是我的错。现在已经纠正了。.

勒内-笛卡尔 谈谈方法mp3合集

[url]http://ishare.iask.sina.com.cn/f/8190110.html[/url]

也许这并不是一个适合听的资料。不过这本书对于理性的建立非常重要。适合初中生看。.

回复 3739楼ccpaging 的帖子

给孩子出了这道题。
孩子想了一下说：少了一个条件，少了爷爷现在的年龄。
我说：那你猜猜看。
过了一会儿孩子猜出来了，我问他：你是怎么做出来的？
孩子说：爷爷一般6，7十岁，我先猜63不对，然后猜70就对了。
我又问：那有没有其他答案呢？
孩子说：有，爷爷140岁，小明20岁.

回复 3746楼aochuanhui 的帖子

能详细评价一下，3739#，我记录的过程吗？.

回复 3747楼ccpaging 的帖子

那我就随便评价一下。

对一道题能算30分钟，说明有耐心有学习意愿，孺子可教。
但是在解题过程中没有主动动脑的习惯，说明学习习惯不好。比如，从7倍到5倍，中间没有6倍，那就应该停下来了。这一点alex表现不错。 验证6倍时从57开始，然后58，59，60。。。，如果动脑的话，应该只找6的倍数，57，58，59就不必验证了
另外，这么简单的计算还要人帮忙检查，说明计算基本功不够好。
光说缺点了，见谅。

丢番图的“墓志铭”在数学书籍上看到过几次，让孩子试过，不用方程难度太大.

回复 3748楼aochuanhui 的帖子

是的。如果我们直接把规律交给他们，让他们知道，我们几乎就不会发现他们的问题，而他们也不能自知。更谈不上对缺点有所补益。

更重要的时，短短的30分钟，他们不知不觉做了多少计算，猜想、做、检查、反思的探究环节齐备，还有乐趣。

实际上，这还仅仅是（一），让他们先飞起来，飞一会儿。.

回复 3749楼ccpaging 的帖子

如果多进行这样的探究，肯定会有很大的帮助吧。 期待（二）早点儿到来！.

回复 3750楼aochuanhui 的帖子

是啊，我也期待着呢。尽管我早就想好要怎么做了。为什么没让童鞋们做呢？等他们先想想，先飞一会儿，而且还要等一个合适的足够的时间、他们又有兴致的时候。就像是妈妈辛苦烧好红烧肉了，端在孩子嘴巴边上，他吃起来，其实不香。要他刚运动过，饿了，哭着喊着要吃了，那吃什么都是好吃的。

挺浪费时间，是吧？对了，教育是奢侈的，教育就是浪费时间。关键是让孩子在一次探究中能真正得到东西，重要的东西，而不是公式啊知识点啊这些神马浮云。忘了，再加一个－－“乐趣”。我又贪心了。:P

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2012-3-6 16:39 编辑 [/i]].

mark.

真是个好贴，以前怎么就没有发现呢。刚扫完一遍，已经收益匪浅了。准备再第二遍精读:).

回复 1楼hxy007 的帖子

谢谢了.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2009-2-17 12:16 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=4434252&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

　　这个老师，是在教孩子走数学的正道。探究的过程，既让孩子因体验到成功的快乐，喜欢数学且充满自信，也让孩子在寻找正确答案的过程中学习和体会数学的思维与方法。
　　我大学一位老师，当年教导我们：

　　知识固然重要
　　比知识更重要的是方法
　　比方法还重要是世界观、人生观、价值观

　　诚哉，斯言！

　 ... [/quote]

中夜推枕，重读老帖。对于小升初中的家长和孩子，这三句话振聋发聩。.

[quote]原帖由 [i]Aron妈妈[/i] 于 2012-3-31 10:02 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8633656&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
真是个好贴，以前怎么就没有发现呢。刚扫完一遍，已经收益匪浅了。准备再第二遍精读:) [/quote]
嗯，这个楼里的帖子适合慢慢地读，细细地品。
有想法时，请不要吝啬，请写在这里，与当年的发帖者交流，会相互启发，引出更多有意思有意义的发言。.

回复 3756楼hxy007 的帖子

处在小升初，回头看去，滋味又不一样咯。
一二三年级，发挥家长的作用，减少对学校和老师的依赖，四五年级，家长则要往自主学习上引导，使同学进入初中后，能够靠自己。

相信自学的可能，逐渐具备自学的能力，名校和名师就不那么重要了。.

好贴，永远置顶！！.

很高兴地学习了解，谢谢！.

回复 3751楼ccpaging 的帖子

今天才细读了这个贴子,好在时间正合适,那些困惑着我的问题,前辈们一一经历,所以也就释然了....

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2012-4-12 08:40 发表 [url=http://321ww.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8659360&ptid=4564875][img]http://321ww.net/images/common/back.gif[/img][/url]

嗯，这个楼里的帖子适合慢慢地读，细细地品。
有想法时，请不要吝啬，请写在这里，与当年的发帖者交流，会相互启发，引出更多有意思有意义的发言。 [/quote]

好像启蒙这一段讲的不多，小学三年级以前。数学本身可讲的也许不多，但误区比较多。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2012-4-12 05:56 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8659266&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]


中夜推枕，重读老帖。对于小升初中的家长和孩子，这三句话振聋发聩。 [/quote]
曾在一公办学校的帖子内与CC数学家讨论”小学的孩子未能发现自我，只因其未能建立起稳定的人生观和价值观“。CC轻轻点过，未做正面答复，原以为CC对人生观和价值观的话题无甚兴趣，不料此处见到，原来CC还是将人生观和价值观放在很高的位置的。.

好贴,007坚持继续哦.

超级好贴，慢慢看。不错，学习苦得话，还是不要学了，不会有什么好结果的，我们需要学得开心。.

*** 该贴被屏蔽 ***

回复 3765楼perfeiti 的帖子

*** 该贴被屏蔽 ***

从绘本到尺子

我们在读绘本《凯迪和一场很大的雪》:雪越下越大，越积越厚，one foot ,two feet ,three feet~~~

孩子想知道一英尺到底是多少高，去查了牛津辞典，答案是1英尺=12英寸。我还记得1英寸大概是2.5厘米，就直接告诉了他。然后问他：那1英尺是多少厘米呢？12个2.5，一个还没有学乘法的孩子要怎么解决呢？

他说：“你等一下，两个2.5我知道的，就是5。”接下来，长时间的沉默，最后：“是不是30？”问他思考过程，他说，我就老老实实地2个2个加。总算没有加错。

突然，他很兴奋地爬到柜子上拖下来一把尺：“看看，这把尺就是一英尺。”这把平时用的尺，确实是30cm，他很高兴地拿着贴着自己的腿比划了一下，有了感性的认识，一英尺的积雪原来有这么高。.

one feet跟它的英文原意“一脚”有没有关系呢？

记得我们小时候，做游戏需要测量长度时经常找不到尺子，就便使用了两个计量单位，（手）“大卡”和“脚”。体育课上，老师喜欢用“拳”“肘”“臂”作为计量单位。.

回复 3768楼ccpaging 的帖子

百度上有，传说是当时英王为结束关于度量标准的争吵，伸出御足：“众爱卿莫争，朕一个大脚，就算从此后普天下的一个计量标准了”。.

回复 3769楼不不园 的帖子

那么，问题就来了。用脚来量长度，这是很自然很简单的事情啊，有什么可争吵的呢？

不妨找个空闲的时间，大家穿越到那个没有尺子的时代，看看究竟会发生什么事情？.

这儿帖子太好了,学习一下.

留印~学习中.

先收藏了，以后要用的.

好贴.真的应该好好的精读..

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2012-1-6 09:38 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8449994&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
一年级主要有“+”、“-”和“＝”等。其中“＝”符号，容易被忽视。例如：
5+5=( )+4=(  )+3=( )

Alex 错误的写成了：
5+5=(10)+4=(14)+3=(17)

为什么会出现这样的错误呢？因为 Alex 把“等于”的概念理解成 ... [/quote]
那种“移位变号”，“开括号变号”的方法只是一种基于道理的技巧。[color=Blue]教技巧而没有教道理，同学就很难理解和接受。[/color]深以为然。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2012-2-21 11:23 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8535476&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
所以，问题出在老师是为了赶进度。换句话说，家长要关注老师的教学质量，而不是催促孩子或者老师的进度。 [/quote]
进度的问题不是由教师决定的，其实原本应该由教育的基层实践者和执行者教师决定的。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2011-8-31 18:51 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8145382&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]


甚是。因为考试是唯一标准，所以，过份注重表面的技术，不能静下心慢慢推敲，找到事务的内在联系。也因为急功近利的心态，总想着尽快让孩子学会这个学会那个，没有给学生留下思考顿悟的时间和空间。具体到家庭教 ... [/quote]
适合基础教育的各个阶段，形成网，多方位思考。.

这么好的帖子，打算从头开始看起.

潛心學習.

回复 3778楼junhuayang2005 的帖子

你以前居然没看过？.

[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2012-6-29 16:58 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8833077&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
你以前居然没看过？ [/quote]
可不是一般的长 ，需要耐心的，看过一点点。.

数学是一门极有魅力的学科，发散性思维培养很重要。
想当年高考数学145分帮我拉上重本。
好好学习.

回复 3782楼KathyKathy 的帖子

那怎么培养发散性思维呢?.

回复 3783楼aochuanhui 的帖子

这个从哪说起，我也没仔细想过。
不过兴趣培养是首位
然后
就“从这个复杂的世界中找到解决办法，可以分为四个步骤：确定目标，找到最高效的方法，发现适用于这个方法的新技术，同时最聪明地利用现有的技术，不管它是复杂的药物，还是最简单的蚊帐。”
这是比尔·盖茨在哈佛大学毕业典礼上演讲原话，
有利形成发散思维[:sz21:].

数学启蒙，记录一下留给他爸看.

回复 3784楼KathyKathy 的帖子

在探究问题时：
鼓励孩子提出自己的想法。肯定孩子的想法，不管这个想法，在你看来是多么无聊。如果是错误的想法，也不要直接指出来。
顺着孩子的思路走。如果是不正确的想法，就让错误在探究的过程中自然呈现出来，让孩子自己去纠正。.

回复 108楼hxy007 的帖子

中学时老师留了一本一本的练习，我列了算式就没了兴趣，那是确实有做难题做出来后那种满足感，挺好的。
大学时的物理老师常常说，这是一个美妙的现象，美妙的理论，能把枯燥的内容和过程看得美妙是不会觉得痛苦的吧。.

回复 3787楼hgao0636 的帖子

人天生就有好奇心和理性需求。
这种好奇心和理性需求得到满足，自然是一件开心的事的。
可惜，现在有许多老师不相信这些。.

收藏，学习!.

回复 3788楼hxy007 的帖子

看了这个帖子，很觉得受启发，兴奋地想用启发式教学引导儿子思考，但是遭遇一轮失败，儿子不愿意思考，问他问题直接回答不知道就没了下文，反而在外出路上装做随意地样子和他讨论，他很兴奋地说你出的题太简单了，少年宫老师出过更难的，小朋友都答不出来。不知道是思考太少了没有了习惯还是受挫折太多了放弃了。实在不知道下一步怎么做，是不是真得把他做的题都看看掌握动态才行。向你请教。谢谢.

回复 3790楼hgao0636 的帖子

我认为一开始时，应该先在外围做准备，在生活中装做随意地把数学一点点放进游戏中，让孩子没有注意到这是在学数学，一点一点的慢慢渗透，等到孩子对数学有兴趣了再正面交流。 就像鬼子进村，先悄悄的进村，打枪的不要，最后再正面强攻。.

回复 3790楼hgao0636 的帖子

这个帖子里边，好像说到过两种启发方式。
第一种是孔子式的，等孩子来问问题。
第二种是苏格拉底式的，主动向孩子发问。

你试过的是哪一种呢？.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2012-8-24 13:07 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8926547&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
这个帖子里边，好像说到过两种启发方式。
第一种是孔子式的，等孩子来问问题。
第二种是苏格拉底式的，主动向孩子发问。

你试过的是哪一种呢？ [/quote]
　　第一种启发式，就是向孔子学习，“善待问”，做天下最懒的父母或老师。
　　第二种启发式，就是向苏格拉底学习，“善追问”，做天下最笨的父母或老师，即使自己上知天文下知地理，也装着不知道，一个劲地向孩子请教。.

