查看完整版本: 华杯赛往届难题回顾2

华杯赛往届难题回顾2

第九届华杯决赛第二试问题5：求同时满足下列三个条件的自然数a、b：
(1)a＞b；(2)ab/(a+b)=169； (3)a+b是平方数。.

华罗庚先生一本《数论导引》影响了几代人，说他为我国数论研究的鼻祖一点不为过。以他的名字命名的华罗庚金杯赛的难题，基本上都出现在数论题上。.

这个问题不算很难，也不繁。
第二个条件相当于(a-169)(b-169)=169*169
由于等式右边是13^4，另外a>b，
只有13^3*13和13^4*1两种情况，剩下的就不值一提了。.

回复 #3老猫 的帖子

精彩。.

[quote]原帖由 [i]wood[/i] 于 2007-4-11 08:28 发表
华罗庚先生一本《数论导引》影响了几代人，说他为我国数论研究的鼻祖一点不为过。以他的名字命名的华罗庚金杯赛的难题，基本上都出现在数论题上。 [/quote]

数论导引我买了，除了打蟑螂，没有派过其他用场。.

现在不做老师这个职业了，尊师重教之心反而强烈了。《数论导引》还是值得我反复学习的。
禅宗也有大师焚烧典籍、毁坏佛像的公案。
猫老师让我想起了大师的风采，但是这样的境界对我来说有点可望不可及。[em07].

[quote]原帖由 [i]老猫[/i] 于 2007-4-11 09:06 发表


数论导引我买了，除了打蟑螂，没有派过其他用场。 [/quote]
用书打蟑螂，比用雷达喷要环保一些，尽管此举对书的作者是一种亵渎。

这本书，作为老师的教参读物未尝不可，作为低年级学生的课外参考书未免太严肃了一点。.

[quote]原帖由 [i]老猫[/i] 于 2007-4-11 08:52 发表
这个问题不算很难，也不繁。
第二个条件相当于(a-169)(b-169)=169*169
由于等式右边是13^4，另外a>b，
只有13^3*13和13^4*1两种情况，剩下的就不值一提了。 [/quote]
这道题目不难？这要看你从什么年龄去理解了。呵呵。.

回复 #8老姜 的帖子

“这道题目不难？这要看你从什么年龄去理解了。呵呵。”
说得好！.

[quote]原帖由 [i]wood[/i] 于 2007-4-11 09:27 发表
现在不做老师这个职业了，尊师重教之心反而强烈了。《数论导引》还是值得我反复学习的。
禅宗也有大师焚烧典籍、毁坏佛像的公案。
猫老师让我想起了大师的风采，但是这样的境界对我来说有点可望不可及。 [/quote]

大师风采，不敢哦。小老师一个。.

回复 #10老猫 的帖子

还客气什么，照单收了。[em16].

猫老师的做法简洁明快，但是要求学生掌握因式分解的知识，这对于小学生是很难想到的，下面给一个对小学生更“自然”的做法，当然显得较为繁琐。
解：由已知ab=13×13(a+b)，所以a、b至少有一个是13的倍数，我们分两种情况来讨论：
①a、b都是13的倍数。
此时，我们可以假设a=13c，b=13d。a+b=13(c+d)是一个平方数，所以c+d也是13的倍数；同时，代入整理得到cd=13(c+d)，所以c、d中至少有一个是13的倍数，因此c、d都是13的倍数；所以我们可以假设c=13e，d=13f，带入得到ef=e+f，显然e、f都不能取1，由于a＞b，所以c＞d，故e＞f≥2，因此e+f=ef≥2e，f＞e矛盾，所以情况①不可能成立。
②a、b中只有一个是13的倍数，当然此时也就只有一个是169的倍数。
不妨假设a是169的倍数，a=169h，带入得到hb=169h+b，(h-1)b=169h。由于b与169互素，所以169是(h-1)的因子；又由于(h-1)与h互素，所以(h-1)是169的因子，也就是说(h-1)和169互为因子，因此必有(h-1)=169，代入解得b=h=170，a=169×170，容易验算这个解的确是我们的要求。
同理如果我们假设b是169的倍数，可以解得a=170，b=169×170，与a＞b不符。
综上所述，唯一的解是a=169×170，b=170。.

据我所知，现在预备年级的小朋友当中，能熟练运用因式分解解题的在十人之上。华杯赛总决赛预备年级往年只有2人有资格参加，今年增加到四人。相信有资格角逐总决赛的，都会因式分解的。.

今年的华杯赛、希望杯的初赛试题都呈简单化，这个走向对高手是很不利的。我已经看到几个有在决赛中获一二等奖实力的小朋友，在初赛阶段中就被意外的淘汰了，甚是遗憾。个人认为，象这样的全国大赛，无论初赛或决赛，都应该有三题左右的，难度呈阶梯上升的拉开差距的试题。这样的话，部分粗心或发挥失常的高手纵然在简单题上大意失分，还可以在难题上扳回。.

回复 #14男孩爸爸 的帖子

不赞同，建议以后就考计算。造楼地基不老，楼顶上放一个皇冠，那会造成人们的投机心理，造成社会的浮躁。[em14] [em16].

考计算无所谓啦，就怕没事搞出老鼠打洞那样的模拟两可试题来[em17]

再说竞赛难度不够，搞出一大堆满分出来，如何区分高低？分不出高低来的竞赛还有意义吗？.

回复 #16男孩爸爸 的帖子

你那个跟和谐社会有矛盾，都是高分那说明大家都有能力，但五个手指不会永远长到一样长度的。[em14] [em16].

[quote]原帖由 [i]炫炫爸[/i] 于 2007-4-12 09:11 发表
你那个跟和谐社会有矛盾，都是高分那说明大家都有能力，但五个手指不会永远长到一样长度的。  [/quote]

[s:874.gif]炫炫爸把握的好.一个都不得罪.是不是他就是市教委里面搞教改的呢?.

回复 #18布尔巴基 的帖子

升官啦！[em16].