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关于2008的数论题、组合题-有奖征解

也是一道有关首位数字的题目：

[[i] 本帖最后由 wood 于 2008-1-17 22:12 编辑 [/i]].

看到数论题就想起了茴字有几种写法。

是中学生，不是孔XX！.

这是当年俺高中竞赛的题目。
每次出现9，就会少进一位。.

当年考的时候没有告诉几位数，要用对数算一下。
我有个同学去厕所，用计算器按了一遍。
：）.

[em03].

有奖征解

要求有过程，第一个答对的奖励[b]梁绍鸿[/b]先生编写经典几何书籍《初等数学复习及研究-平面几何》的习题解答。.

动心啊。每次有人奖励书辑，都要赶紧下手。
先占住楼层，为了表示已经做出来了。
结果是604。

然后再慢慢写过程。.

[attach]105241[/attach].

解法涉及对数计算过于繁琐，不适合作为考试的解题答案。而且题目是问多少个首位数字为9。：）

征解继续。.

额，看错了。9应该比1少很多。9应该比1简单得多。赶紧试试。

[[i] 本帖最后由 老猫 于 2008-1-14 11:19 编辑 [/i]].

由于3^2=9相当的接近10，因此绝大部分的是乘以3^2以后就进一位。如果就是根号10的次方数，那么2008次方以后就是1005位。
现在只有959位，所以少了46位。
少的这46位是由于出现了部分乘以3^3才进一位的情况。考察首位是9的数，其除以3^2位数不变。考察首位不是9的情况，其除以3^2位数少1。
由此可知首位是9的数是46*2＝92个。

搞定，果然简单好多。.

[quote]原帖由 [i]wood[/i] 于 2008-1-14 09:21 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2431392&ptid=4484297][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
解法涉及对数计算过于繁琐，不适合作为考试的解题答案。而且题目是问多少个首位数字为9。：）

征解继续。 [/quote]


对数化乘法为加法，个人认为是一种极好的运算。
记得谁说过，对数运算使得所有的天文学家的寿命增加了一倍。.

解答还需要改进。
不然的话，同理可得：3、9、27中有2个首位数字为1。.

6楼的题征解继续。
再来征解一个与2008相关的组合题：[b]从1，2，3，。。。，2008中最多能选出多少个数，使得其中任意两个数的差不等于8，也不等于3。[/b]要求有完整解答过程。
[em06].

每8个数字一个周期考虑，第一个全选奇数，第二个周期全选偶数，得1,3,5,7,10,12,14,16。因任意两个数之差不等于3，去掉10,14,16即满足条件，也要考虑到后面的17,19。
因此16个数为一个周期，可以选5个
2008/16=125....8
最多可以选：125*5+4=629（多余8个数字可以选4个）.

[quote]原帖由 [i]wood[/i] 于 2008-1-12 12:21 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2426877&ptid=4484297][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
要求有过程，第一个答对的奖励梁绍鸿先生编写经典几何书籍《初等数学复习及研究-平面几何》的习题解答。 [/quote]
我们把这2008个数补一个3^0＝1，一共2009个数进行分组，位数相同的数分在一起，根据3^2008是个959位数，当首位数是9的时候，该位数的数字有3个，如1,3,9，而27.81是不会出现9的。我们知道共分为959组，每组要么3个数，要么2个数。设3个数的x组，2个数的y组。
则有x+y=959，3x+2y=2009（补上3^0＝1了），解得x=91，也就是说恰好有91组有3个数，该组的第三个首位是9。
[em03] 终于解出来了。奖励有吗？.

[quote]原帖由 [i]wood[/i] 于 2008-1-1 14:16 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2388303&ptid=4484297][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
也是一道有关首位数字的题目： [/quote]
本题的解答也很简单了。某个数如乘以9没有进位，这个位的数有2个，肯定出现一次首位数是9了。
即：2009-1917=92个。.