回复 3793楼hxy007 的帖子

懒的父母或老师，才能带出勤奋的孩子或学生。
笨的父母或老师，才能养成智慧的孩子或学生。

有时也可以这么说，如果孩子不够勤奋不够智慧，很可能是父母或老师在懒和笨上做的不够。在教育上，越位了，喧宾夺主了。对十几岁的孩子来说，已经被教育了若干年，要再把懒和笨的结果归因于天赋，缺乏说服力。

要当父母或老师教育孩子，首先要能够自我教育。而要自我教育，就要直面自己的问题，绝不能找借口推卸。.

请教ccpaging、hxy007、火车是运茶的等诸位高手

小儿进入一年级开始我关注此贴，跟着诸位确实较好引导了小家伙的数学兴趣，多谢诸位呀！现在想请教各位，除了要命科学里经典数学一套、《啊哈，原来如此》和《啊哈，灵机一动》还有什么值得推荐的经典好书吗？这几本他从一年级开始反复看，确实爱不释手，不过现在已经对我没有增加新书很不满了，说家里数学书太少了，恳请各位再推荐几本不错的数学书，谢谢！.

回复 3795楼gengbaobao 的帖子

《天哪！数学原来可以这样学》、《原来数学这么有趣》，这两本书跟小学数学教学配合的比较好。“可怕的科学－经典数学”可以反复看。
另外，一些游戏活动，例如下棋、玩扑克、折纸、乐高，也有利于数学学习。.

谢谢，《天哪》好像买过，《原来数学这么有趣》我回头找找。
怪不得我们家小子对下棋、玩扑克和折纸都非常感兴趣，乐高他也很喜欢，不过我比较小气，当年没有让他去上乐高课，还是有点对不住他的。.

回复 3797楼gengbaobao 的帖子

一年级嘛，玩是天性。作为家长，不是跟这种天性作对，而是适当地引导和妥协。既让孩子玩了，顺应了他的天性，也学到一些东西。
在大学里边，数学系的人基本上都会桥牌、围棋、中国象棋、国际象棋中的一样。.

回复 3797楼gengbaobao 的帖子

CC有个小失误,那本不叫《原来数学这么有趣》, 而是《原来数学超有趣》. 另外, 安野光雅的数学绘本系列是很有趣的..

回复 3799楼aochuanhui 的帖子

《原来数学这么有趣》，是美国人写的。
《哈哈，数学原来超有趣》，是韩国人写的。.

回复 3800楼ccpaging 的帖子

看了一下，《原来数学这么有趣》好像比《哈哈，数学原来超有趣》更好一些，看来我得买一本来。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2012-8-24 13:07 发表 [url=http://www.ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8926547&ptid=4564875][img]http://www.ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
这个帖子里边，好像说到过两种启发方式。
第一种是孔子式的，等孩子来问问题。
第二种是苏格拉底式的，主动向孩子发问。

你试过的是哪一种呢？ [/quote]


我取了两个好听的名字

孔子的方式：充大爷。
老苏的方式：装孙子。.

回复 59楼hxy007 的帖子

笑死我了。.

回复 3802楼jiangying 的帖子

[quote]原帖由 [i]jiangying[/i] 于 2012-8-31 10:09 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8938359&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

我取了两个好听的名字

孔子的方式：充大爷。
老苏的方式：装孙子。 [/quote]

不完全对。反过来也许要贴切些。

善待问，老师可以不全懂，但掌握基本的方法，可以跟孩子一起探究，教学相长。
善提问，对老师的要求很高，因为要把你想对学生说的话，以提问的方式表达出来，又要应付学生出乎意料的回答。实际操作中，老师必须做充分的准备，要全面，要善于抓住回答中的闪光点 ...

007前面说，孔老师“懒”，苏老师“累”，不无道理。以个人经验看，对待小学生，要多学孔子，跟着孩子一起出发去探究。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2012-8-28 09:50 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8931796&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
《原来数学这么有趣》，是美国人写的。
《哈哈，数学原来超有趣》，是韩国人写的。 [/quote]

书名是不是：《发现数学，原来数学这么有趣》？美-帕帕斯　.

发重了...

[[i] 本帖最后由 fang17 于 2012-9-7 14:53 编辑 [/i]].

回复 3805楼fang17 的帖子

我只看过《哈哈，数学原来超有趣》，这本书是韩国人写的。.

[quote]原帖由 [i]c4vp00[/i] 于 2012-9-12 14:17 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8965058&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
看完也是项工程 [/quote]
有空时就看一看。此帖不适合一口气看完。慢慢看。.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2012-9-12 20:50 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8966004&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

有空时就看一看。此帖不适合一口气看完。慢慢看。 [/quote]

遇到一道难题，尝试了下。要做苏格拉底，必需对问题有仔细的研究，然后设计出由浅入深地设计一系列问题，比较累，比较难。.

回复 3805楼fang17 的帖子

《发现数学，原来数学这么有趣》, 买了这本书，看了一下，难度太大，太简略，不适合小学生阅读.

儿子终于上了一年级, 看到老师发了一张卷子, 有一题画了一个空鱼缸和4条金鱼,  老师先批了一个叉后来又圈掉,打了一个勾.  看到儿子本来写的是1+4=5,  后来擦掉改了0+4=4.  好象这个帖子里也有过讨论的，可以重温一遍了..

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2012-8-26 18:15 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8929124&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
《天哪！数学原来可以这样学》、《原来数学这么有趣》，这两本书跟小学数学教学配合的比较好。“可怕的科学－经典数学”可以反复看。
另外，一些游戏活动，例如下棋、玩扑克、折纸、乐高，也有利于数学学习。 [/quote]

乐高对于学数学有用么??.

回复 3813楼mandolin 的帖子

有助于建立空间想象力和逻辑。.

小朋友赖在这里看贴就不肯走了，送花先。.

[quote]原帖由 [i]mandolin[/i] 于 2012-11-7 15:28 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9056816&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]


乐高对于学数学有用么?? [/quote]
有用。但是，要到中学才能看到当年孩子玩乐高的作用。.

[quote]原帖由 [i]阳光妞妞[/i] 于 2012-11-29 01:45 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9088692&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
小朋友赖在这里看贴就不肯走了，送花先。 [/quote]
小朋友爱好的话，就是对本帖莫大的鼓励了。
报道一点细节，好么？.

回复 3818楼hxy007 的帖子

前天晚上，小朋友第一次来看这个贴，趴在这里一个多小时，一口气看到第十页。我告诉他贪多嚼不烂，好东西要慢慢看。
我问他，有啥收获没？他说很好看，象是一本中国版的《可怕的数学》。然后说前十页里提到的知识点他基本上都知道，期待下面有更好玩的。
昨天今天晚上都要下棋，估计没时间来了，周末让他自己向你汇报情况。.

真希望能成书印一本，先预定.

看了这个帖子 决定放弃实验学校

本人是搞教育的 ，因此教育圈子的朋友和关系比较多。
有了宝宝之后还利用工作方便，考察了不少学校，一直随着宝宝的成长在调整对她学校的选择，看了这个帖子以后 更加坚定了放弃了送我家小猫去上实验的想法了。

孩子出生以后 ，搞英语教育的我 比较注意早期语言敏感期的培养，所以英语和语文的功夫花得比较足，而数学方面就花得比较少。（现在每天临睡前 ，她给我念一本英文的分层读物绘本，我给她念一本中文绘本。）主要是从孩子的早期智慧的反展而言，我一直认为数学也是一种语言 ，只是它更为抽象而精确，不到一定的年龄难有感觉。加上mm自己是文科生，baba是个自称数学很好的博士，所以指望数学启蒙可以交给BB。

可是没有想到，进入4岁以后宝宝仍然对数缺乏基本的感觉。爸爸教书绝对是不得其法。就基本按照我们小时候训练口诀的方法在教她背，根本谈不到这帖子里几位牛爸所花的心思。每每突然抱住女儿，说我是恐怖数学花，如果你回答不出问题你就走不了了。以至于女儿听到数学就要逃。上个月满五岁了，10以内的加减都还完全没有概念，我和她打牌争上游才发现。数字对于我女儿来说，还只是个名字。她都不知道为什么9要排在8的后面，9和10 谁比较大。老公天天唉声叹气，说她是个笨蛋。我急了，才会上旺旺来找办法，实际上我是从一个选择学校的帖子追到这个帖子来的。收益非浅。

本来想明年大班把女儿送外面培训学校去提前加强一下，争取找关系塞进上实验，因为这个学校数学强，想着给她补补弱项。而且这个学校是10年制的，想着女儿可以少读两年书起初觉得也是个乐事，每年想进这个学校的家长也是很多啊。

但是这个帖子让我反省了自己的数学学习过程。
我自己是典型的幼儿园里提前学过口诀，语文理解能力比较好，小学数学所向披靡，但是其实完全没有明白数学的玩法的学生。因此到了初中，几何，代数一出现就开始从100分掉到了7-80分的中等水平 不过靠着语文和英语的优势，我还是努力把自己考进了当地最好的高中。91年，高一，我靠猜题瞎蒙考进了奥数班。班主任是个奥数专业户。每个月他按数学考试成绩排一次座位，个字矮小的我逐步被换到了 几乎是最后一排。数学考不过50分在我们那个班是非常正常的事情。我这个一向的好学生，开始极其厌学，甚至上课睡觉。
高一结束，作为我的奥数班主任看不上的学生，我被踢到了文科班。90年代的时候，读理科才是考大学的康庄大道。高一暑假父母跟我商量不要读书了，去读个技校或者中专 早点工作。我的羞耻感被唤醒了，决定自我拯救一把。于是我把高一的数学书拿出来，一个单元一个单元自己自学，就从书上最简单的题做起，然后再另外买了一本数学辅导书，老老实实一道一道从最简单的做起。大概就属于几个大牛说的，最笨的方法去理解运算原理吧。一个暑假坚持下来，立体几何似乎就突然开窍了。我得感谢我们那个时代，补课找家教还不那么普遍，我有了这么一个自我琢磨和折腾的机会。整个高二我都在自学高一的教材，一直追到高二下，我居然变得非常喜欢数学了。自己找到方法解对一道题的那种快感真的是无法形容。

至今记得到了高三，数学老师在黑板上写了一道题，然后就给我们全班10分钟看谁先能解答出来。我很快就解答出来了 ，想举手示意老师。我旁边的男同学打击我，说个我堵5块钱，我肯定是错的。那个时候5块钱也算不小的赌注啊。我那时候不知道哪里来的自信就同意打赌。老师看了我的解体过程宣布我是对的，我那个得意劲啊，所以到今天还记得。后拉高考，不用说，老师平时的题海战术题目比高考题目容易多了。可以说容易到我觉得我三年白死了那么多脑细胞做那么多难得题目 ，还把那些怪题难题，像搜集邮票似的抄了厚厚的几个笔记本。结果高考150分的卷子，我提前半小时交了卷子，一出考场就知道自己自己至少能考135分，一进家门就知道自己只能考115分，因为太容易了 ，我居然把最后一个证明题，证明充分非必要的一道题给证写反了。

总之，我一直认为，如果我没有进那个奥数班，我的老师只是按照正常的进度和难度教我， 我一样也能体会并在高考之前掌握那些数学考点，而不至于差点整个对自己失去了信心。事实上，因为数学的自学和自我探究过程，不仅让我自己找到了数学的快乐，还找到了自我学习的方法。

所以 最为搞英语教育的我 一直力图影响周围的朋友 早一点开发孩子对英语的早期听力敏感期，但是数学我似乎要提醒自己，宁可慢一点。并最终决定放弃提前学太多，进名校学的想法。决定在区里找一所排名靠前但不是顶尖，班级人数少，重视阅读和体育的小学了。

但是数学的启蒙对于我来说 还是个新的learnning curve 打算每天都抽空来读一遍这个帖子，期待楼主的小册子问世啊

。

[[i] 本帖最后由 cynsiasmile 于 2013-1-13 00:52 编辑 [/i]].

