火车是运茶的 2008-8-29 21:26
休闲数学小品 （109＃无限困惑）
[b]小序[/b]
有关奥数的讨论，已经告一段落了。在该帖的最后，我提供了一些“好数学”和“不好的数学”的讨论；后面推荐了几本书。帖子的链接在这里：
[url]http://ww123.net/baby/thread-4542628-1-1.html[/url]
本帖主要是写一些好玩的数学小品，适合从小学高年级到高中的学生，以及有兴趣的数学爱好者们阅读。题目起名休闲，就是说不希望大家带着思想负担来读——这里的东西大概不会对你的数学成绩有立竿见影的影响，或者帮助你在奥数比赛中取得好成绩。最好是闲时来看看，玩味玩味就好。如果读者朋友们能够从中获取一丝乐趣，或者发出“真有意思”的感叹，那作者就很满足了。
同时，既然名为休闲，更新将是不定期的。兴之所至的时候我会考虑一下，然后有空再贴上来。
后面有网友提议我出一些题目。题目我大概不会出了。事实上我每个小节都会有意或者无意留下一点尾巴，有些过程一笔带过，读者们可以补上细节，作为深化理解和复习巩固之用；有时候也可以找到未讲完的地方深入思考，说不定会有小小的发现。以前自己读书时看到“其证明留给读者作为练习”总是恨得牙痒痒，现在终于轮到自己使用这个特权了，真高兴！
[b]目录[/b]
2#: 有限小数和无限循环小数
39＃： 化循环小数为分数
80＃： 一个论文题目
85＃： 一些符号约定
86＃： 多普勒效应
93＃： 循环节长度之谜
97＃： 循环节长度之谜（续）
100＃： 循环节长度之谜（三）
101＃： 循环节长度之谜（四）
104＃： 循环节长度之谜（五）
106＃： 费马小定理
108＃： 同余
109＃： 无限困惑
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-12-29 20:04 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-8-29 23:58
有限小数和无限循环小数
我们知道实数分为有理数和无理数。无理数是无限不循环小数，有理数或者是有限小数，或者是无限循环小数。这里就来讨论有理数的小数形式。
我们自然要问，什么样的有理数可以写成有限小数，什么样的有理数只能写成循环小数。假设我们手头有一个有限小数1.234567，如果我们抹去小数点，就变成整数1234567。抹去小数点这个操作，用数学的语言来说，就是乘以10的某次幂（整数幂，下同）。也就是说，一个有限小数，可以通过乘以10的某次幂而变成整数。
反过来，如果一个小数可以通过乘以10的某次幂变成整数，那么它一定是一个有限小数。这些从有限小数的定义很容易看出来。进一步，任何无限循环小数因为有无限的小数位，所以不能通过上面的方法得到其对应的整数。
现在来考虑有理数的分数形式。假设现在有一个有理数p/q，其中p和q互素。根据上面的讨论，如果p/q对应的小数是有限小数，那么必然存在10的某次幂可以被q所整除。这意味着q不包含2和5之外的素数因子。（网页上不好写指数和下标，真痛苦）
现在可以得出这样的法则：一个有理数，写成其既约分数形式p/q，如果q只包含2和5这两个素数因子，p/q就可以写成有限小数。反之，只能写成无限循环小数。
读者自然要问，为何有限小数对应的既约分数的分母只能包含2和5呢？答案在于我们使用的进位制，10。因为10的素数因子只有2和5。这点可以从前面抹去小数点的地方看出来。
进一步，如果我们考虑其它的进位制，那么一种进位制里的有限小数是不是就有可能会变成另外一种进位制里的无限小数了呢？答案是肯定的。这完全取决于所考虑的有理数在特定的进位制中，其既约分数的分母是否只包含在进位制数中出现的素数因子。
举个例子，十进制的1/3在十进制中是无限循环小数0.33333333……，在三进制中就是有限小数0.1。
本节说明，有限小数和无限循环小数是相对的。下一节讨论循环小数的循环节。
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 20:54 编辑 [/i]].
hxwcwctt 2008-8-30 12:05
疑惑：0.9的循环是否等于1？
因为：1/9=0.1的循环
8/9=0.8的循环
所以：0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环
因为：1/9+8/9=0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环
1/9+8/9=1
所以：0.9的循环=1？
可是我怎么也想不通0.9的循环怎么会是1呢？
[[i] 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 12:09 编辑 [/i]].
郝老妈 2008-8-30 13:06
o.9的循环是无限循环小数，0.9的循环只是无限逼近1，但不是1。只是无限逼近。
如果按楼上的说法。0.9的循环=1，那是近似值取位的问题。.
hxwcwctt 2008-8-30 15:12
回复 4#郝老妈 的帖子
从道理上讲是如您所说0.9无限循环严格意义上讲不等于1，但是从推论上说好像就是0.9的循环=1，不是近似问题，见3#推论。
[[i] 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 15:23 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-8-30 16:51
3楼的推理是正确的。但是由于其无限的小数形式，使得理解起来有一定的困难。有两种方法可以绕过这些困难。这两种方法的基本思路都是化无限为有限。
第一种方法就是用前面讲的，变换进位制，化无限小数为有限小数。1/9写成十进制的小数是0.11……，写成九进制的小数是0.1；依此类推，可得下表：
十进制分数 十进制小数 九进制小数
1/9 0.111…… 0.1
2/9 0.222…… 0.2
3/9 0.333…… 0.3
4/9 0.444…… 0.4
5/9 0.555…… 0.5
6/9 0.666…… 0.6
7/9 0.777…… 0.7
8/9 0.888…… 0.8
9/9 0.999…… 1
注意最后一列，九进制里面只有0 1 2 3 4 5 6 7 8这九个数字，满9就进位了，所以0.8+0.1=1。
第二种方法留到下一节再一起讲。
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 17:03 编辑 [/i]].
hxwcwctt 2008-8-30 17:16
回复 6#火车是运茶的 的帖子
大师，按照你这么说，3楼的推论是错误的，1/9，1/3等根本就不能用十进制来表示，是吗？.
火车是运茶的 2008-8-30 17:41
[quote]原帖由 [i]hxwcwctt[/i] 于 2008-8-30 17:16 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3408214&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
大师，按照你这么说，3楼的推论是错误的，1/9，1/3等根本就不能用十进制来表示，是吗？ [/quote]
惭愧，大师不敢当。我的网名比较拗口，叫火车就可以了。
1/9，1/3都可以用十进制表示啊，可以表示为分数或者循环小数。只是不能在十进制中用有限小数表示罢了。3楼的推理没有大的问题，只是加法的处理有一点技术上的困难——无限小数怎么相加呢？如果还要处理进位就更难办了。不过中小学没有必要搞这么严密，有时候依赖直觉和观察，也就糊弄过去了。一定要严格的话，化成分数进行处理就行了。.
hxwcwctt 2008-8-30 18:02
现在想明白了，1/3不等于0.3的循环，所以就得不到后面的荒谬的结论了（1也不等于0.9的循环）:lol.
hxwcwctt 2008-8-30 18:04
回复 8#火车是运茶的 的帖子
唉，这个是我女儿四年级留给我的问题，9楼的回答是她刚得出的结论。小孩子的问题还是要给她弄明白的。.
火车是运茶的 2008-8-30 18:05
这这这……:L
1/3的确等于0.3的循环，
1也的确等于0.9的循环。
不知道我哪里没有解释清楚，以致你得出9楼的结论。.
香甜蛋糕 2008-8-30 18:08
火车，不知您为何将数学以“好数学”“不好数学”区分？
也许我的提问会有问题，我对数学不精通，但是对您的这个主题的讨论很感兴趣，特别是在这个板块里能够看到别具一格的探究性的话题。谢谢！.
火车是运茶的 2008-8-30 18:09
哦，原来是小孩子写的。
2楼的内容可能小学生看起来比较吃力，需要大人从旁协助。.
火车是运茶的 2008-8-30 18:20
[quote]原帖由 [i]香甜蛋糕[/i] 于 2008-8-30 18:08 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3408368&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
火车，不知您为何将数学以“好数学”“不好数学”区分？
也许我的提问会有问题，我对数学不精通，但是对您的这个主题的讨论很感兴趣，特别是在这个板块里能够看到别具一格的探究性的话题。谢谢！ [/quote]
这个概念最早是已故数学大师陈省身提出来的。他在不同的场合反复提到过这个区分。例如（[url]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4542628&page=4#pid3288518[/url]）：
梁东元：那么，什么才算是好的数学呢？难道还有坏的数学？
陈省身：好的数学就是有开创性的，有发展前途的。好的数学可以不断深入，有深远意义，能够影响许多学科。比如说，解方程就是好的数学。搞数学都要解方程，一次方程容易解，二次方程就不同，等等。这一类的数学是不断发展的，有永恒价值，所以是好的。而不好的数学就是那些仅限于把他人的工作推演一番的研究。还有一些数学虽然也蛮有意思，但也仅仅是一种游戏罢了。
梁东元：究竟怎么样才算不好的数学，这方面应该也有不少例子吧。
陈省身：举个例子，大家也许知道有个拿破仑定理。据说这个定理和拿破仑有点关系。它的意思是说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边的三角形。各边上的等边三角形也可以朝里面作，于是可以得到两个解。像这样的数学，就不是好的数学，为什么？因为它难以有进一步的发展。当然，你可以把它纯粹当作一种游戏，做事累的时候用来解闷，也是很有意思的。再把话说开来，比如现在世界上，还有国内每年发表的论文，多数是没有什么意义的平庸之作，只是在已经有的工作上做一些枝节的推广和改进，没有多大的创造性。
当然，选择好的方向，做好的数学，需要很强的能力。有能力做好的数学的人都是用功的，因为重复别人总是容易一些，但你想创新就要用功。.
hxwcwctt 2008-8-30 18:36
回复 11#火车是运茶的 的帖子
虽然是孩子得出的结论，但是这个困扰她多时的问题也是在看了您的帖子后得出的：
1、您不能用10进制来解释，只能转而用9进制来解释
2、既然不能用10进制解释，3楼的整个演算过程又没有出问题，那么就说明1/3表达为0.3的循环有问题
3、转而又去其他网站搜索了一番，[url]http://q.163.com/mathsci/blog/yuhc123@126/3982949720080319393596/#3982949720080319393596[/url]
然后她就一本正经的告诉我她得出的结论，1/3和0.3的循环是无限接近的概念，还告诉我如此这班，我们的教科书是否有问题了？.
香甜蛋糕 2008-8-30 19:16
回复 14#火车是运茶的 的帖子
谢谢火车的举例和解释。
最后的一句话蛮经典的：有能力做好的数学的人都是用功的，因为重复别人总是容易一些，但你想创新就要用功。.
火车是运茶的 2008-8-30 19:52
回复 16＃香甜蛋糕 的帖子
那句话也是陈省身说的。:)
我只是拾人牙慧而已。.
qq12 2008-8-30 20:14
回复 2#火车是运茶的 的帖子
我们先弄明白十进制和三进制的表达方式
十进制 三进制
1 1
2 2
3 10
4 11
5 13
6 20
十进制：1/3 小数形式表达为0.33333.....
三进制：1/10 不等于0.1，分母应读为“一零”，不能读成“十”，如果说等于0.1，就是采取了10进制的计算规则。
所以您的论点存在严重的漏洞。.
