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周积月累之九-剪纸

9、一个正方形纸片，进行如下操作：第一次用剪刀沿直线将正方形分为两部分，第二步再用剪刀沿直线将其中的一部分纸片分为两部分，…，第k步再用剪刀沿直线将其中的一部分纸片分为两部分，...。要得到88个28边形，至少要操作多少次？

[[i] 本帖最后由 wood 于 2008-5-22 23:27 编辑 [/i]].

上面的28边形没有什么特别之处，只是正好当时在看完全数，28是第二大的完全数，即它恰好等于它的所有真因子的和，28=1+2+4+7+14.

今天是我国著名数学家陈景润大师的生日，陈景润以在Goldbach问题上的成就闻名于世。
1742年，Goldbach在给Euler的信中提到，他发现每个大于2的偶数都能够表示成为两个素数的和。这个问题的表述非常清晰明了，但是难度极大，至今没有完全解决，被几乎所有的数学大师认为是最重要的数学问题之一。
Goldbach猜想也可以表示成为一个偶数=（1个素数）+（1个素数），也就是所谓的“1+1”的含义，陈景润把“筛法”演绎到了极致，证明了：一个足够大的偶数=（1个素数）+（1个素数或2个素数的乘积），也就是“1+2”。
3，5；5，7；11，13；101，103，这一对对素数相互之间的差为2，被称为孪生素数。是否有无穷多对孪生素数人类已经研究了2000年以上，还没有结果。比如1000000000061，1000000000063就是一对孪生素数，2002年已经发现了一对孪生素数是51090位数。
陈景润证明了：存在无穷多对数，它们相差为2，其中较小的是素数，较大的是素数或两个素数的乘积。
陈景润大师在这两个世界性难题上的巨大成就，使得他被公认为史上100名著名的数学家。
目前最有成就的年轻数学家陶哲轩在他的著名论文中一再提到陈景润先生的结果。
有些“大师”对陈景润的成果有些微词，认为Goldbach猜想并不重要，当然每个人都可以有自己独立的看法。我认为能够在大家都能理解的问题上取得成就才是真正的大师，目前很多学问发展到了“尖端”的状态，要理解其中的问题，也要专门学上10年8载，但是其中问题因为研究的人少所以难度并不见得很大，实际上在这样的学科中取得进展要容易得多。冷僻的语言也是重要的，比如二战中土著语成了密码通讯的重要语言，中越战争中据说上海话也起到了很大的作用。冷僻的领域中的大师也应该得到尊重，但是我们不能因为我们的上海话说得比爱因斯坦好，就能为我们比他强。
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陈景润先生在极其艰苦的条件下，取得了举世瞩目的成就。作为一个世界级的数学家他的过早去世与他长年营养不良有关，而直接诱因是挤公交车摔跤所致。想来有些悲凉，现在即使是教一点粗浅的奥数也不至于此。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2008-5-22 09:17 编辑 [/i]].

9、一个正方形纸片，进行如下操作：第一次用剪刀沿直线将正方形分为两部分，第二步再用剪刀沿直线将其中的一部分纸片分为两部分，…，第k步再用剪刀沿直线将其中的一部分纸片分为两部分，...。要得到88个28边形，至少要操作多少次？
解：注意到以下事实：a）每操作一次增加一个部分，也就是说操作了n次以后，桌上有n+1张纸片；
b）每操作一次最多能使得所有纸片的多边形顶点的总数增加4；
c）每个纸片至少有3个顶点。（三角形时）
这样由a）、c）假设n次操作后得到88个28边形，则顶点总数至少是88×28+（n+1-88）×3。
而由b）n次操作，顶点最多有4+4n个，因此4+4n≥88×28+（n+1-88）×3，因此n≥2199，也就是说至少要操作2199次。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2008-6-5 14:09 编辑 [/i]].

另一方面，以上解题过程也提示了我们操作的方法。操作2199次是可以的，首先我们用87次操作把正方形裁剪成为88个长方形（这是可以做到的，比如我们把一条边等分为88份，沿着这些分点87条垂线就可以把正方形裁剪成为88个长方形），然后对每个长方形操作24次可以得到88个28边形（每次剪掉一个角增加一个边），共需要87+24×88=2199次。[em08]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2008-6-5 14:24 编辑 [/i]].