ji23 2007-12-28 12:43
竞赛中的不等式
[size=4]“不等式最能反映出选手的创造能力. 很多不等式无法搬用固定的陈法, 必须自出机杼, 给出新颖的解法”[/size](单墫语录).
现在, 在mathlinks的Olympiad Section上, 每18帖中, 6个分支的分布大致是——
Algebra:3
Combinatorics:2
Geometry:3
Inequalities:5
Number Theory:4
High-School Contests:1
这里我将挂一些最近新编的不等式题, 适合于高二以上同学..
ji23 2007-12-28 12:58
一个4元循环对称不等式
对非负数a、b、c、d, [url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=148360]有
[attach]101895[/attach][/url]
[[i] 本帖最后由 ji23 于 2008-1-7 11:52 编辑 [/i]].
老猫 2007-12-28 17:53
额
计大侠也来了。.
老封 2007-12-30 23:43
欢迎ji23，不等式专家！[url]http://forum.cnool.net/thesis.jsp?thesisid=494[/url]的版主。.
ji23 2008-1-7 11:51
一个3元条件不等式
设正数x、y、z满足x + y + z = 1, [url=http://www.mathlinks.ro//viewtopic.php?t=149534]则[/url]
[attach]103581[/attach].
ji23 2008-2-25 00:31
三实元的一个齐次对称不等式
[size=3]对实数a、b、c, 有
[attach]117389[/attach]
当a = b = c时等号成立.[/size]
[[i] 本帖最后由 ji23 于 2008-2-25 01:56 编辑 [/i]].
echooooo 2008-2-28 01:14
搬个凳子慢慢看，
...
看得懂，做不出。[em04].
wood 2008-2-28 08:45
呵呵，什么时候希望能请计大师给奥数老师和奥数家长上上不等式。.
echooooo 2008-2-29 11:18
不等式玩的就是技巧，特别是配方功夫一定要到位；
就俺这老胳膊老腿，还拿大顶？能做俯卧撑就不错啦。:lol.
echooooo 2008-2-29 11:38
改天弄本书瞅瞅，再练练。:$.
ji23 2008-3-18 14:59
俯卧撑
[quote]原帖由 [i]echooooo[/i] 于 2008-2-29 11:18 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2559524&ptid=4483744][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
就俺这老胳膊老腿，还拿大顶？能做俯卧撑就不错啦。:lol [/quote]
对正数x、y、z, [url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=194429]有[/url]
[img]http://alt1.mathlinks.ro/Forum/latexrender/pictures/3/b/b/3bba9854f19232a7aac8d1f2aa905c51a4e8a684.gif[/img]
当x = y = z时等号成立.
[[i] 本帖最后由 ji23 于 2008-3-18 15:06 编辑 [/i]].
echooooo 2008-3-18 15:44
俯卧撑也:L ，改仰卧起坐吧。;P.
老猫 2008-3-18 17:01
[quote]原帖由 [i]echooooo[/i] 于 2008-3-18 15:44 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2621933&ptid=4483744][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
俯卧撑也:L ，改仰卧起坐吧。;P [/quote]
在你眼中的“俯卧撑”或者“仰卧起坐”，在ji大侠心中只够“坐”或者“卧”。[em14].
echooooo 2008-3-18 17:32
算啦，俺还是缩在墙角吧。:$
站着都不够格。:P
不过，重在参和嘛，瞅瞅总可以。;P.
老猫 2008-3-18 21:04
你看到的啊，我也缩在角落里面嘛。.
dudu19668 2008-3-19 14:17
大侠真多阿[em03]
俺缩在窗外瞅一瞅，也算参与.
nancyhong2007 2008-3-19 18:54
[tt0] [tt0] [tt8] [tt8].
nancyhong2007 2008-3-19 18:55
:funk: :funk: :funk: [em03] :funk: 难.
nancyhong2007 2008-3-19 18:55
GAME OVER:hug:.
ITmeansit 2008-3-20 13:10
请教一题。
已知a+b+c=1，求证：.
ji23 2008-3-20 23:15
[size=5][b]反例[/b][/size]
[size=5]当a = -1, b = c = 1时,
a + b + c = 1,但
6(a³ + b³ + c³) + 1 = 7;
5(a² + b² + c²) = 15.[/size].