火车是运茶的 2008-8-30 20:28
回复 15＃hxwcwctt 的帖子
我不是不能用十进制来解释，只是用九进制解释比较容易令人接受。关于进位制，我不打算过多解释。看起来令千金对进位制有一点误解。应该说，进位制仅仅是表示数字的一种形式。同一个数字，在不同的进位制下面有不同的写法。例如，17的二进制表示为10001（1x16+1），三进制表示为122（1x9+2x3+2x1），九进制表示为18（1x9+8），这些数字表示的是同一个数。所以不能说我换了一个进位制来解释问题，就认为十进制不能表达1/9。
不能表示为整数的有理数，总是能用分数表示出来。这个分数可能写成有限小数，也可能写成循环小数。这些前面已经讲过了。需要强调的只是，一个分数和他的小数形式是等价的，表达的是同一个数。也就是说，1/3和0.3的循环本来就是同一个数。
对于1=0.999……这个事实，可以简单理解为0.999……是1的另外一种写法。
任何时候，请不要轻易怀疑教科书。这和独立思考没有矛盾。合理的怀疑，应该建立在充分的理由之上。
无限的概念的确比较难以理解。我看了你给出的链接。那里的推理和结论都是错误的。我没有看过兰佐斯的《无穷无尽的数》。所引或为笔误。
回到二楼的结尾，如果你对循环小数的无限性感到困惑，请换一种进位制去看它。或者，把它转化为分数。
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 20:36 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-8-30 20:42
回复 18#qq12 的帖子
十进制的5写成三进制应该是12吧。
我没有写得很仔细，让你误解了。我的意思是
举个例子，[b]十进制的1/3[/b]在十进制中是无限循环小数0.33333333……，在三进制中就是有限小数0.1。
那个0.1是三进制的0.1，不是十进制的0.1。它表示的是三进制的1/10，也就是十进制的1/3，正如十进制的0.1表示十进制的1/10一样。
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 20:48 编辑 [/i]].
hxwcwctt 2008-8-30 20:45
回复 19#火车是运茶的 的帖子
0.9循环等于1，这个结论的依据呢？ 1是整数，0.9的循环是无限循环小数，按照您的推论，整数可以由一个无限循环小数来表达？整数就是无限循环小数? :L
18楼说的有点道理，你在6楼说的9进制中，小数的计算是否也采取的10进制规则呢？
非10进制规则中有小数吗？如果有小数，计算规则是什么？有依据吗？
[[i] 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 20:53 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-8-30 21:14
回复 21# hxwcwctt的帖子
啊，依据不就是你在3#的证明吗。
整数写成无限循环小数不应该使人感到震惊。有一种叫做连分数的东西才叫奇怪呢。不知道以后有没有机会讲到。
任何进位制中都会有小数的。计算规则其实很简单，和十进制是类似的。如果是p进制，那么把10换成p就行了。比如相加满了p就要进位，比如6楼的：
九进制里面只有0 1 2 3 4 5 6 7 8这九个数字，满9就进位了，所以0.8+0.1=1。.
hxwcwctt 2008-8-30 21:20
回复 22#火车是运茶的 的帖子
我指的是0.1和0.8是怎么得来的？18楼的问题“三进制：1/10 不等于0.1，分母应读为“一零”，不能读成“十”，如果说等于0.1，就是采取了10进制的计算规则。”怎么回答？就是我问的九进制中0.1和0.8是怎么得来的？
[[i] 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 21:28 编辑 [/i]].
tysl9719 2008-8-30 21:38
:handshake :handshake.
火车是运茶的 2008-8-30 21:41
[quote]原帖由 [i]hxwcwctt[/i] 于 2008-8-30 21:20 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3408898&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
我指的是0.1和0.8是怎么得来的？18楼的问题“三进制：1/10 不等于0.1，分母应读为“一零”，不能读成“十”，如果说等于0.1，就是采取了10进制的计算规则。”怎么回答？就是我问的九进制中0.1和0.8是怎么得来的？ [/quote]
进位制就是这么回事啊。一般的说，考虑p进制abc.de，它表示的就是
axpxp + bxp + c + d/p + e/(pxp)
小数点前适用乘法，后面适用除法。
举个例子，十进制的123.45表示1x10x10 + 2x10 + 3 + 4/10 + 5/(10x10)
所以十进制的1/9写成九进制就是1/10，按照进位制的约定，也就是九进制的0.1。.
qq12 2008-8-30 21:43
回复 20#火车是运茶的 的帖子
三进制是1/10，那个“10”（一零）不是10（十），所以怎么可以得出0.1的结论呢？.
hxwcwctt 2008-8-30 21:57
回复 25#火车是运茶的 的帖子
关于进位制问题我明白了，但是关于1和0.9循环等同问题，还持保留意见。.
火车是运茶的 2008-8-30 21:58
[quote]原帖由 [i]qq12[/i] 于 2008-8-30 21:43 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3409038&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
三进制是1/10，那个“10”（一零）不是10（十），所以怎么可以得出0.1的结论呢？ [/quote]
这个0.1是三进制的0.1，也就是十进制的1/3。如果是三进制的0.01，就是十进制的1/9。
一般地，p进制的0.1就是1/p，0.01就是1/(pxp)，余类推。.
火车是运茶的 2008-8-30 22:03
[quote]原帖由 [i]hxwcwctt[/i] 于 2008-8-30 21:57 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3409100&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
关于进位制问题我明白了，但是关于1和0.9循环等同问题，还持保留意见。 [/quote]
既然能够接受分数可以写成循环小数，那么整数写成循环小数应该不会使人太惊讶。以有理数的观点，整数不过是一种特殊的分数而已。循环小数不过是另一种写法罢了。
不过你可以继续保留意见。涉及到无限，确实容易令人困惑。.
qq12 2008-8-30 22:04
回复 28#火车是运茶的 的帖子
谢谢诶。:handshake.
hxwcwctt 2008-8-30 22:07
回复 29#火车是运茶的 的帖子
我是对18楼提出的问题搞明白了，但是依然认为分数不能以循环小数方式表示，因为0.9的循环和1在实际中一定存在差距的。谢谢你的耐心解答。.
shumi1 2008-8-30 23:04
回复 14#火车是运茶的 的帖子
那么,现在学校教的数学,算好还是算坏?;P.
liuqf 2008-8-30 23:43
关于1和0.9循环等同问题，到了大学学了数学分析就知道最终原理了，这里包含极限的思想。对小孩子们说这个极限思想可能现在太难理解了，就对他们保留这点数学的神秘也是不错的，告诉他们长大了自己去学。.
hxwcwctt 2008-8-31 05:55
回复 19#火车是运茶的 的帖子
至于用10进制还是用9进制，理解为：
把蛋糕分成9等份，每等份为1/9，那么如果用分数来表示的话，十进制就是我们都认同的0.1的循环，9进制就是0.1，问题是1/9这个分数在9进制中表示为0.1是没有问题的，但是在十进制中是否能够表示为0.1的循环？
无限接近就是等于？比如终点站，我们在无限接近它，就是等于到达终点站？.
火车是运茶的 2008-8-31 08:55
[quote]原帖由 [i]shumi1[/i] 于 2008-8-30 23:04 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3409394&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
那么,现在学校教的数学,算好还是算坏?;P [/quote]
基本都是好的。
奥数嘛，嘿嘿，看顶楼的链接好了。.
火车是运茶的 2008-8-31 08:59
同意保留神秘感。这个问题暂且搁置吧。.
不言之教爸爸 2008-8-31 09:42
偶不懂数学，不过通过火车仁兄在大杂烩版块发表的一些有关人文和社会思想方面的帖子，已经对仁兄有相当的了解，相信仁兄在数学方面也同样具有令人耳目一新的视野和造诣！.
火车是运茶的 2008-8-31 10:50
回复 37＃兰兰的好爸爸 的帖子
谢谢你的夸奖！我对令千金的画作印象很深刻。有机会要向你好好讨教。
也感谢楼上网友们的热情参与。希望本帖对培养大家的数学兴趣有帮助。.
火车是运茶的 2008-8-31 11:03
化循环小数为分数
我们知道，有理数都可以表示为整数或者分数的形式。循环小数作为有理数，肯定也有对应的分数形式。本节就来讨论怎样把循环小数化为分数。
循环小数具有无限性，而分数具有有限性。因此化循环小数为分数，关键就在于消除其中的无限性。怎么消除呢？利用循环节重复出现的特征。
举个例子，1/7=0.142857……，142857为循环节。记1/7为a，则有
a= 0.142857……
1000000a=142857.142857……
我有意进行了对齐。上面两个式子相减得到
999999a=142857
这样就把无限部分抵消掉了。得到
a=142857/999999
基本上就是这么一个方法。关键是循环节的长度t。把需要考虑的循环小数乘以10的t次幂，再减去原来的数，就可以把无限部分抵消了。.
火车是运茶的 2008-8-31 11:14
利用上面的方法，可以把0.9……里面的循环去掉。令a=0.9……，按照上面的方法，10a=9.9……。两式相减得到9a=9，所以a=1。.
老姜 2008-8-31 11:38
:)
[[i] 本帖最后由 老姜 于 2008-8-31 12:11 编辑 [/i]].
老姜 2008-8-31 11:43
:)
[[i] 本帖最后由 老姜 于 2008-8-31 12:12 编辑 [/i]].
子玖妈妈 2008-8-31 17:05
谢谢楼主的努力，我已经订了《什么是数学》，相信对孩子有帮助。[tt7].
hxwcwctt 2008-8-31 17:49
回复 39#火车是运茶的 的帖子
火车大师，您的帖子真的很好，是否考虑每讲完一次弄些有趣的题目做做？如果能够结合实际生活的更好，我们大家可以一起玩玩。:handshake.
火车是运茶的 2008-8-31 19:25
回复 44#hxwcwctt 的帖子
谢谢你的欣赏。不过真的，请不要叫我大师。在我眼里只有少数数学家可以称得上大师，而他们是不会来旺网的。
题目我大概不会出了。事实上我每个小节都会有意或者无意留下一点尾巴，有些过程一笔带过，读者们可以补上细节，作为深化理解和复习巩固之用；有时候也可以找到未讲完的地方深入思考，说不定会有小小的发现。以前自己读书时看到“其证明留给读者作为练习”总是恨得牙痒痒，现在终于轮到自己使用这个特权了，真高兴。[em03]
还有另外一个原因就是本帖意为休闲，不想因为出题而让小读者们觉得有负担；要是把人吓跑了，我不就损失一个读者了嘛。
结合实际生活的提议很好，我要是想到了会写一些的。但是目前并没有成形的写作计划，基本上是想到哪里写到哪。.
火车是运茶的 2008-8-31 21:02
关于1=0.9……的一个有意思的证明
这里实际证明的是1.111……=10/9。
某巧克力厂商搞促销，每块巧克力里面有一张兑换券，集齐10张可以兑换一块巧克力。当然，兑换得到的巧克力里面也有一张兑换券。
现在的问题是，这样的一张兑换券相当于多少块巧克力？10张券可以换一块巧克力，这换来的巧克力里面还有一张券，可以和另外9张券一起换得一块巧克力，所以这里应该还有0.1块；这0.1块里面又有部分券……依此类推，10张券应该相当于1+0.1+0.01+0.001+0.0001+……块不含券的巧克力，也就是1.1111……块。
另一方面，可以证明9张券正好可以兑换一块不含券的巧克力。你可以拿着9张券跑到商店去，跟老板说：“请给我一块巧克力，我将立刻吃掉它，然后给你支付10张兑换券。”只要老板同意，你可以吃掉那块巧克力，然后把自己的9张券和老板给的巧克力里面的那张券一起交给老板，完成购买手续。因此，一张券相当于1/9块不含券的巧克力。10张券就是10/9块不含券的巧克力。
这证明1.111……=10/9。
请参见《无穷的玩艺——数学的探索与旅行》
大连理工大学出版社.
zhenai 2008-9-1 09:53
回复 43#子玖妈妈 的帖子
这本书适合大学生看。.
火车是运茶的 2008-9-1 09:56
[quote]原帖由 [i]zhenai[/i] 于 2008-9-1 09:53 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3413437&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
这本书适合大学生看。 [/quote]
高中生可以看的。
部分内容预初就可以看了。.