[quote]原帖由 [i]wood[/i] 于 2008-1-17 22:17 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2449574&ptid=4484297][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
6楼的题征解继续。
再来征解一个与2008相关的组合题：从1，2，3，。。。，2008中最多能选出多少个数，使得其中任意两个数的差不等于8，也不等于3。要求有完整解答过程。
[em06] [/quote]
[color=#000000][font=宋体]构造数列：[/font][font=Times New Roman]1[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]4[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]7[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]10[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]2[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]5[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]8[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]11[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]3[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]6[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]9[/font][font=宋体]。[/font][/color]
[color=#000000][font=宋体]容易知道每[/font][font=Times New Roman]11[/font][font=宋体]个数中最多可以取出[/font][font=Times New Roman]5[/font][font=宋体]个数，满足任意两个数相差不是[/font][font=Times New Roman]8[/font][font=宋体]或者[/font][font=Times New Roman]3[/font][font=宋体]。[/font][/color]
[color=#000000][font=宋体]取出：[/font][font=Times New Roman]4[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]5[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]6[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]10[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]11[/font][font=宋体]。[/font][/color]
[color=#000000][font=宋体]构造[/font][font=Times New Roman]11k+4[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]11k+5[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]11k+6[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]11k+10[/font][font=宋体]、[/font][font=Times New Roman]11k+11[/font][font=宋体]。[/font][/color]
[color=#000000][font=宋体]由于[/font][font=Times New Roman]2008[/font][font=宋体]除以[/font][font=Times New Roman]11[/font][font=宋体]余[/font][font=Times New Roman]6[/font][font=宋体]，容易知道最后一个循环最多有三个数。[/font][/color]
[color=#000000][font=宋体][size=10.5pt]因此最多取到[/size][/font][size=10.5pt]182[/size][font=宋体][size=10.5pt]×[/size][/font][size=10.5pt]5[/size][font=宋体][size=10.5pt]＋[/size][/font][size=10.5pt]3[/size][font=宋体][size=10.5pt]＝[/size][/font][size=10.5pt]913[/size][font=宋体][size=10.5pt]个数。[/size][/font][/color].

[quote]原帖由 [i]ITmeansit[/i] 于 2008-1-18 02:48 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2449793&ptid=4484297][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

我们把这2008个数补一个3^0＝1，一共2009个数进行分组，位数相同的数分在一起，根据3^2008是个959位数，当首位数是9的时候，该位数的数字有3个，如1,3,9，而27.81是不会出现9的。我们知道共分为959组，每组要么3个数，要么2个数。设3个数的x组，2个数的y组。
则有x+y=959，3x+2y=2009（补上3^0＝1了），解得x=91，也就是说恰好有91组有3个数，该组的第三个首位是9。[/quote]

哈哈，奖励是我的了。
由于题目中说明3^2008是个首位为1的959位数，所以设3个数的x组，2个数的y组。
则有x+y+1=959，3x+2y+1=2009（补上3^0＝1，+1是因为考虑到3^2008是个首位为1的959位数），解得x=92，也就是说恰好有92组有3个数，该组的第三个首位是9。
[em03] [em03] [em03].

[quote]原帖由 [i]wood[/i] 于 2008-1-14 18:06 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2434711&ptid=4484297][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
解答还需要改进。
不然的话，同理可得：3、9、27中有2个首位数字为1。 [/quote]

只是改进还是没有想出来。[em02] [em02] [em02].

回复 17#ITmeansit 的帖子

数论题解答正确！请短信告知email地址或qq。[em03]

但是组合题解答不正确。[em06].

老猫老师全部正确。另外加imo几何书一本。.

[quote]原帖由 [i]老猫[/i] 于 2008-1-18 09:06 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2449980&ptid=4484297][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


哈哈，奖励是我的了。
由于题目中说明3^2008是个首位为1的959位数，所以设3个数的x组，2个数的y组。
则有x+y+1=959，3x+2y+1=2009（补上3^0＝1，+1是因为考虑到3^2008是个首位为1的959位数），解得x=92，也就是 ... [/quote]
我觉得即使考虑了3^2008是个首位为1的959位数，也不能证明该959位数一定有3个数。因为这个首位数必须是小于1.11（无限循环）的数，才有可能得到959位数里有三个数，否则这个首位数乘以3^2=9时，肯定进位了。你的这个假设不能成立。

验证如下：3^2008=1.1468*10^958，1.1468>1.1111，[em16] 因此这个组里只有2个数。看来我的计算应该是正确的，还请wood验证一下。

呵呵，如果正确，奖励还应该是我的啊！.

回复 23#ITmeansit 的帖子

你错了,老猫是对的.
只要考虑3^2008以前的数,所以3^2008这组究竟有几个就没有关系了..

回复 24#布尔巴基 的帖子

刚才自己也想明白了。是要缩一位考虑的。因此老猫的正确。.