重启“数学启蒙”话题：回复 3821楼cynsiasmile 的帖子

　　读了你的数学自传感慨万千。尽管你有不快的经历，但说到底你还是非常幸运的，能够在高中阶段找到数学的感觉（而一般的人在反复打击之下，从迷惘到绝望到放弃）。顽强地自学，是其中的关键。你的成功经验告诉今天的孩子，即使初中数学没有怎么开窍，到高中也来得及追赶上。毕竟中学数学就那么一点点东西，对于开窍的人来说，三下五除二就可以打通诸多关节，学起来，其速度之快，可谓一日千里。
　　另外，小朋友的数学启蒙需要耐心和智慧，五岁的孩子顶多算是刚刚开始非正式的数学启蒙，说人家数学好或不好都为时尚早。但数学启蒙确实是要当心，像你家先生那样做法，从心理学上说就是在数学与恐惧之间建立一种人为的联系——条件反射，对孩子杀伤力太大。这个楼里好像交流过数学启蒙的一些思路和法子，你也可以说说你的经验和教训，重新启动这个话题。.

[quote]原帖由 [i]sisi爸[/i] 于 2013-1-1 16:34 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9137467&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
真希望能成书印一本，先预定 [/quote]
[quote]原帖由 [i]cynsiasmile[/i] 于 2013-1-13 00:35 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9154908&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
……数学的启蒙对于我来说 还是个新的learnning curve 打算每天都抽空来读一遍这个帖子，期待楼主的小册子问世啊
[/quote]
呵呵，前面也有旺友提议，自己也动过这个的念头。可总是找不到时间，希望今年能够了此心愿。.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2013-1-13 10:56 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9155062&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]


呵呵，前面也有旺友提议，自己也动过这个的念头。可总是找不到时间，希望今年能够了此心愿。 [/quote]

预定2本。.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2013-1-13 10:56 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9155062&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
呵呵，前面也有旺友提议，自己也动过这个的念头。可总是找不到时间，希望今年能够了此心愿。 [/quote]

需要做秘书类的工作，录入啊，整理啊，配图啊，吱一声。鼎力相助。.

受益匪浅。谢谢！.

受教了！.

看了差不多两年，终于把这个帖子看完了，好贴啊:victory: 受益匪浅:victory:.

不是人人都是天才的

这一世的天才，也是上一世刻苦得来的。少说风凉话吧。不刻苦是不会提高的，你也不过是在原有的水平上玩而已，要提高，没有人能不刻苦。.

[quote]原帖由 [i]babybaobao2000[/i] 于 2013-2-1 22:25 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9183273&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
这一世的天才，也是上一世刻苦得来的。少说风凉话吧。不刻苦是不会提高的，你也不过是在原有的水平上玩而已， [/quote]
估计你没有像楼上那位朋友那样花两年时间“刻苦”看这个帖子，所以都被你臆想成了“风凉话”。
你那么相信“刻苦学习”，咋不“刻苦”看完这个帖子再作评论呢？
好吧，也不能强求你了解我的真实意思，那就让我试着理解你的意思吧。
请问：你说“要提高，没有人能不刻苦”是什么意思？能举些例子说明一下么？

[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2013-2-2 19:07 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]marryyangcn[/i] 于 2013-2-1 17:27 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9182995&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
看了差不多两年，终于把这个帖子看完了，好贴啊:victory: 受益匪浅:victory: [/quote]
祝贺你并向你致敬！.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2013-2-2 19:04 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9183706&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

估计你没有像楼上那位朋友那样花两年时间“刻苦”看这个帖子，所以都被你臆想成了“风凉话”。
你那么相信“刻苦学习”，咋不“刻苦”看完这个帖子再作评论呢？
好吧，也不能强求你了解我的真实意思，那就让我试 ... [/quote]

这刻苦的意思，估计大家的标准不一样。比如有2个学生，一个学生会花费2个小时弄懂一道题，也就是这个道题所有涉及的知识面、延伸的、拓展的、加深的，他都有兴趣进行研究并化为己有；另一个学生会花费2个小时做上20道数学题、甚至30、40题，做得越多越有成就感，心里也越踏实。这两个学生都应该算刻苦吧，只是学习的方法不一样。

所以，建议主题应该更改为学习方法论，比较合适。:).

[quote]原帖由 [i]hxwcwctt[/i] 于 2013-2-14 16:25 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9191623&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
所以，建议主题应该更改为学习方法论，比较合适。[/quote]
对不起，实难从命。
如果阁下能耐心看完本楼的帖子，会发现本人始终反对的就是“刻苦”学习，尽管也讨论学习方法，却是在说享受学习过程和结果的方法，而不是刻苦的方法。
阁下对刻苦学习如此钟情，何不举若干个刻苦学习的成功栗子说服我等对刻苦有偏见之人？.

无意中又翻看这个帖子，再一次为情人节大聚会未成感到惋惜！.

回复 1楼hxy007 的帖子

老7，我家也是自己琢磨的，18*6=（10+8）*6。据说课本里目前还没有出现这种方法，小朋友的思路，貌似来自最基本的10的拆分，这个是在一年级反复强调的。

深感搞清楚基础概念的重要。.

回复 3835楼不不园 的帖子

孩子学数学，如果以吃饭来比拟，那么老师教就是“喂饭”。要引导孩子自己吃饭就很难。当时的心情，饱饿的程度，饭菜的口味，适合用筷子还是勺子等等，都有影响。大人还要忍受各种拖沓，混乱。
要想高效简单，毫无疑问的选择，喂他吃。这是教育中很有诱惑力的想法。但是于孩子的将来是不利的，喂饭的人也累，且不符合孩子自我发展的要求，必将陷入冲突不断的困境。.

回复 3821楼cynsiasmile 的帖子

好久不改进这个贴，今天从最后一页读起，居然看到了您的这个大长贴，激起来偶本来就很旺盛的表达欲，哈。

这个妈妈真了不起，能靠自学搞定数学。爸爸也真有趣，“恐惧数学花”都想得出来，哈哈。.

努力和刻苦绝对不是一回事

努力不可或缺，刻苦，能避免还是避免吧.

[quote]原帖由 [i]不不园[/i] 于 2013-2-15 00:44 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9191845&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
老7，我家也是自己琢磨的，18*6=（10+8）*6。据说课本里目前还没有出现这种方法，小朋友的思路，貌似来自最基本的10的拆分，这个是在一年级反复强调的。

深感搞清楚基础概念的重要。 [/quote]

如你所说，数学的基础概念确是小学的重点。小学数学对应的是萌芽期的数学。那时的数学尚未成形，各种知识，还有非数学的，都混为一坛。而数学之所以为数学，自定义、公设、公理开始。其中定义便是这所说的概念。
基本概念的重要性说清楚了，下一步就是怎么学习的问题了。个人以为，小学中起始的数学概念一定要基于生活的经验，创造环境，促使孩子自己去体验和感悟。因为这一阶段的孩子，语言能力还不足以支撑通过语言学习数学概念的方式。反复的用语言去强调，反而不见效果，弄得家长孩子都无所适从。
如这里举例的计算问题，我从来不讲，而是拿出围棋盘、围棋子，跟儿子先是混成一团的数，然后是排列成序，再组合成方阵。从一年级玩棋子到三年级，各种巧算也就烂熟于胸了。
除了棋子之外，007介绍的儿童算珠也可以。大一些的孩子玩扑克，21点、凑24、杀关，都可以给数学的学习提供必要的基础。不仅仅基本概念，基本技能、基本方法，也都学习齐全了。

最后，我想说的是，家庭数学启蒙的重点不是教学，而是根据家长和孩子的喜好，营造学习的环境，使孩子在游戏和生活中自然地体验和感悟数学。教学还是让老师去做吧，作业还是让老师去安排吧，家长把一个自然的孩子送进学校就可以了。非常可以！.

回复 3839楼ccpaging 的帖子

采用这种方式学习数学，自然是自然了，孩子学起来也轻松愉快，而且我甚至能预见到孩子经过数年缓慢的积累而在初中进入加速学习的状态。
不过，这显然不能实现在小学前几年就领跑的计划。如果家长确需要如此，那就顾不得孩儿的自然发展了。少不得要见天的耳提面命，为了家长要孩子做额外的数学练习孩子却不愿意，搞的咆哮之声常闻，鸡飞狗跳之时常现，大人小孩不得安宁了。好吧，就刻苦训练着吧！抢跑一定成功。.

回复 3839楼ccpaging 的帖子

谢谢你，我知道这都是过来人的肺腑之言，而且这位过来人又是数学系出身，这些话，应该是既有理论基础，又有实践支持的。

我以前跟同事争辩过：加减到底应该怎么学？

同事意见：无他，背出来而已。入小学前，大量做加减法训练，练到条件反射就可以了。

我意见：留待时间，自我启蒙。但是，这样可能要忍受漫漫长日的不开窍，父母要有坚强的神经呵。.

回复 3841楼不不园 的帖子

确实需要坚强的神经。别的孩子表现更好些，家长当然会有所反思，有时会有压力，甚至焦虑。这并不完全是坏事儿。

从小学高年级老师的角度看，有些孩子现在很好但已经倾尽全力了处于最佳的状态，继续提高的空间已经不大了。碰到这种情况，在小学的时间不多了，老师也木有太多办法。毕竟好的学习是积累出来的，底子不够广阔，上升的空间就小。

家长的处境则不同，毕竟还要把孩子带到初中、高中。如果发现积累的不够，应该放缓脚步，付出暂时的代价，反过身把积累做足。

我那时之所以没有让 Alex 去挑战小学高难度的数学题，就是因为他的语文的积累不够。现在进了初中，回头再看，实是明智之举。而小学的数学难题，在初中而言都不过是些小菜。

养成好的生活习惯、学习习惯，按照相应的程度循序渐进的作广泛的阅读，将兴趣爱好与学习结合起来，Alex 如今已能轻松地在初中学习，自我管理空暇的时间，自己看书学习。家长实在是轻松很多了。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-2-18 12:28 编辑 [/i]].

此贴本人也跟了有一年左右，确实很好！不过从来没发过声音，非常佩服ccpaging和楼主。:handshake.

好贴要顶

大概在元旦的时候看到了这个帖子。然后花了几天时间，大致通读了一遍,思想受到很大冲击.
我家ww一年级,幼儿园阶段纯粹放养,进的也是对口公办小学.一年级的上学期，自己教他一些奥数.
看了帖子,深刻反省后，按帖子中的一些思路，来教小孩.
寒假里某天下班后，跟他讲1千能被8整除的时候，随口问: 1千除以8是多少? 结果他想了一会儿,居然给出了答案:125.
这很出乎我的意料.他连竖式的加减法都不会,只会口算.乘法会九九表.怎么算出来的呢.没教过啊. 我自己都要用竖式除法做的.
很好奇地问他，回答说: 1千分成5个2百,2百除以8是25, 25乘以4是100,100加25是125.
很惊喜啊，会做25*5了。好半天才回过神来,那2百除以8是25,怎么来的? 这个难度,不比1千除以8,少多少啊.
他回答说,80加80, 是160, 5乘以8是40. 我理解了,他是说: 1个10,还有1个10,再加5.
用他会的加减法和乘法,算出了对他来说,比较复杂的除法.
准备把竖式算法,留给学校老师教了，在这之前，就让他多动动脑子,多探究并体会数学的乐趣吧.
今天回来再看这个帖子,特地去注册了再发帖子,说一下自己的体会和感受.
希望这个好帖子,不要沉下去,我会经常回来看看.汲取一点灵感..

回复 3844楼山下清风 的帖子

哎呀，这也是 Alex 跟我常玩的“游戏”。讲相声的常说，“说学逗唱”是学相声的四门功课。那么，发现问题、提出问题、解决问题、检查反思，也可算是学习数学的四门功课。.