子玖妈妈 2008-9-1 10:05
回复 47#zhenai 的帖子
怕以后又脱销了，备着。.
zhenai 2008-9-1 10:18
回复 48#火车是运茶的 的帖子
厚厚一大本，怎么说也得读懂大部分吧，否则部分内容小学生也可以看了。看这本书还是有些高等数学基础为好。.
zhenai 2008-9-1 10:20
回复 49#子玖妈妈 的帖子
这倒也无妨，这类书印量和销量都很低。。。[em02] [em02].
qq12 2008-9-1 10:45
[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-8-31 11:03 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3410124&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
我们知道，有理数都可以表示为整数或者分数的形式。循环小数作为有理数，肯定也有对应的分数形式。本节就来讨论怎样把循环小数化为分数。
循环小数具有无限性，而分数具有有限性。因此化循环小数为分数，关键就在 ... [/quote]
大师好，有个小问题求教：当a=0.11345345345........怎么办？？谢谢！.
zhenai 2008-9-1 10:51
回复 52#qq12 的帖子
去翻翻小学课本吧.
qq12 2008-9-1 10:58
回复 53#zhenai 的帖子
谢谢！.
火车是运茶的 2008-9-1 11:17
[quote]原帖由 [i]zhenai[/i] 于 2008-9-1 10:18 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3413745&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
厚厚一大本，怎么说也得读懂大部分吧，否则部分内容小学生也可以看了。看这本书还是有些高等数学基础为好。 [/quote]
喜欢的话，可以从小学一直啃到高中。其实我设想本书很适合那些高中“吃不饱”的，在上大学之前先行了解一些近代的数学思想，就不会觉得大学课程跟高中脱节太厉害。
不喜欢就，嗯，费了。可以在购买之前先去书店看看。.
shumi1 2008-9-1 16:25
回复 39#火车是运茶的 的帖子
问问wiki吧
[url]http://zh.wikipedia.org/wiki/0.999...[/url]
在完备的实数系中，循环小数0.999...，也可写成、或，表示一个等于1的实数。也就是说，“0.999...”所表示的数与“1”相同。长期以来，该等式被职业数学家所接受，并在教科书中讲授。目前这个等式已经有各种各样的证明，它们各有不同的严密性、背景假设都蕴含实数的阿基米德性（En:Archimedean field）、历史文脉、以及目标受众。。。。。。。。.
hxwcwctt 2008-9-1 17:58
回复 46#火车是运茶的 的帖子
对于这个巧克力问题，其实也是有限和无限的问题，比如对一个家庭来说，他购买的巧克力越多（假定每次购买巧克力都有一张券，每次的券都会去抵扣巧克力），那么倒推算过来买的越多这个券的价值越高，比如他10次用券抵换了10块巧克力，那么每张券值0.109890…块巧克力，如果他1000次用券抵换了1000块巧克力，那么每张券值0.11109876…块巧克力；当你40000次用券抵换了40000块巧克力，那么每张券值0.1111108024…块巧克力；所以要接近你的数据恐怕这辈子的巧克力都吃不完的。:lol
再说说第二个例子，那店家老板如果同意那样做的话已经偷换了游戏规则，相当于9张券换1块巧克力，那时损害了厂方的利益啊。如果我是厂方，如果我知道有这样的老板，我一定炒他鱿鱼。:Q
看来平时商家推出的曾出不穷的数学游戏得好好琢磨琢磨。
[[i] 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-1 18:47 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-9-1 20:25
维基百科是好东西，现在因为奥运开放了，但是未来会不会再封掉还未可知，希望不要。
虽然每节后面我不会出题，但是把题目出在前面还是可以的。下面要留一道习题给读者们做。这本来是后面某一节的主题，也可以联系生活的。这里请允许我偷个懒，你们帮我做掉一些。:)
小明是个神枪手，弹无虚发。他有一支玩具枪，能够以每秒一个的速度连续发射塑料珠子，珠子射出枪口的速度为每秒5米。
现在小明站在离一个靶子10米远的地方开枪。珠子打在靶子上的频率是每秒钟一个。
我的问题是，如果小明以每秒2米的速度朝着靶子走，其它条件不变，那么珠子打在靶子上的频率是多少？如果小明是沿反方向走呢（枪口仍然对着靶子）？.
zhenai 2008-9-2 09:47
维基百科一定会再封掉的，不用担心。
还是关起门来玩玩多普勒效应吧。。。[em03] [em03].
火车是运茶的 2008-9-2 12:43
回复 59#zhenai的帖子
你也是行家里手。
上面的题目，中学生要把数字换成代数符号来做。.
hxwcwctt 2008-9-3 17:42
回复 58#火车是运茶的 的帖子
间隔0.6秒/颗，还有就是1.4秒/颗.
火车是运茶的 2008-9-3 17:57
回复 61#hxwcwctt的帖子
能给出推理和计算过程吗？.
hxwcwctt 2008-9-3 19:09
回复 62#火车是运茶的 的帖子
用的是笨办法：
第一颗发出子弹的时间为起始点0，n为每整数秒激发点
向着靶子：每一颗子弹到靶的时间：（10-2*n）/5+n （有限）
反向： 每一颗子弹到靶的时间：（10+2*n）/5+n （可以发射无限多，只要有足够子弹和足够空间 :lol ）
计算出每颗子弹到达时间，相邻之差为等值，即题意要求计算的频率。
不过猜不出来你要讲什么唉。
[[i] 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-3 19:20 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-9-3 19:52
回复 63 #hxwcwctt的帖子
还要再推敲一下。子弹相对靶的速度要考虑小明的运动速度。
这不是一道纯粹的数学题，它有很深的物理背景，其原理在日常生活和科学研究中有广泛的应用。
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-3 19:55 编辑 [/i]].
hxwcwctt 2008-9-3 20:21
向着靶子-------二颗子弹到达靶子的间隔时间: ：(（10-2*n）/(5+2)+n )-((10-2*(n-1))/(5+2)+(n-1))=6/7(秒)
反向------------二颗子弹到达靶子的间隔时间: ：(（10+2*n）/(5+2)+n )-((10+2*(n-1))/(5+2)+(n-1))=9/7(秒)
均为常值,也就是有固定频率,是这样吗?? :)和原来答案的区别是以固定的靶子为参照物,要考虑射手的行进速度.
[[i] 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-3 20:30 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-9-3 20:31
[quote]原帖由 [i]hxwcwctt[/i] 于 2008-9-1 17:58 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3418480&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
那店家老板如果同意那样做的话已经偷换了游戏规则，相当于9张券换1块巧克力，那时损害了厂方的利益啊。如果我是厂方，如果我知道有这样的老板，我一定炒他鱿鱼。 [/quote]
这样，你可以跟朋友借一张券，兑换了，吃了巧克力，再把换来的那张券还给朋友。.
hxwcwctt 2008-9-3 20:35
回复 66#火车是运茶的 的帖子
对的。:lol
快说说现在做的题目.
火车是运茶的 2008-9-3 20:54
向着靶子——式子对的，答案计算有误。
反向——子弹的速度应该是3米/秒。
其实，不用考虑那个10米，也可以计算出答案。频率的变化是固有的，与小明跟靶子的距离无关。.
hxwcwctt 2008-9-3 21:04
回复 68#火车是运茶的 的帖子
向着靶子-------二颗子弹到达靶子的间隔时间: ：(（10-2*n）/(5+2)+n )-((10-2*(n-1))/(5+2)+(n-1))=5/7(秒)
反向------------二颗子弹到达靶子的间隔时间: ：(（10+2*n）/(5-2)+n )-((10+2*(n-1))/(5-2)+(n-1))=5/3(秒)
惭愧，犯了个低级错误，不过还是没有考虑出来为什么不要考虑10M，脑细胞不够用了，大师列个式子看看吧。
[[i] 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-3 21:06 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-9-3 21:08
你上边的式子就可以把10抵消掉的。.
hxwcwctt 2008-9-3 22:47
回复 70#火车是运茶的 的帖子
哦，原来是此意，我还以为是列式中不需要长度概念呢。
那么这个题目怎么就说在日常生活中和科研中得到广泛应用呢？
另外，这个和你现在讲得循环小数有瓜葛吗？.
家有考王 2008-9-4 01:15
回复 71#hxwcwctt 的帖子
多普勒效应——可用于速度的测定，比如高架上车辆行驶的速度。超速的罚单就是运用读普勒原理的结果。.
火车是运茶的 2008-9-4 06:04
考爸正解！
这和循环小数没有关系。.
家有考王 2008-9-4 06:53
回复 72#家有考王 的帖子
警车呼啸而来、呼啸而去，声音由尖锐变为低沉。就是声波的多普勒效应。
有难度、有趣味，就是火车说的“好的”数学吧。.
火车是运茶的 2008-9-4 09:44
回复 74#家有考王的帖子
我尽量写一些对中小学生而言有趣味，同时又能激发思考和探索的东西。.
hxwcwctt 2008-9-4 10:10
回复 75#火车是运茶的 的帖子
我属于比较不开窍的那种，考王爸是明白的很，我还是不明白，请不要介意。能否讲明白点，告诉公路上的电子警察是怎么测车速的，它能测出多少距离内的车子的车速？市面上出售的报警装置（就是预先提醒有电子警察，从而可以预先降低车速）对避免罚单有用吗？.
家有考王 2008-9-4 10:26
回复 76#hxwcwctt 的帖子
短你了。
电子狗是有用的，很有用。电子警察眼睛很好，但只要你前面有车，他就先抓前面的。所以车流大的时候，它的作用距离就短一点。.
火车是运茶的 2008-9-4 10:33
限速是为了您和他人的安全。.
hxwcwctt 2008-9-4 10:38
考爸，谢谢，看到了，不过那个网站太专业了，抱歉我没有心思看啊。:L
有人说市面面上买的那种防电子警察的设备没有用，因为当它向你报警说有电子警察时，电子警察也已经抓到你了，所以提出这个问题。（我们得假定前面没有车）
还有市面上有没有一种装置可以根据你的车速测出你的车距是否足够？.
火车是运茶的 2008-9-4 10:41
在运动中测车距，有意思，可以写一篇小论文了。
写好了可以去申请丘成桐中学数学奖。.
hxwcwctt 2008-9-4 10:44
回复 78#火车是运茶的 的帖子
在一段空旷的路上不断的提醒大家限速是有必要的，因为如果路况好，人的本能会不知不觉提高速度，所以要不断进行友善的提醒，应该时而放慢一些速度。
所以人性化的做法应该是：在有电子警察前先预先进行警告，这样车主就放慢速度了，这样就起到了安全的作用。如果已经提醒了，还不慢下来被电子警察抓到那就得罚款了。.
qq12 2008-9-4 12:26
回复 81#hxwcwctt 的帖子
养成习惯，每隔一定时间看一下速度表。保证安全。.
shumi1 2008-9-4 14:32
回复 74#家有考王 的帖子
中学生可以看《物理世界奇遇记》.
hxwcwctt 2008-9-4 17:15
回复 82#qq12 的帖子
一个人养成习惯容易，每一个人都养成习惯可不容易，同志，要站得高望得远，为众人着想。如果市面上的雷达探测器有效确实蛮好的，否则的话按照老兄的意思，在汽车里装个定时报速器也不错，每个五秒报告“现在您的车速为**公里每小时”，否则老想着看速度表，也不安全的。:lol.