ITmeansit 2008-3-20 23:21
回复 21#ji23 的帖子
不好意思，漏了一个条件：对非负数a、b、c.
ji23 2008-3-21 09:32
齐次化 & 增量代换
[size=4]6(x³ + y³ + z³) + (x + y + z)³ - 5(x + y + z)(x² + y² + z²)[/size]
[size=4][/size]
[size=4]≡ F(x, y, z) = F(x, x + s, x + s + t)[/size]
[size=4][/size]
[size=4]= 2x(s² [/size][size=4]+ st +t²[/size][size=4]) + 2t²(2s + t) ≥ 0,[/size]
[size=4][/size]
[size=4]这对0≤x≤y≤z是显然成立的.[/size].
wood 2008-3-21 10:16
欣赏了！
ji23老师实际上是推广了结论为：当x，y，z是非负实数时，都有6(x³ + y³ + z³) + (x + y + z)³ ≥5(x + y + z)(x² + y² + z²)
因为这个式子中x，y，z是对称的，所以可以不失一般性地假设x≤y≤z。.
ITmeansit 2008-3-21 10:34
解得很精彩！谢谢.
echooooo 2008-3-21 12:53
眼花缭乱[tt11].
echooooo 2008-3-21 12:56
先学一招：
齐次化 & 增量代换
看看以后有没有机会照葫芦画瓢;P.
echooooo 2008-3-21 13:00
要不ji大虾再把前面的几题也给解了，
再寻摸寻摸有啥招数可...;P
[tt7].
ji23 2008-4-9 00:49
[size=4]设[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=197878]实数[/url]x、y、z满足x² + y² + z² = 1, 则[/size]
[size=4][/size]
[img]http://alt1.mathlinks.ro/Forum/latexrender/pictures/8/0/7/807737c683084df76c3563b594e72a3cea5b3f71.gif[/img] ,
[size=4]等号成立仅当x = y = z.[/size]
[[i] 本帖最后由 ji23 于 2008-4-9 14:37 编辑 [/i]].
ji23 2008-4-21 15:41
1996年2月23日第47届波兰数学竞赛第2试第3题的一个类似
[size=12pt]设[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=4944]实数[/url]a、b、c满足a + b + c = 3, 则
[img]http://alt1.mathlinks.ro/Forum/latexrender/pictures/8/1/3/8137effa7b9a95f9d74aecbf46516a08428bb5d9.gif[/img][/size].
wood 2008-4-21 17:43
“不等式最能反映出选手的创造能力. 很多不等式无法搬用固定的陈法, 必须自出机杼, 给出新颖的解法”(单墫语录).
单老师说的“陈法”是指“陈大师的方法”？.
ji23 2008-4-26 00:49
[size=4]设[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=28678]非负数[/url]x、y、z满足x + y + z = 1, 则
[attach]136936[/attach][/size]
[[i] 本帖最后由 ji23 于 2008-4-26 00:53 编辑 [/i]].
ji23 2008-5-20 23:24
[size=4]对正数x、y、z, 有[/size]
[size=4]x³ + 4y³ + 4z³ + xy² + 5yz² + 2xyz ≥ 2x²y + 3x²z + 3y²z,[/size]
[size=4]等号成立当且仅当x : y : z = [url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=205593]5 : 1 : 2[/url].[/size]
[[i] 本帖最后由 ji23 于 2008-5-21 21:29 编辑 [/i]].
老猫 2008-5-21 07:26
天那，又来一个。是不是这种不等式，你随便构造的啊。.
ji23 2009-1-24 13:13
[size=4]对[url=http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=236207]实数[/url]a、b、c, 有[/size]
[size=4][/size]
[size=4](a² + b² + c² + 5bc + 5ca + 5ab)² ≥ 12(a + b + c)²(bc + ca + ab),[/size]
[size=4][/size]
[size=4]等号成立当且仅当a = b = c.[/size].
echooooo 2009-1-24 13:40
计大师好久没来啦！[em03]
俺接着再看，
依旧缩在墙角落里偷偷地。:L.
jyuntoku 2009-1-24 15:42
回复 35#ji23 的帖子
设u=a2+b2+c2，v=ab+bc+ac
化简原题即相当于证明：
u2+v2>=2uv.
ji23 2009-1-24 17:14
[size=4]对正数a、b、c, [/size][url=http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=32447][size=4]有[/size][/url]
[size=4][img]http://alt1.mathlinks.ro/latexrender/pictures/7/e/f/7ef690907614d7b5acd91e5bae77f0c8bfab5d66.gif[/img][/size].
greenjyz 2009-1-25 09:22
回复 34#老猫 的帖子
这是"齐次化 & 增量代换"逆过程.......[tt17].
greenjyz 2009-1-25 09:23
回复 37#jyuntoku 的帖子
妙!.
ji23 2009-1-25 11:50
设0 < x < 1, [url=http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=238936][size=3]则[/url]
[img]http://alt2.mathlinks.ro/latexrender/pictures/a/7/5/a758a6bf7f1ef537156067b54919463a0ae7ebb8.gif[/img][/size].
