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第6届女子数学奥林匹克数学竞赛-平面几何题之二

8月11日～8月16日在湖北武汉华中师大一附中举行第6届女子数学奥林匹克数学竞赛，这项赛事从2002年开始举办，已经逐步发展成为一项国际性数学竞赛，该项赛事每队参加人数为4人，教练两人（要求有一名女教练）。

千万不要以为女子奥数的题目就容易，大家可以看附件去年的试题。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-20 14:22 编辑 [/i]].

在去年的女子数学奥林匹克竞赛中，上海的华师大二附中获得两金两银的好成绩，她们是张徐翃、林洁、张卿云、王钰。其中张徐翃同学以总分第二直接进入2007年国家数学集训队。林洁在随后举行的2006年全国高中数学联赛获得上海地区唯一的满分。（全国3个满分）.

优秀的女孩！.

回复 #2 wood 的帖子

[em21].

女孩子们在凑不出4个强手的学校里，就没有机会参加比赛了，对吧？
所以有机会得奖的，总是那几个牛校的了。:P.

[quote]原帖由 [i]scarlett93[/i] 于 2007-8-7 18:07 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1900967&ptid=4449731][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
女孩子们在凑不出4个强手的学校里，就没有机会参加比赛了，对吧？
所以有机会得奖的，总是那几个牛校的了。:P [/quote]
一般学校没有得奖的信心也就不会组织了，因为试题难度远高于高中联赛，而且费用也不低。
下面是第1-4届比赛试题。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-8 06:41 编辑 [/i]].

结果还没有出来，我们一起来看这次的几何题。总共8道题，每天4题，每天考试用时4小时。

[size=4][b]问题5[/b]：D是△ABC内一点，且满足∠DAC=∠DCA=30，∠ABD=60，E是BC中点，F在AC上且满足AF=2FC。证明：DE⊥EF。[/size]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-17 12:55 编辑 [/i]].

这个问题主要是图难做，准确图做出来了，证明方法也就有了！

[b]证明：[/b]设△ABD的外界圆O与CD的延长线相交于G，与AC相交于H。
由已知条件，∠ADG=60=∠AGD，所以△ADG是正三角形，所以∠GAH=90，
因此GH是圆O的直径，因此GB⊥BH。
因为GD=DA=DC，所以D是GC的中点，所以DE∥GB；
又因为∠HDA=30，作角∠F1DC=30，显然△DHF1是正三角形，所以AH=HD=HF1=F1C，
因此F和F1重合，所以AH=HF=FC，F是HC中点，因此EF∥BH，所以DE⊥EF。
[em03]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-17 12:58 编辑 [/i]].

平面几何的奇妙之处是往往一道题有多种不同的证明方法，下面这个方法来自tomchen1234，他的叙述不是很完整，我们已经做了补充。

证明：在AB上取一点H使得BH=BD，过C作BD的平行线CG，交HD延长线于G，HD延长交BC于E1。
由于∠HDB=60，所以∠CGD=∠BDG=120，∠GDC=180-∠ADC-∠ADH=180-∠AHD-∠ADH=∠HAD，又由于AD=DC，所以△AHD≌△DGC，所以GC=HD=BD，这样BDCG就是一个平行四边形，所以E和E1重合。令J为AC的中点，则EJ∥AB，且DJ⊥AC。由证法1我们已经知道∠DFJ=60，所以∠JED=∠BHD=60=∠DFJ，因此EFJD四点共圆，所以∠DEF=90，DE⊥EF。.

2007女子数学奥林匹克几何题之二

[b]问题2[/b]、锐角三角形ABC的外心是O，AO、BO、CO与三角形的对边相交于D、E、F，证明：
如果BD/DC，CE/EA，AF/FB，BF/FA，AE/EC，CD/BD中有两个是整数，则三角形ABC是等腰三角形。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-21 08:56 编辑 [/i]].