火车是运茶的 2008-9-4 21:59
一些符号约定
在网页上写数学式子不容易。尝试国<sub>和[sup]，都不行，只好变通。下面是常见的约定：
x^2 x的平方，开平方有时写作x^{1/2}
x_1 1为下标
2a 2与a相乘
1.23(456) 混循环小数1.23456456456456……，以456为循环节
a≡b(mod n) a和b模n同余。有说可以用智能输入法通过V1输入同余符号的，我没法试。仅在此提一下。需要的时候来这里拷贝也好的。
>= 大于或等于
<= 小于或等于
!= 不等于
乘方比较常见。下标的写法可能比较少见，是从TeX排版系统那里借用过来的，如同开平方里的花括号。
先这些。想到了或者遇到了再补充。
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-20 16:26 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-9-4 22:42
多普勒效应
这里只是最简化的情形，其中假定观察者相对信号传播介质静止。假设有一个信号源S，以速度v向前进。S每隔时间T发出一个脉冲信号。信号的传播速度为v_0。假定v<v_0。
i_1 i_2
_______________________________________
A B C
S于A点发出一个信号i_1。经过T之后，S抵达B的位置，而i_1抵达C的位置。那么有
AB = vT
AC = (v_0)T
S会在B再发出一个信号i_2。这样，信号i_1和i_2的距离为(v_0 - v)T
但是i_2从B到C需要的时间只是(v_0 - v)T/v_0，或者写成
(1-v/v_0)T 公式(1)
可见信号的周期缩短了，或者说，频率变高了。还可以看出，周期或者频率的变化只跟v和v_0的相对数值有关。
思考题：
如果信号源的运动方向跟信号传播方向相反，则公式(1)应该如何修正？
多普勒效应以其发现者的名字命名。他在经过铁道交叉口时发现火车的汽笛声在火车驶近时变得尖利（高频），而远去时变得低沉（低频）。日常生活中警车、消防车的警示喇叭都有这种可观测效应。
信号源远离观测者会导致频率变低，叫做多普勒红移；反之叫做蓝移。红和蓝对应可见光谱的两端，前者的频率比后者低。天文学上，科学家观测到所有星系的光谱都有红移现象，从而得出宇宙膨胀的结论。而通过测量红移量，也可以计算出星系的退行速度。
前面考爸提到的超声波测速仪也是根据多普勒效应设计的。
思考题：
超声波测速仪的应用中，上面的公式(1)有无必要修正？
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-4 22:55 编辑 [/i]].
grant 2008-9-4 23:09
多普勒效应是数学还是物理啊？我记得应该算物理。
测车速大概有两种：
一种是微波测速，利用的是多普勒频移，
另一种是用地面埋的线圈，利用磁感应原理测量车辆通过两个线圈的时间差反推出速度。.
子玖妈妈 2008-9-4 23:16
回复 83#shumi1 的帖子
你能不能一起推荐书啊？你推荐一本我网上订一本，人家送书的人很吃力的。呵呵。.
火车是运茶的 2008-9-4 23:31
数学物理本来不分家。
还有一种测速方式，激光。不过不是应用多普勒效应了，因为汽车的速度跟光速比可以忽略不计。这要求有比较精密的部件，要能发射和接收激光，并能精确计时。通过测量激光往返的时间可以测出距离，通过相继两次测出的距离的变化可以计算出速度。.
shumi1 2008-9-5 14:47
回复 88#子玖妈妈 的帖子
:P :lol.
zhenai 2008-9-5 15:15
回复 88#子玖妈妈 的帖子
科学出版社那一套书都不错的。不过要注意是英文还是中文版的。.
子玖妈妈 2008-9-5 16:50
回复 91#zhenai 的帖子
谢谢。.
火车是运茶的 2008-9-5 19:55
循环节长度之谜
接下来几节要讨论循环节的长度。当然，这些内容在数学上已经有了明确的结论，但是本帖的主旨并非简单告诉读者们一些结论，而是希望通过对一些问题抽丝剥茧式的分析求解，展示一些数学思想和常用的方法。
因此，假如读者已经了解了一些循环节长度方面的结论，请暂时忘记它；如果读完本节之后，有一些更好的想法，也欢迎提出来大家一起讨论。
现在就从最简单的情形开始研究。假设有一个素数p，我们考虑它的倒数1/p，用长除法可以求得对应的小数形式。这个小数将具有什么样的形式呢？它是纯循环小数还是混循环小数？它的循环节长度取决于什么条件？
我们前面已经知道，如果p为2或者5，那么1/p可以写成有限小数（就是0.5和0.2）。如果p是其它素数呢？
写到这里读者可能要问，为什么要假定p是素数呢？按照我们之前的思路，我们希望先研究最简单的情形。根据素数的定义，一个素数不能再分解为两个其它非1的正整数的乘积，而合数则总是可以分解为一些素数的乘积。这意味着在考虑乘除法性质的时候，素数也许比较简单或者基本（当然不一定如此；如果碰到困难我们再另寻出路）。
所谓循环节，就是会重复出现的数字模式。读者可能有印象，在做长除法的时候，如果在某一阶段出现了前面已经出现过的余数，那么后面的余数和商也会跟着重复出现。最简单的例子是1/3，做长除法的时候，每次都是得到一个余数1，因此构成循环。读者不妨试着做一下看看。下面要把这个规律用数学语言写出来。
为了更直观地观察到其中的规律，我们可以把长除法改写成一系列的等式：
1 = p * 0 + r_0 (r_0 = 1)
10 * r_0 = p * q_1 + r_1
........
10 * r_n = p * q_{n+1} + r_{n+1}
........
这样，对应的小数就是0.{q_1}{q_2}...{q_n}...，而r_i就是第i次得到的余数。按照长除法，我们把它乘以10再继续试商。易见，0 < r_i < p，并且r_i与p互素。
如果长除法里面得到的余数发生重复，即是说，对于两个下标i和j（这里不妨假设i < j）如果r_i = r_j，后面的商和余数会怎么样呢？根据上面的展开式，我们就有：
10 * r_i = p * q_{i+1} + r_{i+1}
10 * r_j = p * q_{j+1} + r_{j+1}
在r_i = r_j的前提下，容易证明，q_{i+1} = q_{j+1}，以及r_{i+1} = r_{j+1}。（证明留给读者作为练习。:)）
这就是说，如果长除法中余数重复出现，那么所得小数也会出现循环。这是一个平凡的结果，接下来要解决一个问题，即在余数形成的序列中，r_0是不是第一个重复出现的，或者说，1/p是不是一个纯循环小数。（待续）
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-5 23:05 编辑 [/i]].
老猫 2008-9-6 08:29
是不是p只要没有2和5的约数，就一定是纯循环小数？.
牙医叔叔 2008-9-6 13:34
[quote]原帖由 [i]hxwcwctt[/i] 于 2008-8-30 12:05 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3407349&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
因为：1/9=0.1的循环
8/9=0.8的循环
所以：0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环
因为：1/9+8/9=0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环
1/9+8/9=1
所以：0.9的循环=1？
可是我怎么也想不通0.9的循 ... [/quote]
火车，这个是否可以用方程来解？
设x=0.9999999……
则：10x-9=x
x=1.
火车是运茶的 2008-9-6 14:45
回猫老师：暂时在这里还是一个猜想。
回牙医：可以的。但是一般人拒绝接受那个等式的心理因素主要是认为0.(9)并不是一个真正的数。.
火车是运茶的 2008-9-6 17:25
循环节长度之谜（续）
上节最后问题的答案是肯定的。怎么得到这个结论呢？前面我们用来证明循环总会出现的方法，现在也可以反过来使用。仍然考虑：
10 * r_i = p * q_{i+1} + r_{i+1}
10 * r_j = p * q_{j+1} + r_{j+1}
现在假定r_{i+1} = r_{j+1}，如果能够推出r_i = r_j以及q_{i+1} = q_{j+1}，那就说明循环也可以反过来往前推。证明仍然留给读者作为练习。提示：p是一个异于2和5的素数，因此p和10互素。
现在我们知道，循环肯定会出现，而且如果某个r_i出现循环，那么可以往前一直追溯到r_1和q_1。这就证明，1/p是一个纯循环小数。而且，上面的证明其实条件可以放宽到p与10互素，因此，只要p与10互素，1/p就是纯循环小数。这就是猫老师在94#提出来的。
反过来，如果把一个纯循环小数化为既约分数，其分母是否一定与10互素呢？答案是肯定的。使用前面提供的方法，不难把一个纯循环小数化为一个分母为99...9的小数，分母位数等于循环节长度，而分子就是循环节本身。例如0.(123456)=123456/999999。我们知道99...9是跟10互素的，因此前面得到的分数即使能够进一步约简，得到的分母也肯定跟10是互素的。
这里还有一个问题，如果是2/p，3/p，...，(p-1)/p这些分数呢？其实前面的那些证明并没有使用r_0=1的条件，因此对其它的r_0值也是适用的。
总结一下：对于真分数q/p，如果q和p互素，并且p和10互素，则q/p不能写成有限小数，而只能写成纯循环小数。反过来，纯循环小数化为既约分数之后，其分母也是跟10互素的。
思考题：为什么要强调是真分数呢？
（待续）
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-6 21:48 编辑 [/i]].
hxwcwctt 2008-9-8 20:09
回复 86#火车是运茶的 的帖子
火车，你的帖子发得好快哦，都赶不上了。
我不明白为什么我们在讲小明打枪的时候，子弹的速度是“小明的走路速度”和“子弹出膛的速度”之和；而在本贴中，信号的速度为什么不是“S的速度V”和“信号速度V_0”之和呢？
另外，小明打枪那道题还是有漏洞的，比如小明在原点发第一枪子弹时小明是没有速度的，所以第一发子弹的速度应该就是出膛的速度。.
火车是运茶的 2008-9-9 13:11
回复 98#hxwcwctt的帖子
信号，例如声波，一般需要传播介质（这里不讨论光波或者电磁波），其速度是相对介质而言的，如声波在空气中的速度。讨论小明打枪的时候，考虑的是子弹在空气中的速度（实际上忽略了摩擦力的影响）。但是子弹出镗速度是枪固有的性能，因此需要和小明的速度叠加。那道题确实有漏洞，我们可以假设小明一直在行进，所以开第一枪的时候也有速度。而后边的一般性讨论，我们假设如果有这种速度叠加问题，那么已经把它包含在V_0里面了。
这里讨论的是很简化的情况，例如，假设观察者相对介质是静止的。.