老猫 2009-1-25 12:50
[quote]原帖由 [i]greenjyz[/i] 于 2009-1-25 09:22 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=4332039&ptid=4483744][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
这是"齐次化 & 增量代换"逆过程.......[tt17] [/quote]
逆过程也并非每个都很容易。.
greenjyz 2009-1-25 21:14
回复 42#老猫 的帖子
是滴........[tt6] .....
像41楼这一题俺到现在也"想"不出"逆过程"该是如何滴.......唉........缩在墙角吧..........
恭祝猫老师、Ji大侠和各位大师新春快乐，牛年大吉！.
greenjyz 2009-1-26 02:19
回复 41#ji23 的帖子
这! 块! 硬! 骨! 头! [tt8]
俺决定采用无赖招数了!
考察 (2-x)*x^x 是否大于1;
当x=1,两边相等;
两边求导,然后考察x^x*[(2-x)*(Lnx+1)-1]是否小于0;
考察Lnx+1 和 1/(2-x), 易证当x<1, Lnx+1 < 1/(2-x), 所以x^x*[(2-x)*(Lnx+1)-1]<0, 可推得(2-x)*x^x <1 !!!.
ji23 2009-1-29 23:05
回复 44#greenjyz 的帖子
用加权的算术平均——几何平均不等式:
[img]http://alt1.mathlinks.ro/latexrender/pictures/2/2/3/223c8b18ed0065bf547b46752a87c68fac8ef36c.gif[/img]
祝greenjyz 新年牛气十足~.
greenjyz 2009-2-1 10:04
回复 45#ji23 的帖子
非常感谢Ji大师！绝妙之解！
外出数日，迟复，歉甚！.
ji23 2009-2-2 00:21
设[img]http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/6/d/5/6d5ccb28d9ad87924f5204443ba79e2863cd96fb.gif[/img] [url=http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=241498]则[/url]
[img]http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/0/9/1/091332456bbad23dca614094697fb38badea9e98.gif[/img]
[[i] 本帖最后由 ji23 于 2011-12-11 10:41 编辑 [/i]].
ji23 2009-2-4 02:45
[size=4][url=http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=255162][size=4]证明[/size][/url]:|sin(x - 1)| + |sin x| + |sin(x + 1)|≥ 2 sin1对所有实数x都成立.[/size].
ji23 2009-2-6 00:11
葛之给我的不等式
[attach]250521[/attach][url=http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=237245].[/url].
greenjyz 2009-2-6 13:42
回复 47#ji23 的帖子
Ji大侠老是弄一些难啃的硬骨头搁在俺们喉咙里，很不爽！先做一半：
据题设，有(xi+1/2)^2=x(i-1)^2+5/4。
当i=1，x1=sqrt(5/4)-1/2<1-1/3;
设i=n时不等式成立，考察i=n+1;
因[x(n+1)+1/2]^2 =xn^2+5/4<=(1-1/3^n)^2+5/4=[3/2 - 1/3^(n+1)]^2 - [3^(n+2)-8]/3^(2*n+2)< [3/2 - 1/3^(n+1)]^2，
有x(n+1)<=1 - 1/3^(n+1)。
证毕。.
ji23 2011-12-11 10:51
涉及锐角三角形内角正切正割的一个循环不等式
在锐角△ABC中, 有
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\tan^2{A}\tan{B}+\tan^2{B}\tan{C}+\tan^2{C}\tan{A}\geq\frac{9\sqrt{3}}{8}\sec{A}\sec{B}\sec{C}.%.gif[/img].
ji23 2012-2-5 23:41
与Ramanujan有关的一个数列不等式
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?3\ln{2}-2-\frac{1}{32n^2}<\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k(16k^2-1)}}<3\ln{2}-2.%.gif[/img].
页:
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