生活中的数学-ww一年级(1)

我家ww还比较小，只有一年级.我只能抓住生活中的例子,一有机会，就问他点问题。
放寒假了,英语老师要他们开始学写英文字母，每个写2行.
我打印出来，大概有4页半.我跟他说，你每天写半页吧.
他说，要每天写3个. 哈哈，机会来了。我问他,那你要写几天呢? 最后一天要写几个呢?
他想了想说,要9天. 最后一天写Y和Z.
为什么呢? 说比8天多一点，9天少一点. 不错，会带余除法了。
过了2天，检查他写的情况，发现写了7个. 表扬他一下,超额完成任务了。然后问他，照这样写，要几天写完呢。最后一天写多少呢?
他想了会，说, 要8天，最后写一个半.
这个怎么算的? 26/3.5, 有点难呢。
他说: 7个7个7个,剩5个，去掉3个半,还有1个半.
和ww比起来,觉得自己思想很僵化,永远只想到竖式除法.象我这样多少年前就学僵了的MM,再来教小孩，生怕也教僵了。.

回复 3846楼山下清风 的帖子

一问一答，其乐融融，堪称亲子范吧？！哎，我的孩子已经大了，粗声粗气，我对这种感觉已经是久违了。

巧从何来？《易经》曰：“穷则变，变则通，通则久。”

“如何学会巧算？如何举一反三？”小学四五年级以上的家长如果问这些个问题，可能已经晚了。孩子不会巧算，很可能是因为他们遇到方法穷尽的情况太少了。“我不会做。”孩子这么一吼然后双手一摊，家长或老师就忙不迭地教他，把自己的技能和知识“吐”出来“灌”给孩子，孩子轻易地就得到了解决问题之法，如何思变，又怎么可能通达呢？没有真正掌握，不能持久，岂不是理所当然？

把适合其程度的问题抛出来扔给孩子，家长就很可以做个旁观者，让其利用已有的知识、技能去解决。这样，孩子的思想才能活跃起来，由穷而变，由变而通，从而产生出新的知识和技能。也只有经历这样的过程，才能让孩子学到知识而有不会被已有的知识和技能（特别是家长和老师的）限制，孩子才最终有可能超越家长和老师。

这样的亲子数学学习看似费力费时为“效率女王”所不容，其实，这才是真正的学习之道。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-3-1 12:45 编辑 [/i]].

回复 3846楼山下清风 的帖子

期待下文。多希望能有更多的机会重温过去的亲子时光啊？我未老，孩子却大了。.

回复 3847楼ccpaging 的帖子

是的,自从做了家长,一年年,看着小孩一节节长高,才意识到自己在慢慢变老.我们是日上中天，他们是八九点的太阳,希望都在他们身上.
在奥数群里，经常看到小学高年级的小孩，问出的那些问题，都不能算奥数题.就是课堂内容吧,直接问出来,不动脑筋,转一下弯都不肯尝试. 如果你提点几句,启发提示一下,而不说过程结果,不列式子.他还会理直气壮地追着来责问你: 为什么不告诉我? 晕死,又不是他学校老师/家长/家庭教师,义务点拨一下,也算可以了.有追过来责问我的时间和心思,动动脑筋,就可以算出来了.
看了这样的小孩，更坚定了我从低年级就要开始培养小孩动脑的想法.希望他在低年级就养成动脑筋的习惯，在高年级养成自学的习惯，这样我就轻松了.
说到举一反三，我发现他确实会自发的有这样的思想. 比如寒假里,跟他讲了整除.过几天,象发现新大陆似的跟我说: 能被10整除的数,也能被2和5整除. 是啊,ww真厉害，能自己想出来. 那为什么呢? 说: 10里面有2和5.又过几天，又跟我说:能被2,3,4,5,6,7整除的最小数,是420. 我跟他讲的时候,只讲过能被2个数整除的数.他自己一点点乘上去,推到了7. 那我们再加一个数字8,再加一个数字9,最后到10. 推出了2520. 对他这样只会口算的，有点辛苦,但算出来,也很有成就感呢..

生活中的数学-ww一年级(2)

这半年一直是我在教ww数学，对LG的不作为,一直很有意见.他说,到高中他来教.我说,到高中还要你教? 都靠自学了吧.最近难得LG出场教了一次.

元宵节晚上亲戚聚会. 订了张大桌子,我们到的早,人没到齐. 对面一家,也在应付一个比我们ww还小的皮小孩.不太熟悉,也没去攀谈.有点无聊.
LG就说,数数看,这张桌子有几个位子吧.ww很有兴致地就开始数,LG说,3个3个数吧.我说,5个5个数,比较快.一会数完了,问他,3个3个数,多2个,5个5个数,多4个,是几个? 他刚数完,就说14个.
然后就出题目考他了。3个3个数,多2个.7个7个数,也多2个，是几个位子啊? 他说,23个,为什么呢? 3*7=21, 21+2=23.
然后说了一两道类似的题,他兴致来了，连声催促:还有吗，还有吗?我都能想象得出,他两眼放光的样子.
然后LG就给他下套了.有一些位子,3个3个数,多2个.9个9个数,也多2个,是几个呀? 他算了算,29个. 怎么算的呢? 3*9+2=29.  果然中套了,提醒了他一下.再算, 9+2=11. 才算正确. 再做了几题,发现他会做A*B+N的,但结果是A*B-1的,数字又比较大的,他就想不到.晚宴要开始了,讨论只好中断.
晚上LG说,可惜时间不够了,否则要继续跟他讲几次数的数字是否互质,对最终结果的影响. 汗, 这才一年级呢.能做出3*7+2=23,我都非常满意了.

过了2天,想想上次没讲完呢,想继续教A*B-1。问: 3个3个数,多2个，4个4个数,多3个，是几个? 如果再给你一个,会怎么样呢? 这下想出来了.是11个, 再+12,+12,.....
终于跨过去了.可以继续往下了.那3个3个数,多2个,4个4个数,多3个，5个5个数,多4个,是几个? 答案也能做出来了,59个..

回复 3850楼山下清风 的帖子

晚上LG说,可惜时间不够了,否则要继续跟他讲几次数的数字是否互质,对最终结果的影响. 汗, 这才一年级呢.能做出3*7+2=23,我都非常满意了.
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
相当可以了。把类似的题做探究，007、11 和我、Alex 是在孩子们五年级的时候搞的。而且我们还是从笨办法开始的，从1开始数，看看符合条件的第一个数是什么，再慢慢找规律。这是系统的探究方法。时间比较长，过程比较繁琐，所幸最后的结果还可以－－孩子们给他们的老师出了一道类似的怪题。像我们这样探究，小一的孩子恐怕在体力上就吃不消，难以胜任这么长时间的高度专注。

随其自然的好，不必预设效果和结果。亲子数学首先是亲子，一家人其乐融融地渡过一段闲暇时光是孩子最想要的。我问小学四年级孩子，他们都还是这么说。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-3-4 00:11 编辑 [/i]].

回复 3851楼ccpaging 的帖子

关于最小公倍数,ww已经会基本的了.
他数数字比较熟练.我试过,让他从3,6,9...一直数到99,他几乎可以一口气,不加思索地数完.我估计他是用加法算的,一边算,一边出数字.
在大班的时候背乘法表,他就是用加法来做的,一个一个往上加的.当中背错一个,后面会跟着错.
我自己试了下,发现精神状态集中的时候,勉强可以做到一口气数完.稍微分心一下,就会卡住.尤其进位加法的时候.
所以这类的题目,如果数字小了,对他来说就不难. 比如3和5的倍数,他会数3,6,9,12,15,就找到15的.
有次讲雪后的题目,我的预备内容是,小孩和大人,一个步长为5分米,一个步长为8分米,在什么地方脚印重合.那时候还没讲最小公倍数呢.他几乎没怎么多想,就说40. 问他,又说不清楚.
可是我不太满意.硬是让他从8.16,24,32,40数上去,算到40.
如果从1数起,估计他根本不愿意,也没兴趣.而低年级,也不可能用太大的数字,让他难到数不清楚,而逼他来思考其中的规律.
这个探究,估计要等到他大一些再做.
有时候我觉得他的思维是跳跃性的,问他,他自己也说不出个所以然来.也可能太小,表达能力不够,说不清楚自己的思路.

我现在教,也不按什么教材,或者准备什么教案.讲到哪里是哪里,想到什么教什么.
在他上学期期末考,复习进位加法的时候,随口跟他讲八进制. 寒假想增加他的基础知识, 分数,小数,百分数也混着一起讲.通分,约分,最小公倍数,也是混一起讲.

受教了,在这个帖子之前教是为了竞赛.看了帖子后,教是随性而为,以他能接受为标准.或者他自己能提出什么,他准备好了,我再引导入新的概念和知识点.
今天楼主提醒了,我还是目的性过于强了.总想着教他些什么. 还好我教得不深,一点基础和皮毛而已,他自己有时会思考更多,给我一点惊喜..

回复 3852楼山下清风 的帖子

你们的教法和我们以前很像，没有教材，想到什么教什么. 不过我们遇到瓶颈，停滞了很长时间了。.

回复 3853楼aochuanhui 的帖子

能详细说说吗？是什么样的瓶颈？.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2013-3-4 10:50 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9216027&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
能详细说说吗？是什么样的瓶颈？ [/quote]
就是上次和你说过的，平面几何和因式分解。 以前学习就是我随便讲讲，他就懂了一点，然后出几道题给他做做，以后再看《要命的数学》等，慢慢的理解就逐步加深了。但平面几何不能这样学，我随便给孩子讲讲，然后让孩子证明三角形内角和等于180度？让孩子尺规作图？显然都不行。
因式分解是因为我没有给孩子练习过列方程解题，所以代数思维不够。
小学数学太简单，初中开始也无非有理数无理数，分数乘除法，指数对数等，这些概念都不难，入门后做作题目看书逐步加深理解就可以了。

寒假我给孩子买了《代数任我行》《玩转几何》，想用老办法学平面几何和代数，结果孩子看了几十页，插满了不懂的标签，根本没办法进行下去。而如果不学几何代数，后面的知识没法进行。 平时和孩子的亲子数学还是那些老知识点，孩子没劲我也没劲，已经快名存实亡了.

回复 3855楼aochuanhui 的帖子

好吧。先不说为什么，给你几个继续学习的选择：
1、进入数学的系统自学阶段。代数和几何都可以《数理化丛书》为范本。
2、以构建的方式重新学习小学数学的基本概念，把基础夯实。
3、暂停数学的课外拓展，把校内的学习搞好（当然包括习惯等），把更多的精力放在语言文字的学习上。.

回复 3855楼aochuanhui 的帖子

你孩子还小，根本不需要着急.

回复 3853楼aochuanhui 的帖子

之前我也是遇到瓶颈,才转换到现在这样的模式来的.穷则思变.
元旦前,我已经按照教材讲完了奥数2年级的课程.然后发现他基础不够,3,4年级的课程没法往下教. 包括:分数,小数,百分数,质数,因数分解,最小公倍数等.还有一些是他生活阅历不足而造成的概念无法理解，比如速度,相遇追及问题等.
而对于这些基本概念,我发现混着讲,是比较好的方式. 让他从最开始,就了解这些概念和知识点相互之间的关联.
老师教的知识点,一章一节,是独立而竖向的.而我自己讲的时候,就横向讲,但只讲最基本的.将来老师讲的时候,也不至于觉得都会了而不仔细听.
如果他自己愿意竖向往深了想,那当然最好. 我希望他的知识结构,是象树叶的脉络,是网络状的.一条路走不通的时候，能想到用其他办法来解.乘法公式忘记了,可以用加法. 除法想不清,可以用减法.
至少这2个月看起来效果不错,也许将来还会遇到问题.也许等基础打好了,又会回到教材,系统地进行竖向加深.
法无定论,师法自然.我不断地思考和修正自己的方法.我不去考虑这个是几年级该学的内容,这个是人为地分割了知识点的关联.
适合当前情况的,适合小孩的,他有兴趣学,能理解和接受的,就是好的..

回复 3857楼jiangying 的帖子

回ccpaging 和jiangying ， 确实是不急，只是看到山下清风的帖子有感而发。现在主要精力在英语语文上， 我准备明年暑假再系统的学习数学。.