火车是运茶的 2008-9-9 13:42
循环节长度之谜（三）
现在有限小数和纯循环小数都有结论了，最后来看看所谓的混循环小数。读者们可能已经猜到了，那些分母既能被2或者5整除，又能被其它素数整除的既约分数，将对应混循环小数。本节就把它证明出来。
下面用x和y表示数字串，例如，在0.123456456456……可以写成0.x(y)，其中x=123，y=456。再定义一个函数len(x)，表示这个数字串x的长度，或者说位数，例如len(123)=3， len(45678)=5。
（要改一下了）
形式上，一个纯循环小数可以写成混循环小数的样子。例如0.(123)可以写成0.12(312)甚至0.12312(312)。这里不讨论混循环小数的严格定义，我们反过来先看对应混循环小数的那些分数。
假设有既约真分数p/q，其中q又可以分解为q=(2^a)(5^b)(s)，并且a>=0, b>=0,a+b>0, s>1，s不能被2或者5整除，a和b至少有一个为正，即q能被2或者5整除。
令c为a,b中较大的那个数。那么，
p/q
=(p/s)/((2^a)(5^b))
=(p/s)(1/(10^c))(2^{c-a})(5^{c-b})
=(p((2^{c-a})(5^{c-b}))/s)/(10^c)
令p((2^{c-a})(5^{c-b}))=u*s+r。其中u为整数，而0<r<s。请读者证明r!=0并且r与s互素。
于是可以得到
p/q
=(u+r/s)/(10^c)
我们已经知道，r/s是一个纯循环小数，假设循环节为x，则u+r/s=u.(x)，把小数点左移c位，并假设u前面补上若干个零凑成长度为c的v，就得到
p/q
=0.v(x)
这看上去就是一个混循环小数了。怎么知道它不是一个伪装成混循环小数的纯循环小数呢？用反证法。假设0.v(x)是一个纯循环小数，那么我们就可以把它写成既约分数t/w，其中w与10互素，这样应该t/w=p/q，又因为它们都是既约的，排除符号的关系，可以认为t=p, q=w。但是q可以被2或者5整除，这就矛盾了。
反过来，如果我们已经知道一个循环小数不能写成有限小数或者纯循环小数了，我们是否能够肯定，把这个混循环小数化为既约分数，其分母一定既能够被2或者5整除，又能够被其它素数整除呢？答案是肯定的。因为要不然，它就可以写成有限小数（如果分母不能被2或者5之外的任何素数整除），或者纯循环小数（如果分母不能被2或者5整除）。
我们把全体既约分数作为一个集合F，把全体有限小数和循环小数作为另外一个集合D。用长除法可以把分数化为小数，用前面的办法可以把小数化为分数，所以这两个集合能够建立起一一对应的关系。
根据分母跟10的关系，集合F可以分成三个互不相交的子集合。根据小数位数、循环方式的不同，集合D也可以分成三个互不相交的子集合，且跟前面的三个子集合建立一一对应的关系。这是很有意思的。
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-20 19:49 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-9-21 00:19
循环节长度之谜（四）
前面讲了那么多，究竟跟循环节长度有无关系呢？有的。至少，拿到一个分数之后，可以不用做长除法就知道它对应什么样的小数。为此，我们只要研究其中的既约真分数部分就行了。比如150/14，我们就把它变成10+5/7，然后来研究这个5/7，它对应一个纯循环小数。如果既约真分数的分母里面含有因子2或者5，我们就把2和5分解出来，因为它们不影响循环部分。比如13/14，按照前面那节介绍的方法，
13/14
=65/(10*7)
=(65/7)/10
=(9+2/7)/10
=0.9+(2/7)/10
2/7的循环节是285714，即2/7=0.(285714)，那么，
13/14
=0.9(285714)
对于上面的结果，大家可以用长除法直接展开13/14来做验证，也可以用计算器来验证。 :)
好了，现在真的要讨论循环节的长度了。仍然从1/p开始，其中p为异于2和5的素数。回忆前面把长除法化为一系列等式的方法：
1 = p * 0 + r_0 (r_0 = 1)
10 * r_0 = p * q_1 + r_1
........
10 * r_n = p * q_{n+1} + r_{n+1}
........
假设循环节的长度为n，那么根据之前的讨论，循环节就是(q_1)(q_2)...(q_n)，而且r_n = r_0 = 1。从r_1到r_n，这些数字满足如下性质：
1）它们两两不相等；
2）0<r_i<p，其中1<=i<=n。
如果n为1，那么循环节就只有一个数字，例如1/3=0.(3)。不然的话，马上就有如下结果：
(r_1)/p = 0.((q_2)...(q_n)(q_1))
也就是说，把1/p的循环节的第一个数字放到最后（这个操作可以叫做循环左移一位），就是(r_1)/p的循环节。举例如下，对于1/7，我们可以写出：
10 = 1*7 + 3
30 = 4*7 + 2
20 = 2*7 + 6
60 = 8*7 + 4
40 = 5*7 + 5
50 = 7*7 + 1 （在此找到循环）
10 = 1*7 + 3
...........
于是我们马上可以写出：
1/7=0.(142857)
3/7=0.(428571)
2/7=0.(285714)
6/7=0.(857142)
4/7=0.(571428)
5/7=0.(714285)
仔细观察上面的这些等式。把一个循环节进行循环移位，就得到另外一个循环节。这是很有意思的。（待续）.
家有考王 2008-9-21 01:22
辛苦了。.
火车是运茶的 2008-9-21 09:55
回复 102#家有考王 的帖子
[em01].
火车是运茶的 2008-9-21 16:17
循环节长度之谜（五）
上面我们看到，1/7, 2/7直至6/7的循环节长度都是一样的。更奇妙的是，把其中的一个循环节进行循环移位，就能够得到另外一个的循环节。我们自然要问两个问题：
1）是否对任意的异于2和5的素数p，1/p, 2/p, ..., (p-1)/p的循环节长度都是一样的？
2）是否对任意的异于2和5的素数p，1/p, 2/p, ..., (p-1)/p的循环节也存在这种循环移位的规律？
对第一个问题的答案是肯定的。但是第二个问题有一些微妙之处。
我们已经知道p以内的数和p都是互素的，即对于0<r<p，r和p互素，所以r/p都是既约分数。又r/p=(1/p)*r，把1/p的循环节当作一个整数，那么把它乘以r，是不是就得到r/p的循环节了呢？的确如此。只要乘法的结果的位数，不超过1/p的循环节长度。而这是可以保证的，否则就会得到r/p>=1的荒谬结果。请读者仔细思考一下。
对于第二个问题，我们知道1/3=0.(3)，2/3=0.(6)。所以这里没有循环移位之说，因为循环节的长度只有1，怎么移都是自己。但是如果r/p循环节的长度大于1，我们可以从长除法的展开式中知道，对这个循环节进行循环移位，得到的是另外一个数s/p的循环节。
如果把p的限制放宽到不能被2或5整除的正整数呢？在r/p中会出现一些可约分数，例如3/21，15/21，应该把它约简了再研究。其余的，都可以适用上面的推理过程。
有了上面的结论，我们只要研究1/p的循环节长度就行了。
现在我们知道，如果在长除法中出现重复的余数，就意味着对应的商出现循环。我们自然想知道余数是如何决定的。不过长除法的等式形式还是比较复杂，用来研究循环节长度不够直观。还是拿前面的例子：
10 = 1*7 + 3
30 = 4*7 + 2
20 = 2*7 + 6
可以改写成：
3 = 10 - 1*7
2 = 30 - 4*7
6 = 20 - 2*7
这样，
2
= 30 -4*7
= 10(10-1*7) - 4*7
= 100 - 14*7
6
= 20 - 2*7
= 10(100-14*7) - 2*7
= 1000 - 142*7
原来，长除法的余数序列就是序列10, 100, 1000, 10000, ...除以7的余数。这应该不会令人感到惊讶，因为长除法的过程中我们经常在被除数后面不断添加0。
这样，我们立刻得到如下结论：
定理：如果1/p的循环节长度为l，则有10^l≡1(mod p)。反过来，l是使得10^x≡1(mod p)成立的最小正整数。
这样，我们就进入了数论的领域。循环节的长度跟费马小定理、欧拉函数都有密切的联系。.
火车是运茶的 2008-9-22 21:39
光有点击，没有回复。
思考题大家都会做了？.
火车是运茶的 2008-9-29 20:05
费马小定理
费马小定理是说，对于任意一个不能整除a的素数p，恒有a^(p-1)≡1(mod p)。如果取a=10，则有10^(p-1)≡1(mod p)，其中p!=2, 5。
前面我们知道，1/p的循环节长度len具有性质10^len≡1(mod p)，且len为满足10^x≡1(mod p)的最小正整数。这就自然导出一个关系：len必为p-1的因子。
仍旧以p=7为例。len必为6的因子，因此只可能取1，2，3，6。依次计算10，100，1000，1000000被7除的余数，分别为3，2，6，1，因此得知len必为6，即1/7的循环节长度为6。.
greenjyz 2008-10-2 01:57
妙极!需要时间消化!!.
火车是运茶的 2008-10-14 22:51
同余
现在补充介绍同余的概念，并且证明费马小定理。这里讲的数都是整数。
顾名思义，同余就是指两个数除以同一个数，得到的余数相同，这个除数称为模；或者换一种等价的说法，如果两个数的差能够被模p整除，那么这两个数是模p同余的。形式上，把a和b同余于模p记为
a≡b(mod p)
在模明确的情况下，可以不用把后面括号里的东西写出来。
利用同余可以给整数分类。例如，取p=7，则任意一个整数必然同余于0, 1, 2, 3, 4, 5, 6中的某一个。把0当作星期天，一周就是这样周而复始，其实我们日常生活中常常使用同余的性质。月份也是一个典型的例子，十二月过后就是第二年的一月，没有十三月的说法。同余反映出一种周期性的现象。
同余的性质比较多，这边不一一列举。总而言之，只考虑同余的时候，一个数总是能被与它同余的另一个数代替。或者说，同余的数是彼此等价的。
现在看点有意思的。我们知道如果p是素数，那么1, 2, 3, ..., p-1和p都是互素的。而任意一个不是p的倍数的数都必然和这p-1个数中间的某一个模p同余。好了，如果a和p互素那么a同余于{1,2,...,p-1}中的某一个。再来看如果r和p互素，那么ra和p也是互素的（a已经和p是互素的，证明留给读者）。
考虑数a, 2a, 3a, ..., (p-1)a。如下性质成立：
1、它们两两不同余；
2、集合{a,2a,3a,...,(p-1)a}能够和{1,2,3,...,p-1}建立一一对应关系。
这里做简单的证明。1是容易的，因为假设某两个数ma和na同余的话，就会有(m-n)a能被p整除。我假设读者已经在上面证明了这是不可能的。2可以根据1来证明。首先任意一个ma (1<=m<=p-1)总是与{1,2,3...,p-1}中的某一个同余。其次，令1<=b<=p-1，可以用鸽笼原理证明{a,2a,3a,...,(p-1)a}中必有一个数与b同余。
换句话说，如果认为同余的两个数是等价的，那么a, 2a, 3a, ..., (p-1)a就是1, 2, 3, ..., p-1的一个排列。
现在把它们乘起来：
a * 2a * 3a * ... * (p-1)a
=1*2*3*...*(p-1)a^(p-1)
另一方面，我们刚刚知道：
a * 2a * 3a * ... * (p-1)a
≡1*2*3*...*(p-1)
这样就有：
1*2*3*...*(p-1)a^(p-1)≡1*2*3*...*(p-1)
或者：
1*2*3*...*(p-1)*(a^(p-1) - 1)≡0
即p能够整除1*2*3*...*(p-1)*(a^(p-1) - 1)，必然的推论就是p能够整除a^(p-1) - 1，所以
a^(p-1)≡1(mod p)
这就是前面讲的费马小定理。.
hxy007 2008-12-7 17:17
回复 2#火车是运茶的 的帖子
火车大师，还没有看完，满脑子就是问题了。请允许我用提问的方式，向你表示敬意。有一个问题，好象是在我学习有理数和无理数之后就一直困扰着我。现在又被你这帖子勾出来了。我的问题是：
果真存在无理数吗？谁可以或有什么办法可以证明确实存在无限不循环小数？
在我有限的数学知识和想象中，无限小数总是会循环的！如果我们没有发现某个无限小数的循环规律（进而说它是“无理数”），那也不过是因为，我们只是看到、想到、算到了这个无限小数的有限部分。不是吗？
数字是有限的10个（从0到9），它们的排列总会有穷尽的！再无限小数下去，就会重复以前的排列，这不就是开始循环了吗？
我这种想法，在数学可以证实或证伪吗？.
zhenai 2008-12-7 17:46
回复 109#hxy007 的帖子
去看一下根号2的故事吧，您的问题古希腊人已经解决了。.
