lyhzl 2006-10-31 16:32
请教一道数学题（已解决）
AB=11 AC=9,AH垂直于BC,三角形BAD为60度,三角形HAD是三角形DAC的1/2.
请问,BH的长度是CH的几倍?
[[i] 本帖最后由 lyhzl 于 2006-10-31 22:09 编辑 [/i]].
lyhzl 2006-10-31 17:34
回复 #2 想放慢生活 的帖子
基本是原题,只不过缩写了一下
原题:在三角形ABC中,AB=11CM ,AC=9CM.首先,在BC边上,取H使BHA=90度,然后在BC边上,在H与C之间取点D,使BAD=60度,这样,DAC是HAD的2倍.问,这时BH是CH长度的几倍?(日本11届算术奥林匹克决赛最后一题,答案是11/7,但没过程)
搞了两天,还是一头雾水呀![em17].
lh312151 2006-10-31 18:20
设角HAD=α，则： ∠BAH=60-α，∠ABC=90-(60-α)=30+α，
∠BAC=60+2α=2∠ABC，
作∠BAC的平分线，交BC于G，则：BG/Gc=11/9，
(BG/GC)+1=(11/9)+1，BC/GC=20/9，
ΔAGC ∽ΔABC，GC/AC=AC/BC，GC/9=9/BC，(9/20)BC/9=9/BC，
BC^2=20*9=180，
又：BH^2+AH^2=AB^2=121，
HC^2+AH^2=AC^2=81，
BH^2-HC^2=(BH+HC)*(BH-HC)=BC*(BH - HC)=121-81=40，
BH - HC=40/BC，BH + HC=BC，
BH=(BC+40/BC)/2，HC=(BC - 40/BC)/2，
BH/HC=[(BC+40/BC)/2]/[(BC - 40/BC)/2]=(BC^2+40)/(BC^2-40)=(180+40)/(180-40)=220/140=11/7，
所以，BH是HC的11/7。.
lh312151 2006-10-31 18:50
回复 #6 helenLee 的帖子
惭愧，是经其他高手指点。.
老姜 2006-10-31 19:46
另有一说
不知道日本的算术奥林匹克竞赛相当于我国的何一级别的数学竞赛。
下面给一个不用添加辅助线的非常简单的解法，尽管要用到二倍角公式(sin2B=2sinBcosB)，但相信很多程度好的初中竞赛选手都是知道的。
先证明∠BAC=2∠B，则BH/BC=(ccosB)/a=sinCcosB/sinA=sinCcosB/sin2B=sinC/(2sinB)=c/(2b)=11/18，由此立得BH/HC=11/7。
命题者究竟用的是何种方法自然无从考证，但本解法给出了一般意义上的关系：BH/HC=c/(2b-c)，应该算是非常有意思的吧。
最后给LZ提个意见：已知中的“三角形HAD是三角形DAC的1/2”应改为“∠HAD是∠DAC的1/2”。题目一定要给得正确，要不然就是“害人”了。 [em04] [em14].
lyhzl 2006-10-31 21:53
谢LH312151及姜大师！[em18] [em08] [em01]
已知中的“三角形HAD是三角形DAC的1/2”应改为“∠HAD是∠DAC的1/2”。一不小心打错了！[em13] ∠[em17] 不知道如何输入，所以产生了错误，下次一定改正！.
老姜 2006-10-31 22:39
大师称不上，喜欢平面几何倒是事实。
根据刚才给出的BH/BC=c/(2b)的结论，我思考了一下它的几何意义，又得到了另一个很有意思的解法。
如图，过C作CE⊥BC交BA延长线于点E，取EB中点F，连结FC。
容易证明：EB=2FC=2AC=2b，则BH/HC=BA/AE=c/(2b-c)=11/7。.
lyhzl 2006-11-1 09:31
"大师称不上，喜欢平面几何倒是事实。
根据刚才给出的BH/BC=c/(2b)的结论，我思考了一下它的几何意义，又得到了另一个很有意思的解法。
如图，过C作CE⊥BC交BA延长线于点E，取EB中点F，连结FC。
容易证明：EB=2FC=2AC=2b，则BH/HC=BA/AE=c/(2b-c)=11/7。"
－－－－好方法！[em08] [em11]
大师就是大师！
[[i] 本帖最后由 lyhzl 于 2006-11-1 10:37 编辑 [/i]].
小百合 2006-11-3 20:19
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