回复 3858楼山下清风 的帖子

个人体会，数学的知识体系是三维的，加上时间轴，那就是四维，像一个不断生长的山脉。这个山脉的基础则是生活实践。

我同意您的发现。数学知识中的有些部分内部的联系十分紧密。如果是一对一或者是一对几个学生开展教学，应该使用您所说的网络状的教法。学生在这种教法下，可以很好地掌握数学知识之间的联系，体验感悟其中的发展变化。若再结合数学史，参差一些趣闻轶事，效果也不错。

遗憾的是这种教法不能运用于30人左右的学校课堂。因为学生在小学阶段，个体之间的差别很大。我认为，这是由于每个学生生活实践的场景所不同造成的。有些偏重于数，有些偏重于形。有些偏重于长度测量，有些偏重于空间变化，有些则喜欢棋类策略等等。不同的生活实践场景使每个学生对不同的数学知识的敏感度不同。所以，学校的数学老师只能讲大家共同有体验的部分，程度还不能太深。所幸的是随年龄的增长，平衡是自然发展的规律之一，学生个体的差异趋于减小。那时，又可以上大课了。

师法自然，顺势而为，也是我带孩子学数学的基本原则。孩子的发展顺其自然，数学本身的发展也是顺其自然的，所以，我相信自然会引领孩子登堂入室，进入数学的殿堂。话是这么说，但顾虑到歧路的存在，到底还是不敢彻底地任其自然。大概这也就是法无定论的含义吧。干预就干预吧，心存对自然的敬畏。不知者不为，从孩子的自然行为中找到下一步的方向。知道的，则小心施为，不求有功但求无过。

数学启蒙的内容是十分丰富的，现代数学的大多数分支都可以在启蒙阶段找到源头。但粗略地仍然可以分为形与数，动态与静态，方法与思想。世人往往重数轻形，易静难动，巧于法而拙于思。其实于孩子来说各方面都是可以萌芽的，只不过教育的偏颇造成了孩子后天的偏颇。先读张景中先生的《感受小学数学思想的力量》一文，颇受震动。后在实践中细细揣摩，均衡发展确有其功。

以您前面所说孙子点兵为例，同学为什么会兴奋，原因之一大概是于看似无序中触摸到规律吧。而形有时甚至更容易让同学体会到这一点。对小一的孩子来说，试试画正方形，您可以示范，让孩子观察然后自己学着画，也许可以让孩子体会到几何秩序的力量。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-3-5 06:58 编辑 [/i]].

回复 3860楼ccpaging 的帖子

我自己是一边学习，一边摸索，一边在教. 有您这样过来人指点一下,会轻松很多.
我有个想法，象您这样有理论,有方法,有实践经验的,能否办个针对低年级的数学思维启蒙班? 这样象我这样的家长就能省力很多了。

不知者不为，从孩子的自然行为中找到下一步的方向。
=================================
这句太正确了。
上周末ww玩球,他努力地把球平行地扔出去，然后马上开始跑过去，期望在球落地前接住. 多次未果后，他说了一句: 我追不上球,因为我的速度没有球的速度快.
终于对速度有点概念了。然后就跟他讲了速度，时间，路程，相遇/追及，路程比是速度比，静水/逆水/顺水速度。前几个月照教材讲过，但他不感兴趣，我讲了2题，也没继续讲。现在觉得到他有点领悟的时候了。
他还出题目考我，2人相距10米，1个人速度是1，1个速度是2，几秒钟相遇。我说，你算算看呀。然后他悲剧地发现，数字没凑好，除不尽。说3秒还多1米。 我说可以用分数么，他想想说，一个走了1/3，一个走了2/3。
重数轻形，估计难了，因为我自己也是数字强，图形弱的，解图形的题目，中规中矩，一点没有灵活性。最好楼主开个思维启蒙班吧，我一起学。
弱弱地问一句，正方形怎么画啊，用直尺+量角器？ 角度，量角器他们还没学呢。直接用直尺画，如果他说还有菱形呢，怎么办啊。
用对角线相等来画？那还是要2条对角线是直角啊。怎么画他能理解？.

回复 3861楼山下清风 的帖子

能否办个针对低年级的数学思维启蒙班?
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
这个问题我在儿子大班的时候就想过，当时是考虑是否要送到外面去思维启蒙。后来我想明白了，低年级的数学启蒙班开不得的。为什么呢？这个时候的孩子不定性，还不能做到某日的几点到几点就进入一个数学时间。当时儿子上了一个幼儿园里边的思维班，为了上好这个思维班，我先要计划好，使他上课时有旺盛的精力，上课之前还要给他余热。一个不注意，他就在课堂上出问题了，要不打瞌睡心不在焉，要不精力过于旺盛作出过激的举动。

这个年龄的孩子从心理上对父母是相当依赖的，对他们来说，跟父母在一起玩的快乐是最最重要、无可替代的。清楚了这一点，我宁愿带他去公园玩数学也不要他去上数学启蒙课了。

关于形，从您说的情况看，可以暂时先不画正方形。先完折纸吧，折纸飞机。我儿子玩折纸一直到小学五年级，这是他主要的课间活动内容。.

回复 3861楼山下清风 的帖子

关于速度，一开始孩子也不理解，当时我是吃饭时从吃饭速度开始讲，然后过渡到行走速度，就理解了。.

回复 3862楼ccpaging 的帖子

确实是这个问题.
小孩的思维启蒙是要根据他自己思想进展情况,来进行有针对性的启蒙.
在这点上，随时关注他的家长，才最了解.也最能根据情况而采取对应的对策.
有时候,我们要做的就是等待，等待他长大并理解,这时候教,才能事半功倍.
只是,对家长的要求比较高.对我这种没教育系和数学系背景知识的家长来说,比较辛苦.
要准备奥数知识点,要学习和思考知识点之间的关联,哪些能混在一起教; 要考虑怎么教,才能让他听懂;要关注他思想变化的情况和生活中的事件,等待教的时机点.

折纸类,幼儿园里是一直有玩的,LG也教他折纸飞机的. 昨天我还看到他拿回了一个青蛙(?) ,可能是学校手工课学的吧.
有道小蜜蜂里的折纸考题,根据折痕的虚和实,来判断4 次折的先后顺序. 我是看得发晕,一点没头绪.他一下子就看出来了.
想想自己小时候也玩折纸啊,怎么没考虑过折痕的关系呢.
可能还是个人对数学里数/形/空间/逻辑,或其他方面的敏感性不同. 同样的事件,个人领悟不同. 而这种敏感性会一直持续到成年..

回复 3863楼aochuanhui 的帖子

楼上厉害的，从吃饭速度能引申到速度问题.
我家吃饭时,不跟他讲数学问题的,要求专心吃饭.怕吃饭不专心,光思考了.
不过我们经常在洗澡的时候讲数学. 从练习数数和口算,到讲解新的问题.速度问题,就是在洗澡时讲的.
他还会问，为什么我躺下去了，水就升高了。看来还要开始准备物理启蒙了。.

回复 3864楼山下清风 的帖子

可能还是个人对数学里数/形/空间/逻辑,或其他方面的敏感性不同. 同样的事件,个人领悟不同. 而这种敏感性会一直持续到成年.
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
所谓敏感度不同，不过是孩子还小接触到的东西有限。美国的小学数学教师用书上曾经这样说，一个孩子如果没有测量过，他是不可能真正理解长度的概念。同样的，如果孩子没有负重，也不可能理解重量，没有疯跑，也不可能理解速度。据说，很多男孩子都对速度着迷，“更快一点会是什么感觉呢？”

随其自然的生长，孩子探索未知的欲望就会让他接触到越来越多的东西，所以，如果不是特别的干预随其自然的话，对不同事物的敏感性会发生变化，不同孩子之间的差异也会越来越小。当然，差异不会消失。人上一百，形形色色，有差异也是正常的。无所谓啦，又不是培养超人。

我也产生过这样的想法，如果知道孩子将来有数学特长，那么，从小培养他，他的成就会更高。其实，这是事后诸葛亮。孩子小，我们根本不可能知道这个孩子是否有数学特长。基因技术也还没有找到数学因子吧？有没有都还是未知数。而且还有一个大麻烦，已有的教孩子数学的方法和理论都是基于学龄儿童的，就算要培养，也是一个试验，风险很大哦。

在学科特长的培养上，个人比较欣赏犹太人的做法，在小学阶段任其自由发展，把重点放在语言文字上。等到了初中，孩子的特长显现出来再予以系统的培养。当然，家长的兴趣爱好发乎自然应另当别论，带着孩子玩总是可以的。

数学等理科类学科的系统建立在人类文明发展史上是比较晚的。在个人的发展而言也要稍晚一些。质疑是理科的基本习惯，但认真的质疑最好是有了一定的解决问题的手段和能力之后。否则，只是问却不能凭自己的能力找到解答，则可能被灌输，可能失去继续质疑的自信，反而不美。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-3-6 22:21 编辑 [/i]].

回复 3866楼ccpaging 的帖子

人有八大智能,能通过早期(幼儿园/小学低年级)的细心观察,和一些专业的测试,能够分辨出来.这样能进行针对性的培养.
我认为对数字,图形,空间,逻辑思维,棋类策略等的学习和领悟上,天赋本身是有差别的. 有些小孩, 能靠大量刻苦做题,熟悉各种题型,而得个三等奖. 而得一等奖的，还是有天赋的小孩.
比如解一道题,可能要尝试10种,甚至100种不同的可能。而感觉敏锐的,潜意识里就知道往哪个方向上去尝试,可能尝试2,3次就能出正确答案.
而家长要做的，是尽早认清天赋.既不拔苗助长,又不放任不管.

赞同楼主的,到初中阶段再进行系统的培养的理念.
但小学阶段,还是不能完全放任自由了.可以任其自由发展.同时培养兴趣,培养探究的习惯,也是非常重要的.
就如前面帖子所说,如果低年级开始,不养成动脑的习惯, 到高年级,就不愿意动脑.
到时候再要系统培养,没有兴趣和好习惯,能坚持多久?.

回复 8楼有你乐无穷 的帖子

我觉得让孩子爱上学习就等于是娱乐了.

一张一弛，文武之道。

网上偶尔找来一题.巧算 54+99*99+45=?
按标准教法,是45+54=99, 99+99*99=99*(99+1)=9900.
结果,小家伙又一次让我意外了. 他说99*99=9801, 然后9801+99=9900.
只会小九九的他,怎么口算出99*99的呢? 他说100*100=10000, 10000-100=9900, 9900-99=9801.
为什么先减100,后减99呢? 回答说先减一行，再减一列. 这个明显是从方阵中来的. 很好的数形结合啊.
过一阵要准备睡觉了，一边泡着脚,他一边说: 刚才那个(算法),还不是最简单的。用98*100,再加1,就好了。
我都快晕了。 连(a+1)*(a-1)+1=a*a, 都知道了?
问他怎么知道,他说,他先拿 0*2和1*1比 ,再拿1*3和2*2比...当然,以他现在的计算水平，不可能一直算到99的。
估计这个结果,是他先猜想，再从0开始验证，推理出来的.不过对一个一年级小朋友来说,也难能可贵了。
元旦后，就没教他奥数新的内容，一直随他玩, 拿小方积木摆成实心和空心的方阵啊，玩七巧板，小玻璃珠子等等.
昨天刚订好圆形的七巧板，他很期待呢。
元旦前教得太赶，硬塞了很多知识进去。结果到竞赛前，不肯看书，不肯做习题，成绩也不太满意。
而这段时间，应该就是他巩固，消化和吸收的过程。没有学习新的奥数知识点，没有复习，习题都没做。
现在我明显感觉到他对数学的兴趣恢复了。上周买回来一本亲子数学的书，他一直做得很有兴趣，早上出门前10分钟都要看2题。
看来学习也要一张一弛，学完一段，要给他吸收和领悟的时间。学校都还有寒暑假呢，学完一段，身体和精神上，都要休息一下。
想想现在的培训机构，春季班，秋季班，寒假班，暑假班，只要学生有点空，一年课程可以从年头排到年尾。
学什么，做什么习题，难度如何逐步加深，针对某个竞赛的特别训练，都有人安排好了。只要跟着走，学到那些知识点没问题，竞赛拿个奖，也大有可能。
但是，这样的学习时间和节奏的安排，真的有足够时间，让小孩自己领悟了吗？或者，只是固化了知识点，通过反复的训练，熟练做某些题目。
看来以后，要在教之后，留下足够时间，让他体会和领悟。只是这个分寸，比较难拿捏。.