火车是运茶的 2008-12-7 21:35
回复 109#hxy007 的帖子
无理数的确是存在的。如果一定要从有理数出发去认识无理数，那就是110楼提出的根号2。前面已经证明有理数化为小数肯定是有限或者循环小数。那么如果有一个数不能表示为有限或者循环小数，则一定是无限不循环小数，我们叫它无理数。
另一方面，可以从其它数学观念出发去探讨无理数。《什么是数学》一书有讨论，复旦大学出版社出版。你有一定的数学基础，应该可以看懂。关于这本书的详细介绍在这里：
[url]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4542628&page=4#pid3355361[/url]
一不小心又给自己的帖子打了广告，哈哈。.
hxy007 2008-12-8 00:22
回复 111#火车是运茶的 的帖子
学过中学数学的人，都有无理数的常识。我也有，而且知道一些证明无理数存在的方法。但是我又喜欢想象，还不见棺材不掉泪。
例如：√2=1.414213562…………，确实有办法证明它是无理数。但我想象的翅膀早已经顺着小数点所指的方向，飞向了无穷远的地方。看着小数点之后这串没有终结的数字，我就在想，总会有出现后面数字排列重复前面数字排列（循环）这种情况吧？那是无穷多的数字，什么情况都可能发生，谁又能保证说它们不循环呢？
我想说的是：如果我们没有发现某个无限小数的循环规律，那也不过是因为，我们只是看到、想到、算到了这个无限小数的有限部分。
又如：0.1010010001……（两个1之间依次多一个0），被认为是典型的无限不循环小数（即无理数）。可是，当我想象到小数点之后的某个1之后有无限多个0时，我就会觉得它并不是一个无限小数。数学家好像杜撰出了一个概念上自相矛盾“数据”。
数学学得多的人可能会笑话我无知的想象。可是，既然是无限小数，我的想象也是无限的。所以禁不住要怀疑那些严密的论证。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 13:23 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-12-8 12:50
回复 112#hxy007 的帖子
无穷的确难以捉摸。我想，你的疑问也许在于：怎么样才能把无限不循环小数精确地写下来？似乎是一种矛盾。因为无限所以不能全部写下，因为不循环所以无法精确。——我这样理解你的意思，对吗？
如果我理解对了，那么你可以试着用这种观点去理解无理数：
数本身可以当作一种（数学）实在（或者说哲学上的客体），你的困难只是说怎么样才能把一个数准确地表达出来，特别是当这个数是一个无理数的时候。把一个数写成小数形式只是一种方法，还有很多方法可以确定一个数。比如，平方等于2的那个正数（这又关系到怎么样定义无理数的乘法）。又比如，圆周率、自然对数的底(e)。再比如，0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）可以写成级数形式：
10^{-1} + 10^{-3} + 10^{-6} + 10^{-1} + ……
两个1之间一次多一个零，就是说1出现的位置依次是小数点后第1，3，6，10，15，21……位。通项公式我就不写了。这个和，虽然是无限项相加，却有一个确定的结果，这在数学分析里面是可以证明的。
再回到你的疑问，“当我想象到小数点之后的某个1之后有无限多个0时，我就会觉得它并不是一个无限小数”，实际上，按照这个数的定义，任何一个1后面都只能有有限个连续的0。所以这里并没有矛盾。.
hxy007 2008-12-8 14:16
数学的想象
[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-12-8 12:50 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4049161&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
再回到你的疑问，“当我想象到小数点之后的某个1之后有无限多个0时，我就会觉得它并不是一个无限小数”，实际上，按照这个数的定义，任何一个1后面都只能有有限个连续的0。所以这里并没有矛盾。[/quote]
[em04] [em04] 您这样说，还是不能禁止我合理地想象：在这个无限小数出现了无穷多个1之后的那个1，它的背后必然跟随着无穷多个0。然后，我就会进一步合理推断：既然这个无限小数中的某个1之后有无穷多个0，那么这个“无限小数”就是有限小数。这种从无限中看到有限，看到经典数学中的矛盾或不完备，会不会让经典数学感到尴尬？
[em16] [em16] 火车大师，我跟您抬杠，可不是故意作对哟！我是觉得数学实在是太有意思了。在我看来，数学不完备，是人类的幸事。如果现行数学穷尽了真理，那就太没有意思了！
就说圆周率吧。当然可以用别的数学方式表达它，以避免用小数表达的尴尬。但是，如果一定要用小数表达它，谁能保证在3.1415……这个“无限小数”中不会出现从某一点开始又循环重复前面的数列这种情况呢？它可是一个无穷多的数列啊！用别的方法当然可以证明，可是，就用小数本身能够证明吗？我就要直接的证据，我不见棺材不掉泪。有直接的证据证明存在无限循环小数，有同样的直接证据证明存在无限不循环小数吗？在没有充分的直接证据之前，任何结论都是暂时的结论，有待进一步证实或证伪的假设。数学上说的那些“无限不循环小数”说不定在无限之中就循环了呢？
这好像是在说，用小数的特点来定义有理数、无理数存在缺陷。可是，这本来就是在说无限小数呀！不说小数，有理数和无理数的区别就没有意义了！这是不是经典数学中的缺陷呢？不知道元数学怎么解释这个问题？据说自从希尔伯特以来，数学家们发现了数学中的一些不完备的地方，不知道有没有提及无理数？
我的想象不能停止下来。我在想，所谓无限小数问题，好像是以十进位制为基础的代数体系中的问题，有理数、无理数之别是这种数学体系中的一种创制。如果以十进制中的1/3或2的开方作为另一种进位制中的基本单位，是不是就可以避免无限小数的问题（毕达哥拉斯的问题）呢？用十进位制表示的直角三角形三边的关系是c^2=a^2+b^2，多麻烦啊！能不能发明一种新的进位制，以合理表示c=a+b?十进位制统治了太长时间，让它弄得十分麻烦那部分数学，可不可以交给其它进位制来解决呢？计算机软件，好像就不用十进位来编码嘛！
这是一个数学知识不怎好的数学迷的问题。无知才会无畏。贻笑大方了！
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 14:55 编辑 [/i]].
shumi1 2008-12-8 14:22
回复 110#zhenai 的帖子
根号2的漫画
[url]http://songshuhui.net/archives/5553.html[/url].
zhenai 2008-12-8 14:30
回复 115#shumi1 的帖子
松鼠会在牛博上看到过，关注的不多。画的蛮有意思。
说实话无理数的翻译相当无理。.
火车是运茶的 2008-12-8 19:10
回复 114#hxy007 的帖子
被人叫大师还真不舒服，去掉吧。[em19]
我当然不会禁止你想象了。[em16] 那个无穷小数你再仔细想想，其实任何一个1后面都只能存在有限个连续的0。请注意，是有限个、连续的、零。
你后面的问题我不知道怎么回答。我前面已经证明，有限小数和循环小数是相对的；但是，无理数的无限不循环性质却是本质的，不会因为进位制的改变而改变。不管你拿什么做单位，总要有个1，这里没有退路。
再回到完备性的问题上来。这点你大可放心，数学真理是不可能被穷尽的。关于这点已经被哥德尔在大约70年以前所证明。.
太平洋 2008-12-8 19:44
[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-12-8 07:10 PM 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4052894&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
其实任何一个1后面都只能[b]紧跟[/b][color=Red]有限个[/color][b]连续的[/b]0[/quote].
hxy007 2008-12-9 00:58
回复 117#火车是运茶的 的帖子
我的理解是：你们虽然是在说“任何一个1[b][color=Red]后面[/color][/b]都只能存在有限个连续的0”，但心里想的却是“任何一个1[color=Red][b]前面[/b][/color]都只能存在有限个连续的0”。而我想的是，前面有了无限个1之后，接下来那个1的后面跟着的是无限个连续的0。难道我想错了吗？不过，经过这么多人教导之后，我也开始怀疑自中学以来怀揣的这个问题是不是一个假问题，怀疑自己想入非非，误入歧途。
我还有想不通的地方：虽然在不同的进位制中都有1，但它们的意义是不一样的。假如《圣经》里编的那个故事，上帝造物不是工作6天休息1天，而是2天打渔1天晒网，那么，现在的星期进位制就不是七进位，而是三进位。在这种情况下，10天算是几个星期？3.333333333……个星期！又假如那个故事里上帝工作8天休息2天，那星期计算就会是十进位制。10天就正好是1星期，就不会出现无限循环小数。
唉，我本事不够。想出一个例子倒是在证明十进位制更合理。谁能帮我想个例子证明十进位很垃圾？反正这是休闲数学，玩一玩不会亵渎数学吧！
一直觉得：这种证明很难，是因为这种证明本身用的就是十进位制中发展出来的精致数学，要用它证明它自己有缺陷，似乎不可能！要是谁能发明一种以1见方的正方形的对角线（或别的什么）为单位（或者把圆周率当成1）的计算系统，说不定就会有一片新的数学天地。哦，我又在遐想了。这是瞎想吗？
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-9 01:10 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-12-9 13:16
回复 119#hxy007 的帖子
在第几个1后面有几个连续的0，是可以根据规律计算出来的呀。
十进制不一定是最好的，但是大家已经习惯了。
你最后那段确实是瞎想。[em16] 改变进位制不会改变任何数学（除了一些数字游戏）。数学的理论和方法都不是建立在进位制基础上的。.
zhenai 2008-12-9 14:17
回复 119#hxy007 的帖子
你可以把Pi定义为单位，正如数轴上的单位长度是可以任意定义的一样。可你怎么定义那一个单位的“一”呢？.
hxy007 2008-12-9 15:17
如果我是一个摸索中的中学生
[quote]原帖由 [i]火车是运茶的[/i] 于 2008-12-9 13:16 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4058042&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
在第几个1后面有几个连续的0，是可以根据规律计算出来的呀。
十进制不一定是最好的，但是大家已经习惯了。
你最后那段确实是瞎想。[em16] 改变进位制不会改变任何数学（除了一些数字游戏）。数学的理论和方法都 ... [/quote]
[em07] 火车老师，您这么说，会不会扼杀一个数学奇才呀？[em16]
还有：根据规律计算，第无穷大个1后面，似乎就应该有无穷大个连续的0吧！我想错了吗？
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-9 15:21 编辑 [/i]].
火车是运茶的 2008-12-9 21:30
回复 122#hxy007 的帖子
可是我是知道你是有小孩的呀！你能小到哪里去？:lol
“第无穷大个1”是没有严格定义的。实际上，把113楼的级数展开形式的通项表达式求出来的话，问题会变得一目了然。我偷个懒……
或者反过来，考虑每个1前面的连续的0的个数，或许有助于你理解。.
shumi1 2008-12-10 12:15
抵制高等数学
在一个关于“抵制”的帖里看到的数学问题，蛮好玩的，请高手们看看有没有“抵制”的可能性;P
不准再用直角坐标系，一律改用极坐标系。
今后算极限的时候不准再用罗必塔法则，全部用定义硬算！
发明一种新的数学方法代替傅里叶变换。
不准再用泊松方程和泊松积分，一律用F分布代替泊松分布。
将拉格朗日中值定理，拉格朗日插值多项式，四平方和定理剔除出《高等数学》
:lol 幸亏我的高等数学从来没有学会过，抢先“抵制”了:L.
火车是运茶的 2008-12-10 13:35
回复 124#shumi1 的帖子
把菲尔兹奖从佩雷尔曼手里收回来，干吗去证明法国人庞加莱的猜想？:lol.
