cechooooo 2007-8-26 11:39
预初数学题
在小于10000的奇自然数n中，是使由n^9的后4个数吗组成的数大于n的奇数n多，还是使由n^9的后4个数吗组成的数小于n的奇数n多？[em19].
老猫 2007-8-26 12:10
不要扁我哦。
我穷举了一下，一共有2480个大于0的，2480个小于0的。所以一样多。
[em04].
echooooo 2007-8-26 12:25
回复 #2 老猫 的帖子
能否说说思路及本题要点？:lol.
老猫 2007-8-26 13:24
穷举啊，就是把每一个都算出来，然后比较一下。
[em07].
echooooo 2007-8-26 17:23
回复 #4 老猫 的帖子
9次方耶，哥哥！:o
“穷举”不把我给举穷了？:L.
老猫 2007-8-26 21:22
还可以啊。
反正我穷举出来了。
当然考试时候不能这样。
问题是如果解最终是一样多，那么一定可以通过对应，做出来。也就是说如果有一个大于0的就对应了一个小于0的。
只是如何对应，我还不知道。.
xyq2100 2007-8-28 11:10
我们观察小于10000的奇自然数i(i<5000)和10000-i
i k=i^9(mod10000)
10000-i (10000-i)^9(mod10000)=-i^9 (mod10000)=10000-k (mod10000)
如果i>k 那么10000-i<10000-k
如果i<k 那么10000-i>10000-k
如果i=k 那么10000-i=10000-k
i和10000-i 可以一一对应，因此一样多.
老猫 2007-8-28 12:35
好简单的对应，就是没有想到。
有个小疑问，证明里面没有提起奇数，是不是奇数是个多余条件？.
xyq2100 2007-8-28 12:56
5000是个例外，5000^9的后四位数是0，所以去掉奇数这个条件，后者多1.
老猫 2007-8-28 13:05
这是一个非本质的例外啊。多这一个对解题没有什么问题的。.
echooooo 2007-8-28 13:17
没完全看懂。:L
思路是清楚了，关键在于9次方的性质不清楚。
如果题目换成7次方、8次方、......怎么解？[em19].
xyq2100 2007-8-28 13:18
想错了，被10整除的9次方后四位数都是0，所以去掉奇数这个条件，后者多999个.
xyq2100 2007-8-29 16:26
这个问题用到了数的同余和二项式理论(应该是高中的知识)
[attach]73838[/attach]
这里a=10000,b=i和10000-i
例如 3^9=19683 = 9683 (mod10000)
9997^9=(10000-3)^9=(-3)^9=-19683 =20000-19683=317(mod10000)
3+9997=9683+317
这个结果对于9,7，5，3等奇数次方都成立，
而对于8等偶数次方不成立.
老猫 2007-8-29 16:45
这个同余的知识初中应该没有问题。二项式的内容如果只用到前面部分是a的倍数，不要详细的内容，初中也能解决。.
echooooo 2007-8-29 17:27
结论性的：
若a、b为正整数，m为奇数，n为偶数
则（a+b）^m+（a-b）^m=0 （mod a）
（a+b）^n=（a-b）^n （mod a）or（mod b）
对吗？
[[i] 本帖最后由 echooooo 于 2007-8-29 17:36 编辑 [/i]].
echooooo 2007-8-29 18:13
回复 #19 老猫 的帖子
貌似不必。[em04].
echooooo 2007-8-29 21:05
[quote]原帖由 [i]echooooo[/i] 于 2007-8-29 17:27 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1961976&ptid=4453517][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
结论性的：
若a、b为正整数，m为奇数，n为偶数
则（a+b）^m+（a-b）^m=0 （mod a）
（a+b）^n=（a-b）^n （mod a）or（mod b）
对吗？ [/quote]
稳妥起见，加个限定条件，a>b:lol.
老猫 2007-8-29 21:27
回复 #21 echooooo 的帖子
这个倒肯定没有什么关系。.