回复 3869楼山下清风 的帖子

正方形方阵么，a*a
一列走出来，还剩下 a - 1 列
添到行上，行多1
呀，还有一人孤悬阵外

如此可知，(a+1)*(a-1)+1=a*a。

可见，教习数学之道唯在于激发孩子的想象力。一道题目，他惦记着想上一天，所得自然是只思考1分钟做完题了事所不能比的。.

回复 3870楼ccpaging 的帖子

目前还在看亲子的数学书. 居然被他发现两处印刷错误.上学期某竞赛的赛前辅导书也是.
我自己看得马马虎虎,他是认认真真,一个字一个字读过去的,连图片旁边的标示都读，所以错误就被他发现了。
每次发生这种情况，我是非常不满意. 校对工作也太不认真了呀. 让一年级小朋友来做校对,实在说不过去.
有小一家长问我：她家的小朋友，一定要自己做题，但每天只有半小时做数学,花两天时间才能做一道题,是不是太慢了?
我说:小朋友靠自己的努力,精做一道题,比家长灌输后,做同等难度的10道题,效果更好.
前两天又爬了一遍楼.很多观念比之前又清晰了不少.
在某个数学群,不断地引导家长们形成正确观念:
小孩兴趣最重要.要引导,不要灌输.
贪快硬喂的,会吃撑,消化不了,还会反胃.
只有小孩自己学到,领悟到的,才真正是自己的.
学习不是题海战术,先搞清概念后，再适当做题.
否则只会做教过的题,遇到没见过的题型就傻眼了。
家长的理念很重要. 我在这里学到了很多，也努力传播开去。
希望更多的家长有明确的理念,知道why,知道how,学好数学并不需要吃苦..

代数启蒙（一）“方程”这个概念要不得

一直想写这个部分，但是总有许多疑问，自觉说不清楚，也就不敢写。众多的疑惑中，“方程”便在其中。什么是“方程”？这个词从哪里来的？它的字面意思是什么？我问过不少人，都说不清楚。在网络上，我能搜索到的“方程”见于《九章算术》。

======================================
九章算術卷第八 方程
　　〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？
　　荅曰：
　　上禾一秉，九斗、四分斗之一，
　　中禾一秉，四斗、四分斗之一，
　　下禾一秉，二斗、四分斗之三。　　方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。
======================================

学过初等代数的人见到这段文字觉得很惊奇。三个三元一次的等式求唯一解，老祖宗多厉害啊。为了彰显中国萌芽期数学的成就，于是牵强附会地“方程”引入初等代数。

可是，同样是这段文字，不懂代数的孩童会如何看待呢？那不就是一种巧算的“方”法（或者“程”式）吗？！一部分孩子错误地以为“数学”就是学一些技巧，然后在同学中显摆。“哼，你们傻眼了吧？还在冥思苦想，我三下两下就做出来而且还是对的。”一旦孩子坠入这样的迷途，就可能将学数学变异成向老师讨教方法然后熟练之，没有疑问，没有思考，没有山重水尽疑无路柳暗花明又一村的惊喜，真正的数学思想和真正的数学方法与之无缘。也许成绩并不会立刻下滑，因为他们可以凭借自己的刻苦和老师的勤奋（搜集各种技巧在几分钟內讲给孩子听，搜集各种题目让孩子练，那可是非常累人的事儿哦）取得较好的帐面成绩，但是他们学习数学的方法却停留在萌芽期，他们的数学思想也停留在萌芽期，却试图去解决古典数学的问题，自然会越来越累越来越难堪其负，最后（一般是初二左右）成绩一落千丈。那时，他们就如一个古代人穿越到现代，根本听不懂老师在讲什么，更解决不了那些需要古典数学才能解决的问题。

从代数启蒙的角度说，我们应该抛弃“方程”忘掉“方程”，学代数就用代数的概念，不可再为了彰显所谓祖先的光辉再妄用这些概念。以数学的眼光看，《九章算术》不过一习题集，体现的不过是“民使由之，不使知之”的陈腐理念，中国的古代算术也没有发展出真正的数学，如此返祖于学生何宜？.

回复 3872楼ccpaging 的帖子

说的好！.

代数启蒙（三）函数与变量

[b]酱香烤黄豆[/b]
[url]http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f5c1dbc01015wl7.html[/url]
咩头脑和兔高兴

准备材料:干黄豆约100克,盐5克,棉白糖25克,鸡精3克,蚝油25克.
所需工具:光波炉或烤箱.                                                                          
制作过程:
1.准备材料
2.黄豆用清水浸泡一晚
3.涨大的黄豆滤去水分,倒入盐,糖,鸡精和蚝油
4.搅拌均匀后平铺入烤盘（由于锡纸或油纸较易粘连，所以建议直接使用烤盘）
5.光波或烤箱预热
6.烤箱：将烤盘放入烤箱中层，180度45分钟左右
光波炉：将烤盘放置在低架上,光波175度40分钟左右(外层微酥脆)

[b]函数与变量[/b]
初等数学以函数最难以理解。函数的英文是Function，又译为"功能"。光波炉的功能之一便是于难将息的春夜烤个酱香黄豆。把泡好的黄豆入炉,在火力和时间这两个主要变量的影响下，进行动态变化的过程，这就是函数，酱香烤黄豆的函数。
不同的变量值导致不同的函数结果。
F烤黄豆(火力，时间)
用数学表示就是
F(x,y)，x 代表火力，y 代表时间。

F(0,0) 是这个样子的（图最右）：
[attach]755375[/attach] [attach]755376[/attach]

F(180度, 45分钟)是这个样子的（以烤箱为例）：
[attach]755377[/attach]

[b]如何启蒙[/b]
这个问题很难回答。本来这是一个自然的过程。动态变化的过程，孩子每天都能观察到的。可是，经过长期刻苦训练后的小五生、预初生，也许已经习惯于具体数字的计算了，甚至完全脱离了生活，那他们就比较难于理解了。我观察到有些初中生一直到了高中都还在试图用算术的思想和方法去解题，也许是因为他们在小学算术中的表现太好了，总想着重温过期的辉煌。但从数学的发展看，萌芽期数学根本不可能有机会超越古典数学，否则大家就只能听到“算术”这门学科而不是数学了。张景中老师在写给小学数学老师的信中特别强调动态函数，或换言之以动态过程的眼光去研究数学，我猜想，大概就是这个道理吧。

当然，启蒙并不是那么简单。就照我上面的讲法讲给孩子听，他们未必能明白。但其实也不必去“教”，理解函数的概念是一个长期的体验和悟的过程，看看人类完成这个过程用了多少时间就知道了。我们所要做也不复杂，引导孩子多关注自然界中时时刻刻发生的各种变化，尝试做探究其中的规律，足矣。到了初中，体验和感悟的差不多了，老师再“升华”一下，孩子自然就恍然大悟了。如果有例外，那就很可能是人之“教育”社会之“教育”扭曲了孩子，使孩子与自然之“教育”脱离了，没有受到自然之“教育”的光辉照耀。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-4-17 14:43 编辑 [/i]].

回复 3874楼ccpaging 的帖子

ccpaging象个诗人,生活皆是诗,生活皆是数啊.
天气反常,周末小朋友发烧,晚上去吊盐水了。老问我多久能吊完.只好让他算,一瓶盐水250ml,1ml是20滴,护士调的速度是30滴/分钟，要多久滴完.
估计发热头晕影响了他的计算,漏了10倍,简单2位乘1位计算也出状况。
算算要近3个小时.吊了一个小时，忍不住调快一点.又过了大半个小时，又调快一点,希望快点结束回家睡觉去.
今天又吊水了，护士调的速度是40滴/分钟.后来还是忍不住调快一点.
等他病好了,一定出个题目做做. 滴液速度,与吊水时间的关系.还要加上变动的滴液速度.这样对理解速度问题，估计有帮助..

回复 3875楼山下清风 的帖子

怎么知道1ml是20滴？是问医生的还是自己假设的？.

[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2013-4-2 12:29 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9257909&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
怎么知道1ml是20滴？是问医生的还是自己假设的？ [/quote]

这是个好问题。.

回复 3875楼山下清风 的帖子

点滴不能自己随便调速度的吧.

回复 3877楼ccpaging 的帖子

我们大概算一下吧, 娱乐娱乐。一毫升=1立方厘米。 假设每滴是直径3毫米球型，体积=3/4 * 3.14 * 0.15 * 0.15 * 0.15= 0.014. 那么 1/0.014=70滴..

[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2013-4-2 17:21 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9258499&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
我们大概算一下吧, 娱乐娱乐。一毫升=1立方厘米。 假设每滴是直径3毫米球型，体积=3/4 * 3.14 * 0.15 * 0.15 * 0.15= 0.014. 那么 1/0.014=70滴. [/quote]

有的孩子会这么想，1毫升有多少滴呢？也许他们会采用实验的方法。做个1毫升的纸盒子也可以用来做实验的，当然是在家里用自来水啦。
也有的孩子会运用比例的方法来计算，昨天是每滴多少分钟多长时间挂完，今天是每滴多少分钟，估计多少时间挂完。其实，用比例来解决问题已经是中国在萌芽期数学中的最高成就了。因为它在某些时候可以突破人力的极限，例如测量太阳跟我们之间的距离，可惜的是计算结果不准确，因为古人不知道地球是圆的。

小学生学习数学的特点就是如此。大人看起来，他们既不系统又没有章法还莫衷一是。但不用担心，学数学的好处便在于它内在自恰，规律自在，正确的东西会自己冒出来的。所谓殊途同归是也。

不妨接纳孩子的想法，顺其自然跟着他走。大不了碰壁再回头反思。反正这也是学习数学的重要环节之一。

说起吊盐水，从大班开始，我就让孩子背一个小包，带上他的玩具、手帕、水。等他大些了，就带上书。如果我陪他，就会准备一些故事或者数学游戏。记得，有几次我们玩的是有关八进制数数的游戏。“在很久很久以前，在离我们很远很远的地方，有一个小人国，那里的人每只手只有四个手指。他们数数的时候只能数到7，然后就是10 ...”然后儿子扮演小人国的商人，跟我做生意，买卖饼或者苹果。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-4-17 14:46 编辑 [/i]].

回复 3880楼ccpaging 的帖子

五年级的时候，曾经挂了15天盐水（其实不是大事儿，癣疥之患而已。但也正因为如此，药物要进入毛细血管发挥作用就特别慢），每天要坐3个小时左右的地铁往返，吊水要4-6个小时。要准备故事就没那么简单了。幸好孩子大了，可以自己看书，阅读或者学习数学。而我也只要陪着聊聊天在迷瞪一会儿就行了。.

20滴/ml,是我的经验值.用过多次,都没有问题.
恐怕是因为我不喜欢长时间的等待,但如果知道需要3个小时，我反而有耐心等待了.
学生时代，假日去锦江乐园玩. 我也要根据排队人数和放行速度，算下排队需要多久,然后决定是否值得玩这个项目.
最简单的办法,小朋友小时候用的药,有些带滴管的，都有一毫升的刻度线.直接吸取一毫升,一滴滴地,滴完就测出每毫升的滴数了。.

回复 3882楼山下清风 的帖子

滴管－－是个好东西。小时候，我特别喜欢收集这些有趣的玩意儿。针头、滴管，各种盒子瓶子。带刻度的，往往是我的收集品中的高级货。有些是没法收集的，例如秤，就照了样子自己做。

儿子也有这个习惯。只是我不再像我的父母，而是鼓励他去做。.