猪小弟721 2008-12-10 15:19
回复 124#shumi1 的帖子
*** 该贴被屏蔽 ***
hxwcwctt 2008-12-11 19:59
过来看看，火车又醒过来啦。:lol.
greenjyz 2008-12-11 21:31
回复 124#shumi1 的帖子
格记算侬狠.......
jyuntoku 2008-12-14 20:20
回复 58#火车是运茶的 的帖子
以每秒2米靠近靶子。
小明于在t秒时刻射出的子弹在t+1秒的时候位于离t秒时的小明位置靠近靶子5米处。
小明于t+1秒时射出的子弹在t+1秒的这个时点位于离t秒时的小明位置靠近靶子2米处。
由于这两颗子弹均匀速运动，所以，他们之间的位置差不变，为3米。
所以两颗子弹击中靶子的时间差为3米除子弹速度，即0.6秒。
t可以取的值（即t的定义域）取决于小明开始时离靶子的距离。
离开靶子的情形的讨论基本一样。
关于警车呼啸而来，呼啸而去的时候，警笛的尖锐低沉变化趋势。我中学时参加过的某次物理竞赛中考到过。那道题目让我思考了不少时间。最后对答案还是很不确定。今天，我才知道原来这叫多普勒效应（我们参加竞赛都不准备的，就是课本的这些知识）。还有火车的这个题目做引导，思考起来就方便很多。
现在想起来，那个竞赛题对于超前学过一些课外知识的学生而言，真的一点不难，但是对于从来没有学过多普勒效应的学生来说，无疑要让他几分钟内做一次多普勒。当然，如果一个没有学过多普勒效应的学生能在考试中准确回答出这道题目的话，确实是令人惊讶的。故此，我觉得我当初应该是没有答对这道题。.
jyuntoku 2008-12-14 20:44
回复 114#hxy007 的帖子
我认为你的问题出在：“可是，就用小数本身能够证明吗？我就要直接的证据，我不见棺材不掉泪。”
对于你的问题，我的看法和火车一样：“我想，你的疑问也许在于：怎么样才能把无限不循环小数精确地写下来？似乎是一种矛盾。因为无限所以不能全部写下，因为不循环所以无法精确。”
我们现在用的10进制写数的办法，是通过几个有限的整数的加法（和乘法）和除法来表示我们手头需要表示的数。
这个办法为什么被采用，是因为可以让我们减少很多记忆工作。因为最笨的表示数的方法是为每一个数准备一个符号。我们可以把123456789。。。记做abcdefghijk。。。。显然这种办法太没有效率了。（你有兴趣可以查一下各个文明在初始时都是如何计数的。）
10进制是印度人的伟大创造。有了它我们可以很有效的表示数，我们只需死记0123456789十个加小数点一共十一个记号就成了。
而这种记数方法无法表达根号2，你的那个1.414。。。。只是人们算出的根号2的近似值。至于这个近似值是无穷不循环小数是通过火车说的抽象思维的证明方式证明出来的，不是通过写出这个小数来验证的。道理还是前面说的，10进制本身就不能准确表达根号2。
最后，我建议你区分“数”（或称“数值”）和“数的表达形式”这两个不同的概念。.
jyuntoku 2008-12-14 21:22
回复 86#火车是运茶的 的帖子
我来回答一下思考题吧。
假设测速仪的原理是测速仪按固定频率发射的信号（速度为V0），该信号经车反射后以-V0的速度射向测速仪，测速仪通过比较车辆反射信号的频率和自身频率的差异，计算出该车相对自己的速度（V）的大小。
S为测速仪，C点为车的位置（假设在该位置一个信号s和车相遇），B点为s的后一个信号s+1的所在位置。
S ------------------------------------B------------C
BC距离为 V0*t
信号和车的相对速度为 V0-V
自此至s+1和车相遇所需的时间为 V0/(V0-V)*t=(1+V/V0-V)t=T
即于t0时车反射了一个信号s后，经过了T时间后又反射了信号s+1。
以上讨论对于车的速度设为V，所以如果车靠近测速仪则V和V0符号相反，T小于t；车远离测速仪则V和V0符号相同，T大于t。.
shumi1 2008-12-24 16:04
今天是圣诞夜
想起孩子小时候问过的一个关于圣诞老人的问题
“圣诞老人要跑得多快，才能在一个晚上把礼物送到所有小朋友的家里？”
这道应用题我答不出来。:L
有多少小朋友？
路径设计？
太复杂:lol.
火车是运茶的 2008-12-24 17:40
回复 132#shumi1 的帖子
[em17] 圣诞老人要累趴下了.
jyuntoku 2008-12-24 17:51
回复 132#shumi1 的帖子
圣诞老人会化身千万，穿越空间，从一个烟囱钻到另一个烟囱。
好像圣诞老人是钻烟囱的吧。不过现在家里都没烟囱了，光剩脱排油烟机的排风管了。.
greenjyz 2008-12-24 22:13
回复 114#hxy007 的帖子
至少可从直观的方法证明无限不循环小数是存在的:
任取一个小数,比如: 0.153497826, 将小数点后的数字接在后面再写一次, 但任取两个不相同的数字交换位子, 于是虽然数字是"重复"了,但小数并未"循环"; 再将小数点后的所有数字在后面再写一次, 其中又任取两个不相同的数字交换位子,这个过程可一直做下去,所以是"无限"的. 进一步你可以明白这与进位制没有关系, 其他进位制也可以这样"创造"出一个"无限不循环小数"来..
greenjyz 2008-12-24 22:15
一直关注此帖,火车大师关于小数\同余的归纳总结颇有教益,至少可直接拿来做奥数题.......[tt7].
hxy007 2008-12-24 23:05
继续遐想或瞎想
[quote]原帖由 [i]greenjyz[/i] 于 2008-12-24 22:13 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4164594&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
至少可从直观的方法证明无限不循环小数是存在的:
任取一个小数,比如: 0.153497826, 将小数点后的数字接在后面再写一次, 但任取两个不相同的数字交换位子, 于是虽然数字是"重复"了,但小数并未"循环"; 再将小数点后的 ... [/quote]
我理解您的这种设计。但是，您觉得这种一段数字之后再累积叠加另一段更长的数字，如此进行下去，就不会循环重复，那是因为您作了分段式的理解或想象。可是，就只有0~9这十个数字，它们排列和组合都是有限的。如果我不从那些叠加点去想象小数点后的数字排列，而是任取一点去观察和想象，结果会是什么呢？我不知道，但不敢断定在一个无限小数中的某个节点其前与其后的数字排列永远不会出现重复，因为它是无限的，这种情况难道不可能出现吗？
此外，您例举的是 0.153497826……，您那个法子似乎可以进行下去。如果我例举一个0.111111……，那你依法炮制一个无限不循环小数出来看看！
我是在抬杠吗？如果是，那就当我用这种方式让您在平安夜里取个乐子吧！
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-24 23:06 编辑 [/i]].
shumi1 2008-12-25 08:03
回复 134#jyuntoku 的帖子
你以为圣诞老人是孙猴子呀:o 传说里可没有化身一说。
聖誕老人座下馴鹿必須以[color=Red][size=6]每秒5900公裡[/size][/color]的速度飛奔
[url]http://tech.big5.enorth.com.cn/system/2007/12/24/002540846.shtml[/url]
瑞典工程及建築諮詢公司Sweco的安德斯·拉爾森在接受采訪時解釋說，在平安夜和聖誕節之間的這段時間裡，要想讓世界各地的所有教徒家庭的孩子都收到了這位身著紅裝、留白胡子的老爺爺的禮物，那麼聖誕老人的全球路線將包括25億個家庭。拉爾森說：『據我們估算，地球上每平方公裡平均有48人，每個住戶相距20米。如果聖誕老人從吉爾吉斯斯坦出發，向地球自轉相反的方向(從東向西)開始贈送禮物，這樣，他就有48小時。也就是說，他必須在這48小時內把禮物送到25億個家庭中。』
按照西方傳統，聖誕老人在北極過著逍遙快樂的日子，但北歐的很多城市，包括芬蘭的羅瓦涅米，都宣稱是聖誕老人真正的家。Sweco公司關於『聖誕老人效率最高的禮物派送路線』報告指出，即使把人口密度和捷徑這樣的因素也考慮進去，聖誕老人如果從北極出發的話，根本無法及時將禮物送到世界每個角落的孩子手中。
拉爾森說：『果真如此的話，在每一站，他需要在34微秒(微秒即一百萬分之一秒)的時間裡，完成從煙囪裡鑽出來，放下禮物，吃一口餅乾，喝一點牛奶，接著跳上雪橇這個動作。』聖誕老人座下馴鹿必須以每秒5900公裡的速度飛奔，只有這樣，纔能將禮物挨家挨戶發放完畢。
[[i] 本帖最后由 shumi1 于 2008-12-25 08:04 编辑 [/i]].
greenjyz 2008-12-25 08:58
回复 137#hxy007 的帖子
抬不抬杠无所谓，在数学上进行讨论总是有趣的。
1、如果你认为“就只有0~9这十个数字，它们排列和组合都是有限的”，那么从数学探讨的角度来看，你首先需要证明这一命题，然后才能继续下去，而不是把它当成一个“公理”直接用于你的推论；
2、关于“。。。如果我例举一个0.111111……，那你依法炮制一个无限不循环小数出来看看！”，请注意我在评论的起初的说明：“。。。证明无限不循环小数是存在的”，所以我的证明过程只是证明无限不循环小数的“存在”，也就是只能回答你在109#提出的问题：“果真存在无理数吗？谁可以或有什么办法可以证明确实存在无限不循环小数？”，而不能证明任意小数或某一特定小数是“无限不循环小数”，也不能用于证明诸如sqrt（2）是无理数的问题，更不能到处去套，把某一小数“构建”成“无限不循环小数”。
。.
greenjyz 2008-12-25 09:01
回复 138#shumi1 的帖子
还好，比光速慢多了，圣诞老人足以对付，好整以暇，应付裕如。.
火车是运茶的 2008-12-25 13:18
回复 140#greenjyz 的帖子
关键还不在于速度，而是说他做这么一套动作下来，不断改变自己的方向、速度，还要停下来放礼物，那他的加速度得有多大呀？
还有那几只可怜的鹿，还没有跑到最高速度呢，又要开始减速了，所以它们的峰值速度必须超过5900，还要配置强大的散热系统给圣诞老人的鹿车的车闸散热。
假设圣诞老人体重100千克，在马车上以每秒10000公里的速度前进，然后开始制动直到停下来。假设圣诞老人的动能有80%是通过车闸释放掉的，请计算一次这样的制动，这个车闸释放出来的热量可以烧开多少千克的水。
假设有环保积极分子在圣诞老人的车闸上安装发电装置，能够把60%的输入能量变成电能，又假设一个家庭年均用电800度（我瞎掰的啊），请计算一次这样的制动所产生的电能，够几个家庭使用一年。
[em16].
hxy007 2008-12-25 13:22
回复 139#greenjyz 的帖子
[em01] [tt7] 讨论这样的问题，我没有这个功力。但它确实是我自学无理数以来的一个困惑。思想陷入了一个怪圈里：如果有无理数（无限不循环小数），那么在小数点之后的无限多个数中就有一种可能，即从某个数字起，后面的数字排列重复此前的数字排列；如果有重复，它就成了无限循环小数。换句话说，无理数是不存在的。或者说，无理数本身就是一个有内在矛盾的概念。
我一直希望有人能够理解我的困惑，并且告诉我为什么我这样想是错的。但好像还没有人能够让我放弃这种想象。
[[i] 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-25 15:17 编辑 [/i]].
shumi1 2008-12-25 13:30
回复 141#火车是运茶的 的帖子
首先，人家不象火车用车闸的，用“鹿立停”系统;P
其次，老人家身体蹦棒，没有“三高”，哪有你说的那么重呀:lol
这道题目确实有趣，请火车继续讲课！:victory:.
火车是运茶的 2008-12-25 13:44
回复 143#shumi1 的帖子
是你的题目呀！我不过借题发挥而已。
那我希望“鹿立停”系统是能够储存能量的，等着下次发动的时候再用上。[em16]
100千克也不过分吧？圣诞老人都是挺着大肚子的。.
greenjyz 2008-12-25 14:07
回复 141#火车是运茶的 的帖子
好玩好玩！又是数学又是物理。。。
正因为如此，加速减速、加速减速、。。。圣诞老人的时间比我们的时间慢的多，所以他永远年老，万寿无疆。。。.
jyuntoku 2008-12-25 14:28
回复 142#hxy007 的帖子
你掉入了自己给自己设置的怪圈。
1 无理数是指不能写成两个整数之比的数。这是一个定义，没有为什么。当然你可能忘记了。
2 判断是否存在无理数，完全不涉及无限不循环小数这个概念。
3 在知道了存在无理数后，我们又可以进一步证明无理数如果用小数来写的话，必定是无限不循环小数。当然你可以不必这么麻烦，一定要把某个无理数写成无限不循环小数，并且事实上没有人能真正地“写”出任何一个无限不循环小数。
4 所以“存在无理数”即意味着：这个无理数用小数写出来必须是“无限不循环的”。故而，你说的“那么在小数点之后的无限多个数中就有一种可能，即从某个数字起，后面的数字排列重复此前的数学排列”的可能性根据“无限不循环“的定义不存在。
你悟出来了没有？.