[b]证明[/b]：BD/DC，CE/EA，AF/FB，BF/FA，AE/EC，CD/BD实际上就等于上图中红、黄、蓝三种颜色的三角形的面积的比。由于AO=BO=OC，所以他们的面积比也就是它们的夹角正弦的比。我们假设结论不成立，也即它们的夹角正弦的比中有两个是整数，但是△ABC不是等腰三角形。
     设∠AOB=α，∠BOC=β，∠COA=γ，如果α、β、γ中有两个相等，则马上可以得知△ABO、△BCO、△COA中有两个全等，因此△ABC是等腰三角形。不失一般性我们假设sinα＞sinβ＞sinγ，α+β+γ=360，因此sinα=sin(β+γ)=sinβcosγ+cosβsinγ≤sinβ+sinγ＜2sinβ，所以sinα/sinβ不是整数，因此如果夹角正弦的比中有两个是整数，则必然是sinα/sinγ=a和sinβ/sinγ=b是整数，且a≥b+1。
     但是asinγ=sinα=sin(β+γ)=sinβcosγ+cosβsinγ≤sinβ+sinγ＝(b+1)sinγ，因此a≤b+1，这样只能有a=b+1，所以前面不等式的等号都要成立，这样只能有cosβ=cosγ=1，因此β=γ=0或180，矛盾。因此我们的原命题成立。

这个几何题出的很新颖，不知道不用三角函数如何证明。
[em03]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-21 09:02 编辑 [/i]].

[b]武汉华中师大第一附中的陈卓同学和美国代表队的Shetty Gong 同学以114分（满分120分）的成绩并列金牌第一名，
第三是上海中学高一的高韫之，
第四是上海控江中学的张晓雯。
复旦附中高一年级郭嘉骅同学获也得本届比赛金牌，上海中学获得团体冠军![/b]可喜可贺[em11]
目前还没有得到完整的名单，不知道华师二成绩如何。

英文版试题看附件，两个第一名都接近满分，上海获得金牌的至少也有两位高一女孩，的确不简单，上海的奥数男生要加油了。[em06]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-21 20:31 编辑 [/i]].

[b]问题1[/b]：一个正整数m被称为好数，如果存在一个正整数n，使得m=n/φ(n)，其中φ(n)表示n的所有正整数因子的个数(包括1、n)。证明：1、2、…、17都是好数，但是18不是好数。

这道数论题目也比较新颖，我没有找到简洁的证明办法，在数学奥林匹克报做了一个[url=http://www.mathoe.com/dispbbs.asp?boardid=90&id=11094&star=1#11094][b][color=Blue]复杂的证明[/color][/b][/url]，需要一些数论知识才能理解。
[em07]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-21 19:56 编辑 [/i]].

题目不容易
[attach]72124[/attach]
n等于P(S)的个数
第四题如果仅仅证明m<=n可以变的简单一些
(1)这点为这些点的中心点
(2)对于每一个点，每一条不过此点的对称直线都对应这个点的一个对称点，而过此点的对称直线最多有一条，因此m<=n

[[i] 本帖最后由 xyq2100 于 2007-8-22 20:45 编辑 [/i]].

问题5：我用解析几何做，令D(0,0),C(1,0)，那么A(-1/2,√3/2)
令B(x,y)，E点坐标为((x+1)/2.y/2)，F点坐标为(1/2,√3/6)
满足DE⊥EF的曲线为(x+1/2)^2+(y-√3/6)^2=1/3
而满足∠ABD=60，D是△ABC内一点是下面圆的一段，设ABD的圆心为O，那么∠AOD=120=>∠DAO=30，
因此O点横坐标为-1/2,而 OA=AD/2*(2/√3)=√3/3
因此O点纵坐标为√3/2-√3/3=√3/6，因此圆方程为(x+1/2)^2+(y-√3/6)^2=1/3
得证.

第六题
[attach]72817[/attach]
第七题比较容易
第八题答案应该是2m-3.