关于数学科普书

前一阵买了《帮你学数学》和《可怕的数学》里的代数和几何两本，都是经常听到，让我心里长草的。
《帮你学数学》选的张景中的书里，最简单的一本。然后随手一翻，貌似买早了。
估计要三下，或者更大一些读，比较合适。我们一年级，有些难了。
以前买过李毓佩的书，故事情节多，老虎/猴子/小熊之类的，问题内容简单，他不喜欢读，估计觉得太简单了。这次又买难了。
想了想，还是坚持一下。从《帮你学数学》里找了个三儿子分羊的故事，读给他听。
刚开始1/2，1/3，1/9，到后来变成1/x+1/y+1/z+1/w=1, 1<x<y<z<=w。  这种式子，看看还可以，读起来舌头都要打结的。
实在读不下去了，借口烧菜，把书扔给他自己读，他还有兴趣往下看，对空酒瓶子换酒一节，也有兴趣读。
还好寒假讲了一点点分数的基础，否则估计看不下去的。

放假第一次带小朋友去了图书馆，放假要提前闭馆，匆忙抓了几本数学类的科普书回家。
然后发现杯具了，一本《趣味数学》，居然写明是给初中学生的。全部都是用方程解决问题的。
不过小家伙没被吓倒，翻到最后一个游戏《生命》，有生存/死亡/新生 三种状态变化的，就要我陪着玩。
摆了一个小时的围棋子啊，我都累了，他还乐此不疲。
第二天又到电脑上找同名的小游戏，自己设定不同的起始图形，玩个不亦乐乎。
一会叫我过去看，说图形会向着某个方向跑，一直到碰到边界。可惜我在厨房忙，根本没时间过去看。

还借了《牛顿的小屋》和《爱克斯探长》，没来得及读。
感觉《爱克斯探长》牵涉到X,Y什么的，可能早了点。《牛顿的小屋》估计比较合适，题目比较有趣些。回头试试看。
现在给他买科普书太难了，要么太简单，要么太难，现在就只能随便翻翻，能读多少，是多少。
关于X,Y和方程，一年级就接触，是不是太早了？我是想先学算术，到4年级再讲方程的。LG说方程会了，奥数题目都不难。纠结中，各位前辈有什么建议吗？.

回复 3884楼山下清风 的帖子

所谓“方程”会了，其实就已经具备初等代数的能力了。那时，当然视小学奥数如草芥。小学奥数再难都脱离不了萌芽期数学的那些东西。

让孩子在小学阶段就具备初等代数的能力，这是很吸引人的想法。但这并不意味着孩子的思维发展可以跳过萌芽期。前面说，函数是对动态过程的规律的描述。如果孩子不是积累了足够的静态值的计算知识，怎么可能有足够的能力掌握动态过程呢？让孩子在小学这个阶段积累足够的体验和感悟，这是一种顺孩子思维自然发展规律的选择。

同时，不跳过萌芽期并不意味着放弃代数的启蒙。事实上可能恰好相反，在教学中要特别着力于代数启蒙。因为代数也是从萌芽期数学中走出来的一个分支。这个代数启蒙当然不是单指“方程”，方程究其原意不过是“方法和程式”。代数启蒙的重点是思想的启蒙。吸引孩子关注自然界发生的各种动态过程，积累体验，感悟其规律。

要研究代数启蒙（更正下，说的大一些，要研究大学以前的数学教育），余以为，一定要看两本书，笛卡尔的《方法》与牛顿的《自然哲学之数学原理》。

另外，萌芽期数学的特点是混乱，但是包罗万象、内容丰富。除了代数以外，其它的数学分支也有在萌芽期的印迹。例如，概率，统计优化，加密解密等。当然，还有几何。初中学习几何的目的是体验和感悟数学的公理体系。要感悟这一点，几何是最古老也是相对容易介入、容易被接受、容易理解的公理体系。

所以，数学启蒙很可能是一个人一生中最重要的数学学习阶段。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2013-4-7 13:50 编辑 [/i]].

回复 3885楼ccpaging 的帖子

“方程”会了，根本不能视小学奥数如草芥。 方程对盈亏问题，行程问题有效，但对数论，排列组合，几何等无效。.

[quote]原帖由 [i]aochuanhui[/i] 于 2013-4-7 14:08 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9263855&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
“方程”会了，根本不能视小学奥数如草芥。 方程对盈亏问题，行程问题有效，但对数论，排列组合，几何等无效。 [/quote]

现在的小学奥数已经是走的太远了 ... 用正常的教学方法不使孩子变态的话，已经遥不可及。非常即妖。妖，也是非常的尽头了。.

回复 3884楼山下清风 的帖子

《牛顿的小屋》我们也借过，难度适中，不过只有题目，单调了一些。
关于X,Y和方程，我原本也觉得一年级就接触，太早了。想着先用算数的方法解题，练练脑子，23年级再学方程。但是最近想法变了，慢慢开始讲起来。现在每次作完题，如果能用方程解，我都给孩子讲一下用方程怎么解题，先让他对方程有个认识。.

回复 3887楼ccpaging 的帖子

现在的小学奥数确实太妖了，比几年前更难了，以目前的趋势，几年后难度又会上一个台阶。用正常的教学方法是肯定不行的。.

数量关系是方程的基础

没有搞清数量关系就学方程，慎重.

这个帖子是我看到的最好的教学帖。。。在满世界功利气氛下，嗅到一点学术精神。。就差没热泪盈眶了。。。。

谢谢LZ给一些爱思考的家长一些平台，共同探索学习的乐趣。。

分享一下我家姑娘在数学上碰到的问题。。

小女6岁，大班，实在是个数感很差的孩子，主要是我这个妈妈也懒惰，从来不给她训练加减法，在人家孩子都熟练100以内的加减法的时候，我们还在20以内偶尔加加减减，最明显的问题是数字本身和数学算式始终无法很好的融合。

例如：自己本来有10个苹果，给妈妈5个，然后爸爸又给了自己3个，那么现在自己有几个苹果呢？答案很快就出来了，8个。
但是继续问：请问你是怎么算出来的呢？ “不知道！”   是用加法还是减法，几加几，几减几呢？ “不知道！”

不知道大家有没有碰到这个问题，像这样的情况，应该如何改善？呵呵

我是在等待她的顿悟。。希望有一天她能突然想明白了。。

其实孩子思维能力不差，比如昨晚，我们在玩游戏，我给她出20以内加减法的口算，她给我出100以内加减法的口算。。看谁算的快。。

姑娘出了一道99-45，我说答案是54，然后她又出了一道，99-36，答案是63，哎，姑娘马上说了

：“99减去一个两位数，答案就是这个两位数的十位和个位数倒过来啊~~~”

刚刚得到这个答案，立马自己又推翻了说

：“不对，如果99-22，答案是77，就不对了！” 于是她自己又加了一条

：“99减去一个两位数，这个两位数除了那些十位和各位是一样的数，答案就是这个两位数的十位和个位数倒过来~~~”

刚刚对自己这个定义很满意的时候，我说了，那么你自己验证一下吧，从99-10开始，

很可惜，碰到的第一个，就推翻了自己的定义。。哎，小姑娘很沮丧。。没关系，继续来，99-11,99-12,99-13,突然发现，99-18，答案是81，和她下的定义相符。。

再继续，99-20,99-21，直到99-27，答案也是符合自己的定义的。

那么我们看看，18,27,36,45,54,63.....有什么共同点呢？

：“它们的十位数和个位数加起来都是9。”

于是，定义又变成了，：“99减去一个两位数，如果这个两位的十位数和个位数相加等于9，那么答案就是这个两位数的十位和个位数倒过来~~~”

这下，总对了吧。。

我很肯定了她的想法，小家伙也从这个漫长的过程中，体会到了思考和探索的乐趣，即便她的计算能力落后于同龄人，但是，她对数学的热爱，肯定是调动起来了。

另外，能否有人教教我，怎么让她把数字和数学算式很好的整合起来？这是我目前比较头疼的问题。。。呵呵.

回复 3891楼nikkimama 的帖子

我以为数学就是找规律，验证规律，然后证明规律。 恭喜，你女儿已经做到前两步了！.

[quote]原帖由 [i]山下清风[/i] 于 2013-3-5 12:03 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9218250&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
我自己是一边学习，一边摸索，一边在教. 有您这样过来人指点一下,会轻松很多.
我有个想法，象您这样有理论,有方法,有实践经验的,能否办个针对低年级的数学思维启蒙班? 这样象我这样的家长就能省力很多了。

不知者 ... [/quote]

这个很有意思，学习了，回去照葫芦画瓢，让小的对速度有个概念.

循序渐进的辅导：从“动作思维”到“有声思维”

[quote]原帖由 [i]nikkimama[/i] 于 2013-4-17 11:25 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9278875&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
小女6岁，大班，实在是个数感很差的孩子，主要是我这个妈妈也懒惰，从来不给她训练加减法，在人家孩子都熟练100以内的加减法的时候，我们还在20以内偶尔加加减减，最明显的问题是数字本身和数学算式始终无法很好的融合。

例如：自己本来有10个苹果，给妈妈5个，然后爸爸又给了自己3个，那么现在自己有几个苹果呢？答案很快就出来了，8个。
但是继续问：请问你是怎么算出来的呢？ “不知道！”   是用加法还是减法，几加几，几减几呢？ “不知道！”

不知道大家有没有碰到这个问题，像这样的情况，应该如何改善？呵呵

我是在等待她的顿悟。。希望有一天她能突然想明白了。。
[/quote]
　　个人认为，不能给小姑娘下结论，贴标签，说她“数感很差”。她才6岁，还没有到判别发展优势、劣势的时候。要知道，你是她的重要他人，你对她的评价会自我实现——“皮格马利翁效应”，就是说，你认为孩子是什么样的人，后来她就成了你所认为的那种人。对孩子的评价最好就事论事，不要轻易上升为对其内在特质下武断的结论。何况，从你后面的叙述中可以看出这孩子的数感其实并不赖。

　　大人觉得容易的事，对孩子未必容易。例如，孩子能够正确地报出她思考的结果（8个），但她未必能够说清楚自己的思想过程（10－5＋3）。要求一个还没有正式上学的6岁小孩说清楚自己是怎么想的，是强人所难，揠苗助长。请允许我解释一下为什么。

　　如果你去看一看儿童认知发展心理学方面的书，就一定会知道儿童的思维经历了一个从“动作思维”到“有声思维”到“内隐思维”的发展过程。6岁的孩子处于“动作思维”阶段（个别早熟的神童除外），需要借助动作进行思考，就是说，一边做动作一边才能够顺利地思考问题。到小学，孩子会慢慢地进入“有声思维”阶段，不再需要做外部动作也能够进行思考。不过，她得边说边想。如果不让她发声说出自己正在思考的过程，她就无法顺利进行思维。这个阶段会持续多年，一般到小学高年级甚至更晚的时候，“思考的声音”才会逐渐从外部转向内部。也就是说，她无需把思考的过程说出来，也能够顺利地进行思考。“思考的声音”只是在脑子回响，这便是“内隐思维”了。

　　这个发展过程可以提速（有限），但不可以跨越。因此，你要6岁的孩子说清楚答案是怎么算出来的，就是一种超越孩子发展水平的蛮横无理要求，怪不得人家会干脆以“不知道”回应你！如果你想了解这么小的孩子的思维过程，你就不能只让她回顾和言说。应该想办法让她把内心的思考过程“做”给你看。例如，你可以买十来个小苹果回来，或者用棋子代替苹果，和孩子一起来做实验：

　　（1）先让女儿拿10个苹果，再让女儿分5个给妈妈，这时请女儿数一数自己还剩下几个苹果。在女儿数好之后，你一定要当着孩子的面把这个过程解释并表述为“10个苹果减去5个苹果还剩下5个苹果，10减5等于5"。
　　（2）请爸爸给女儿3个苹果，让女儿数一数自己总共有几个苹果。在她数好之后，务必要把这个过程描述和解释为“5个苹果加3个苹果总共有8个苹果，5+3等于8”。
　　（3）最后把整个过程完整地再做一篇，边做边和孩子一起说“10个苹果减5个苹果再加3个苹果总共有8个苹果，10减5再加3等于8”。

　　动手做这样的实验，是小朋友能力所及的事。把做的过程大声地说出来，这是小朋友在家长指导下通过努力可以做到的事，是她的最近发展区。因此光让她动手，苹果来苹果去地，她是不会有进步的。你现在的重点就是要指导和帮助孩子有序地做数学实验、并且把做的过程大声地说出来。这样她才能更快、更顺利地从“动作思维”向“有声思维”过渡。

　　实验可以不断地做下去：小朋友原来有10个苹果，后来爸爸又给她3个苹果，再后来她分了5个苹果给妈妈，现在她还有几个苹果呢？小朋友发现答案还是8。她会进一步发现：无论是爸爸先给苹果，还是后给苹果，并不影响妞妞可以得到8个苹果！这不是为她以后理解10—5＋3＝10＋3—5积累早期的生活经验么？.