火车是运茶的 2008-12-25 22:25
回复 142#hxy007 的帖子
我一直在想，你的疑惑到底是什么。现在看来你是觉得无穷无尽写下去，总有可能重复。135楼给出了一个构造无限不循环小数的方法，但是它的正确性不是那么直观的，需要严格的数学证明。我相信，如果这个证明能够明确无误地写出来，那么你的困惑也就可以消解了。
这种方法叫做构造法，即通过构造一个数学对象来证明一个断言（通常是存在性的）。
但是135楼给的条件比较含糊，比如“任意交换两个数字的位置”，这就不是一个确定性的过程，而且，有可能产生循环小数。举例如下：
首先取初始数字0.123，然后“复制”一遍：0.123123，然后交换“接口”处的数字，即把复制之前的最后一个数字和复制过来的第一个数字交换位置，变成：.0121323
这样就是：
0.123
0.121323
0.121321321323
0.121321321321321321321323
仔细观察可以发现，每次得到的有限小数都是1开头，23结尾，中间是若干个213，可以写成0.1{213}23的形式。按照规则，下一个就是0.1{213}213{213}23，仍然是0.1{213}23的形式。一直写下去，得到的无穷小数是一个混循环小数，以231为循环节。
因此，135楼的方法，还需要好好的改造。greenjyz开了个很好的头，请大家继续玩下去。老老实实的说，我也还没有想好怎么样构造一个无限不循环小数，甚至135楼的方法到底能不能改造成功，我也还没有线索。
[[i] 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-12-25 22:27 编辑 [/i]].
shumi1 2008-12-26 08:52
回复 145#greenjyz 的帖子
晚饭时，跟儿子回忆他小时候的这个问题。他说，在《小哥白尼》中看到一个解释，老人与我们不在统一的时空中，所以不能用凡人的眼光来看老人的速度;P 而且，圣诞礼物可在袜子里自己生长，老人的口袋里放的只是“种子”:lol 最后，他发表自己的看法，“也许圣诞老人不需要频繁启动与刹车，他应该掌握美军的子母弹精确轰炸技术，路过一个村子，就可以一下子把礼物种子发射到每家小孩子的袜子里，不需要在烟囱里钻进钻出的，弄脏了红衣服。只担心一点，5900km/s远远超出了第二宇宙速度，鲁道夫会不会飞出去回不了地球了:P ”:lol.
greenjyz 2008-12-26 10:34
回复 147#火车是运茶的 的帖子
嗯，同意，当时写下来的时候是没有想的很严格，要再仔细想想（不管是否成功，总是感到挺有趣的），也想想其它方法。
在数学逻辑上而言，在无穷无尽的各个不同的小数中，只要找到（或“构造”出）一个无限不循环小数，就可证明“无限不循环小数是存在的”这个命题。不过这个命题是个“弱”命题，更强一点的命题是：“存在无穷多个无限不循环小数”，这个也没想好该如何证。.
greenjyz 2008-12-26 10:40
回复 148#shumi1 的帖子
这个更好玩！令郎思维活跃、见识广博、又富有幽默感！
确实啊，圣诞老人完全可以生活在另一个宇宙中，时不时到我们这个宇宙串串门，发发礼物。。。
既然他已经掌握子母弹技术，也用不着5900/km的速度啦，远远地，手腕一抖，万道霞光，种子就发射到千家万户了。。。.
jyuntoku 2008-12-26 15:29
回复 149#greenjyz 的帖子
更强一点的命题是：“存在无穷多个无限不循环小数”，这个也没想好该如何证。
这个问题可以用反证法证明。
假设，只有有限个（比如n个）无限不循环小数。
那么，将它们任意排列后，从第1个中取小数点后第1位的那个数以外的任意数值，从第2个中取小数点后第2位那个数以外的任意数值。。。作为一个新的小数的，小数点后第1位，第2位。。。直到第n位。
然后取第n个小数的第n+1位以后的所有位，作为那个新小数的n+1位以后的所有位。
显然，这个新的小数也是一个无穷不循环小数。（如果不是那么第n个数也不是，和条件相反。）
其次，这个新的无限不循环小数不等于之前的任何一个无限不循环小数。和假设相矛盾。.
xyq2100 2008-12-26 15:52
根号(n^2+1) n>=1 不是有理数就可以存在无穷多个无限不循环小数.
jyuntoku 2008-12-26 15:55
回复 147#火车是运茶的 的帖子
我设想的一个构造无限不循环小数的方法。
随便选0-9十个数组成小数点后前10位（顺序不限）。如 0.0123456789。
第11-20位选择为第1-10位后一个数的值（规定9后为1）。0.0123456789，1234567891。
第21-40位分别选择为第1-20位后一个数的值。（为了看清楚我用逗号分隔小数）
0.0123456789，1234567891，1234567891，2345678912。
到第80位为：
0.0123456789，1234567891，1234567891，2345678912，
1234567891，2345678912，2345678912，3456789123。
依次不断重复，即可得到一个无限不循环小数。可用数学归纳法证明。.
火车是运茶的 2008-12-26 15:56
回复 152#xyq2100 的帖子
没错。但是我希望看到一个纯构造性的证明，以此解开hxy007的困惑。.
jyuntoku 2008-12-26 15:57
回复 152#xyq2100 的帖子
恩。同意。
不过有些人在乎怎么写出那个无限不循环小数来。.
火车是运茶的 2008-12-26 15:59
回复 153#jyuntoku 的帖子
能否把证明写出来？.
xyq2100 2008-12-26 16:01
第1个 0.011222333344444... n个 (n-1)%10 依次排列
第k个 0.01...1(2^k个)2...2(3^k个)..... n^k个 (n-1)%10 依次排列
.
.
..
jyuntoku 2008-12-26 16:05
回复 156#火车是运茶的 的帖子
晚上我试试吧。
你也可以试试对我的命题证否。.
火车是运茶的 2008-12-26 16:06
回复 151#jyuntoku 的帖子
这么说，“存在无穷多个无限不循环小数”已经得到构造性的证明（这个方法也可以看做是构造性的）。
实际上，在我们构造出来一个无限不循环小数之后，立即可以得到一系列的无限不循环小数。假设刚刚构造出来的那个是第0个，那么第n(n>=1)个就是把第0个小数的小数点后第n位变动一下，如加上1（但是9要变成0）。
所以关键的问题仍然是怎么样把“第一个”无限不循环小数构造出来。.
火车是运茶的 2008-12-26 16:09
[quote]原帖由 [i]xyq2100[/i] 于 2008-12-26 16:01 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4177532&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
第1个 0.011222333344444... n个 (n-1)%10 依次排列
第k个 0.01...1(2^k个)2...2(3^k个)..... n^k个 (n-1)%10 依次排列
.
.
. [/quote]
这是一个好办法。赞！.
jyuntoku 2008-12-26 16:10
回复 157#xyq2100 的帖子
这个和0.101001000100001。。。是异曲同工。.
火车是运茶的 2008-12-26 16:11
事实上，112楼提出来的：
0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）
就是一个无限不循环小数。.
greenjyz 2008-12-26 20:07
回复 151#jyuntoku 的帖子
妙的!!!.
火车是运茶的 2008-12-26 20:44
好了，有请各位继续挑一个构造好的无限不循环小数，用严格的数学方法证明它的确是不循环的。——直观在这里不能取代证明。.
火车是运茶的 2008-12-29 09:56
没有人来证明啊？我来证一个：
A=0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）
假设这是一个循环小数，循环节是X，那么X一定不能全部由0构成（否则A就要变成有限小数了），也就是说X中一定要有至少一个1。进一步，X中不能只有一个1，否则多个循环节的1之间的0的个数就不会改变了。
这样，对于某个循环节X，其最后一个（最后边）1和后边的X的第一个（最左边）1中间全是0，记这里的0的个数为a。显然，a个0连续出现在X和后边的X连接的地方。
但是我们已经知道两个1之间要依次多一个0，也就是说在两个1之间出现的连续的0的个数必须是不能重复的。这就矛盾了。因此A不可能是循环小数。.
shumi1 2009-6-26 09:34
[url]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4654942&extra=page%3D1%26cycleid%3D326[/url].
dean1128 2009-6-30 14:09
看了那么多，发现有些人对于“无限多个”与“很多个”，“无穷大”与“很大的数”之间的区别没有搞清。.
dean1128 2009-6-30 14:18
[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2008-12-26 15:29 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4177264&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
更强一点的命题是：“存在无穷多个无限不循环小数”，这个也没想好该如何证。
这个问题可以用反证法证明。
假设，只有有限个（比如n个）无限不循环小数。
那么，将它们任意排列后，从第1个中取小数点后第1位的 ... [/quote]
没那个必要吧，只要存在一个x是无限不循环小数，那么x+1，x+2，x加上任何一个自然数都是无限不循环小数，自然数有无限多个，那么这样的数就能轻松找到无限多个。.
dean1128 2009-6-30 14:35
提一个问题，实数为什么和数轴上的点一一对应？我忘记了。.
jyuntoku 2009-6-30 15:12
回复 168#dean1128 的帖子
恩。你说的有道理，我这里的“无穷多个”以及“无限”“有限”这些词都用得不准确。自然数的个数本身就是“无穷多个”，你的构造完全没有问题。
我原来帖子这里讲的“无穷多个”时的意思是比自然数的个数（即n个，n是任意大的自然数）更多的无穷多个。.
jyuntoku 2009-6-30 15:17
回复 169#dean1128 的帖子
我的理解是：把实数和数轴上的点一一对应，是一种对实数连续性的直观地比喻性质的描述。
这样说的好处是，数轴我们看得到且容易想象，数轴的“连续性”我们可以凭借本能和直观感觉到，所以实数的连续性我们也似乎能本能地直观地感觉到了，这个实数的根本性质就变成不证自明的了。（换句话说，诱导学生自己发现并认同了实数的连续性这一公理，尽管他们完全没有意识到为什么需要这条公理。）
于是老师可以继续往下教了。
总之，这是一种为了便于教学的“方便”讲法。
[[i] 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-6-30 15:28 编辑 [/i]].
dean1128 2009-6-30 15:30
[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2009-6-30 15:12 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=5394004&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
自然数的个数（即n个，n是任意大的自然数）[/quote]
这个表述有点混淆“任意大的自然数”和“无穷大”的概念。.
dean1128 2009-6-30 15:42
回复 170#jyuntoku 的帖子
首先，可以证明实数集不可数（就是实数比自然数个数多），方法很多，这里举一个
[url]http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%B0%8D%E8%A7%92%E8%AB%96%E8%AD%89%E6%B3%95&variant=zh-cn[/url]
。
然后，可以证明有理数集是可数的（就是有理数和自然数一样多）。
就可以得到无理数集不可数了。.
dean1128 2009-6-30 15:47
[quote]原帖由 [i]jyuntoku[/i] 于 2009-6-30 15:12 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=5394004&ptid=4553725][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
恩。你说的有道理，我这里的“无穷多个”以及“无限”“有限”这些词都用得不准确。自然数的个数本身就是“无穷多个”，你的构造完全没有问题。
我原来帖子这里讲的“无穷多个”时的意思是比自然数的个数（即n个，n ... [/quote]
这必须整清楚，什么叫比自然数的个数多？在你的概念里，整数、有理数、偶数、自然数哪个更多？.
jyuntoku 2009-6-30 15:55
回复 174#dean1128 的帖子
整数、有理数、偶数、自然数这几个集合的势是一样的，可以说是一样“多”。.
jyuntoku 2009-6-30 15:57
回复 172#dean1128 的帖子
对，就是你说的那个地方表述有问题。.
页:
[1]