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大家做题得仙贝－试题18

规则－第一位一次答题并写解题思路的正确者就可得仙贝，修改、编辑不可得。

18. a、b、c是三个连续自然数，用它们可以组成六个分数b/a,c/a,a/b,c/b,a/c,b/c如果这六个分数之和是整数，那么（a+b+c)是多少？

[[i] 本帖最后由 炫炫爸 于 2006-10-26 08:53 编辑 [/i]].

a+b+c = 6

因为a、b、c是三个连续的自然数，设a=n-1,b=n,c=n+1 （n<>0,1）
那么 b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c
   = n/(n-1) + (n+1)/(n-1) + (n-1)/n + (n+1)/n + (n-1)/(n+1) +n/(n+1)
   = (2n+1)/(n-1) + 2n/n + (2n-1)/(n+1)
   = 2 +(4n^2+2)/(n^-1)
   = 2 + [4(n^2-1)+6]/(n^2-1)
   = 2 + 4 + 6/(n^2-1)   
因此，6/（n^2-1)是整数，也就是6可以被(n^2-1)整除。
必然，6 >= n^2-1, 可以得到 -2.65 >= n <= 2.65.
由于n是自然数，且n<>0,1，所以n=2，则a=1, b=2, c=3，a+b+c=6。.

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不妨设这三个数为:x-1,x,x+1,则(a+b+c)=3x
六个分数和为：(2x+1)/(x-1)+2+(2x-1)/(x+1)
第一、三项的和为：(4x^2+2)/(x^2-1)=K. (第二项为整数省略)
整理得：x^2=(K+2)/(K-4)=1+6/(k-4), k-4=1,2,3,6(负数不行)
得：k=6 满足x^2=4，x=2, 得3x=6。.