回复 3894楼hxy007 的帖子

那么，换句话说，我们在孩子学习数学的初期把数字限制在10以内20以内，是不是为了解决孩子实验的问题呢？.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2013-4-17 13:16 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9279213&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

　　个人认为，不能给小姑娘下结论，贴标签，说她“数感很差”。她才6岁，还没有到判别发展优势、劣势的时候。要知道，你是她的重要他人，你对她的评价会自我实现——“皮格马利翁效应”，就是说，你认为孩子是什么 ... [/quote]

受教~~~看来还是我这个妈的方式方法有很大问题。。遵循孩子的自然发展规律，适当引导。。。。早点看这个帖子就好了。。不过现在也不晚。嘿嘿。.

[quote]原帖由 [i]ccpaging[/i] 于 2013-4-17 14:48 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9279434&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
那么，换句话说，我们在孩子学习数学的初期把数字限制在10以内20以内，是不是为了解决孩子实验的问题呢？ [/quote]

是不是一个从量变到质变的过程，类似达芬奇画蛋那样的反复之后，有些有悟性的孩子对数学的认识就有了质的变化，而有些孩子或许只要掌握基本的运算法则就可以了，他们可能在其他领域有更好的发展。。

这种分门别类的教育也只有在西方能实施了。。哎。.

还未拜读完所有的帖子，就被今天孩子带回来的作业难住了。不知怎样讲解。请赐教！先谢过。

[table=92]   [tr]  [td=1,1,31][size=3]1）[/size][/td]  [td=1,1,61][/td] [/tr] [tr]  [td][/td]  [td][size=3][color=#000000]好 学[/color][/size][/td] [/tr] [tr]  [td][size=3]+[/size][/td]  [td][size=3][color=#000000]
学[/color][/size][/td][color=#000000] [/color][/tr][color=#000000] [/color][tr]  [td][/td]  [td][size=3][color=#000000]学 好[/color][/size][/td] [/tr] [tr]  [td][/td]  [td][/td] [/tr] [tr]  [td=2,1][size=3]好 =（
[color=#000000]）[/color][/size][/td][color=#000000] [/color][/tr][color=#000000] [/color][tr]  [td=2,1][size=3]学 =（
[color=#000000]）[/color][/size]
[size=3][color=#000000][/color][/size]
[table=98]   [tr]  [td=2,1,98][size=3]2）[/size][/td] [/tr] [tr]  [td][/td]  [td][size=3][color=#000000]上 学[/color][/size][/td] [/tr] [tr]  [td][size=3]+[/size][/td]  [td][size=3][color=#000000]学 上[/color][/size][/td] [/tr] [tr]  [td][size=3]学[/size][/td]  [td][size=3][color=#000000]学 好[/color][/size][/td] [/tr] [tr]  [td][/td]  [td][/td] [/tr] [tr]  [td=2,1][size=3]上 =（
[color=#000000]）[/color][/size][/td][color=#000000] [/color][/tr][color=#000000] [/color][tr]  [td=2,1][size=3]好 =（
[color=#000000]）[/color][/size][/td][color=#000000] [/color][/tr][color=#000000] [/color][tr]  [td=2,1][size=3]学 =（
[color=#000000]）[/color][/size][/td][color=#000000] [/color][/tr][color=#000000][/color][/table][/td][color=#000000] [/color][/tr][color=#000000][/color][/table].

前面发的格式有问题，修改了一下，再发。不好意思了。

1）       
        好 学
+            学
--------------------
        学 好
       
好 =（   ）       
学 =（   ）

2）       
        上 学
+        学 上
----------------------
     学        学 好
       
上 =（   ）       
好 =（   ）       
学 =（   ）.

回复 3899楼嘻嘻宝贝 的帖子

每个字可以填入0-9这十个数字当中的一个。

我的建议是家长不要讲。而是运用007的3894#说的“循序渐进的辅导：从“动作思维”到“有声思维””，跟孩子一起尝试。如果家长在尝试过程中发现了某些窍门，可以引导孩子关注。如果没有也没关系，单纯玩就可以了。如果孩子主动提出一些建议或者愿意分享他们的发现，家长认真地倾听并予以肯定。.

我家小一的看了题目，第一题几秒种,第二题脑筋都没动,就答出来了。
第一题我还没想明白呢，他跟我说出答案了。我问为什么，他说2位数倒过来，差是一位数的话，肯定是9.所以，学是9, 后面就接着出来了89+9=98.
我想起以前他自己总结过规律的,2位数,十位和个位倒过来成为另一个2位数, 这样的2个2位数相减,差是9的倍数. 只是,我都没想到把这点用在这里.他是一下子想到,用到了。
第二题,他我以前出过一样的题目给他,是圈,方,三角的，他说，化为文字就是了。问题是，我看了这题，就没想到几个月前出过一样的题目呀.
当时他是先确定学=1,再用枚举法,从2到9,推出另一个数字上=9,然后好=0就自然出来了.
一分钟不到做完,然后说:简单,小菜一碟,又去看他最近着迷的元素周期表了..

回复 3901楼山下清风 的帖子

如果家长或者老师来总结，教的是快了，还的也快。即使记性好没忘记，但孩子自己没有咀嚼过，掌握不了其中的道理。难免生搬硬套，不能举一反三。

看来还是自己总结的规律才不会丢掉。尽管总结规律不容易、花时间，但那是自己的。.

回复 3902楼ccpaging 的帖子

是的，他自己总结，发现规律的，就象扎根在他脑子里似的。
家长教的，或者他自己随意看到的知识，就象是种子落在地面上，风一吹，就飘走不少。
除非他自己思考过，并总结过规律。这样才能扎根下去。
我讲过整除的数的特性，他能记得2，3，5，10。
有次发现新大陆一样，跑过来告诉我：能被10整除的，也能被2和5整除，因为10里面有2和5。
但对能被8和9整除的数的特性，老是记不住。
提醒一下，会做了。过一阵遇到题目，又想不起来了。
下次准备换个方式再讲。对家长，真的是要有耐心和毅力。.

留着.

留着慢慢看.

回复 46楼hxy007 的帖子

我也学习了，谢谢！.

[quote]原帖由 [i]小皮孩妈妈[/i] 于 2013-8-19 16:32 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9431963&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
我也学习了，谢谢！ [/quote]
欢迎你常来，常发表看法。.

世界上最神奇的数字是什么？

答案是：142857。它发现于埃及金字塔内。142857 X 1 = 142857。142857 X 2 = 285714。142857 X 3 = 428571 。142857 X 4 = 571428。142857 X 5 = 714285。142857 X 6 = 857142 。同样数字调换了位置反复出现。那么它乘与7是多少呢？竟然是999999。
[img]http://ww4.sinaimg.cn/bmiddle/989bac92jw1e8qexg0khjj20ae0bsgmg.jpg[/img].

回复 3908楼天恒爸爸 的帖子

嗯，神奇！——

142857×1 = 142857  142857×8 = 1142856    142857×15 = 2142855
142857×2 = 285714  142857×9 = 1285713    142857×16= 2285712
142857×3 = 428571  142857×10 =1428570    142857×17 =2428569
142857×4 = 571428  142857×11= 1571427    142857×18= 2571426
142857×5 = 714285  142857×12 = 1714284   142857×19 = 2714283
142857×6 = 857142  142857×13 =1857141    142857×20 =2857140
142857×7 = 999999  142857×14 =1999998    142857×21 =2999997.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2013-9-20 19:39 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9460806&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
嗯，神奇！——

142857×1 = 142857  142857×8 = 1142856    142857×15 = 2142855
142857×2 = 285714  142857×9 = 1285713    142857×16= 2285712
142857×3 = 428571  142857×10 =1428570    142857×17 ... [/quote]
为什么这么神奇呢？.

[quote]原帖由 [i]xiyuemama[/i] 于 2013-9-20 23:46 发表 [url=http://www.4321ww.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9460916&ptid=4564875][img]http://www.4321ww.net/images/common/back.gif[/img][/url]

为什么这么神奇呢？ [/quote]
1/7=
2/7=
3/7=
4/7=
5/7=
6/7=.

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2008-10-10 15:15 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=3661355&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]


　　是的。老师的压力太大了，顾忌太多了，因而很难把数学教活，教得妙趣横生。老师做不到，只好我们家长来弥补了，在辅导孩子的过程中，努力恢复数学的本来面目，和孩子一起探索，体会数学的精妙和趣味。楼上几 ... [/quote]
老师对着10个孩子也能这样教，对着50个层次各异的孩子这样的教学就很难开展了。在这样的活动中，有能力的孩子得到了挑战，但不要忽视部分孩子可能根本没有听懂，对他们而言滞留的学习困难何时解决。探究性学习和体验学习需要空间，也需要适时的点拨，一个老师，50个孩子，35分钟的时间，紧促的教学进度，学期末的考试等都是不得不面对的现实。这就照成了我们的学校教学如同在生产产品，赶时间，赶进度。莫把责任全压在老师身上，中国教育考什么，怎么考才引导了中国教育教什么，怎么教，这一现状不是一线老师所能决定的。真正起主导作用的部门，也无人敢于开创真正的教育改革。.

[quote]原帖由 [i]啦啦妈妈[/i] 于 2013-10-16 13:18 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9482410&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]

老师对着10个孩子也能这样教，对着50个层次各异的孩子这样的教学就很难开展了。在这样的活动中，有能力的孩子得到了挑战，但不要忽视部分孩子可能根本没有听懂，对他们而言滞留的学习困难何时解决。探究性学习和体 ... [/quote]
　　本人其实就是个教员，深知集体教学之难之苦。但是，我觉得我的同行们面对一个50人班级的时候（尤其学生水平参差时），只想到自己是教育者，很少想到水平不一的学生本身就是一个可以利用的课堂特点，更少运用合作学习和同伴辅导制去动员和利用这种教育力量。中国老师在教学专业智能方面的训练是存在严重不足的。.

马克一记，慢慢看.

建议置顶.

留着

留着，以后慢慢看.

*** 该贴被屏蔽 ***

:flower:.

学习ing

做好了跟着儿子重读一年级的准备:L.

[quote]原帖由 [i]vivilang[/i] 于 2014-6-9 22:28 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9637783&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
做好了跟着儿子重读一年级的准备:L [/quote]
加油！和孩子一起成长.

真是非常好，:flower:.

做个记号，要认真学习这儿的方法。

回复 8楼有你乐无穷 的帖子

赞同，现在的学习进度和我们当初是不能比的。。。
就语文来说，每天一课，大量的生词默写，孩子甚至都不理解词义，仅仅靠记忆记住默写出来。。这样的环境和节奏，怎样才能让孩子有时间去钻研呢？
或者有人会说，那能钻研的孩子还是有的呀~
确实是有，这个和天赋、和兴趣、和环境都有影响，而现在太多的家长和老师、学校要求的都是门门优秀，平衡发展。
对于大部分的学生来说，做到都是不容易的。

回复 125楼sanmum 的帖子

这个就是奥数里的抬腿法~
说实话，本人和本人先生都是不赞成学习奥数的，但是看了身边很多的实例，还是参加了奥数的课程学习。
我自己听课下来的感觉是，其实就是很多知识提前学，现在小二可能会用到我们以前高二学的概念。
奥数老师的作用就是怎么样用简单的语言和小朋友能理解的逻辑去告诉他。
这个可能和老师本身也有很大的关系，也许我们是碰到了一个好老师。

好久不来了

回复 3925楼hxy007 的帖子

这个“好久”竟是一别数年，终于又见到了大侠！

重新再来看一遍引导小娃:lol

[quote]原帖由 [i]不不园[/i] 于 2017-1-9 21:19 发表 [url=http://ww123.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9854064&ptid=4564875][img]http://ww123.net/images/common/back.gif[/img][/url]
这个“好久”竟是一别数年，终于又见到了大侠！ [/quote]
俺又来了，纪念一下！

回复 3928楼hxy007 的帖子

大侠发言啊，不要神龙见首不见尾。

[quote]原帖由 [i]hxy007[/i] 于 2013-10-21 17:06 发表 合作学习和同伴辅导制[/quote]

这个提议非常好。尤其从中学开始，孩子的表达能力也提高了，同伴合作互助有了基础，真的可以做到同学之间教学相长。

关门了！幸好还留着后门，但愿一直留着。