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周积月累之七-再说整除

7、如果一个正整数n，可以被所有小于n^(1/3)的正整数整除，则我们称n是一个好数。求最大的好数是多少？

[[i] 本帖最后由 wood 于 2008-4-21 18:04 编辑 [/i]].

不会太大的，这个要求还是很苛刻的。.

比如n=26就是一个好数，因为3×3×3=27，所以小于n^(1/3)的正整数只有1、2，当然26可以被所有小于n^(1/3)的正整数整除。.

420?.

可以检验420是可以的，因为8×8×8=512，所以小于小于n^(1/3)的正整数为1、2、3、4、5、6、7，容易检验它们都是420的因子。
还能再大吗？.

应该不能再大了。
对于n=8，420是唯一的好数，再大的好数一定是420的倍数，
而(n+1)^3 / n^3已经小于2了，9×9×9=729小于420×2=820了。.

这个理由不充分。.

这方面俺的基本功就不行了，给不出严格的证明。
俺觉得随着n的增长，n^3的增长幅度越来越小，而1至n-1的最小公倍数的增长幅度越来越大。

n，n^3，1至n-1的最小公倍数
3，27，2
4，64，6
5，125，12
6，216，60
7，343，60
8，512，420
9，729，840
10，1000，2520
要使2520成为一个好数，则需要n>=(2520)^1/3，n=14，而1-13的最小公倍数=2520*11*13=360360
要使360360成为一个好数，则需要n>=(360360)^1/3，n=72，而1-72的最小公倍数=360360 * ~!@#$$%%^
太大了，俺不知道自然数列中是不是有这么大一段没有质数的数列来弥补这越来越大的差距。。。[em07] [em07].

呵呵，是电脑程序算的吗？
这道题是难了一点，我准备下周上课讲的，本来想可能也可以讨论到那时候。
zhenai熊兄直觉很敏锐。.

[quote]原帖由 [i]zhenai[/i] 于 2008-4-24 11:37 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2793077&ptid=4511334][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
n，n^3，1至n-1的最小公倍数
3，27，2
4，64，6
5，125，12
6，216，60
7，343，60
8，512，420
9，729，840
10，1000，2520[/quote]
这个理由不充分啊。

11，1331，27720
12，1728，27720

会在某些数处不增长，那么会不会由于不增长而突然又满足要求呢？.

回复 9#wood 的帖子

这几个数手算算就够了，还用不着编程。俺不是科班出身，不知道有些什么高等手段了。。。[em07] [em07].

[quote]原帖由 [i]老猫[/i] 于 2008-4-24 14:22 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2794442&ptid=4511334][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

这个理由不充分啊。

11，1331，27720
12，1728，27720

会在某些数处不增长，那么会不会由于不增长而突然又满足要求呢？ [/quote]

确实不充分，我在最后一句话中已经说明了。
其实除了遇到质数，遇到质数的幂数，如4、8、9、16、25、27、32、49等等，这类合数时，最小公倍数仍会成数倍增长。.

前面是探索规律，后面就看是否能理论证明。.

k,k+1,k+2,k+3的最小公倍数大于等于k(k+1)(k+2)(k+3)/6
当k>=10时 k(k+1)(k+2)(k+3)/6  > (k+4)^3.

2的幂

呵呵，这道题的确还是难了一些。由于课时延后，我还是下周一起讲解吧。本周的题也发在这里。

[b]8、是否有一个2的幂，将它的十进制各位数字重新排列后可以得到另外一个2的幂？（0不能在首位）[/b].

利用被9除的余数.

解答

1楼问题解答如下：.